dispense comunicazioni elettriche

Universita` degli Studi di SienaFacolta` di Ingegneria

Dispensedel Corso di

Comunicazioni Elettriche

Prof. Giuliano Benelli

Ing. Filippo Nencini

Indice

1 Richiami sui Segnali Deterministici ed Aleatori 11.1 Requisiti trigonometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Numeri Complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Formule di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Fasori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Proprieta` della serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.1 Teorema di Parseval per segnali ad energia finita . . . . 51.3.2 Proprieta` della Trasformata di Fourier . . . . . . . . . 51.3.3 Teorema di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Processi casuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.1 Teoria della probabilita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 Variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.3 Segnali Aleatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.4 Segnali aleatori Gaussiani e Bianchi . . . . . . . . . . . 181.4.5 Rumore AWGN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.6 Banda equivalente e Banda a 3dB . . . . . . . . . . . 19

2 Prestazioni di un collegamento 21

3 Rumore Introdotto dai Dispositivi Elettronici 223.1 Rumore Termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.1 Temperatura Equivalente di rumore per dispositivi dueporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.2 Figura di rumore per dispositivi due porte . . . . . . . 253.1.3 Rete Attiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.4 Rete Passiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.5 Formule di Friis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.6 Temperatura di Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.7 Rumore nei Ripetitori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

i

Facolta` di Ingegneria ii

3.2 Rumore Shot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Rumore Flicker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Modulazioni di Ampiezza 334.1 Modulazione AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.1.1 Caratteristiche del segnale AM . . . . . . . . . . . . . 344.1.2 Spettro del segnale AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.3 Potenza del segnale modulato AM . . . . . . . . . . . . 364.1.4 Modulatori AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.1.5 Demodulatori AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.1.6 Rapporto segnale-rumore nella modulazione AM . . . . 40

4.2 Modulazione DSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2.1 Caratteristiche del segnale DSB . . . . . . . . . . . . . 434.2.2 Spettro del segnale DSB . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2.3 Potenza di un segnale DSB . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.4 Modulatore DSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.5 Demodulatore DSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.6 Rapporto Segnale/Rumore in una modulazione DSB . 47

4.3 Modulazione SSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3.1 Caratteristiche del segnale SSB . . . . . . . . . . . . . 484.3.2 Modulatori SSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3.3 Demodulatori SSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3.4 Rapporto Segnale/Rumore per una modulazione SSB . 54

4.4 Modulazione vestigiale VSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.4.1 Caratteristiche del segnale VSB . . . . . . . . . . . . . 554.4.2 Modulatore VSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.4.3 Demodulatore VSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.5 Circuiti per il recupero della portante . . . . . . . . . . . . . . 58

5 Modulazioni Angolari 625.1 Modulazione di fase e di frequenza . . . . . . . . . . . . . . . 625.2 Spettro di un segnale FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2.1 Spettro di un segnale FM nel caso di un segnale mo-dulante sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2.2 Spettro di un segnale FM nel caso di un segnale mo-dulante multitono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2.3 Banda di trasmissione di un segnale FM (Banda diCarson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3 Modulatori di frequenza e di fase . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3.1 Modulatori FM Diretti (Modulatore di Hartley) . . . . 715.3.2 Modulatori FM Indiretti (Modulatore di Armstrong) . 72

Facolta` di Ingegneria iii

5.4 Demodulatori FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.4.1 Demodulatore FM con discriminatore di frequenza bi-

lanciato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.4.2 Demodulatore FM con rivelatore di zero-crossing . . . 785.4.3 Demodulatore FM con PLL . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.5 Rapporto Segnale/Rumore nella modulazione FM . . . . . . . 825.6 Effetto Soglia nella modulazione FM . . . . . . . . . . . . . . 865.7 Pre-enfasi e De-enfasi nella modulazione FM . . . . . . . . . . 875.8 Rapporto Segnale/Rumore nella modulazione PM . . . . . . . 905.9 Schema di Ricevitore Supereterodina per trasmissione FM ra-

dio broadcasting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.10 Schema di un modulatore ed un demodulatore FM stereo . . . 92

6 Modulazioni Digitali 956.1 Rappresentazione vettoriale dei segnali . . . . . . . . . . . . . 966.2 Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt . . . . . 976.3 Trasmissione su canali vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.4 Ricevitore ottimo a massima verosimiglianza . . . . . . . . . . 1036.5 Criterio Maximum A Posteriori (MAP) . . . . . . . . . . . . . 1056.6 Limite superiore della probabilita` di errore (Union Bound) . . 1096.7 Valutazione delle prestazioni nelle modulazioni digitali . . . . 1106.8 Modulazione On-Off Keying (OOK) . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.8.1 Demodulazione coerente di un segnale OOK e proba-bilita` di errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.9 Modulazioni Phase Shift Keying (PSK) . . . . . . . . . . . . . 1146.9.1 Modulazione BPSK e probabilita` di errore . . . . . . . 1146.9.2 Modulazione QPSK e probabilita` di errore . . . . . . . 116

6.10 Modulazioni Frequency Shift Keying (FSK) . . . . . . . . . . 1196.10.1 Caratteristiche della modulazione FSK . . . . . . . . . 1196.10.2 Modulazione BFSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.10.3 Demodulazione coerente di un segnale FSK e probabi-

lita` di errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.11 Modulazione Differential Phase Shift Keying (DPSK) . . . . . 124

6.11.1 Probabilita` di errore di un segnale DPSK . . . . . . . . 126

Capitolo 1

Richiami sui SegnaliDeterministici ed Aleatori

In questo capitolo sono descritte alcune relazioni fondamentali di trigonome-tria, la rappresentazione di segnali periodici in serie di Fourier, la trasformatadi Fourier e la caratterizzazione di segnali aleatori. Tali argomenti sarannotrattati menzionando soltanto gli aspetti che serviranno per la trattazionedelle modulazioni analogiche e digitali. Maggiori approfondimenti e relativedimostrazioni saranno affrontati in altri corsi di studio.

1.1 Requisiti trigonometrici

1.1.1 Numeri Complessi

Si definisce un numero complesso

z = a+ j b = |z|ej 6 z (1.1)

dove a e b rappresentano rispettivamente la parte reale ed immaginaria diz mentre |z| e 6 z il modulo e la fase di z. Nel piano complesso il numerocomplesso z puo` essere rappresentato come un vettore mostrato in figura 1.1.Il complesso coniugato di un numero complesso e` cos` definito

z = a j b = |z|ej 6 z (1.2)

inoltre la parte reale e la parte immaginaria possono essere ottenute damodulo e fase e viceversa {

a = |z|cos(6 z)b = |z|sen(6 z) (1.3)

1

Facolta` di Ingegneria 2

Figura 1.1: Rappresentazione di un numero complesso sul piano x y

{ |z| = a2 + b26 z = arctan

(ba

) (1.4)1.1.2 Formule di Eulero

Valgono le seguenti equazioni

ej = cos j sen (1.5)

e {cos = e

j+ej2

sen = ejej

2j

(1.6)

1.1.3 Fasori

Dato un segnale sinusoidale x(t) = Acos(2pif0t + ) si indica il fasore delsegnale x(t)

z = Aej. (1.7)

Il segnale x(t) puo` essere recuperato dal suo fasore mediante la seguenterelazione

x(t) = Re{z ej2pif0t}. (1.8)

1.2 Serie di Fourier

Un segnale periodico x(t) di periodo T = 1f0, come mostrato in figura 1.2,

puo` essere rappresentato mediante una serie di Fourier

x(t) =+

n=Xne

j2pi nTt (1.9)


in cui Xn sono i coefficienti trasformati della serie di Fourier, ottenuti dalsegnale x(t) dalla seguente relazione

Xn =1

T

T2

T2

x(t)ej2pinTtdt. (1.10)

Figura 1.2: Segnale periodico x(t)

Dalle due precedenti equazioni si osserva che:

e` possibile calcolare Xn da x(t) e viceversa; il segnale x(t) e` esprimibile mediante una base di funzioni ej2pi nT t. Laproiezione di x(t) su ogni versore della base e` Xn;

le componenti Xn sono generalmente a valori complessi;

la componente X0 = 1T T

2

T2

x(t)dt corrisponde al valor medio di x(t);

i valori Xn corrispondono alle proiezioni del segnale x(t) su una basecon versori a frequenze multiple della fondamentale fn =

nT= nf0.

1.2.1 Proprieta` della serie di Fourier

Sono elencate in questo paragrafo le principali proprieta` della serie di Fourier:

Condizione Hermitiana.Dato un segnale reale, x(t) = x(t), e` verificata la condizione Xn =Xn. Questo comporta che la parte reale ed il modulo della sequenzadei coefficienti trasformati sono sequenze pari, mentre la parte imma-ginaria e la fase sono sequenze dispari

Re{Xn} = Re{Xn}Im{Xn} = Im{Xn}

|Xn| = |Xn|6 Xn = 6 Xn

(1.11)


In piu` se il segnale nel tempo e` reale e pari, x(t) = x(t), allora Xne` reale e pari; al contrario se il segnale nel tempo e` reale e dispari,x(t) = x(t), allora Xn e` immaginario e dispari.Esempio. Calcolo dei coefficienti trasformati di unonda ret-tangolareDato il segnale x(t) =

+Arect (t nT ) con < T e rect (t) = 1

se |t| e 0 altrove, si vuole calcolare Xn. Applicando la definizione

Xn =1T

T2

T2

+Arect (t nT )ej2pi

nTtdt =

= 1T

2

2Aej2pi

nTtdt =

= Apin ej2pi

nT2ej2pi nT 22j

=

= Apinsen(pi n

T) =

= A Tsinc( n

T) .

(1.12)

Teorema di Parseval per segnali periodiciLa potenza di un segnale periodico puo` essere calcolata sia nel dominiodel tempo che nel dominio della frequenza

Px =1

T

T2

T2

|x(t)|2dt =+

n=|Xn|2 (1.13)

1.3 Trasformata di Fourier

Per segnali ad energia finita si definisce la trasformata di Fourier di un segnalea tempo continuo

X(f) =

+

x(t)ej2piftdt (1.14)

e la rispettiva antitrasformata di Fourier

x(t) =

+

X(f)ej2piftdt. (1.15)

EsempioLa trasformata di Fourier di un rect, x(t) = Arect (t), e`

X(f) = + Arect (t)e

j2piftdt =

=

2

2Aej2piftdt =

= Apif ej2pif

2ej2pif 22j

=

= Apif

sen(pif) =

= Asinc(f) .

(1.16)


1.3.1 Teorema di Parseval per segnali ad energia finita

Lenergia di un segnale pue` essere calcolata sia nel dominio del tempo chenel dominio della frequenza

x =

+

|x(t)|2dt = +

|X(f)|2df (1.17)

dove |X(f)|2 e` la densita` spettrale di energia del segnale x(t).

1.3.2 Proprieta` della Trasformata di Fourier

In questo paragrafo sono elencate le principali proprieta` della trasformata diFourier:

Condizione Hermitiana.Dato un segnale reale, x(t) = x(t), e` verificata la condizione X(f) =X(f). Questo comporta che la parte reale ed il modulo della tra-sformata di Fourier sono funzioni pari, mentre la parte immaginaria ela fase sono funzioni dispari

Re{X(f)} = Re{X(f)}Im{X(f)} = Im{X(f)}

|X(f)| = |X(f)|6 X(f) = 6 X(f)

(1.18)

In piu` se il segnale nel tempo e` reale e pari, x(t) = x(t), allora X(f)e` reale e pari; al contrario se il segnale nel tempo e` reale e dispari,x(t) = x(t), allora X(f) e` immaginario e dispari.

Dualita`Trasformata ed antitrasformta differiscono soltanto per un segno:

x(t)FTX(f) t=f=X(t) FTx(f) (1.19)

nel dominio del tempo, mentre nel dominio della frequenza

X(f)IFTx(t) t=f=x(f) IFTX(t). (1.20)

Esempio. Calcolo dellEnergia.Si vuole calcolare lenergia del segnale x(t) = Asinc(t). Per la primaproprieta` della dualita` e` noto che x(t) = Arect (t) ha come trasformatadi Fourier X(f) = Asinc(f) da cui X(t) = Asinc(t) ha come


trasformata x(f) = Arect (f) = Arect (f) essendo il rect unafunzione pari.Sfruttando il teorema di parseval si ottiene che

x =

+

|X(f)|2df = +

2

2

A2df = A2 (1.21)

Linearita`La trasformata della somma di due o piu` segnali e` uguale alla sommadi ogni singola trasformata

FT{a x1(t) + b x2(t)} = a X1(f) + b X2(f) (1.22)

Valore medio e valore inizialeIl valor medio del segnale x(t) e` uguale al valore della trasformata inf = 0

mx =

+

x(t)dt = X(f = 0) (1.23)

il valore del segnale in t = 0 corrisponde alla media nel dominio dellafrequenza

x(t = 0) =

+

X(f)df (1.24)

Traslazione nel tempo

z(t) = x(t T ) FTZ(f) = X(f)ej2pifT (1.25)

Traslazione in frequenza

Z(f) = X(f f0) IFT z(t) = x(t)ej2pif0t (1.26)EsempioSi vuole calcolare lantitrasformata di Fourier per il seguente segnaleX(f f0) + X(f + f0). Applicando la proprieta` della traslazione infrequenza si ottiene:

X(f f0) +X(f + f0) IFTx(t)ej2pif0t + x(t)ej2pif0t = 2x(t)cos(2pif0t)(1.27)

Cambiamento di scala

FT{x(at)} = 1|a|X( f|a|)

(1.28)


Trasformate di: delta di dirac.Introducendo la definizione di delta di dirac

(t) =

{ t = 00 altrimenti

(1.29)

e +

(t)dt = 1 (1.30)

la trasformata di Fourier della delta e` uguale ad una costante

FT{A(t)} = A (1.31)

costante.Per la proprieta` duale

FT{A} = A(f). (1.32)

EsempioSi vuole calcolare la trasformata di Fourier di x(t) = Acos(2pif0t+):

x(t) =A

2

(ej(2pif0t+)+ej(2pif0t+)

)FTX(f) = A

2(ej(ff0)+ej(f+f0))

(1.33)

Risposta impulsiva e convoluzioneIn un sistema lineare tempo-invariante (LTI) che caratterizza un siste-ma fisico come ad esempio un mezzo trasmissivo (cavo elettrico, fibraottica, ecc...) puo` essere calcolata la risposta impulsiva

h(t) = y(t)|x(t)=(t) (1.34)

luscita per un generico segnale in ingresso e` data dal prodotto diconvoluzione tra la risposta impulsiva ed il segnale in ingresso

y(t) = h(t) x(t) = +

h(t )x()d (1.35)

Moltiplicazione in frequenza e nel tempo


Moltiplicazione in frequenza

x1(t) x2(t) FTX1(f) X2(f) (1.36)EsempioSi vuole calcolare la trasformata di Fourier della funzione triango-lo:

x(t) = trianT (t) =

{1 |f |

T|f | T

0 altrove(1.37)

La funzione triangolo puo` essere espressa come un prodotto di con-voluzione tra due funzioni rect della stessa durata T

2, trianT (t) =

1TrectT (t) rectT (t). Applicando la proprieta` del prodotto in

frequenza si ottiene

X(f) =1

TT sinc(Tf) T sinc(Tf) = T sinc2(Tf) (1.38)

Moltiplicazione nel tempo

X1(f)X2(f) IFTx1(t) x2(t) (1.39)EsempioSono noti i segnali x1(t) = A rectT (t) e x2(t) = cos(2pif0t), si vuolecalcolare la trasformata di Fourier del segnale z(t) = x1(t) x2(t).Sfruttando la proprieta` della moltiplicazione nel tempo si ottiene

Z(f) = X1(f)X2(f) == T sinc(Tf) 1

2((f f0) + (f + f0)) =

= T2sinc(T (f f0) + T2 sinc(T (f + f0)) .

(1.40)

Derivazione ed integrazione nel tempo

Derivata

d x(t)

dt

FT j2pif X(f) (1.41)EsempioSi vuole verificare la proprieta` della derivata per x(t) = cos(2pif0t).La derivata del segnale e` uguale a 2pif0 sen(2pif0t), nel dominiospettrale invece la trasformata della derivata del coseno vale

j2pif 12((f f0) + (f + f0)) =

= j2pif0 12((f f0) (f + f0)) == 2pif0 12j ((f f0) (f + f0)) =


Il risultato ottenuto antitrasformando lultima espressione e` ugua-le alla funzione coseno derivata nel tempo.

Integrale t

x()dFT X(f)

j2pif(1.42)

1.3.3 Teorema di Poisson

Un segnale periodico x(t) con periodo T ha la seguente trasformata di Fourier

X(f) =1

T

+n=

G(nT

)(f n

T

)(1.43)

dove G(f) e` la trasformata di Fourier del segnale g(t) corrispondente al se-gnale x(t) su un solo periodo T .Il risultato delleq.(1.43) si ottiene dal teorema di Poisson di cui non vienesvolta la dimostrazione. Tale teorema afferma che la trasformata di un serieinfinita di delta e` ancora nel dominio trasformata una serie infinita di delta

T (t) =+

(t nT ) FT 1T 1

T(f) =

1

T+

(f n

T

)(1.44)

1.4 Processi casuali

1.4.1 Teoria della probabilita`

Il concetto di probabilita` e` legato al concetto di esperimento casuale in cuiil valore di uscita non puo` essere definito con certezza ed in cui eventi ele-mentari sono ritenuti equiprobabili. La probabilita` di un evento, secondo ladefinizione classica, e` il rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numerodi casi possibili, purche` questi ultimi siano ugualmente possibili:

PA =nAntot

. (1.45)

Alcuni esperimenti casuali legati al concetto di probabilita` sono ad esempio illancio di una moneta per testa o croce, il lancio di un dado a sei facce oppurela scelta di una carta da un mazzo di carte. In ognuno dei tre esperimentielencati non e` possibile stabilire quale sara` lesito esatto dellesperimento.Lo spazio delle possibili uscite =

Ni=1 i puo` essere a valori discreti

quando il numero delle possibili uscite e` finito, mentre e` a valori continui


quando il numero di uscite e` infinito.Con E inoltre viene indicato un evento di un sottoinsieme di , in modo dapoter definire la probabilita` di quellevento, P (E).Consideriamo adesso le proprieta` principali della probabilita`:

La probabilita` di un evento e` sempre compresa tra 0 ed 10 P (E) 1; (1.46)

La probabilita` di un evento nullo e` 0P (E = null) = 0; (1.47)

La probabilita` di un evento che contiene tutte le possibili uscite e` ugualead 1

P (E = ) = 1; (1.48)

La probabilita` di un evento complementare e` uguale ad 1 meno laprobabilita` dellevento stesso

P (E) = 1 P (E); (1.49) La probabilita` dellunione di due eventi e` uguale alla somma delleprobabilita` dei due eventi meno la probabilita` dellintersezione

P (E1 E2) = P (E1) + P (E2) P (E1 E2); (1.50) Se E1 E2 allora

P (E1) P (E2) (1.51) La Probabilita` condizionata di due eventi E1 e E2 con rispettiveprobabilita` P (E1) e P (E2) e` definita come

P (E1|E2) ={

P (E1E2)P (E2)

P (E2) 6= 00 altrimenti

(1.52)

se i due eventi sono statisticamente indipendenti allora P (E1|E2) =P (E1) e P (E1 E2) = P (E1) P (E2);

Teorema della Probabilita` TotaleDato un insieme N di eventi {Ei}Ni=1 con

Ni=1Ei = e Ei Ej = null

i, j con i 6= j, la probabilita` di un evento generico A e` calcolata comesomma pesata delle probabilita` condizionate agli eventi Ei:

P (A) =Ni=1

P (A|Ei) P (Ei) (1.53)


Teorema di BayesDati due eventi A e B il Teorema di Bayes consente di scambiare itermini sulle probabilita` condizionate

P (B|A) = P (A|B) P (B)P (A)

(1.54)

1.4.2 Variabili aleatorie

Una variabile aleatoria x e` il risultato numerico di un esperimento quandoquesto non e` deterministico. Ad esempio il risultato del lancio di un dadoa sei facce puo` essere matematicamente modellizzato come una variabile ca-suale che puo` assumere uno dei sei possibili valori 1, 2, 3, 4, 5, 6.Piu` formalmente dato , la variabile aleatoria x e` una funzione misurabiledallo spazio allo spazio Euclideo.Ad ogni variabile aleatoria X e` associata la sua funzione distribuzione cu-mulativa, Fx(x), che assegna ad ogni sottoinsieme, dellinsieme dei possibilivalori di x, la rispettiva probabilita`:

Fx(x) = P (x x). (1.55)Sono elencate di seguito alcune proprieta` della Fx(x):

0 Fx(x) 1; Fx(x) non e` una funzione decrescente; lim

nFx(x) = 0 e lim

n+Fx(x) = 1;

P (a x b) = Fx(b) Fx(a).Si definisce inoltre la funzione densita` di probabilita`:

fx(x) =dFx(x)

dx(1.56)

Alcune proprieta` della funzione densita` di probabilita`:

fx(x) 0 x; + fX(x)dx = 1; b

afx(x)dx = P (a x b);

Fx(x) = x fx(x)dx.


Esempio (Variabile aleatoria uniforme)Una variabile aleatoria uniforme ha la seguente funzione densita` diprobabilita`

fx(x) =

{ 1(ba) a < x < b0 altrimenti

(1.57)

come mostrato in figura 1.3(a), e la seguente funzione distribuzione

Fx(x) =

0 x < a

(xa)(ba) a < x < b1 x > b

(1.58)

Esempio (Variabile aleatoria gaussiana)Una variabile aleatoria gaussiana ha la seguente funzione densita` diprobabilita`

fx(x) =12pi2

e(xm)222 (1.59)

come mostrato in figura 1.3(b), e la seguente funzione distribuzione

Fx(x) =

x

12pi2

e(xm)222 dx. (1.60)

I terminim e determinano la posizione e lallargamento dellandamen-to a campana della funzione. Per caratterizzare una variabile aleatoriagaussiana spesso si indica N(m,), cioe` si specificano i due termini me .Lespressione della FX(x) puo` essere scritta anche nella forma:

Fx(x) = 1 +x

12pi2

e(xm)222 dx = 1Q

(xm

)(1.61)

dove

Q(x) =

+x

12pi

et2

2 dt. (1.62)

Nel caso in cui si abbiano funzioni di variabili aleatorie y = g(x), la densita`di probabilita` di y puo` essere determinata dalla densita` di probabilita` di xmediante la seguente equazione:

fy(y) =i

fx(xi)

|g(x)|x=xi

(1.63)

dove gli zeri di xi = g1(yi) si ottengono invertendo la relazione y = g(x).


Figura 1.3: Variabile aleatoria con: a) densita` di probabilita` uniforme; b) densita` diprobabilita` gaussiana

EsempioSi consideri la seguente variabile aleatoria composta y = ax + b, ladensita` di probabilita` di X e` N(0, 1), si vuole determinare la densita` diprobabilita` di Y.

Noto che |g(xi)| = |a| e che xi = yba , si ottiene fy(y) =fx

(yba

)|a| e

quindi fy(y) = N(b, a).

Sono elencate adesso le principali statistiche che possono essere calcolate suuna variabile aleatoria:

Media dinsieme

mx = E[x] =

+

x fx(x)dx (1.64)


dove il termine E[] e` indicato come il valore aspettato.Se la variabile aleatoria e` una funzione composta allora

my = E[y = g(x)] =

+

g(x) fx(x)dx; (1.65)

Valore Quadratico Medio (V.Q.M.)

V.Q.M. = E[x2] =

+

x2 fx(x)dx (1.66)

e nel caso di funzione composta

V.Q.M. = E[y2] =

+

g2(x) fx(x)dx; (1.67)

Varianza2x = E[(xmx)2] = V.Q.M(x)m2x (1.68)

e nel caso di funzione composta

2y = E[(ymy)2] = V.Q.M(y)m2y. (1.69)

1.4.3 Segnali Aleatori

Un segnale aleatorio, indicato con il termine x(t), puo` avere le due seguentidefinizioni:

1. una collezione infinita di segnali deterministici ottenuti fissando, perogni realizzazione, il termine aleatorio;

2. una serie infinita ed ordinata nel tempo di variabili aleatorie.

Per caratterizzare completamente un segnale aleatorio e` necessario fornirela densita` di probabilita` congiunta su ogni possibile combinazione di istantitemporali:

(t1, t2, ..., tn) fx(t1),x(t2),...,x(tn)(x1, x2, ..., xn) (1.70)valido t1, ..., tn.Un segnale aleatorio e` descritto dalle sue statistiche di ordine M quandoleq.(1.70) vale n M . Nei sistemi di telecomunicazioni si richiede tipica-mente M = 2, in modo da conoscere fx(x) e fx(t1),x(t2)(x1, x2).Sono riportate adesso le principali misure statistiche di un segnale aleatorio:


Media dinsieme

mx(t) = E[x(t)] =

+

x fx(t)(x)dx (1.71)

e per segnali aleatori composti

my(t) = E[y(t) = g(x(t))] =

+

g(x)fx(t)(x)dx (1.72)

EsempioSi consideri il seguente segnale aleatorio y(t) = Acos(2pif0t+ ) di cuisi conosce le densita` di probabilita` della variabile aleatoria

f() =

{12pi

0 2pi0 altrimenti

Si vuole calcolare la media dinsieme. Applicando la definizione siottiene

my(t) = E[y(t)] =

2pi0

Acos(2pif0t+) 12pi

d =A

2pisen(2pif0t+)|2pi0 = 0

(1.73)

Funzione di AutocorrelazioneRx(t1),x(t2)(t1, t2) = E[x(t1) x(t2)] == +

+ x1x2 fx(t1),x(t2)(x1, x2)dx1dx2

(1.74)

e per segnali aleatori composti

Ry(t1),y(t2)(t1, t2) = E[y(t1) y(t2)]= +

+ g(x1)g(x2) fx(t1),x(t2)(x1, x2)dx1dx2

(1.75)

Si elencano alcune proprieta` della funzione di autocorrelazione:

La funzione di autocorrelazione e` una funzione pari

Rx(t1),x(t2)(t1, t2) = Rx,x( = t2 t1) = Rx,x(); (1.76)

Il massimo della funzione di autocorrelazione e` in = 0

|Rx,x()| Rx,x(0); (1.77)

Se si verifica che T0 tale che Rx,x(T0) = Rx,x(0) allora k valeche Rx,x(T0) = Rx,x(0).


EsempioSi vuole calcolare la funzione di autocorrelazione dellesercizio prece-dente:

Ry(t1),y(t2)(t1, t2) = E[Acos(2pif0t1 + ) Acos(2pif0t2 + )] == A

2

2E[cos(2pif0(t2 t1)) + cos(2pif0(t1 + t2) + 2)] =

= A2

2cos(2pif0(t2 t1)) = A22 cos(2pif0).

(1.78)

Valore Quadratico medio (V.Q.M.)V.Q.M. = E[x2(t)] = Rx,x(t1, t1). (1.79)

Il V.Q.M di un segnale aleatorio corrisponde alla potenza media delprocesso.

Varianza2x(t) = E[(x(t)mx(t))2] = E[x(t)2]m2x(t); (1.80)

Funzione di CrosscorrelazioneRx,y(t1, t2) = E[x(t1)y(t2)]; (1.81)

Funzione di CovarianzaCx,x(t1, t2) = E[(x(t1)mx(t1)) (x(t2)mx(t2))]; (1.82)

Funzione di CrosscovarianzaCx,y(t1, t2) = E[(x(t1)mx(t1)) (y(t2)my(t2))]. (1.83)

Sono elencate adesso le principali proprieta` dei segnali aleatori:

Stazionarieta` di un processo.Un processo si dice stazionario in senso stretto quando si verifica che ladensita` di probabilita` congiunta su n istanti temporali dipende soltantodalla posizione relativa degli istanti temporali e non dai valori stessi

fx(t1),x(t2),...,x(tn)(x1, x2, ..., xn) == fx(t1+),x(t2+),...,x(tn+)(x1, x2, ..., xn)

(1.84)

valido t1, t2, ..., tn. Un processo si dice stazionario in senso latoquando si verificano le due condizioni:


1. la media dinsieme non dipende dal tempo

mx(t) = mx (1.85)

2. la funzione di autocorrelazione dipende soltanto dalla distanzarelativa tra t2 e t1 e non dai valori stessi

Rx(t1),x(t2)(t1, t2) = Rx(t1),x(t2)(t2 t1 = ) (1.86)

Densita` spettrale di potenza media di un segnale aleatorioPer un segnale aleatorio la Trasformata di Fourier non puo` essere calco-lata. Per avere quindi una rappresentazione spettrale si valuta la den-sita` spettrale di potenza media ottenuta dalla trasformata di Fourierdella funzione di autocorrelazione:

Px,x(f) =

+

Rx,x()ej2pifd. (1.87)

E definita anche lantitrasformata di Fourier della densita` spettrale dipotenza media

Rx,x() =

+

Px,x(f)ej2pifdf. (1.88)

Per la densita` spettrale di potenza media e` sempre verificato che:

Px,x(f) 0 f ; Px,x(f) = Px,x(f); Px = Rx,x( = 0) =

+ Px,x(f)df corrispondente alla potenza

media del processo.

EsempioLa densita` spettrale di potenza media di un segnale aleatorio la cuifunzione di autocorrelazione e` Rx,x() =

A2

2cos(2pif0) vale

Px,x(f) =A2

4((f f0) + (f + f0))

Segnali aleatori in ingresso a sistemi lineari tempo-invariantiUn segnale aleatorio x(t) stazionario in senso lato in ingresso ad unsistema LTI caratterizzato dalla risposta impulsiva h(t) genera in uscitaal sistema un segnale, y(t), anchesso stazionario in senso lato in cui lamedia, la funzione di crosscorrelazione e la funzione di autocorrelazionevalgono:


Media

my = mx +

h(t)dt = mx H(f = 0) (1.89)

Crosscorrelazione

Rx,y() = Rx,x() h() FT Px,y(f) = Px,x(f) H(f) (1.90)

Autocorrelazione

Ry,y() = Rx,x() h() h() FT Px,y(f) = Px,x(f) |H(f)|2(1.91)

EsempioUn segnale aleatorio la cui funzione di autocorrelazione e` y(t) = Acos(2pif0t+) viene posto in ingresso ad un sistema derivatore. Si vuole calcolarela funzione di autocorrelazione del segnale aleatorio alluscita del siste-ma.La trasformata di Fourier di un sistema derivatore e` H(f) = j2pif ,sfruttando leq.(1.91) si ottiene

Px,x(f) = |H(f)|2 Px,x(f) == 4pi2f 2 A2

4((f f0) + (f + f0)) = 4pi2f 20 A

2

4((f f0) + (f + f0))

da cui antitrasformando

Ry,y() = 2pi2f 20A

2cos(2pif0)

1.4.4 Segnali aleatori Gaussiani e Bianchi

Un segnale aleatorio si definisce gaussiano e bianco quando la densita` diprobabilita` congiunta per ogni ordine n e` gaussiana e quando la densita`spettrale di potenza media e` costante f , Px,x(f) = C.Il rumore termico, trattato nel capitolo 3, e` un esempio di segnale aleatoriogaussiano e bianco.

1.4.5 Rumore AWGN

Il rumore AWGN, n(t), e` un segnale aleatorio che soddisfa le seguenti con-dizioni:

rumore stazionario in senso lato; segnale aleatorio additivo sul segnale utile;


segnale aleatorio gaussiano e bianco; segnale aleatorio con media dinsieme nulla.

La costante della densita` spettrale di potenza media viene indicata con iltermine N0

2se viene fatto riferimento alla densita` bilatera, altrimenti N0 se

viene fatto riferimento alla densita` monolatera.

1.4.6 Banda equivalente e Banda a 3dB Banda equivalenteLa definizione di Banda equivalente per un sistema LTI con rispostaimpulsiva h(t) e` la seguente:

Beq =

+0

|H(f)|2dfmax|H(f)|2 . (1.92)

Il significato di banda equivalente e` quello di avere un sistema LTI equi-valente in cui Heq(f) ha un andamento passa-basso ideale con banda(Beq, Beq) ed ampiezza max|H(f)|2 ed in cui, se in ingresso e` postoun segnale aleatorio bianco, la potenza media dei due sistemi (reale edequivalente) e` uguale:

Py =N02

+

|H(f)|2df N02max|H(f)|2 2Beq (1.93)

Banda a 3dBE definita come la frequenza del filtro H(f) di un sistema LTI cheverifica la condizione:

|H(f3dB)|2 = 12

(1.94)

EsempioSia h(n) la risposta impulsiva di un sistema LTI la cui risposta in frequenzae`

H(f) =1

1 + j ffc

. (1.95)

Si richiede di calcolare la banda equivalente e la banda a 3dB.Per quanto riguarda la banda equivalente:

|H(f)|2 = 11 +

(ffc

)2


conmax|H(f)|2 = 1 in f = 0

e +0

1

1 +(ffc

)2df =v= f

fc

fc +0

1

1 + v2dv = fc atan(v)|+0 = fc

pi

2.

La banda equivalente e` quindi uguale a Beq =pi2fc.

Per quanto riguarda invece la banda a 3dB si ottiene1

1 +(ffc

)2 = 12da cui B3dB = fc. Da cui si osserva che in questo esempio la Beq > B3dB

Capitolo 2

Prestazioni di un collegamento

Si faccia riferimento alle slides Prestazioni di un collegamento consultabilialla Home Page del corso.

21

Capitolo 3

Rumore Introdotto daiDispositivi Elettronici

In questo capitolo sono descritte le principali fonti del processo di rumo-re presenti nei sistemi di telecomunicazione, e di come ne venga tenuto inconsiderazione in fase progettuale. Vedremo che il rumore e` modellato mate-maticamente come un segnale aleatorio, da cui e` possibile calcolare la potenzamedia, utile nel calcolo del rapporto segnale-rumore caratterizzante il siste-ma di trasmissione. Principalmente tratteremo il rumore termico in quantoin ogni collegamento tra modulatore e demodulatore avremo sempre a chefare con questa forma di rumore.

3.1 Rumore Termico

Ogni elemento conduttore e` caratterizzato da perdite resistive, che circui-talmente indichiamo con R. Un resistore che si trova ad una temperaturasuperiore allo zero Kelvin (0K) produce ai suoi capi una tensione rumorosamisurabile a circuito aperto. Tale tensione rumorosa e` dovuta allagitazio-ne termica degli elettroni che si muovono in modo caotico allinterno dellaresistenza. La resistenza rumorosa, Rn, e` possibile rappresentarla equivalen-temente come un resistore non rumoroso in serie ad un generatore di tensione,figura 3.1. Il generatore produce un segnale aleatorio di tensione, v(t), la cuidensita` spettrale di potenza media e`

Pv,v(f) =2Rh|f |eh|f|kT 1

(3.1)

dove h e` la costante di Plank, uguale a 6.63 1034, T e` la temperatura delresistore espressa in gradi Kelvin e k e` la costante di Boltzmann, uguale a

22


1.38 1023.La trasformazione che consente di esprimere una temperatura da gradi cen-tigradi a gradi kelvin e` la seguente

Tk = TC + 273. (3.2)

Inoltre la temperatura T = 17C corrispondente a T = 290K e` indicata cometemperatura ambiente T0.Se si considera a temperatura ambiente la condizione h|f |

kT0


Se la densita` spettrale di potenza media del rumore termico e` calcolata sullabanda del segnale utile modulante (cioe` il segnale informativo che deve esseretrasmesso), si ottiene

Pc =

BB Pv,v(f)df

4R=

2RkT (2B)4R

=kT

2 (2B) = kTB (3.5)

dove il termine kT2viene indicato con N0

2(densita` spettrale di potenza media

bilatera).

Figura 3.2: Trasferimento di potenza della resistenza rumorosa ad un carico Zc

3.1.1 Temperatura Equivalente di rumore per disposi-tivi due porte

Si consideri una rete due porte mostrata in figura 3.3 in cui sono note letensioni e le correnti in ingresso ed in uscita, Vi, Vu, Ii e Iu. Per tale disposi-tivo puo` essere definito il guadagno in tensione, in corrente o in potenza deldispositivo:

GV =VuVi

GI =IuIi

GP =PuPi

(3.6)

Nella trattazione successiva faremo sempre riferimento al guadagno in poten-za, GP = G.Per definire la temperatura equivalente consideriamo quindi di avere un


Figura 3.3: Dispositivo due porte

dispositivo due porte al cui ingresso e` posta una resistenza rumorosa e che leimpedenze viste dalla porta di ingresso e di uscita siano poste in condizionedi massimo trasferimento di potenza, figura 3.4(a). Per tale dispositivo lapotenza media in uscita e` uguale a

Pu = G Pi + Pd = GkTiB + Pd (3.7)dove Pd e` la potenza media di rumore, di cui non ne conosciamo la natura,introdotta dal dispositivo.La temperatura equivalente rappresenta lincremento di temperatura che de-ve essere fornita al resistore di ingresso in modo tale da ottenere la stessapotenza media di rumore in uscita al dispositivo supposto non rumoroso,3.4(b),:

Pu = Gk(Ti + Teq)B = GkTiB +GkTeqB = GkTiB + Pd. (3.8)

Il termineTu = G (Ti + Teq) (3.9)

prende il nome di temperatura di uscita del dispositivo due porte.

3.1.2 Figura di rumore per dispositivi due porte

La figura di rumore serve per avere una misura di rumorosita` del dispositivodue porte. E definita come il rapporto tra la potenza media di rumorealluscita del dispositivo due porte e la potenza media di rumore alluscitadel dispositivo supponendo che la rete due porte non introduca rumore:

F =Pu

G Pi (3.10)

Esprimendo con Si ed Su le potenze medie in ingresso ed uscita al dispositivodel segnale utile, leq.(3.10) puo` essere scritta anche come

F =SiSi PuG Pi =

PuG Si

SiPi

=SNRiSNRu

. (3.11)


Figura 3.4: Temperatura equivalente: a) dispositivo rumoroso; b) rappresentazioneequivalente con dispositivo due porte non rumoroso ed incremento della temperatura di

ingresso di Teq

Leq.(3.10) e` sempre maggiore o uguale ad 1 visto che la potenza media dirumore in uscita potra` essere uguale al limite alla potenza media di rumorein ingresso amplificata in potenza.

3.1.3 Rete Attiva

Il guadagno in potenza puo` essere maggiore di 1, in quel caso si parla di reteattiva o di amplificatore figura 3.5(a), mentre quando e` minore di 1 si ha unarete passiva (attenuatore) figura 3.5(b). Una rete attiva e` costituita circui-talmente da resistenze, condensatori e induttanze mentre una rete passiva dasole resistenze. Svolgendo leq.(3.10) relativa alla figura di rumore si ottiene:

F =Gk(Ti + Teq)B

GkTiB= 1 +

TeqTi

. (3.12)

Poiche` in tale espressione la figura di rumore, che rappresenta una misuradi rumorosita` del solo dispostivo, dipende anche dalla temperatura della re-sistenza in ingresso, si fissa la Ti alla temperatura ambiente, ottenendo cos`lespressione della figura di rumore e della temperatura equivalente per unarete attiva:

F = 1 +TeqT0

(3.13)

Teq = T0 (F 1). (3.14)Se si vuole calcolare il SNRu noto il SNRi e la figura di rumore e` necessarioutilizzare la seguente equazione

SNRu =SNRi

1 + TeqTi

=SNRi

1 + TeqT0 T0Ti

=SNRi

1 + T0Ti (F 1) (3.15)


Figura 3.5: Rappresentazione a blocchi di: a) un amplificatore; b) un attenuatore

3.1.4 Rete Passiva

In una rete passiva il guadagno e` minore di 1 e quindi esprimibile anche come

G =1

A(3.16)

dove A e` indicata con il termine di attenuazione.Supponiamo ora tutti i componenti alla stessa temperatura e quindi Ti = Tu,si ottiene

Tu = G (Ti + Teq) = Ti (3.17)e quindi le espressioni della temperatura equivalente e della figura di rumoredi una rete passiva valgono

Teq = Ti (1G

G

)= Ti (A 1) (3.18)

F = 1 +TeqTi

= 1 + A 1 = A (3.19)

3.1.5 Formule di Friis

Se piu` dispositivi due porte sono posti in cascata, figura 3.6, e` noto che ilguadagno in potenza complessivo e` dato da

G =Ni=1

Gi. (3.20)

Si vuole determinare anche la temperatura equivalente e la figura di rumorecomplessiva di tutte rle reti due porte.


Consideriamo per il momento di avere soltanto due dispositivi e di estenderesuccessivamente i risultati ottenuti ad N dispostivi. Con due dispositivi,figura 3.6, vale

Tu1 = G1 (Ti + Teq1)Tu2 = G2 (Tu1 + Teq2)Tu2 = G1G2 (Ti + Teq)

(3.21)

da cui

Figura 3.6: Due dispositivi due porte in cascata

Tu2 = G2(G1(Ti+Teq1)+Teq2) = G1G2Ti+G1G2Teq1+G2Teq2 = G1G2(Ti+Teq)(3.22)

e quindi

Teq = Teq1 +Teq2G1

(3.23)

con la figura di rumore complessiva

F = F1 +F2 1G1

. (3.24)

Dalle due equazioni determinate si osserva che se il dispositivo a monte e`una rete passiva, G = 1/A < 1, il secondo termine della somma puo` crescereproporzionalmente in funzione di A. Per limitarne gli effetti viene posto amonte di un attenuatore, se possibile, un amplificatore a basso rumore (LNA)in modo da ridurre la rumorosita` complessiva del sistema.Estendendo i risultati ad N dispositivi, figura 3.7 , si ottengono le formuledi Friis

Teq = Teq1 +Ni=2

Teqii1j=1Gj

= Teq1 +Teq2G1

+Teq3G1G2

+ ... (3.25)

F = F1 +Ni=2

Fi 1i1j=1Gj

= F1 +F2 1G1

+F3 1G1G2

+ .... (3.26)


Figura 3.7: N dispositivi due porte in cascata

3.1.6 Temperatura di Sistema

In un sistema con N dispositivi due porte la temperatura di sistema e` definitaallingresso del primo dispositivo come

Tsist1 = Ti + Teq (3.27)

mentre allingresso del secondo dispositivo

Tsist2 = G1 Tsist1 (3.28)

allingresso del terzo dispositivo

Tsist3 = G2 Tsist2 = G2G1 Tsist1 (3.29)

e cos` via...La temperatura di sistema e` utile nel calcolo del rapporto segnale rumore inuscita a tutti i dispositivi in quanto

SNRu = SNRi|Ti=Tsist1 (3.30)

cioe` utilizzando la temperatura di sistema il SNR si mantiene costante eduguale a quello di uscita.

3.1.7 Rumore nei Ripetitori

Analizziamo il problema con riferimento ad un collegamento radio, anche se latrattazione puo` essere estesa ad altre tecniche trasmissive. Supponiamo che ilcollegamento da effettuare tra la stazione trasmittente e la stazione riceventesia molto lungo, tanto da impedirne la realizzazione mediante ununica tratta,o a causa delleccessiva attenuazione disponibile, oppure per la mancanza dicondizioni di visibilita`. In questo caso e` necessario suddividere il collegamentoin piu` tratte (consideriamo M tratte). Tra ogni coppia di tratte si trova unripetitore,che puo` essere non rigenerativo oppure rigenerativo.


Ripetitori non rigenerativiNel caso di ripetitori non rigenerativi il segnale tra una tratta ed unal-tra viene semplicemente amplificato. Di solito lamplificatore ha unguadagno tale da compensare le perdite dellattenuatore, Gamp = Aatt.Nel caso in cui si utilizzi per la trasmissione una modulazione analogica,il SNR complessivo e` il seguente

SNR =1N

i=11

SNRi

(3.31)

dove SNRi e` il rapporto segnale-rumore ottenuto su ogni singola tratta.Per le modulazioni digitali invece il rapporto energia per bit su densita`spettrale di potenza media monolatera e`

EbN0

=1N

i=11

EbN0|i

(3.32)

Ripetitori rigenerativiNei ripetitori rigenerativi il segnale non soltanto viene amplificato,ma anche demodulato. In particolare vengono eseguite le seguentioperazioni:

1. Il segnale e` amplificato con un amplificatore a basso rumore;

2. Successivamente e` demodulato;

3. Elaborato e rimodulato ad una frequenza f2 diversa dalla frequen-za di arrivo f1 per non generare interferenza;

4. Amplificato con un amplificatore ad elevato guadagno in potenza.

Nel caso di modulazioni digitali la probabilita` di errore puo` essereapprossimata con la seguente espressione

Pe =Ni=1

Pei (3.33)

dove Pei sono le probabilita` di errore calcolate su singola tratta.

3.2 Rumore Shot

Il rumore shot e` causato da dispositivi elettronici o fotoelettronici quali diodio fotodiodi; leffetto che si ottiene da un punto di vista circuitale e` che la


corrente non ha un andamento deterministico ma e` soggetta anche ad unacomponente aleatoria

iN(t) = I0 + i(t) (3.34)

Tale rumore si presenta quando la corrente che fluisce in un determinatodispositivo e` costituita da portatori discreti, che vengono emessi in istanticasuali e si muovono liberamente per un certo tratto prima di essere raccol-ti. La condizione, in sostanza, e` che ciascun elettrone, sotto lazione di uncampo elettrico, attraversi lo spazio compreso fra gli elettrodi conservandola sua individualita`, senza cioe` che avvengano collisioni o ricombinazioni conaltri portatori di carica. Il caso tipico che illustra questo comportamento e`quello di un diodo a vuoto: gli elettroni vengono emessi dallanodo per effettotermoionico in istanti casuali, si muovono nello spazio fra gli elettrodi con unmoto di deriva uniformemente accelerato e poi vengono raccolti al catodo.Questo meccanismo shot viene definito di tipo macroscopico, poiche` e` possi-bile separare nettamente lemissione dei portatori ed il moto libero. Anche ilrumore che ha origine nella zona di giunzione in un diodo a semiconduttoree` dello stesso tipo.La densita` spettrale di potenza media di tale corrente rumorosa detta gra-nulare e`

Pi,i(f) = qI0 (3.35)

dove q e` la carica di Coloumb, q = 1.59 1019.La potenza media di rumore e` quindi Pi = qI0 2B

3.3 Rumore Flicker

E un rumore presente nei semiconduttori e in alcuni tipi di resistori. Adifferenza del rumore termico e del rumore shot che sono rumori bianchi, ilrumore flicker presenta la seguente densita` spettrale di potenza media

Pi,i(f) =aI20|f | (3.36)

Esso compare in modo significativo a frequenze molto basse (al di sotto delladecina di hertz) e la sua densita` spettrale cresce al diminuire della frequenza.Il rumore flicker e` legato a fenomeni provvisti di un certo grado di memo-ria. Infatti, landamento dello spettro, che cresce andando verso le bassefrequenze, ci dice che due misure successive di una grandezza affetta da ru-more flicker sono fra loro correlate. In sostanza, anche se in modo piuttostoapprossimativo, possiamo dire che la frequenza dei disturbi di questo tipo e`inversamente proporzionale alla loro intensita`. Questo fatto, daltra parte,


non e` certo sorprendente se si suppone che il sistema sia dotato di una certamemoria, infatti, un disturbo piu` intenso lascia una traccia piu` duratura.Il rumore flicker, inoltre, e` estremamente dannoso per le misure di precisione.Infatti, se non esistesse il rumore flicker, sarebbe possibile ottenere misureaccurate a proprio piacimento semplicemente allungando il tempo di osser-vazione.Vale la pena ricordare che questo rumore compare in una serie di fenomeniestremamente disparati: non solo le fluttuazioni di resistenza nei materialisemiconduttori, ma anche il battito cardiaco, il flusso delle correnti oceani-che, le oscillazioni dellasse terrestre, il flusso della sabbia che scende in unaclessidra, ecc...

Capitolo 4

Modulazioni di Ampiezza

Loperazione di modulazione viene generalmente effettuata sul segnale infor-mativo prima di trasmetterlo nel canale di comunicazione e ha lo scopo ditrasformare il segnale stesso in una forma piu` adatta per la sua trasmissionea distanza.La modulazione consiste nel far variare le caratteristiche di un segnale sinu-soidale, detto portante, in funzione del segnale informativo s(t), detto segnalemodulante. Le modulazioni si distinguono in modulazioni analogiche e mo-dulazioni digitali ; le prime sono utilizzate per trasmettere segnali analogici,mentre le seconde segnali digitali. In questo capitolo e nel prossimo sarannodescritte le principali tecniche di modulazione per i segnali analogici, mentrenel capitolo 6 saranno descritte le modulazioni digitali.Indichiamo con s(t) il segnale informativo da trasmettere; s(t) prende il nomedi segnale modulante. Consideriamo quindi un segnale sinusoidale v(t) conampiezza V0, frequenza f0 e fase 0, cioe`:

c(t) = V0cos(2pif0t+ 0) (4.1)

Il segnale c(t) rappresenta la portante ed il processo di modulazione consistenel far variare lampiezza V0, la frequenza f0 e la fase della portante in fun-zione del segnale modulante s(t).In questo capitolo sono descritti diversi tipi di modulazione di ampiezza,in cui cioe` lampiezza del segnale trasmesso varia in modo proporzionale alsegnale modulante, mentre la frequenza e la fase rimangono costanti. Persemplicita` consideriamo successivamente 0 = 0. Nel capitolo 5 saranno in-vece descritte le modulazioni di frequenza e di fase, in cui la frequenza o lafase del segnale trasmesso variano proporzionalmente al segnale modulante,mentre lampiezza rimane costante.

33


4.1 Modulazione AM

4.1.1 Caratteristiche del segnale AM

Una tecnica di modulazione di ampiezza molto utilizzata nelle applicazionipratiche e` quella indicata con il termine AM (Amplitude Modulation). Datoil segnale modulante s(t), il segnale modulato AM puo` essere espresso nellaseguente forma:

y(t) = V0[1 + k s(t)]cos(2pif0t) (4.2)dove k e` una costante tale che

|k s(t)| 1 (4.3)Con m viene indicato lindice di modulazione AM ed e` cos` definito

m = k max|s(t)|. (4.4)Nel caso in cui m 1, il termine V0[1 + k s(t)] e` sempre positivo. Si defi-nisce inviluppo superiore del segnale y(t) la curva che unisce i valori assuntidal segnale y(t) in corrispondenza degli istanti in cui c(t) = V0, mentre sidefinisce inviluppo inferiore la curva che unisce i valori del segnale y(t) incorrispondenza agli istanti in cui c(t) = V0. Nel caso in cui m 1 linvi-luppo superiore e` sempre positivo, mentre linviluppo inferiore risulta semprenegativo o uguale a 0. Il motivo per cui m deve essere minore o uguale a 1risulta chiaro anche dei segnali rappresentati nella figura 4.1. La portante(4.1) e` mostrata nella figura 4.1(a) ed il segnale modulante s(t), suppostodi tipo sinusoidale, e` mostrato nella figura 4.1(b). Nella figura 4.1(c) vienerappresentato il segnale modulato y(t) nel caso in cui m = 0.7, mentre il ca-so m = 1 e` rappresentato in figura 4.1(d). Come si puo` osservare da questefigure linviluppo superiore ed inferiore del segnale modulato sono proporzio-nali al segnale modulante, per cui s(t) puo` essere correttamente recuperatodallinviluppo. Questa proprieta` sara` particolarmente utile per effettuare lademodulazione di y(t) e quindi per il recupero del segnale modulante. Nellafigura 4.1(e) e` mostrato il caso in cui m = 1.3. Linviluppo superiore e quellosuperiore interferiscono luno con laltro ed in questo caso non e` piu` possibilerecuperare il segnale modulante dallinviluppo (condizione valida per tutti ivalori di m > 1). Nel caso in cui m = 1 si dice che il segnale e` modulato al100% mentre quando m > 1 si ha sovramodulazione.

4.1.2 Spettro del segnale AM

Lo spettro di un segnale modulato AM puo` essere facilmente calcolato infunzione di quello del segnale modulante s(t). Supponiamo che s(t) abbia


Figura 4.1: Modulazione AM: a) portante; b) segnale modulante; c) segnale AM conm = 0.7; d) segnale AM con m = 1; e) segnale m = 1.3


uno spettro S(f) tra (B,B), come e` schematicamente mostrato in figura4.2(a). Essendo s(t) un segnale reale, si ha:

s(t) = 2

B0

|S(f)|cos(2pif0t(f))df (4.5)

dove S(f) e (f) rappresentano rispettivamente lo spettro di ampiezza e difase di S(f). Il segnale modulato AM, y(t), puo` essere scritto nella forma:

y(t) = V0cos(2pif0t)+kV0 B0

|S(f)|[cos(2pi(f+f0)t(f))+cos(2pi(ff0)t(f))

]df.

(4.6)Lo spettro del segnale AM e` quindi costituito (analizzando le sole frequenzepositive) da una delta di dirac a frequenza f0 con un valore pari a

V02e da

due bande laterali, superiore ed inferiore, come mostrato schematicamente infigura 4.2(b). La banda di tramissione necessaria a trasmettere un segnaleAM e` quindi 2B, essendo B la massima frequenza del segnale s(t).

Figura 4.2: Spettro del segnale AM: a) spettro del segnale modulante; b) spettro delsegnale AM

4.1.3 Potenza del segnale modulato AM

La potenza media, Ptx, necessaria per trasmettere un segnale modulato AMdipende dal segnale modulante. Applicando la definizione di potenza di un


segnale, si ha:

Ptx =V 202

[1 + k2 s2(t) + 2k s(t)

]. (4.7)

purche` f0 >> 2B.In molte applicazioni il valor medio s(t), cioe` s(t), e` uguale a 0, per cui:

Ptx =V 202

[1 + k2 Pm

](4.8)

dove Pm = s2(t) rappresenta la potenza del segnale modulante s(t). Essendom 1, il termine k2 Pm risulta minore o uguale ad 1, per cui la potenzaspesa per trasmettere la portante risulta maggiore di quella utilizzata pertrasmettere le due bande laterali, che rappresentano il segnale informativoutile per lutente.EsempioSe il segnale modulante e` sinusoidale s(t) = Vmcos(2pifmt) allora la potenzadel segnale trasmesso in AM e` uguale a

Ptx =V 202

+k2V 2mV

20

4(4.9)

essendo Pm =V 2m2.

4.1.4 Modulatori AM

Lo schema di principio di un modulatore AM e` mostrato nella figura 4.3(a) eprende il nome di modulatore quadratico, cioe` un dispositivo in cui il segnaledi uscita v2(t) puo` essere rappresentato in funzione di quello di ingresso v1(t)nella seguente forma:

v2(t) = a1v1(t) + a2v21(t) (4.10)

dove a1 e a2 sono due costanti: la caratteristica del dispositivo quadratico e`mostrata nella figura 4.3(b). Nel nostro caso si ha:

v1(t) = V0cos(2pif0t) + s(t). (4.11)

Il segnale alluscita del dispositivo quadratico puo` essere scritto nella forma:

v2(t) =[a1s(t)+a2s

2(t)+a2V

20

2

]+a2V

20

2cos(4pif0t)+a1V0

[1+

2a2a1s(t)

]cos(2pif0t)

(4.12)Se B e` la massima frequenza contenuta in s(t), s2(t) occupa una banda tra(2B, 2B), per cui il segnale alluscita del filtro passa-banda centrato su f0risulta:

y(t) = a1V0

[1 +

2a1a2

s(t)]cos(2pif0t) (4.13)

da cui si ottiene lespressione del segnale modulato in AM posto k = 2a2a1.


Figura 4.3: Modulatore AM: a) schema a blocchi del modulatore; b) caratteristica deldispositivo non lineare

4.1.5 Demodulatori AM

Loperazione di demodulazione viene generalmente effettuata al ricevitoreper recuperare dal segnale ricevuto il segnale informativo s(t). La modula-zione AM presenta il vantaggio di richiedere circuiti di demodulazione moltosemplici. Esistono due tipi di demodulatori:

Con recupero della portante (f0)Lo schema di demodulazione e` riportato in figura 4.4. Com e` si os-serva per demodulare correttamente il segnale e` necessario conoscereesattamente la frequenza e la fase della portante c(t). Una volta notail segnale ricevuto e` moltiplicato per cos(2pif0t) cos` da ottenere:

v(t) = cos(2pif0t) y(t) = V02(1 + k s(t))(1 + cos(4pif0t)) (4.14)

Il segnale v(t) e` successivamente filtrato passa-basso e dal segnale filtra-to e` sottratto il termine V0

2in modo da ottenere il segnale modulante:

u(t) = (v(t)

hlp(t)) V02=V02(1+k s(t)) V0

2=V02k s(t) (4.15)

Senza recupero della portante (f0)Il circuito piu` utilizzato per demodulare un segnale AM e` quello mo-strato nella figura 4.5(a), che prende il nome di rivelatore di inviluppo.Tale circuito e` formato da un diodo, che viene polarizzato in modo dalasciar passare soltanto le semionde positive (oppure quelle negative)


Figura 4.4: Demodulatore AM con recupero della portante

del segnale modulato. La capacita` del condensatore, C, si carica se-guendo landamento delle semionde positive; quando lampiezza dellasemionda diminuisce, il condensatore tende a scaricarsi sulla resistenzaR, per cui anche la tensione ai capi di C tende a diminuire. Tutta-via, scegliendo opportunamente il valore della costante di tempo RC,si puo` fare in modo che la capacita` si scarichi lentamente. Quando lasuccessiva semionda del segnale torna a crescere, la tensione ai capi delcondensatore e` diminuita di poco. In questo modo la tensione ai capidel condensatore segue approssimativamente landamento dellinvilup-po del segnale modulato. Alcuni esempi sono mostrati nella figura 4.5.Il segnale ricostruito mediante il rivelatore di inviluppo e` distorto ri-spetto al segnale s(t). La distorsione dipende dalla scelta della costantedi tempo RC. Se RC e` troppo grande, il demodulatore non riesce ariprodurre in modo corretto rapide variazioni presenti nel segnale mo-dulante; al contrario se e` troppo piccolo, il condensatore si scarica rapi-damente durante i periodi di semionda negativi ed il segnale riprodottopresenta forti distorsioni. In generale occorre scegliere RC in modo taleche:

1

f0


Figura 4.5: Demodulatore AM: a) demodulatore AM di inviluppo; b), c) e d) esempi disegnali modulati per diversi valori di RC

Per il segnale modulato AM, il rivelatore di inviluppo quindi recupera, seben progettato, il segnale

R(t) = |V0(1 + k s(t))|. (4.19)

4.1.6 Rapporto segnale-rumore nella modulazione AM

Loperazione di demodulazione influenza il rapporto segnale/rumore, SNR,il quale caratterizza la qualita` del segnale ricevuto e quindi del sistema di co-municazione. Il calcolo di SNR e` spesso difficile da effettuare in modo esatto:per questo motivo sara` considerato un rumore AWGN visto che rappresentail tipo di rumore piu` semplice da analizzare. Infatti, come noto, i valori dirumore in istanti temporali diversi risultano essere incorrelati.Consideriamo il segnale modulato AM secondo leq.(4.2). Il segnale ricevutopuo` essere cos` scritto:

r(t) = y(t) + n(t) (4.20)

dove n(t) rappresenta il rumore introdotto dal sistema di comunicazione chesupporremo AWGN con densita` spettrale di potenza media bilatera uguale


a N02. Il rumore allingresso del demodulatore risulta essere limitato in ban-

da dopo aver attraversato numerosi stadi di amplificazione e conversione difrequenza. Nel seguito si suppone che la banda occupata dal segnale rice-vuto r(t) sia coincidente con quella del segnale modulato. Lo schema delricevitore puo` quindi essere considerato quello mostrato nella figura 4.6(a).Il filtro passa-banda, supposto ideale, serve per limitare lo spettro del se-

gnale ricevuto e quindi anche del rumore nella banda[f0 Btx2 , f0 + Btx2

],

dove Btx rappresenta la banda del ricevitore, figura 4.6(b). Utilizzando la

Figura 4.6: Circuito di demodulazione AM considerato per il calcolo del rapportosegnale-rumore: a) schema del ricevitore; b) funzione caratteristica del filtro passa-banda

rappresentazione a banda stretta del rumore, e` possibile scrivere:

r(t) =[V0(1 + k s(t)) + a(t)

]cos(2pif0t) b(t)sen(2pif0t) (4.21)

dove a(t) e b(t) sono le componenti in fase e quadratura del rumore (due se-gnali aleatori scorrelati, a media nulla, con densita` di probabilita` gaussianae densita` spettrale di potenza media uguale ad N0 nella banda (B,B).Per valutare leffetto delloperazione di demodulazione sulla qualita` del se-gnale, conviene confrontare il SNR alluscita del demodulatore con quelloallingresso del demodulatore. Tale rapporto prende il nome di fattore dimerito:

Fm =SNRuSNRi

(4.22)

e misura quanto il rapporto SNR alluscita del demodulatore migliora o peg-giora rispetto al SNR allingresso del demodulatore.


Il calcolo della potenza del segnale nelleq.(4.21) non e` semplice a causa deitermini misti in cui compare sia il segnale che il rumore. Per questo motivoil SNR viene determinato considerando le seguenti ipotesi:

1. la potenza del segnale utile e` calcolata in assenza di rumore, cioe` n(t) =0;

2. la potenza del rumore e` calcolata in assenza di segnale utile, cioe` y(t) =0;

3. La potenza media del rumore allingresso del demodulatore e` calcolatanella banda del segnale modulante (B,B) in modo tale da ottenereuna misura indipendente dalla banda di trasmissione.

In queste ipotesi la potenza del segnale utile, per la modulazione AM, allin-gresso del demodulatore risulta, come determinato gia` nelleq.(4.8)

Si =V 202

[1 + k2 Pm

](4.23)

La potenza media del rumore allingresso del demodulatore AM risulta ugualea

Ni =

BB

Pn,n(f)df =

BB

N02df = N0B (4.24)

Il SNR allingresso del demodulatore AM risulta cos` uguale a

SNRi =V 20

[1 + k2 Pm

]2N0B

(4.25)

Un demodulatore AM ideale recupera il segnale ks(t). In presenza di rumore,il segnale alluscita di un demodulatore AM ideale risulta uguale a:

r(t) = V0k s(t) + a(t). (4.26)

In assenza di rumore il segnale r(t) ha una potenza uguale a

Su = V20 k

2s2(t) (4.27)

mentre per la potenza media di rumore, annullando il segnale utile, si ottiene

Nu =

BB

Pa,a(f)df =

BB

N0df = 2N0B (4.28)


considerando la densita` spettrale di potenza media della componente in fase

(e quadratura) uguale a Pa,a(f) = Pb,b(f) = N0rect(

f2B

).

Il SNR alluscita del demodulatore e` cos` uguale a

SNRu =V 20 k

2s2(t)

2N0B. (4.29)

Combinando le eq.(4.25) e (4.29), la Fm del demodulatore AM risulta ugualea

Fm =SNRuSNRi

=k2s2(t)

1 + k2s2(t)=

k2Pm1 + k2Pm

(4.30)

per cui Fm < 1 e quindi il SNRu e` sempre minore allSNRi. Si puo` con-cludere quindi affermando che il processo di demodulazione AM degrada laqualita` del segnale ricevuto.EsempioSi consideri il segnale modulante sinusoidale. Dato m = k Vm e la potenzaPm =

V 2m2, si ottiene

Fm =m2

2 +m2. (4.31)

Considerando che 0 m 1, il massimo valore di Fm per un segnale sinu-soidale in una modulazione AM si verifica quando m = 1 e risulta uguale aFm =

13.

4.2 Modulazione DSB

4.2.1 Caratteristiche del segnale DSB

Come abbiamo visto in precedenza, nella modulazione AM classica una no-tevole parte della potenza generata dal trasmettitore viene utilizzata pertrasmettere la portante a frequenza f0. Tuttavia, tale portante non contienenessuna informazione relativa al segnale modulante, per cui si puo` evitare ditrasmetterla. In queto caso si ottiene una modulazione di ampiezza a doppiabanda laterale con la portante soppressa, indicata generalmente con la siglaDSB (Double Side Band).Dato il segnale modulante, il segnale modulato DSB e`:

y(t) = V0s(t)cos(2pif0t) (4.32)

Nella figura 4.7(a) viene mostrata la portante e nella figura 4.7(b) un segnalemodulante di tipo sinusoidale. Il segnale modulato DSB corrispondente e`


mostrato nella figura 4.7(c). Come si puo` notare linviluppo superiore delsegnale non e` piu` distinto da quello inferiore, per cui non sara` possibilerecuperare correttamente il segnale dellinviluppo del segnale modulato, alcontrario di quanto non accade nella modulazione AM classica.

Figura 4.7: Segnale DSB: a) portante; b) segnale modulante; c) segnale modulato

4.2.2 Spettro del segnale DSB

Lo spettro Y (f) del segnale DSB puo` essere calcolato facilmente utilizzandoalcune proprieta` della trasformata di Fourier. Dalleq.(4.32) si ottiene:

Y (f) =V02[S(f f0) + S(f + f0)] (4.33)

dove S(f) e` lo spettro del segnale modulante. Come esempio, lo spettroS(f) del segnale modulante e` mostrato nella figura 4.8(a), mentre lo spettro


Y (f) del segnale DSB corrispondente e` rappresentato nella figura 4.8(b). Lospettro Y (f) di un segnale DSB differisce da quello di un segnale AM per lamancanza delle due delta di dirac centrate a frequenza f0 e f0. La bandadi trasmissione di un segnale DSB e` uguale alla banda di trasmissione di unsegnale AM, cioe` Btx = 2B.

Figura 4.8: Spettro di un segnale DSB: a) spettro del segnale modulante; b) spettro delsegnale DSB

4.2.3 Potenza di un segnale DSB

La potenza di un segnale DSB puo` essere calcolata facilmente dalleq.(4.32)e risulta uguale a :

Ptx =V 20 s

2(t)

2=V 20 Pm2

(4.34)

Tutta la potenza Ptx viene utilizzata per trasmettere le due bande laterali.EsempioDato un segnale modulante sinusoidale, il segnale DSB risulta:

y(t) = V0Vmcos(2pifmt)cos(2pif0t) =V0Vm2

cos(2pi(f0fm)t)+V0Vm2

cos(2pi(f0+fm)t).

(4.35)La potenza richiesta a trasmettere questo segnale e`:

Ptx =V 20

V 2m2

2=V 20 V

2m

4. (4.36)


4.2.4 Modulatore DSB

La modulazione DSB e` ottenuta effettuando semplicemente il prodotto tra ilsegnale modulante s(t) e la portante. Lo schema del modulatore prodotto e`mostrato nella figura 4.9.

Figura 4.9: Modulatori DSB: a) modulatore prodotto; b) modulatore bilanciato

4.2.5 Demodulatore DSB

Il segnale DSB non puo` essere demodulato mediante circuiti a rivelazionedi inviluppo, come nel caso del segnale AM. In questo caso e` necessariorigenerare al ricevitore la portante utilizzata dal trasmettitore, ricostruendoin modo esatto sia la fase, sia la frequenza (demodulazione coerente).Lo schema generale di un demodulatore DSB e` mostrato nella figura 4.10.Il segnale ricevuto viene moltiplicato per la portante ricostruita al ricevitoree filtrato mediante un filtro passa-basso. Nel caso in cui la frequenza e lafase del segnale generato in ricezione dalloscillatore locale sia uguale a quellagenerata dal trasmettitore, il segnale z(t) dopo il moltiplicatore risulta:

z(t) =V02s(t)[1 + cos(4pif0t)] (4.37)

per cui il segnale z(t) dopo loperazione di filtraggio passa-basso e`

z(t) =

V02s(t) (4.38)

che risulta proporzionale al segnale modulante s(t). Il precedente demodula-tore funziona correttamente nel caso in cui il ricevitore ricostruisce perfetta-mente la fase e la frequenza della portante. Nel caso in cui questa condizione


Figura 4.10: Demodulatore DSB

non sia verificata, il segnale recuperato z(t) risulta distorto. Supponiamo ad

esempio che la portante ricostruita c(t) ricostruita al ricevitore sia

c(t) = cos(2pi(f0 +f)t+ ) (4.39)

dove f e rappresentano rispettivamente la differenza di frequenza e difase tra la portante generata al trasmettitore e quella al ricevitore. In questocaso si ottiene

z(t) =V02s(t)cos(2pift+ ) (4.40)

per cui il segnale modulante non e` recuperato correttamente. Ad esempiose 2pift + = pi

2il segnale alluscita del demodulatore risultera` nullo indi-

pendentemente dal segnale trasmesso. Per eliminare questi inconvenienti sipossono utilizzare opportuni circuiti per il recupero della portante.

4.2.6 Rapporto Segnale/Rumore in una modulazioneDSB

Nel caso di una modulazione DSB, il segnale ricevuto in presenza di rumorepuo` essere scritto nella forma:

r(t) = V0s(t)cos(2pif0t) + n(t). (4.41)

Rappresentando il rumore nella sua forma a banda stretta si ottiene:

r(t) =[V0s(t) + a(t)

]cos(2pif0t) b(t)sen(2pif0t). (4.42)


La potenza Si del segnale allingresso del demodulatore risulta:

Si =V 20 s

2(t)

2=V 202Pm (4.43)

La potenza di rumore Ni e` ancora determinata dalleq(4.24), per cui il SNRie` uguale a

SNRi =V 20 s

2(t)

2N0B=V 20 Pm2N0B

. (4.44)

La demodulazione viene effettuata mediante il circuito della figura 4.10. Ilsegnale ricevuto e` moltiplicato per la portante rigenerata al ricevitore e fil-trato mediante un filtro passa-basso. Il segnale alluscita del demodulatorez(t) risulta:

z(t) =

V0s(t)

2+a(t)

2. (4.45)

Per cui la potenza del segnale in assenza di rumore e`

Su =V 20 s

2(t)

4=V 20 Pm4

(4.46)

mentre la potenza media di rumore e`

Nu =

BB

N04df =

1

2N0B (4.47)

da cui il SNRu e` uguale a

SNRu =

V 20 Pm4

12N0B

=V 20 Pm2N0B

. (4.48)

Si osserva che SNRu = SNRi quindi per la modulazione DSB la figura dimerito vale

Fm = 1 (4.49)

cioe` loperazione di demodulazione non cambia il SNR.

4.3 Modulazione SSB

4.3.1 Caratteristiche del segnale SSB

Nella modulazione AM come in quella DSB sono trasmesse ambedue le ban-de laterali. Queste tecniche richiedono una banda di trasmissione doppiarispetto a quella del segnale modulante.


La modulazione a singola banda laterale, indicata brevemente con la siglaSSB (Single Side Band), richiede per la trasmissione del segnale s(t) unabanda B, cioe` uguale a quella del segnale modulante s(t) stesso e rappre-senta, da questo punto di vista la modulazione ottima. Un segnale SSB puo`

Figura 4.11: Spettro di un segnale SSB: a) spettro del segnale modulante; b) spettro delsegnale SSB nel caso in cui venga scelta la banda laterale superiore; c) spettro del

segnale SSB nel caso in cui venga scelta la banda laterale inferiore

essere rappresentato nella forma:

y(t) = V0s(t)cos(2pif0t) V0s(t)sen(2pif0t) (4.50)

dove s(t) rappresenta la trasformata di Hilbert di s(t). Scegliendo il segno si ottiene la sola banda superiore, mentre con il segno + viene selezionata labanda inferiore. Nel calcolo dello spettro del segnale SSB con soppressione


della banda inferiore, si puo` facilmente dimostrare che:

Y (f) =V02S(f+f0)[1+segn(f+f0)]+

V02S(ff0)[1+segn(ff0)] (4.51)

ponendo F{s(t)} = jsegn(f) S(f). Per cui si ha

Y (f) =

V0S(f + f0) per f < f0

0 per f0 < f < f0V0S(f f0) per f > f0

(4.52)

Dato un segnale modulato con lo spettro uguale a quello mostrato nella figura4.11(a), lo spettro del segnale y(t) e` rappresentato nella figura 4.11(b) nelcaso in cui si sopprime la banda inferiore, nel caso invece della soppressionedella banda superiore si ottiene lo spettro della figura 4.11(c).EsempioNel caso di un segnale modulante sinusoidale, lespressione del segnale SSBcon banda laterale inferiore soppressa e`

y(t) = V0Vmcos(2pifmt)cos(2pif0t)V0Vmsin(2pifmt)sen(2pif0t) = V0Vm2

cos(2pi(f0+fm)t)

(4.53)

4.3.2 Modulatori SSB

Un segnale SSB puo` essere generato utilizzando due diversi schemi che sonobasati sulla descrizione in frequenza o nel tempo dei segnali SSB. Questi sche-mi sono indicati con il nome di discriminatori di frequenza e discriminatoridi fase. In questo paragrafo saranno descritte brevemente le caratteristicheprincipali di tali modulatori.

Il modo piu` ovvio da un punto di vista concettuale di generare un se-gnale SSB e` quello ottenuto partendo da un segnale DSB in cui vieneeliminata una banda laterale, inferiore o superiore, mediante unopera-zione di filtraggio passa-banda. In questo caso lo schema del demodu-latore SSB e` quello mostrato in figura 4.12. In linea di principio questoschema di modulazione SSB e` molto semplice. Tuttavia, la realizzazio-ne del filtro passa-banda, richiesto per eliminare una delle due bandelaterali, puo` porre notevoli problemi da un punto di vista pratico. Ilfiltro passa-banda deve avere una banda di transizione minore o ugualea 2fm, cioe` uguale al doppio della minima frequenza contenuta nel se-gnale modulante 4.13(b). Questo modulatore richiede percio` in molti


Figura 4.12: Modulatore SSB ottenuto da un modulatore DSB

casi lutilizzo di filtri notevolmente selettivi, che possono essere difficilio costosi da realizzare. Per facilitare loprazione di filtraggio passa-banda nel caso in cui fm sia piccola, si preferisce spesso effettuare lamodulazione SSB mediante due o piu` operazioni successive di modula-zione, come mostrato schematicamente nella figura 4.13(a). In questocaso il segnale s(t), il cui spettro e` mostrato nella figura 4.13(b), subi-sce una prima operazione di modulazione DSB a frequenza intermediaf1 0. Ledue bande laterali sono separate da una banda di transizione ugualea 2(f1 + fm) e quindi sufficientemente grande da poter utilizzare filtrireali per eliminare una delle due bande laterali. Lo spettro del segnaleSSB, supponendo di utilizzare la banda laterale superiore in ambeduele operazioni di conversione di frequenza, e` mostrato nella figura 4.13(e)per f > 0.

Un altro possibile schema di un modulatore SSB puo` essere ottenu-to considerando lespressione delleq.(4.50) e viene mostrato in figura4.14. Tale modulatore, detto modulatore di Hartley, consente di otte-nere direttamente il segnale SSB senza richiedere nessuna operazionedi filtraggio passa-banda. Esso risulta composto da due modulatoriprodotto, che operano in parallelo su s(t) e sulla trasformata di Hilbert


Figura 4.13: Modulatore SSB mediante due operazioni di modulazione DSB: a) schemadel demodulatore; b) spettro del segnale modulante; c) spettro del segnale modulatodopo la prima operazione di modulazione; d) spettro del segnale DSB dopo la secondaoperazione di modulazione; spettro del segnale SSB; e) spettro del segnale SSB sulle sole

frequenze positive

di s(t), s(t). Il precedente circuito puo` essere utilizzato per qualunquesegnale s(t) e quindi anche segnali con componente continua o vicinaalla continua, che invece non possono essere modulati SSB mediante loschema precedente a causa delloperazione di filtraggio passa-banda.Da un punto di vista pratico lelemento piu` critico nel modulatore di


Hartley e` rappresentato dal blocco che determina s(t). Effettuare latrasformata di Hilbert significa sfasare di pi

2tutte le frequenze positive

di s(t) e contemporaneamente non introdurre distorsioni di ampiez-za. Poiche` lo spettro di s(t) e` spesso ampio, puo` non essere semplicerealizzare un dispositivo che soddisfi queste condizioni.

Figura 4.14: Modulatore di Hartley

4.3.3 Demodulatori SSB

La demodulazione di un segnale SSB puo` essere effettuata mediante il cir-cuito di figura 4.10, gia` utilizzato per la demodulazione di segnali DSB. Ilsegnale z(t) dopo loperazione di moltiplicazione con la portante rigenerataal ricevitore puo` essere scritto

z(t) =V02s(t) +

V02[s(t)cos(4pif0t) + s(t)sen(4pif0t)] (4.54)

per cui il segnale z(t) dopo loperazione di filtraggio passa-basso risulta

z(t) =

V02s(t). (4.55)

Il segnale z(t) e` quindi proporzionale al segnale modulante s(t).

Come nel caso della demodulazione DSB, occorre che la portante ricostruitaal ricevitore abbia la stessa fase e frequenza di quella del trasmettitore perevitare lintroduzione di distorsioni. Supponiamo ad esempio che il ricevitorericostruisca la portante v

(t) data nelleq.(4.39). In questo caso si ha:

z(t) =V04[s(t)cos(2pift+ ) + s(t)sen(2pif + )] (4.56)


per cui il segnale di uscita e` una combinazione del segnale informativo s(t)e della sua trasformata di Hilbert s(t). Per ovviare a questo inconvenientesi utilizza generalmente un circuito per il recupero della portante, che sara`descritto successivamente.

4.3.4 Rapporto Segnale/Rumore per una modulazioneSSB

Un segnale modulato SSB, y(t), puo` essere scritto nella forma delleq.(4.50).La trasformata di Hilbert s(t) del segnale s(t) ha una densita` spettrale dipotenza uguale a quella di s(t), come si dimostra utilizzando la definizionedi densita` spettrale di potenza Pbs,bs(f) = | j segn(f)|2Ps,s(f) = Ps,s(f).Inoltre i segnali s(t) e s(t) sono scorrelati.Consideriamo il caso del segnale SSB con soppressione della banda inferio-re. La potenza del segnale allingresso del demodulatore SSB, in assenza dirumore risulta

Si =V 202s2(t) +

V 202s2(t) =

V 202s2(t) +

V 202s2(t) = V 20 s

2(t) = V 20 Pm. (4.57)

La potenza del rumore allingresso e` ancora esprimibile mediante leq.(4.24).Il SNRi risulta cos`

SNRi =V 20 s

2(t)

N0B. (4.58)

Valutiamo adesso il SNRu. La banda del segnale modulato SSB e` ugualea B, per cui la banda risulta centrata sulla frequenza f0 +

B2, avendo sup-

posto di trasmettere la banda laterale superiore; il rumore n(t) nella suarappresentazione a banda stretta puo` essere cos` scritto

n(t) = a(t)cos

[2pi

(f0 +

B

2

)t

] b(t)sin

[2pi

(f0 +

B

2

)t

](4.59)

La demodulazione del segnale viene effettuata mediante il demodulatore pro-dotto di figura 4.10. Il segnale z(t) dopo il moltiplicatore per cos(2pif0t) e ilfiltraggio passa-basso risulta:

z(t) =V02s(t) +

a(t)

2cos(piBt) +

b(t)

2sen(piBt). (4.60)

La componente s(t) viene eliminata dal demodulatore; tuttavia si puo` notareuna differenza rispetto ai demodulatori AM e DSB: ambedue le componentidel rumore, quella in fase e quella in quadratura, influenzano il segnale de-modulato, contrariamente ai casi precedenti in cui soltanto la componente in


fase a(t) contribuiva al segnale di uscita.In assenza del rumore, la potenza del segnale demodulato risulta

Su =V 20 s

2(t)

4. (4.61)

Valutiamo la potenza del rumore in assenza del segnale. Posto:

x(t) = a(t)cos(piBt) (4.62)

la densita` spettrale di potenza media Px,x(f) risulta uguale a

Px,x(f) =1

4

[Pa,a

(f B

2

)+ Pa,a

(f +

B

2

)](4.63)

da cui si ottiene, come rappresentato in figura ??(c),

Px,x(f) =

{N04

per B f B0 altrimenti

(4.64)

La potenza media di rumore di x(t) e` uguale a Px =N042B = N0B

2e quindi

la potenza media del rumore alluscita del demodulatore

Nu =1

4Px +

1

4Px =

1

2Px =

N0B

4(4.65)

da cui SNRu

SNRu =

V 20 s2(t)

4N0B4

=V 20 s

2(t)

N0B= SNRi (4.66)

La figura di merito, Fm, e` uguale a 1 come nella modulazione DSB.

4.4 Modulazione vestigiale VSB

4.4.1 Caratteristiche del segnale VSB

La modulazione SSB richiede una banda di trasmissione uguale a quella delsegnale informativo. Tuttavia, come abbiamo visto in precedenza, la suarealizzazione puo` risultare alquanto critica. Il modulatore SSB richiede adesempio luso di filtri passa-banda notevolmente selettivi o di trasformatoridi Hilbert. Per ovviare a questi inconvenienti senza aumentare in modo signi-ficativo la banda di trasmissione si puo` utilizzare la modulazione con bandalaterale residua, VSB (Vestigial Side Band).


Consideriamo il caso in cui il segnale modulante s(t) abbia uno spettro di fre-quenze diverso da 0 nella regione (B,B), come mostrato in figura 4.15(a).Nella modulazione VSB una banda laterale (superiore o inferiore) viene tra-smessa completamente mentre laltra viene trasmessa soltanto in piccola par-te. Nella figura 4.15(b) viene mostrato lo spettro di un segnale VSB. Lalarghezza della banda di trasmissione, Btx, in questo caso risulta

Btx = B + fv (4.67)

dove fv rappresenta la larghezza della banda residua, che generalmente vienescelta molto minore di B.

Figura 4.15: Spettro di un segnale VSB: a) spettro del segnale modulante; b) spettro delsegnale VSB

4.4.2 Modulatore VSB

Un segnale VSB puo` essere ottenuto da un segnale DSB mediante unoppor-tuna operazione di filtraggio passa-banda. Lo schema di un modulatore VSB


e` quindi quello mostrato nella figura 4.16. Indicando con H(f) la funzione

Figura 4.16: Schema di un modulatore VSB

di trasferimento del filtro passa-banda, lo spettro Y (f) del segnale alluscitadel modulatore e`

Y (f) =V02[S(f f0) + S(f + f0)]H(f). (4.68)

La funzione di trasferimento H(f) deve essere scelta in modo opportuno perpoter recuperare in ricezione il segnale s(t) senza distorsione. Le caratteri-stiche di tale filtro sono illustrate nel successivo paragrafo.

4.4.3 Demodulatore VSB

Lo schema generale di un demodulatore VSB e` mostrato nella figura 4.17.Supponendo di effettuare una demodulazione coerente, il segnale alluscitadel modulatore prodotto risulta uguale a

v(t) = y(t)cos(2pif0t) (4.69)

e il suo spettro e`

V (f) =1

2[Y (f + f0) + Y (f f0)]. (4.70)

Sostituendo nellequazione precedente il risultato delleq.(4.68), si ottiene:

V (f) =V04{S(f)[H(ff0)+H(f+f0)]+S(f2f0)H(ff0)+S(f+2f0)H(f+f0)}.

(4.71)Dopo il filtro passa-basso lo spettro V

(f) e` uguale a

V(f) =

V04{S(f)[H(f f0) +H(f + f0)]}. (4.72)


Figura 4.17: Schema di un demodulatore VSB

Per avere una riproduzione esatta del segnale s(t) occorre che V(f) sia uguale

a S(f) a parte una costante moltiplicativa e quindi deve risultare

H(f f0) +H(f + f0) = 2H(f0) = c per B f B (4.73)dove c e` una costante. Un esempio di filtro passa-banda che soddisfa la pre-cedente condizione e` mostrato nella figura 4.18. La funzione di trasferimentodi tale filtro ha una simmetria dispari intorno a f0.

Figura 4.18: Caratteristica H(f) di un filtro passa-banda utilizzato per la modulazioneVSB

4.5 Circuiti per il recupero della portante

Come e` stato visto in precedenza per la demodulazione dei segnali DSB oSSB e` necessario ricostruire al ricevitore la portante e quindi conoscere la suafase e la sua frequenza con esattezza. Queste informazioni sono generalmenteestratte dallo stesso segnale modulato ricevuto mediante un opportuno cir-cuito, detto circuito per il recupero della portante. In questo paragrafo sonodescritti i due schemi piu` utilizzati per questo scopo.

Ricevitore di CostasLo schema generale di un ricevitore di Costas viene mostrato nella figu-ra 4.19. Il segnale ricevuto y(t) viene inviato a due canali, che operano


in parallelo. Il primo canale, detto canale in fase, moltiplica y(t) perun segnale sinusoidale generato da un opportuno oscillatore locale deltipo V0cos(2pif0t + ), che risulta sfasato di un angolo rispetto allaportante generata al trasmettitore. Ovviamente rappresenta sia unadifferenza di fase, sia una differenza di frequenza tra le portanti gene-rate al trasmettitore e al ricevitore. Nellaltro ramo, detto canale inquadratura, il segnale y(t) viene moltiplicato per V0sen(2pif0t + ). Isegnali dopo la moltiplicazione e dopo il filtraggio passa-basso sono:{

z1(t) =V02s(t)cos()

z2(t) =V02s(t)sen()

. (4.74)

Il segnale v(t) dopo il moltiplicatore risulta:

v(t) =V 204s2(t)sen(2). (4.75)

Il filtro di loop e` un filtro passa-basso con frequenza di taglio moltovicina a 0, per cui il segnale di uscita contiene soltanto la componentecontinua e frequenze molto vicine allo 0. Pertanto il termine s2(t) puo`ritenersi costante dopo il filtro e quindi il valore delluscita dipendesostanzialmente soltanto dal valore della fase . Il segnale alluscita delfiltro di loop viene inviato allingresso di un oscillatore che genera unafrequenza determinata dallampiezza del segnale al suo ingresso. Taleoscillatore, indicato con la sigla VCO (Voltage Controlled Oscillator),genera la portante da moltiplicare per il segnale ricevuto, sia sul canalein fase che su quello in quadratura.

Figura 4.19: Ricevitore di Costas per il recupero della portante


Ricevitore QuadraticoUn altro schema che puo` essere utilizzato per recuperare la portantedel segnale ricevuto e` quello che prende il nome di ricevitore a loopquadratico, mostrato nella figura 4.20. Il segnale ricevuto y(t) viene

Figura 4.20: Ricevitore a loop quadratico per il recupero della portante

prima di tutto inviato ad un dispositivo quadratico e successivamentead un filtro passa-banda centrato sulla frequenza 2f0 con una bandapassante molto stretta in modo da far passare soltanto la frequenza2f0 e quelle vicine. Il segnale z(t) alluscita dellelemento quadraticorisulta:

z(t) =V 202s2(t)[1 + cos(4pif0t)]. (4.76)

Se indichiamo con f la banda del filtro, il segnale s2(t) puo` ritenersicostante in tale banda, per cui 2f0+f2

2f0f2s2(t)dt = Ef (4.77)

dove E rappresenta lenergia del segnale modulante s(t). Il segnalealluscita del filtro e` quindi

z(t) = V

20

2Ef cos(4pif0t). (4.78)

Il segnale z(t) ha una frequenza doppia rispetto a quella della portan-

te, a causa delloperazione di elevazione a quadrato. Questo segnale


viene inviato allingresso di un circuito PLL (Phase Locked Loop), chee` formato da un moltiplicatore, un filtro passa-basso ed un VCO. Il se-gnale z

(t) viene moltiplicato per un segnale a frequenza 2f0 generata

localmente dal VCO, cioe` per un segnale

w(t) = sen(4pif0t). (4.79)

Il segnale dopo il filtro passa-basso risulta

e(t) = V20

4f sen(). (4.80)

Questo segnale pilota il VCO, genera w(t) e viene inviato al molti-plicatore del PLL ed a un blocco che divide la frequenza per 2. Lafrequenza recuperata in questo modo e` quella utilizzata per effettuarela demodulazione coerente del segnale ricevuto.

Capitolo 5

Modulazioni Angolari

5.1 Modulazione di fase e di frequenza

La modulazione angolare consiste nel far variare la fase o la frequenza dellaportante proporzionalmente al segnale modulante s(t). In questo caso lam-piezza della portante viene mantenuta costante. Le modulazioni angolaripresentano caratteristiche molto interessanti, soprattutto perche` consentonodi ottenere migliori prestazioni in presenza di rumore rispetto alle modula-zioni di ampiezza viste nel capitolo precedente.Consideriamo il segnale y(t)

y(t) = V0cos(i(t)) (5.1)

dove i(t) e` la fase istantanea. Si definisce pulsazione istantanea, i(t), lagrandezza

i(t) =di(t)

dt(5.2)

e la frequenza istantanea, fi(t),

fi(t) =1

2pi di(t)

dt. (5.3)

Le modulazioni angolari possono essere divise in due classi:

Modulazione di Fase (PM)Nella modulazione PM la fase istantanea i(t) viene fatta variare pro-porzionalmente al segnale modulante s(t), per cui

i(t) = 2pif0t+ k s(t) (5.4)

62


dove k rappresenta lindice di sensitivita` in fase. Il segnale modulatopuo` quindi essere scritto nella forma

y(t) = V0cos(2pif0t+ k s(t)). (5.5)Un esempio di segnale modulato in fase, ottenuto modulando la portan-te, e` mostrato nella figura 5.1(a) con il segnale modulante sinusoidalemostrato nella figura 5.1(b), e` mostrato nella figura 5.1(c).La massima deviazione di fase, max, e` il max|k s(t)| = k max|s(t)|e prende anche il nome di indice di modulazione di fase.

Modulazione di Frequenza (FM)Nella modulazione FM la frequenza della portante viene fatta variareproporzionalmente al segnale modulante, per cui

fi(t) = f0 + kf s(t) (5.6)essendo kf lindice di sensitivita` in frequenza. In questo caso la faseistantanea risulta

i(t) = 2pi

t0

fi(t)dt = 2pif0t+ 2pikf

t0

s(t)dt = 2pif0t+ (t) (5.7)

per cui

y(t) = V0cos(2pif0t+ 2pikf

t0

s(t)dt). (5.8)

Il segnale modulato FM nel caso in cui la portante ed il segnale modu-lante siano quelli nelle figure 5.1(a) e 5.1(b) rispettivamente, e` mostratoin figura 5.1(d). La massima deviazione di fase e` uguale al massimovalore di (t). Si definisce massima deviazione di frequenza, fmax, ilmassimo valore della derivata (t). Lindice di modulazione della FMe` definito come

m =fmaxB

. (5.9)

EsempioConsideriamo il caso in cui il segnale modulante e` sinusoidale, cioe`s(t) = Vmcos(2pifmt). In questo caso il segnale trasmesso in PM e`

y(t) = V0cos(2pif0t+ k Vmcos(2pifmt)). (5.10)La massima deviazione di fase e` quindi uguale a k Vm e rappresentalindice di modulazione di fase.Il segnale modulato in FM risulta

y(t) = V0cos(2pif0t+

kfVmfm

sen(2pifmt)). (5.11)


Figura 5.1: Esempi di segnali modulati in fase ed in frequenza: a) portante; b) segnalemodulante; c) segnale modulato in fase; d) segnale modulato in frequenza

La massima deviazione di frequenza e`

fmax = kfVm (5.12)

per cui lindice di modulazione in frequenza risulta:

m =fmaxfm

. (5.13)

Le modulazioni PM e FM sono strettamente legate tra di loro. Infatti, dalleprecedenti relazioni, un segnale modulato FM puo` essere ottenuto da un mo-dulatore di fase aggiungendo al suo ingresso un integratore, come mostrato


nella figura 5.2(a). Analogamente un segnale modulato in fase puo` esseregenerato da un modulatore di frequenza inserendo al suo ingresso un deriva-tore, come mostrato in figura 5.2(b). Per questo motivo le due modulazionipresentano aspetti molto simili e quindi saranno analizzate insieme. Nel se-guito si parlera` della modulazione FM, che risulta maggiormente utilizzatanelle applicazioni pratiche. Tuttavia, le proprieta` della modulazione, salvonon sia detto esplicitam

dispense comunicazioni elettriche

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