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Distribuciones Discretas.Variable aleatoria y distribuciones de Probabilidad.

Introducción.

Se define un experimento como el proceso que culmina con la toma de una medición ( o una observación ), la mayoría de los experimentos producen una medición numérica que desde luego varia al considerar distintos puntos muéstrales y esta variación es aleatoria.

La medición es llamada una variable aleatoria, si “Y” es una variable aleatoria si el hecho de que tome un valor particular es en sí mismo un evento aleatorio.

El observar el número de defectos de determinado articulo de manufactura o el registro del promedio de un estudiante, son experimentos que producen variables aleatorias.

Se puede pensar que la población asociada a un experimento “Se genera” al repetir éste un número grande de veces y al considerar el conjunto de mediciones asociados como se ha hecho notar anteriormente, nunca se llega a medir a todos los miembros de una población; si embargo, se puede concebir la idea de hacerlo. En vista de lo anterior, se desea obtener un subconjunto pequeño de esas mediciones, llamadas muestra, y con la información contenida de ésta, describir o hacer inferencia acerca de la población.

CLASIFICACION DE UNA VARIABLE ALEATORIA.

Las variables aleatorias se clasifican en dos tipos: Discretos y continuos.Definición I. Una variable aleatoria discreta es aquella que toma a lo más, una cantidad numerable de valores distintos.El hecho de que la cantidad de valores que puede tomar la variable aleatoria. Sea numerable quieres decir que estos valores se pueden asociar a los enteros 1, 2, 3, 4……en otras palabras que se pueden enumerar.Ejemplos.

1) El numero de automóviles vendidos en un por el auto lote el ·”Chele”.2) En número de accidentes en una semana, en las zonas francas.3) El número de clientes que esperan servicio de caja en supermercado Pali.

Definición II. Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar cualquier valor de entre todos los contenidos en un intervalo de la recta.Como ejemplo

1) El tiempo necesario para completar el ensamblaje de un artículo.2) Cantidad de petróleo, la cual se abastece el gobierno de Nicaragua cada mes.3) La cantidad de energía eléctrica producida una planta hidroeléctrica en un día, en la ciudad

de Managua.Es importante la diferencia que se hace entre las variables aleatorias discretas y continuas, ya que se requiere modelos probabilísticos distintos para cada una de ellas. Las probabilidades asociadas a cada valor posible de una variable discreta suman uno, y eso no es posible para las continuas.

Ejercicios. Identificar las variables aleatorias siguientes como discretas y continuas.

a) El numero de transistores defectuosos en un embarque de 10000 transistores.b) El numero de robos ocurridos en un almacén en un determinado período de tiempo.c) El número de pólizas vendidas por un agente de seguros en una determinada semana.d) La cantidad de gasolina consumida por un vehículo.e) La demanda diaria de energía eléctrica.f) La cantidad de turistas que visitan cada mes la isla de Ometepe.

En áreas de negocios y economía, abundan los ejemplos de variables aleatorias discretas, aunque son tres las distribuciones discretas de mayor utilidad como modelos, para las diversas aplicaciones. Estas tres distribuciones son las llamadas: Binomial, Poisson e hipergeométrica. En esta unidad se estudian

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estas distribuciones haciendo énfasis en su derivación como modelos de procesos discretos que apare-cen con frecuencia en diversos esquemas del área de negocios.

DEFINICION DE MODELO BINOMIAL. Un experimento binomial: Es un experimento que tiene las siguientes propiedades.

1) El experimento consiste de n ensayos idénticos.2) Cada ensayo produce uno de los dos resultados posibles. A uno se le llama acierto, y el

otro falla. F3) La probabilidad de acierto en un solo ensayo es igual a “P” y es constante de prueba en

prueba, cuya probabilidad de fracaso es igual a . q=1-P4) Los ensayos son Independientes.5) El experimento esta interesado en la variable “Y” que representa el número de aciertos

observados en los n ensayos Ejemplo: Supóngase que existe un población de aproximadamente 1000,000 consumidores po-tenciales de una articulo producido por determinada empresa y que una proporción desconocida p de ellos lo prefiere sobre los producidos por la competencia. Con el propósito de llevar a cabo un estudio del mercado, se selecciona una muestra de 1000 compradores de forma que cada una de los elementos de la población tenga la misma oportunidad de ser seleccionado. A cada comprador seleccionado se le pregunta si prefiere el producto producido por esta empresa o no ¿Es este un experimento Bino-mial? Solución: Para determinar si este es un experimento binomial, se debe verificar se se satisfacen las cinco propiedades, descritas anteriormente.

1) El muestreo consiste de n ensayos idénticos. Cada ensayo representa la selección de una persona del millón de compradores potenciales.

2) Cada ensayo tiene dos resultados posibles: La persona prefiere el producto (acierto) o no (falla).

3) La probabilidad de un acierto es igual a la proporción de compradores potenciales que pre-fieren el producto. Por ejemplo, si del millón de compradores potenciales 400,000 prefie-ren el producto, entonces la probabilidad de seleccionar a una persona que lo prefiera es p=0.4 . Para efectos prácticos, esta probabilidad permanece constante de ensayo en ensayo a pesar de que en el procedimiento de muestreo no hay reemplazo.

4) Para efectos prácticos, la probabilidad de un acierto en cualquier ensayo no se afecta por el resultado de los demás ( permanece muy cercana a p)

5) Nos interesa el número “y”, de personas en las muestras de 1000 que prefieren el producto.Dado que el experimento satisface razonablemente bien las 5 propiedades para los efectos prácti-cos se puede tomar como un experimento binomial.

Distribución de Probabilidad Binomial.

p ( y )=n C y pyqn− y=

n I0

y I0

(n− y ) I0

p yqn− y

Donde y puede tomar los valores 0, 1,2…nSu media o valor esperado es: μ=np

Varianza y desviación estándar es.

σ 2=npq .σ=√npq .

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Ejemplo1 Si p=0.56 y n es igual a 5 calcular las probabilidades de:Datos. n=15 p=0.56 q=1-p=1-0.56=0.441¿P (x=2)

P ( x=2 )=(52)(0.56)2 (0.44 )5−2=(52)(0.56)2 (0.44 )3=0.2671

2¿P (x=4 ) P ( x=4 )=(54 )(0.56 )4 (0.44 )5−4=(54) (0.56 )4 (0.44 )1=0.2164

3¿ P(x≥2) P ( x≥2 )=1−p (x<2)=1−p (x ≤2−1 )=1−p ( x ≤1 )

¿1−[P (0 )+ p(1)]=1−[(50)(0.56 )0 ( 0.44 )5−0+(5

1) (0.56 )1 (0.44 )4]¿1− [0.0165+0.1049 ]=1−0.1214=0.8786=87.86 %

4 ¿P (x<2) P ( x<2 )=P (x ≤2−1 )=P ( x≤1 )=P (0 )+P(1) P (0 )+P (1 )=[(50) (0.56 )0 (0.44 )5−0+(51)(0.56 )1 (0.44 )4]=0.1214=12.14 %

5¿ P (x ≤2 )=P (0 )+P (1 )+P (2 )

¿(50)(0.56 )0 ( 0.44 )5+(5

1) (0.56 )1 (0.44 )4+(52) (0.56 )2 (0.44 )3

¿0.0165+0.1049+0.2671=0.3885=38.85%

6¿ P (2≤ x≤4 )=P ( x≥4 )−P( x≤2)

∑x=0

5

P ( x )−∑x=0

2

P (x )=[P (0 )+P (1 )+P (2 )+P (3 )+P (4 )]−[P (0 )+P (1 )+P(2)]-

¿ [(50) (0.56 )0 (0.44 )5+(51)(0.56 )1 (0.44 )4+(52)(0.56 )2 (0.44 )3+(53) (0.56 )3 (0.44 )2+(54 )(0.56 )4 (0.44 )1]−[(50)( 0.56 )0 (0.44 )5+(5

1) (0.56 )1 (0.44 )4+(52) (0.56 )2 (0.44 )3]

¿ [ 0.0165+0.1049+0.2671+0.3399+0.2164 ]−[ 0.0165+0.1049+0.2671 ]¿0.9448−0.3885=0.5563=55.63 %

Ejemplo2 Un fabricante cree que el 30% de los consumidores prefieren su pro-ducto. Para verificar lo anterior, toma una muestra 800 consumidores y determina el número “y” de ellos que prefieren su producto. Si el 30% de todos los consumidores pre-fiere el producto de este fabricante ¿dentro de qué límites esperaría ud. Que estuviera el valor de y?Datosμ=np=800∗0 . 3=240y= número de consumidores que prefieren el producto.σ 2=npq=800∗0 . 30∗0.70=168σ=√npq .=√168=12.96Con base al teorema de TChebysheff y la regla empírica. Se esperaría q ue y estuviera en un intervalo (∓2 ) o (−2 ;+2 ) . Los intervalos son

(240-2*12.96 ; 240+2*12.96)(214.08 ; 265.92)

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Ejemplo3 Una estación de gasolina en el departamento de Estelí, vende el combustible con un descuento de 2 centavos por galón a aque-llos clientes que paguen en efectivo y no con tarjeta de crédito. La ex-periencia indica que el 40% de los clientes pagan en efectivo. Durante un determinado día 25 clientes compraron gasolina a) Encuentre la probabilidad de que al menos 10 hayan pagado en efec-tivo.b) Encuentre la probabilidad de que más de 10 y menos de 15 hayan pa-gado en efectivoDatos.p=.040q=1−p=1−0.40=0.60 y n=25clientes.X=Numero de clientes que pagan en efectivo.Este tipo de probabilidad es fácil encontrarla por medio de una tabla de probabi-lidad acumulada. La cual muestra la suma total de las probabilidades desde x=0 hasta x=9a) P ( x>10 )=1−p ( x≤10−1 )=1−p ( x≤9 )=¿¿1−[ p (0 )+ p (1 )+ p (2 )+ p (3 )+ p (4 )+ p (5 )+ p (6 )+ p (7 )+ p (8 )+ p (9 ) ]

¿1−∑x=0

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p (x )=1−0.425=0.575

Podemos decir que la probabilidad de que al menos 10 hayan pagado en efectivo es de 0.575, el cual representa el 57.5 porciento de la muestra.b) p (10≤ x≤15 )=∑

x=3

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p(x )=∑x=0

15

P(x )−∑x=0

10

p ( x )

¿0.987−0.586=0.401Podemos decir que la probabilidad de que más de 10 y menos de 15 clientes hayan pagado en efectivo en la gasolinera es de 0.401 el cual re-

presenta el 40.1 porciento de la muestra.

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Ejercicios de aplicación de distribuciones discretas.

Distribución Binomial.1) Según un ingeniero en sistema afirma que tiene la certeza que un 70% , un programa de conta-

bilidad se ejecutará exitosamente. Si se eligen a 10 programadores y se les pide crear un pro-grama para la empresa “Simplemente Madera”¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 programadores ejecuten exitosamente su programa?¿Menos de 5 programadores ejecuten bien su programa?¿Ocho ejecuten bien su programa?¿Más de 7 ejecuten exitosamente el programa?

2) Se sabe que el 90% de las personas que compran computadoras, no hacen reclamaciones du-rante el período de garantía en las distribuidoras de equipos de computadores que existen en Nicaragua. Suponga que 22 personas compran computadoras cada una de un determinado al-macén.¿Cual es la probabilidad de que al menos 2 de los 20 clientes hagan reclamaciones du-rante un periodo de garantía?¿Cuántos clientes se espera que reclamen durante un periodo de garantía , determine su varianza y desviación estándar?

3) Según un estudio del INEC el 45% de los hogares de la ciudad de Managua tienen T.V por cable. Si se analizan 18 hogares .¿Cuál es la Probabilidad de que el número de ellos que ten-gan cable sea:

a) ¿Mayor que uno?b) ¿Cinco o menos?c) ¿Diecisiete o más?d) ¿Cuánto esperaría que tengan T.V por cable?

4) Según informes de los supervisores de las zonas francas afirman que una determinada máquina está bajo control, si el porcentaje de artículos defectuosos que producen no es mayor de un 10% . Para determinar si la maquina esta bajo control, se eligen 10 artículos al azar de entre los producidos por ella ¿Cuál es la probabilidad de exactamente 5 sean defectuosos?¿Al menos 4 sean defectuosos?¿ A lo más 7 sean defectuosos?¿ Cuantos artículos esperaría encontrar?

5) Se supone saber que 10% de los vasos fabricados por determinada maquina tienen algún defec-to. Si se selecciona al azar 10 de los vasos fabricados por esta maquina ¿Cual es la probabili-dad de que ninguna esté defectuosa?¿ Cuantos vasos esperaría encontrar defectuosos?

6) Un inversionista compra 8 viviendas como parte de su plan de inversión. Suponer que la proba-bilidad de obtener utilidad en cada una de ellas es de 0.8. Suponiendo que hay independencia. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga utilidades en cada una? ¿Cuál es la probabilidad de que pierda en cada una de ellas?

7) Un fabricante de piezas las envía en lotes de 20 y los envía a sus clientes. Suponer que cada parte está defectuosas o no lo está, y que la probabilidad de que cualquiera de ellas esté defec-tuosa es de 0.05.

A- ¿Cuál es el número esperado de piezas defectuosas por lote?B- ¿Cuál es la probabilidad de que determinado lote no contenga piezas defectuosas?

8) Suponiendo que el proveedor del problema 7) ha recibido 10 lotes.a) ¿Cuál es el número esperado de lotes que no tienen piezas defectuosas?b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los 10 lotes contengan piezas defectuo-

sas?

10) Se sabe que el 90% de las personas que compran un televisor a color no hacen reclamaciones durante un período de garantía. Suponga que 20 personas compraron un T.V , cada una de un determinado almacén ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 de los 20 clientes hagan reclamaciones durante el período de garantía?

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Distribución Multinomial

El experimento multinomial se convierte en un experimento multinomial si cada prueba tiene más de dos resultados posibles. Por ello la clasificación de un producto fabricado como ligero, pesado o aceptable y el registro de accidente en cierta zona franca de acuerdo con el día de la semana consti-tuyen experimentos multinomialesPropiedades del experimento multinomial.

1) El experimento consiste en n pruebas idénticas.2) El resultado de cada prueba cae en una de k clases o casillas.3) La probabilidad de que el resultado de una sola prueba se localice en una casilla particular,

digamos casilla i, es pi (i= 1,2,…..k) y permanece igual de prueba en prueba donde: P1+P2+P3+P4+…………..+Pk=1

4) La pruebas son independientes.5) Las variables aleatorias estudiadas son Y1,Y2,Y3,Y4,…………Yk en donde Yi

i=1,2,3…….k es igual al numero de pruebas en las cuales el resultado cae en la casilla i, donde: Y1+Y2+Y3+Y4………..+Yk=n

Definición: Si una prueba dada puede conducir a k resultados E 1, E2,………,Ek, con probabili-dades p1, p2…… pk, entonces la distribución de probabilidad de las variables aleatorias Y1 Y2 ...Yk que representa el numero de ocurrencia parta E1,E2,…Ek en n pruebas independientes es:

p( y1 , y2 , .. . .. yk )=n lª

y1 lªy2 l

ªy3 . l

ª. .. .. . . yk l

ª

pY11 pY ¿ pY¿ .. .. . pkYk

Ejemplo:1De acuerdo con los datos ajustados del censo de 1990, las proporciones de adultos( las personas de mas

de 18 años ) en Nicaragua, clasificados en cinco categorías de edad, son como sigue:Edad Proporción18-24 0.1825-34 0.2335-44 0.1645-64 0.2765 a más. 0.16

a) Si se selecciona al azar cinco adultos de esta población, encuentre la probabilidad de que la muestra contenga a una persona entre las edades de 18 a 24, dos entre las edades de 25-34 y dos entre las edades de 45-64

Para empezar numeraremos las cinco clases de edades como 1.2.3.4.5

p( y1 , y2 , y3 , y4 , y5)=n lª

y1 lªy2 l

ªy3 . l

ªy4 l

ª, y5 l

ª

pY11 pY ¿ pY ¿ p4Y4p5Y 5

Para n=5 y Y1=1, Y2=2, Y3=0, Y4=2, Y5=0

p(1,2,0,2,0)=5lª

1 lª2 lª0 .l

ª2lª0 lª

[(0 . 18)1 (0 .23 )2(0 .16)0(0 . 27)2 (0 .16 )0 ]

p(1,2,0,2,0)=30 [(0 . 18)1( 0. 23 )2(1)(0 .27 )2(1)]=0 .0208

Conclusión: Por lo tanto la probabilidad de que podamos seleccionar a una persona entre los 18-24, dos entre las edades de 25-34, y dos entre los 45-64 es de 0.0208

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Ejemplo:Un estudiante universitario cursa 5 materias en un cuatrimestre y supone que tiene probabilidades de 0.1 de obtener un 100, que tiene 0.8 de obtener un 80 y 0.1 de probabilidad de obtener un 60 en cada una de sus materias. El estudiante define con X1=100, X2= 80, X3 =60 el puntaje de su nota que obtiene en el cuatrimestre. Entonces X1, X2, X3 es una variable aleatoria multinomial con parámetros n=5 y P^1=0.1 , P2= 0.8 y P3 =0.1

Px (X) =

5X1 I¿

∗X2 I¿∗X3 I¿

(0 . 1)X∗(0 . 8 )X 2∗(0 . 1)X3

Por tanto, la probabilidad de que solamente logre notas de 80 es :

Px (X)= (0 , 5 , 0 ) =

50 I

¿∗5 I

¿∗0 I

¿

(0 .1 )0∗(0 . 8)5∗(0 .1 )0 = 5 / 5 *(0.8 ) 5 = 0.32768

Por lo tanta la probabilidad de que logre solamente notas de 80 de 0.32768

La probabilidad de que logre dos notas de 100 y tres de 80 es :

Px (X) =(2, 3, 0) =

52 I

¿∗3 I

¿∗0 I

¿ (0.1) 2 * ( 0.8 )3 * ( 0.1 )0 = (0.1)2 *(0.8)3* 5 / 2 * 3 = 0.0512Por lo tanta la probabilidad de que logre solamente notas de 80 de 0.32768

La probabilidad de que logre dos notas de100 y tres de 80 es de 0.0512

Determine la probabilidad de sòlo obtenga notas de 60:

Px (X)= ( 0 , 0 , 5 ) =

50 I

¿∗0 I

¿∗5 I

¿ (0.1) 0 * ( 0.8 )0 * ( 0.1 )5 = (0.1)5 = 0.00001La probabilidad de que logre puntajes de 60 en todas las materias es de 0.00001

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Ejercicios Distribución Multinomial.

1) Un estudiante que maneja hacia la universidad encuentra un semáforo. Este semáforo per-manece verde por 35 segundos, anaranjado por 5 segundos y rojo por 60 segundos. Supon-ga que el estudiante va ha la universidad toda la semana entre las 8:00 y 8:30. cuyas proba-bilidades son de 0.40, 0.10 y 0.50 , Determinar la probabilidad , dado que el numero de veces que encuentra un semáforo verde es 2, anaranjado 1 y rojo 3

2) La probabilidad de que un delegado a cierta convención llegue por aire, autobús, automó-vil son 0.4 , 0.2 , 0.3 y 0.1 respectivamente .¿Cual es la probabilidad de que entre nueve delegados a esta convención seleccionados al azar, tres lleguen por aire, tres por autobús, uno en automóvil, y dos en tren?

3) Suponga que se tiran una vez 6 dados no cargados. Sea xi el numero de letras i que apare-cen, con i=1,2,3…6. determinar la probabilidad de que cada numero aparezca una sola vez, la probabilidad de que aparezca 4 uno, y dos números “Dos”, la probabilidad de que ocurra exactamente dos números “3”, dos “4”, y dos “cinco”

4) Un estudiante universitario cursa 5 materias en un semestre, en la un UNAN-MANAGUA, y supone que tiene probabilidad 0.1 de obtener una nota de excelente, 0.80 Muy bueno, y 0.10 de probabilidad de obtener “Bueno” en cada una de sus materias ¿ cuanto es la proba-bilidad de que el estudiante obtenga notas de “Muy bueno”.?La probabilidad de que obten-ga dos notas “excelente”, y tres “Muy bueno”. La probabilidad de que no logre notas “Bue-no”( solamente notas “Excelentes”, y “Muy Bueno”)

5) Las empresas Alfa, Beta, y Gamma del departamento de Managua, tienen probabilidad de obtener un pedido de “Sillas de Madera” de 0.40, 0.25 y 0.35, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía Beta, reciba los tres pedidos? ¿Qué la compañía Alfa reci-ba dos pedidos, y la Gamma uno? Nota dar sus conclusiones para cada uno.

6) Cuatro empresas del departamento de León, están entrevistando a 7 universitarios para ofrecerles trabajo después que se gradúen. Si se supone que los siete reciben ofertas de cada compañía, y que las probabilidades de que las compañías los contraten son iguales ¿Cuál es la probabilidad de que una compañía los emplee a los cinco? ¿A ninguno de ellos?

7) La Asociación de cafetaleros del departamento de Matagalpa, estos interesados en el peso de costales de forraje. Específicamente, necesitamos saber si alguno de los cuatro eventos siguientes ha ocurrido:

T 1=( x≤10) p(T1)=0.20T 2=(10≤x≤11) p(T2)=0.20T 2=(11≤x≤11.50 ) p(T3)=0.20T 1=(11.50≤x ) p(T3)=0.40

Si los costales se seleccionan al azar ¿Cuál es la probabilidad de que 4 sean menores o iguales a 10 libras, de que uno sea mayor que 10 libras pero menor o igual a 11 libras, y que dos sean más grandes que 5.22 kilogramos?En el problema 7 ¿Cuál es la probabilidad de que los 10 costales pesen más de 11.5 libras? ¿Cuál es la probabilidad de que 5 costales posen mas de 11.50 y los otros 5 , menos de 10 libras.

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Distribución de Poisson.

Introducción.Los experimentos que dan valores numéricos de una variable aleatoria X, el número de resultados que ocurren durante un intervalo dado o en una región especifica, se llaman Experimento de Pois-son. El intervalo dado puede se de cualquier longitud, como un minuto, un dia, una semana, un mes o incluso un año. Por ello un experimento de Poisson puede generar observaciones para la variable aleatoria X que representa el numero de llamadas telefónicas por hora que recibe una oficina, el numero de días que una escuela esta cerrada debido a la fuerte lluvia durante el in-vierno. La región específica podría ser un segmento de línea.

Propiedades del proceso de Poisson.a El numero de resultados que ocurren en un intervalo o región especifica es independiente del numero que ocurre en cualquier otro intervalo o región del espacio disjunto. Por lo cual el proceso de Poisson no tiene antecedentes.b La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región y no depende del nu-mero de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región.c La probabilidad de que ocurra mas de un resultado en tal intervalo corto o que caiga en tal re-gión pequeña es insignificante .Los siguientes casos son ejemplos de experimentos en los cuales la variable aleatoria “y” puede ser considerada como de Poisson.

1. El numero de llamadas recibidas en un conmutador telefónico durante un periodo corto de tiempo.

2. El numero de reclamaciones contra Unión Fenosa durante una semana.3. El numero de llegadas tardes a clases por parte de los profesores durante un día determina-

do.4. El numero de ventas hechas por un agente de Seguros en la capital en un determinado día.5. El numero de ventas realizadas por una dependiente del mercado Oriental durante el mes.

En cada caso, “y” representa el numero de eventos raros que ocurren durante un periodo de tiem-po en el cual se espera que un promedio μ=np de ellos ocurra. La única suposición que ud. Debe de manejar es que los eventos ocurran en forma aleatoria e independiente unos de otros.

La distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson X, que representa el número de resultados que ocurren en un intervalo dado o región especifica que se denota con t, es.

p ( x ; t )= e−t (t )x!

x=0,1,2…..Donde ; es el número promedio de resultados por unidad de tiempo o regiónMedia ==npVarianza. ❑2=¿npDesviación Estándar. √❑2=√❑=√np¿√❑=√np

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Emplo1: Calcular las probabilidades de una distribución de Pisson con =2, para las siguientes

probabilidades. P ( x )= e−2 (2 ) x

x !

P ( x=0 )=e−2 (2 )0

0 != e−2

1=0.1353

P ( x=1 )= e−2 (2 )1

1 != 2e−2

1=0.2707

P ( x=2 )= e−2 (2 )2

2!=4 e−2

2∗1=0.2707

P ( x=3 )= e−2 (2 )3

3!= 8e−2

3∗2∗1=0.1804

P ( x=4 )= e−2 (2 )4

4 != 16e−2

4∗3∗2∗1=0.0902

P ( x=5 )= e−2 (2 )5

5!= 32e−2

5∗4∗3∗2∗1=0.0361

Ejemplo: 2 El gerente local de una empresa de renta de automóviles en Mangua compra neumáticos en lotes de 500 para aprovechar los descuentos por compras al mayoreo. El gerente sabe por experiencias anteriores, que el 1% de los neumáticos nuevos adquiridos en un determinado almacén salen defectuosos y se deben reemplazar durante la primera semana de uso. Cuantos neumáti-cos espera encontrar defectuoso el gerente, Encuentre la probabilidad de que en un envío de 500 neumáticos haya solamente uno defectuoso. No mas de tres neumáticos defectuosos, ningún neumático defectuoso, más de cuatro neumáticas defectuoso.

Datos.¿=np=0.01∗500=5 Por lo cual el gerente espera encontrar 5 neumáticos defectuosos de un envío de 500 X= número de neumáticos defectuosos

P ( x )= e−5 (5 ) x

x !

a¿ P ( x=1 )= e−5 (5 )1

1!=5∗e−5

1=0.0337=3.37 %

Por lo tanto, la probabilidad de que en un envío de 500 neumáticos haya solamente uno defectuoso, es de 3.37%

b¿ P (X ≤3 )=P (0 )+P (1 )+P (2 )+ (3 )

¿e−5 (5 )0

0 !+e−5 (5 )1

1 !+e−5 (5 )2

2 !+e−5 (5 )3

3 !

11

=0.0067+0.0337+0.0842+0.1404=0.2650=26.50%

Por lo cual la probabilidad de que no más de tres neumáticos sean defectuosos, es de 0.2650

c ¿P ( x=0 )= e−5 (5 )0

0!=1∗e−5

1=0.0067=0.67 %

La probabilidad de que ningún neumático salga defectuoso de un envío de 500, es de 0.0067 el cual representa el 0.67% del total.

d ¿P ( X≥4 )=1−P (X≤3 )

¿1−[P (0 )+P (1 )+P (2 )+ (3 ) ]

¿1−[ e−5 (5 )0

0 !+e−5 (5 )1

1 !+e−5 (5 )2

2!+e−5 (5 )3

3! ]¿1− [0.0067+0.0337+0.0842+0.1404 ]=¿1−0.2650=0.7350

Por lo tanto la probabilidad de que más de 4 neumáticos salgan defectuoso es de 0.7350 = 73.50%

Distribución Poisson

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1) En una planta de Textil de las zonas francas de Managua, los accidente industriales ocu-rren en forma aleatoria e independiente a razón de 5 por cada 10 días laborales .Encuentre la probabilidad de que no ocurra más de 1 accidente serio en la planta durante los próxi-mos 30 días laborales.

2) El número de clientes que llegan por hora al auto lavado “ El buen Precio “ en la ciudad de Managua se supone que sigue una distribución de poisson .Con media igual a 7 por hora.a) Calcular la probabilidad de que exactamente 10 clientes lleguen en un período de 2 horas b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 4 clientes visiten el auto lavado ¿c) Calcular la probabilidad de que exactamente 8 clientes visiten el lugar en una horad) ¿Cuántos clientes se esperaría que lleguen en un periodo de 2 horas.

3) Un conmutador telefónico de la central telefónica de Enitel puede manejar un máximo de 5 llamadas por minuto. Si la experiencia indica que se recibe un promedio de 120 llamadas por hora, encontrar la probabilidad de que en un determinado minuto el conmutador esté sobrecargado.

4) La probabilidad de que un taxi cualquiera de Managua sufra un accidente en cualquier mes es de 0.04 si una cooperativa de taxis tiene 75 vehículos en la calle .¿ cual es la probabilidad de que menos de 7 taxis sufran de accidentes.?¿Cuantos taxis espe-rara que sufran accidentes en este mes?

6) Un conmutador telefónico de un centro de llamadas de ENITEL puede manejar un máxi-mo de 5 llamadas por minuto. Si la experiencia indica que se reciben un promedio de 120 llamadas por hora, encontrar la probabilidad de que en un determinado minuto el conmu-tador este sobre cargado. Determine la probabilidad que menos de 30 llamadas reciba en un lapso de 30 minutos. Dar su interpretación.

7) El estudio de inventario determina que, en promedio, las demandas de un artículo particu-lar en un almacén se realizan cinco veces al día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día dado se pida este artículo.

1. Más de cinco veces?2. Ninguna vez?

8) En promedio en cierta intersección ocurren tres accidentes transito por mes. ¿Cuál es la probabilidad de que para cualquier mes dado en esta intersección1. Ocurran exactamente cinco accidentes?2. Ocurran menos de tres accidentes?3. Ocurran al menos dos accidentes?

9) En un intento para minimizar la posibilidad de pérdidas en los préstamos, los bancos, uniones de créditos y otras instituciones de préstamos emplean un conjunto de criterios muy rígido para evaluar las solicitudes de préstamos. Un banco comercial reporta que las pérdidas en préstamos personales menores de $2500 han ocurrido en forma aleatoria e independiente desde enero de 2000 a razón de 1.5 por mes en promedio.a) Encuentre la probabilidad de que no haya pérdidas en préstamos personales me-nores de $2500 durante determinado mes.b) Encuentre la probabilidad de que no ocurra más de 1 pérdida durante un período determinado de dos meses.

10) Un fabricante de calculadoras electrónicas de escritorio sabe por experiencia que el 1% de las calculadoras que fabrican y venden están defectuosas y deben reemplazarse dentro de un período de garantía. Una distribuidora de artículos escolares que se encuentra en Managua, recibe de un pedido de una firma de contados res de 500 calculadoras para ser usada por sus empleados.

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a) Encuentre la probabilidad de que ninguna de las calculadoras deba ser reemplazada.b) Encuentre la probabilidad de que no mas de 4 tengan que ser reemplazadas.c) Encuentre la probabilidad de que al menos 2 tengan que ser reemplazadas.d) ¿Cuál es el número esperado de calculadoras que deben ser reemplazadas durante el período de ga-

rantía?11) En una gran planta manufacturera que encuentra en el departamento de Chinandega, los acci-dentes industriales serios ocurren en forma aleatoria e independiente a razón de 1 por cada 10 días labo-rales. Encuentre la probabilidad de que no ocurra más de 1 accidente serio en la planta durante los próxi-mos 30 días laborales.12) Los camiones para el transporte de madera tienen problemas especiales con las fallas de los neu-máticos, debido a los malos caminos por que deben circular en la región norte de Nicaragua. Suponga que una empresa maderera con 100 camiones tiene razones para pensar que el número promedio de ca-miones que tienen al menos una falla de neumáticos durante un determinado día es 5.

a) Encuentre la probabilidad de que durante determinado día ningún camión tenga falla de neumá-ticos.

b) Encuentre la probabilidad de que durante determinado día no más de tres tengan determinada falla.

c) Encuentre la probabilidad de que durante determinado día, 5 tenga fallas.

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Distribución continua

Distribución Normal

La distribución continua de probabilidad más importante en todo el campo de la estadística es la distribución normal. Su gráfica que se denomina curva norma o gausiana en forma de campana. La cual describe muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, industria, economía y la investiga-ción Una variable aleatoria normal continua X que tiene la distribución en forma de campana, se llama variable aleatoria normal. La ecuación matemática para la distribución depende de dos parámetros y , su media y desviación estándar. De aquí, denotamos los valores de la densidad de X con ( , )

Una vez que se especifique y la curva normal queda determinado por completo.

Propiedades de la curva Normal.

1. La moda, que es el punto sobre el eje horizontal donde la curva es un má-ximo ocurre en x=

2. La curva es simétrica alrededor de un eje vertical a través de la media 3. La curva tiene sus puntos de inflexión en x=∓, es cóncavo hacia abajo si

- ¿X¿+.4. La curva normal se aproxima al eje horizontal de manera asintótica con-

forme nos alejamos de la media en cualquier dirección.5. El área total abajo la curva y sobre el eje horizontal es igual a 1.

Area bajo la curva normal.

La curva de cualquier distribución continua de probabilidades o función de densidad se construye de modo que el área bajo la curva limitada por las dos ordenadas x=x1, x=x2, es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor entre x=x1, x=x2, Así, para la curva normal de la figura A.

P (x1<X<x2)=∫x1

x2

n ( x; . )dx P (x1<X<x2)= 1√2∫x1

x2

e

−1

2 ( ( x−. )❑ ) dx

Esta representa el área de la región sombreada.

x1 x2

El área bajo la curva va entre cualquier dos ordenadas también debe depender de los valores y , esto es evidente donde sombreamos la región que corresponde a P (x1<X<x2) para diferentes cur-vas con diferentes medias y varianzas. La P (x1<X<x2), donde X es la variable aleatoria que describe la distribución del gráfico anterior La dificultad que se encuentra al resolver las integrales de funciones de densidad normal necesita de la tabulación de las áreas de la curva normal para una referencia rápida. Sin embargo, sería tarea sin fin

La función de densidad de la variable aleatoria norma X, con media y varianza , es

N(x; ,)= 1√2

e(−1

2 )¿¿ ¿ - ¿ x<¿

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intentar establecer tablas separadas para cada valor concebible de y . Afortunadamente, somos capaces de transformar todas las observaciones de cualquier variable aleatoria normal X a un nuevo conjunto de observaciones de una variable aleatoria normal Z con media cero y varianza uno. Esto se puede realizar por medio de la transformación.

Z=X− ¿❑¿

Siempre y cuando X tome un valor x, el valor correspondiente de Z está dado por Z=X− ¿❑¿ . Por

tanto, si X cae entre los valores x=x1, x=x2, la variable aleatoria Z caerá entre los valores correspon-dientes Z1=X1−

¿❑¿ y Z2=X2−

¿❑¿ , en consecuencia podemos escribir.

P (x1<X<x2)= 1√2∫x1

x2

e

−1

2 ( ( x−. )❑ )

2

dx

¿ 1√2∫z1

z2

e

−1

2 ( ( x−. )❑ )2dz= 1

√2∫z 1

z 2

e−Z2

2 dz

¿∫z1

z2

n ( z ;0,1 )dz=P ( z1<x< z2)

Donde Z se ve como una variable aleatoria normal con media cero y varianza 1.

Ejemplo 1. Encontrar la probabilidad de los siguientes incisos, utilizando la tabla de distribución normal. :1 .P (0≤Z ≤1 .63 )=N z2

(1 .63 )−N z1(0 )=0 .9484−0 .5=0 .4484=44 .84 %

2 .P (Z≤−1 .25 )=N z❑(−1.25 )=0 .1056=10 .56 %

3 .P (Z>0 .72 )=1−N z (0 .72 )=1−0 .7642=0 .2358=23 .58 %

Ejemplo 2. El tiempo de vida de una lavadora automática OSTER tiene una distribución aproximadamente normal con media y desviación estándar iguales a 3.1 y 1.2 años, res-pectivamente. Si el Gallo más Gallo, vende el artículo con garantía de un año. ¿Que frac-ción de las lavadoras vendidas tendrán que ser reemplazadas? Datos =3.1 años=1.2 años.

X= tiempo de vida de la lavadora.X= 1 año. Donde la formula para encontrar la probabili-dad es;Z=X− ¿

❑¿

Z=1−3.11.2

Z=−1.75Z=0.0401

Por lo cual la fracción de lavadores Oster que serán cambiadas dentro del período de garantía es del 4% del total que vendieron durante un año.

Definición: La distribución de una variable aleatoria normal con media cero y varianza uno se llama distribución normal estándar.

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Distribución continua.Distribución Normar

Objetivo: Desarrollar habilidades para resolución de las aplicaciones de la distribución conti-nua.

1) Si X sigue una distribución normal con una media de 500 y una desviación están-dar de 125 encontrar la probabilidad de que sea:a) X≥570b) X≤520c) 400≤X≤530d) 480≤X≤490

2) Las puntuaciones de un examen de programación Pascal siguen una distribución normal, revelan una media de 79 y una desviación estándar de 35 ¿Cuál es la probabilidad de que sus puntuación sea:

1) Mayor que 92?2) Inferior a 85?3) Intermedio entre 60 y 90?4) Intermedio entre 50 y 55?

3) La probabilidad de que los operadores del departamento de cómputo del banco de créditos financiero ACODEP pulse la tecla de un carácter incorrectamente es igual a 0.001 .Calcular la probabilidad de que se pulse erróneamente a lo más una tecla en un documento que tenga 10,000 caracteres.

4) Periódicamente se suspende los servicios de un computador para darle mantenimiento instalar nuevo equipo, etc . El equipo que permanece inactivo un computador en particular, esta distribuido normalmente con media 1.5h y desviación estándar igual a 0.4h ¿Cuál es el porcen-taje de períodos de inactividad ,mayores de 2 horas , entre 1 y 2 horas.

5) Una máquina llenadora de la empresa PANAMCO ( Coca-Cola) esta ajustado para llenar botellas con una media de contenido de 32 (onzas) y una varianza igual a 0.003.Periódica-mente se verifica la cantidad de gaseosa contenida en una botella. Suponiendo que la canti-dad esta distribuida normalmente ¿Cuál es la probabilidad de que la próxima botella que se seleccione aleatoriamente para su inspección contenga más de 32.02 onzas.

6) Los conectores eléctricos duran 18.2 meses de media y S=1.7 . El vendedor está de acuerdo en sustituir uno si falla dentro de los 19 primeros meses. De 500 unidades ¿Cuántos tendrán que ser sustituidos por término medio?

7) Los gastos semanales que el personal de ventas realiza en visitar a los clientes de un banco de crédito “Crédito fácil” .Justifica cada semana una media de C$ 950.25 y S=C$ 30.35. El jefe ha ofrecido unas vacaciones de dos semanas a quien justifique gastos que se encuentren en el 15% inferior. Ud. a gastado C$ 712 ¿Conseguirá unas vacaciones?

8) Las ventas diarias del restaurante Mirador en el departamento de Masaya tiene una distri-bución aproximadamente normal con media igual a $530 y desviación estándar igual a $120.1) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas excedan los $700 en un día dado?2) El restaurante debe tener por lo menos $300 en ventas por día para poder cubrir sus costos ¿Cuál es la probabilidad de que el restaurante no pueda cubrir sus costos en un día dado?

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9) Ciertos estudios realizados en Nicaragua, con respecto al consumo de gasolina por autos livianos tienen una distribución aproximadamente norma con un consumo medio de 25.5 km por galón y una desviación estándar de 4.5 km por galón ¿Qué porcentaje de autos obtienen 30 o más km por galón?10) El gerente de personal de una empresa de ventas de ropa fina, en la capital de Managua requiere que los aspirantes a un puesto efectúen cierta prueba y alcancen una calificación 500. Si las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media de 485 y desvia-ción estándar de 30 ¿Qué porcentaje de los estudiantes pasaran la prueba?

11) Un auditor encontró que los errores en las cuentas de crédito de la empresa de calzado “Blue Shoes”, tiene una distribución normal con media $0 y desviación estándar$1. Suponga que se elige una cuenta de crédito al azar de los registros de la empresa.a) Encuentre la probabilidad de que tenga un error entre $0 y $1.50.b) Encuentre la probabilidad de que tenga un error entre -$2 y $0.c) Encuentre la probabilidad de que tenga un error de al menos $1.75d) Encuentre la probabilidad de que tenga un error entre -$1.50 y $1.25e) Encuentre la probabilidad de que tenga un error entre-$2 y -$1

12) Los departamentos de prestamos de una gran cadena de bancos en Nicaragua han en-contrado que los préstamos para viviendas otorgados en el 2007 tienen una distribución aproximadamente normal con media $43000 y desviación estándar $8500. Si las condiciones de préstamos permanecen iguales el próximo año.

¿Qué proporción de los préstamos se espera que sean menores de 35000? ¿Qué proporción de los préstamos se espera que sean mayores de 50000? ¿Qué proporción de los préstamos se espera que estén entre $30000 y $45000? ¿Qué proporción de los préstamos se espera que estén entre $35000 y $45000? ¿Qué proporción de los préstamos se espera que estén entre $41000 y $45000? ¿Qué proporción de los préstamos se espera que sean menores de 30000?

13) Suponiendo que el salario de los contadores públicos tiene una distribución aproximada-mente normal con media $15089 al año y desviación estándar $1035a) ¿Qué proporción de los contadores públicos gana mas de $17000?b) ¿Qué proporción de los contadores públicos gana mas de $15000?

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Distribución continua.Aproximación normal de la distribución Binomial.

1) ¿En cual de las siguientes distribuciones binomiales constituye una apro-ximación razonable la distribución normal?

a n=10, p= 0.3 b. n=100, p=0.005c. n=500, p=0.1 d. n=50, p=0.22) obtenga la aproximación normal para la probabilidad binomial P(X=6), donde n=12 y P=0.63) Encuentre la aproximación normal para la probabilidad binomial P(X≤8 ) donde n=14 y p=0.44) Se espera que la fabrica MIL COLORES al confeccionar un lote de camise-tas se tenga un 5% con algún defecto .Si se seleccionan 100 camisetas aleatoriamente.a) ¿Cuál es la media y la desviación estándar de la distribución binomial cuando se toman muestras de tamaño 100?b) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya camisetas defectuosas en la muestra?c) ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra contenga no màs de dos prendas defec-tuosas?5) La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la sangre en el hospital Berta Calderón es de 0.4 si se sabe que 100 personas contraen esta enfermedad ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 30 sobrevivan? 6) Una prueba de opción múltiple de la clase de informática tiene 200 pregun-tas cada una con 4 respuestas posibles de las que solo uno es la correcta ¿Cuál es la probabilidad de que con pura conjeturas se obtenga de 25 a 30 respuestas correctas para 80 de los 200 problemas acerca de los que el estudiante no tiene conocimiento.7) Se supone que la probabilidad de que una persona sobreviva a un ataque de cólera ( con asistencia médica en el hospital Lenin Fonseca ( con asistencia medica) es de 0.4¿ Cual es la probabilidad de que cuando menos la mitad de 100 pacientes con este mal sobreviva?8) La probabilidad de que una persona tiene de ganar cuando apuesta al ne-gro en la ruleta es a razón 9 de 19, en cada vuelta. Suponer que se hacen 100 juegos en la ruleta por hora ¿Cuál es la probabilidad (aproximada) de que el número negro aparezca al menos 45 veces?

9) Algunos estudios indican que el 40% de la población de la ciudad de Mana-gua ha utilizado una marca de dentífrico al menos en alguna ocasión. Un investigador que desea verificar la validez de este porcentaje reunió correctamente una muestra aleatoria y encontró que 220 de los 600 individuos entrevistados habían utilizado la marca. Si en realidad es correcto el dato relativo al 40% ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 600 contenga menos de 221 individuos que se hayan servido de dicho producto?

10) Se cree que un conjunto de estudiantes de la UNAN MANAGAU esta divi-dido en dos facciones aproximadamente iguales con respecto a una propuesta estu-diantil de UNEN. Suponiendo que así es en efecto ¿Cuál es la probabilidad de que la encuesta realizada con 100 estudiantes por la mesa directiva de la sociedad de alumnos indique que por lo menos 60% está a favor de la propuesta?