distribucioni normal

1

Distribucioni normal dhedistribucioni standard normal

Ligjërata e gjashtë

2

Qëllimet e mësimit

• Pas përfundimit të ligjëratës ju duhet të jeni në

gjendje që të :

Dini kakrakteristikat e distribucionit normal të

probabilitietit.

Definoni dhe kalkuloni vlerën e t, gjegjësisht Z.

Përcaktoni probabilitetin se një vrojtim gjindet në mes të

dy pikave duke shfrytëzuar distribucionin normal

standard (variablën e standardizuar ose devijimin e

normalizuar)

Përcaktoni probabilitetin që një vrojtim do të jetë mbi ose

nën një vlerë të dhënë duke shfrytëzuar distribucionin

normal standard.

3

Variablat e rastësishmekontinuale -Shembuj

Experimenti Variablarastesishme

Vlerat e

mundshme

Pesha e100 Njerëzve Pesha 45.1, 78, ...

Jetëgjatësia e baterive Orë 900, 875.9, ...

Shpenzimet për ushqimshpenzimet 54.12, 42, ...

Matja e kohës nëMes te dy arritjeve

Kohae arritjes

0, 1.3, 2.78, ...

4

Funksioni i probabilitetitkontinual

1. Formulë matematikore

2. Paraqet të gjitha vlerat e x, &

Frekuencave, f(x)

f(X) - Nuk është probabilitetit

3. Karakteristikat

Sipërfaqja nën lakore është 1

Mund të gjinden probabilitet

më pak se një vlerë e caktuar

. Vlerat

(Vlerat, Frekuencat)

Frekuencat

f(x)

a bx

5

Probabiliteti i variablavetë rastësishme kontinuale

Probabiliteti është

sipërfaqja nën

lakore

© 1984-1994 T/Maker Co.

P c x d( )

f(x)

Xc d

6

Llojet e distribucionit tëvariablave kontinuale

Llojet e distribucioneve kontinuale

Uniform Normal Eksponencial

7

Rëndësia e distribucionitnormal

Shpërndarja normale paraqet shpërndarjen teorike

të probabiliteteve më të rëndësishme për këto

arsye:

1. Një numër i madh i fenomeneve në natyrë dhe

shoqëri kanë përafërsisht shpërndarje normale.

Shembuj tipik janë: gjatësia, pesha, tensioni i

gjakut, rezultatet në testet e intelegjencës,

gabimet gjatë matjeve, etj.

8


• Në përgjithësi, nëse numër i madh i

faktorëve kanë ndikim të vazhdueshëm,

dhe ndikimi i çdo njërit prej tyre është

shumë i vogël, mund të pritet që

dukuria të ketë shpërndarje normale.

9


2. Shpërndarja normale mund të shërbejë si

zëvendësues i shkëlqyeshëm i

shpërndarjeve teorike diskrete, sidomos atij

të Poison-it dhe Binomial, për ato vlera të

parametrave që nuk janë të dhënë në

tabelën e probabiliteteve. Me fjalë të tjera,

shumë shpërndarje teorike diskrete, në

kushte të caktuara, tentojnë kah shpërndarja

normale.

10


3. Nga shpërndarja normale janë

formuar edhe shumë shpërndarje të

tjera të vazhdueshme, që gjithashtu

kanë rëndësi shumë të madhe në

analizën statistikore siç janë ai i

Studenti-it, Shpërndarja hi në

katror, Fisherit, etj.

11


4. Shpërndarja normale paraqet bazën për

nxjerrjen e konkluzioneve për parametra të

populacionit për shkak të :

a) lidhjes së saj me Teoremën Qendrore

Kufitare dhe

b) për arsye se metodat parametrike kanë

supozimin e përbashkët që tërësia prej nga

merret mostra ka shpërndarje normale.

12

Kurdo që shohim një lakore normale, mundemi që të imagjinojmë një Bar-diagram brenda saj.

•

•13 •15•14 •16•12 •17 •21•20•19•18 •22

13

Shembull: Rezultatet e një kuizi shkollor të 51 studentëve

•

1 •13 • •

•

2

•

3

•

4

•

5

•15•14 •16

•

8•

7•

6

•

9

•12 •17 •21•20•19•18 •22•Rezultatet e kuizit

•Nr

stu

den

tve

14

Mesatarja

12+13+13+14+14+14+14+15+15+15+15+15+15+16+16+16+16+16+16+16+16+17+17+17+17+17+17+17+17+17+18+18+18+18+18+18+18+18+19+19+19+19+19+20+20+20+20+20+21+21+22=867

867/51=17

•

1 •13 • •

•

2

•

3

•

4

•

5

•15•14 •16

•

8•

7•

6

•

9

•12 •17 •21•20•19•18 •22•Rezultatet e kuizit

•Nr

studentv

e

15

Moda

12

13 13

14 14 14 14

15 15 15 15 15 15

16 16 16 16 16 16 16 16

17 17 17 17 17 17 17 17 17

18 18 18 18 18 18 18 18

19 19 19 19 19 19

20 20 20 20

2 121

22

•Rezultatet e kuizit

•

1 •13 • •

•

2

•

3

•

4

•

5

•15•14 •16

•

8•

7•

6

•

9

•12 •17 •21•20•19•18 •22

16

Mediana12,13,13,14,14,14,14,15,15,15,15,15,15,16,16,16,16,16,16,16,16,17,17,17,17,17,17,17,17,17,18,18,18,18,18,18,18,18,19,19,19,19,19,1

9,20,20,20,20,21,21,22

•

1 •13 • •

•

2

•

3

•

4

•

5

•15•14 •16

•

8•

7•

6

•

9

•12 •17 •21•20•19•18 •22


•Nr

studentv

e

17

•Nr

stu

de

ntv

e

• Nga ky shembull mund të përfundojmë se mesatarja, moda dhe

mediana do të bien në të njëjtën vlerë në distribucionin normal

•

1 •13 • •

•

2

•

3

•

4

•

5

•15•14 •16

•

8•

7•

6

•

9

•12 •17 •21•20•19•18 •22


18

Shpërndarja normale

1. ‘Në formë të ziles&

Simetrike

2. Mesatarja , mediana dhe

moda janë të barabarta

3. ‘Shpërndarja mesatare ’

është 1.33

4. Variabla e rastësishme

ka infinit vleraMesatarja

Mediana

Moda

X

f(X)

19

Funksioni i probabiliteit-formula matematikore

2

2

1

e2

1)(

x

xf

x = Vlera e variablës së rastësishme (- < x < )

= Devijimi standard i popullimit

= 3.14159

e = 2.71828

= Mesatarja e variablës së rastësishme x

Mos e mbani në mend këtë formulë!

20

Shënimi i shpërndarjesnormale

X është N (μ, σ)

Variabla e rastësishme X ka shpërndarje

normale (N) me mesatare μ dhe devijim

standard σ.

X është N(40,1)

X është N(10,5)

X është N(50,3)

21

Efektet e lëvizjes sëparametrave ( & )

X

f(X)

CA

B

22

Probabiliteti ishpërndarjes normale

?)()( dxxfdxcPd

c

c dx

f(x)

Probabiliteti

është nën

lakoren

normale!

?

23

X

f(X)

Numër i pafundëm itabelave

Shpërndarjet normale

dallohen nga mesatarja dhe

devijimi standard.

Secila shpërndarje do

të kërkonte tabelën e

vet.

Që është numër i pafundëm i tabelave!

24

Distribucioni Normal Standard i Probabilitetit

Distribucioni normal me mesatare 0 dhe

devijim standard 1 quhet distribucion

standard normal i probabiliteteve.

Vlera Z ose t: Distanca në mes të vlerës

së selektuar, e shënuar me X dhe

mesatares së populacionit, e ndarë me

devijimin standard të populacionit.

ZX

25

Standardizimi ishpërndarjes normale

X

Një tabelë!

Shpërndarja

normale

= 0

= 1

Z

ZX

Shpërndarja

normale standarde

Z është N(0,1)

26

Shembull i standardizimit

X= 5

= 10

6.2

Shpërndarja

normale

ZX

6 2 5

1012

..

Z= 0

= 1

.12

Shpërndarja normale

standarde

27

Z= 0

= 1

.12

Z .00 .01

0.0 .0000 .0040 .0080

.0398 .0438

0.2 .0793 .0832 .0871

0.3 .1179 .1217 .1255

Sigurimi iprobabiliteteve

.0478

.02

0.1 .0478

Tabela e shpërndarjes

standarde normale (një pjesë)

ProbabilitetetZona e hijëzuar

28

29

30

ShembullP(3.8 X 5)

X= 5

= 10

3.8

Shpërndarja

normale

ZX

3 8 5

1012

..

Z = 0

= 1

-.12

.0478

Shpërndarja

standarde normale

Fusha e hijezuar

31

ShembullP(2.9 X 7.1)

5

= 10

2.9 7.1 X

Shpërndarj

anormale

ZX

ZX

2 9 5

1021

71 5

1021

..

..

0

= 1

-.21 Z.21

.1664

.0832.0832

Shpërndarja

standarde normale

Fusha e hijëzuar

32

33

ShembullP(X 8)

X = 5

= 10

8

Shpërndarja

normale

Shpërndarja

standarde normale

ZX

8 5

1030.

Z = 0

= 1

.30

.1179

.5000.3821

Fusha e hijezuar

34

ShembullP(7.1 X 8)

= 5

= 10

87.1 X

Distribucioni

normal

ZX

ZX

71 5

1021

8 5

1030

..

.

= 0

= 1

.30 Z.21

.0832

.1179.0347

Distribucioni

standard normal

Fusha e hijëzuar

35

SHEMBULL praktik

• Të ardhurat mujore të posa

diplomuarve në një korporatë të

madhe kanë shpërndarje normale me

mesatare aritmetike prej µ= $2000 dhe

devijim standard prej σ= $200. Sa

është vlera e Z për një të ardhur prej

x= $2200? Për një të ardhur prej

X=$1700?2200 2000

1200

XZ

36

SHEMBULL vazhdim

• Për X=$1700,

• Vlera Z = 1 tregon se vlera 2200$ është 1σmbi mesataren aritmetike prej $2000, derisaVlera Z=-1,5 tregon se vlera prej $1700 është1.5 σ nën mesataren aritmetike që është$2000.

1700 20001,5

200

XZ

37

SHEMBULL praktik.

o Përdorimi ditor i ujit për person në komunën X ka shpërndarje normale me mesatare 20 galon dhe me devijim standard 5 galon.

o Rreth 68% e shfrytëzuesve të ujit në komunën X gjendet në mes të cilave vlera?

o Për këtë, rreth 68% e shfrytëzuesve ditor të ujit do të jetë ndërmjet 15 dhe 25 galon.

1 20 1 5( ).

38

SHEMBULL 3

Sa është probabiliteti që një person i zgjedhur rastësisht nga komuna përdorë më pak se 20 galon ujë brenda ditës.

Vlera e Z: Z=(20-20)/5=0. Kështu, P(X<20)=P(Z<0)=0.5

Sa përqind përdorin në mes të 20 dhe 24 galon?

Vlera e Z e lidhur me X=20 është Z=0 dhe me X=24, Z=(24-20)/5=0.8. Kështu, P(20<X<24)=P(0<Z<0.8)=28.81%

39

•- •5

•0 •. •4

•0 •. •3

•0 •. •2

•0 •. •1

•. •0

•x

•f•(

•x

•r •a •l • •i •t •r •b •u •i •o •n •: • • •= •0 •, • • •

• -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

P(0<Z<0.8)

=0.2881

SHEMBULL -vazhdim

•0<X<0.8

•

40

Konceptet kyçe

1. Variabla e rastësishme kontinuale

2. Shpërndarja normale

3. Shpërndarja standarde normale

4. Sipërfaqja nën lakoren normale

5. Shpërndarja simetrike

6. Probabilitet e shpërndarjes normale

distribucioni normal

Documents