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Distribuição ContínuaDistribuição Contínua
NormalNormalNormalNormal
Prof. Prof. TarcianaTarciana LiberalLiberalDepartamento de Estatística Departamento de Estatística –– UFPBUFPB
Variável Aleatória Contínua:
• Associamos probabilidades a intervalos de valores da variável.
• Assume valores num intervalo de números reais.
• Não é possível listar, individualmente, todos os possíveis valores de uma v.a. contínua.
x
Exemplo : Observamos o peso, em kg, de 1500 pessoas adultasselecionadas ao acaso em uma população.
0.01
0 .02
0 .03
0 .04
De
ns
ida
de
30 40 50 60 70 80 90 100
0.00
Peso
- a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em torno de 70kg;
- a maioria dos valores (88%) encontra-se no intervalo (55;85);
- existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48kg (1,2%) e acima de92kg (1%).
Vamos definir a variável aleatória
Como se distribuem os valores da variável aleatória X, isto é, qual adistribuição de probabilidades de X ?
X: peso, em kg, de uma pessoa adulta escolhida ao acaso da população.
0 .03 0
A curva contínua da figura denomina-se curva Normal.
30 40 50 6 0 70 80 90 100
0.000
0.015
0 .03 0
P eso
De
nsid
ad
e
A distribuição Normal é uma das mais importantes distribuiçõescontínuas de probabilidade pois:
• Muitos fenômenos aleatórios comportam-se de forma próxima a essa distribuição. Exemplos:
1. altura;
2. pressão sanguínea;
3. peso.
• Pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada,probabilidades para outras distribuições, como por exemplo, para adistribuição Binomial.
Exemplo:Y: Duração, em horas, de uma lâmpada de certa marca.
A experiência sugere que esta distribuição deve ser assimétrica- grande proporção de valores entre 0 e 500 horas e pequenaproporção de valores acima de 1500 horas.
Nem todos os fenômenos se ajustam à distribuição Normal.
A DISTRIBUIÇÃO NORMAL
, – ∞∞∞∞ < x < ∞∞∞∞.
A v. a. X tem distribuição Normal com parâmetros µµµµ e σσσσ2 se sua funçãodensidade de probabilidade é dada por
Pode ser mostrado que
1. µµµµ é o valor esperado (média) de X ( -∞∞∞∞ < µµµµ < ∞∞∞∞);
2. σσσσ 2 é a variância de X (σσσσ 2 > 0).
Obs: f(x) é simétrica em relação a µµµµ.
Notação : X ~ N(µµµµ ; σσσσ 2)
Propriedades da distribuição normal2
)(,)()( σµ == XVarXEa
(b) A distribuição é simétrica em torno de sua média.(c) A área total sob curva é igual a um.(d) f (x) → 0 quando x → ±∞
(e) x = µµµµ é ponto de máximo de f (x)(f ) µµµµ - σσσσ e µµµµ + σσσσ são pontos de inflexão de f (x)
Influência de µµµµ na curva Normal
N( µµµµ1; σσσσ 2) N( µµµµ
2; σσσσ 2)
Curvas Normais com mesma variância σ2
mas médias diferentes (µ2 > µ1).
µµµµ1
µµµµ2 x
Influência de σσσσ2 na curva Normal
N(µ;σ12)
N(µ;σ22)
σ22 > σ1
2
Curvas Normais com mesma média µ,µ,µ,µ,
mas com variâncias diferentes (σσσσ22 > σσσσ1
2 ).
N(µ;σ2 )
µ
Cálculo de probabilidades
P(a < X < b)
Área sob a curva acima do eixo horizontal (x) entre a e b.
a bµµµµ
(I) Integrar a função de densidade (utilização de métodos numéricos).
entre a e b.
PROBLEMAS:
(II) Qual Tabela usar?
Deveríamos ter disponíveis uma infinidade de Tabelas, uma para cada par σ e µ!
Cálculo de probabilidades
SOLUÇÃO:
Transformar qualquer distribuição Normal (µ,σ2 ) Transformar qualquer distribuição Normal (µ,σ2 ) em uma distribuição normal com parâmetros fixos (Normal Padrão), através de uma mudança de variável e tabelar as probabilidades.
Se X ~ N(µµµµ ; σσσσ 2),
E(Z) = 0
Var(Z) = 1f(x) X ~ N(µµµµ ; σσσσ2)
definimos
0 z
f(z)
a – µµµµσσσσ
b – µµµµσσσσ
Z ~ N(0 ; 1) a µµµµ b x
A v.a. Z ~ N(0;1) denomina-se normal padrão ou reduzida.
Portanto,
Dada a v.a. Z ~N(0;1) podemos obter a v.a. X ~ N(µµµµ;σσσσ2) através da transformaçãoinversa
X = µµµµ + Z σ.σ.σ.σ.
USO DA TABELA NORMAL PADRÃO
P(Z ≤≤≤≤ z)
Obs.: P(Z > z) = P(Z < -z)
P(Z > z) = 1 - P(Z < z).
P(Z < -z) = 1-P(Z < z).
Encontrando o valor na Tabela N(0;1):
z 0 1 2
0,0 0,5000 0,5039 0,5079
0,1 0,5398 0,5437 0,5477
0,2 0,5792 0,5831 0,5870
0,3 0,6179 0,6217 0,6255
M M MM
c) P(0 < Z ≤≤≤≤ 1,71)
P(0 < Z ≤≤≤≤ 1,71) = P(Z ≤≤≤≤ 1,71) – P(Z < 0) = Φ(1,71) – Φ(0) = 0,9564 – 0,5 = 0,4564
d) P(-1,5 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,5)
P(–1,5 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,5) = P(Z ≤≤≤≤ 1,5) – P(Z ≤≤≤≤ –1,5) = Φ(1,5) – Φ(1,5) = 0,9332 – 0,0668 = 0,8664
Como encontrar o valor z da distribuição N(0;1) tal que:
(i) P(Z ≤≤≤≤ z) = 0,975
A tabela da normal pode ser utilizada no sentindo inverso, isto é,dado uma certa probabilidade, desejamos obter o valor que aoriginou.
z é tal que A(z) = 0,975.
Pela tabela, z = 1,96.
Zz
(ii) Qual o valor de z tal que P(0 ≤≤≤≤ Z≤≤≤≤ z)= 0,4975 ?
ZzP(0 < Z ≤≤≤≤ z) = 0,4975
P(Z ≤≤≤≤ z) – P(Z < 0) = 0,4975
Φ(z) – Φ(0) = 0,4975
Φ(z) – 0,5 = 0,4975
Φ(z) = 0,9975
z é tal que A(z) = 0,5 + 0,4975 = 0,9975. Pela tabela z = 2,81.
(v) P(– z ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ z) = 0,80
z é tal que P(Z ≤ –z) = P(Z ≥ z) = 0,1.
Zz– z
Isto é, P(Z ≤ z) = 0,90 e assim, pela tabela, z = 1,28.
Voltando ao exemplo 2: Seja X ~ N(10 ; 64). Calcule k tal que P( X ≥≥≥≥ k) = 0,05
z é tal que A(z)=0,95
Pela tabela z = 1,64
05,08
10
8
1005,0)( =
−≥=
−≥
−→=≥
kZP
kXPkXP
σ
µ
10Então, 1,64.
8k
z−−−−
= == == == =
Logo k = 10 + 1,64 ×××× 8 = 23,12.
Pela tabela z = 1,64
Z
Exemplo 3: O tempo gasto no exame vestibular de umauniversidade tem distribuição Normal, com média 120 mine desvio padrão 15 min.
a) Sorteando um aluno ao acaso, qual é a probabilidade que eletermine o exame antes de 100 minutos?
X: tempo gasto no exame vestibular ⇒⇒⇒⇒ X ~ N(120; 152)
0918,0)33,1(15
120100)100( =−<=
−<
−=<= ZP
XPXP
σ
µ
Z
b) Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95% dosvestibulandos terminem no prazo estipulado?
120( ) 0,95 0,95
15x
P X x P Z−−−−
< =< =< =< = ⇒⇒⇒⇒ ≤ =≤ =≤ =≤ =
z = ? tal que A(z) = 0,95.
X: tempo gasto no exame vestibular ⇒⇒⇒⇒ X ~ N(120; 152)
.
z = ? tal que A(z) = 0,95.
Pela tabela z = 1,64.
120Então , 1,64
15x −−−−
====⇒x = 120 +1,64 ××××15
⇒ x = 144,6 min.
Z
c) Qual é o intervalo central de tempo, tal que 80% dos estudantes gastampara completar o exame?
1 21 2
120 120P( ) 0,80 P 0,80
15 15x x
x X x Z− −− −− −− −
≤ ≤ =≤ ≤ =≤ ≤ =≤ ≤ = ⇒⇒⇒⇒ ≤ ≤ =≤ ≤ =≤ ≤ =≤ ≤ =
z = ? tal que A(z) = 0,90
X: tempo gasto no exame vestibular ⇒⇒⇒⇒ X ~ N(120, 152)
.
Pela tabela, z = 1,28.
1 1201,28
15x −−−−
= −= −= −= −
2 1201,28
15x −−−−
====
⇒⇒⇒⇒ x1= 120 - 1, 28 ×××× 15 ⇒⇒⇒⇒ x1 = 100,8 min.
⇒⇒⇒⇒ x2 = 120 +1,28 ×××× 15 ⇒⇒⇒⇒ x2 = 139,2 min.
Z
Exemplo 5: Doentes, sofrendo de certa moléstia, são submetidos a umtratamento intensivo cujo tempo de cura foi modelado por umadistribuição normal, com média 15 e desvio padrão 3 (em dias).
a) Que proporção desses pacientes demora mais de 17 dias para serecuperar?
b) Qual a probabilidade de um paciente, escolhido ao acaso,apresentar tempo de cura inferior a 20 dias?
c) Qual o tempo máximo necessário para a recuperação de 25% dosc) Qual o tempo máximo necessário para a recuperação de 25% dospacientes?
d) Considere um grupo de 100 pacientes escolhidos ao acaso, qualseria o número esperado de doentes curados em menos de 11 dias?