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DIVERTIAMOCI CON LA MATEMATICA
LE STORIE DEL MAESTRO SERGIO
“… per quanto attiene alla matematica e al suo
apprendimento, è ormai formalizzato, anche nei
programmi scolastici fin dalla scuola elementare, che il
pensiero matematico è caratterizzato dall’attività di
risoluzione dei problemi. Come a dire che pensare, in
tale disciplina, è pensare per problemi, anzi per
soluzioni.” ( D. Lucangeli – Perché i problemi matematici
sono difficili? in Età Evolutiva nr. 67)
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POSSONO I BAMBINI RISOLVERE QUESTI PROBLEMI?
Classe Prima
“La mamma ha 10 monete. Dopo aver pagato tre CD avanza 4 monete, va in banca preleva delle
monete ed esce con 10 monete. Tornando a casa fa la spesa al supermercato e avanza 2 monete.”
Quanto costa un CD? Quante monete ha prelevato in banca? Quanto ha speso al supermercato?
Elena 1^ elementare
Classe Seconda
La nonna ha ------- monete. Compra 4 pacchi di caffè che costano 3 monete al pacco paga e avanza
3 monete, compra 1 pacco di zucchero e spende ------- monete. Prima di ritornare a casa preleva 10
monete dal BANCOMAT e quando arriva a casa ha 11 monete.
Quante monete aveva all’inizio? Quanto costa un pacco di zucchero?
Giulia 2^ elementare
Classe Terza
In un cortile ci sono 49 animali. Per ogni gallina ci sono 4 pulcini e i conigli sono metà dei pulcini.
Quanti sono: le galline, i pulcini e i conigli?
Nicola 3^ elementare
Classe Quarta
Davide ha letto 64 pagine di un libro e gli mancano ancora i 5/9 per finire il libro.
Quante pagine ha il libro?
Valentina 4^ elementare
Classe Quinta
Marco paga 3 birre, 4 caffè, 2 panini e 2 aranciate e spende in tutto € 18.
1 birra costa come 2 aranciate,
1 caffè costa come 1 aranciata,
1 panino costa come 3 aranciate.
Quanto costa una birra, un caffè, un panino e un’aranciata?
Matteo 5^ elementare
NON SOLO LI RISOLVONO, PRIMA LI CREANO!
10 ? 4
4 ? 10
10 ? 2
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CAPITOLO 1: EDUCAZIONE CREATIVA AL PENSIERO
MATEMATICO NEI BAMBINI DAI 3 AGLI 11 ANNI.
L’insuccesso del bambino nella soluzione dei problemi è un argomento oggetto di molti studi
metodologico-didattici, su cui esiste una ricchissima letteratura. E’ per questo motivo che ho scelto
di indirizzare il mio lavoro di ricerca verso le strategie, i metodi e le tecniche che i bambini usano
per arrivare al successo nella soluzione dei problemi.
“Non riuscivo a trovare quanti € sono rimasti alla nonna perché non sapevo come mettere le
operazioni! Allora ho fatto questo disegno e sono riuscito a scoprirlo.” (Nicola 2^ classe)
“Ho scoperto quanti sono i pulcini perché ho disegnato il cortile.” (Anna 2^ classe)
“Ho trovato il perimetro in pochissimo tempo perché la figura è simmetrica. Ho misurato una parte
e l’ ho moltiplicata per 4.” (Valentina 4^classe)
All’interno di questa ricerca ho iniziato a praticare e a sperimentare con i bambini del primo ciclo
della Scuola Primaria l’ipotesi didattica che rendere i bambini esperti costruttori di problemi li aiuta
a diventare abili solutori di problemi.
Per questo ho proposto, attraverso esperienze divertenti, un apprendimento stimolante che
coinvolge il bambino dal punto di vista emotivo-affettivo e lo stimola all’autonoma ricerca-scoperta
di sempre nuove conoscenze.
Il punto di partenza è stato quello di considerare il bambino inserito nei suoi contesti e ambienti di
vita quotidiana. L’ho aiutato a scoprire, costruire ed imparare ad usare codici, alfabeti e sintassi
adeguati alla sua età per rappresentare situazioni problematiche realmente vissute e significative dal
punto di vista matematico.
1.1 DIFFUSIONE DELLA RICERCA
Attualmente la ricerca-azione, avente come capofila la Direzione Didattica di Malo (VI), è condotta
in 15 Istituti Scolastici sparsi nell’Alto Vicentino e coinvolge un centinaio d’insegnanti dell’ambito
logico-matematico delle classi prime, seconde, terze, quarte e quinte della Scuola Primaria e due
classi della Scuola dell’Infanzia.
Si sono costituiti cinque gruppi d’insegnanti per classi parallele che sono seguiti periodicamente
dagli ins. Sergio Vallortigara e Beppe Pea, promotori della ricerca-azione.
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1.2 VERIFICA DELLA RICERCA
I criteri, le metodologie e gli strumenti di verifica vengono discussi e stabiliti dagli insegnanti che vi
partecipano attraverso il confronto dei risultati ottenuti nelle proprie classi, tenendo presente le
indicazioni dei Programmi Ministeriali.
Una prima ed importante verifica riguarda i livelli d’apprendimento raggiunti dai bambini.
Per questo abbiamo raccolto dei campioni di materiale prodotto dai bambini nelle varie classi e
confrontato con le proposte didattiche “tradizionali” presenti nelle varie riviste specializzate, nelle
guide didattiche e nelle produzioni di bambini d’altre classi. I risultati ottenuti, nella quasi totalità,
sono al di sopra del percorso didattico “tradizionale” sia per quanto riguarda la capacità di risolvere
problemi sia nel calcolo orale/scritto.
Una seconda verifica, rivolta all’aspetto qualitativo dell’apprendimento, ha confermato, in tutte le
classi, un’ottima partecipazione del bambino al “lavoro matematico” coinvolgendolo non solo in
classe con i coetanei ma anche in famiglia con i genitori.
Il bambino costruisce e progetta problemi anche per rendere partecipi i genitori delle sue abilità. La
proposta didattica è stata accolta con molta benevolenza da parte dei genitori che, dopo aver visto i
risultati ottenuti dai loro figli, in più occasioni ne sono diventati promotori presso altri insegnanti.
Nei vari incontri collegiali di verifica sono stati evidenziati dei vantaggi che la ricerca-azione
promuove sia per gli alunni con problemi, che per gli alunni eccellenti, consentendo a ciascuno uno
spazio di crescita individuale, prescindendo dalla semplice applicazione di procedure.
Ogni bambino viene messo nelle condizioni di intraprendere il viaggio nell’ignoto matematico forte
di ciò che già conosce e sa fare. Non a caso un’altissima percentuale dei bambini intervistati ha
indicato la Matematica come l’attività preferita.
Maestro Sergio
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1.3 ROBERTA: UN’ ESPERIENZA SIGNIFICATIVA
Roberta aveva allora sei anni ed era inserita in una classe 1°. Era affetta da lesioni cerebrali
subite al momento del parto per cui si esprimeva con parole singole e frasi brevissime, aveva
inoltre problemi di coordinazione sia grosso sia fine-motoria.
Quel giorno Roberta non era del solito umore; per un nonnulla s’infastidiva, parlava poco e si
isolava dal resto della classe.
Anche quando arrivò Anna, l’insegnante di sostegno, che la seguiva, non la salutò con il suo solito
sorriso accattivante ma si rannicchiò sulla sedia con uno sguardo triste e corrucciato.
Anna ed io, suo insegnante di area scientifica, cercammo di capire il perché, di questo insolito
atteggiamento, ma non riuscimmo a trovare una risposta precisa.
Decidemmo allora d’ignorare la situazione e di farle fare comunque un esercizio di aritmetica ma
non nel modo come lo stavano facendo i suoi compagni di classe.
Su un foglio disegnammo la seguente storia:
Le illustrammo bene il disegno:
“La mamma ha 4 caramelle e le vuole spartire in parti uguali tra Roberta e Jenny (la sua
migliore amica) ”.
ROBERTA
MAMMA
JENNY
Chiedemmo a Roberta di disegnare la spartizione, ci pensò un attimo, velocemente si mise al lavoro
e subito ci porse il foglio con questa soluzione:
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Vedendo che la spartizione non era corretta le chiedemmo: “Perché non hai spartito bene le
caramelle tra te e la tua amica Jenny? ”. E lei, guardandoci con due occhioni sorpresi, ci rispose:
“ Ieri Jenny non è venuta a giocare con me!”
La sua risposta aprì un orizzonte cui non avevamo prima d’allora mai pensato e subito nacquero in
noi delle curiosità:
Che cos’era avvenuto nella mente di Roberta tra il primo ed il secondo disegno?
Osservando il disegno e ascoltando la nostra spiegazione forse le avevamo
inconsapevolmente offerto uno strumento efficace per punire la sua amica Jenny ?
Per arrivare a spartire le caramelle in modo “errato”, ma pertinente al suo vissuto, così da
evidenziare la “punizione” inflitta a Jenny, che elaborazione mentale aveva dovuto fare
Roberta?
A quali riserve cognitive anche di tipo logico aveva attinto?
Nel tentativo di capire verso quale direzione guardare per trovare delle risposte soddisfacenti a
questi interrogativi alcune parole ci sono sembrate più significative di altre: coinvolgimento,
costruzione, ascolto, verifica, storia, progetto.
In particolare ci sono sembrate proprio le ultime due le parole-chiave con cui interpretare ciò che
era accaduto: essere coinvolti nella costruzione di un progetto che permetteva ad una storia
personale di manifestarsi e quindi, attraverso l’ascolto, di verificare il progetto stesso.
La risposta, cercata nella sua storia personale con cui Roberta giustifica il suo errore voluto, ci ha
fatto comprendere come nel “progetto di punire Jenny” lei avesse operato e fatto interagire concetti
matematici e strutture logiche profonde, non sempre rilevabili e osservabili con gli strumenti
didattici tradizionali.
In particolare, creando una storia Roberta aveva dimostrato di saper utilizzare e combinare insieme
nella procedura di spartizione i concetti di
maggiore (“di più a lei”)
minore (“meno a Jenny”)
uguaglianza (“rifiutato perché non lo voleva”)
Con un unico atto creativo aveva dimostrato contemporaneamente di sapere, saper fare e saper
essere.
Ci siamo chiesti allora se questa non fosse una chiave significativa da offrire a tutti i bambini in
modo da permettere loro di “impastare insieme” vissuti personali, manipolazione ludica,
immaginazione creativa, simbolizzazione, concettualizzazione e formalizzazione matematica per
ricavarne una comprensione più completa e profonda del pensiero matematico, un apprendimento
significativo e non banale.
Per ottenere una risposta soddisfacente, abbiamo dovuto cercare risposte ad altre domande, in essa
contenute, inerenti al dove, quando, come, perché provare a sperimentare queste modalità di
lavoro in classe con i bambini.
Dove ? Non nell’aula-museo del “guardare ma non toccare”, in quanto il bambino verrebbe a trovarsi di
fronte a dei percorsi troppo rigidi nella loro perfezione, dove alla fine non ci sarebbe spazio per lui e
gli sarebbe impossibile “imparare a far manovra”, imparare dai suoi tentativi falliti.
Non nell’aula-biblioteca del “leggere ma non parlare”, in quanto il bambino verrebbe privato del
suo diritto di essere ascoltato, dovendosi inoltre misurare con percorsi per lui non agevoli, in cui
spesso non è in grado di destreggiarsi.
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Non nell’aula-parco giochi del “fare senza riflettere e pensare”, in quanto i percorsi che si aprono
davanti al bambino sarebbero troppo casuali ed effimeri, dettati più dalla moda o da interessi e
bisogni troppo particolari e contingenti e non da un progetto più ampio e generale d’apprendimento.
Ma in una normale aula scolastica vissuta come laboratorio d’apprendimento interattivo in cui
ogni bambino trova materiali flessibili e strumenti capaci di mediare in modo efficace le sue storie e
le sue curiosità con le esigenze della disciplina, nel rispetto dei tempi, dei ritmi e degli stili
personali d’apprendimento.
Quando ? Subito, in quanto è già presente in ogni bambino, che inizia la scuola primaria, il desiderio e il
bisogno di imparare i percorsi mentali che lo condurranno in autonomia dalla sua “casa” al
“villaggio globale” , dal suo “essere qui ora in questo luogo” al “proiettarsi in un futuro,
immaginato in altri spazi e in altri luoghi”.
Per potersi sperimentare in questa sua ricerca e prenderne consapevolezza il bambino ha bisogno di
avere al suo fianco un adulto che gli permetta di poter liberamente “provare ad errare”, senza
sentirsi in colpa.
Ha bisogno di un adulto che lo aiuti ad imparare a “far manovra” e che gli permetta di “poter
perdere tempo” al fine di comprendere il “valore del tempo” nel rispetto dei suoi ritmi di crescita.
Ha bisogno di un adulto che abbia ancora voglia di “imparare ad insegnare” e che sappia mettersi al
suo fianco per scoprire insieme a lui le strade migliori da percorrere.
Come ? Mettendo ogni bambino nelle condizioni di potersi dare un proprio progetto d’apprendimento. Tale
progetto deve essere condiviso e sviluppato con l’adulto-educatore e con i compagni di classe
nell’ambiente scolastico, con i familiari e amici di gioco nell’ambiente extrascolastico. E’
importante che il bambino, fin dalle sue primissime esperienze scolastiche, mantenga costante il suo
modo di “fare” e di rapportarsi con gli altri. Tutto quello che avviene a scuola può essere sviluppato
a casa e viceversa in un unico ed armonioso modo d’essere.
Progetto inteso come:
a- gioco, fantasia e creatività, potendo disporre di oggetti e materiali strutturati e non, da
esplorare, da manipolare liberamente e da combinare in nuove forme e costruzioni anche
fantastiche;
b- apprendimento di abilità e capacità tecniche nell’uso di strumenti e modi adeguati per
rappresentare, raccogliere, elaborare, simbolizzare e documentare i percorsi e le scoperte
fatte;
c - costruzione di competenze di gestione delle risorse, in termini di spazi, tempi, codici
simbolici, e procedure dinamiche necessarie alla costruzione dei propri apprendimenti.
L’adulto-educatore è sempre parte dello “sfondo” di apprendimento. Il modo come si rapporterà
agli alunni non è mai neutro. Il tipo di relazione socio-affettiva che andrà a costruire modificherà la
qualità dell’apprendimento.
Operare un intervento di “sfondo” sta a significare che l’adulto-educatore non si pone come figura
emergente (di primo piano), rispetto al quale ruotano tutti i processi educativi. Egli è una specie di
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“regista” che cura le condizioni istituzionali e relazionali affinché gli alunni possano autogestire le
proprie esperienze di apprendimento.
L’ambiente organizzato come “sfondo”, oltre a favorire il raccordo tra momento affettivo e
momento cognitivo, possiede una specifica valenza cognitiva che implica una concezione della
conoscenza non come accumulo meccanico di informazioni, ma come loro assestamento emotivo e
cognitivo, secondo percorsi personali.
Perché? Per dare “visibilità e direzionalità” ai bisogni ed ai desideri di imparare di ogni bambino,
permettendogli di immaginarsi e di proiettarsi in un proprio futuro.
Per permettere ad ogni bambino di ricercare, nelle condizioni concrete poste dal presente, in cui
vive e agisce, le risorse interiori ed esteriori necessarie per ideare un proprio progetto ed iniziare a
percorrerlo.
Per permettere ad ogni bambino di attingere ai suoi saperi naturali e fare tesoro dei suoi vissuti e
delle esperienze fatte.
Per permettere ad ogni bambino di vivere non solo il “tempo spezzato” dell’imparare una cosa
perché piace o perché si deve, ma soprattutto il “tempo come durata, come processo” in cui – come
ci ricorda Andrea Canevaro – anche le attese, le incertezze, le sospensioni e i rinvii hanno valore,
ma in cui è anche possibile vivere la “sincronicità” tra l’imparare e l’emozione della sorpresa, dello
scoprire e dell’imparare.
Per permettere ad ogni bambino di poter percorrere in entrambi i versi il ciclo che lega il passato al
futuro attraverso il presente, permettendogli di scegliere tra più percorsi diversi in base ai propri
tempi, ritmi e stili di apprendimento.
Nel corso degli anni l’esperienza, iniziata con Roberta, ci ha portato ad esplorare, assieme ai
bambini, nuovi percorsi attraverso i quali imparare e pensare matematicamente.
I risultati positivi, che strada facendo abbiamo raccolto, e le scoperte che abbiamo fatto ci hanno
permesso di capire sempre più chiaramente quale fosse la logica educativa e didattica, per noi
ancora in buona parte sconosciuta, che aveva ispirato e mosso la nostra ricerca-azione.
Non si è trattato di educare i bambini alla razionalità dentro la matematica ma attraverso la
matematica , mettendoli in condizione di “fare matematica”.
Identificare relazioni, analizzarne le proprietà, immaginare e rappresentare situazioni, azioni e
problemi, prima in modo personale e poi più convenzionale, inventare procedimenti e strategie
risolutive, arrivando attraverso tentativi ed errori alle forme canoniche, sono state queste le attività
che quotidianamente si sono sviluppate e intrecciate fino a dare corpo a dei percorsi più strutturati,
che si snodano lungo tutto il curricolo della Scuola dell’Infanzia e Primaria.
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CAPITOLO 2: L’ARTICOLAZIONE DEL PROGETTO
Per rendere esportabile la ricerca-azione abbiamo raccolto ed elaborato, all’interno di un pacchetto
di proposte didattiche, un progetto che propone, finalità, percorsi, strumenti ed organizza il lavoro
didattico accompagnando il bambino nel suo sviluppo evolutivo dai 3 agli 11 anni.
PROGETTO
4. LO SVILUPPO
5.GLI STRUMENTI
3. LA MAPPA
2. L’AMBIENTE
1. LE FINALITA’
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2.1 LE FINALITÁ
Nel progetto di ricerca-azione, relativa al problem solving, ci siamo posti come obiettivo
lo sviluppo e potenziamento delle capacità di:
Riconoscere e rappresentare il problema.
Interpretare e risolvere il problema.
Creare ed impostare il problema.
Di solito questo è un percorso che viene presentato e sviluppato in modo sequenziale per tappe
distinte, successive e distanziate nel tempo: prima la descrizione, poi l’interpretazione, e alla fine la
costruzione del problema.
La sfida che ci siamo posti è: perché non rendere circolare questo percorso portando il
bambino al più presto alla gestione contemporanea di queste abilità?
Rappresentare
il problema Risolvere
il problema
Impostare
il problema
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PROGETTO DI
AUTOCOSTRUZIONE
E DI COEVOLUZIONE
2.2 L’AMBIENTE
Con questo termine intendiamo identificare l’ambiente d’apprendimento disciplinare.
Molto spesso capita che il bambino venga posto sotto un eccesso di “riflettori”: dall’insegnante con
le verifiche, dalla famiglia con l’attesa di risultati e dai compagni di classe con i loro giudizi. Tutto
questo fa sì che il bambino sperimenti una situazione d’estremo disagio: la solitudine del
protagonista. Si sente da solo di fronte all’insegnante, da solo di fronte alla MATEMATICA del
“giusto o sbagliato”. Sente l’alito carico di attese dei genitori alle spalle. Viene abbandonato dagli
amici (col compagno di banco non può parlare e neanche scambiare figurine). Ben presto si rende
conto che la sua immagine di “bravo bambino” può essere messa in discussione se non riesce a
conseguire dei risultati soddisfacenti. Questo fa sì che la sua autostima lo porti a prendere delle
decisioni a volte irreversibili: sono bravo in matematica quindi … oppure non riesco in matematica
quindi …
La nostra proposta è di capovolgere questa situazione ponendo al centro, sotto i “riflettori
dell’ambiente scolastico”, il progetto e il bambino a fianco dei coetanei, del docente, della famiglia.
affinché possa apprendere e sviluppare in coevoluzione con loro il proprio linguaggio matematico.
Per dare un’adeguata rappresentazione della complessità dell’ambiente di apprendimento, in cui è
inserito ogni bambino, abbiamo fatto ricorso ad un approccio di tipo relazionale-sistemico.
COETANEI
DOCENTE
LINGUAGGI
FAMIGLIA
BAMBINO
STRUMENTI
MEDIATORI
LINGUAGGI
STRUMENTI
MEDIATORI
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2.3 GLI STRUMENTI
In questa categoria rientra il materiale didattico, molto del quale innovativo, che permetterà al
bambino di apprendere in un modo nuovo e divertente i concetti matematici.
Il primo percorso prevede l’utilizzo delle storie.
Oltre al percorso delle storie, il PROGETTO ne prevede altri otto che sviluppano la spazialità, la
logica, la statistica, i numeri decimali, le frazionari, le equazioni… Tutti questi percorsi seguono lo
stesso metodo caratterizzato da strumenti che, oltre far giocare il bambino, lo aiutano a sviluppare
in modo piacevole il linguaggio matematico.
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CAPITOLO 3: LE STORIE PER RACCONTARE ED
OPERARE
Il termine storia è stato scelto dai bambini e si riferisce ad un insieme di azioni collegate tra loro,
che possono essere messe in sequenza e quindi raccontate come una storia. La storia, attraverso la sua rappresentazione, crea un momento d’incontro estremamente efficace tra
il racconto del proprio vissuto e la lettura per immagini, tra il linguaggio parlato e il linguaggio
analogico.
La Matematica presentata come gioco ma, se vogliamo divertirci veramente, dobbiamo avere gli
amici con cui giocare e i giocattoli da utilizzare. Indubbiamente gli amici sono i compagni di classe,
l’insegnante, i genitori e, nel nostro caso, possono essere dei personaggi virtuali come questi:
MAMMA PAPA’ FIGLIO FIGLIA NONNO NONNA
I giocattoli sono gli oggetti che i personaggi utilizzano nelle varie storie:
TASCA MONETE FOGLI CARAMELLE FIORI FIGURINE
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Le strip sono gli spazi nei quali disegniamo le storie:
3.1 LA STRUTTURAZIONE DEL LAVORO
Un concetto matematico è veramente appreso quando si è in grado di:
- riconoscerlo a livelli diversi di apprendimento,
- utilizzarlo per risolvere problemi,
- usarlo come strumento per creare situazioni matematiche significative.
Ciò ha comportato il dover svincolare il lavoro dei bambini dalla routine delle solite storie per
indirizzarlo verso altre finalità.
Il primo passo riguarda la lettura dei “QUADRI”.
Ogni storia doveva essere letta nei suoi dettagli sottolineando in modo particolare la cronologia
degli avvenimenti.
Il secondo passo fu, quando ormai tutti erano diventati esperti lettori, l’introduzione di giochi:
- indicate dove sono andati a finire gli oggetti che si trovano nel primo quadro,
- leggete la storia alla rovescia partendo dalla situazione finale,
- provate a cambiare il numero di oggetti iniziali e ricostruite la storia,
- cambiate il numero di oggetti finali e ricostruite la storia.
Nel corso dei lavori sono emersi nuovi personaggi e oggetti nati dalla fantasia dei bambini, che
hanno reso questo strumento più divertente e coinvolgente.
Vedremo che attraverso questo strumento è possibile insegnare i concetti di spartizione, resto,
addizione, cicli ricorsivi e strategie per la costruzione/soluzione di problemi.
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3.2 LA STORIA DELLA SPARTIZIONE Ero agli inizi dell’anno scolastico ed insegnavo Matematica in un modulo di due classi parallele di
prima elementare (in una di queste classi c’era Roberta).
Avevo programmato di affrontare come primo argomento il concetto di SPARTIZIONE e questo
sulla base di varie osservazioni ed esperienze condotte negli anni precedenti.
Mi ero reso conto che lo spartire oggetti in parti uguali era molto vicino alla situazione psicologica
dei bambini che iniziano il primo ciclo elementare. L’azione del dare lo stesso numero di oggetti ad
ognuno crea uguaglianza e quindi pone il bambino sullo stesso piano dei suoi compagni di classe,
rassicurandolo ed aiutandolo ad inserirsi bene in questa sua nuova fase di vita.
Avevo ormai esaurita la fase manipolativa della spartizione, in cui i bambini, come Roberta,
avevano spartito di tutto (dal materiale casualmente offerto dall’ambiente al materiale strutturato)
ed ero arrivato alla rappresentazione iconica.
La spartizione come prima operazione da presentare ai bambini, in quanto si dimostra
concettualmente la più semplice, è la più “tranquillizzante” (Il bambino in 1^ elementare si sta
inserendo in un nuovo gruppo e “l’uguaglianza delle parti” lo fa sentire alla pari dei suoi amici).
ASPETTI MATEMATICI CHE LA STORIA EVIDENZIA:
Rafforzamento del concetto di spartizione. (operazione ricorsiva)
Esperienze di equipotenza attraverso più corrispondenze biunivoche.
Il numero inteso come numerosità.
La tasca come rappresentazione di un raggruppamento.
La conservazione della quantità.
Il percorso di lettura: sinistra-destra, prima - poi e i loro inversi.
La rappresentazione del tempo, come sequenza delle mutazioni degli stati.
Evoluzione dal linguaggio comune (familiare, discorsivo, impreciso) al linguaggio
disciplinare matematico.
Attribuire un senso a quello che si fa e alla fatica di imparare.
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Inoltre, in quanto “narratore” ritenuto “competente” dall’adulto, il bambino viene
sostenuto nella sua autostima e spinto a migliorarla.
La storia, attraverso la sua rappresentazione-costruzione a strip, crea un momento d’incontro
estremamente efficace tra il racconto del proprio vissuto e la lettura per immagini, tra il linguaggio
parlato e il linguaggio analogico.
Come si può vedere la storia è suddivisa in tre “QUADRI” (anche questo termine era stato scelto
dai bambini):
nel primo quadro il bambino disegna la situazione iniziale e rappresentata la mamma che
possiede 4 monete da spartire in parti uguali tra i suoi 2 figli;
nel secondo quadro il bambino spartisce tracciando una linea che va da una moneta nella
tasca della mamma alla tasca del figlio e disegna la moneta. Ripete l’operazione fino
all’esaurimento delle 4 monete;
nel terzo quadro il bambino disegna la situazione finale con la mamma che rimane senza
monete e i 2 figli con 2 monete ciascuno.
Alla fine della rappresentazione il bambino, che non sa ancora scrivere il testo, lo “legge”
precisando bene i tre momenti della storia:
“All’inizio la mamma ha 4 monete e vuole spartirle in parti uguali tra il figlio e la figlia che
non ne hanno”.
“Nel secondo QUADRO avviene la spartizione: la mamma dà una moneta al figlio, una alla
figlia, un’altra al figlio e l’ultima alla figlia”.
“Alla fine la mamma rimane senza monete perché la ha spartite tutte in parti uguali tra i
suoi due figli”.
La lettura da parte del bambino, a rappresentazione ultimata, è molto importante perché gli fa
cogliere molteplici aspetti tutti presenti nella strip:
temporale: il prima, l’azione dello spartire e il poi;
il tipo di azione (spartizione in questo caso, oppure resto, addizione, ecc. nelle tappe
successive) che, da una precisa situazione iniziale, ne crea una finale diversa;
la corrispondenza biunivoca che viene sottolineata nelle varie operazioni;
la conservazione della quantità: all’inizio ci sono 4 monete le stesse che troviamo alla
fine;
la modalità stessa della rappresentazione iconica che, nella successiva fase della
rappresentazione simbolica, diverrà la base sulla quale si svilupperà il ragionamento astratto;
il percorso di lettura che può essere invertito; (dalla situazione finale a quella iniziale)
ed infine, da non trascurare, il fatto che il bambino quando “legge la storia in realtà racconta
se stesso ed è ascoltato con attenzione da un adulto.
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3.3 L’EVOLUZIONE DELLA STORIA DELLA SPARTIZIONE Col passare del tempo le storie diventavano sempre più ricche e complesse: variava la quantità di
oggetti da spartire, variava il numero dei destinatari, …
I bambini scoprirono ben presto il resto, la metà e più soluzioni per un unico problema.
Es.: “Maestro con 5 fogli e 4 bambini”.
Dopo un lunga discussione i bambini all’unanimità decisero che un foglio rimanesse al maestro.
Scoprirono il resto.
Es.: “Mamma con 3 monete e 2 figli”.
Anche in questo caso vi fu una discussione, per la verità breve, in quanto era evidente che non si
poteva tagliare a metà una moneta.
La conclusione fu: ”La mamma nasconde in tasca la terza moneta per evitare che i due figli
litighino tra loro”.
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Es.: “Nonna con 3 fette di torta e 2 nipotini”.
Altra discussione e alla fine trovarono due buone soluzioni:
1 – una fetta a ciascun nipotino e quella che rimane alla nonna. La fetta è considerata in senso
cardinale (come un oggetto che non ammette sottomultipli).
2 – una fetta a ciascuno nipotino più mezza della fetta che rimane. La fetta della torta è considerata
in senso dimensionale (come una “cosa” che si può a sua volta suddividere in sottomultipli di
uguale dimensione) e si può tagliare.
Scoprirono così la metà come un nuovo tipo di spartizione: non distribuire, ma tagliare in parti di
ugual misura .
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Es.: “Maestro con un foglio da disegno e due bambini”.
La discussione portò a due soluzioni:
1 – i due bambini disegnano insieme sullo stesso foglio,
2 – il maestro taglia a metà il foglio (spartizione dimensionale).
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Es.: “Maestro con 5 fogli e due bambini”.
Le varie soluzioni furono:
1 – un foglio a ciascun bambino e i restanti li tiene il maestro,
2 – due fogli a ciascun bambino e il restante lo tiene il maestro (divisione cardinale),
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3 – due fogli e mezzo a ciascun bambino (divisione dimensionale).
Il lavoro di discussione con tutta la classe delle nuove e varie situazioni che si presentavano ha fatto
sì che i bambini si sentissero sempre più protagonisti e partecipi delle loro “SCOPERTE”, facendo
crescere l’entusiasmo per “QUESTA MATEMATICA COSI’ FACILE”.
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3.4 LA STORIA DEL RESTO Come abbiamo visto nel paragrafo precedente, con l’evoluzione delle storie della spartizione
abbiamo introdotto dei nuovi concetti matematici, tra i quali il resto.
Ben presto ci trovammo di fronte ad una nuova storia: LA SOTTRAZIONE.
Fu Elena che disegnò la seguente strip:
Elena
Elena lesse: “Francesca ha sette gomme da masticare , ne regala tre alla sua amica Elena e alla
fine a Francesca restano quattro gomme”. Poi aggiunse: ”Questa storia si potrebbe chiamare del
RESTO perché ci fa scoprire quante gomme restano a Francesca”.
Anche questa operazione, molto frequente nei vissuti dei bambini, viene interpretata come una
trasformazione. E’ la “diminuzione” di una quantità o di una dimensione ed è importante tenere
sotto controllo quello che “resta”. E’ strettamente collegata all’ operazione di spartizione, perché
anche lì ci si poteva imbattere in qualche resto.
Da quel momento per tutti fu la “STORIA DEL RESTO” (intendendo il termine associato alla
sottrazione e non alla spartizione) e subito si misero a costruire le “nuove storie”:
Marco
La mamma ha sei monete. Ne regala tre a Marco perché compri il gelato. Le restano tre monete.
Giulia
La nonna ha cinque monete. Dà alla mamma quattro monete. Alla nonna resta una moneta
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3.5 LE STORIE PER TOGLIERE / AGGIUNGERE Un giorno Giulia arrivò in classe tutta entusiasta e a gran voce disse: “Ho fatto una scoperta”!
Ci mostrò il quadernone dove aveva disegnato due strip uguali e poi cominciò a spiegarci:
”La prima strip rappresenta la storia della mamma che regala due € al papà ed è un togliere.
La seconda invece è la storia del papà che riceve due € dalla mamma ed è un aggiungere.”
Giulia, giocando con i protagonisti della storia, aveva scoperto l’operazione inversa: se la mamma
“regala”, il papà “aggiunge”. Aggiungere è l’inverso del togliere. Giulia aveva scoperto che, se in
una stessa storia togliamo da una parte per aggiungere ad un’altra parte, manteniamo la stessa
quantità. Nel caso della storia di Giulia all’inizio abbiamo 5 monete (3 alla mamma e 2 al papà) e
alla fine sempre 5 monete (1 alla mamma e 4 al papà).
In una stessa storia abbiamo due racconti quello della mamma e quello del papà che rappresentano
due operazioni opposte tra loro: la sottrazione e l’addizione.
“Togliere ed aggiungere” divenne il titolo delle nuove storie.
Ed ecco la storia di Giulia rappresentata nello stesso modo ma letta in due modi diversi.
LA STORIA RACCONTATA DALLA MAMMA:
SITUAZIONE INIZIALE LA MAMMA TOGLIE SITUAZIONE FINALE
Avevo tre monete, ne ho date due al papà, ora ne ho una.
La storia della mamma è una storia del RESTO.
STESSA STORIA RACCONTATA DAL PAPA’:
SITUAZIONE INIZIALE IL PAPA’ AGGIUNGE SITUAZIONE FINALE
Avevo due monete, ne ho aggiunte due, ora ne ho quattro.
La storia del papà è una storia di addizione.
Lo scoprire che se tra due avviene un’operazione, questa può essere interpretata come operazione
“opposta” se si cambia il soggetto con il riferimento è una grande conquista sul piano logico ed è
indispensabile per giungere, in età più mature, alle operazioni di relazione come il differenziare ed
il rapportare.
24
ALTRI ESEMPI DEL “TOGLIERE /AGGIUNGERE”
LA STORIA RACCONTATA DAL MELO:
1. Avevo sette mele rosse,
2. è arrivato Davide e me ne ha staccate due,
3. ora ne ho cinque.
LA STORIA RACCONTATA DA DAVIDE:
1. Stavo passando per il prato e ho visto il melo che aveva sette gustose mele
rosse,
2. ne ho prese due,
3. ora al melo sono rimaste cinque mele rosse e io ne ho due.
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LA STORIA RACCONTATA DALL’ AIUOLA:
1. Avevo cinque bei fiori,
2. è passata Francesca e ne ha colti due,
3. ora mi sono rimasti tre fiori.
LA STORIA RACCONTATA DA FRANCESCA:
1. Ho visto una bella aiuola che aveva cinque fiori,
2. ne ho colti due,
3. ora ho due fiori.
26
LA STORIA RACCONTATA DA GIULIA:
1. Ho sei figurine e Marco mi chiede se ho delle figurine doppie,
2. gli regalo tre figurine,
3. rimango con tre figurine.
SITUAZIONE INIZIALE GIULIA TOGLIE SITUAZIONE FINALE
LA STORIA RACCONTATA DA MARCO:
1. Ho tre figurine e chiedo a Giulia se mi da le sue figurine doppie,
2. Giulia mi regala tre figurine,
3. ora ho cinque figurine.
SITUAZIONE INIZIALE MARCO RICEVE SITUAZIONE FINALE
27
3.6 L’EVOLUZIONE DELLE STORIE
DENIS: LO SVILUPPO DELLA SCOPERTA
Ritorniamo nella classe di Roberta. Dopo aver lavorato a lungo con le storie a tre quadri, i bambini
erano diventati ormai tutti abili costruttori di strip così proposi loro di allungare le storie e disegnai
sulla lavagna il primo “QUADRO” della storia:
“Il papà ha 6 monete e vuole spartirle in parti uguali tra il figlio e la figlia.
Chiesi di eseguire la spartizione e di continuare liberamente la storia. Dopo un po’ arrivò Denis con
il quadernone dove aveva rappresentato la storia in questo modo:
GELATI
28
Subito cominciò a “leggere”:
“Nel primo quadro il papà ha 6 monete. Chiama i suoi 2 figli perché vuole spartire in parti
uguali le monete tra loro.
Nel secondo quadro il papà spartisce le monete in parti uguali e ogni figlio riceve 3 monete.
Nel terzo quadro il papà resta senza monete e i 2 figli ne hanno 3 ciascuno.
A questo punto il bambino decide di andare a comprarsi un gelato e spende 2 monete.
Tornando a casa incontra la nonna che gli regala 2 monete.
Alla fine il bambino ha 3 monete come la sorella” (ma un gelato in più!).
Si nota in questo caso la preoccupazione di mantenere l’uguaglianza con la sorella (anche se solo
per le monete) pur avendo speso 2 monete per poi riceverle dalla nonna.
Nel creare la sua storia, Denis, utilizzando la spartizione aveva operato tramite una sottrazione e
un’addizione.
Quasi tutti i bambini riuscirono a continuare la storia della spartizione, chi in un modo chi in un
altro, raggiungendo ben presto risultati simili a quelli di Denis.
Nei giorni successivi il lavoro prese un nuovo impulso e, trascinati dall’entusiasmo, tutti volevano
costruire nuove storie.
Il lavoro fatto sulla spartizione si ampliò al concetto di resto e poi al concetto di sottrazione/
addizione, intese come un’unica operazione che cambia segno secondo la direzione che si prende.
In questo caso l’addizione viene praticata come aggiunta di oggetti omogenei tra loro (monete,
figurine, fogli ecc…).
All’inizio ogni bambino disegnava liberamente seguendo forme personali che non sempre erano di
facile lettura. Assieme a tutta la classe stabilimmo allora il modo migliore di rappresentare le storie
e il risultato fu il seguente.
Potevano essere utilizzati 3 quadri per le storie semplici che richiedevano una sola operazione,
come ad esempio:
“Il papà ha 6 monete che spartisce tra i suoi 2 figli”
29
Oppure 6 quadri:
“Il papà ha 6 monete che spartisce trai suoi 2 figli. Il bambino con le monete che riceve si compra
un gelato da 2 monete”.
GELATI
Naturalmente, il lavoro dei bambini consisteva solo nel disegnare la storia e non nella scrittura del
testo, in quanto agli inizi della prima classe non erano ancora in grado di leggerlo e tanto meno di
scriverlo.
La lettura delle storie a sei quadri era affidata alla loro libera interpretazione dei disegni proposti. Si
fa notare che in questa prima fase non si propongono storie con gradi numerosità di oggetti e,
inoltre, non vengono introdotti i numeri e nemmeno i simboli delle operazioni. Le quantità sono
facilmente dominabili, anche dai bambini meno sicuri, perché a colpo d’occhio o con un rapido
conteggio possono essere immediatamente reperibili. Il linguaggio iconico, che comprende anche le
frecce come cambiamento, è il più adatto per proporre ai bambini degli strumenti adatti ad
evidenziare l’organizzazione dei dati, l’ordine degli eventi e degli stati, la strutturazione temporale
delle storie.
Il primo passo verso l’introduzione dei numeri fu di contare i quadri usando i numeri ordinali
(primo, secondo terzo…) e questo per dare il senso dello svolgimento temporale della storia. Seguì
ben presto la conta dei quadri usando i numeri cardinali (1, 2, 3, …)
Il primo passo verso l’introduzione dei numeri fu di contare i quadri usando i numeri ordinali
(primo, secondo, terzo …) e questo per dare il senso dello svolgimento temporale della storia, Seguì
ben presto la conta dei quadri usando i numeri cardinali (1, 2, 3, …)
30
Decidemmo di non andare oltre i 9 “QUADRI”, perché era importante che la storia fosse
rappresentata tutta in un’unica pagina, avendo così una visione globale ed immediata della
situazione.
9 quadri:
“Il papà ha 6 monete che spartisce tra i suoi 2 bambini. Il bambino con le monete che riceve si
compra un gelato da 2 monete, poi compra un giornale e spende 1 moneta”.
1 2 3
4 5 6
GELATI
7 8 9
GIORNALI
In questo esempio appaiono i quadri numerati.
Quando il bambino leggeva la storia doveva sempre precisare il numero del quadro a cui faceva
riferimento o in senso ordinale nel quinto quadro il bambino…, oppure nel quadro numero 5 il
bambino…
31
3.7 UNA STORIA INTERESSANTE All’inizio di dicembre le festività natalizie erano già nell’aria.
Chiesi ai bambini di costruire liberamente una storia.
Ines arrivò per prima e lesse:
1 2 PREZIOSI 3
4 5 NONNA 6
7 8 PREZIOSI 9
“All’inizio il papà ha 6 monete e la mamma 5. Nel secondo quadro il papà va dall’orologiaio e
compra un orologio d’oro che costa 6 monete, alla fine rimane con l’orologio ma senza monete.
La mamma, che ha 5 monete, nel quinto quadro va a trovare la nonna e si fa dare 1 moneta.
Nell’ottavo quadro con le 6 monete va dal gioielliere e compra una collana d’oro che costa 6
monete. Alla fine anche la mamma rimane senza monete come il papà ma tutti e due hanno un
regalo d’oro”.
32
Se osserviamo il lavoro di Ines possiamo notare come nella situazione iniziale (primo quadro) vi
sono due quantità diverse: le monete del papà e quelle della mamma.
Da qui la storia si dirama in due percorsi indipendenti per poi arrivare alla conclusione finale “del
vissero felici e contenti”.
I concetti matematici che vengono espressi sono molteplici:
maggiore/ minore: la differenza delle monete tra il papà e la mamma (primo quadro),
sottrazione e azzeramento della quantità: le monete del papà (secondo quadro). E’ questo un
primo approccio al numero zero: non è lo zero dell’insieme vuoto ma lo zero come riduzione di un
qualche cosa che prima esisteva, è lo zero-resto che esprime il risultato di una trasformazione
esprimibile con: “non ne restano”,
addizione per costruire l’uguaglianza di monete tra il papà e la mamma (quinto quadro),
sottrazione e azzeramento per mantenere, non solo l’uguaglianza del valore del regalo, (ottavo
quadro) ma anche l’uguaglianza finale (nono quadro).
Ines dimostrò di possedere non solo creatività e capacità grafica ma anche concetti basilari della
matematica e di essere in grado di seguire contemporaneamente due percorsi.
LA STRUTTURAZIONE DEL LAVORO
Tenendo in considerazione che un concetto matematico (nel suo aspetto procedurale) si è veramente
formato nel bambino quando è stato portato ad un livello che permetta di:
- generalizzare, cioè di apparentare operazioni diverse nella realtà, ma che producono le
stesse procedure mentali,
- risolvere problemi senza dover operare direttamente nella realtà,
- creare situazioni matematiche significative,
è necessario svincolare il lavoro dei bambini dalla routine delle solite storie per portarlo verso
finalità più avanzate sul piano logico-artimetico.
Il primo passo riguarda una lettura più approfondita dei “QUADRI”. Ogni storia deve essere letta e
riletta nei suoi dettagli sottolineando in modo particolare la cronologia degli avvenimenti.
Il secondo passo, quando ormai tutti sono diventati esperti lettori, consiste nell’introdurre alcune
forme di “giochi”:
- indicare dove sono andati a finire gli oggetti che si trovano nel primo quadro,
- leggere la storia alla rovescia partendo dalla situazione finale,
- cambiare il numero di oggetti iniziali e ricostruite la storia,
- cambiare il numero di oggetti finali e ricostruite la storia,
- …
33
3.8 LEGGIAMO LA STORIA IN MODI DIVERSI
1 2 GIORNALI 3
4 5 CAFFE’ 6
7 8 BENZINA 9
Leggiamo la storia del papà seguendo in ordine i quadri dal primo all’ultimo (dall’1 al 9).
Il papà ha 7 monete, spende 1 moneta per il giornale, al bar beve un caffè e spende 2 monete,
tornando a casa spende 3 monete per la benzina. Alla fine gli resta 1 moneta”. ( 7 - 1 - 2 - 3 = 1 )
Leggiamo ora la storia del papà in “MODO DIVERSO”.
Alla fine della storia il papà pensa: “Avevo 7 monete ed ora mi resta 1 moneta dove sono andate a
finire le monete che mi mancano?” ( 7 – 1 = 6 )
Rileggiamo la storia del papà dalla parte dei negozianti.
“Abbiamo ricevuto 1 moneta per il giornale, 2 monete per il caffè e 3 monete per la benzina. Il
papà aveva 7 monete ed ora gli resta una moneta”. ( 1+ 2 + 3 = 6); ( 7 - 6 = 1)
Il lavoro proseguì per il resto dell’anno scolastico con l’utilizzo delle storie che di volta in volta si
arricchivano di numerosità crescenti (restando entro il 20), di nuovi concetti matematici, di nuove
situazioni e riuscivano a mantenere sempre vivo l’interesse dei bambini.
34
3.9 LA CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA’
Un aspetto molto importante nell’apprendimento della matematica è la conservazione della quantità.
Quasi sempre di fronte ad una operazione come la sottrazione ci soffermiamo nel risultato finale
“dimenticando” la quantità che è stata tolta. Es : “La mamma possiede € 10, spende € 4 per
comprare una rivista, alla mamma restano € 6”. E’ sul resto 6 che poniamo l’attenzione mentre i € 4
che sono stati spesi sembrano scomparire. Attraverso la rappresentazione della storia del resto il
bambino ha la possibilità di “vedere” dove si trovano le varie quantità che di volta in volta vengono
tolte e così può facilmente ricomporre la quantità iniziale. Se all’inizio Marco possiede 8 monete e
alla fine ne possiede solo una le monete mancanti sono presenti e ben visibili nelle “tasche” dei vari
personaggi incontrati nella storia.
Es: “Scoprite dove sono andate a finire le 8 monete di Marco e coloratele di verde”.
1 2 LIBRI 3
4 5 6
GELATI
“5 monete sono andate al libraio, 2 alla gelataia e 1 è rimasta in tasca a Marco”.
Ogni bambino, dopo aver ricopiato la storia colorava di verde le monete ricevute dal libraio, dalla
gelataia e quella che rimaneva in tasca a Marco.
La quantità iniziale, pur disperdendosi nella storia, rimaneva invariata.
Approfittando della storia disegnata sulla lavagna molto spesso coinvolgevo i bambini a porre delle
varianti:
Es.: “Leggiamo la storia di Marco alla rovescia”.
“Se Marco avesse avuto 9 monete?”
“Se ne avesse avanzate 3?”
“Se ……………….?”
Leggere la stessa storia con dati diversi da quelli disegnati e reinterpretarla in senso numerico,
mantenendo le stesse operazioni, aiuta il bambino a generalizzare le operazioni svincolandole dai
numeri sui quali agiscono.
35
3.10 DALLA “LETTURA” DELLE STORIE ALLA “LETTURA”
DELLE “ESPRESSIONI”.
Fin dalle prime storie proponiamo al bambino di leggere le strip in tre modi diversi:
- partendo da sinistra (primo quadro), proseguire al centro (secondo quadro) e finire a
destra (terzo quadro);
- partendo dalla fine a destra (terzo quadro) risalire all’inizio (primo quadro) passando
per il centro (secondo quadro);
- partendo dal centro (secondo quadro) e poi a scelta passare o all’inizio (primo quadro)
per concludere alla fine (terzo quadro), o alla fine (terzo quadro) per poi concludere la
storia all’inizio (primo quadro).
Vediamo degli esempi concreti
Percorso a sviluppo sequenziale storico dal passato al presente.
La lettura delle storie in forma sequenziale da sinistra a destra porta ad una descrizione temporale
del genere :
“Giulia aveva 5 figurine – ne ha regalate 3 a Marco – rimane con 2 figurine”.
Che è il percorso a sviluppo sequenziale storico dal passato al presente.
Se invece leggiamo la storia partendo dal terzo quadro abbiamo:
“Giulia ha 2 figurine – ne ha regalate 3 a Marco – ne aveva 5”.
Percorso retrospettivo dal presente al passato
Se leggiamo partendo dal secondo quadro abbiamo la seguente situazione:
36
“Giulia regala 3 figurine a Marco – ne aveva 5 – rimarrà con 2 figurine”.
Percorso “bidirezionale” in quanto, dopo aver letto il secondo quadro, si può leggere il primo
quadro poi il terzo, oppure prima il terzo e poi il primo quadro.
“Giulia regala 3 figurine a Marco – rimarrà con 2 figurine – ne aveva 5”.
Partendo dal primo o dal terzo quadro possiamo ottenere altri due percorsi “non lineari”:
1 “Giulia aveva 5 figurine – è rimasta con 2 figurine – perché ne ha regalate 3 a Marco”.
2 “Giulia è rimasta con 2 figurine – ne aveva 5 – perché ne ha regalate 3 a Marco”.
Si ripete che, leggendo le storie nelle varie forme, il bambino acquista la capacità di affrontare e
risolvere con maggiore sicurezza le varie situazioni problematiche che possono sorgere.
37
Infatti se nascondiamo ad esempio il quadro centrale della seguente storia:
Giulia all’inizio aveva 5 figurine, alla fine rimane con 2 figurine. Cosa succede nel quadro centrale?
otteniamo un problema che si risolve con un percorso di questo genere:
dal primo “quadro” passiamo all’ultimo per scoprire il secondo.
Se invece nascondiamo il primo “quadro” (le figurine possedute da Giulia all’inizio):
Giulia regala 3 figurine a Marco e alla fine rimane con 2 figurine. Quante figurine aveva Giulia
all’inizio?
Per scoprire quante figurine aveva Giulia all’inizio dobbiamo seguire il seguente percorso:
38
3.11 ANCHE I NUMERI POSSONO RACCONTARE LE LORO
STORIE
Anche i numeri possono diventare personaggi delle storie.
Lo 0 è un personaggio che non possiede nessuna unità,
L’1 è un personaggio che possiede sempre una sola unità,
il 2 è un personaggio che possiede sempre due unità,
il 3 è un personaggio che possiede sempre tre unità,
il 4 è un personaggio che possiede sempre quattro unità,
il 5 è un personaggio che possiede sempre cinque unità,
il 6 è un personaggio che possiede sempre sei unità,
il 7 è un personaggio che possiede sempre sette unità,
l’ 8 è un personaggio che possiede sempre otto unità,
il 9 è un personaggio che possiede sempre nove unità.
Ogni personaggio può togliere o aggiungere unità agli altri personaggi, ma ciò comporta una loro
trasformazione in un altro personaggio. Se per esempio il personaggio è il numero 0 e prende 3
unità al numero 8 allora lo zero diventa 3 e l’8 un 5, se il numero 2 prende 3 unità al numero 6
allora il numero 2 diventa il numero 5 e il numero 6 diventa il numero 3.
COME RACCONTARE LE STORIE DEI NUMERI
LA STORIA RACCONTATA DALL’ OTTO (8):
1. Ero un otto,
2. lo zero mi ha diminuito di tre,
3. sono diventato un cinque.
Domanda: Posseggo 8 caramelle me ne rubano 3. Quante caramelle mi restano?
E’ giusta questa domanda per la storia dell’8?
LA STESSA STORIA RACCONTATA DALLO ZERO (0):
1. Ero uno zero,
2. mi hanno fatto crescere di tre,
3. ora sono diventato un tre.
8 - 3 5
0 + 3 3
39
LA STORIA RACCONTATA DAL NOVE (9): 1. Ero un nove,
2. il tre mi ha diminuito di due,
3. sono diventato un sette.
LA STESSA STORIA RACCONTATA DAL TRE (3): 1. Ero un tre,
2. sono cresciuto di due,
3. ora sono diventato un cinque.
STORIE DEI NUMERI DIFFICILI O RACCONTATE MALE Molto spesso capita che le storie siano raccontate male, ecco alcuni esempi:
IL NUMERO …… RACCONTA: Ero un otto … mi hanno diminuito di … così sono diventato un….
STORIA RACCONTATA DAL NUMERO ……: Ero un …. sono cresciuto di 6 e così sono diventato un sette.
9 - 2 7
3 + 2 5
8 - 1 …
… + 6 7
40
ANCHE IL NUMERO …… NON SA RACCONTARE BENE LE STORIE !:
Ero un cinque me ne hanno tolte due così sono diventato un ….
STORIA RACCONTATA DAL NUMERO ……: Io ero …. mi hanno fatto crescere di quattro così sono diventato un sei.
5 - 2 …
… + 4 6
41
1 2 3
1 2 3
4 5 6
3.12 LA SIMBOLOGIA ARITMETICA Il lavoro proseguì per il resto dell’anno scolastico con l’utilizzo delle storie che di volta in volta si
arricchivano di nuovi concetti matematici, di nuove situazioni e riuscivano a mantenere sempre vivo
l’interesse dei bambini.
Grazie allo sviluppo delle storie, è stato possibile introdurre la simbologia aritmetica corrispondente
alle operazioni in esse contenute e rappresentate in forma iconica. Per evitare di sovrapporre i
simboli alle immagini, la rappresentazione è stata organizzata in questo modo:
TRE QUADRI: “ La mamma ha 7 monete, ne dà 3 alla figlia. Alla fine rimane con 4 monete”.
SEI QUADRI“La mamma ha 7 monete ne dà 3 alla figlia e ne riceve 2 dalla nonna”.
1 2 3
7 3 4
1 2 3
7 3 4
4 5 6
4 2 6
42
7 8 9
1 2 3
4 5 6
NOVE QUADRI: “La mamma ha 7 monete ne dà 3 alla figlia e ne riceve 2 dalla nonna. Con le
monete che possiede compra un libro che costa 4 monete. Alla fine la mamma ha 2 monete”.
LIBRO
“La mamma ha 7 monete ne dà 3 alla figlia e rimane con 4 monete, poi ne riceve 2 dalla nonna con
le 6 monete compra un libro che costa 4 monete. Alla fine la mamma rimane con 2 monete”.
La rappresentazione numerica all’inizio fu chiamata “la storia raccontata con i numeri” poi per tutti
divenne la sequenza numerica della storia.
1 2 3
7 3 4
4 5 6
4 2 6 7 8 9
6 4 2
43
Elena ha € 4, chiede alla
mamma se le regala altri € 2
perché deve comprarsi un libro
che costa € 6.
La mamma le dà € 2 e alla fine
Elena ha i € 6.
Giulia ha € 4, la mamma le
chiede di andare a comprare
una torta. Pensando che gli
€ non le bastino gliene dà
altri 2.
Alla fine Giulia ha € 6 con i
quali comprerà la torta..
3.13 SINTESI DEL PERCORSO VERSO LA FORMALIZZAZINE
Nel vissuto del bambino ci sono tante storie da raccontare, tanti personaggi con i quali giocare, tanti
oggetti da disegnare ma alla fine vi è un’unica rappresentazione: la forma algoritmica. In questo
modo l’algoritmo diventa significativo per il bambino perché sintetizza una storia.
E’ importante condurre il bambino con gradualità verso il linguaggio simbolico che, essendo
graficamente sempre più staccato dalle realtà che esprime, è l’unico che può esprimere una
moltitudine di situazioni (storie) analoghe. Si va verso un’astrazione che appartiene al mondo
aritmetico.
La seguente tabella rappresenta l’evoluzione del linguaggio matematico dai primi racconti, solo
disegnati, all’introduzione della simbologia aritmetica.
LINGUAGGIO ICONICO STRIP A TRE QUADRI:
LINGUAGGIO VERBALE NATURALE
PER
MOLTE STORIE ORALI O SCRITTE
LINGUAGGIO SIMBOLICO
UNICO
1 2 3
4 2 6
FORMA ALGORITMICA
4 + 2 = 6
44
3.14 GLI SCHERZETTI : IL PASSAGGIO ALL’ASTRAZIONE
Il lavoro didattico fin qui svolto è stato tutto finalizzato alla formazione nel bambino di capacità
descrittive. Marco, Giulia, Elena… costruendo le loro storie raccontano ciò che avviene nella realtà
o quello che immaginano possa accadere. Il passo successivo è avviare il bambino ad un livello
superiore: quello di utilizzare le sue capacità descrittive per creare delle situazioni problematiche.
In altri termini il bambino da narratore di storie diventa “costruttore di problemi” usando come
strumenti le strip. Lo “scherzetto” è un gioco che consiste nel nascondere una parte della “storia-
strip” per renderla “difficile” da leggere.
Un giorno dissi ai bambini che un folletto ci aveva fatto uno scherzetto facendoci trovare una storia
disegnata in questo modo:
1 2 GIORNALI 3
4 5 CAFFE’ 6
7 8 BENZINA 9
45
Chiesi di ricostruire le parti mancanti della storia. Non vi furono difficoltà: nel giro di pochi minuti
riuscirono tutti a ricostruire esattamente il quadro iniziale e porre nella tasca del papà la giusta
quantità di monete.
Nei giorni successivi proposi altre storie con quadri incompleti o mancanti e, quando mi resi conto
che tutti erano in grado di ricostruirle, chiesi loro di creare degli scherzetti simili per presentarli poi
alla loro mamma o al loro compagno di banco o ad un loro amico ….
Ecco un esempio:
Chiara, dopo aver disegnato una storia, prese un post-it e coprì il quadro centrale. Mostrando il suo
“scherzetto” ci chiese: “Cosa fa la mamma nel quadro che ho nascosto?”
La risposta fu immediata e i commenti furono: “è troppo facile”!
Marco allora propose di aumentare la difficoltà nascondendo anche il primo quadro.
Ancora una volta la ricostruzione fu definita facile dai bambini pur ammettendo che: “Con questi
due scherzetti bisogna stare più attenti”! Sentenziò Davide 1^ elementare.
?
?
?
46
7 8 9
1 2 3
7 ? 4
4 5 6
4 2 6
1 2 3
4 5 6
La storia di prima presentata ora con uno “scherzetto”:
7 8 9
6 4 2
SCHERZETTO
47
7 8 9
1 2 3
4 5 6
Il punto di domanda rappresenta bene l’idea di una cosa nascosta dal post-it e della domanda: “che
cosa ci sarà lì sotto?”
Un’altra storia con più “scherzetti”:
SCHERZETTO
SCHERZETTO
SCHERZETTO
1 2 3
8 ? 3
4 5 6
3 ? 0 7 8 9
0 ? 6
48
7 8 9
1 2 3
4 5 6
?
La parte nascosta non riguarda solo l’operazione di trasformazione, ma deve interessare anche i dati
che costituiscono il problema.
Ancora una storia con più “scherzetti”:
1 2 3
? - 4 3
4 5 6
3 ? 8 7 8 9
8 ? 4
?
?
49
GIORNALI
GIORNALI
GIORNALI
GLI SCHERZETTI, LE DOMANDE E IL TESTO SCRITTO OSSERVA BENE E RACCONTA COS’E’ SUCCESSO
ALTRO SCHERZETTO!
ANCORA UNO SCHERZETTO!
LE DOMANDE
COSA SI NASCONDE DIETRO IL “?”
COSA E’ SUCCESSO DAL GIORNALAIO?
COME INIZIA LA STORIA?
COME FINISCE LA STORIA?
PERCHE’AL BAMBINO SONO RIMASTE 3 MONETE?
………………………………………………?
?
?
?
50
E’ giunto il momento di abbandonare l’iconografia come strumento linguistico per esprimere le
storie con gli scherzetti, perché è troppo faticosa. Se si sa scrivere in lingua madre è molto più
semplice sia raccontare le storie, sia porre gli scherzetti. Si introduce così il testo del problema e si
abitua il bambino a fare sempre un’analisi del testo.
SCRIVIAMO IL TESTO DI DUE RACCONTI:
IO AVEVO 8 FOGLI DA DISEGNO E NE HO PRESTATI 2 A MATTEO, ORA NE HO 6.
IO MATTEO AVEVO 1 FOGLIO MA NE HO CHIESTO 2 IN PRESTITO A GIANNI ORA HO 3
FOGLI.
CANCELLIAMO I PRIMI NUMERI DEI DUE RACCONTI
IO AVEVO 8 FOGLI DA DISEGNO E NE HO PRESTATI 2 A MATTEO, ORA NE HO 6.
IO MATTEO AVEVO 1 FOGLIO MA NE HO CHIESTO 2 IN PRESTITO A GIANNI ORA HO
3 FOGLI.
OPPURE CANCELLIAMO I SECONDI NUMERI
IO AVEVO 8 FOGLI DA DISEGNO E NE HO PRESTATI 2 A MATTEO, ORA NE HO 6.
IO MATTEO AVEVO 1 FOGLIO MA NE HO CHIESTO 2 IN PRESTITO A GIANNI ORA HO
3 FOGLI.
LE DOMANDE
COSA SI NASCONDE SOTTO LE MACCHIE?
COSA E’ STATO CANCELLATO?
QUANTI FOGLI SONO STATI PRESTATI A MATTEO?
QUANTI FOGLI HO CHIESTO IN PRESTITO A GIANNI?
PERCHE’MATTEO ALLA FINE HA 3 FOGLI?
E LE RISPOSTE
IL NUMERO DEI FOGLI CHE AVEVO. (8)
IL NUMERO DI FOGLI CHE MATTEO AVEVA. (1)
A MATTEO SONO STATI PRESTATI 2 FOGLI.
MATTEO HA CHIESTO IN PRESTITO A GIANNI 2 FOGLI.
MATTEO ALLA FINE HA 3 FOGLI PERCHE’ NE HA RICEVUTI 2 DA GIANNI.
51
A questo punto è necessario spingere i bambini verso una maggiore attenzione al testo in modo da
aumentare le loro capacità d’analisi e interpretative di situazioni problematiche espresse da altri e,
come avevo fatto per i quadri, anche con il testo scritto cominciai a creare giochi del tipo:
“In soffitta ho trovato questo foglietto rosicchiato dai topi. Provate a ricostruire bene il testo e poi
disegnate la storia con la sequenza numerica”.
LU RICEVE DA APA’ MONETE
COMPRA UN VIDE CO E SPENDE
5 MONETE. ALLA FINE GLI RESTANO
M E.
Es.: “La mamma togliendo i pantaloni di Gianni dalla lavatrice ha trovato un foglio scritto così: ”
HO COMPRATO UN GELATO DA 3 MONETE
E UN PACCO DI FIGURINE DA 3 MONETE
VEVO 10 MONETE ED ORA NE HO 3. Es.: “Si è rovesciato il caffè del nonno sul quadernone di Lucia ed ha nascosto alcuni dati”.
ANTONIO HA FOGLI DA DISEGNO
LI REGALA A E 2 LI USA LUI.
ALLA FINE GLI RESTANO 5 FOGLI.
Si è passati così dalla ricostruzione del testo alla rappresentazione della storia con la sequenza
numerica.
Col passare del tempo, verso la fine del secondo anno, quasi tutti i bambini riuscivano non solo a
riscrivere il testo ma anche a ricostruire la storia usando solo i numeri e i simboli delle operazioni
che si erano fatte, arrivando ben presto alla forma sintetica di scrittura della sequenza numerica.
Vale a dire che “ ogni storia ha la sua espressione”.
52
GIORNALI
3.15 IL PUZZLE
Quando il bambino sa costruire autonomamente le storie gli presentiamo un vero e proprio gioco: il
puzzle. Disegniamo una storia, gli chiediamo di leggerla con attenzione e poi gli chiediamo di
ritagliare i quadri, di mescolarli per bene e alla fine di ricostruire correttamente la storia come
l’aveva letta all’inizio.
Ecco un esempio:
OSSERVA BENE LA STORIA E LEGGILA
IL PAPA’ HA € 5 SPENDE € 2 GLI RESTANO € 3
COME PUOI VEDERE I TRE QUADRI SONO STATI RITAGLIATI E
MESCOLATI
RICOSTRUISCI LA STORIA PONENDO IN ORDINE I QUADRI
Una volta spiegato come funziona il gioco chiediamo ai bambini di disegnare molto bene una
storia, di ritagliarla, di mescolare i quadri e di darli al compagno di banco per fargliela ricomporre
in modo esatto.
53
IL PUZZLE DIVENTA UN GIOCO DI SOCIETÀ
A questa prima fase ne seguono delle altre:
Il puzzle creato per l’amico.
Il puzzle costruito per i genitori.
Il puzzle da scambiare con i compagni di classe.
Il puzzle difficilissimo da regalare agli amici.
Il puzzle ancora più difficile per mettere in crisi i genitori.
Il puzzle più, più, più …… per la maestra.
Il puzzle …………
Questo gioco, così interessante per un bambino di sei anni, nasconde in realtà una verifica rivolta
non solo all’acquisizione del concetto matematico (spartizione, resto …) ma anche
all’apprendimento della lettura spazio-temporale delle storie e quindi ad una corretta interpretazione
del mondo che lo circonda.
Nelle fasi successive il puzzle verrà ripreso in livelli superiori con storie da 6 / 9 quadri, o
utilizzando solo sequenze numeriche, oppure utilizzando solo il testo scritto.
Con il puzzle si vuol portare il bambino a dominare sempre meglio gli stati nei loro ruoli di
“partenza-arrivo” e gli operatori trasformazionali, in modo da poter affrontare senza fatica storie più
complesse e articolate legate a più operazioni vissute in sequenza.
54
IL PUZZLE CON LE SEQUENZE NUMERICHE
La proposta dei puzzle serve per evidenziare ulteriormente l’elemento “trasformatore” dagli
elementi “stati di cose” e, inoltre, a porre distinzione fra lo stato di partenza e lo stato di arrivo della
trasformazione. I trasformatori aritmetici “+” e “-“ acquistato significati più generali quali:
“aumentare, crescere, venire dopo” e “diminuire, decrescere, venire prima” che costituiscono i versi
quantitativi, dimensionali e ordinali del numero.
TRE QUADRI
OSSERVA LA SEQUENZA, RACCONTA LA STORIA
RITAGLIA I QUADRI, MESCOLALI E RICOSTRUISCI.
SEI QUADRI
OSSERVA LA SEQUENZA, RACCONTA LA STORIA
RITAGLIA I QUADRI, MESCOLALI E RICOSTRUISCI.
5 + 3 8
9 - 3 6
6 - 4 2
55
NOVE QUADRI
OSSERVA LA SEQUENZA, RACCONTA LA STORIA,
RITAGLIA I QUADRI, MESCOLALI E RICOSTRUISCI.
3 + 4 7
7 - 2 5
5 - 3 2
56
NOVE QUADRI
COSTRUISCI TU LA SEQUENZA, RACCONTA LA STORIA,
RITAGLIA I QUADRI, MESCOLALI E RICOSTRUISCI.
… + … …
… + … …
… - … …
57
IL PUZZLE CON IL SOLO TESTO
I TRE QUADRI SONO STATI MESCOLATI
RICOSTRUISCI LA STORIA
ALTRA STORIA CON I QUADRI MESCOLATI
RICOMPONI LA STORIA
SCRIVI TU UNA STORIA
RITAGLIALA E FALLA RICOMPORRE A ….
GLI RESTANO 6 FIGURINE. ALBERTO HA 9 FIGURINE, GIOCANDO NE PERDE 3,
AGGIUNGE 4 ROSE, ORA CI SONO 9 ROSE. LIA HA 5 ROSE NEL VASO,
……………………………….
.
………………………………
…
………………………………
…
58
STORIA A SEI QUADRI GIA’ MESCOLATI
RICOMPONI LA STORIA
SCRIVI TU UNA STORIA A SEI QUADRI
POI MESCOLA I QUADRI E FALLA RICOMPORRE A …
VA IN EDICOLA, GIULIA HA € 9, SPENDE € 4 PER UN LIBRO,
LE RESTANO € 3. LE RESTANO € 7, SPENDE € 2 PER IL GELATO.
…………………………………
…
……………………………………… ………………………………….
…………………………………
…
………………………………………
. …………………………………
…
59
3.16 ALCUNE CONSIDERAZIONI DIDATTICHE SUI PROBLEMI
I problemi scolastici sono una parte, estremamente limitata e semplice, dei problemi che
l'uomo affronta quotidianamente. Ovviamente sono semplici se confrontati con problemi che hanno
a che fare con le discipline antropologiche (legati cioè all’affettività, ai rapporti sociali,
all’economia, …) dove la quantità di fattori che entrano in gioco è veramente enorme e qualsiasi
semplificazione è un impedimento alla risoluzione del vero problema.
La matematica, a differenza delle altre discipline, permette di graduare la complessità dei problemi
che possono essere proposti ai bambini, senza per questo snaturare la realtà che i bambini vivono in
modo problematico. E’ vero che ogni problema è legato alla "realtà", ma forse è più esatto dire che
è legato a1 modo in cui l'individuo interpreta e si relaziona con la rea1tà. Se un individuo non si
proietta nel futuro, cioè non immagina ciò che potrebbe accadere in funzione di come le cose sono
state e sono al presente, non si crea dei problemi. L’aumento della temperatura media sulla
superficie della terra non è un problema per la terra e non è neppure un problema per alcune persone
(che procedono senza considerare il fenomeno), ma altre persone cominciano a preoccuparsi
pensando agli effetti che questo fenomeno potrebbe avere sulla vita futura. Il problema è
sostanzialmente nell'individuo ed è una specie di manifestazione del suo modo di rapportarsi con la
realtà, il problema di una persona non è obbligatoriamente il problema di tutti o di un'altra persona:
sensibilità, istruzioni e culture diverse generano nelle persone problemi diversi.
E’ questa la fase che viene detta del “Problem Finding” dove si manifestano le capacità che
permettono di scoprire, concepire, interpretare una situazione come problemica. Il problem finding
è considerato anche in psicologia, infatti si ritiene che quando un individuo presenta delle forme
d’ansietà, non è tranquillo, prova dei dolori, … è perché il suo inconscio ha “visto” dei problemi
che non sono ancora affiorati a livello di coscienza.
Per risolvere questi problemi è necessario prenderne coscienza, precisarli in modo univoco e
tradurli in una espressione linguista che permetta di comunicarli agli altri (rendere partecipi altre
persone dei problemi concepiti) ed a sé stessi con rigore e senza equivochi. E’ il “Problem
Talking” ed è una fase fondamentale partendo dalla quale si può meditare sul problema stesso e, se
necessario, ridefinirlo con maggiore precisione.
Meditare sul problema è indispensabile perché solo in questo modo si riesce a:
- selezionare ed organizzare le informazioni significative, non farsi distrarre dalla eventuale
ridondanza dei dati e dai dati inutili e superflui,
- comprendere le proprietà dei dati e saper, tramite analogie ed esemplificazioni, cogliere tutto
ciò che è connesso o relazionabile ai dati stessi, cioè impossessarsi del senso, del significato
di questi dati e farli diventare delle vere informazioni,
- orientarsi sugli effetti che si avrebbero cambiano i valori o il senso dei dati, cioè dominare in
chiave dinamica una eventuale mutazione del problema per avere con maggior chiarezza
l’essenza del problema stesso,
- cogliere l’esistenza di dati non esplicitati nel problem talking e comprendere che per
affrontare un problema è necessario molte volte dover affrontare e risolvere altri problemi,
60
- relazionare in termini logico-operazionali tutti i dati (espliciti, incogniti ed impliciti) e saper
esprimere questi nessi con opportune forme linguistiche come, ad esempio: tabulazioni
classificatorie e seriazionali, diagrammi ad albero (sia bottom-up che top-down), diagrammi
di flusso, …
-
Tutte queste azioni nel loro insieme costituiscono una fase che non permette ancora di risolvere il
problema e di dare delle risposte. E’ però una fase indispensabile per poter avviare le procedure
finalizzate alla sua risoluzione ed è chiamata “Problem Posing”.
E’ in questa fase che si impara ad affrontare un problema da più punti di vista e, di conseguenza, si
sviluppano sempre di più le capacità sia di valutare la risolubilità del problema stesso, sia di
individuare le possibili strategie risolutive.
Sviluppata bene la fase del posing è necessario procedere verso la risoluzione del problema in modo
da dare risposte precise e incontestabili alle domande espresse nel problem talking. Se le fasi
precedenti facevano riferimento a competenze e capacità intellettive logiche, analitiche e
organizzative, quest’ultima fase relativa alla proceduralità (che automaticamente porterà a trovare i
valori delle risposte da dare) richiede prevalentemente la padronanza di strumenti operativi come
quelli che permettono di trovare i risultati delle operazioni aritmetico-algebriche, di svolgere di
espressioni numerico-letterarie, di risolvere equazioni e sistemi, …
E’ la fase del “problem solving” in senso stretto, basata sul saper portare a termine senza errori gli
algoritmi escogitati e impostati nella fase del posing. In questa fase molte volte non è nemmeno
necessario l’intervento dell’uomo, infatti un computer potrebbe portare a termini altrettanto bene e
con maggior rapidità e precisione le singole operazioni e gli algoritmi necessari per trovare il valore
del dato della risposta. Nel solving viene richiesta una capacità intellettiva di tipo procedurale ed è
necessario possedere una certa abilità “computistica” derivante dal saper lavorare con i segni di
alcune forme linguistiche.
3.17 I PROBLEMI E LA SCUOLA
Nella scuola il “problema” è sempre stato visto come uno strumento veramente efficace sia
per proporre i contenuti ed i concetti delle diverse discipline, sia per valutare l’apprendimento dei
discenti nelle specifiche discipline. Si dimentica spesso che il “problema” nella scuola costituisce
un “modo di insegnare” che permette di esaltare l’apprendimento integrato di tutte le forme di
sapere e che, specialmente attraverso la fase del problem posing, dà ai discenti capacità logiche, di
dominio mentale della realtà e delle connessioni che la realtà stessa ha con le astrazioni delle
discipline.
In matematica tutto ciò è irrinunciabile e, per l’insegnante, lo strumento del “problema” è talmente
importante:
- come mediatore didattico per sviluppare i concetti, i contenuti e le abilità matematiche,
- per lo sviluppo delle capacità strutturanti, argomentative e logico-razionali, valide per tutte
le discipline e per la vita stessa che risulta difficile immaginare il far scuola senza l’ausilio
dei problemi sin dai primi giorni della prima elementare.
Ma i bambini piccoli difficilmente hanno strumenti di riflessione tali da comprendere di essere nel
61
mezzo di un problema, si danno da fare per superarlo e procedono senza la consapevolezza del
“problema”. Se ne può avere una prova proponendo come problema lo sviluppo del talking avendo
il solving:
“Il problema proposto da Giovanni è stato risolto con l’operazione aritmetica: 8 + 3 = 11. Sapresti
trovare un testo del problema proposto da Giovanni ?”
La maggior parte dei bambini propone come soluzione del problema un testo come il seguente:
“Giovanni aveva 8 caramelle. Ne riceve in regalo altre 3 dalla mamma e così ne ha 11 in tutto”
cioè legge l’operazione come una storia e non distingue i dati che si hanno dal dato incognito.
Tutto ciò è normale nei bambini dell’inizio delle elementari ed è per questo che il nostro metodo
prevede di partire dalle “storie di problemi”, cioè dal raccontare e dal descrivere i problemi vissuti
in prima persona o vissuti anche dagli altri, distinguendo i dati e gli operatori.
Si ha in tal modo l’opportunità di sviluppare enormemente la fase del problem posing perché per
l’insegnante risulta semplice proporre di mutare qualche cosa nella storia (dei dati, l’operatore,
scambiare i ruoli, reinterpretare la storia invertendo soggetto con riferimento, …) e far diventare
quella storia una fonte per tantissimi altri problemi, con grandi discussioni coinvolgenti l’intera
classe. I ruoli dei dati vengono proposti con chiarezza e con precisione e le forme linguistiche
utilizzate seguono una naturale evoluzione che, partendo da un linguaggio iconico (quasi
fumettistico), arriva al linguaggio simbolico astratto della matematica. E’ con questa gradualità
linguistica che lo “scherzetto” nella storia diventa con gradualità il dato incognito, cioè il nocciolo
del problema.
62
3.18 PROBLEM SOLVING COME AMBIENTE DI COSTRUZIONE
DI PROBLEMI E VERIFICA DI PERCORSO.
Per verificare se il bambino è riuscito a seguire tutte le tappe che portano alla costruzione del
problema e per rinforzare in lui la struttura stessa del problema, ho proposto il seguente gioco:
utilizzando le parti che compongono il problema, come se fossero dei mattoncini, costruiamo il
problema.
Prendiamo ad esempio la storia di Marco
1 – Raccontiamo la storia:
2 - Disegniamo la storia:
1 2 LIBRI 3
4 5 6
GELATI
3 - Aggiungiamoci la sequenza numerica:
8 - 5 3
3 - 2 1
Marco possiede € 8, acquista un libro e spende € 6. Tornando a casa compra un
gelato da € 2. Alla fine Marco ha € 1.
63
4 – Facciamo uno “scherzetto” sia nel disegno
sia nella sequenza
8 - 5 3
3 - 2 1
Come nel racconto
5 – Poniamo la domanda relativa allo “scherzetto”:
6 – Rispondiamo alla domanda:
?
?
Quanti € spende Marco per il gelato?
Marco per il gelato spende € 2.
Marco possiede € 8, acquista un libro e spende € 6. Tornando a casa compra un
gelato da € 2. Alla fine Marco ha € 1. ?
64
In 6 “passaggi” abbiamo costruito e risolto un problema
Un “sacco” per costruire problemi
Inseriamo 6 cartoncini con i nomi dei 6 “passaggi” in un sacco
mescoliamo per bene e sorteggiamo uno alla volta i sei “passaggi”
RACCONTO
SCHERZETTO
DOMANDA
SEQUENZA
2 - DISEGNO
3 - SEQUENZA
6 - RISPOSTA
5 - DOMANDA
1 - RACCONTO
4 - SCHERZETTO
DISEGNO
RISPOSTA
65
ESEMPI DI SORTEGGI POSSIBILI PER LA COSTRUZIONE DI PROBLEMI:
Sorteggio di Giulia:
Ecco come Giulia ha ricostruito un problema in 6 quadri rispettando il sorteggio:
1 – Disegno:
2 - “STORIA”
3 - SEQUENZA
6 - RISPOSTA
5 - DOMANDA
1 - DISEGNO
4 - SCHERZETTO
GIORNALI
66
2 – Storia:
3 – Sequenza:
6 - 3 3
3 + 2 5
4 – Scherzetto nel disegno
e nella sequenza:
6 - 3 3
3 - 2 5
Francesca possiede € 6, acquista una rivista e spende € 3.
Tornando a casa incontra la nonna che le regala € 2. Alla fine Francesca ha € 5.
?
GIORNALI
?
67
5 – Domanda:
6 – Risposta:
Sorteggio di Nicola:
Ne esistono tante di possibilità di disposizione ordinata dei 6 mattoncini costituenti l’intera struttura
del problema. Più disposizione si propongono ai bambini, migliore sarà la loro capacità sia di
concepire e di esprimere i propri problemi, sia di interpretare e far propri i problemi proposti dagli
altri. Si sviluppano in maniera netta tutte le fasi del problema: “finding”, “talking”, “posing”,
“solving” (inteso come la parte dell’elaborazione dei dati che si conclude con i valori delle parti
incognite) e si propone implicitamente l’idea che la capacità organizzativa e strutturante è
altrettanto importante quanto quella procedurale che permette di trovare il valore delle risposte.
2 - DISEGNO
3 - DOMANDA
6 - RISPOSTA
5 - “STORIA”
1 - SEQUENZA
4 - SCHERZETTO
Quanti € riceve Francesca dalla nonna?
Francesca riceve € 2 dalla nonna.
68
Ecco come Nicola ha ricostruito un problema anche lui in 6 quadri rispettando il sorteggio:
1 – Sequenza:
2 + 3 5
5 + 2 7
2 – Disegno:
3 – Domanda:
Quanti € riceve Roberto dalla mamma?
69
4 – Scherzetto nel disegno
e nella sequenza:
2 - 3 5
5 + 2 7
5 – Storia con “scherzetto”:
6 – Risposta:
Roberto possiede € 2, riceve dalla mamma e € 2 dal papà. Alla fine ha € 7.
Roberto riceve € 3 dalla mamma.
?
?
?
70
Ben presto dai problemi costruiti in 6 quadri si passa a costruire problemi in 9 quadri.
e la definizione di storia viene sostituita con TESTO
Sorteggio di Anna:
La definizione di storia viene sostituita con il termine TESTO
Ecco come Anna ha ricostruito un problema in 9 quadri rispettando il sorteggio:
1 – Risposta:
2 – Sequenza:
11 - 3 8
8 - 2 6
6 - 4 2
2 - SEQUENZA
3 - DISEGNO
6 - TESTO
5 - DOMANDA
1 - RISPOSTA
4 - SCHERZETTO
Alberto in tutto spende € 9
71
3 - Disegno
4 - Scherzetti nella sequenza:
11 - 3 8
8 - 2 6
6 - 4 2 Come si può vedere Anna ha nascosto i tre quadri centrali ponendo ben tre scherzetti.
?
?
?
72
e nel disegno:
Ovviamente anche nel disegno Anna ha nascosto i tre quadri centrali.
5 – Domanda:
6 – Testo:
Quanti € spende in tutto Alberto?
Alberto ha € 11 va in cartolibreria e compra dei
pennarelli che costano € 3, una penna che costa € 2 e un
diario che costa € 4. Paga il conto e alla fine ad Alberto
rimangono € 2.
?
?
?
73
Ancora un passo in avanti scompare il disegno dei quadri e quindi le sequenze si riducono a 5.
Ormai il bambino non ha più bisogno della rappresentazione iconica in quanto è avviato al possesso
del linguaggio simbolico. Gli scherzetti arrivano fino a 3 così come le domande e le risposte.
Sorteggio di Marco:
Ed ecco come Marco ha ricostruito un problema in 9 quadri (senza il disegno) rispettando il
sorteggio:
2 - RISPOSTA
3 - TESTO
5 - SEQUENZA
1 - DOMANDA
4 - SCHERZETTO
TESTO SCHERZETTO
DOMANDA
SEQUENZA
PROBLEMA
RISPOSTA
74
1 – Tre domande:
2 – Tre risposte:
3 – Testo:
4 – Tre scherzetti nella sequenza:
+ 3 5
5 4
4 + 3
5 - Sequenza:
2 + 3 5
5 - 1 4
4 + 3 7
Quante figurine aveva all’inizio Davide?
Quante figurine perde giocando con Andrea?
Quante figurine ha alla fine Davide?
All’inizio Davide aveva 2 figurine.
Giocando con Andrea perde 1 figurina.
Alla fine Davide ha 7 figurine
Davide ha figurine, giocando con Luca vince 3 figurine. Poi gioca con
Andrea e perde Durante la ricreazione gioca con Matteo e
riesce a vincere 3 figurine.
?
?
?
scherzetto
?
75
SORTEGGIA TU L’ORDINE E POI COSTRUISCI IL PROBLEMA:
………………
……………….
………………..
………………..
………………..
TESTO SCHERZETTO
DOMANDA
SEQUENZA
PROBLEMA
RISPOSTA
76
3.19 GLI SCHERZI PER CAMPIONI
SCHERZO 1 UN FOLLETTO HA RUBATO I NUMERI E GLI OPERATORI ARITMETICI DA UNA
SEQUENZA E LI HA MESCOLATI E NASCOSTI IN UN “SACCO”.
PROVA A RICOSTRUIRE LA SEQUENZA NUMERICA E POI USALA PER COSTRUIRE UN
PROBLEMA. (Per completare la sequenza numerica, oltre ad utilizzare tutti numeri del sacco,
aggiungi i numeri che mancano. Puoi anche usare più volte uno stesso numero)
PER COMPLETARE TUTTO IL PERCORSO SONO PREVISTI 6 PASSAGGI E AD OGNI
PASSAGGIO CORRISPONDE UN LIVELLO DI DIFFICOLTA’.
SE SEI UN BAMBINO TOSTISSIMO POTRESTI, PRIMA D’INIZIARE LA RICOSTRUZIONE,
DICHIARARE CHE LIVELLO VUOI RAGGIUNGERE.
ASSIEME ALL’INSEGNANTE PUOI ANCHE STABILIRE LA VOTAZIONE PER OGNI
LIVELLO RAGGIUNTO.
Es: livello1 voto bene, livello2 bravo, livello3 bravissimo, livello4 ottimo, ...
LIVELLO ……
Esempio di ricostruzione
1- Descrizione del percorso utilizzato per costruire un
problema:
10
3 7 - +
6
- 2
RISPOSTA
SEQUENZA
DOMANDA
“STORIA”
SACCO
SCHERZETTO
77
2- Ricostruzione della sequenza numerica:
6 + 4 10
10 - 7 3
3 - 2 1 Come vedi il 3 e il 10 sono stati usati 2 volte.
In tutte le sequenze numeriche dovrai ripetere il numero del terzo quadro nel quarto come pure
il numero del sesto quadro dovrai ripeterlo nel settimo quadro e questo per dare continuità alla
storia. Come finisce una sequenza così comincia la successiva.
3- “Scherzetto”:
6 + 4 10
10 ? 3
3 - 2 1
4- Storia:
“Luca ha 6 figurine ne compra 4. Dopo aver incollato
nell’album alcune figurine rimane con 3. Giocando con Marco
ne perde 2 e alla fine gli rimane 1 figurina”.
5- Domanda:
“Quante figurine ha incollato nell’album?”
6- Risposta:
“Luca nell’album ha incollato 7 figurine”
78
SCHERZO 2
SONO STATI RUBATI ANCORA UNA VOLTA I NUMERI E GLI OPERATORI
ARITMETICI DA UNA SEQUENZA E SONO STATI MESCOLATI E NASCOSTI IN UN
“SACCO”. PRIMA DI RICOSTRUIRE LA STORIA DICHIARA IL LIVELLO CHE VUOI
RAGGIUNGERE.
LIVELLO ……
1- Descrizione del percorso utilizzato per costruire un
problema:
1
3
7 +
+ 6
4
-
2 5
RISPOSTA
SEQUENZA
DOMANDA
TESTO SCRITTO
SACCO
SCHERZETTO
79
2- Ricostruzione della sequenza numerica:
Il numero del terzo quadro deve essere uguale al numero del quarto quadro come pure il numero
del sesto quadro deve essere uguale al numero del settimo quadro
3- “Scherzetto”:
4- Storia:
5- Domanda:
6- Risposta: