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Documentation du package EPB_SIPackage pour les Sciences de l’Ingénieur
Emmanuel [email protected]
Version v1.12016/04/21
Table des matières
1 Présentation 2
2 Utilisation du package 2
3 Changelog 2
4 Théorie des mécanismes 34.1 Liaisons . . . . . . . . . . . . . 34.2 Hyperstatisme . . . . . . . . . . 3
5 Cinématique 35.1 Mouvements et trajectoires . . 35.2 Vitesses - accélérations . . . . . 35.3 Torseur cinématique . . . . . . 45.4 Degrés de liberté . . . . . . . . 45.5 Coordonnées variables dans le
temps . . . . . . . . . . . . . . 5
6 Actions mécaniques 56.1 Force / couple . . . . . . . . . . 56.2 Torseur des actions mécaniques 5
7 Cinétique 67.1 Torseur cinétique . . . . . . . . 67.2 Opérateur d’inertie . . . . . . . 7
8 Dynamique 8
9 Énergétique 89.1 Notations . . . . . . . . . . . . 89.2 Énergie cinétique . . . . . . . . 89.3 Puissance . . . . . . . . . . . . 8
10 Rdm 910.1 Contraintes . . . . . . . . . . . 910.2 Moments quadratiques . . . . . 910.3 Torseur de cohésion . . . . . . 910.4 Torseur des petits déplacements 10
11 SLCI 1011.1 Transformée de Laplace . . . . 1011.2 Notations . . . . . . . . . . . . 1111.3 Signaux . . . . . . . . . . . . . 1111.4 Formes canoniques . . . . . . . 12
12 Notations diverses 12
13 Torseurs et tenseurs 1313.1 Écriture des torseurs . . . . . . 1313.2 Écriture des tenseurs . . . . . . 1313.3 Éléments de réduction . . . . . 1313.4 Opérateurs . . . . . . . . . . . 13
14 Notations mathématiques de base 1414.1 Fonctions . . . . . . . . . . . . 1414.2 Ensembles . . . . . . . . . . . . 1414.3 Géométrie . . . . . . . . . . . . 1414.4 Complexes . . . . . . . . . . . . 1514.5 Bases . . . . . . . . . . . . . . . 1514.6 Référentiels . . . . . . . . . . . 1514.7 Repères . . . . . . . . . . . . . 1514.8 Opérateurs . . . . . . . . . . . 1514.9 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . 1614.10Vecteurs pré-fabriqués . . . . . 1614.11Divers . . . . . . . . . . . . . . 16
15 Formules et théorèmes 1715.1 Cinématique . . . . . . . . . . . 1715.2 Statique . . . . . . . . . . . . . 1715.3 Cinétique, dynamique, énergé-
tique . . . . . . . . . . . . . . . 1815.4 Trains épicycloïdaux . . . . . . 19
16 Tikz 19
17 Bases, repères et figures planes 2017.1 Bases et repères . . . . . . . . . 2017.2 Bases et repères (3D) . . . . . . 2117.3 Figures planes . . . . . . . . . . 21
18 Graphe des liaisons 2218.1 Principe . . . . . . . . . . . . . 2218.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . 23
19 Diagrammes des efforts intérieurs 2319.1 Principe . . . . . . . . . . . . . 2319.2 Exemples . . . . . . . . . . . . 24
20 Unités [dépréciées] 2620.1 Principe . . . . . . . . . . . . . 2620.2 Unités prédéfinies . . . . . . . . 27
1
1 Présentation
Ce package regroupe un certain nombre de commandes utiles à l’édition de documents relatifsaux Sciences de l’Ingénieur. S’il manque des choses (et il en manque !) ou si vous souhaitez mo-difier quelques notations, il est préférable d’utiliser renewcommand dans un fichier .sty externe,afin de faciliter les futures mises à jour.
J’ai essayé de penser ce package afin qu’il soit facile de l’adapter à des notations différentes(et elles sont nombreuses, notamment en mécanique).
Je voudrais sincèrement remercier Raphaël Allais pour la qualité de son travail et des packagesqu’il a partagés sur son site (http://enseignement.allais.eu/page-latex). Je m’en suis trèslargement inspiré et ils m’ont permis de m’accompagner dans mon apprentissage de LATEX.
Enfin, ce package est techniquement loin d’être parfait... N’hésitez pas à me contacter pourtoute remarque ou suggestion ! ([email protected])
2 Utilisation du package
Le package est appelé en début de document par la commande : \usepackageEPB_SI
3 Changelog
Version 1.1 - 21/04/2016— Ajout de quelques macros pour les SLCI (issues ou adaptées du package SLCI de Raphaël
Allais)Version 1.0 - 18/04/2016
— Ajout de la gestion des diagrammes d’efforts intérieurs en RdM— Ajout de quelques constantes— Ajout de paramètres facultatifs à quelques commandes
Version 0.4 - 20/10/2015— Ajout des premières macros pour les SCLI— Ajout de quelques unités supplémentaires
Version 0.3 - 30/06/2015— Ajout de nouvelles unités : \siUH, \siUmH, \siUtourpars, \siUMHz, \siUGHz, \siUtour,
\siUNmm, \siUkgmmc, \siUlparmin, \siUmics— Ajout de la gestion des graphes de liaison— Ajout de \derivn (swap avec \deriv)— Ajout de \Jeq, \Cr, \Cm, \Fr, \ext, \cste, \ensSolides, \vOG— Ajout de \vMoment— Ajout de \dessinRepereTri, \dessinRepereTriFig, \dessinRepereIso, \dessinRepereIsoFig,
\dessinRepereFig— Ajout de \tikzGrid— Modification de \bB (remplacement du paramètre optionnel par un obligatoire)
Version 0.2 - 30/04/2015— Ajout de la gestion des unités
Version 0.1 - 26/04/2015— Mise en ligne de la première version
2
4 Théorie des mécanismes
4.1 Liaisons
Commandes Rendus Commentaires\symboleLiaison L Symbole utilisé pour les liaisons\liaison12 L1/2 Liaison entre 1 et 2.\liaison[A]12 L A
1/2 Liaison entre 1 et 2, avec précisiondu point (A).
\liaisonEq Leq Liaison équivalente\liaisonEq[1] Leq1 Liaison équivalente avec indice\liaisonEq[][A] L A
eq Liaison équivalente avec précisiondu point
\liaisonEq[1][A] L Aeq1 Liaison équivalente avec indice et
précision du point
4.2 Hyperstatisme
Commandes Rendus Commentaires\inconnuesStatiques Ns Nombre d’inconnues statiques\inconnuesStatiques[i] nsi Nombre d’inconnues statiques pour
la liaison i\inconnuesCinematiques Nc Nombre d’inconnues cinématiques\inconnuesCinematiques[i] nci Nombre d’inconnues cinématiques
pour la liaison i\nCyclomatique γ Nombre cyclomatique
5 Cinématique
5.1 Mouvements et trajectoires
Commandes Rendus Commentaires\trajectoireA12 TA∈1/2 Trajectoire\mouvement12 Mvt1/2 Mouvement
5.2 Vitesses - accélérations
Commandes Rendus Commentaires
\vVitesseA12−−−−→VA∈1/2 Vecteur vitesse
\vVitesseA1−−→VA/1 Vecteur vitesse (1 seul indice)
\vRotation12−−→Ω1/2 Vecteur vitesse de rotation
\vRotation1−→Ω1 Vecteur vitesse de rotation (1 seul
indice)
\vRotation[p]12−−→Ωp
1/2 Vecteur vitesse de rotation (avecexposant)
\accelerationSymbole Γ Symbole de l’accélération\vAccelerationA12
−−−−→ΓA∈1/2 Vecteur accélération
3
5.3 Torseur cinématique
5.3.1 Généralités
Commandes Rendus Commentaires\tCinematiqueSymbole V Symbole du torseur cinématique\tCinematique12
V1/2
Torseur cinématique
\tCinematique12[A]V1/2
A
Torseur cinématique (avec point)
\tV12V1/2
Torseur cinématique (Raccourci)
\resultanteCinematique12−−→Ω1/2 Résultante du torseur cinématique
\momentCinematiqueA12−−−−→VA∈1/2 Moment du torseur cinématique
5.3.2 Forme canonique
Commandes Rendus Commentaires\resultanteCinematiqueCanx12ωx1/2 Composante de la résultante de la
forme canonique du torseur ciné-matique
\momentCinematiqueCanxA12 V xA,1/2 Composante du moment de la
forme canonique du torseur ciné-matique
Expression de la forme canonique tu torseur cinématique :
\tCinematiqueCanA12101010 ⇒
ωx1/2
0ωz1/2
0V yA,1/20
Variante :
\tCinematiqueCanAltA12101010 ⇒
p120r12
0v120
Si on souhaite préciser 2 indices, on utilise l’expression suivante :
\tCani\tCinematiqueCanA12111111b ⇒
i
ωx1/2ωy1/2ωz1/2
V xA,1/2V yA,1/2V zA,1/2
b
Dans ces 2 cas, il suffit de mettre des 1 ou des 0 pour afficher ou non les composantes du torseur.
5.4 Degrés de liberté
Commandes Rendus Commentaires\Rx Rx Rotation suivant x\Ry Ry Rotation suivant y\Rz Rz Rotation suivant z\Tx Tx Translation suivant x\Ty Ty Translation suivant y\Tz Tz Translation suivant z
4
5.5 Coordonnées variables dans le temps
Commandes Rendus\xt, \xtp, \xtpp, \xp, \xpp x(t), x(t), x(t), x, x\yt, \ytp, \ytpp, \yp, \ypp y(t), y(t), y(t), y, y\zt, \ztp, \ztpp, \zp, \zpp z(t), z(t), z(t), z, z\thetat, \thetatp, \thetatpp, \thetap, \thetapp θ(t), θ(t), θ(t), θ, θ\alphat, \alphatp, \alphatpp, \alphap, \alphapp α(t), α(t), α(t), α, α\betat, \betatp, \betatpp, \betap, \betapp β(t), β(t), β(t), β, β\gammat, \gammatp, \gammatpp, \gammap, \gammapp γ(t), γ(t), γ(t), γ, γ\varphit, \varphitp, \varphitpp, \varphip, \varphipp ϕ(t), ϕ(t), ϕ(t), ϕ, ϕ\psit, \psitp, \psitpp, \psip, \psipp ψ(t), ψ(t), ψ(t), ψ, ψ\lambdat, \lambdatp, \lambdatpp, \lambdap, \lambdapp λ(t), λ(t), λ(t), λ, λ
6 Actions mécaniques
6.1 Force / couple
Commandes Rendus Commentaires
\vForce12−−−→F1→2 Vecteur force
\vForce[A]12−−−→A1→2 Idem avec changement de lettre
\vMomentA12−−−−−→MA,1→2 Vecteur moment
\vMomentA\vForce12−−−−−−→MA,−−−→F1→2
Moment d’une force
\vMoment[dM]A12−−−−−−→dMA,1→2 Vecteur moment (personnalisé)
\vF−→F Force
−→F
\vF[1]−→F1 Force
−→F avec indice
\Cm Cm Couple moteur\Cr Cr Couple résistant\Cf Cf Couple de frottements\Fr Fr Force Fr
\vg −→g Gravité
6.2 Torseur des actions mécaniques
6.2.1 Généralités
Commandes Rendus Commentaires\tActionMecaniqueSymbole T Symbole du torseur des AM\tActionMecanique12 T1→2 Torseur des AM\tActionMecanique[A]12[B]
T A1→2
B
Torseur des AM (avec point et ex-posant facultatifs)
\tAM12 T1→2 Torseur des AM (Raccourci)
\resultanteAM12−−−−−→RT1→2 Résultante du torseur des AM
\momentAMA12−−−−−−→MAT1→2 Moment du torseur des AM
6.2.2 Forme canonique
Commandes Rendus Commentaires\composantetAMX12 X12 Composante du torseur des AM\composantetAM[1]X12 X1→2 Idem, mais en ajoutant l’argu-
ment optionnel [1], on rajoute uneflèche.
5
Expression de la forme canonique du torseur des actions mécaniques :
\tActionMecaniqueCanA12101010 ⇒
X12
0Z12
0M12
0
Si on souhaite préciser 2 indices, on utilise l’expression suivante :
\tCani\tActionMecaniqueCanA1211-1-1-11b⇒
i
X12Y12
N12
b
Dans ces 2 cas, il suffit de mettre des 1 ou des 0 pour afficher ou non les composantes du torseur.On peut aussi utiliser -1 pour les composantes qui s’annulent dans un problème plan.
7 Cinétique
7.1 Torseur cinétique
Commandes Rendus Commentaires\tCinetiqueSymbole C Symbole du torseur ciné-
tique\momCinetiqueSymbole σ Symbole du moment ciné-
tique\tCinetique12
C1/2
Torseur cinétique
\tCinetique12[A]C1/2
A
Torseur cinétique (avecpoint)
\tC12C1/2
Torseur cinétique (Rac-courci)
\resultanteCinetique12 m.−−−−→VG∈1/2 Résultante cinétique
\resultanteCinetique[m_s]12 ms.−−−−→VG∈1/2 Résultante cinétique (avec
masse personnalisée)\resultanteCinetiqueDefS_1S_2
∫S1
−−−−−−→VM∈S1/S2 · dm Définition de la résultante ci-
nétique\momentCinetiqueAS_1S_2 −−−−−−→σA∈S1/S2 Moment cinétique
\momentCinetiqueDefAS_1S_2∫S1
−−→AM ∧
−−−−−−→VM∈S1/S2 · dm
Définition du moment ciné-tique
Commandes Rendus Commentaires
\tCinetiqueLigne12AA
m.−−−−→VG∈1/2−−−−→σA∈1/2
Torseur cinétique (ligne)
\tCinetiqueLigne[m_s]12A[b]A
ms.−−−−→VG∈1/2−−−−→σA∈1/2
b
Torseur cinétique (ligne),avec une masse spécifiée(et/ou une base d’expres-sion)
\tCinetiqueLigneDefS_1S_2A
A
∫S1
−−−−−−→VM∈S1/S2 · dm∫
S1
−−→AM ∧
−−−−−−→VM∈S1/S2 · dm
\tCinetiqueLigneDefS_1S_2A[b]
A
∫S1
−−−−−−→VM∈S1/S2 · dm∫
S1
−−→AM ∧
−−−−−−→VM∈S1/S2 · dm
b
6
7.2 Opérateur d’inertie
Commandes Rendus Commentaires
\operateurInertieA1 ¯I(A,1) Tenseur d’inertie\Jeq Jeq Inertie équivalente
\matriceInertie
0 0 00 0 00 0 0
Matrice d’inertie(nulle)
\matriceInertie[b][A][B][C]
A 0 00 B 00 0 C
b
Matrice d’inertie(diagonale)
\matriceInertie[b][A][B][C][-D][-E][-F]
A −F −E−F B −D−E −D C
b
Matrice d’inertiecomplète. (Les 6arguments sontoptionnels)
\matriceInertieStd
A −F −E−F B −D−E −D C
b
Matrice d’inertiestandard
\matriceInertieStd[1]
A1 −F1 −E1−F1 B1 −D1−E1 −D1 C1
b1
Matrice d’inertiestandard (avecindice)
\baseDuSolide (−→xs ,−→ys ,−→zs ) Base liée au solide\momInertieA
∫S (y2 + z2) · dm Moment d’inertie A
\momInertieB∫S (x2 + z2) · dm Moment d’inertie B
\momInertieC∫S (x2 + y2) · dm Moment d’inertie C
\prodInertieD∫S yz · dm Produit d’inertie D
\prodInertieE∫S xz · dm Produit d’inertie E
\prodInertieF∫S xy · dm Produit d’inertie F
7
8 Dynamique
Commandes Rendus Commentaires\tDynamiqueSymbole D Symbole du torseur dyna-
mique\momDynamiqueSymbole δ Symbole du moment dyna-
mique\tDynamique12
D1/2
Torseur dynamique
\tDynamique12[A]D1/2
A
Torseur dynamique (avecpoint)
\tD12D1/2
Torseur dynamique (Rac-courci)
\resultanteDynamique12 m.−−−−→ΓG∈1/2 Résultante dynamique
\resultanteDynamique[m_s]12 ms.−−−−→ΓG∈1/2 Résultante dynamique (avec
masse personnalisée)\resultanteDynamiqueDefS_1S_2
∫S1
−−−−−−→ΓM∈S1/S2 · dm Définition de la résultantedynamique
\momentDynamiqueAS_1S_2−−−−−→δA∈S1/S2 Moment dynamique
\momentDynamiqueDefAS_1S_2∫S1
−−→AM ∧
−−−−−−→ΓM∈S1/S2 · dmDéfinition du moment dyna-mique
9 Énergétique
9.1 Notations
Commandes Rendus Commentaires\travailSymbole W Symbole pour le travail\energieSymbole E Symbole pour l’énergie\puissanceSymbole P Symbole pour la puissance
9.2 Énergie cinétique
Commandes Rendus Commentaires
\energieCinetique12 Ec(1/2) Énergie cinétique\energieCinetiqueAlt12 T(1/2) Énergie cinétique (alternative)
9.3 Puissance
Commandes Rendus Commentaires\puissance12R P1→2/R Puissance\puissanceInter12 P1↔2 Puissance des inter-efforts\puissanceExt Pext Puissance extérieure\puissanceExt[1] P 1
ext Puissance extérieure (+ repère)\puissanceInt Pint Puissance intérieure\puissanceInt[1] P 1
int Puissance intérieure (+ repère)\puissanceMot Pmot Puissance moteur
8
10 Rdm
10.1 Contraintes
Commandes Rendus Commentaires
\vContrainteA\vn−→T (A,−→n ) Vecteur contrainte
\vContrainte\vn−→T (−→n ) Idem sans le point
\vContrainte[\sigma]A\vn −→σ (A,−→n ) Idem avec changement de nota-tion
\tenseurContraintesA ¯σA Tenseur des contraintes
\tenseurContraintesStd
σxx σxy σxzσyx σyy σyzσzx σzy σzz
Tenseur des contraintes stan-dard
10.2 Moments quadratiques
Commandes Rendus Commentaires\momentQuadratiquex Ix Moment quadratique /x\momentQuadratiquex[S] Ix(S) Moment quadratique de la surface
S /x
\momentQuadratiquex[][A] IAx Moment quadratique / (A,−→x )\momentQuadratiquex[S][A] IAx(S) Moment quadratique de la surface
S / (A,−→x )\momentQuadratiquePolaire IO Moment quadratique polaire
10.3 Torseur de cohésion
10.3.1 Généralités
Commandes Rendus Commentaires\tCohesion Tcoh Torseur de cohésion\tCohesion[A] TcohA Idem avec point spécifié\tCoh Tcoh Torseur de cohésion (Raccourci)\resultanteCohesionDef
∫S
−→T (M,−→x ).dS Définition de la résultante du tor-
seur de cohésion\momentCohesionDef
∫S
−−→GM ∧
−→T (M,−→x ).dS Définition du moment du torseur
de cohésion
\tCohesionDef
G
∫S
−→T (M,−→x ).dS∫
S
−−→GM ∧
−→T (M,−→x ).dS
Définition du torseur de cohésion
\tCohesionDef[A]
A
∫S
−→T (M,−→x ).dS∫
S
−−→GM ∧
−→T (M,−→x ).dS
Idem en un autre point
\Mfy Mfy Moment fléchissant\Mfz Mfz Moment fléchissant
10.3.2 Forme canonique
Expression de la forme canonique du torseur de cohésion :
\tCohesionCan111111 ⇒
G
NTyTz
MtMfyMfz
9
On peut éventuellement préciser un point et une base... :
\tCohesionCan[A]101010[b] ⇒
A
N0Tz
0Mfy
0
b
Dans ces 2 cas, il suffit de mettre des 1 ou des 0 pour afficher ou non les composantes du torseur.
10.4 Torseur des petits déplacements
10.4.1 Généralités
Commandes Rendus Commentaires\tDeplacementSymbole Dep Symbole du torseur des déplace-
ments\tDeplacement12
Dep1/2
Torseur des déplacements
\tDeplacement12[A]
Dep1/2
A
Idem avec un point spécifié
\tPetitDeplacementSymbole U Symbole du torseur des petits dé-placements
\tPetitDeplacement12U1/2
Torseur des petits déplacements
\tPetitDeplacement12[A]U1/2
A
Idem avec un point spécifié
\tDep12U1/2
Torseur des petits déplacements(Raccourci)
\resultantePetitDeplacement−→θ Résultante des petits déplacements
\momentPetitDeplacement−→dG Moment des petits déplacements
10.4.2 Forme canonique
Expression de la forme canonique du torseur des petits déplacements :
\tPetitDeplacementCan111111 ⇒
G
θxθyθz
dGxdGydGz
On peut éventuellement préciser un point et une base... :
\tPetitDeplacementCan[A]101010[b] ⇒
A
θx0θz
0dGy
0
b
Dans ces 2 cas, il suffit de mettre des 1 ou des 0 pour afficher ou non les composantes du torseur.
11 SLCI
11.1 Transformée de Laplace
Commandes Rendus Commentaires\laplacex(t) L[x(t)] Transformée de Laplace\laplaceInvX(p) L−1[X(p)] Transformée de Laplace
inverse
\laplaceFleche L−→ Symbole sur flèche
\laplaceInvFleche L−1−−→ Idem, mais inverse...
10
11.2 Notations
Commandes Rendus Commentaires\jo (jω)\Gw G(ω) Gain\Gdbw Gdb(ω) Gain en dB\phase ϕ(ω) Phase\wCoupure ωc Pulsation de coupure\wCoupure[2] ωc2\wResonance ωr Pulsation de résonance\wResonance[3] ωr3
\eStatique εS Erreur statique\eTrainage εV Erreur de trainage\trep t5% Temps de réponse à 5%\dnp D1% nième dépassement\MG MG Marge de gain\MP Mϕ Marge de phase\BP BP Bande passante\FTBO FTBO FT boucle ouverte\FTBF FTBF FT boucle fermée\FTCD FTCD FT chaîne directe\FTCR FTCR FT chaîne retour
11.3 Signaux
Commandes Rendus Commentaires\dirac δ(t) Dirac\dirac[t-\tau] δ(t− τ)\echelon u(t) Échelon\echelon[t-\tau] u(t− τ)\rampe r(t) Rampe\rampe[t-\tau] r(t− τ)
11
11.4 Formes canoniques
Commandes Rendus Commentaires\amortissement ξ Coefficient d’amortissement
\canonique1K
1 + τpForme canonique du 1er ordre
\canonique1[1.2]1.2
1 + τpForme canonique du 1er ordreavec gain paramétré
\canonique1[1.2][5]1.2
1 + 5p Forme canonique du 1er ordreavec gain et constante de tempsparamétrés
\canonique2K
1 + 2ξω0p+ 1
ω02 p2Forme canonique du 2e ordre
\canonique2[1.2]1.2
1 + 2ξω0p+ 1
ω02 p2Forme canonique du 2e ordreavec gain paramétré
\canonique2[1.2][10]1.2
1 + 2ξ10p+ 1
102 p2Forme canonique du 2e ordreavec gain et pulsation propre pa-ramétrés
\canonique2[1.2][10][\pi]1.2
1 + 2π10 p+ 1
102 p2 Forme canonique du 2e ordreavec gain, pulsation propre etamortissement paramétrés
12 Notations diverses
Commandes Rendus Commentaires\numPiece1 1 Numéro de pièce\np1 1 Numéro de pièce (Raccourci)\npmS_1 S1 Numéro de pièce (en mode
math)\solide1 1 Numéro de solide\ensMat1 (1) Ensemble matériel\ensSolides1,2,3 1, 2, 3 Ensemble de solides\cste cste Constante\AN AN: Application numérique\ext ext Extérieur\atm atm Atmosphérique\pes pes Pesanteur\dl, \dS, \dV, \dtau, \dm d`, dS, dV , dτ , dm Petits éléments
12
13 Torseurs et tenseurs
13.1 Écriture des torseurs
Commandes Rendus Commentaires\torseurX X Torseur
\torseurLigneAXYA
XY
Torseur en ligne
\tLigneAXYA
XY
Torseur en ligne (Raccourci)
\torseurColonneAX\\Y\\ZL\\M\\Nb
A
XYZ
LMN
b
Torseur en colonne
\tColonneAX\\Y\\ZL\\M\\Nb
A
XYZ
LMN
b
Torseur en colonne (Rac-courci)
\tNul 0 Torseur nul
13.2 Écriture des tenseurs
Commandes Rendus Commentaires
\tenseurI ¯I Tenseur
13.3 Éléments de réduction
Commandes Rendus Commentaires\ResSymbole R Symbole de la résultante\MomSymbole M Symbole du moment\resultante\torseurT
−−−→RT Résultante d’un torseur
\Res\torseurT−−−→RT Résultante d’un torseur
(Raccourci)\momentA\torseurT
−−−−→MAT Moment d’un torseur
\MomA\torseurT−−−−→MAT Moment d’un torseur
(Raccourci)
\elementsReduction\torseurTARM
−−−→RT = R−−−−→MAT = M
Éléments de réduction
13.4 Opérateurs
Commandes Rendus Commentaires\automoment\torseurT aT Automoment\axeCentral\torseurT (∆T) Axe central\comoment\torseurT_1\torseurT_2 T1 ⊗ T2 Comoment\devComomentA\torseurT_1\torseurT_2
−−−→RT1 ·
−−−−−→MAT2+
−−−−−→MAT1 ·
−−−→RT2
Comoment développé
13
14 Notations mathématiques de base
14.1 Fonctions
Commandes Rendus Commentaires\fonctionft f(t) Fonction\atanx tan−1x Arctan
\derivfdf
dtDérivée
\derivnfd
dt(f) Dérivée (variante)
\derivf[x]df
dxDérivée (on spécifie la variable)
\deriv[2]fd2f
dt2Dérivée (avec ordre)
\deriv[2]f[x]d2f
dx2 Avec tous les arguments...
Pour toutes les variantes suivantes, on peut aussi utiliser un premier argument facultatif pourl’ordre de la dérivée, et un dernier pour spécifier la variable... ex : \derivV[2]\vFR[x]
Commandes Rendus Commentaires
\derivPf∂
∂t(f) Dérivée partielle
\derivPnf ∂∂t (f) Idem, mais avec affichage réduit
\derivV\vFR
(d−→F
dt
)R
Dérivée vectorielle
\derivVn\vFR(d−→Fdt
)R
Idem, mais avec affichage réduit
\derivVl\vFR(d
dt
−→F
)R
Variante de la dérivée vectorielle
\derivVln\vFR(ddt
−→F)R
Idem, mais avec affichage réduit
14.2 Ensembles
Commandes Rendus Commentaires\R R Nombre réel\coupleAB (A,B) Couple\tripletABC (A,B,C) Triplet\quadrupletABCD (A,B,C,D) Quadruplet
14.3 Géométrie
Commandes Rendus Commentaires\segmentAB [AB] Segment\droiteAB (AB) Droite
\arcAB_AB Arc
\angleABC ABC Angle\axeA\vx (A,−→x ) Axe
14
14.4 Complexes
Commandes Rendus Commentaires\complexea a Grandeur complexe\zmoda |a| Module\zarga arg(a) Argument\zargna arg(a) Argument (variante)
14.5 Bases
Commandes Rendus Commentaires\bB b Base vectorielle (notation)\bB1 b1 Base vectorielle (avec indice)\base\vx1\vy1\vz1 (−→x1,
−→y1 ,−→z1) Base vectorielle
\bxyz (−→x ,−→y ,−→z ) Base préfabriquée\buvw (−→u ,−→v ,−→w ) Base préfabriquée
14.6 Référentiels
Commandes Rendus Commentaires\referentiel R Référentiel (notation)\referentiel1 R1 Référentiel
14.7 Repères
Commandes Rendus Commentaires\rR R Repère (notation)\rR1 R1 Repère (avec indice)\repereO\vx1\vy1\vz1 (O,−→x1,
−→y1 ,−→z1) Repère
\repere[\rR1]O\vx1\vy1\vz1 R1 (O,−→x1,−→y1 ,−→z1)Idem avec nom
\rOxyz (O,−→ex,−→ey ,−→ez ) Repère préfabriqué\rOuvw (O,−→u ,−→v ,−→w ) Repère préfabriqué
14.8 Opérateurs
Commandes Rendus Commentaires\scalaire · Produit scalaire\scal · Produit scalaire (Raccourci)\vectoriel ∧ Produit vectoriel\vect ∧ Produit vectoriel (Raccourci)\absx |x| Valeur absolue\norme\vF
∥∥∥−→F ∥∥∥ Norme\prodMixteXYZ (X ∧ Y ) · Z Produit mixte\doubleProdVectXYZ X ∧ (Y ∧ Z) Double produit vectoriel
15
14.9 Vecteurs
Commandes Rendus Commentaires\vecteuru −→u Vecteur\vecteuru[1] −→u1 Vecteur avec indice
\bipointAB−−−→[AB] Bipoint
\vLieA\vu (A,−→u ) Vecteur lié
\vColonneX \\ Y \\ Z
XYZ
Vecteur en colonne
\vColonneX+X’ \\ Y \\ Z[\bB]
X +X ′
YZ
b
Idem, avec base spécifiée
\vColonneX+X’ \\ Y \\ Z[][l]
X +X ′
YZ
Idem, mais le 3e paramètre gèrel’alignement horizontal (l, r ou c)
14.10 Vecteurs pré-fabriqués
Commandes Rendus Commentaires
\vNul−→0 Vecteur nul
\ve −→e\vex, \vey, \vez −→ex, −→ey , −→ez\ve1 ou \ve1 −→e1
\ver −→er\vetheta −→eθ\vx, \vy, \vz −→x , −→y , −→z\vx1 ou \vx1 −→x1\vy1 ou \vy1 −→y1\vz1 ou \vz1 −→z1
\vu, \vv, \vw −→u , −→v , −→w\vu1 ou \vu1 −→u1\vv1 ou \vv1 −→v1\vw1 ou \vw1 −→w1
\vn −→n\vn1 ou \vn1 −→n1
\vOM, \vOG, \vOP, \vAB, \vBA, \vOA, \vOB,−−→OM ,
−−→OG,−−→
OP ,−−→AB ,
−−→BA,−−→
OA,−−→OB
Vecteurs préfabriqués
14.11 Divers
Commandes Rendus Commentaires\indiceGaucheiR iR Indice gauche\exposantGaucheiR iR Exposant gauche\transposeeM tM Transposée\ofracAB A/B Fraction (barre oblique)\parallele // Parallèle\pdix2 ×102 Puissance de 10\conditionX(p)A=0 X(p)|A=0 Condition
16
15 Formules et théorèmes
15.1 Cinématique
— Formule de Bour (dérivation vectorielle) : \Bour\vuR_1R_2(d−→udt
)R2
=(d−→udt
)R1
+−−−−→ΩR1/R2∧ −→u
— Formule de Bour (avec underbrace) : \Bour\vuR_1R_2[\vNul](d−→udt
)R2
=(d−→udt
)R1︸ ︷︷ ︸
−→0
+−−−−→ΩR1/R2∧ −→u
— Transport du moment cinématique : \changePtMomCinematique12BA
−−−−→VA∈1/2 +−−→BA ∧ −−→Ω1/2
— Transport du moment cinématique (avec underbrace) : \changePtMomCinematique12BA[\vNul]
−−−−→VA∈1/2︸ ︷︷ ︸−→0
+−−→BA ∧ −−→Ω1/2
— Formule de transport du moment cinématique (Varignon) : \Varignon12BA ou\babarCinematique12BA
−−−−→VB∈1/2 = −−−−→VA∈1/2 +−−→BA ∧ −−→Ω1/2
— Formule de transport du moment cinématique (avec underbrace) : \Varignon12BA[\vNul]ou \babarCinematique12BA[\vNul]
−−−−→VB∈1/2 = −−−−→VA∈1/2︸ ︷︷ ︸
−→0
+−−→BA ∧ −−→Ω1/2
— Formule du champ des accélérations : \champAccelerations12BA
−−−−→ΓB∈1/2 = −−−−→ΓA∈1/2 +−−→BA ∧
d−−→Ω1/2
dt
R2
+−−→Ω1/2 ∧(−−→BA ∧
−−→Ω1/2
)
15.2 Statique
— Principe fondamental de la statique (eq. torsorielle) : \PFS1 ou \PFS1[A] (en spéci-fiant le point) ∑
Text→1 = 0 ou∑Text→1A = 0
— Théorème de la résultante statique : \thResStatique1∑−−−−−−→RText→1 = −→0
— Théorème du moment statique : \thMomStatique1A∑−−−−−−−→MAText→1 = −→0
— Transport du moment : \changePtMomAM12BA
−−−−−−→MAT1→2 +−−→BA ∧ −−−−−→RT1→2
17
— Transport du moment (avec underbrace) : \changePtMomAM12BA[\vNul]−−−−−−→MAT1→2︸ ︷︷ ︸
−→0
+−−→BA ∧ −−−−−→RT1→2
— Formule de transport de moment (BABAR) : \babarAM12BA−−−−−−→MBT1→2 = −−−−−−→MAT1→2 +−−→BA ∧ −−−−−→RT1→2
— Formule de transport de moment (avec underbrace) : \babarAM12BA[\vNul]−−−−−−→MBT1→2 = −−−−−−→MAT1→2︸ ︷︷ ︸
−→0
+−−→BA ∧ −−−−−→RT1→2
15.3 Cinétique, dynamique, énergétique
— Principe fondamental de la dynamique (eq. torsorielle) : \PFD1R_g ou \PFD1R_g[A](en spécifiant le point)
Text→1 =D1/Rg
ou Text→1A =
D1/Rg
A
— Théorème de la résultante dynamique : \thResDynamique1R_g. On peut aussi préciserla masse : \thResDynamique1R_g[m_1]∑−−−−−−→
RText→1 = m.−−−−−→ΓG∈1/Rg
ou∑−−−−−−→
RText→1 = m1.−−−−−→ΓG∈1/Rg
— Théorème du moment dynamique : \thMomDynamique1R_gA∑−−−−−−−→MAText→1 =
−−−−−→δA∈1/Rg
— Transport du moment cinétique :— \changePtMomCinetique12BA : −−−−→σA∈1/2 +−−→BA ∧m.−−−−→VG∈1/2
— Masse : \changePtMomCinetique12BA[m_1] : −−−−→σA∈1/2 +−−→BA ∧m1.−−−−→VG∈1/2
— Point : \changePtMomCinetique12BA[m_1][G_1] : −−−−→σA∈1/2 +−−→BA∧m1.−−−−−→VG1∈1/2
— Formule de transport de moment cinétique :— \babarCinetique12BA : −−−−→σB∈1/2 = −−−−→σA∈1/2 +−−→BA ∧m.−−−−→VG∈1/2
— Masse : \babarCinetique12BA[m_1] : −−−−→σB∈1/2 = −−−−→σA∈1/2 +−−→BA ∧m1.−−−−→VG∈1/2
— Point : \babarCinetique12BA[m_1][G_1] :−−−−→σB∈1/2 = −−−−→σA∈1/2+−−→BA∧m1.−−−−−→VG1∈1/2
— Transport de moment dynamique :— \changePtMomDynamique12BA :
−−−−→δA∈1/2 +−−→BA ∧m.−−−−→ΓG∈1/2
— Masse : \changePtMomDynamique12BA[m_1] :−−−−→δA∈1/2 +−−→BA ∧m1.
−−−−→ΓG∈1/2
— Point : \changePtMomDynamique12BA[m_1][G_1] :−−−−→δA∈1/2 +−−→BA∧m1.
−−−−−→ΓG1∈1/2
— Formule de transport de moment dynamique :— \babarDynamique12BA :
−−−−→δB∈1/2 =
−−−−→δA∈1/2 +−−→BA ∧m.−−−−→ΓG∈1/2
— Masse : \babarDynamique12BA[m_1] :−−−−→δB∈1/2 =
−−−−→δA∈1/2 +−−→BA ∧m1.
−−−−→ΓG∈1/2
— Point : \babarDynamique12BA[m_1][G_1] :−−−−→δB∈1/2 =
−−−−→δA∈1/2+−−→BA∧m1.
−−−−−→ΓG1∈1/2
— Théorème de Huygens : \thHuygens
¯I(O,S) = ¯I(G,S) +m ·
b2 + c2 −ab −ac−ab a2 + c2 −bc−ac −bc a2 + b2
18
— Théorème de Huygens (cas particulier) : \thHuygens[A][S][m_s][][b][c]
¯I(A,S) = ¯I(G,S) +ms ·
b2 + c2 0 00 c2 −bc0 −bc b2
— Théorème de l’énergie cinétique : \thEnergieCinetiqueS_1R_g
dEc(S1/Rg)
dt= PS1→S1/Rg
— Théorème de l’énergie cinétique (simplifié) : \thEnergieCinetiqueSimple
dEcdt
= Pint + Pext
15.4 Trains épicycloïdaux
— Terme « de gauche » de la formule de Willis : \WillisTGauche
ωpA/ba − ωps/baωpB/ba − ωps/ba
— Idem, en précisant les indices : \WillisTGauche[1][2][3][0]
ω1/0 − ω3/0ω2/0 − ω3/0
— Formule de Willis : \WillisωpA/ba − ωps/baωpB/ba − ωps/ba
= λ = (−1)p∏Zmenantes∏Zmenees
— Idem, en précisant les indices : \Willis[1][2][3][0][\lambda_1]
ω1/0 − ω3/0ω2/0 − ω3/0
= λ1 = (−1)p∏Zmenantes∏Zmenees
— Formule de Willis linéarisée (Ravignaux) : \Ravignaux
ωpA/ba − λωpB/ba + (λ− 1)ωps/ba = 0
— Idem, en précisant les indices : \Ravignaux[1][2][3][0][\lambda_1]
ω1/0 − λ1 ω2/0 + (λ1 − 1)ω3/0 = 0
16 Tikz
Pour créer des dessins Tikz, on peut utiliser une grille prédéfinie pour aider au positionnementdes différents éléments. Il suffit d’utiliser la commande \tikzGrid qui donne :
• •
\tikzGrid[2]
19
17 Bases, repères et figures planes
17.1 Bases et repères
Commandes Rendus Commentaires
\dessinRepere−→x
−→y
−→z Base standard
\dessinRepere[\vu][\vv][\vw]−→u
−→v
−→w Idem, avec changementd’axes
\dessinRepere[\vu][\vv][\vw][O]−→u
−→v
−→w O Idem, mais avec un centrede repère
\dessinRepere[\vu][\vw][\vv][][1]−→u
−→w
−→v Idem, mais indirecte (ondonne un 5e argumentnon nul)
20
17.2 Bases et repères (3D)
Commandes Rendus Commentaires
\dessinRepereTri
−→x
−→y
−→z Repère en 3D
\dessinRepereTri[\vy0][\vz0][\vx0][O]
−→y0
−→z0
−→x0
O
Idem, en spécifiantles axes
\dessinRepereIso−→x
−→y
−→z Repère en 3D isomé-trique
\dessinRepereIso[\vy0][\vz0][\vx0][O]−→y0
−→z0
−→x0
O
Idem, en spécifiantles axes
On peut aussi utiliser les commandes \dessinRepereTriFig et \dessinRepereIsoFig (avecles mêmes paramètres) pour insérer ces figures dans un dessin Tikz.
17.3 Figures planes
17.3.1 Principe
On utilise la commande \parametrageAngulaire avec les paramètres suivants :— 1 : Nom de l’angle,— [2] : (Opt) Valeur de l’angle,— 3, 4, 5 : axes de la première base,— 6, 7, [8] : axes de la base 2 (le 3e est optionnel),— [9] : (Opt) Orientation de l’axe normal au plan (=1 si vers le plan).
La couleur par défaut est noire, mais on peut spécifier les couleurs des 2 bases en utilisant la com-mande suivante (juste avant \parametrageAngulaire) : \setCouleursParametragecouleur1couleur2.
21
17.3.2 Exemples
— Exemple de base :\parametrageAngulaire\alpha\vx\vy\vz\vx1\vy1
−→x
−→y
−→z
−→x1
−→y1
α
α
— Exemple complet :\parametrageAngulaire\alpha[35]\vx\vz\vy\vx1\vz1[\vy1][1]
−→x
−→z
−→y = −→y1
−→x1−→z1
α
α
— Avec gestion des couleurs :\setCouleursParametragebluered\parametrageAngulaire\alpha\vx\vy\vz\vx1\vy1
−→x
−→y
−→z
−→x1
−→y1
α
α
18 Graphe des liaisons
18.1 Principe
L’idée est de définir un environnement personnalisé simplifiant la création de graphes desliaisons. Il faut commencer par repérer la position des différentes pièces, puis utiliser les com-mandes suivantes :
— \glConfig[1][2] : Configuration pour l’affichage du graphe des liaisons— [1] : style des liaisons— [2] : style des pièces
— \glPiece123[4] : Pièce, avec comme paramètres :— 1 : coordonnées de la pièce (ex : 0,0)— 2 : nom du nœud (node)— 3 : numéro de la pièce— [4] : style Tikz (optionnel)
— \glBati[1]234[5][6] : Bâti :— [1] : orientation en degrés— 2 : coordonnées de la pièce (ex : 0,0)— 3 : nom du nœud (node)— 4 : numéro de la pièce
22
— [5] : scale— [6] : style Tikz (optionnel)
— \glLiaison[1]23[4][5][6] : Liaison, avec comme paramètres :— [1] : Style du trait de liaison (habituellement : bend left ou bend right) (optionnel)— 2 : nom du nœud 1— 3 : nom du nœud 2— [4] : Texte (optionnel)— [5] : Position du text (right, below, above left ...) (optionnel)— [6] : style Tikz du texte (optionnel)
— \glDeuxL[1]23 : Mini-tableau pour écrire les liaisons sur 2 lignes— [1] : alignement (défaut : centré c)— 2 : ligne 1— 3 : ligne 2
18.2 Exemple
\begingrapheLiaisons[scale=0.55]\glBati0,1P00[1.5]\glPiece-5,5P11\glPiece0,9P22\glPiece5,5P33\glLiaison[bend left]P0P1[\glDeuxLGliss.axe \axeA\vz][left]\glLiaison[bend right]P0P3[Pct][right]\glLiaison[bend left]P1P2[\glDeuxLPiv.axe \axeK\vx][left]\glLiaison[bend left=10]P1P3[\glDeuxLRot.centre $C’$][above]\glLiaison[bend right=10]P1P3[LA \axeC\vy][below]\glLiaison[bend left]P2P3[Pct][right]
\endgrapheLiaisons
0
1
2
3
Gliss. Gl.axe (A,−→z ) Pct
Piv.axe (K,−→x ) Rot.
centre C ′
LA (C,−→y )
Pct
19 Diagrammes des efforts intérieurs
19.1 Principe
Pour tracer les diagrammes d’efforts intérieurs, on pourra utiliser les commandes suivantes :
— \PoutreEncastrement12[3][4] : Liaison encastrement— 1 : Position x— 2 : Position y— [3] : (Opt) Orientation (en degrés)— [4] : (Opt) Scale
— \PoutreAppuiSimple12[3][4] : Appui simple
23
— 1 : Position x— 2 : Position y— [3] : (Opt) Orientation (en degrés)— [4] : (Opt) Scale
— \PoutreRotule12[3][4] : Rotule— 1 : Position x— 2 : Position y— [3] : (Opt) Orientation (en degrés)— [4] : (Opt) Scale
— \PoutreBaseLocale12[3][4] : Axes de la base locale— 1 : Position x— 2 : Position y— [3] : (Opt) Étiquette des abcisses (défaut : x)— [4] : (Opt) Étiquette des ordonnées (défaut : y)
— \PoutreCharge123[4][5][6][7][8] : Glisseur— 1 : Position x— 2 : Position y— 3 : Nom— [4] : (Opt) Orientation (en degrés)— [5] : (Opt) Inversion (1 si inversé)— [6] : (Opt) Couleur— [7] : (Opt) Longueur— [8] : (Opt) Style du node
— \PoutreChargeRepartie1234[5][6][7] : Charge répartie— 1 : Position x— 2 : Position y— 3 : Longueur— 4 : Nom— [5] : (Opt) Orientation (en degrés)— [6] : (Opt) Couleur— [7] : (Opt) Scale
— \PoutreDiagAxes1234[5] : Axes pour les diagrammes— 1 : Nom du diagramme— 2 : Position x de la poutre— 3 : ymin— 4 : ymax— [5] : (Opt) Nom de l’axe des abscisses
— \PoutreDiagCfg[2] : Configuration des diagrammes— [1] : (Opt) Couleur— [2] : (Opt) Options tikz supplémentaires
19.2 Exemples
19.2.1 Poutre encastrée, charge simple
\begintikzpicture\PoutreEncastrement00\PoutreBaseLocale6.20.7\draw[line width=2.5pt] (0,0) -- (6,0) node[below right] $A$;
24
\PoutreCharge60$Q$\node at (0,0)[left=0.2] $O$;\draw (0,-0.6) -- (0,-1.1);\draw (6,-0.1) -- (6,-1.1);\draw[<->,>=latex] (0,-0.9) -- (6,-0.9) node [midway, above] $L$;
\endtikzpicture
x
y
A
Q
O
L
19.2.2 Exemple avec tracé des diagrammes
\begintikzpicture% Tracé de la poutre\draw (0,-0.1) -- (0,-1);\PoutreAppuiSimple00\PoutreAppuiSimple40\PoutreBaseLocale6.20.6\PoutreChargeRepartie006$p_0$\node at (4.3,0)[below right] $A$;\node at (6,0)[above right] $B$;\draw[line width=2.5pt] (0,0) -- (6,0);\node at (0,0)[above, left=0.2] $O$;\draw (4,-0.1) -- (4,-0.7);\draw (0,-0.4) -- (0,-1.3);\draw (6,-0.1) -- (6,-1.3);\draw[<->,>=latex] (0,-0.5) -- (4,-0.5) node [midway, above] $a$;\draw[<->,>=latex] (0,-1.1) -- (6,-1.1) node [midway, above] $L$;
% Diagrammes des efforts intérieursVoir code source
\endtikzpicture
25
x
y
p0
A
BO
a
L
Ty
x
(L− a)p0
L(1− L
2a
)p0[
L(1− L
2a
)− a]p0
Mfz
x
p02 (L− a)2
20 Unités [dépréciées]
20.1 Principe
Toutes ces commandes ont été abandonnées au profit de l’utilisation du package siunitx.Je les laisse néanmoins dans le package pour des raisons de rétro-compatibilité.
Pour harmoniser les notations, plusieurs commandes relatives aux unités sont prédéfinies...Un espacement par défaut entre la valeur et l’unité est défini par la commande \sepUnite.Ce séparateur peut être redéfini de la manière suivante : \siUm[\quad], où on à remplacélocalement l’espace fin par défaut par un quadratin.
On peut aussi combiner plusieurs unités de la manière suivante : \siUm/\siUs[] qui donne :m/s .
26
20.2 Unités prédéfinies
Commandes Rendus Commentaires\siUnm, \siUmicm, \siUmm, \siUcm,\siUdm, \siUm, \siUdam, \siUhm,\siUkm, \siUrad, \siUtr, \siUtour
nm, µm, mm, cm, dm, m,dam, hm, km, rad, tr
Longueurs
\siUmmc, \siUcmc, \siUmc mm2, cm2, m2 Surfaces\siUmmcc, \siUcmcc, \siUmcc,\siUmmccc, \siUmL, \siUL
mm3, cm3, m3, mm4, l, ml Volumes
\siUmmparrad, \siUmmpartour mm/rad, mm/tr\siUparm, \siUparmc, \siUparmcc m−1, m−2, m−3
\siUms, \siUmics, \siUs, \siUmin,\siUh, \siUpars, \siUparss
ms, µs, s, min, h, s−1, s−2 Temps
\siUmicmpars, \siUmmpars,\siUcmpars, \siUmpars, \siUkmparh,\siUmcpars, \siUtourparmin,\siUtourpars
µm · s−1, mm · s−1, cm · s−1,m · s−1, km · s−1, rad · s−1,km/h, m2 ·s−1, tr/min, tr/s
Vitesses
\siUmparss, \siUradparss m · s−2, rad · s−2 Accélérations\siUmg, \siUg, \siUkg, \siUt mg, g, kg, t Masse\siUkgpardmcc, \siUkgparmcc,\siUkgpars, \siUkgmc, \siUkgmmc,\siUlparmin
kg ·dm−3, kg ·m−3, kg · s−1,kg ·m2, kg ·mm2, l ·min−1
\siUN, \siUdaN, \siUNm, \siUNmm,\siUNparmm, \siUNparcm, \siUNparm
N, daN, N.m, N.mm, N ·mm−1, N · cm−1, N ·m−1
Actions mécaniques
\siUW, \siUkW, \siUJ,\siUWparmparK, \siUJparkg,\siUJparkgparK, \siUWparmc,\siUkJparkg
W, kW, J, W ·m−1 ·K−1, J ·kg−1, J ·kg−1 ·K−1, W ·m−2,kJ · kg−1
Énergie, puissance
\siUdeg, \siUdegC, \siUK °, °C, K Températures\siUPa, \siUMPa, \siUGPa,\siUbar, \siUNparmc, \siUNparmmc,\siUdaNparmmc
Pa, MPa, GPa, bar, N ·m−2, N ·mm−2, daN ·mm−2
Pression
\siUmV, \siUV, \siUmA, \siUA,\siUohm, \siUkohm, \siUMohm,\siUparohmparm, \siUVparm, \siUH,\siUmH
mV, V, mA, A, Ω, kΩ,MΩ, Ω−1 ·m−1, V ·m−1, H,mH
Élec.
\siUT, \siUF, \siUC, \siUeV, \siUdB T, F, C, eV, dB\siUHz, \siUkHz, \siUMHz, \siUGHz Hz, kHz, MHz, GHz Fréquences
27