Así que si C es el centro y r > 0 es el radio, la circunferencia de centro C y

radio r que denotaremos ðC(C; r) es el conjunto siguiente:

I) C= centro es el punto medio entre dos puntos opuestos que nos dan

el radio

*( )

( )

+

( ) (-2,-1)

II) r = radio = distancia entre puntos/2

√[( ) ( ) ]

√

√( ) √

La ecuación pedida es: (x-3)2+(y-1)2=17 //

C (2,5)

La circunferencia es una curva plana cerrada

formada por todos los puntos del plano que

equidistan de un punto interior, llamado centro

de la circunferencia. La distancia común se

llama radio.

C (C; r) = {P tal que = r}

La ecuación general de la

circunferencia si colocamos

el centro en el origen de un

plano cartesiano, está dada

por

Si el centro se mueve

hacia un punto (h, k), la

ecuación se transforma a

( ) ( )

Ampliemos el término, para ampliar nuestro conocimiento… ;)

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la

circunferencia:

Una circunferencia es el lugar

geométrico de los puntos de un

plano que equidistan de otro punto

fijo y coplanario llamado centro en

una cantidad constante llamada

radio.

RECTA SECANTE

CUERDA

RECTA TANGENTE

PUNTO DE TANGENCIA

RADIO

CENTRO

DIÁMETRO

La que toca a la circunferencia

en un sólo punto.

El segmento que une dos

puntos de la circunferencia.

El de contacto de la

recta tangente con

la circunferencia.

El segmento que une el centro

con un punto cualquiera de la

circunferencia.

El punto interior

equidistante de todos los

puntos de la

circunferencia.

El mayor segmento que une

dos puntos de la circunferencia

(necesariamente pasa por el

centro).

La que corta a la

circunferencia en dos

puntos.

Frases curiosas sobre la circunferencia

Datos curiosos

Tips sobre la circunferencia y el círculo

Círculo y circunferencia no son lo mismo.

Círculo y circunferencia son lugares geométricos,

conjuntos de puntos con un determinada condición.

Circunferencia es el conjunto de puntos que están a igual

distancia de otro punto llamado CENTRO

El círculo es el conjunto de puntos de la circunferencia más todos

los puntos interiores.

Radio es la distancia entre cada punto de la circunferencia y el

centro.

El diámetro es todo segmento que pasa por el centro y une dos

puntos de la circunferencia.

"En la circunferencia, el

comienzo y el fin

coinciden."

Heráclito (544-480 a.

C.); filósofo griego.

"Inútil es la labor del

que se fatiga

intentando cuadrar el

círculo."

Stiffel (1544).

♥ Los pies de un elefante tienen forma circular.

Multiplica el diámetro de su pie por 2π, y el

resultado obtenido es la altura del elefante (de los

pies a la espalda).

♥ Si quisiéramos escribir en línea recta los

200.000 millones de decimales de p calculados por

Kanada y Takahasi en 1999, el papel necesario

tendría una longitud tal, que podría dar una

vuelta a la circunferencia de la Tierra.

¿Donde miramos cotidianamente la circunferenia?

En todos lados, amigo!! :O

Elementos de una circunferencia

1. Centro de una circunferencia: (morado)

Es el punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

2. Radio de una circunferencia (en rojo)

Es cualquier segmento que va desde su centro a cualquier punto de dicha circunferencia.

“El radio es la mitad del diámetro.” Todos los radios de una figura geométrica poseen la

misma longitud.

3. Diámetro de una circunferencia (en azul)

El diámetro es el segmento de recta que pasa por el centro y une dos puntos opuestos de

una circunferencia

«Un diámetro de un círculo es una recta cualquiera

(segmento) que pasa por el centro y que acaba en

ambas direcciones en la circunferencia del círculo; esta

línea recta también divide el círculo en dos partes

iguales»

Euclides de Alejandría, Elementos, libro I, definición

4. Recta Secante

Una recta secante de una curva es una línea que (localmente) interseca dos puntos en la

curva. ”Secante viene del latín secare, que significa, cortar.”

“Conforme estos puntos se acercan y su distancia se reduce a cero, la recta adquiere el

nombre de recta tangente.”

5. Recta tangente

Toca a la circunferencia en un sólo punto; La recta tangente o también llamada recta

exterior a una circunferencia de centro O que pasa por un punto T de la misma es la recta

perpendicular al radio OT que pasa por el punto T.

Esto ha de ser así porque la perpendicular a una recta trazada desde un punto exterior a

la misma indica la menor distancia posible desde dicho punto a la recta. Si el radio OT no

fuese perpendicular a la tangente en T, la verdadera perpendicular a la tangente trazada

por O cortaría a la tangente en un punto T', de manera que la distancia |OT'| sería inferior

a la distancia |OT|. Como la distancia |OT| es el radio de la circunferencia, T' sería un

punto del interior de la circunferencia, lo cual se contradice con que la recta sea

tangente a la

circunferencia

5.a Punto de tangencia

Una línea que intersecta a un círculo en exactamente un punto es llamada la tangente

del círculo. El punto de intersección es el punto

de tangencia.

6. La Cuerda

La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. “El diámetro es la

cuerda de longitud máxima.”, “El área que corta una cuerda circular es denominada

un segmento circular.”

Propiedades y características

1. Las cuerdas son equidistantes del centro si y solo si sus longitudes son iguales.

2. Una bisectriz de una cuerda pasa por el centro.

3. Si las extensiones lineales (líneas secantes) de las cuerdas AB y CD se interceptan

en un punto P, entonces sus longitudes satisfacen AP·PB = CP·PD, (ver potencia de

un punto).

4. La cuerda de mayor longitud posible para un determinado círculo es su propio

diámetro.

7. Arco:

El segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a una circunferencia; sector que está

comprendido entre dos radios. En el ejemplo: P(A) y P(B)

Donde es el radio, la longitud del arco y angulo que contiene a .

8. Semicircunferencia

Una Semicircunferencia es cada uno de los arcos iguales que abarca un

diámetro, y está dada por la formula:

Donde es la longitud del arco dividido por el diámetro, cuyo valor aproximado

es y que es el valor del radio del círculo.

9. Ejercicios

x² +y² =36 χ² +y² =r²

χ² +y² =6(es la raiz de 36)

entonces:

centro =(0,0)

radio =6

Grafica

Ecuación( ) ( )

Ecuación de la circunferencia con centro en “h”, “k” y radio r

Hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación general

es

Buscar que los términos en x y en y queden seguidos.

10. Aplicaciones a la vida

La circunferencia la podemos encontrar en varias partes de nuestra vida

cotidiana, por ejemplo al construir un redondel de una calle o avenida, un puente

curvo (aunque no necesariamente debe ser toda la circunferencia), una rueda de

chicago, o cualquier otro elemento que tenga una circunferencia en ella.

Ecuaciones de la circunferencia:

Ecuación Ordinaria de la Circunferencia

Dados las coordenadas del centro de la circunferencia C (h,k) y el radio "r"

de la misma, podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el

valor de "y" correspondiente a un valor de "x".

( ) ( )

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(2;6) y con radio

r = 4

Solución:

( ) ( )

Ejemplo:

Ecuación Canónica de la Circunferencia:

Sean ahora las coordenadas del centro de la circunferencia C(0;0) y el

radio "r", podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de

"y" correspondiente a un valor de "x".

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen y con radio

r = 3

Solución:

Ejemplo:

Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos

construir su ecuación ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la

forma general de la ecuación de la circunferencia, así:

( ) ( )

( )⏟

( )⏟

( )

Ecuación General de la Circunferencia

P r u e b a :

Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2;6) y radio r

= 4

( ) ( )

( ) ( )

D = -4 , E = -12 , F = +24

Ejemplo:

O b s e r v a c i o n e s :

Dada la ecuación de la circunferencia x² + y² + Dx + Ey + F = 0 se cumple

que:

(

)

√

( ) ( )

De acuerdo al gráfico determinar:

1.- Ecuación Ordinaria de la circunferencia con centro en A.

2.- Ecuación General de la circunferencia con centro en B.

3.- Ecuación Canónica de la circunferencia que pasa por el punto D.

4.-Distancia entre los centros de A y B.

5.- Distancia entre G e H.

6.- Distancia entre I y J.

7.- Ecuación General de la circunferencia con centro en D y que pase

por E.

Problemas Resueltos

SOLUCION

( )

√( ) ( )

√(( ( )) ( ( ))

√ = √ =5

( ) ( )

( ( )) ( )

( ) ( )

√( ) ( )

√( ) ( )

√ =√ =6

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

Ecuación Canónica de la circunferencia que pasa por

el punto D

√(( ) ) (( ) )

√( ) ( )

√ √

Distancia entre los centros de A y B

√( ( )) ( )

√( ) ( )

√ √

El radio de la circunferencia con centro A es:

Sumando ambos radios tenemos:

( ) ( )

Además se sabe que

( )

( )

( )

Reemplazando en (1)

( )

Distancia entre I y J

EL radio de la circunferencia con radio en C es:

El radio de la circunferencia con radio en B es:

La distancia entre C y B es:

√( ) ( )

√( ) ( )

√ √

Del grafico se ve que:

Ecuación General de la circunferencia con centro en D

y que pase por E

El radio de la circunferencia es:

√( ( )) ( ( ))

√ √

Además se sabe que:

( )

( )

( ) ( ) √

Reemplazando en la E. G.:

Caracterización de la ecuación general de la

circunferencia

Si en esta ecuación eliminamos

los paréntesis y pasamos todos

los términos al primer miembro,

tendremos:

v

( ) ( )

La ecuación de la circunferencia de

centro el punto C (a,b) y su radio es:

que ordenada sería:

Llamando:

La ecuación quedaría expresada de

la forma:

Características

No existe término en

Los coeficientes de son iguales.

Si entonces

Si entonces -

Si entonces r= Raíz cuadrada ( )

La condición necesaria, por tanto, para que una ecuación dada

represente una circunferencia es que:

( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )

Determine la ecuación de la

circunferencia con centro en:

Ejemplo:

( )

1.

Determina las

coordenadas del

centro y del radio de

las circunferencias:

(

)

2.

Calcula la ecuación de la

circunferencia que tiene su

centro en el punto de

intersección de las rectas:

y su

radio es igual a 5.

( )

( )

( )

Hallar la ecuación de la

circunferencia que tiene el centro en

el punto C(3,1) y es tangente de la

recta: 3x – 4y + 5 = 0.

( )

√ ( )

( )

Algunos links para consultar el tema:

http://exordio.qfb.umich.mx/archivos%20PDF%20de%20trabajo%2

0UMSNH/Aphilosofia/Mate/circunferencia.pdf

http://www.vadenumeros.es/primero/conicas-circunferencia-y-elipse.htm

http://www.vitutor.com/geo/coni/f_e.html

Aplicaciones prácticas

Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los

rayos paralelos al eje de la parábola en dirección al foco. Las

aplicaciones prácticas son muchas: las antenas satelitales y

radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales

recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la

posición del foco.

La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un

reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares

y grandes centrales captadoras de energía solar.

Análogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz

de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con

superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz

paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos

convergen o divergen si el emisor se desplaza de la posición focal.

También en los CD’S, piezas ordinarias en la música actual, son una

placa circular con un borde que termina siendo una circunferencia.

Al centro se observa un orificio redondo que sirve para tomar el Cd y

para que la radio lo reproduzca. Estas piezas de la electrónica

requieren de mucha precisión para su correcto funcionamiento. Por lo

tanto para su fabricación se usan las técnicas del radio y el diámetro.

Sigue informándote!! :D

Ecuación de la circunferencia a partir de 3 condiciones

Tomemos como ejemplo:

Si nos dan x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0

Pasos:

Lo primero que tenemos que hacer es encontrar el centro y el radio

De la siguiente manera

A continuación hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los

puntos

A(2,0), B(2,3), C(1, 3)

Si sustituimos “x” e “y” en la ecuación por las coordenadas de los

puntos se obtiene el sistema e Indicar si la ecuación: 4x2 + 4y2 - 4x -

8y - 11 = 0, corresponde a una circunferencia, y en caso afirmativo

debemos calcular el centro y el radio.

A=-3 B=-3 C=2

C(1,2)

A continuación se mostraran los siguientes pasos

1) los coeficientes de x2 e y2 son distintos a la unidad, lo dividimos

por 4:

2) No tiene término en xy.

3) Ya que se cumplen las tres condiciones, es una circunferencia.

(

)

(

)

(

)

(

)

r=2

Ejemplo:

Calcula la ecuación de la

circunferencia que tiene su centro en

(2,-3) y es tangente al eje de abscisas

( )

( )

( ) ( )

DETERMINACION DE UNA CIRCUNFERENCIA

Una circunferencia queda determinada cuando conocemos:

Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.

El centro y el radio.

El centro y un punto en ella.

El centro y una recta tangente a la circunferencia.

También se podemos decir que la circunferencia es la línea formada por

todos los puntos que están a la misma distancia de otro puntos, llamado

RADIO.

Estas propiedades es la clave para hallar la expresión analítica de una

circunferencia (la ecuación de la circunferencia).

RECUERDA: que la

CIRCUNFERENCIA es el lugar

geométrico de los puntos de

un plano que se hallan de un

punto fijo llamado CENTRO.

Entonces para desarrollarnos en el tema de la Geométrica analítica, en el

plano cartesiano. Se dice que para cualquier punto P(x, y) de una

circunferencia cuyo centro es el punto C(a, b) y con radio r- la ecuación

ordinaria es:

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

¿Qué quiere decir esto?

Significa que una circunferencia graficada con un centro definido

(coordenadas) en el plano cartesiano y con el radio definido lo podemos

“ver” como gráfico y también lo podemos “transformar” o expresar como

una ecuación matemática.

Así la vemos Así podemos expresarla

Dónde:

(d) Distancia CP = r

Y

√( ) ( )

Fórmula que elevada al cuadrado nos da

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

También se usa como

(x ─ h)2 + (y ─ k)2 = r2

Importante:

RECORDEMOS que en esta fórmula la x y la ysiempre serán la

coordenadas de cualquier punto (P) sobre la circunferencia, y

equidistante del centre de un (r). Y que la a y la b (o la h y la k según se

usen) corresponden a las coordenadas del centro de la circunferencia

C(a, b).

Cuadrado del binomio: debemos de recordar el cuadrado del

binomio porque es muy importante para lo que viene a continuación.

El binomio al cuadrado de la forma (a ─ b)2 se resuelve de la forma (a ─ b)

(a ─ b) o convertirlo en un trinomio de la forma a2 ─ 2ab + b2.

Sigamos nuestro razonamiento sobre la ecuación (x ─ a)2 + (y ─ b)2 =

r2 (que en forma matemática representa una circunferencia).

Ecuación general de la recta:

Si en esta ecuación ordinaria ─cuyo primer miembro (lado izquierdo) está

formado por la suma de dos cuadrados de binomio─, eliminamos los

paréntesis desarrollando dichos binomios, pasamos todos los términos al

primer miembro y la igualamos a cero, tendremos:

x2 ─ 2ax + a2 + y2 ─ 2by + b2 ─ r2 = 0 ecuación que ordenada sería

x2 + y2 ─ 2ax ─ 2by + a2 + b2 ─ r2 = 0

Si para tener una ecuación más sintetizada hacemos las siguientes

asignaciones:

─ 2a = D,

─ 2b = E,

a2 + b2 ─ r2 = F

la ecuación quedaría expresada de la forma:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 conocida como Ecuación General de la

Circunferencia, la cual debe cumplir las siguientes condiciones para serlo:

No existe término en xy

Los coeficientes de x2 e y2 son iguales.

Si D = ─ 2a entonces

Si E = ─ 2b entonces

Si F = a2 + b2 ─ r2 entonces √( )

Además, otra condición necesaria para que una ecuación dada

represente una circunferencia es que:

a2 + b2 ─ F > 0 (a2 + b2 ─ F debe ser mayor que cero)

Nota:

Para simplificar la ecuación general de la circunferencia (x2 + y2 ─ 2ax ─

2by + a2 + b2 ─ r2 = 0) algunos textos o docentes utilizan otra convención y

hacen:

─ 2a = A,

─ 2b = B,

a2 + b2 ─ r2 = C para tener finalmente

x2 + y2 + Ax + By + C = 0 que es lo mismo que x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Recapitulación

Si conocemos las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia,

podemos construir su ecuacion ordinaria, y si operamos los binomios

cuadrados que la conforman, obtenemos la forma general de la ecuación

de la circunferencia

Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.

( ) ( )

Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el

centro y el radio.

( )

No es una circunferencia real:

Determina las coordenadas del centro y del radio de las

circunferencias:

1)

( )

2)

(

)

(

) (

) √

3)

Dividiendo por 4:

(

)

(

) (

)

4) 4x2 + 4y2 - 4x - 8y - 11 = 0

(

)

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos

A(2,1) y B(-2,3) y tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Posiciones Relativas

De una recta y una circunferencia

Aplicando el método de sustitución, la ecuación de la circunferencia se

reduce a una ecuación de segundo grado con una variable o incógnita.

Por tanto la discriminante de esa ecuación de segundo grado define el

número de soluciones del sistema y por lo tanto, la posición de la recta y la

circunferencia.

Una recta y una circunferencia

pueden ser exteriores,

tangentes y secantes en

función de como sea la

distancia d del centro de la

circunferencia a la recta con

respecto al radio R de la

circunferencia.

( ) ( )

Las posiciones relativas de una

recta y una

circunferencia

: + = .

Es determinada investigando el

número de soluciones del

sistema:

EJEMPLOS

OBSERVACIÓN

La posición relativa de una recta dada, y L: una

circunferencia ( ) ( ) puede ser determinada más

fácilmente, comparando la distancia entre el centro C y la recta L, con el

radio “r”. Son Posibles 3 casos:

Primer Caso, Segundo Caso y Tercer Caso.

1. La recta la circunferencia

son exteriores pues sustituyendo la ecuación de la recta

en la circunferencia se tiene: ( )

(

) (

)

( )( )

2. La recta L: y la circunferencia

, son secantes pues, sustituyendo “Y” de la ecuación de la

recta en la ecuación de la circunferencia, se tiene:

EJEMPLOS

1. ¿Cuál es la posición de la recta y la

circunferencia definida por ?

Solución:

Puesto que necesitamos las coordenadas del centro C(h, k) y el radio

“r” de la circunferencia, las obtenemos de la ecuación:

siendo estas : h-0; k-0; r-3; reemplazando en una

De las anteriores fórmulas se tiene:

¿Cuál es la posición de la recta L: en relación a la

circunferencia?

Solución:

Resolvemos el problema de dos métodos diferentes:

1er método:

De la ecuación de la recta despejamos x, así: y sustituimos

en la ecuación de la circunferencia propuesta:

De donde:

Entonces el discriminante de la ecuación es:

Por tanto:

La recta es secante a la circunferencia.

2do Método:

Completamos Cuadrados en la ecuación de la circunferencia,

para expresarla en la forma:

Así tenemos:

De donde:C=

Y en este mismo, el radio.

R=

Y la distancia del centro de la recta es:

d=

Como radio < d = = 4.4 entonces, la recta es secante a la circunferencia.

ULTIMO EJEMPLO

2. Determinar K de modo que la recta L: sea

exterior de la circunferencia

Solución:

Expresamos la ecuación de la circunferencia

en su forma reducida: + = 1 por lo tanto el centro C =

(1, 1) y radio R = 1

Para que la recta L sea exterior a la circunferencia, deberá cumplir:

d=

Luego:

d=

Esto es:

> 25 + 2k - 24 > 0

K < - 6 ó K > 4

Es decir:

K = R -

“Logicwillgetyoufrom A to B. Imaginationwilltakeyoueverywhere.” A.

E.

Dada una circunferencia y una recta sobre el mismo plano, los puntos del

plano al que pertenece la circunferencia pueden ser:

* Interiores

* De la circunferencia

* Exteriores

Interiores:

Un punto es interior a una circunferencia si su distancia al centro es

menor que el radio.

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que

equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad

constante llamada radio.

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia en el plano

De la circunferencia:

Un punto pertenece a la

circunferencia si su distancia al

centro es igual al radio.

Exteriores:

Un punto es exterior a una

circunferencia si su distancia al

centro es mayor que el radio. Un

punto es interior a una

circunferencia si su distancia al

centro es menor que el radio.

Una recta es exterior a una circunferencia cuando la intersección con la misma es

nula.

Dada una circunferencia y una recta sobre el mismo plano, se

pueden representar los siguientes casos:

* La recta no se intercepta con la circunferencia.

* La recta se intercepta con la circunferencia en un solo punto. Es

Decir, la recta es tangente a la circunferencia.

* La recta se intercepta con la circunferencia en dos puntos. Es

decir, la recta es secante a la circunferencia.

LA RECTA NO SE INTERSECTA CON LA CIRCUNFERENCIA

Una recta es tangente a una circunferencia cuando comparten un único

punto. Es decir, una recta es tangente si toca a la circunferencia en un punto

(el punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual a la

longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular

al radio que une el punto de tangencia con el centro.

Para hallar los puntos

comunes a una

circunferencia y una

recta resolveremos el

sistema formado por

las ecuaciones de

ambas.

En general se obtiene

una ecuación de

segundo grado, que

tendrá dependiendo

del signo del

discriminante,

Si Δ = 0 Una

solución: entonces la

recta y la

circunferencia son

tangentes.

LA RECTA SE INTERSECTA CON LA CIRCUNFERENCIA EN UN SOLO PUNTO

Una recta es secante a una circunferencia cuando la corta en dos puntos. Es decirla

recta secante es una recta que corta a una circunferencia en dos puntos. Conforme

estos puntos se acercan y su distancia se reduce a cero. La recta adquiere el

nombre de recta tangente.

Dados los puntos de

intersección A y B puede

calcularse la ecuación de la

recta secante. Para ello en

matemáticas se emplea la

ecuación de la recta que

pasa por dos puntos:

LA RECTA SE INTERSECTA CON LA CIRCUNFERENCIA EN DOS PUNTOS

Determinar en cada caso, los puntos de intersección de la circunferencia

con la recta e indicar si la recta es secante o tangente.

a.

b.

c.

E J E R C I C I O R E S U E L T O

Aquí va una aplicación

muy clara de este tema. Si

quisiéramos ver a la recta

secante aplicada a

nuestra vida cotidiana,

podríamos encontrarla en

algo tan común como la

comida. Ejemplo claro de

lo anterior son las

brochetas de fruta. El

pincho corta o atraviesa

en dos puntos a cada fruta

para formar la brocheta,

creando así una recta

secante a las

“circunferencias frutales”.

a. Para encontrar los puntos de corte de la circunferencia con la

recta se

Resuelve el siguiente sistema.

(1)

(2)

Se reemplaza la ecuación (2) en la ecuación (1)

( ) ( )

Por tanto,

Se divide la ecuación entre 2.

De donde ( )( )

Luego,

Para se tiene que

Para se tiene que

Por tanto, los puntos de intersección de la circunferencia con la recta son

(7,-3) y (2,2).

Así la recta es secante a la circunferencia.

b. Para encontrar los puntos de corte de la circunferencia con la

recta se resuelve el siguiente sistema.

(1)

(2)

Para resolverlo, se reemplaza la ecuación (2) en la ecuación (1)

( ) , por tanto,

Para este valor de y, se cumple que ( )

La recta se intercepta con la circunferencia solamente en el punto (-3,5).

Por tanto es tangente.

SOLUCIÓN

c. Para encontrar los puntos de corte de la circunferencia con la

recta

se resuelve el siguiente sistema.

(1)

(2)

Para resolverlo, se reemplaza la ecuación (2) en la ecuación

(1)

y se obtiene

Se aplica la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas

y se obtiene

√

√

Lo cual significa que el sistema no tiene solución real, por tanto,

la recta no se intercepta con la circunferencia.

Determinar la posición relativa entre la recta y la recta y la

circunferencia dada.

1.

2.

3. ( ) ( )

4. ( )

5.

EJERCICIOS

Posición Relativa de 2 circunferencias en el plano

Interiores:

Hay dos tipos de circunferencias interiores en el plano y son:

Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia

entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la

diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la

otra.

Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus

centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona

circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

Ejemplo:

Concéntricas:

- Las circunferencias concéntricas son las que tienen un mismo centro.

- Los centros coinciden.

- No tienen ningún punto común.

- La distancia entre los centros de la circunferencia es cero.

Ejemplo:

Tangentes:

En un mismo plano las posiciones relativas de un punto y de una recta

respecto a una circunferencia están determinadas por sus respectivas

distancias al centro de la circunferencia.

Sea d la distancia de un punto P al centro de una circunferencia de centro

O y de radio r en un mismo plano

Si d > r , P es exterior a la circunferencia.

Si d = r , P está en la circunferencia.

Si d < r , P es interior a la circunferencia.

Ejemplos:

Si una recta l y una circunferencia (O, r) son coplanares y además d es la

distancia:

De la recta al centro O, entonces, de la figura 18.5, obtenemos:

a. Si d > r, la recta l es exterior a la circunferencia.

b. Si d = r, la recta l es tangente a la circunferencia.

Si dos circunferencias 1 1 1 C (O , r ) y 2 2 2 C (O , r ) están en el mismo

plano, las posiciones relativas entre ellas pueden relacionarse con la

distancia d entre sus centros de la siguiente manera:

a.Dos circunferencias son exteriores si la distancia entre sus centros es

mayor quela suma de sus radios

C y 2 C son exteriores

1 2 d = d (O ,O )

1 2 d > r + r

b. Dos circunferencias son tangentes exteriores si son tangentes a la misma

recta en el mismo punto (su Intersección es un punto).

Si la distancia entre los centros 1 2 d = r − r , las dos circunferencias son

tangentes interiores.

Si la distancia entre los centros 1 2 d = r + r , las dos circunferencias son

tangentes exteriores

Secantes:

La posición relativa entre dos circunferencias viene determinada por la

distancia entre sus centros (d) y el valor de sus radios R y R'. (La distancia

entre los centros es mayor que la diferencia de los radios).

En este link se pueden encontrar varios ejemplos sobre la circunferencia en

posición relativa en el plano

- Exteriores

- Interiores

- Concéntricas

- Tangentes

- Secantes

http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/geoweb/

circunejer.htm

Aprende MAS!!! :D