dodatočné materiály k učebnici fyzika pre 2. ročník gymnáziíesf/civ/ss/fyzika2_dodat.pdf ·...

Názov projektu: CIV – Centrum Internetového vzdelávania FMFI Číslo projektu: SOP ĽZ 2005/1-046 ITMS: 11230100112

J. Pišút, P. Horváth, M. Lazúr

Dodatočné materiály k učebnici Fyzika pre 2. ročník gymnázií

Aplikácie stavovej rovnice (ideálneho plynu)

Peter Horváth FMFI UK

Úvod

Ukážka predstavuje dva z množstva pokusov, s veľmi jednoduchými a každému

dostupnými pomôckami. Pokus sa dá zrealizovať doslova zadarmo, potrebujeme iba PET fľašu a v druhej časti sklenený pohár. Podobné pokusy bývajú súčasťou takmer každej z našich hodín, ich zoznam je v prílohe. Konkrétne nasledujúce pokusy potvrdzujú Boylov – Mariottov zákon pre (uzavretý ideálny) plyn. Aj keď pri pokusoch nepoužívame ideálny plyn, vlastnosti reálneho plynu dokážeme pomocou modelu ideálny plyn vysvetliť.

Dva z pokusov predvádzaných na hodinách

Pokus predvádzame v zimnom období, najlepšie, keď vonku mrzne. Do triedy

prinesieme dve prázdne PET fľaše. Jedna je otvorená, druhú uzavrieme uzáverom. Obe položíme von na okennú dosku. Po chvíli ich z okennej dosky vrátime späť do triedy. Fľaša, ktorá bola uzavretá sa zdeformovala, stiahla sa, fľaša, ktorá nebola uzavretá, nejaví žiadne známky deformácie. Žiakov sa pýtame: „Vysvetlite, prečo sa takto fľaše správajú!“

Vysvetliť daný jav je pomerne jednoduché. Vplyvom vonkajšej nízkej teploty sa vo fľaši ochladil vzduch a zmenšil svoj objem. Ak by fľaša nebola pružná, vo fľaši by sa znížil aj tlak. Výraznému zníženiu tlaku zabránilo, že naša fľaša je pružná a vnútorný podtlak spôsobil jej zmrštenie. Lepšie povedané tlak na vnútornú stenu fľaše sa vyrovná s atmosférickým tlakom na vonkajšiu stenu fľaše tak, že fľaša sa stiahne a plyn v nej uzavretý zmenší svoj objem. Výsledok môžeme vysvetliť aj Gay-Lusacovým zákonom pre izobarický dej. Podmienkou je, že súhlasíme s tým, že na začiatku deja, keď je fľaša v triede a na konci deja, keď je fľaša vonku, je tlak vo fľaši rovnaký. Potom platí, že ak teplota uzavretého plynu vo fľaši klesne, klesne aj objem tohto plynu. Tento teoretický výsledok, odvodený pre ideálny plyn, je potvrdený stiahnutím sa fľaše.

Námet na druhý pokus možno nájsť napríklad v knihe Experimente mit Spass od Wernera Rentzscha (1Rentzsch, 1998, str. 114). Pokus je realizovaný pomocou sklenenej fľaše a mince. V našom prípade používame vratnú sklenenú fľašu od minerálky.

Obrázok 1: Minca nadskakuje nad hrdlom fľaše.

Podobne, ako predchádzajúci opísaný pokus, aj tento je vhodný na zimné chladné obdobie. Hneď, ako prídeme do triedy, fľašu položíme na vonkajšiu okennú dosku. Po chvíli ju z vonkajšieho prostredia vyberieme, položíme na stôl. Navlhčenou mincou, najlepšie starým 20 alebo 50 haliernikom, prikryjeme vzduchotesne jej otvor. Po chvíli začne minca nad otvorom mierne nadskakovať. Ak chceme, aby minca nadskakovala častejšie, pridržíme fľašu rukou. Vysvetlenie prenecháme žiakom: „Vysvetlite, prečo minca skáče.“

Vonku sa fľaša a vzduch v nej ochladil. Po prenesení do teplejšieho prostredia triedy sa postupne fľaša aj vzduch v nej zohrieva. Zohriaty vzduch sa rozpína a snaží sa uniknúť z fľaše. Bráni mu v tom však minca. Postupne tlak vo fľaši narastá, až tlaková sila dokáže nadvihnúť mincu a časť vzduchu z fľaše unikne. Proces sa opakuje. Technické a didaktické poznámky

Chladné prostredie možno v lete nahradiť chladničkou, alebo prúdom studenej tečúcej vody.

Vysvetlenie týchto pokusov žiakom nezvykne robiť problémy. Sú vhodné aj pre písomné alebo ústne skúšanie. Konkrétne tieto príklady boli súčasťou písomky na seminári pre štvrtákov. Všetci seminaristi, pripravujúci sa na maturitu, dokázali správne zdôvodniť výsledky oboch pokusov.

Ďalšiu diskusiu potom môžeme viesť o skúsenostiach žiakov, pri ktorých sa oni sami stretli s podobnými javmi, ktoré potvrdzujú zákonitosti pre izobarický, prípadne izotermický alebo izochorický dej.


Rosa Peter Horváth

FMFI UK Úvod

Naledujúce pokusy sú, podobne ako predchádzajúce realizované s veľmi jednoduchými pomôckami. Na prvom z nich si zopakujeme mierne obmenený experiment s PET fľašou, ako bol opísaný v kapitole „Aplikácie stavovej rovnice (ideálneho plynu)“. Pomocou tohto pokusu môžeme žiakov upozorniť, že javy v prírode nebývajú separované, naraz sa tu vyskytne viac javov. Na ich vysvetlenie použijeme poznatky z viacerých oblastí molekulovej fyziky. Priebeh časti hodiny

Pokus je vhodné realizovať v zimnom chladnom počasí, najlepšie, keď vonku mrzne. Do PET fľaše nalejeme trochu (asi 5 ml) vody. Aby sa efekt zvýraznil, môžeme fľašu pred umiestnením von najprv mierne pootvorenú položiť na radiátor. Potom ju uzavrieme a položíme von na okennú dosku. Žiakov sa spýtame: „Čo si myslíte, že sa s fľašou stane?“ Obyčajne odpovedajú, že sa stiahne, takýto pokus už predtým videli.

Po chvíli fľašu vrátime späť do miestnosti. Fľaša je naozaj stiahnutá, ale okrem toho je zvnútra aj zarosená. Pýtame sa žiakov: „Vedeli by ste vysvetliť, kedy a prečo sa fľaša zarosila?“ Vo fľaši je voda. V miestnosti, alebo nad radiátorom je určite vyššia teplota ako vonku. S vyššou teplotou je spojené aj výraznejšie vyparovanie vody. Vo fľaši sú vodné pary. Keď fľašu umiestnime von, teplota vzduchu vo fľaši klesne časť vodných pár vo fľaši skondenzuje. K poklesu celkového objemu vzduchu vo fľaši tentokrát prispeje aj to, že časť vodných pár zmení skupenstvo, v našom prípade na kvapalné, čiže vo fľaši okrem zmeny objemu plynu sa mení aj počet častíc plynu.

Pokračujeme otázkou: „Kto by vedel vysvetliť, ako sa tvorí rosa?“ Niekto zo žiakov obyčajne správne odpovie, že cez deň pri vyššej teplote sa voda vyparí do vzduchu a večer, keď sa ochladí, táto voda skondenzuje a tak sa vytvorí rosa. Po takejto, alebo podobnej odpovedi ich ešte môžeme upozorniť, že okrem toho, že sa zmení teplota vzduchu sa večer ochladením a skondenzovaním vodných pár zníži aj tlak vzduchu. V našom pokuse sa v dôsledku tohto zníženia tlaku fľaša zdeformovala. Diskusiu môžeme priviesť až k vysvetleniu pojmu „rosný bod“.

Ďalší podobný pokus predvedieme s dvomi rovnakými sklenenými pohármi. Jeden necháme vo vnútri a druhý na chvíľu položíme opäť na okennú dosku. Žiakom prezradíme, že o chvíľu pohár zvonka vrátime do triedy. Spýtame sa: „Čo sa stane s pohárom, keď ho vrátime do triedy?“ Uskutočníme pokus, pohár zvonka vrátime späť do miestnosti. Ak je

v triede dostatočná vlhkosť, vidíme na pohári, ktorý bol vonku nazrážanú vodu. Ak sa pohár nezarosí sám, pomôžeme mu tým, že naň dýchneme. Podobne dýchneme aj na pohár, ktorý ostal vnútri. Rozdiel je očividný. Vysvetlenie necháme na žiakov. Na záver kontrolná otázka: „Prečo sa zarosia v zime okuliare, keď nastúpime do autobusu?“

Na domácu úlohu necháme žiakom urobiť pozorovanie: „Keď z mrazničky vytiahneme

špenát, zmrazené mäso a podobne, čo sa stane ako prvé?“ Pozor, správna odpoveď nie je, že sa spenát začne odmrazovať. Najprv sa pokryje jeho povrch ľadom, potom sa postupne znižuje jeho teplota a až po čase sa začne rozmrazovať a ľad na jeho povrchu sa roztopí.


Od čoho závisí spotreba chladničky? Matúš Lazúr

FMFI UK

Úvod V súvislosti s rastom cien energií sa čoraz viac hovorí o nákladoch na

vykurovanie obytných priestorov. Neraz robíme veľmi nákladné opatrenia na to, aby sme vzácne teplo nenechali uniknúť z našich bytov von. Predsa však existuje v každej domácnosti miesto, kde sú chlad a zima žiadúce a kde sa naopak snažíme udržať nízku teplotu. Tým miestom je samozrejme chladnička, dnes už neodmysliteľná výbava každej kuchyne. Pri jej kúpe nás okrem objemu zaujíma predovšetkým to, aké má nároky na spotrebu elektrickej energie. Výrobcovia to pre uľahčenie orientácie zákazníkov označujú vo forme tzv. energetickej triedy spotrebičov ktorá udáva podľa istých relatívnych kritérií či je daný spotrebič energeticky výhodnejší ako ostatné.

Ak by sme však boli postavení pred otázku aké sú reálne hranice minimálnej spotreby chladničky, či nebodaj od čoho tá spotreba vlastne závisí a ako ju môžeme či nemôžeme ovplyvniť, pre mnohých z nás by bola táto otázka príliš „vedeckou“. A predsa je to prípad toho typu otázok ktoré vo svojej zdanlivo jednoduchej formulácii skrývajú veľmi komplexný a široký problém. Ako to pri väčšine jednoduchých otázok býva, o čo jednoznačnejšia je otázka, o to zložitejšia býva odpoveď. Tí, u ktorých sa pri vyslovení tejto otázky vybavili slová ako elektrická energia, práca, teplo a fakt, že odpovedať na túto otázku ich mala či sa dokonca snažila naučiť školská fyzika patria k tým šťastnejším. V súvislosti s tým sa núka otázka prečo pri pokuse aplikovať naše ťažko nadobudnuté vedomosti na nejaký zdanlivo banálny praktický problém narážame na zdanlivo neprekonateľné prekážky. Problém asi nebude ďaleko od toho, že naše poznatky sú abstrakciou a zovšeobecnením javov, s ktorými sa síce stretáme možno aj každý deň no akosi nám nebolo dopriate si to uvedomiť. Na tejto jednoduchej otázke si ukážeme jednu ale určite nie jedinú z ciest ako možno aplikovať naše „akademické“ vedomosti z fyziky na takýto až prízemne praktický problém. Tam, kde sa postup bude javiť príliš „fyzikálny“ pre nefyzika, uvedieme zopár jednoduchých príkladov ktoré urobia danú úvahu stráviteľnejšou.

Analýza problému Prvou vecou, ktorú si musíme uvedomiť je to, že aj v tých najzložitejších

prípadoch platia bezpodmienečne tie „akademické“ pravdy, ktoré mali tú česť byť povýšené na fyzikálne zákony. Najlepšie bude nájsť tie hlavné, ktoré sa týkajú okruhu z ktorého je daný problém a od nich postupne dôjdeme aj k tomu, prečo a ako funguje daný systém.

Skúsme začať napríklad tým, že si vyjasníme čo taká chladnička vlastne robí, a čo k tomu potrebuje. Začneme tým obligátnym: „Chladnička chladí.“ Čo to ale znamená chladiť? Znamená to odoberať teplo, čoho konečným dôsledkom je zníženie teploty takto „postihnutého“ telesa. Do chladničky teda dávame veci, prevažne potraviny, aby sa ochladili na nižšiu teplotu. (To je prípad, keď do chladničky dáme fľašu vína, aby malo neskôr tú správnu teplotu.) Naša odpoveď ale má jednu logickú „dieru“. Ak by chladnička stále iba chladila (hoc aj tú spomínanú fľašu vína), tak by jej ustavične odoberala teplo, tá by chladla a chladla až...A tu si môžeme spomenúť na to že donekonečna by chladnúť predsa len nemohla. Chlad ako veľa vecí má isté hranice, v našom prípade absolútnu nulu termodynamickej teploty, no jej dosiahnutia sa u našej chladničky báť nemusíme. Zrejme bola naša odpoveď neúplná. Chladnička okrem chladenia má aj úlohu ktorú možno často čítať na niektorých v nej prechovávaných potravinách, a totiž:“Uchovávajte pri teplote do ..., či niekedy od... do... „a pod. Chladnička teda udržuje veci v nej uložené v pri istej teplote, či istom rozmedzí teplôt.

Naše víno ktoré prinesieme z obchodu má napr. bežnú izbovú teplotu napr. 20°C. Keď ho dáme do chladničky (v tej nie je nič, len vzduch a teplota aká má byť – dajme tomu 6°C), bude v našej chladničke zrazu teplejšie. Naše víno sa s radosťou podelí o svoje teplo so studeným vzduchom v chladničke. Keď sa teploty vyrovnajú bude vzduch o niečo teplejší a fľaša s vínom o niečo chladnejšia ako predtým. A tak si chladnička začne plniť svoje poslanie – bude sa snažiť udržať vnútri teplotu aká tam má byť teda tých 6°C a to tým spôsobom, že bude odoberať všetkému čo je vnútri teplo (chladiť) až kým ho tam bude tak akurát na požadovanú teplotu. Do ďalších podrobností sa pustíme neskôr. (Ako to robí, a koľko toho tepla musí odobrať a pod.)

Teraz sa pozrieme na to, čo chladnička potrebuje na to, aby chladila. Všeobecne k tomu aby sa niečo zmenilo (trebárs aj teplota niečoho) je potrebné niečo urobiť – vykonať prácu, no a k tomu potrebujeme energiu. Tá má rôzne formy a jednu z nich potrebuje aj chladnička, a o tú sa aj zaujímame – je to energia elektrická. To, koľko Joulov z nej vojde do chladničky za jednu sekundu nazývame jej príkon a meriame Wattmi. Elektrická energia teda vchádza v istom množstve (to sa budeme snažiť zistiť) do chladničky a tam sa „spotrebúva“. Pri tomto slove sa musíme zastaviť. Čo znamená, že energia sa spotrebúva? Bežne tým označujeme to, že koná nejakú prácu (užitočnú či neužitočnú) alebo (a vždy súčasne) sa mení na nejakú inú formu energie, najradšej na takú ktorú nechceme – vtedy to nazývame straty. Skutočne stratiť sa však nemôže. Hovorí to zákon, zo všetkých fyzikálnych zákonov najnekompromisnejší – zákon zachovania energie. Naša elektrická energia vchádzajúca do chladničky prívodnou šnúrou bude teda určite konať nejakú prácu a meniť sa na iné formy. O tom v akom zmysle je prácou ochladzovanie vnútra chladničky budeme hovoriť neskôr. Tu dodáme len jednu podstatnú vec: hocijaká energia ktorá vchádza do chladničky tam musí buď zostať, alebo vyjsť von. Nič z nej sa nemôže stratiť.

Energia v chladničke V našich úvahách sme dospeli k jednému veľmi dôležitému zákonu, ktorý musí

platiť v našej chladničke – zákonu zachovania energie. Už jeho samotný názov napovedá, že pri hľadaní odpovede na našu otázku zohrá kľúčovú úlohu. Hovorí totiž o všetkých energiách a teda aj o našej elektrickej ktorej spotrebu máme určiť. Musíme len nájsť všetky energie ktoré sa nám budú zachovávať a premieňať v našej chladničke pri jej funkcii.

Na tomto mieste potrebujeme začať uvažovať o dosť rozvetvených súvislostiach. Skúsme na to ísť postupne.

Dosiaľ poznáme jednu formu energie ktorá vchádza do chladničky a pre jej funkciu hrá veľmi podstatnú úlohu, je to energia elektrická. Jej podstatná úloha sa prejaví najlepšie vtedy, keď náhle prerušíme jej prísun napr. odpojením prívodnej šnúry. Predpokladajme, že sa to stalo práve v okamihu keď chladnička splnila svoju chladiacu funkciu a teplota vzduchu aj fľaše vína vnútri dosiahla nastavenú teplotu. Ak otvoríme chladničku po istom čase, zistíme, že teplota vnútri chladničky sa zvýšila. Chladnička nemohla bez dodania elektrickej energie plniť funkciu udržania určitej teploty vnútri. Tu sa dostávame k hádam najpodstatnejšiemu bodu. Len pred chvíľou sme tvrdili, že energia je potrebná na zmenu niečoho (pohybového stavu, teploty) a tuto je potrebná na „nezmenu“ (zachovanie niečoho v rovnakom stave). Ale fyzikálne zákony nepustia.

Energia je potrebná len na zmenu. Naše udržiavanie v rovnakom stave je vlastne ustavičným vracaním telesa do stavu ktorý chceme udržať. Ak v chladničke bez elektriny stúpla teplota, to udržiavanie nebolo nič iné ako jej neprestajné znižovanie na pôvodnú veľkosť. Stúpnuť teplota niečoho vnútri chladničky môže len tak, že tomu dodáme teplo. Máme teda ďalšiu energiu ktorá vchádza do vnútra chladničky, ohrieva ho a spôsobuje, že na jeho opätovné ochladzovanie je potrebná elektrická energia. Toto teplo, keďže vchádza do chladničky aj keď je táto odpojená od siete nevzniká z elektrickej energie. Navyše preniká dovnútra neustále a spôsobuje, že musíme priestor chladničky nielen ochladiť, ale ho aj udržiavať pri nízkej teplote.

Musíme sa ešte zamyslieť nad jednou vecou. V našej energetickej bilancii máme zatiaľ dva druhy energie: elektrickú a tepelnú. Obe však smerujú dovnútra chladničky. Ak je chladnička v činnosti, potom použitím elektrickej energie sa určitým spôsobom ochladzuje jej vnútro (odoberá sa mu teplo ktoré sa ináč neprestajne objavuje vnútri). Privádzaná elektrická energia teda nedodáva energiu vnútru chladničky, naopak teplo zvnútra sa niekde „stráca“. Kde sa strácajú oba druhy energie. Musíme nájsť miesto, kadiaľ ide energia z chladničky von. To miesto je na chladničke, presnejšie na jej zadnej stene. Nájdeme tam mriežku, ktorej teplota je vyššia ako teplota okolitého vzduchu, ten sa v styku s ňou ohrieva a tým jej odoberá teplo. Toto je jediný spôsob ako sa všetka energia ktorá hocijakým spôsobom vstupuje do chladničky dostáva von.

Zistili sme, že príčinou spotreby elektrickej energie na udržiavanie teploty v chladničke je teplo, ktoré sa ustavične dostáva do vnútra chladničky. Koľko ho vojde dnu, toľko musíme odviesť von. Od čoho závisí množstvo tepla, ktoré sa dostáva dovnútra chladničky?

Predstavme si že máme chladničku odpojenú od elektriny. Zariadenie, ktoré odvádza teplo zvnútra von ako sme sa presvedčili teraz nepracuje. Celá chladnička je teraz len skrinkou. Ak je vnútri chladničky teplota rovnaká ako vonku, a aj jej obsah má tú istú teplotu, nedeje sa nič. Po ľubovoľne dlhom čase bude teplota vnútri chladničky presne rovnaká. Žiadne teplo dovnútra už nevchádza a teplota vnútri sa nemení. Naša fľaša vína môže byť teraz položená úplne hocikde, trebárs v kartónovej škatuli s presne rovnakým výsledkom – žiadnym.

Skúsme čo sa stane ak má naše víno teplotu napr. tých 6°C. Ak by sme mali dve takéto fľaše, jednu dáme do vypnutej chladničky, a druhú do spomínanej kartónovej škatule. Po chvíli porovnáme teplotu oboch fliaš. Ak je teplota fľaše rôzna od teploty okolia (napr. v izbe), prejaví sa „zvláštnosť“ chladničkovej skrinky. Fľaša ktorá bola v nej sa zohriala menej ako druhá. Do chladničky teda vchádza za istý čas menej tepla ako do kartónovej škatule. Táto vlastnosť chladničky je podstatná pre spotrebu „udržiavacej“ energie. Čím menej tepla vojde dnu, tým menej ho treba dostať von a tým menšia energia sa na to spotrebuje.

Teraz trochu vedy. Vieme, že ak sa dostanú do kontaktu dve telesá s odlišnými teplotami, dochádza k tepelnej výmene. Teplo prechádza z telesa s vyššou teplotou na chladnejšie teleso až kým sa teplota neustáli na nejakej výslednej hodnote. Potom sa proces zastaví. Ak sú teploty rovnaké, teplo medzi telesami už neprechádza. Rýchlosť s akou sa to stane však nie je vždy rovnaká. Napr. ak zmiešame vo vani horúcu a studenú vodu, teploty sa vyrovnajú veľmi rýchlo. Ale ak vyberieme z chladničky fľašu chladeného nápoja a postavíme v izbe na stôl, nejaký čas to potrvá, kým sa ohreje.

Ak máme chladničku a vnútri je určitá teplota T nižšia ako teplota okolia To. Priestor dnu a von oddeľujú steny chladničky. Všetko teplo, ktoré vchádza dnu musí prejsť stenami. Aj to, ako rýchlo vchádza teplo do uzavretej skrinky (chladničky) cez jej steny má isté zákonitosti. Rýchlosť vchádzania tepla je vlastne počet Joulov tepla, ktoré vojdú do chladničky za jednu sekundu a túto veličinu nazývame tepelný tok. Teplo vchádza dovnútra cez celý povrch skrinky. Čím väčší je tento povrch tým viac tepla vojde za rovnaký čas dnu. Množstvo tepla ktoré prejde jedným m2 povrchu za sekundu sa nazýva hustota tepelného toku. Tepelný tok cez steny závisí aj od toho ako sa líšia teploty vnútri a vonku. Čím väčší je rozdiel teplôt, tým väčší je tepelný tok, tým rýchlejšie prechádza teplo cez stenu. Napr. horúcejší radiátor ohrieva rýchlejšie ako keď má nižšiu teplotu. Posledným faktorom, ktorý ovplyvňuje rýchlosť prestupu tepla je samotná stena, presnejšie materiál z ktorého je zhotovená a jej hrúbka. Čím je stena tenšia a čím vyššia je tepelná vodivosť materiálu z ktorého je zhotovená, tým viac tepla cez ňu prechádza. Ako príklad tu môžme uviesť tepelnoizolačné vlastnosti obyčajnej fľaše a termosky.

Pre spotrebu chladničky je teda podstatné aby jej skrinka mala pri danom objeme čo najmenší povrch (guľový tvar je nepraktický, najvýhodnejší pomer objemu k povrchu má potom kocka) a mala hrubé steny z materiálu s nízkou tepelnou vodivosťou. To všetko sú ale konštrukčné detaily, ktoré už nemôžeme ako používatelia ovplyvniť.

Okrem tepla ktoré vchádza dnu stenami zavretej chladničky, tu máme ešte teplo ktoré do nej vchádza v čase keď sú otvorené dvere. Množstvo takto vniknutého tepla závisí od toho, ako dlho sú otvorené dvere. Pri krátkych dobách ide zrejme len o výmenu

chladného vzduchu v chladničke za vzduch z okolitého prostredia. Spôsobuje to jednak prúdenie aj vedenie tepla vzduchom. Teplota vecí uložených vnútri sa v dôsledku tepelnej zotrvačnosti nestihne zmeniť. Vzhľadom k nízkej tepelnej kapacite vzduchu sa nejedná o veľké množstvo tepla.

Iná situácia nastáva ak sú dvere chladiaceho priestoru otvorené dlhší čas. Vplyvom prúdenia vzduchu sa od neho zohrievajú aj predmety umiestnené vnútri. Okrem toho po zvýšení teploty vo vnútornom priestore začne pracovať chladiaci agregát. A pracuje úplne zbytočne, pretože vzduch ktorý sa ochladí vo výparníku chladničky je prakticky ihneď nahradený vzduchom prúdiacim z miestnosti. Energia sa takto spotrebúva na ochladzovanie vzduchu v okolí.

Existujú chladničky, sú to napríklad chladiace pulty v obchodoch, ktoré nemajú uzavretý chladiaci priestor. Tie sú upravené tak, že majú otvorenú vrchnú stranu. Studený vzduch zostáva dolu a nenastáva prúdenie vzduchu. V plynoch ktoré majú zlú tepelnú vodivosť, teda aj vo vzduchu sa teplo šíri hlavne prúdením. Preto sú dobrými izolantmi látky v ktorých je veľa plynu, ktorý je uzavretý v póroch látky aby nemohol prúdiť, napr. molitan, polystyrén a pod.

Najviac energie sa ale dostane dovnútra priestoru chladničky spolu s potravinami, ktoré tam vkladáme. Tie majú najčastejšie teplotu okolo 20°C. Typická teplota v chladničke je 6°C. Teplo ktoré bude musieť chladnička dostať von je potom závislé najmä od hmotnosti a mernej tepelnej kapacity daného predmetu. Ďaleko najviac tepla obsahuje voda ktorá má veľmi vysokú mernú tepelnú kapacitu. Preto trvá vychladenie fľaše s vodou veľmi dlho.

Najviac však prakticky ovplyvňuje spotrebu energie teplota okolitého prostredia. Jednak má vplyv na to, koľko tepla vniká dnu do chladničky, navyše ale ovplyvňuje účinnosť procesu v ktorom sa elektrická energia používa na odoberanie tepla vnútru chladničky. Popis tohto deja sme zámerne odkladali na záver. Bežné vedomosti z fyziky by mali stačiť asi na toto: chladnička alebo tiež chladiaci stroj je tepelný stroj podobne ako tepelný motor. Funkcia chladiaceho stroja je presne opačná ako v prípade tepelného stroja. Zodpovedať na otázku, čo opačné je v tomto deji a aké to má dôsledky by bolo asi ťažšie. Skúsme to celé rozobrať.

V tepelných motoroch teplo prechádza z teplejšieho telesa na chladnejšie a pri tom sa časť z neho dá premeniť na prácu. Na prácu sa premení tým viac z prechádzajúceho tepla (účinnosť je tým vyššia), čím je väčší rozdiel teplôt medzi ohrievačom a chladičom.

V chladiacich strojoch musíme dodať prácu my, tá sa celá zmení na teplo a pritom sa prenesie časť tepla z chladnejšieho telesa na teplejšie. Konaním práce sa odoberie chladnejšiemu telesu tým viac tepla (účinnosť je vyššia), keď je rozdiel teplôt čo najmenší.

Aplikované na chladničku to vyzerá takto: Elektrická energia poháňa elektromotor a ten kompresor chladničky (koná prácu). Tým sa odoberie časť tepla vnútru chladničky a to spolu s teplom ekvivalentným dodanej práci ohrieva horúci chladič na zadnej stene chladničky.

Teplota okolitého prostredia teda ovplyvňuje spotrebu chladničky dvomi spôsobmi. Za prvé, vyšší rozdiel medzi teplotou vnútri chladničky a teplotou jej okolia spôsobuje väčší tepelný tok stenami chladničky. (Teplo sa rýchlejšie dostáva dnu.) Za druhé, vyššia teplota prostredia spôsobuje že chladiaci stroj pracuje s väčším rozdielom teplôt medzi chladičom a ohrievačom čím sa znižuje účinnosť jeho práce. Výsledkom je, že chladnička v čase zvýšených nárokov na jej funkciu (pri vyššej vonkajšej teplote) pracuje za nejnevýhodnejších podmienok.

Tým sme vyčerpali všetky faktory, ktoré majú vplyv na spotrebu elektrickej energie chladničky. Predsa ešte zostala jedna vec, ktorá si zaslúži vysvetlenie. Ako prebieha proces chladenia z hľadiska toku tepelnej energie v chladničke?

1. Miestom, kde sa odoberá teplo z chladničky je výparník – plochý panel umiestnený v hornej časti zadnej steny vnútri chladničky.

2. Výparník odoberá teplo vzduchu vnútri chladničky, s ktorým je v kontakte.

3. Teplota výparníka je nižšia ako teplota vzduchu v chladničke. (Preto sa na ňom tvorí z vodnej pary obsiahnutej vo vzduchu ľad. Ten ho izoluje od vnútorného priestoru a tým predlžuje čas jeho ochladzovania.)*

4. Predmety v chladničke sa ochladzujú tým, že okolo nich prúdi studený vzduch.

Prečo prúdi vzduch v chladničke? Ako vieme, hustota vzduchu závisí od teploty. Preto vzduch ktorý v styku s výparníkom stratil časť tepla, prúdi okolo zadnej steny dolu a na jeho miesto prúdi teplejší vzduch. Tým sa dosahuje prúdenie chladného vzduchu okolo predmetov uložených v chladničke a tým ich ochladzovanie. Obr.xx To platí počas funkcie chladiaceho stroja keď je výparník ochladzovaný. V pokoji teplejší vzduch sa zhromažďuje v hornej časti a tam je umiestnený termostat, ktorý hneď zareaguje na zvýšenie teploty.

Aký je priebeh teploty v chladničke? Ak máme nastavenú teplotu napr. 6°C, potom termostat vypne chladiaci stroj ak teplota vzduchu v blízkosti termostatu dosiahne nastavený počet stupňov. Vzduch sa potom ohrieva buď teplom ktoré prechádza stenami (tento dej prebieha nepretržite ak je teplota vonku vyššia ako vnútri), alebo v kontakte s predmetmi uloženými v chladničke – ak ich teplota je ešte vyššia ako teplota vzduchu v ich okolí. Ohriaty vzduch prúdi hore k termostatu a keď jeho teplota dosiahne spínaciu teplotu, ktorá je napr. 8°C, potom sa zapne chladiaci stroj. Tento proces sa neustále opakuje. Teplota teda ustavične osciluje medzi spínacou a vypínacou teplotou termostatu. Ak by sme chceli vnútri udržať vždy presne konštantnú teplotu, museli by sme nepretržite odvádzať von presne toľko tepla, koľko ho vniká dnu. Prakticky to nie je v kuchynskej chladničke potrebné, a pre chladiaci agregát je prijateľnejší prerušovaný režim práce.

Ako teda ovplyvniť spotrebu chladničky v praxi? 1. vonkajšia teplota – umiestnite chladničku do najchladnejšej miestnosti tak aby

okolo chladiča mohol voľne prúdiť vzduch a aby na ňu nedopadalo slnečné svetlo

2. zníženie tepla ktoré „vpúšťame“ dnu – neotvárajte dvere na dlhší čas než je potrebné, nevkladajte dnu horúce predmety (na izbovú teplotu sa vychladia samovoľne a zadarmo)

3. odstráňte príčiny nižšej účinnosti – pravidelne odmrazujte*

Na záver si zodpovieme na niekoľko zaujímavých otázok týkajúcich sa práce chladničky. 1. *Prečo musíme chladničku odmrazovať? Táto otázka by správne mala znieť: Aký

vplyv má námraza na výparníku na činosť chladničky? vzduch okolo výp. neprúdi tak dobre lebo ľad má na povrchu vyššiu teplotu ako výparník, ľad pri výparníku je ochladzovaný – znižuje sa teplota v okolí výparníka , zvyšuje rozdiel teplôt , pokles účinnosti. motor beží stále odoberá výkon, no efekt mešká. ľad je studený, no vzduch vnútri ešte nie, a len od vzduchu sa vypína termostat. tepla sa už odobralo dosť, ale teplota neklesla. ak by sa medzi ľadom a vzduchom urobila tepelná výmena, bolo by dobre ale termostat takto nevypína.

2. Aký vplyv má na prácu chladničky jej obsah, resp. jeho množstvo?( je to vlastne tepelná kapacita obsahu) pri udržiavacom režime(obsah už bol vychladený na pož. teplotu) žiadny efekt na spotrebu, len intervaly v ktorých teplota dosahuje spínacie hodnoty sa predlžujú (chladnička „vrčí“ zriedkavejšie-vo väčších časových intervaloch, ale dlhšie. zmena teploty je podmienená prísunom tepla, a ten nezávisí od množstva tepla dnu, len od rozdielu teplôt dnu a von (povrch, jeho tep. vodivosť, hrúbka stien.. sa nemení – daný konštrukciou)... Zrejme sa dá súdiť z intervalu zapínania agregátu chladničky na jej obsah. Ak je plná vody ( to by bolo mrhanie) radšej iných nápojov, interval bude najdlhší ( voda a to, čo jej veľa obsahuje má z bežných vecí ďaleko najv. mernú tep. kap.) Ak je tam niečo s nižším špecifickým teplom, tak to bude tokom tepla rýchlo meniť teplotu a intervaly „vrčania“ budú kratšie.

3. ako ovplyvňuje obsah , tepelnú zotrvačnosť chladničky. Ak vypnú prúd, chladenie sa už nekoná. Tepelný tok cez stenu je už závislý len od rozdielu teplôt. Teda vždy rovnaký tepelný tok, za istý čas rovnaké množstvo tepla dnu. ak je vyššia tepelná kapacita obsahu, tak sa teplota mení pomalšie. ppv (pre prax vyplýva): keď je chladnička narvaná, tak ak vypnú prúd dlhšie si udrží nižšiu teplotu a veci v nej sa nemusia pokaziť.

4. Možno chladiť miestnosť tým, že otvoríme dvere na chladničke? (to by dalo na samostatný článok, možno že to tak aj urobím). áno aj nie. V podstate chladnička ako celok okolie ohrieva. Nielenže čerpe teplo zvnútra von (v podstate je to tepelné čerpadlo) a ešte spotrebovanú elektrinu mení na teplo. ak je však vnútri niečo chladné(teplo tomu odobraté a energia na to vynaložená sa rozptýlili do okolia dávno predtým a teplotu okolia aktuálnu(miestnosti) prakticky nezvýšili) túto zásobu chladu môžeme využiť a odoberanie tepla okoliu. Chladnička majúca predtým teplotu miestnosti a potom ju zapneme a necháme otvorené dvere. Deje sa toto: teplo sa prenáša z výparníka do chladiča – je to v tej istej izolovanej sústave –teplota sa vyrovná a efekt nijaký. Ale teplo na ktoré sa zmenila elektrina je tam navyše. Efekt je taký ako keby sme zapli elektrický ohrievač so spotrebou rovnou spotrebe chladničky. Chladničku treba urobiť z celej miestnosti ( ak

necháme výparník vnútri a chladič zo zadnej steny chladničky vyvesíme z okna-potom máme to isté čo klimatizácia.)


Stavová rovnica ideálneho plynu


Úvod

Staršia učebnica fyziky pre druhý ročník gymnázia sa k stavovej rovnici ideálneho plynu dopracúva teoretickou metódou (Svoboda a kol., 1985, str. 58 až 70). Využíva a spája poznatky z mechaniky, aplikovať treba poznatky z molekulovej a štatistickej fyziky. Odvodenie je pekné, naozaj treba využiť množstvo dovtedy nadobudnutých poznatkov a schopností. Odvodenie je pre žiaka náročné a vyžaduje značnú schopnosť myslieť abstraktne. Vyžaduje taktiež matematické zručnosti. Veľká väčšina žiakov tento spôsob výkladu nezvláda. Po zavedení stavovej rovnice sa v učebnici zo stavovej rovnice odvádzajú zákony pre izotermický dej, izochorický dej a izobarický dej. V historickej poznámke sa potom uvádza, že zákony pre izotermický, izochorický a izobarický dej boli najskôr objavené experimentálne.

Teoretický prístup môže viesť u žiakov k pocitu, že fyzika je odtrhnutá od života. Potvrdzovali to odpovede viacerých žiakov v ankete, najmä v kontrolných triedach. Ako príklad teoretického poznatku, bez súvislosti s bežným životom, žiak kontrolnej triedy uviedol práve stavovú rovnicu.

Pre žiakov jednoduchší a aj príťažlivejší spôsob zavedenia stavovej rovnice predstavuje empirický prístup. Tento prístup som ako študent prvýkrát videl na seminári z didaktiky fyziky, ktorý viedol doc. Václav Koubek (Koubek 1999, str. 102-103). Empirický prístup navyše sleduje aj historický vývoj, akým sa k stavovej rovnici naozaj prišlo. História stavovej rovnice

Ako už bolo spomenuté, zákony pre izotermický, izobarický a izochorický dej boli najprv objavené empiricky a z nich bola potom odvodená stavová rovnica. Jej teoretické odvodenie na základe kinetickej teórie plynov bolo prijaté neskôr.

História stavovej rovnice zrejme začína u Roberta Boyla. Na základe jeho experimentov, ktoré uverejnil roku 1660, vyslovil Boylov žiak Richard Towneley roku 1662 hypotézu, podľa ktorej tlak vzduchu je nepriamo úmerný jeho objemu (pri danej teplote). Roku 1679 uverejnil podobné výsledky aj Edme Mariotte. Zákon pre izotermický dej dnes nazývame Boylov-Mariottov zákon. Pojem „izotermický dej“ zaviedol až roku 1859 William John Macquorn Rankine.

Tepelnú rozťažnosť vzduchu využíval už Galilei pri konštrukcii svojho teplomeru z roku 1597. Po ňom sa teplotnou rozťažnosťou vzduchu zaoberal Guillaume Amontons, ktorý koncom 17. storočia skonštruoval prvý tlakový plynový teplomer. Prvýkrát určil

teplotnú rozťažnosť vzduchu už roku 1787 Jacques Alexandre César Charles, ale o jeho práci sa svet dozvedel až od Gay-Lusaca. Joseph Louis Gay-Lussac a John Dalton publikovali roku 1802 nezávisle od seba presné merania koeficientu teplotnej rozťažnosti vzduchu. Pri meraní teploty využíval Gay-Lusac Celsiovu stupnicu. Zaujímavosťou Celsiovej stupnice je, že Celsius ju najprv zaviedol otočenú, 0°C zodpovedala teplota varu vody a 100 °C zodpovedala teplota tuhnutia vody. Dnešné ciachovanie Celziovej stupnice pochádza od Celsiovho žiaka Martina Strömera. Gay Lusac ukázal, že rovnaký koeficient tepelnej rozťažnosti ako vzduch majú kyslík, dusík, oxid uhličitý a iné plyny. Podľa Gay Lusaca pre objem (ideálneho) plynu V pri teplote t v °C platí:

( )tVV γ+= 10 , kde V0 je objem plynu pri 0°C a γ je koeficient tepelnej rozťažnosti plynu. Daná rovnica predstavuje jednu z možných matematických formulácií Gay-Lusacovho zákona pre

izobarický dej. Pri teplote γ1

−=t sa objem plynu podľa Gay Lucasy rovná nule. Táto teplota

predstavuje absolútnu teplotnú nulu. Na základe svojich meraní určil Gay-Lusac absolútnu nulu pri teplote –267°C.

Obrázok 1: Závislosť objemu plynu od teploty

Ďalšie závery z Gay-Lussacových výskumov publikoval roku 1811 Amadeo

Avogadro, ktorý okrem iného zaviedol pojem molekula a vyslovil vetu, podľa ktorej je v rovnakých objemoch plynných látok pri danom tlaku a objeme rovnaký počet molekúl.

Stavovú rovnicu ideálneho plynu odvodil kombináciou Boylovho-Mariottovho zákona a Gay-Lusacovho zákona roku 1824 Sadi Nicolas Léonard Carnot. Jeho zápis spresnil roku 1834 Clapeiron, Clapeironov zápis bol

)267( tRpV += , kde p je tlak V je objem plynu, R je univerálna plynová konštanta a t je teplota v °C.

Presnejšie merania absolútnej nuly urobil v r. 1837 Fredrik Rudberg a v roku 1840 Gustav Heinrich Magnus. Ďalšie merania uskutočnil v rokoch 1840 až 1842 Henri Victor Regnault, ktorý určil absolútnu nulu na –272,75 °C a prišiel k záveru, že plynové teplomery s rôznymi plynmi neposkytujú rovnaké hodnoty pri meraní teploty a že stavová rovnica platí pre reálne plyny iba približne. Neexistujúci plyn, pre ktorý táto rovnica platí presne, nazval dokonalým plynom. Roku 1848 navrhol Wiliam Thomson (Lord Kelvin) absolútnu termodynamickú teplotnú stupnicu, ktorá nezávisí od použitej teplomernej látky. Úpravami tejto stupnice v roku 1854, ktorú vykonali Thomson a James Prescott Joule, a definitívnou

úpravou až v roku 1954, bola zavedená dnes používaná termodynamická teplotná stupnica, kde teplotu meriame v kelvinoch.

Čo sa týka teoretického odvodenia, roku 1738 Daniel Bernoulli odvodil vzťah pre tlak plynu zo zmeny hybnosti častíc narážajúcich na steny nádoby. Svojím odvodením predbehol dobu o vyše 100 rokov. Tú istú úvahu ako D. Bernoulli použil roku 1857 Rudolf Clausius. Roku 1862 zaviedol Clausius pojem ideálny plyn a stavovú rovnicu molu ideálneho plynu napísal v tvare

RTpV = ,

kde p je tlak, V je objem, R je univerzálna plynová konštanta a T je teplota meraná na termodynamickej stupnici, ktorú zaviedol Kelvin. Informácie o histórii stavovej rovnice a histórii Kelvinovej stupnice sú spracované z práce Historické pramene súčasnej fyziky od R. Zajaca a J. Šebestu (Zajac-Šebesta, 1990) a Dejiny fyziky od R. Zajaca a J. Chrapana (Zajac-Chrapan, 1986, str. 49-51). Postup na hodine

V súlade s historickým kontextom budeme uskutočňovať so žiakmi sériu experimentov. Učivo je v súčasných osnovách zaradené na gymnáziu do druhého ročníka. Už v prvom ročníku, pri rozvíjaní pojmu tlak predvádzame pokusy demonštrujúce atmosférický tlak. Veľmi populárne sú napríklad demonštrácie pomocou vývevy, ako nafúknutie balónika pod zvonom vývevy, žiakom sa páčia Magdeburské pologule (obrázok 3).

Obrázok 2: Dobová kresba pokusu s Magdeburskými pologuľami, publikovaná v knihe Otta von

Guerickeho z roku 1672, http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Magdeburg.png

Obrázok 3: Magdeburské pologule, učebná pomôcka.

Pred odvodením stavovej rovnice si tieto pokusy v druhom ročníku zopakujeme.

Pohráme sa aj s jednoduchým teplomerom, ktorý využíva teplotnú rozťažnosť plynu (obrázky 4, 5) a PET fľašou s uzavretým vzduchom, ktorú umiestnime do chladničky, alebo ak je vonku zima, tak von. Fľaša sa v chladnom prostredí stiahne.

Obrázok 4: Jednoduchý teplomer využívajúci teplotnú rozťažnosť vzduchu.

Obrázok 5: Zohrievaním teplomera sa v ňom rozpína vzduchová bublina a v trubičke stúpa voda.

Aj pri samotnom odvodení stavovej rovnice postupujeme na základe experimentov,

v súlade s historickým kontextom. Podobne ako v histórii, začneme aj my izotermickým dejom. Pri meraniach využívame počítač. Plyn, v našom prípade vzduch, uzavrieme do striekačky a na jej koniec pripojíme tlakový senzor. Tento zapojíme k počítaču (obrázok 6). Na obrazovke necháme zobrazovať tlak v striekačke. Striekačka má stupnicu s hodnotami objemu. Pri stlačení plynu v striekačke narastie tlak, pri zväčšení objemu plynu v striekačke tlak klesá. Hodnoty si zaznamenávame do počítača a hneď si ich aj nechávame vykresľovať do grafu (obrázok 7). Po skončení merania vyzveme žiakov: „Skúste zistiť zákonitosť, vzťah medzi nameranými hodnotami.“ Z grafu žiaci poľahky určia, že medzi tlakom a objemom uzavretého plynu v striekačke bola nepriama úmernosť. Takto sme odvodili Boylov-Mariottov zákon:

Vp 1

≈ ,

resp.

Vkonštp 1=

alebo 1. konštVp = ,

kde p je tlak plynu, V je jeho objem a konšt1 je konštanta. Platnosť tohto vzťahu si žiaci overia tak, že príslušné dvojice číselných hodnôt tlaku a objemu navzájom vynásobia. Pre každú z vynásobených dvojíc dostanú (takmer) rovnaké čísla. Pre dva stavy uzavretého plynu, ktorého teplota sa nemení, ale mení sa objem, a tým aj tlak, teda platí:

2211 .. VpVp = .

Obrázok .6: Striekačka pripojená na tlakový senzor, ktorý je zapojený na počítač

súpravou CoachLab 2.

Obrázok 7: Obrazovka počítača po skončení merania izotermického deja.

Teraz pristúpime k izochorickému deju. Izochorický dej budeme skúmať so vzduchom

uzavretým v sklenenej banke, ku ktorej opäť pripojíme pomocou hadičky tlakové čidlo (obrázok 8). Banku umiestnime do rýchlovarnej kanvice so studenou vodou. Do vody v rýchlovarnej kanvici umiestnime ešte teplotné čidlo, taktiež pripojené k počítaču.

Obrázok 8: Súprava zapojená na meranie izochorického deja.

Experiment nastavíme tak, aby sa nám na obrazovku zobrazoval graf závislosti tlaku

od teploty, prípadne spolu s ním aj okamžité hodnoty tlaku v banke a teploty vody v kanvici. Predpokladáme, že teplota vzduchu v banke sa rovná teplote vody v kanvici. Pri meraní teploty používame, rovnako ako Gay-Lusac, nám z bežného života známu Celsiovu stupnicu.

Obrázok 8: Nádobku a teplotné čidlo umiestnime do rýchlovarnej kanvice.

Začneme meranie, zapneme kanvicu. Na obrazovke sa začne vykresľovať graf

závislosti tlaku a teploty vzduchu v banke (obrázok 9). Kým sa nám zohrieva voda v kanvici, môžeme využiť čas na žiacke otázky, alebo im môžeme porozprávať o vzniku Celsiovej stupnice a Kelvinovej stupnice. Meranie skončíme pri teplote 80 až 90 °C a vypneme kanvicu.

Obrázok 9: Odmeraná závislosť medzi tlakom a teplotou uzavretého plynu, spracované programom

Coach 5.

Z nameraného grafu jasne vidno, že závislosť medzi tlakom a teplotou uzavretého plynu je lineárna (obrázok 9). Náš graf však nezačína v bode 0. Čo keby sme plyn nezohrievali, ale ochladzovali. Teplota by zrejme klesala. Dokedy by klesala? To už sa dopracúvame k absolútnej teplotnej nule, podobne ako Gay-Lusac (len na grafe s tlakom, nie s objemom), čo je podľa môjho názoru najkrajšia časť tohto merania (obrázok 10).

Obrázok 10: Lineárnou aproximáciou sa pri tlaku 0 kPa dostaneme k absolútnej teplotnej nule.

V mieste, kde predĺženie grafu pretne teplotnú os, krásne vychádza približná hodnota

absolútnej teplotnej nuly. Aby sme závislosť medzi tlakom a teplotou zapísali čo najkrajšie a matematicky čo najjednoduchšie, oplatí sa nám nahradiť Celsiovu stupnicu inou, takou, ktorá sa začína v absolútnej teplotnej nule. Preto je vhodné zaviesť Kelvinovu stupnicu. Z nášho nameraného grafu (približne) vidno, kde sa začína Kelvinova supnica. Teraz už môžeme napísať Charlesov zákon v tvare:

Tp ≈ , alebo

Tkonštp .2= , alebo

2konštTp

=

V týchto vzťahoch je p tlak, T termodynamická teplota a žiakom treba dobre zdôrazniť, že tu vystupuje iná konštanta ako pri izotermickom deji, preto označenie konšt2 s indexom 2. Pre dva stavy toho istého plynu, ak sa nemení objem plynu, môžeme napísať:

2

2

1

1

Tp

Tp

=

K stavovej rovnici sa možno dopracovať jednoduchými úvahami. Pre izotermický dej

sme našli vzťah: 1. konštVp = ,

Teplota sa nemení. Čiže môžeme napísať aj

Tkonšt

TVp 1.

= ,

a pretože na pravej strane vystupujú dve konštanty, konšt1 a teplota T, možno napísať:

konštTVp

=. .

Podobne sme pre izochorický dej našli vzťah

2konštTp

=

V tomto prípade sa nemenil objem, teda možno napísať:

VkonštTVp ..

2=

a pretože na pravej strane vystupujú dve konštanty, konšt2 a objem V, možno napísať:

konštTVp

=. .

Vidíme, že pre oba deje platilo konštTVp

=. , čo je matematická formulácia stavovej rovnice

(ideálneho) plynu. Táto platí pre akékoľvek prechody plynu z jedného stavu do druhého za predpokladu, že nám plyn neuniká, alebo sa jeho hmotnosť nezväčšuje.

Stavovú rovnicu môžeme odvodiť aj z myšlienkového experimentu (Koubek, 1999, str. 102-103). Majme určité množstvo plynu v stave p1, V1, T1. Predstavme si, že tento plyn prejde najprv izotermicky (teplota ostáva T1) do stavu p, V2, T1. Pritom tomto prechode platí:

1

2

1

11

211

1

....

TVp

TVp

VpVpkonštT

=

==

Zo stavu p, V2, T1 potom plyn prejde izochoricky (nemení sa objem V2) do stavu p2, V2, T2. Pritom platí:

2

22

1

2

2

2

1

2

..T

VpTVp

Tp

Tp

konštV

=

=

=

Prostredníctvom týchto dvoch dejov plyn prešiel z počiatočného stavu p1, V1, T1 do koncového stavu p2, V2, T2. Z predchádzajúcich rovníc pre počiatočný a koncový stav plynu môžeme napísať:

2

22

1

11 ..T

VpTVp

= .

Na záver nášho myšlienkového pokusu si predstavme, že plyn naraz mení tlak, objem aj teplotu. Pre ľubovoľné dva jeho stavy platí

2

22

1

11 ..T

VpTVp

= .

Ak sa teda nemení hmotnosť plynu, pre ľubovoľný jeho stav daný tlakom p, objemom V a teplotou T platí

konštTVp

=. ,

čo je stavová rovnica ideálneho plynu.

Ostáva ešte podiskutovať, od čoho ešte závisí tlak, ak fixujeme objem a teplotu? Napríklad fúkame koleso alebo basketbalovú loptu. Ich teplota sa výrazne nemení, ani objem, ale tlak narastá. Teda tlak plynu závisí ešte aj od množstva plynu v uzavretej nádobe.

Np ≈ , kde N je počet častíc plynu. Preto môžeme stavovú rovnicu spresniť:

kNTVp ..

= ,

kde k je Boltzmannova konštanta.

Didaktické a technické poznámky

Ešte pred hodinou venovanou zavedeniu stavovej rovnice sa naozaj oplatí zopakovať si so žiakmi pokusy demonštrujúce atmosférický tlak a pokusy na teplotnú rozťažnosť vzduchu. Takisto treba pred odvodením stavovej rovnice zaviesť príslušné stavové veličiny, ale nie je nutné pripomínať termodynamickú Kelvinovu stupnicu. Tá sa nám pri analýze pokusu krásne ponúkne sama. Meranie izochorického deja je možné aj zrýchliť, a to tak, že si dopredu pripravíme niekoľko nádob, asi 8, s vodou s teplotami od 15-20°C do 80-90°C. Banku so vzduchom potom postupne ponárame do pripravených nádob s vodou, pričom meriame teplotu vody a tlak v nádobe. Zo získaných príslušných dvojíc vyhotovíme tabuľku a graf.

Meranie izotermického a izochorického deja pripravíme na delenú hodinu, kde je polovica žiakov z triedy. Samotné merania izotermického a izochorického deje sa dajú stihnúť na jednej hodine. Počítač s príslušenstvom a pomôcky si treba dopredu pripraviť a vyskúšať, aby na hodine nevznikli časové straty kvôli technickým problémom. V našich podmienkach si meranie dopredu pripravíme vo fyzikálnom laboratóriu. Pri samotnom meraní treba dať

pozor, aby banka bola celá ponorená vo vode a zároveň aby sa nedotýkala výhrevného telesa. Banku zvykneme zaťažovať kovovou obrúčkou, aby nestúpala nahor, a cez hadičku, ku ktorej je pripojený senzor ju vrchnákom kanvice pridržiavame, aby neklesla úplne dolu k výhrevnému telesu. Podobne ani teplotné čidlo sa nemá dotýkať výhrevného telesa.

Ak všetko dobre vychádza, dá sa na hodine stihnúť aj odvodenie stavovej rovnice. Je to však pre žiakov viac informácií naraz. Preto sa zvykneme na nasledujúcej hodine k výsledkom merania a ich dôsledkom vrátiť a pozrieť sa na ne ešte raz pomaly.

Niektorí žiaci mali problém s pochopením myšlienkového experimentu, pomocou ktorého sa odvádza z izotermického a izochorického deja stavová rovnica. Pre nich je určený jednoduchší spôsob odvodenia, pomocou jednoduchších úvah.

V praxi sa nám potvrdzuje, že pre žiakov je historicko-empirický prístup k zavedeniu stavovej rovnice ľahší, ako teoretické odvodenie z kinetickej teórie. Ak má niekto zo žiakov záujem, môže si teoretický prístup pozrieť doma. Dobrú známku si vyslúži žiak, ktorý si sám naštuduje odvodenie z učebnice a vysvetlí ho spolužiakom na hodine. Teoretické odvodenie stavovej rovnice z kinetickej teórie zvyknem dávať na písomke ako bonusovú úlohu, pričom žiaci dopredu vedia, že tam bude práve táto bonusová úloha.

Po odvodení stavovej rovnice je vhodné žiakov upozorniť na poznávací postup vo fyzike. Na začiatku je experiment a meranie. Z nich bol empiricky odvodený zákon. Neskôr bol zákon vysvetlený na základe hypotézy o mechanizme deja (teoretické odvodenie). Hypotéza bola overená pomocou odvodenia dôsledkov z nej vyplývajúcich (väčšie množstvo plynu v uzavretej nádobe spôsobí zvýšenie tlaku).


Načo je na sviečke knôt?


Úvod

Tento článok je inšpirovaný aktivitami, ktoré som absolvoval na seminári Heuréka v Prahe (http://kdf.mff.cuni.cz/heureka/Heureka.htm). Seminár viedla p. RNDr. Irena Koudelková. Na seminári sa učitelia oboznamujú s heuristickou metódou, využívanou vo vyučovaní fyziky na základnej škole (Koudelková, 2002). Sami si pritom prejdú a prežijú časti vyučovacích hodín z pozície žiaka. V následnej diskusii sú potom oboznamovaní so skúsenosťami pri vedení hodín so žiakmi a s možnými reakciami žiakov. Celý postup, prevzatý z Heuréky, sme využívali aj na hodinách fyziky na gymnáziu. Hlavným cieľom tejto časti je ukázať možnosti vyučovať fyziku na príkladoch z praxe. Vhodnou sériou praktických úloh možno viesť žiakov k poznaniu nenásilnou, hravou formou. Žiaci robia frontálny experiment. Predmetom nášho skúmania bude obyčajná vosková sviečka. Priebeh časti vyučovacej hodiny

Na začiatku hodiny položíme žiakom otázku: „Čo horí na sviečke?“ Odpovede bývajú, že horí knôt, alebo že horí parafín. Ktorá z odpovedí je správna? Urobíme pokus. Olúpeme sviečku, vyberieme z nej knôt a zapálime ho. Zhorí podstatne rýchlejšie, ako keď je vo sviečke. Necháme žiakov rozmýšľať nad otázkou: „Prečo nezhorí takisto rýchlo, ak je súčasťou sviečky?“ Rýchlemu zhoreniu celého knôtu vo sviečke niečo bráni. Vo sviečke horí parafín. „Načo je ale na sviečke knôt?“

Pokračovať budeme frontálnym pokusom. Každý zo žiakov bude mať svoju sviečku, špajľu a zápalky na úvodné zapálenie sviečky. Najprv zapálime sviečku. Potom plameňom sviečky zapálime špajľu. Sviečku sfúkneme. Pomocou špajle sa snažíme zapáliť sviečku znova z čo najväčšej vzdialenosti. Necháme žiakov, nech si pokus niekoľkokrát opakujú. Postupne prichádzajú na to, že sviečka sa dá zapáliť aj bez toho, aby sme sa dotkli plameňom špajle knôtu. Keď túto skutočnosť odhalia, vyzveme ich, aby skúsili odhaliť odpoveď na otázku: „Za akých podmienok sa vám podarilo zapáliť sviečku pomocou horiacej špajle bez toho, aby ste sa dotkli plameňom knôtu?“ Chvíľu ich necháme pracovať a potom od nich žiadame iba opis postupu, nie vysvetlenie príčiny. Postupovať treba tak, že čo najrýchlejšie po sfúknutí sviečky priložíme horiacu špajľu do priestoru nad sviečkou. Ak sme si vysvetlili postup, necháme ešte chvíľku čas aj pre tých, ktorým sa ešte náhodou pokus nepodaril.

Teraz ich vyzveme, aby rozmýšľali, prečo sa dá sviečka zapáliť aj bez dotyku knôtu plameňom, ale výsledok nech neprezrádzajú. Na vysvetlenie príčiny môžu žiaci prichádzať postupne, a bola by škoda výsledok hneď prezradiť a mnohým zo žiakov nedať šancu zažiť

radosť zo samostatného objavu. Zvyknem žiakov vyzvať: „Kto si myslí, že vie, rozumie vysvetleniu, prečo sa plameň takto správa, nech zdvihne ruku!“ Nasleduje séria kontrolných otázok, pomocou ktorých môžu niektorí ďalší žiaci prísť na odpoveď: „Čo horí na sviečke?“ Parafín. „Horí pevný parafín?“ „Horí roztopený parafín?“ Žiakov treba priviesť k odpovedi, že horia výpary parafínu. „Načo slúži knôt?“ Pri horení roztopený parafín kapilárnou eleváciou stúpa nahor po knôte a vyparuje sa. Tieto výpary nad knôtom síce nevidíme, ale práve tieto výpary horia. Ak sviečku sfúkneme, proces vyparovania parafínu ešte chvíľu trvá a môžeme ho znova zapáliť bez dotyku knôtu plameňom.

Na záver môžeme žiakov vyzvať, aby navrhli experiment, pomocou ktorého by sa dalo overiť, že naozaj horia výpary parafínu. Kúsky parafínu zo sviečky zohrievame napríklad v alobalovej vaničke nad kahancom alebo liehovým (plynovým) varičom kým sa parafín neroztopí a nezačne sa vyparovať. Potom výpary zapálime pomocou horiacej špajle. Parafín horí aj bez knôtu. Horiaci parafín môžeme aj opatrne vyliať na pripravenú kovovú tácku v laboratórnom umývadle. Pri všetkých pokusoch treba dávať pozor na bezpečnosť. Technické a didaktické poznámky

Pri pokusoch s horiacou sviečkou treba dávať pozor, aby sa nepoškodzovali lavice,

napríklad použitím vhodnej podložky pod sviečku. Pokus sme realizovali s polovicou triedy (18 žiakov) a bolo treba dostatočne vetrať.

Hodina mala u žiakov pozitívny ohlas.


Tepelné motory

Matúš Lazúr FMFI UK

1 Úvod O tepelných motoroch sme už písali v kap. 4 učebnice. Na tomto mieste uvedieme niekoľko príkladov tepelných motorov od starších až po nedávne. Nie je to myslené ako niečo, čo by sa študenti mali učiť ale ako námet na to, čo by si mohli vyhľadať na internetových stránkach a pripraviť o tom referát pre kolegov. 2 Niekoľko príkladov tepelných motorov Zariadenie ktoré vidíte na obrázku je síce myslené ako nevšedná hračka či efektná dekorácia, predstavuje však funkčný model motora, ktorý môže vďaka svojim prednostiam už v blízkej budúcnosti nahradiť dnes dominujúce typy pohonných jednotiek. Ako mnoho iných vynálezov, aj tento v čase svojho vzniku predbehol dobu (bol skonštruovaný v roku 1816) a pri vtedajších technologických možnostiach nemohol obstáť v konkurencii neskorších spaľovacích motorov. Čo však platilo pred skoro 200 rokmi už dnes nie je pravdou a mnoho odborníkov predpovedá tomuto typu motora veľkú budúcnosť. Ide o Stirlingov motor, ktorý vynašli v roku 1816 bratia Robert a James Stirlingovci. Obr. Stirlingov motor Tento málo známy typ motora je len jedným z mnohých druhov tepelných motorov, teda tepelných strojov, ktoré pracujúc na princípe Carnotovho cyklu dokážu premeniť časť dodaného tepla z ohrievača na mechanickú prácu, pričom v súlade s druhou vetou termodynamickou sa vždy určitá časť tepla odovzdáva chladiču, a teda sa nemôže využiť na konanie práce. Teoretická účinnosť každého tepelného stroja a tým aj tepelných motorov závisí len od rozdielu teplôt medzi ohrievačom (T1) a chladičom (T2) a je tým vyššia, čím je tento rozdiel väčší. Pre hodnotu účinnosti platí vzťah:

1

21

TTT −

=η

Uvedený vzťah však udáva len teoretickú hodnotu účinosti tepelného motora, skutočná účinnosť je však vplyvom rôznych strát podstatne nižšia. Spomínaný Stirlingov motor najlepšie kopíruje definíciu tepelného motora. Pracovná látka – plyn, je uzavretá vnútri motora, a tento k svojej činnosti vyžaduje len pripojenie zdroja tepla – ohrievača a chladiča, pričom spôsob získavania tepla je celkom nepodstatný pre činnosť motora. Jedinou podstatnou vecou je získanie a udržiavanie teplotného rozdielu medzi ohrievačom a chladičom. Motor, ktorý je na obrázku využíva na svoju prácu teplo ľudskej dlane a funkciu chladiča tu preberá okolitý vzduch. Motor je schopný pracovať už pri teplotnom rozdiele 10°C! Historicky prvým použiteľným tepelným motorom bol parný stroj. Teplo získané spaľovaním uhlia, dreva či iného paliva sa využíva na zohrievanie vody v parnom kotli a získaná para prúdi do pracovného valca motora a tlačí na piest ktorého vratný posuvný pohyb sa kľukovým mechanizmom mení na pohyb rotačný. Prívod pary do valca si riadi motor sám mechanickým posúvačom. Para z valca sa buď vypúšťa do okolitej atmosféry, alebo skvapalňuje v kondenzátore a čerpe späť do kotla. Parný stroj bol dlho jediným zdrojom mechanickej energie v priemysle i doprave. Jeho hlavnými nedostatkami sú veľké rozmery a hmotnosť a nízka účinnosť. V oblasti dopravy mal najväčšie využitie na pohon lodí a vlakov, dokonca v úplných začiatkoch automobilizmu konkuroval vtedy ešte nedokonalému spaľovaciemu motoru. Obr. . Parný stroj lokomotívy Konečne to bol práve parný stroj, ktorý roztáčal generátor prvej elektrárne na svete. Najdlhšie sa parný stroj udržal v železničnej doprave kde sa používal až do polovice 20. storočia. Druhým v historickom slede vývoja tepelných motorov je parná turbína. Spoločným prvkom s parným strojom je kotol, ktorý slúži na prípravu pary. Na rozdiel od parného stroja ktorý využíva tlak pary na piest, parná turbína využíva kinetickú energiu prúdiacej pary, ktorá naráža na lopatky rotora parnej turbíny a tým ho roztáča. Obr. Parná lokomotíva Tento proces je najúčinnejší vtedy, ak je rýchlosť lopatky, na ktorú dopadá prúd pary rovná polovici jeho rýchlosti. Kôli tomu je premena kinetickej energie pary rozdelená do niekoľkých stupňov. Rotor turbíny tak

pozostáva z viacerých za sebou idúcich prstencov s lopatkami. Najprv para dopadá veľkou rýchlosťou na prvý s najväčším priemerom, teda s najväčšou obvodovou rýchlosťou lopatiek, stráca časť kinetickej energie a potom menšou rýchlosťou dopadá na ďalšie lopatky umiestnené bližšie k stredu otáčania, a teda s menšou obvodovou rýchlosťou. Tak sa čo najefektívnejšie využije kinetická energia pary a turbína sa vďaka tomu môže otáčať menšou rýchlosťou. Prvý raz bola parná turbína použitá na pohon lode. Oproti parnému stroju má parná turbína vyššiu účinnosť a vyšší výkon pri rovnakej hmotnosti. V súčasnosti sa parné turbíny používajú na pohon niektorých typov lodí, generátorov elektrického prúdu v tepelných a jadrových elektrárňach, kde umožňujú dosiahnuť výkony rádu stoviek MW.

Obr. Parsonsova Turbinia-prvá loď poháňaná parnou turbínou

Najznámejším a najrozšírenejším typom tepelného motora je spaľovací motor. Jeho história je nerozlučne spätá so vznikom a rozvojom automobilového priemyslu. Od svojho vzniku prešiel búrlivým vývojom a stal sa dominantným typom najmä v oblasti dopravných prostriedkov. Tepelná energia v tomto motore sa získava spaľovaním stlačenej zmesi paliva so vzduchom priamo vo valci motora. Horúce produkty horenia pôsobia tlakom na piest, ktorého vratný posuvný pohyb sa mení na otáčavý podobne ako v prípade parného stroja. Účinnosť spaľovacích motorov podmieňuje najmä príprava zmesi a jej dokonalé spálenie vo valci motora, čo priamo vplýva na dosiahnutú počiatočnú teplotu spalných plynov od ktorej závisí hranica teoretickej účinnosti. To sa v praxi dosahuje jednak zvýšením množstva zmesi vo valci – znížením odporu pri nasávaní zmesi do valca (použitím väčšieho počtu ventilov na valec) alebo prepĺňaním turbodúchadlom a jednak zlepšením zloženia zmesi (vstrekovaním paliva priamo do valca aj pri zážihových motoroch). Teplotu a rýchlosť horenia zmesi ovplyvňuje aj počiatočný tlak vo valci – teda stupeň stlačenia zmesi pred jej zapálením - kompresný pomer. Jeho zvyšovanie však vyžaduje používanie špeciálnych antidetonačných prísad do paliva, ktoré sú často najviac škodlivou zložkou výfukových plynov. ( Pri zážihových motoroch je samovznietenie paliva vo valci javom nežiadúcim. Stupeň odolnosti paliva – benzínu voči samovznieteniu kompresným teplom vyjadruje tzv. oktánové číslo.) Piestový spaľovací motor, sa vďaka širokému využitiu a dlhodobému vývoju stal technologicky najprepracovanejším typom tepelného motora v súčasnosti. Jeho najnádejnejší konkurent – elektromotor, zatiaľ bojuje s problémom nedostatočnej kapacity zásobníkov elektrickej energie. Budúcnosť spaľovacieho motora však bude závisieť najmä od toho, či sa dokáže preorientovať na iné druhy paliva po poklese produkcie ropy a zemného plynu. Ako možná náhrada fosílnych uhľovodíkových palív pre spaľovacie motory prichádza v súčasnosti do úvahy etanol a vodík.

Spaľovacia alebo aj plynová turbína neprináša síce vyššiu účinnosť oproti spaľovaciemu motoru, avšak umožňuje dosiahnuť oveľa vyššie výkony pri menšej hmotnosti a rozmeroch. Do vzduchu v spaľovacej komore turbíny je vstrekované palivo, horúce spalné plyny prúdia veľkou rýchlosťou na lopatky turbíny podobne ako para v parnej turbíne. Teplota, tlak aj rýchlosť spalín sú omnoho vyššie ako v prípade pary, rozmery vrátane priemeru rotora sú vzhľadom na oblasť použitia spaľovacej turbíny menšie ako v prípade parných turbín, otáčky rotora sú teda kôli účinnosti veľmi vysoké a musia sa znižovať veľmi zložitým prevodovým systémom. Potrebný vzduch sa do spaľovacej komory vháňa pod tlakom pomocou kompresora, ktorý je na spoločnom hriadeli s turbínou. Reaktívny prúdový motor sa prakticky výhradne používa na pohon lietadiel, pri veľkých dopravných lietadlách sa uplatní hlavne jeho veľký výkon, pri rýchlych vojenských lietadlách jeho vysoká účinnosť pri veľkých rýchlostiach a vo veľkých výškach, kde je vrtuľový pohon nepoužiteľný. Použitie reaktívneho prúdového motora umožňuje dosiahnuť rýchlosti prevyšujúce rýchlosť zvuku. Účinnosť takého to pohonu závisí od rýchlosti, platí, že najvyššia účinnosť je ak sa lietadlo pohybuje rýchlosťou rovnou polovici výtokovej rýchlosti plynov z motora. Obr. Prierez reaktívnym motorom Princíp prúdového reaktívneho motora je prakticky úplne totožný s princípom plynovej turbíny. Rozdiel je v tom, že v plynovej turbíne sa všetka kinetická energia spalín mení na kinetickkú energiu rotora turbíny, kdežto v prúdovom reaktívnom motore slúži turbína len na pohon kompresora stláčajúceho vzduch do spaľovacej komory a vysoká kinetická energia vytekajúcich spalín vytvára vlastnú reaktívnu silu – ťah motora. Prvé použiteľné lietadlá s reaktívnym motorom sa objavili v závere druhej svetovej vojny. Obr. Me 262 – prvé sériové prúdové lietadlo Posledným a najmladším typom tepelných motorov sú motory raketové. Ich vývoj je nerozlučne spojený s kozmickým výskumom a snahou človeka podnikať lety za hranice zemskej atmosféry. Je to jediná skupina motorov, ktoré môžu pracovať a vyvíjať ťah aj vo vákuu. Princípom ich činnosti je podobne ako pri prúdových motoroch reaktívna sila vznikajúca pri prudkom výtoku spalných plynov z trysky motora. Na rozdiel od prúdového motora, raketový motor nemôže čerpať kyslík potrebný na spaľovanie zo vzduchu.

Podľa konštrukcie a typu použitého paliva poznáme dva druhy raketových motorov. Motory na tuhé palivo, napriek tvrdeniu v úvode je táto skupina vlastne najstarším tepelným motorom v histórii, pretože primitívne rakety na pevné palivo používané jednak na vojenské účely a ako ohňostrojné boli známe na území Číny dávno pred objavením parného stroja v Európe. Konštrukcia takéhoto motora je veľmi jednoduchá. V spaľovacej komore, ktorá musí odolávať vysokému tlaku a teplote pri horení paliva je umiestnená celá zásoba paliva takým spôsobom, aby sa po zapálení zabezpečilo jej rovnomerné horenie bez rizika výbuchu. Obr. Raketa V-2 Raketové motory na pevné palivo sú jednoduché, lacné, skladné, no na druhej strane môžu pracovať len krátku dobu, ich chod sa nedá po odpálení regulovať a poskytujú menší výkon ako kvapalinové raketové motory. Kvapalinové raketové motory, sú naproti tomu plne produktom technického výskumu 20. storočia. Prvé pokusy s kvapalinovými raketami sa datujú na začiatok 20. storočia. Prvá prakticky použiteľná kvapalinová raketa ktorá sa dostala z fázy prototypu do sériovej výroby bola výsledkom vojenského výskumu v Nemecku počas 2. svetovej vojny. Niesla pracovný názov A-4, v závere vojny sa smutne preslávila ako jedna zo „zázračných zbraní“ pod názvom V-2. Výskum kvapalinových raketových motorov bol motivovaný poznatkom, že len tieto môžu pracovať dostatočne dlhý čas a dosahovať výkony potrebné na let človeka do vesmíru. Kvapalinový raketový motor sa skladá z nádrží na palivo a okysličovadlo- najvhodnejšou kombináciou je kvapalný vodík a kyslík (pri ich horení sa uvoľňuje najviac energie na jednotku hmotnosti.) Pohonné látky sa z nádrží dopravujú do spaľovacej komory najčastejšie čerpadlami. Reguláciou prívodu paliva je možné meniť výkon kvapalinového raketového motora.

Obr. Bell-X-1 Lietadlo s raketovým motorom, ktoré prvý raz prekročilo rýchlosť zvuku

Rýchly výskum v oblasti kvapalinových rakiet po druhej svetovej vojne umožnil už 12 rokov po jej skončení v roku 1957 vypustenie prvej umelej družice (4. októbra,Sputnik), v roku 1961 štart prvého človeka do vesmíru (Jurij Gagarin, Vostok) a v roku 1969 pristátie dvojčlennej americkej posádky na Mesiaci (Apollo11). V súčasnosti sa kvapalinové raketové motory používajú výlučne v kozmonautike, v ostatných prípadoch, vrátane veľkých vojenských rakiet sa používajú špeciálne motory na pevné palivo ktoré sú jednak jednoduchšie, spoľahlivejšie ale najmä pohotovejšie na použitie. Naproti tomu, kvapalné pohonné látky sa väčšinou musia plniť až tesne

pred štartom, manipulácia s nimi je nebezpečná a vyžaduje si špeciálne zariadenia, to sa týka najmä kvapalného kyslíka a vodíka, ktoré sa musia uchovávať pri veľmi nízkych teplotách. Obr. Štart rakety Saturn V + Apollo 11


Ako Maxwell "uhádol" rozdelenie molekúl podľa rýchlostí

v ideálnom plyne

Ján Pišút FMFI UK

V tomto článku si povieme ako Maxwell „uhádol“ svoje rozdelenie. Nemyslíme si, že by

to mal vedieť každý študent 2. ročníka gymnázia. Tí, ktorých fyzika viac zaujíma však možno ocenia geniálnu jednoduchosť Maxwellovej úvahy z roku 1860. Pripomeňme si najprv definície základných pojmov. Predstavme si, že hovoríme o jednom móle jednoatómového ideálneho plynu pri určitej teplote. Predpokladajme tiež, že plyn je v rovnovážnom stave a vlastnosti plynu v každom „pod - objeme“, ktorý obsahuje niekoľko molekúl sú rovnaké. Zavedieme si najprv priestor rýchlostí. Je to priestor, v ktorom máme tri osi vx,vy, vz. Predstavme si tiež, že určitá molekula, nazvime ju „a“ má v danom okamihu zložky rýchlostí (vx

a, vya, vz

a). Do priestoru rýchlostí zanesieme bodku. Keby sme to urobili pre všetkých NA molekúl plynu (NA je Avogadrova konštanta) dostali by sme v priestore rýchlostí veľmi hustú sieť bodiek. Počet bodiek v kvádri s hranami (vx, vx+∆vx), (vy, vy+∆vy), (vz, vz+∆vz) potom bude daný výrazom

zyxzyx vvvvvvn ∆∆∆),,( (1) kde ),,( zyx vvvn nazývame hustotou molekúl v priestore rýchlostí. Hustota ),,( zyx vvvn bude úmerná počtu molekúl plynu. Vieme, že v 1 móle plynu je NA molekúl. Môžeme zaviesť aj veličinu

A

zyxzyx N

vvvnvvvp

),,(),,( = (2)

Jej význam je jednoduchý. Je to hustota pravdepodobnosti toho, že určitá vybraná molekula, napríklad naša molekula „a“ má rýchlosť v intervale (vx, vx+∆vx), (vy, vy+∆vy), (vz, vz+∆vz). Doteraz to boli len definície, teraz príde Maxwellova úvaha. Maxwell si predstavoval, že vďaka častým zrážkam molekúl v plyne vládne v plyne dokonalý chaos. Pre danú molekulu je zložka

rýchlostí vx úplne nezávislá od toho, aká je je zložka rýchlostí vy a obidve sú úplne nezávislé od toho, aká je zložka rýchlosti vz. Preto platí

)()()(),,( zyxzyx vfvfvfvvvp = (3) Na druhej strane ),,( zyx vvvp nemôže závisieť od toho aké sú jednotlivé zložky rýchlostí, ale len od veľkosti rýchlostí, teda od

2222zyx vvvv ++= (4)

Preto )(),,( 2vFvvvp zyx = (5)

Z rovníc (3) a (5) dostaneme )()()()( 2

zyx vfvfvfvF = (6) Doteraz to boli len fyzikálne úvahy o tom, čo to je dokonalý chaos v plyne. Teraz príde matematika. Maxwell si uvedomil, že najjednoduchšie riešenie rovnice (6) je

2

2

2

)(

)(

)(

z

y

x

vz

vy

vx

cevf

cevf

cevf

α

α

α

−

−

−

=

=

=

(7)

a funkcia F(v2) vo vzťahu (6) potom bude

2

)( 2 vAevF α−= (8) Poznámka: Najjednoduchší argument, ktorý vedie od rovnice (6) k rovniciam (7) a (8) spočíva v logaritmovaní rovnice (6) a využití rovnice (4). Takže hustota pravdepodobnosti pre to, že určitú molekulu, napríklad našu známu „a“ nájdeme v danom elemente priestoru rýchlostí je teda

2

),,( vzyx Aevvvp α−= (9)

Funkcia ),,( zyx vvvp musí ešte spĺňať dve podmienky:

- pravdepodobnosť nájsť našu molekulu „a“ hocikde v priestore rýchlostí musí byť rovná jednej,

- stredná hodnota energie tejto molekuly pri Kelvinovej teplote T musí byť podľa článku 3.7 v učebnici rovná 3/2 kT.

Z týchto dvoch podmienok môžeme určiť konštanty A a α. V princípe je to teda jednoduché aj keď matematicky trocha náročné. Nebudeme to robiť, napíšeme rovno výsledok

( )

++−

= zyxzyx vvv

kTm

kTmvvvp

2exp

2),,(

2/3

π (10)

Poznámky Výraz na pravej strane rovnice (10) vyzerá na prvý pohľad komplikovane, ale nie je to

celkom tak ak si uvedomíme že

Evvvmzyx =++ )(

2222

(11)

kde E je energia častice, môžeme exponent vo vzťahu (10) zapísať ako

−=

kTEAvvvp zyx exp),,( (12)

Ako sa neskôr ukázalo, toto je veľmi dôležitý vzťah ktorého platnosť je oveľa všeobecnejšia ako prípad ideálneho plynu bez tiažového poľa, ktorý uvažoval Maxwell.

Maxwellov argument sa mnohým fyzikom videl príliš zjednodušený a domnievali sa, že odvodenie výrazu pre ),,( zyx vvvp by malo vychádzať z podrobnej analýzy zrážok atómov alebo molekúl plynu. Maxwell a neskôr všeobecnejšie Boltzmann to aj urobili a ukázalo sa, že Maxwell sa nemýlil. Analýza je pomerne komplikovaná a patrí dnes do klasických výpočtov teoretickej štatistickej fyziky. V špeciálnom prípade sa dá urobiť pomocou jednoduchého počítačového programu.

dodatočné materiály k učebnici fyzika pre 2. ročník gymnáziíesf/civ/ss/fyzika2_dodat.pdf ·...

Documents