DOMANDE E RISPOSTE DI MATEMATICA APPLICATA ALL’ECONOMIA

Ques.36 - Cita il nome di qualche variabile incontrata in economia. Cosa si può dire circa il loro segno?Risp. 36 – Sono variabili economiche: la quantità prodotta e offerta, la quantità domandata, i costi di produzione, il ricavo, l’utile, il prezzo di vendita, le ordinazioni di materia prima, ecc. Tutte le variabili economiche sono quantità positive, discrete ( valori interi ) o continue ( valori reali con la virgola ).

Ques.37 - A chi spetta il compito di scegliere il modello matematico che meglio descrive un fenomeno economico? Sulla base di cosa viene scelto tale modello?Risp. 37 – E’ compito degli economisti analizzare i vari fenomeni e ricavare o ipotizzare i legami fra le varie grandezze. Attraverso metodi matematici gli economisti scelgono i modelli matematici che interpretano al meglio la realtà e, in quanto tali, possono anche non rappresentare bene le relazioni tra le grandezze in gioco.

Ques.38 - Dai la definizione di valore marginale nel discreto della funzione y=f(x) e di valore marginale nel continuo. Cosa rappresentano in economia? Cosa in matematica?Risp. 38 – Si definisce valore marginale nel discreto della funzione y=f(x) il rapporto incrementale

. Esso è un indice che ci informa sull’andamento crescente o decrescente della

funzione y=f(x) nell’intervallo (x , x+∆x). Dal punto di vista matematico rappresenta la pendenza della retta secante passante per i punti P(x,f(x)) e Q(x+∆x , f(x+∆x)).Se la funzione y=f(x) è derivabile, si definisce valore marginale nel continuo il limite per ∆x 0 del

rapporto incrementale . Matematicamente coincide con la

definizione di derivata e rappresenta la pendenza della retta tangente a y=f(x) nel suo punto

P(x,f(x)). Il segno di ci indica se la funzione è crescente o decrescente nel punto P(x,f(x)).

Ques.39 - Dai la definizione di coefficiente di elasticità di una funzione y=f(x) e poi spiega il suo significato dal punto di vista economico-matematico.Risp. 39 – Il coefficiente di elasticità di y =f(x) è il rapporto tra la variazione relativa della funzione e la variazione relativa della variabile indipendente x:

. Esso misura la rapidità con cui varia f al variare della variabile indipendente x.

Ques.40 - Dai la definizione di elasticità d’arco di una funzione y=f(x) nei suoi punti P(x,f(x)) e Q(x+∆x,f(x+∆x)).

y P f(x) f(x+∆x) Q

O x x+∆x xRisp. 40 – Si definisce elasticità d’arco il rapporto tra il valore marginale di y=f(x) nei punti P(x,f(x)) e Q(x+∆x,f(x+∆x)) e il suo valore medio:

. Esso è una modalità diversa di scrivere il coefficiente di

elasticità, infatti .

Ques.41 - Dai la definizione di elasticità puntuale di una funzione y=f(x) in P(x,f(x)).Risp. 41 – Se f(x) è derivabile, nel continuo, il limite dell’elasticità d’arco per ∆x 0 prende il nome di elasticità puntuale:

Ques.42 - Dai la definizione di domanda complessiva e spiega se è una funzione crescente o decrescente motivando la risposta.Risp. 42 – Si definisce domanda complessiva di una merce la quantità che viene richiesta ad un certo prezzo dalla totalità degli acquirenti.La funzione della domanda x = f(p) è funzione non crescente del prezzo, nel senso che all’aumentare del prezzo la quantità domandata diminuisce.

Ques.43 -  Dai la definizione di funzione di vendita e spiega se è una funzione crescente o decrescente motivando la risposta.Risp. 43 – Nel caso in cui la funzione della domanda x = f(p) ammette inversa, si definisce funzione di vendita proprio la sua inversa p = f-1(x) ed esprime il prezzo p al quale si può vendere una data quantità x di merce. Tale funzione è decrescente come la funzione diretta da cui deriva.

Ques.44 -  Quale curva rappresenta la funzione lineare y = ax + b nel piano cartesiano? Rappresenta y = 300-15x.Risp. 44 – La funzione razionale intera di primo grado y = ax + b ha per grafico quello di una linea retta che attraversa il primo e terzo quadrante se la pendenza a > 0, mentre è disposta tra secondo e quarto quadrante quando la pendenza a < 0. Il termine noto b, detto ordinata nell’origine o intercetta, rappresenta la lunghezza del segmento intercettato sull’asse y.

a > 0 y

b

-b/a O x

a < 0 y

b

O -b/a x

La retta y = 300-15x ha pendenza negativa e pertanto è disposta tra il secondo e quarto quadrante. Per disegnarla si ha bisogno di almeno due suoi punti. Determiniamo, a tale scopo, le intersezioni con gli assi cartesiani:

Scegliendo un sistema di riferimento con unità di misura diverse e opportune, possiamo rappresentare la retta come quella a lato.

y

300

O 20 x

Ques.45- Quale curva rappresenta la funzione quadratica y = ax2 + bx +c nel piano cartesiano? Disegna la curva y = -0,25x2 + 300x – 10.000.Risp. 45 – La funzione razionale intera di secondo y = ax2 + bx + c ha come grafico quello di una

parabola di vertice con la concavità verso l’alto se a > 0 e verso il basso se a < 0.

Per rappresentarla graficamente occorrono almeno tre punti. Di solito conviene calcolare il vertice e le intersezioni con gli assi cartesiani.Dalla risoluzione del sistema

Si deduce che:se la parabola incontra l’asse x in due punti

;se la parabola incontra l’asse x in un solo punto ed è ivi tangente;se la parabola non incontra l’asse x.

y

x1 O x2 x

Per rappresentare y = -0,25x2 + 300x – 10.000 determineremo il vertice e le intersezioni con l’asse x:

Passa per

Passa per e

y

80.000

O 35 600 1165 x -10.000

Ques.46 – Quale curva rappresenta la funzione quadratica y = ax2 + bx nel piano cartesiano? Rappresenta la curva y = 0,01x2 + 8x .Risp. 46 – La funzione razionale intera di secondo y = ax2 + bx + c ha come grafico quello di una

parabola di vertice con la

concavità verso l’alto se a > 0 e verso il basso se a < 0. Nel nostro caso, mancando del termine noto c, risulta passante per l’origine.

Per disegnare la funzione y = 0,01x2 + 8x , determiniamo le coordinate del vertice e dei punti di intersezione con l’asse x.

y

-800 -400 0 x -1.600

La parabola passa per i punti , e

Ques.47 – Disegna la funzione della domanda x = a – bp con a, b > 0 in generale e poi rappresenta la funzione x = 150 -10p nel piano Opx.Risp. 47 – La funzione razionale di primo grado x = a – bp con a, b > 0 ha come grafico quello di una retta con pendenza m=-b < 0 e intercetta “a”. Incontra gli assi nei punti:

passa per A(0 , a) ;

passa per

x a

O a/b p

Per disegnare la funzione x = 150 -10p , determiniamo le intersezioni con gli assi cartesiani:

passa per A(0 , 150)

passa per . Scegliendo unità di misure diverse ed opportune si giunge al grafico qui a lato.

x 150 100 50

O 5 10 15 p

Ques.48 – Disegna la funzione della domanda x = a – bp2 con a, b > 0 in generale e poi rappresenta la funzione x = 16 – p2 nel piano Opx.Risp. 48 – La funzione razionale intera di secondo grado ha come grafico quello di una parabola. Nel nostro caso x = a – bp2 con a, b > 0 ha per

vertice , volge la concavità

verso il basso e incontra l’asse p nei punti

e

x a

O p

La funzione della domanda x = 16 – p2 è una

parabola di vertice e

incontra l’asse p nei punti

e Scegliendo unità di misura diverse ed opportune si giunge al grafico qui a lato.

x 16

-4 O +4 p

Ques.49 – Disegna la funzione della domanda con a > 0, b ≥ 0 , c ≥ 0 in generale e poi

rappresenta la funzione nel piano Opx.

Risp. 49 – La funzione razionale fratta è detta funzione omografica.

Ha per grafico quello di un’iperbole equilatera di asintoti p=-c (verticale) e x=-b (orizzontali ):

, .

Incontra gli assi cartesiani nei punti

x

(a-bc)/c

-c O (a-bc)/b p -b

La funzione è definita per .

Ha per asintoto verticale la retta p = -1

per asintoto orizzontale la retta di equazione x=-1

Incontra gli assi cartesiani nei punti

x 25

p -1 O 25 -1

Ques.50 – Disegna la funzione della domanda con a > 0, b > 0 in generale e poi rappresenta la funzione nel piano Opx.

Risp. 50 – La funzione è una funzione esponenziale di base , sempre

decrescente nel suo dominio , con asintoto

orizzontale x=0 (quando p → +∞) : ;

inoltre incontra l’asse x nel punto P(0,a).

x a

O p

La funzione incontra l’asse x in P(0,200) ed ha l’asse p come asintoto orizzontale di equazione x=0.Il grafico è riportato nella figura qui a lato.

x

200

O p

Ques.51 – Disegna la funzione della domanda con a > 0, α > 0 in generale e poi rappresenta

la funzione nel piano Opx.

Risp. 51 – Nel caso che sia un numero intero positivo la curva è composta di due rami situati nel primo e terzo quadrante se n è dispari e nel primo e secondo se n è pari. All’aumentare di il grafico si schiaccia verso il basso, come mostrano i seguenti grafici colorati (ad ogni colore uguale corrisponde un medesimo valore di ).

Studiamo ora la funzione . Essa è definita

per e pertanto ha per dominio . Ha asintoto orizzontale

l’asse p di equazione x=0: e

asintoto verticale completo l’asse x di equazione

p = 0 : .

Dalle derivate prima e seconda: ,

è facile rendersi conto che la funzione non ha né massimi, né minimi e né flessi; è crescente per p<0, decrescente per p>0 e volge sempre la concavità verso l’alto.Il grafico è quello della figura a lato.

x

O p

Ques.52 – Dimostra che l’elasticità puntuale della domanda con a > 0, α > 0 è .

Risp. 52 – In base alla definizione di elasticità puntuale possiamo scrivere:

Ques.53 – Dai la definizione di offerta e spiega se è una funzione crescente o decrescente motivando la risposta.Risp. 53 – Si definisce offerta di una merce la quantità totale immessa sul mercato dalla totalità dei produttori.Essa è una funzione non decrescente (crescente o costante) del prezzo: x = g(p), nel senso che più si alza il prezzo e più i produttori cercheranno di immettere sul mercato maggior merce possibile, ovviamente, entro i limiti della capacità massima produttiva.

Ques.54 – Dai la definizione di funzione di produzione e spiega se è una funzione crescente o decrescente motivando la risposta.Risp. 54 – Se con x = g(p) indichiamo la funzione dell’offerta e tale funzione ammette inversa, allora si definisce funzione di produzione p = g-1(x) la sua funzione inversa. Anche la funzione di produzione è una funzione non decrescente come la corrispondente funzione diretta da cui deriva.Ques.55 – Elenca i requisiti necessari perché un mercato si possa ritenere di concorrenza perfetta.Risp. 55 – In economia si parla di mercato di libera concorrenza o di concorrenza perfetta se esso soddisfa ai seguenti requisiti:- omogeneità del prodotto ( devono essere immessi sul mercato prodotti dello stesso tipo, della stessa

qualità e caratteristiche tecniche produttive)- trasparenza del mercato ( ogni operatore deve conoscere le condizioni di domanda, di offerta e il

relativo prezzo)- libertà di ingresso ( ogni operatore deve essere libero di entrare o di uscire dal mercato a seconda

della propria convenienza)- frazionamento della domanda e dell’offerta ( devono essere presenti sul mercato molti produttori e

molti consumatori, in modo che nessun operatore possa singolarmente influire sul prezzo del bene)

Ques.56 – In un mercato di libera concorrenza, da chi è determinato il prezzo di un bene? Col passare del tempo il prezzo di equilibrio può cambiare?Risp. 56 – In un mercato di libera concorrenza il prezzo di un bene è determinato dall’incontro fra la domanda e l’offerta, soluzione del sistema:

Ques.57 – Dai la definizione di costo totale, costo medio e costo marginale.Risp. 57 – Si definisce costo totale la somma di tutti i costi sostenuti da un’impresa nella produzione di un bene: y = C(x).Si definisce costo medio o unitario il rapporto fra il costo totale per produrre la quantità x e la quantità x

prodotta: con x > 0.

Se la funzione costo totale è definita nel discreto o non è derivabile, si definisce costo marginale sostenuto per ottenere un’unità addizionale di prodotto o anche il rapporto incrementale fra l’incremento

del costo e l’incremento della quantità prodotta: . Se la funzione del costo totale y = C(x) è

derivabile, il costo marginale è la derivata della funzione costo totale rispetto alla quantità x prodotta:

.

Ques.58 – Da quali costi è composta la funzione y=C(x) del costo totale? Essa è una funzione crescente o decrescente?Risp. 58 – I costi si dividono ina) costi fissi ( indipendenti dalla quantità prodotta, come il salario degli operai, le spese per la manutenzione dei macchinari, il consumo di corrente elettrica, l’affitto dei locali, ecc. );b) costi variabili, che possono essere a loro volta direttamente proporzionali alla quantità prodotta ( come i costi per la materia prima, di magazzinaggio, ecc.) o non proporzionali ( come le spese di ordinazione per l’approvvigionamento delle scorte di magazzino).La funzione y = C(x) è una funzione crescente.

Ques.59 – Dai una rappresentazione grafica dei seguenti modelli di funzione costo:1) con

2) con

3) con

4) con

Risp. 59 – Riportiamo di seguito i grafici di ciascuna funzione:

x

b

O p

x

c O p

x

d

O p

x

a

O pQues.60 – Se la funzione costo è , qual è la funzione costo unitario? Qual è il suo grafico?Risp. 60 – Se la funzione costo totale è lineare

, la funzione costo unitario è

la funzione omografica che ha il grafico di un’iperbole equilatera di asintoti x=0 (verticale) e y=a (orizzontale).

y

a

O x

Ques.61 – Rappresenta graficamente la funzione costo totale e le corrispondenti funzioni del costo unitario e del costo marginale.Risp. 61 – Le funzioni richieste sono le seguenti:

a) b) c)

ha per grafico quello di una retta passante per i punti A(0,1.800) e B(-150 , 0) intersezioni con gli assi cartesiani.

è la funzione omografica

che ha come grafico quello di un’iperbole equilatera di asintoti x=0 (verticale) e y=12 (orizzontale) .

funzione costante il cui

grafico è una retta parallela all’asse x.

y costo costo totale unitario

1.800

12 Costo marginale

O x

Ques.62 – Se la funzione costo è , qual è la funzione costo unitario? Qual è il suo grafico?Risp. 62 – Se la funzione costo è

allora la funzione costo unitario è data dalla funzione somma

il cui grafico è

quello di un’iperbole non equilatera di asintoti x=0 (orizzontale) e y=ax+b (obliquo).Dallo studio della derivata prima ricaviamo i punti di max e min:

y

O x

verificata per

+ + + + + + o - - - - - - - - - - - - - - o + + + + + + + + + +

max min

Ques.63 – Rappresenta graficamente la funzione costo totale in un primo grafico e le corrispondenti funzioni del costo unitario e del costo marginale insieme in un secondo grafico .Risp. 63 – Le funzioni da rappresentare graficamente sono le seguenti:

costo totale

costo medio o unitario

costo marginale

è una parabola di vertice V(-2.500, -1.050.000)

che incontra l’asse x nei punti:

y

200000

-4791,29 -208,71 O x

-1050000

,

La funzione del costo medio

è una funzione somma di asintoti x=0 e e punti di max e min determinati

dallo studio della derivata

verificata per

-1.000 1.000

+ + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + +

max min

La funzione del costo marginale ha per grafico una retta crescente

che incontra gli assi cartesiani nei punti:

Ques.64 – Dimostra che le curve del costo medio e del costo marginale si incontrano nei punti stazionari ( di massimo e di minimo ) della funzione costo medio.

Risp. 64 – Consideriamo la funzione del costo medio. Come è noto, i punti stazionari ( di max

e/o di min relativi) si determinano imponendo , pertanto, derivando rispetto a x e imponendo la

derivata uguale a zero si ha: che

equivale a risolvere il sistema . Quindi le curve del costo medio e del costo

marginale si incontrano nei punti stazionari della curva del costo medio.

Ques.65 – Data la funzione costo totale , far vedere che le corrispondenti funzioni di costo medio e costo marginale si incontrano nei punti stazionari della funzione costo medio.Risp. 65 – Determiniamo le funzioni richieste:

costo unitario o medio

Derivando il costo medio rispetto a x e ponendo la derivata prima uguale a zero si ha:

. Dallo studio del segno della derivata prima

-200 +200

+ + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + +

max min

si deduce che ha un punto di max e uno di min

A(-200,100) max

B(200,300) min

Facciamo vedere che A e B possono essere determinati come punto di incontro delle curve del costo unitario e del costo marginale:

c.v.d

Rappresentiamo le due funzioni per ritrovare i risultati anche graficamente.yu è una funzione somma con asintoti:x=0 verticale e y=0,25x+200 obliquo, con puntiA(-200,100) max e B(200,300) minPer disegnare l’asintoto obliquo y = 0,25x+200 determiniamo i punti di incontro con gli assi: x y = 0,25x+200

0 200 -800 0

Analogamente procediamo per disegnare la retta del costo marginale ym : x ym = 0,5x+200

0 200 -400 0

Ques.66 – Dai le definizioni di ricavo totale, ricavo medio e ricavo marginale.Risp. 66 – Si definisce ricavo totale il prodotto tra il prezzo di vendita e la quantità venduta. Dette x la quantità venduta e p=p(x) la funzione di vendita (funzione inversa della funzione della domanda)

Il ricavo medio è uguale al rapporto tra il ricavo totale e la quantità di bene venduta, ossia la funzione di

vendita p=p(x): .

Il ricavo marginale, nel discreto, è dato dal rapporto incrementale , mentre, se R(x) è

derivabile, è dato dalla derivata di R(x) rispetto a x: .

Ques.67 – Se la funzione della domanda è espressa dalla relazione da chi è data la funzione ricavo? Per quali valori di x il ricavo è massimo?Risp. 67 – Ricaviamo dalla funzione della domanda la funzione di vendita e scriviamo la funzione del ricavo totale come prodotto fra p e x:

.R(x) ha come grafico quello di una parabola passante per l’origine, con concavità verso il basso, pertanto il massimo è raggiunto nel suo vertice:

Il ricavo massimo si ottiene vendendo 25 unità di bene e ammonta a 1250 €.Per rappresentare R(x) graficamente determiniamo le sue intersezioni con l’asse x:

e

R(x) passa per V(25,1250), O(0,0) e A(50,0) e volge la concavità verso il basso.

Ques.68 – Dai la definizione di profitto e mostra che esso è massimo per quel valore di x in cui il costo marginale uguaglia il ricavo marginale.Risp. 68 – Si definisce profitto o utile netto la differenza tra il ricavo totale e il costo totale:

. Determiniamo per quali valori di x il profitto è massimo, utilizzando la derivata prima:

ricavo marginale = costo marginaleovviamente il profitto G(x) è massimo se nel punto x che annulla G'(x) risulta a sinistra G'(x)>0 e a destra G'(x)<0 o equivalentemente R'(x) > C'(x) a sinistra e R'(x) < C'(x) a destra.Si deduce la famosa legge economica: si ha il massimo utile per quel valore di x in cui il costo marginale uguaglia il ricavo marginale.

Ques.69 – Rappresenta in un unico grafico cartesiano, in generale, le curve del ricavo marginale, del costo unitario e del costo marginale (nel caso di un mercato di concorrenza perfetta) e giustifica perché all’impresa conviene spingere avanti la produzione finché il costo marginale non diventi uguale al ricavo marginale.Risp. 69 – Nel caso di mercato di perfetta concorrenza il prezzo, incontro tra domanda e offerta, è costante, pertanto il ricavo totale è dato da

e di conseguenza il ricavo marginale è uguale al prezzo , il cui grafico è una retta parallela all’asse x.Nel punto Q risulta R'(x)=C'(x), a sinistra è R'(x) > C'(x) ( il grafico di R'(x) supera quello di C'(x) ) e a destra R'(x) < C'(x) (il grafico di R'(x) sta sotto quello di C'(x)), quindi Q è il punto di massimo del profitto G(x). Da quanto detto si deduce che all’impresa conviene espandere la produzione finché il costo marginale non risulti uguale al ricavo marginale.

y=C'(x) y=Cu(x)

Q P A B ric. marg.

Ques.70 – Data la funzione del costo totale , determinare , nel caso in cui il prezzo di vendita è costante p = 500, per quale valore di x l’utile è massimo e per quali valori l’utile non è negativo.Risp. 70 – Determiniamo il ricavo totale e successivamente il guadagno totale:

Il profitto ha come grafico quello di una parabola con concavità verso il basso, pertanto raggiunge il massimo nel vertice:

Il guadagno massimo lo si raggiunge con la vendita di 600 unità di bene e ammonta a 80.000 €.Ritroviamo ora il risultato anche graficamente disegnando y = G(x).Determiniamo i punti di incontro tra y=G(x) e l’asse x

Per non essere in perdita occorre che ossia . Basta risolvere la disequazione di secondo grado: Si conclude che per non essere i perdita all’impresa conviene produrre non meno di 35 unità di bene e non più di 1165.