doppi bipoli - unibo.it · 5 doppi bipoli resistivi lineari tempo-invarianti per un doppio bipolo...
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Doppi bipoli
www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm(versione del 21-11-2012)
2
Doppi bipoli (o 2-porte)
● Doppi bipoli: componenti con due copie di terminali (porte) tali che, per ciascuna coppia, la corrente entrante in uno dei terminali è uguale a quella uscente dall’altro
● Doppio bipolo intrinseco: il vincolo tra le correnti dei terminali di ciascuna porta è
determinato dalla struttura interna del componente
● Doppio bipolo non intrinseco: il vincolo tra le correnti è dovuto al modo in cui il componente
viene collegato
34
12
ii
ii
3
Rappresentazioni di un tripolo come doppio bipolo
● Un tripolo può essere considerato come un doppio bipolo con i terminali negativi delle porte collegati tra loro
● Le tensioni e le correnti utilizzate per caratterizzare il compo-nente e le espressioni delle equazioni caratteristiche dipendonodalla scelta del terminale comune
4
Doppi bipoli resistivi
● Le equazioni di un doppio bipolo resistivo sono del tipo
f1, f2 funzioni generiche
● Se il tempo non compare esplicitamente come argomento di f1 ef2 il componente è detto tempo-invariante
0),(),(),(),(f
0),(),(),(),(f
21212
21211
ttititvtv
ttititvtv
5
Doppi bipoli resistivi lineari tempo-invarianti
● Per un doppio bipolo resistivo lineare e tempo-invariantele equazioni, nel caso generale, sono del tipo
aij, bij (i, j 1, 2) rappresentano delle costanti reali
● Queste equazioni possono essere espresse nella forma
dove
● Quando è possibile esplicitare due delle variabili in funzioni delle rimanenti si possono avere altre forme particolari delle equazioni
0
0
222121222121
212111212111
ibibvava
ibibvava
2221
1211
2221
1211
2
1
2
1
bb
bb
aa
aa
i
i
v
vBAiv
0BiAv
6
Rappresentazioni di un doppio bipolo
v2, i2v1, i1Trasmissione inversa
v1, i1v2, i2Trasmissione (diretta)
i1, v2v1, i2Ibrida inversa
v1, i2i1, v2Ibrida (diretta)
i1, i2v1, v2Comandata in tensione
v1, v2i1, i2Comandata in corrente
Variabilidipendenti
VariabiliindipendentiRappresentazione
7
Matrice di resistenza
● Per un doppio bipolo comandato in corrente le equazioni possono essere poste nella forma
cioè
dove
● R = matrice di resistenza● Per comprendere il significato dei parametri, si considerano le
condizioni di funzionamento in cui una delle variabili indipendenti viene azzerata (mentre l’altra assume un valore arbitrario 0)
2221212
2121111
irirv
irirv
2221
1211
2
1
2
1
rr
rr
i
i
v
vRiv
Riv
8
Significato dei parametri di resistenza
r11 resistenza di ingresso a vuoto alla porta 1
r21 resistenza di trasferimento a vuoto dalla porta 1 alla porta 2
r22 resistenza di ingresso a vuoto alla porta 2
r12 resistenza di trasferimento a vuoto dalla porta 2 alla porta 1
01
111
2
i
i
vr
01
221
2
i
i
vr
02
112
1
i
i
vr
02
222
1
i
i
vr
9
Esempio – Resistori collegati a T
CBC
CCA
RRR
RRRR
1C2
1CA1
iRv
iRRv
2CB2
2C1
iRRv
iRv
10
Esempio – Resistori collegati a Π
BCBCABAC
AC12
BCABAC
BCABAC11
RRRR
Riv
RRR
RRRiv
BCACAB
BCACBCAB
BCACAB
BCAC
BCACAB
BCAC
BCACAB
BCACACAB
RRR
RRRR
RRR
RRRRR
RR
RRR
RRRR
R
ACBCABAC
BC21
ABACBC
ACABBC22
RRRR
Riv
RRR
RRRiv
11
Esempio – Equivalenza T – Π (stella-triangolo)
● Un doppio bipolo a T e un doppio bipolo a Π sono equivalenti se le loro matrici di resistenza RT e R sono uguali
● Confrontando le matrici si riconosce che devono essere verificate le relazioni
che corrispondono alle formule di trasformazione triangolo-stella
CBC
CCAT RRR
RRRR
BCACAB
BCACBCAB
BCACAB
BCAC
BCACAB
BCAC
BCACAB
BCACACAB
RRR
RRRR
RRR
RRRRR
RR
RRR
RRRR
R
BCACAB
BCACC
BCACAB
BCABB
BCACAB
ACABA RRR
RRR
RRR
RRR
RRR
RRR
12
Matrice di conduttanza
● Per un doppio bipolo comandato in tensione le equazioni possono essere poste nella forma
cioè
dove
● G = matrice di conduttanza
2221212
2121111
vgvgi
vgvgi
2221
1211
2
1
2
1
gg
gg
i
i
v
vGiv
Gvi
13
Significato dei parametri di conduttanza
g11 conduttanza di ingresso in cortocircuito alla porta 1
g21 conduttanza di trasferimento in cortocircuito dalla porta 1 alla porta 2
g22 conduttanza di ingresso in cortocircuito alla porta 2
g12 conduttanza di trasferimento in cortocircuito dalla porta 2 alla porta 1
01
111
2
v
v
ig
01
221
2
v
v
ig
02
112
1
v
v
ig
02
222
1
v
v
ig
14
Esempio – Resistori collegati a Π
BCABAB
ABACAB
GGG
GGGG
AB12
ACAB11
Gvi
GGvi
BCAB22
AB21
GGvi
Gvi
BCAB22
AB21
GGvi
Gvi
15
Esempio – Resistori collegati a T
CBA
CBBA
CBA
BA
CBA
BA
CBA
CABA
GGG
GGGG
GGG
GGGGG
GG
GGG
GGGG
G
CB
B
CBA
CBA12
CBA
CBA11
GG
G
GGG
GGGvi
GGG
GGGvi
CA
A
CAB
CAB21
CAB
CAB22
GG
G
GGG
GGGvi
GGG
GGGvi
16
Matrici ibride
● Se è possibile esprimere v1 e i2 in funzione di i1 e v2 si ha
● H matrice ibrida (diretta)
● Se è possibile esprimere i1 e v2 in funzione di v1 e i2 si ha
● H matrice ibrida inversa
● I coefficienti delle matrici ibride non hanno dimensioni omogenee
2221212
2121111
vhihi
vhihv
2221212
2121111
ihvhv
ihvhi
2
1
2
1
v
i
i
vH
2
1
2
1
i
v
v
iH
2221
1211
hh
hhH
2221
1211
hh
hhH
17
Significato dei coefficienti di H
h11 resistenza di ingresso in cortocircuito alla porta 1
h21 guadagno di corrente in cortocircuito dalla porta 1 alla porta 2
h22 conduttanza di ingresso a vuoto alla porta 2
h12 guadagno di tensione a vuoto dalla porta 2 alla porta 1
01
111
2
v
i
vh
01
221
2
v
i
ih
02
112
1
i
v
vh
02
222
1
i
v
ih
18
Significato dei coefficienti di H
01
111
2
i
v
ih
01
221
2
i
v
vh
02
112
1
v
i
ih
02
222
1
v
i
vh
1 porta alla vuoto a ingresso di aconduttanz11h
2 porta alla 1 porta dalla vuoto a tensione di guadagno21h
2 porta alla itocortocircu in ingresso di resistenza22h
1 porta alla 2 porta dalla itocortocircu in corrente di guadagno12h
19
Matrice di trasmissione (matrice catena)
● Si esprimono la tensione e la corrente alla porta 1 in funzione della tensione e della corrente alla porta 2
● Per motivi pratici, conviene considerare come variabile indipendente i2invece di i2
● T matrice di trasmissione (matrice catena)
● Significato dei coefficienti
● Non è possibile utilizzare queste relazioni per determinare i coefficienti (occorrerebbe fissare sia la tensione che la corrente della porta 2)
221
221
DiCvi
BiAvv
2
2
1
1
i
v
i
vT
DC
BAT
02
1
02
1
02
1
02
1
2222
vivi
i
iD
v
iC
i
vB
v
vA
20
Determinazione dei coefficienti di T
01
2
2
1
i
v
v
A01
2
2
1
vv
i
B
01
2
2
1
i
i
v
C01
2
2
1
vi
i
D
21
Matrice di trasmissione inversa
● Si esprimono la tensione e la corrente alla porta 2 in funzione della tensione e della corrente alla porta 1
● Per motivi pratici, conviene considerare come variabile indipendente i1invece di i1
● T matrice di trasmissione inversa
● Significato dei coefficienti
112
112
iDvCi
iBvAv
1
1
2
2
i
v
i
vT
DC
BAT
01
2
01
2
01
2
01
2
1111
vivi
i
iD
v
iC
i
vB
v
vA
22
Relazioni tra le rappresentazioni
● Confrontando le varie espressioni delle equazioni di un doppio bipolo si riconosce che (quando il doppio bipolo ammette tutte le rappresentazioni considerate)
la matrice G è l’inversa della matrice R
la matrice H è l’inversa della matrice H
La matrice T è l’inversa della matrice T con i coefficienti della diagonale secondaria cambiati di segno a causa delle scelte diverse per i versi di riferimento delle correnti
● Le altre relazioni tra le varie rappresentazioni si possono ottenere utilizzando le definizioni dei coefficienti delle matrici
23
Esempio - Passaggio da parametri r a parametri h
● Calcolo degli elementi della prima colonna di H
2221212
2121111
irirv
irirv
2221212
2121111
vhihi
vhihv
01
221
01
111
22
vv
i
ih
i
vh
222121
2121111
0 irir
irirv
122
122
2112111
122
212
)det(i
ri
r
rrrv
ir
ri
R
02 v
22
2121
2211
)det(
r
rh
rh
R
(si pone v2 0)
24
Esempio - Passaggio da parametri r a parametri h
● Calcolo degli elementi della seconda colonna di H
2222
2121
irv
irv
02
222
02
112
11
ii
v
ih
v
vh
01 i 2
22
121
222
2
1
vr
rv
vr
i
22
2222
1212
1
rh
r
rh
2221212
2121111
irirv
irirv
2221212
2121111
vhihi
vhihv
(si pone i1 0)
25
Relazioni tra le rappresentazioni
DC
BAAC
BD
hh
hh
h
h
hh
hh
h
h
g
g
g
gg
g
r
r
r
rr
r
AC
BD
DC
BA
hh
hh
h
h
hh
hh
h
h
g
g
g
gg
g
r
r
r
rr
rD
A
D
DD
C
A
B
A
AA
C
hh
hhhh
hh
gg
gg
g
g
rr
rr
r
r
A
C
A
AA
B
D
C
D
DD
B
hh
hh
hh
hh
gg
gg
g
g
rr
rr
r
r
B
D
B
BB
A
B
A
B
BB
D
hh
hh
h
h
hh
hh
h
hgg
ggrr
rr
C
A
C
CC
D
C
D
C
CC
A
hh
hh
h
h
hh
hh
h
hgg
gg
rr
rr
TT
TT
H
HG
R
T
TT
TTH
H
G
R
T
T
T
HH
HH
G
RH
T
T
HH
HHG
R
H
T
TH
H
RR
RRG
T
T
H
H
GG
GGR
TTHHGR
1212
11
12
22
12
1212
22
12
11
12
12
11
12
1212
11
12
11
12
1221
22
2121
11
21
22
21
2121
22
21
11
21
21
11
21
2121
22
21
22
21
2121
11
2221
1211
1121
1222
2222
21
22
12
22
1111
21
11
12
11
1121
1222
2221
1211
1111
21
11
12
11
2222
21
22
12
22
2222
21
22
12
22
1111
21
11
12
11
2221
1211
1121
1222
1111
21
11
12
11
2222
21
22
12
22
1121
1222
2221
1211
1
11
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
Ogni riga riporta le espressioni dei coefficienti di una matrice in funzione dei coefficienti delle matrici indicate nelle intestazioni delle colonne
)det(MΜ
26
Esempio – doppi bipoli che non ammettono la matrice R o la matrice G
● Non è possibile imporre valori arbitrari ad entrambe le tensioni (cioèutilizzarle come variabili indipendenti) la matrice G non è definita
● Non è possibile utilizzare le correnti come variabili indipendenti la matrice R non è definita
)( 2121 iiRvv
2
1
2
1
i
i
RR
RR
v
v
RR
RRR
)( 2121 vvGii
2
1
2
1
v
v
GG
GG
i
i
GG
GGG
27
Reciprocità
● Ipotesi:
● Definizione:si dice che il doppio bipolo è reciproco se
● Per interpretare il significato di questa relazione e ricavare le condizioni che devono soddisfare i parametri delle matrici del doppio bipolo si fa riferimento alle situazioni in cui una sola delle variabili indipendenti è diversa da zero
2121
2121
,,,
,,,
iivv
iivv
22112211 iviviviv
insiemi arbitrari di tensioni e correnti che soddisfano le equazioni del doppio bipolo
28
Reciprocità - parametri r
Condizione 1 Condizione 2
0I 21 ii I0 21 ii
I212221212 ririrv I122121111 ririrv
2112 rr
22112211 iviviviv 0II0 2121 vvvv12 vv
Condizione di reciprocità
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Reciprocità - parametri g
0V 21 vv V0 21 vv
V212221212 gvgvgi V122121111 gvgvgi
2112 gg
Condizione 1 Condizione 2
22112211 iviviviv 12 ii 2121 V00V iiii Condizione di reciprocità
30
Reciprocità - parametri h
Condizione 1 Condizione 2
0I 21 vi V0 21 vi
I212221212 hvhihi V122121111 hvhihv
2112 hh
22112211 iviviviv VI
12 vi
2121 VI00 iviv
Condizione di reciprocità
31
Reciprocità - parametri h, T e T
● Parametri h: procedendo in modo simile al caso precedente si ottiene la
condizione
● Parametri di trasmissione:
si può dimostrare che per un doppio bipolo reciproco valgono le condizioni
2112 hh
1)det(
1)det(
T
T
32
Doppi bipoli reciproci
● Per un doppio bipolo reciproco valgono le seguenti proprietà:
Applicando una corrente I ad una qualunque delle porte all’altra porta si ottiene la stessa tensione a vuoto
Applicando una tensione V ad una qualunque delle porte all’altra porta si ottiene la stessa corrente di cortocircuito
Il guadagno di corrente in cortocircuito in una direzione èuguale al guadagno di tensione a vuoto nella direzione opposta cambiato di segno
33
Simmetria
● Si dice che un doppio bipolo è simmetrico se, per ogni insieme di tensioni e di correnti alle porte che soddisfano le sue equazioni caratteristiche, anche l’insieme ottenuto scambiando la porta 1 con la porta 2 soddisfa le equazioni caratteristiche
● Si può dimostrare che le matrici di un due porte simmetrico soddisfano le seguenti proprietà
matrice R: r11 r22 r12 r21
matrice G: g11 g22 g12 g21
matrice H: h12 h21 det(H) 1 matrice H: h12 h21 det (H) 1 matrice T: A D det(T) 1 matrice T: A’ D’ det(T) 1
La simmetria implica anche la reciprocità
34
Trasformatore ideale
● Le equazioni del trasformatore ideale possono essere espresse intermini di matrice ibrida o di matrice di trasmissione (dirette o inverse)
● Per il trasformatore ideale non è possibile definire le matrici R e G
● Vale la relazione h12 h21 K Il trasformatore ideale è un componente reciproco
(ma non simmetrico, se K ≠ 1 )
21
21
1i
Ki
Kvv
12
21
Kii
Kvv
Parametri di trasmissione
Parametriibridi
K rapporto di trasformazione o rapporto spire
35
Generatori dipendenti
2
1
2
1
0
00
i
i
rv
v
12
1 0
riv
v
12
1 0
gvi
i
2
1
2
1
0
00
v
v
gi
i
rrrrr 21221211 0
ggggg 21221211 0
Generatore di tensionecontrollato in corrente
Generatore di correntecontrollato in tensione
Caso particolare di rappresentazionein termini di parametri di resistenza
Caso particolare di rappresentazionein termini di parametri di conduttanza
36
Generatori dipendenti
12
1 0
ii
v
12
1 0
vv
i
2
1
2
1
0
00
v
i
i
v
2
1
2
1
0
00
i
v
v
i
21221211 0 hhhh
21221211 0 hhhh
Generatore di tensionecontrollato in tensione
Generatore di correntecontrollato in corrente
Caso particolare di rappresentazionein termini di parametri ibridi (diretti)
Caso particolare di rappresentazionein termini di parametri ibridi (inversi)
37
Generatori dipendenti
● I quattro tipi di generatori dipendenti corrispondono a matrici R, G, H e H’ con il solo elemento 21 diverso da zero
I generatori dipendenti sono componenti non reciproci
● Ciascun tipo di generatore ammette una sola tra le matrici R, G, H e H’
● Si può verificare che l’unica altra matrice definita in tutti e quattro i casi è la matrice T
● I doppi bipoli (e più in generale i componenti N-porte) lineari resistivi possono essere rappresentati mediante circuiti equivalenti formati da generatori dipendenti e resistori
In questo modo è possibile estendere i metodi di analisi studiati in Elettrotecnica ai circuiti che contengono doppi bipoli (e N-porte)
38
Circuiti equivalenti di doppi bipoli lineari
2221212
2121111
irirv
irirv
2221212
2121111
vgvgi
vgvgi
Matrice di resistenza
Matrice di conduttanza
39
Circuiti equivalenti di doppi bipoli lineari
Matrice H
2221212
2121111
vhihi
vhihv
Matrice H
2221212
2121111
ihvhv
ihvhi
40
Circuiti equivalenti di doppi bipoli lineari
Circuiti equivalenti a T
2221122
2121111
irirv
irirv
Doppio bipolo reciproco
2221212
2121111
irirv
irirv
Doppio bipolo non reciproco
41
Circuiti equivalenti di doppi bipoli lineari
Circuiti equivalenti a Π
2221122
2121111
vgvgi
vgvgi
Doppio bipolo reciproco
2221212
2121111
vgvgi
vgvgi
Doppio bipolo non reciproco
42
Teoremi di rappresentazione dei doppi bipoli
Rappresentazione comandata in corrente● Ipotesi: Q doppio bipolo formato da componenti resistivi lineari e
generatori indipendenti Q è comandato in corrente
Circuito equivalente: vG1, vG2 tensioni a vuoto alle porte di Q
(v1 e v2 per i1 i2 0) R matrice di resistenza del doppio bipolo ottenuto da Q
azzerando i generatori indipendenti
43
Teoremi di rappresentazione dei doppi bipoli
Rappresentazione comandata in tensione● Ipotesi: Q doppio bipolo formato da componenti resistivi lineari e
generatori indipendenti Q è comandato in tensione
Circuito equivalente: iG1, iG2 correnti di cortocircuito alle porte di Q
(i1 e i2 per v1 v2 0) G matrice di conduttanza del doppio bipolo ottenuto da Q
azzerando i generatori indipendenti
44
Teoremi di rappresentazione dei doppi bipoli
Rappresentazione ibrida (diretta)● Ipotesi: Q doppio bipolo formato da componenti resistivi lineari e
generatori indipendenti Q ammette la rappresentazione ibrida (diretta)
Circuito equivalente: vG1 v1 per i1 0, v2 0 iG2 i2 per i1 0, v2 0 H matrice ibrida (diretta) del doppio bipolo ottenuto da Q
azzerando i generatori indipendenti
45
Collegamenti di bipoli e doppi bipoli
● Di seguito si prenderanno in esame alcuni casi in cui un doppio bipoloè ottenuto collegando due doppi bipoli oppure collegando un doppio bipolo con uno più bipoli
● In tutti i casi si sottintende che siano soddisfatte le seguenti ipotesi (che nei casi pratici dovranno sottoposte a verifica)
I collegamenti considerati sono leciti (cioè non dànno origine a circuiti impossibili o indeterminati)
Le matrici utilizzate per rappresentare i doppi bipoli sono definite
Nel caso di doppi bipoli non intrinseci, i componenti, collegati nei modi considerati, si comportano effettivamente come doppi bipoli
46
Resistori in serie alle porte
● In questo caso conviene utilizzare i parametri di resistenza
Le resistenze in serie alle porte si sommano alle resistenze di ingresso
22221212222
21211111111
irRirviRv
irirRviRv
22221
12111
Rrr
rRrR
2221
1211
rr
rrR
47
Resistori in parallelo alle porte
● In questo caso conviene utilizzare i parametri di conduttanza
Le conduttanze dei resistori in parallelo alle porte si sommano alle conduttanze di ingresso
22221212222
21211111111
vgGvgivGi
vgvgGivGi
22221
12111
Ggg
gGgG
2221
1211
gg
ggG
48
Doppi bipoli in serie
● LKI:
● LKV:
● Componenti:
● La matrice R del doppio bipolo risultante è data dalla somma delle matrici di resistenza dei due doppi bipoli
baba
ba
iii
iiiiii
222
111
baba
ba
vvv
vvvvvv
222
111
bbb
aaa
iRv
iRv
RiviRRv )( ba ba RRR
49
Resistore in serie al terminale comune di un tripolo
● Questo collegamento può essere visto come un caso particolare dicollegamento in serie di doppi bipoli
R si somma a tutti gli elementi della matrice Ra
2221
1211a rr
rrR
RR
RRbR
RrRr
RrRra
2221
1211bRRR
50
Doppi bipoli in parallelo
● LKV:
● LKI:
● Componenti:
La matrice G del doppio bipolo risultante è data dalla somma delle matrici di conduttanza dei due doppi bipoli
baba
ba
iii
iiiiii
222
111
baba
ba
vvv
vvvvvv
222
111
bbb
aaa
vGi
vGi
GvivGGi )( ba ba GGG
51
Resistore collegato tra le due porte
● Questo può essere visto come un caso particolare di collegamento in parallelo di doppi bipoli
G si somma agli elementi della diagonale principale e si sottrae dagli elementi della diagonale secondaria della matrice Ga
2221
1211a gg
ggG
GG
GGbG
GgGg
GgGg
2221
1211ba GGG
52
Collegamento serie-parallelo
● LKV:
● LKI:
● Componenti:
La matrice H del doppio bipolo risultante è data dalla somma delle matrici ibride dei due doppi bipoli
ba
ba
iii
iii
222
111
ba
ba
vvv
vvv
222
111
ba HHH
b
bb
b
b
a
aa
a
a
v
i
i
v
v
i
i
v
2
1
2
1
2
1
2
1 HH
2
1
2
1
2
1
v
i
v
i
i
vba HHH
53
Collegamento parallelo-serie
● LKV:
● LKI:
● Componenti:
La matrice H del doppio bipolo risultante è data dalla somma delle matrici ibride inverse dei due doppi bipoli
ba
ba
iii
iii
222
111
ba
ba
vvv
vvv
222
111
ba HHH
b
bb
b
b
a
aa
a
a
i
v
v
i
i
v
v
i
2
1
2
1
2
1
2
1 HH
2
1
2
1
2
1
i
v
i
v
v
iba HHH
54
Doppi bipoli in cascata
● In questo caso conviene utilizzare le matrici di trasmissione
● Le tensioni e le correnti alla porta comune coincidono
La matrice T del doppio bipolo risultante è data dal prodotto delle matrici di trasmissione dei due doppi bipoli
abab iivv 2121
2
2
1
1
2
2
1
1
i
v
i
v
i
v
i
vb
b
b
a
aa TT
2
2
1
1
i
v
i
vba TT ba TTT
55
Doppi bipoli terminati
● Nelle applicazioni pratiche si incontra spesso il caso in cui le porte di un doppio bipolo sono collegate a due bipoli come mostrato nella figura
● Il primo bipolo costituisce la sorgente del segnale in ingresso al doppio bipolo e può rappresentare il circuito equivalente di Thévenin o Norton degli stati precedenti
● Il secondo bipolo costituisce il carico e può rappresentare l’impedenza equivalente degli stati successivi
Sorgente CaricoDoppiobipolo
56
Indici degli elementi delle matrici del doppio bipolo
● Quando un doppio bipolo è utilizzato in modo che è possibile attribuire alle due porte i ruoli di ingresso e di uscita, gli indici degli elementi delle matrici del doppio bipolo vengono indicati anche nel modo seguente
11 i (input) il parametro esprime la relazione tra la tensione e la corrente alla porta di ingresso
21 f (forward) il parametro indica come ciò che avviene alla porta di ingresso influenza l’uscita
12 r (reverse) il parametro indica come ciò che avviene alla porta di uscita influenza l’ingresso
22 o (output) il parametro esprime la relazione tra la tensione e la corrente alla porta di uscita
o
ri
o
ri
o
ri
hh
hh
gg
gg
rr
rr
fff
HGR
57
Doppi bipoli unilaterali
● Un doppio bipolo per cui il parametro r è nullo è detto unilaterale
Un doppio bipolo unilaterale è un componente non reciproco
● In queste condizioni si può avere propagazione del segnale solo dalla porta 1 alla porta 2
Eventuali disturbi sovrapposti a v2 o i2 nel caso di un doppio bipolo bilaterale vengono trasferiti alla porta 1
Nel caso di doppio bipolo unilaterale questi disturbi non possono modificare v1 e i1
Per un doppio bipolo bilaterale v1 e i1 variano al variare del carico Per un doppio bipolo unilaterale v1 e i1 sono indipendenti dal carico
● Il fatto che un doppio bipolo sia unilaterale spesso rappresenta una situazione vantaggiosa (più semplice da gestire)
● In pratica, di solito non possibile fare in modo che il parametro r sia esattamente zero, ma solo che sia molto piccolo rispetto al parametro f
58
Funzioni di rete
● La sorgente viene rappresentata mediante un circuito equivalente di tipo Thévenin o Norton
● Il carico viene rappresentato mediante una resistenza equivalente
59
Funzioni di rete
● Equazioni della sorgente
● Equazioni del doppio bipolo
● Equazioni del carico
● Scelta la rappresentazione del doppio bipolo, le equazioni consentono di ricavare le tensioni e le correnti alle porte
● Inoltre è possibile determinare delle funzioni di rete che esprimono le relazioni tra le tensione e le correnti alle porte
● In seguito, come esempio, si farà uso della matrice ibrida, ma il proce-dimento può essere esteso facilmente alle altre rappresentazioni
2L2 iRv 2L2 vGi
1SS1 iRvv 1SS1 vGii
2
1
of
ri
2
1
i
i
rr
rr
v
v
2
1
of
ri
2
1
v
v
gg
gg
i
i
2
1
of
ri
2
1
v
i
hh
hh
i
v
60
Guadagno di corrente
● Combinando l’equazione del carico con la seconda equazione del dop-pio bipolo si ottiene la relazione tra le correnti di ingresso e di uscita
Il guadagno di corrente è
● In particolare se si annulla la resistenza di carico si ha
Lo
f
1
2i 1 Rh
h
i
iA
2Lo1f2 iRhihi 1Lo
f2 1
iRh
hi
f1
2cci h
i
iA
2L2
2o1f2
2r1i1
iRv
vhihi
vhihv
61
Guadagno di tensione
● Eliminando i1 e i2 dalle equazioni si ottiene la relazione tra le tensioni di ingresso e di uscita
Il guadagno di tensione è
● In particolare nel funzionamento a vuoto si ha
2L2
2o1f2
2r1i1
vGi
vhihi
vhihv
2o1f2L vhihvG
Li
f
Lifroi
f
1
2v Gh
h
Ghhhhh
h
v
vA
H
2f
Lo1 v
h
Ghi
2f
Loi1 vh
h
Ghhv r
H f
0v
hA
62
Resistenza di ingresso
● La resistenza di ingresso del doppio bipolo caricato si ottiene eliminando i2 e v2 dalle equazioni
● In particolare a vuoto e in cortocircuito si ottiene, rispettivamente
2L2
2o1f2
2r1i1
iRv
vhihi
vhihv
1Lo
Lfri2Lr1i1 1
iRh
RhhhiRhihv
1Lo
f2 1
iRh
hi
Lo
fri
Lo
Lfri
1
1in 1 Gh
hhh
Rh
Rhhh
i
vR
iincc hR oo
fri
1
10in hh
hhh
i
vR
H
63
Guadagni di tensione e corrente riferiti al generatore
● Per calcolare i guadagni riferiti ai generatori si moltiplicano i guadagnidi tensione e di corrente riferiti alla porta 1 per i fattori di partizione che legano, rispettivamente, vS a v1 e iS a i1
VinS
in
1
2
S
1
S
2SV A
RR
R
v
v
v
v
v
vA
IinS
in
1
2
S
1
S
2IS A
GG
G
i
i
i
i
i
iA
64
Equazione di uscita
● Eliminando i1 e v1, si ottiene la relazione che lega la tensione e la corrente alla porta 2
● A partire da questa relazione di possono ricavare i circuiti equivalenti di Thévenin e Norton del bipolo ottenuto collegando la sorgente e il doppiobipolo
2o1f2
2r1i1
1SS1
vhihi
vhihv
iRvv
2r1i1SS vhihiRv Si
2rS1 Rh
vhvi
2Si
froS
Si
f2 v
Rh
hhhV
Rh
hi
65
Resistenza di uscita
● La resistenza di uscita si ottiene azzerando il generatore
● Nei casi particolari di RS 0 o GS 0 si ha rispettivamente
2Si
fro2 v
Rh
hhhi
0S v1
Si
fro
02
2out
S
Rh
hhh
i
vR
V
o0out
1
hR
H
i
1
i
frooutcc
h
h
hhhR
66
Tensione a vuoto
● La tensione di uscita a vuoto si ottiene ponendo i2 0 nell’equazione di uscita
● La relazione tra la tensione a vuoto e la tensione del generatore è
020Si
froS
Si
f
vRh
hhhv
Rh
hS
Sofrio
f20 v
Rhhhhh
hv
So
f
S
20
Rh
h
v
v
H
02 i 202 vv
67
Tensione a vuoto
● Lo stesso risultato si può ottenere utilizzando la resistenza di ingressoa vuoto per determinare v1 e quindi moltiplicando v1 per il guadagno di tensione a vuoto
SGo
ff
Go
oS0v
G0in
0inS20 v
Rh
hh
Rh
hvA
RR
Rvv
HHH
H
68
Corrente di cortocircuito
● La corrente di uscita in cortocircuito si ottiene ponendo v2 0nell’equazione di uscita
● La relazione tra la corrente di cortocircuito e la corrente iS è
SSi
fS
Si
fcc2 1
iGh
hv
Rh
hi
Si
f
S
cc2
1 Gh
h
i
i
02 v cc22 ii
69
Corrente di cortocircuito
● Lo stesso risultato si può ottenere utilizzando la resistenza di ingressoin cortocircuito per determinare i1 e quindi moltiplicando i1 per il guadagno di corrente in cortocircuito
fSi
fSf
Si
SSicc
Sincc
SScc2 1
hGh
hih
Rh
RiA
RR
Rii
70
Circuiti equivalenti del doppio bipolo
● Dal punto di vista della sorgente, il doppio bipolo può essere rappresentato da una resistenza equivalente Rin che, in generale, dipende dalla resistenza di carico RL
● Dal punto di vista del carico, il doppio bipolo può essere rappresentato mediante un circuito equivalente di tipo Thévenin o Norton, i cui parametri, in generale, dipendono dalla resistenza del generatore RS
71
Funzioni di rete espresse con i parametri R, G e H
Si
f
Si
f
oS
f
S
cc2
So
f
oS
f
Si
f
S
02
1
Si
fro
1
Si
fro
Si
froout
Lo
fri
1
Lo
fri
Lo
friin
Lo
f
Li
Lf
Lo
fi
Li
f
Lo
f
Li
Lfv
1
1
Gh
h
Gg
g
rG
r
i
iGh
h
gR
g
Rr
r
v
vRh
hhh
Gg
ggg
Rr
rrrR
Gh
hhh
Gg
ggg
Rr
rrrR
Rh
h
Gg
Gg
Rr
rA
Gh
h
Gg
g
Rr
RrA
R
HG
G
HR
HGR
72
Funzioni di rete espresse con i parametri R, G e H
H
RG
R
H
G
H
HGR
i
oioutcc
o
io0out
iio
incc
o
oi0in
fi
f
o
ficc
f
o
f
i
f0v
1
1
1
h
grR
h
grR
hgr
R
h
grR
hg
g
r
rA
h
g
g
r
rA
73
Resistenza caratteristica
● Il valore della resistenza di carico RL per cui risulta Rin RL è detto resistenza caratteristica e viene indicato con R0
● Utilizzando le espressioni ricavate per Rin e imponendo Rin RL R0si ottiene
● Quando RL R0 si dice che il doppio bipolo è adattato
o
oi2
1
fr2
oioi
fr2
oioi0
2
4)1()1(
2
4)()(
2
4)()(
h
hh
gggggg
rrrrrrR
HH
74
Doppi bipoli in cascata
● Nella pratica si presenta frequentemente il caso in cui un sistema ècostituito da più doppi bipoli collegati in cascata
● Le funzioni che descrivono il comportamento del doppio bipolo risultante non sono legate in modo semplice alle funzioni di rete relative ai singoli componenti
● Non è semplice ricavare come cambia il comportamento del sistema se viene variata la sua configurazione (per es. se viene eliminato uno dei moduli o ne viene aggiunto un altro)
75
Doppi bipoli in cascata
● In alcuni casi particolari il problema può essere semplificato
Per esempio, se tutti i doppi bipoli hanno resistenza di ingresso molto elevata e resistenza di uscita molto piccola il guadagno di tensione complessivo è circa uguale al prodotto dei loro guadagnia vuoto
Questa situazione non è sempre facilmente realizzabile (specialmente nel caso di doppi bipoli passivi)
● Se tutti i doppi bipoli hanno la stessa resistenza caratteristica
il doppio bipolo risultante ha ancora la stessa resistenza caratteristica
in condizioni di adattamento il guadagno complessivo si ottiene moltiplicando i guadagni dei singoli doppi bipoli
● Questa scelta trova numerose applicazioni pratiche
Es. sistemi a 600 usati in telefonia, sistemi a 50 utilizzati a radiofrequenza e per strumenti di misura
76
N-porte resistivi
● Componenti con 2N terminali che costituiscono N porte
per ciascuna porta la corrente entrante in unodei terminali è uguale a quella uscente dall’altro
● Relazioni costitutive
f1, ..., fN funzioni generiche
● Se il tempo non compare esplicitamente nelle funzioni il componente è detto tempo-invariante
0,,,,,f
0,,,,,f
11
111
tiivv
tiivv
NNN
NN
77
N-porte lineari tempo-invarianti
● Nel caso più generale le equazioni costitutive di un N-portelineare e tempo-invariante sono del tipo
● Queste equazioni possono essere scritte nella forma
dove
0
0
11111
11111111
NNNNNNN
NNNN
ibibvava
ibibvava
NNN
N
NNN
N
NN bb
bb
aa
aa
i
i
v
v
1
111
1
11111
ΒAiv
0BiAv
78
Rappresentazioni di un N-porte lineare
● Parametri di resistenza
● Parametri di conduttanza
● Se l’N-porte ammette entrambe le rappresentazioni, si ha
● Le altre possibili rappresentazioni sono dette ibride
Riv
NNN
N
NN rr
rr
i
i
v
v
1
11111
Riv
Gvi
NNN
N
NN gg
gg
i
i
v
v
1
11111
Giv
11 GRRG
79
Significato dei parametri di resistenza
khik
jjk
hi
vr
0
Rapporto tra la tensione alla porta j e la corrente alla porta k quando tutte le porte diverse dalla k-esima sono a vuoto
80
Significato dei parametri di conduttanza
khvk
jjk
hv
ig
0
Rapporto tra la corrente alla porta j e la tensione alla porta k quando tutte le porte diverse dalla k-esima sono in cortocircuito
81
Reciprocità
● Si dice che un N-porte è reciproco se, dati due generici insiemi di tensioni e correnti e (k =1,...,N) compatibili con le sue equazioni caratteristiche, è verificata la relazione
Se il componente ammette la matrice di resistenza vale la relazione
Se il componente ammette la matrice di conduttanza vale la relazione
N
kkk
N
kkk iviv
11
jkrr kjjk
jkgg kjjk
kk iv , kk iv ,
82
Teorema di reciprocità
● Un N-porte ottenuto connettendo componenti resistivi reciproci èreciproco
Dimostrazione ● Premessa: per un resistore la condizione di reciprocità è sempre
verificata, infatti
● Si considerano due condizioni di funzionamento dell’N-porte, in cui le porte vengono collegate a due insiemi arbitrari di N bipoli, scelti con l’unico vincolo che i circuiti ottenuti dal collegamento ammettanosoluzione unica
● Si indica con l il numero totale di lati dei circuiti così ottenuti e si attribuiscono i numeri da 1 a N ai bipoli collegati alle porte
iviviiRiv
iiRiv
iRv
iRv
83
Teorema di reciprocità
Dimostrazione ● Si indicano le tensioni e le correnti relative ai due funzionamenti con
● Per il teorema di Tellegen si ha
● Se l’N-porte è formato da componenti reciproci, i secondi addendi di queste equazioni sono uguali
Questo richiede che siano uguali i primi addendi, cioè che le tensioni e le correnti dell’N-polo risultante soddisfino la condizione di reciprocità
llll iivviivv ,,,,,,,, 1111 e
001111
l
Nkkk
N
kkk
l
Nkkk
N
kkk iviviviv
l
Nkkk
l
Nkkk iviv
11
N
kkk
N
kkk iviv
11
84
N-porte dinamici
● Per una rete lineare dinamica a N porte le relazioni tra le correnti e le tensioni alle porte sono di tipo differenziale lineare omogeneo
● In condizioni di regime sinusoidale, applicando la trasformata di Steinmetz si ottengono relazioni lineari algebriche omogenee tra i fasoridelle tensioni V1...VN e delle correnti I1... IN del tipo
dove
● Le equazioni hanno la stessa forma delle equazioni di un N-porteresistivo, ma in questo caso le matrici hanno coefficienti complessi dipendenti dalla pulsazione
0BiAv
NNN
N
NNN
N
NN bb
bb
Β
aa
aa
A
I
I
i
V
V
v
1
111
1
11111
85
Matrici di impedenza e di ammettenza
● Se il componente è comandato in corrente oppure in tensione èpossibile rappresentarlo mediante parametri di impedenza o di ammettenza che costituiscono l’estensione al caso dei regimi sinusoidale dei parametri di resistenza e di conduttanza
● Matrice di impedenza
● Matrice di ammettenza
Ziv
NNN
N
zz
zz
Z
1
111
khk
jjk
h
0I
I
Vz
Yvi
NNN
N
yy
yy
Y
1
111
khk
jjk
h
0V
V
Iy
86
Matrici ibride e matrici di trasmissione
● Per i componenti a due porte si possono estendere al regime sinusoidale le definizioni delle matrici ibride e di trasmissione(in questo caso i coefficienti sono complessi e dipendono da )
2
1
2
1
2221
1211
2
1
V
IH
V
I
hh
hh
I
VMatrice ibrida
2
1
2
1
2221
1211
2
1
I
VH
I
V
hh
hh
V
IMatrice ibrida inversa
2
2
2
2
1
1
I
VT
I
V
DC
BA
I
VMatrice di trasmissione
1
1
1
1
2
2
I
VT
I
V
DC
BA
I
VMatrice di trasmissione inversa
87
Relazioni tra le rappresentazioni dei doppi bipoli
DC
BA
T
A
T
CT
B
T
D
hh
hh
h
h
H
h
H
h
hh
h
h
y
y
y
Yyy
y
z
z
z
z
Z
z
z
T
T
A
T
CT
B
T
D
DC
BA
h
H
h
hh
h
h
hh
hh
h
h
H
y
y
y
Yyy
y
z
z
z
z
Z
z
z
T
D
A
D
TDD
C
A
B
A
A
T
A
C
hh
hh
H
h
H
hH
h
H
h
yy
yy
y
y
Y
z
Z
z
zz
z
zH
A
C
A
TAA
B
D
C
D
D
T
D
B
H
h
H
hH
h
H
h
hh
hh
y
Y
y
yy
y
y
zz
zz
z
z
Z
H
B
D
B
TBB
A
B
A
B
B
T
B
D
hh
hh
h
h
H
h
H
h
hh
h
hyy
yy
Z
z
Z
zZ
z
Z
z
Y
C
A
C
TCC
D
C
D
C
C
T
C
A
h
H
h
hh
h
h
hh
hh
h
h
H
Y
y
Y
yY
y
Y
y
zz
zzZ
TTHHYZ
1212
11
12
22
12
1212
22
12
11
12
12
11
12
1212
11
12
11
12
1221
22
2121
11
21
22
21
2121
22
21
11
21
21
11
21
2121
22
21
22
21
2121
11
2221
1211
1121
1222
2222
21
22
12
22
1111
21
11
12
11
1121
1222
2221
1211
1111
21
11
12
11
2222
21
22
12
22
2222
21
22
12
22
1111
21
11
12
11
2221
1211
1121
1222
1111
21
11
12
11
2222
21
22
12
22
1121
1222
2221
1211
1
11
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
Ogni riga riporta le espressioni dei coefficienti di una matrice in funzione dei coefficienti delle matrici indicate nelle intestazioni delle colonne
)det(MΜ
88
Circuiti con doppi bipoli dinamici
● Facendo uso della trasformata di Steinmetz, nel caso di circuiti in regime sinusoidale, o, più in generale, della trasformata di Fourier èpossibile estendere ai circuiti contenenti doppi bipoli dinamici tutti i risultati ricavati per i doppi bipoli e per gli N-porte resistivi
● In particolare si possono generalizzare
i circuiti equivalenti dei doppi bipoli
i teoremi di rappresentazione dei doppi bipoli
le relazioni relative ai collegamenti tra doppi bipoli
il teorema di reciprocità
le definizioni delle funzioni di rete, che in questo caso divengono funzioni a valori complessi della pulsazione
89
Funzioni di rete espresse con i parametri Z, Y e H
Si
f
Si
f
oS
f
S
cc2
So
f
oS
f
Si
f
S
02
1
Si
fro
1
Si
fro
Si
froout
Lo
fri
1
Lo
fri
Lo
friin
Lo
f
Li
Lf
Lo
fi
Li
f
Lo
f
Li
Lfv
1
1
Yh
h
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Zh
h
YyG
Yy
Zz
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YhH
h
Yy
y
ZzZ
ZzA
HYZ
G
90
Funzioni di rete espresse con i parametri Z, Y e H
H
h
yz
ZZ
hY
yzZ
hyz
ZZ
h
H
Y
yzZ
hy
y
z
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H
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1
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