Download - 第一章 导数与微分
第一章 导数与微分1.1 函数及其性质
1.2 极限1.3 极限的性质与运算法则
1.4 两个重要极限
1.5 函数的连续性
1.6 导数的概念1.7 导数的运算
1.8 函数的微分及应用
第一章 导数与微分
1.1 函数及其性质
1.1 内容小结
1.1.1 函数的概念1.1.2 复合函数1.1.3 分段函数1.1.4 经济中常用的几个函数
定义 1.１ 设 x和 y是两个变量，数集D是变量 x的变化范围，如果对于属于D的每个数 x，变量 y按照一定的规律f总有确定的数值与它对应，则称 y是 x的函数，记作
y= f（x）x∈ D .
称变量 x 是自变量，变量 y 是函数（或因变量）．数集 D 是函数的定义域，表示对应规律的 f是函数（function）的记号．
1.1.1 函数的概念
一 . 函数的定义
若对于确定的 0x∈D，通过对应规律 f，函数 y有惟
一确定的值 0y与之对应，则称 0y为=()yfx在 0x处的函数
值，记作 0y= 0|xxy=f（0x），
函数值的集合，称为函数的值域，记作 M．
说明：
（1）若对于D中的每个x的取值， y有唯一的值与之对
应，称这样的函数为单值函数，否则叫做多值函数，本书所讨论的函数一般都是指单值函数．
（2 “）一般函数的对应规律用字母 f ”来表示，对不同
的函数的对应规律可以用不同的字母如g、 h 来表示.
（3）函数的表示法：公式法、图形法、列表法．
（4）函数的两要素：定义域（D）和对应规律（ f ），
两个函数相等的充要条件是定义域相同且对应规律相同. （5）确定用公式法表示的函数定义域，应考虑两种情况，
一是，确定使该式子有意义的自变量的全体，二是，对实际问题要根据变量的实际变化范围来确定，定义域一般用区间表示．
一般地，应注意如下几点： (1) 分母不能为零； (2) 偶次根号下非负； (3) 对数的底大于零而不等于 1 、真数大于零； (4) 三角函数和反三角函数要符合其定义； 如果函数的表达式由若干项组合而成，则它的定义域是各项定义域的公共部分 .
例1 设 2() 2 1y fx x x ，求： 0(0), (1), ( )f f fx
解 20| ( 0 ) 2 0 0 1 1xy f
21| (1 ) 2 1 1 1 2xy f
0
20 0 0| ( ) 2 1x xy f x x x
例2 设2(1) 3,fxxx求)(xf
解 令 ,1 tx 则 1tx
所以 2 2( ) ( 1) 3( 1) 5 4f t t t t t
即 2( ) 5 4f x x x
例 3 确 定 下 列 函 数 定 义 域 ：
（ 1 ）x
y
1
1；
（ 2 ） 21y x ；
（ 3 ） 2
12
4y x
x
；
（ 4 ） 2l g ( 1 )y x x ．
解（1）要使函数有意义，必须使 01 x ，即 1x
因此 函数定义域是 )1,( ∪ ),1(
（2）要使 21x有意义，必须使21x≥0 即2 1x，
1x，因此 函数定义域是]1,1[ （3）这是两个函数之和的定义域，先分别求出每个函
数的定义域，然后求其公共部分即可，使函数 2
1
4 x有意
义，必须满足 24 x 0,即 2x
而使函数 2x 有意义，必须满足 02x 即 2x
因此，函数的定义域是 )2,2( ∪ ),2(
（ 4） 2lg(1 )x 的定义域满足不等式 21 0x ,解得
11 x ， x的定义域是 0x .因此，函数的定义域是 )1,0[
定义 1.２ 设给定函数 )(xfy ，如果把 y当作自变量，
x当作函数，则由关系式 )(xfy 所确定的以 y为自变量的新
函数 )(yx 叫做函数 )(xfy 的反函数，而 )(xfy 称为直
接函数．
习惯上总是用x表示自变量，而用 y表示函数，因此，往
往把 )(yx 改写成 )(xy ，记作
)(1 xfy ，
二 反函数
定义 1.３ 设函数 )(xfy 的定义域Ｄ关于原点对称
（即若 Dx ，则必有 Dx ）若对任意 Dx ，有
（1） )()( xfxf ，则称 )(xf 为偶函数；
（2） )()( xfxf ，则称 )(xf 为奇函数．
三 函数的几种特性1. 函数的奇偶性
奇函数的图形关于坐标原点对称；偶函数的图形关于 y
轴对称．
例如，函数 2( )f x x ， xxf cos)( 等都是偶函
数． 3( )f x x ， xxf sin)( 等都是奇函数．
定义 1.４ 设函数 )(xf 在区间I上有定义，对于区间内
任意两点 1x和 2x ，当 1x＜2
x时，恒有
（１） 1( )f x ＜ 2( )f x ，则称函数 )(xf 在 I上是单调增加的．
（２） 1( )f x ＞ 2( )f x ，则称函数 )(xf 在 I上是单调减少的．
2. 函数的单调性
单调增加或单调减少的函数统称为单调函数，若 )(xf 在
区间I上是单调函数，则称该区间是函数的单调区间．
定义 1.５ 设函数 )(xf 的定义域为D ,若存在一个非零
常数T ,对于任意 Dx ,有 )( Txf = )(xf
成立，则称 )(xf 是周期函数，称T是它的一个周期.
3. 函数的周期性
例如，函数 xyxy cos,sin的周期是2π．
xyxy cot,tan的周期是π．
定义 1.６ 设函数 )(xf 在区间I上有定义，若存在正数
M，使得对任一 Ix ，有
| )(xf |≤ M，
则称 )(xf 在区间 I上是有界函数，若这样的M不存在，就称
)(xf 在I内是无界函数.
4. 函数的有界性
例如，函数 xy sin 在 ),( 内是有界的,因为对任意
),( x ，存在M =1，使得| xsin |≤ 1 恒成立.
1.1.2 复合函数
一 基本初等函数二 复合函数三 初等函数
1. 常量函数 Ｃy （Ｃ为常数）；
2. 幂函数 y x （为实数）；
3. 指数函数 xy a （ aaa ,1,0 为常数）；
4. 对数函数 logay x （ aaa ,1,0 为常数）；
一 基本初等函数
基本初等函数通常指以下六类函数：常量函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数．
5 . 三 角 函 数 xy sin ， xy cos ， xy tan ， xy cot ，
xy sec ， xy csc ；
6 . 反 三 角 函 数 xy arcsin ， xy arccos ，
xy arctan ， . a r c c o ty x
这 六 种 函 数 统 称 为 基 本 初 等 函 数 ．
定义 1.７ 设 )(ufy 是u的函数， )(xu 是x的函数，
如果由x所确定的u使得 y有意义，则把 y叫做x的复合函
数．记作
)]([ xfy ．
u称为中间变量， )(uf 称外层函数， )(x 称内层函数．
二 复合函数
例 4 指出下列复合函数的复合过程．
(1) 2siny x ， (2) )arcsin(ln xy ．
解
(1) 2siny x 是由 2y u ，和 xu sin 复合而成的．
(2) )arcsin(lnxy 是由 uy arcsin 和 xu ln 复合而成
的．
定义 1.8 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合
所构成的，并且可以由一个解析式子表示的函数，叫做初等函数．
三 初等函数
例如， 2sin1y x，21xya， 2lnsiny x，exy 等
等都是初等函数．
如
.10),10(9.18.12
;104),4(3.15
;40,5
xx
xx
x
y
1.1.3 分段函数定义 1.9 在自变量的不同变化范围内，函数的对应关系是不相同的，称这种函数叫分段函数．
注意:(1)分段函数是定义域上的一个函数，不要理解为多个函数，(2)它的定义域是各部分的自变量取值集合的并集，(3)求分段函数的函数值0()fx时，要根据 0x所在的范围选用
相应的解析式，其图形要分段作出.
例 5 某商品共有 1000 吨可供销售，每吨定价 80 元，若销售量在 800吨以内，按原定价格出售；若销售量超过 800
吨，则超过部分打九折价格优惠出售，试求收益函数 )(qR ．
解 由于在不同的销售量范围价格不同，因此必须将
需求量（销售量）q分段来考虑：
可表示为
.1000800),800%(908080080
;8000,80)(
qqqR
例 6 设函数
2 , 2 0;
( ) 2, 0;
1 ,0 3.
x x
f x x
x x
求函数的定义域；
（１）求 )1(),0(),1(),2( ffff ；
（２）作出函数的图形．
解 （ １ ） 函 数 的 定 义 域 是 ]3,2[ ．
（ ２ ） 由 于 )0,2[2 ， 2( )f x x ， 故2( 2 ) ( 2 ) 4f ；
同 理 2( 1 ) ( 1 ) 1f ； 2)0( f ； 211)1( f ．
（３）利用描点法，分段作出各部分函数图形，如图1-1所示
2xy xy 1
Ｏ x
y
1
2
图 1-1
1.1.4 几种常见的经济函数
一 线性函数模型二 指数函数模型
三 内容小结
用数学方法解决实际问题，通常要把实际问题化成数学问题，也就是建立数学模型，简称建模 .
线性函数模型的一般形式可表示为
baxxfy )(
其中a和b是实常数．定义域 xxD | .它的图形是一
条直线, a表示直线的斜率,b表示直线在 y轴上的截距,如图 2-2.
特别地,当a=0时, y=b.这是一条水平直线，如图 2-3.
图 1-2 图 1-3
一 线性函数模型
x0
bby
baxy
y
x
y
b
0
例 7 总成本函数模型 在 1.1 例 2 中已介绍过水泥的总成本函数为
3000120 qC ．可用一般形式表示该总成本函数模型:
1 0( )C C q q Ｃ Ｃ
其中: 0Ｃ——固定成本，即产量q=0时的成本.
1Ｃ——单位可变成本，即每增加一个单位产品所增加的
成本，它的图像是纵截距为 0Ｃ，斜率为 1Ｃ的直线，如图 1-4.
图 1-4 图 1-5
R
q0
1 0C CC q
qPR0
q0
0C
C
例 8 收益（销售收入）函数模型
商品的收益R依赖于商品的价格 p和销量 q，其函数模
型为 pqR
当商品的市场价格是一个常数 0p 时,收益只随销售量的
增减而增减, 此时的函数模型为
0R p q
其图像是斜率为 0p ，过原点(0,0)的直线，如图 1-5．
根据 利润=收益－总成本，可得到利润函数模型： ( ) ( ) ( )rP q R q C q
若 0( )R q p q ， 1 0( )C q q Ｃ Ｃ，
则 0 0 1 0 0( ) ( ) ( ) .rP q p q q p q １Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ
若当 0q q 时， 0( ) 0rP q ．则 0q 称为损益分岐点（又称保
本点或盈亏平衡点）．由 0)(0qP
r，解出 0q ，即得损益分岐点
模型：
00
0 1
qP
ＣＣ
例 9 利润函数模型
损益分岐点 0q 的经济意义
可由图 1-6来说明． 由图 1-6 可知 ,当产量
0q q 时，总成本高于收益,因此
亏损；当 0q q 时，收益高于总
成本，因此盈利；当 0q q 时，
总成本等于收益，因此盈亏平衡．
R
C
qpR 0
qCCC 10
q
图 1-6
例 10 单利模型 单利是金融业务中的一种利息，某人在银行存入现金 2
万元，年利率为 10%，问 3年之后本利和多少？
解 设 初 始 本 金 P ， 年 利 率 r ， 利 息 c ， 单 利 I ， 本 利和 A ， 存 款 t 年 ．
因 为 年 利 率P
Cr
本金利息 , 即 PrC ， 故
第 一 年 单 利 ， 1 1 P rI C ,
第 二 年 单 利 2 2 2 P rI C
… …
第 t 年 单 利 P rtI t C t
所以，第t年本利和 t tA P I
即 PrtA P t
可得本利和与计息时间的函数关系，即单利模型： (1 )tA P t r
把 P 2万元, r 10% ， t 3年代入得
3 2(1 30.1) 2.6A （万元）
即3年后本利和是 6.2 万元．
指 数 函 数 模 型 的 一 般 形 式 可 表 示 为 ：
( ) xy f x a ， )1,0( aa ．
定 义 域 ),( D ．
当 1a 时 ,函 数 单 调 增 加 ， 它 常 被 用 作 复 利 计 算 和 人 口 增 长 计算 模 型 ．
当 10 a 时 ， 函 数 单 调 减 少 ， 它 常 被 用 来 建 立 由 终 值 求现 值 和 设 备 贬 值 计 算 的 模 型 ．
二 指数函数模型
所谓复利计息，就是将每期利息于每期之末加入该期本金，并以此为新本金再计算下期利息．
某人在银行存现金P元，年利率r，每年结算一次，利息仍留在存款中，问在t年之后，本利和多少．
解 设 本 金 P ， 年 利 率 r ， 存 款 t年 ， 本 利 和 tA
因 为 每 年 本 金 和 利 息 仍 留 存 款 中 ,所 以
1 年 后 的 本 利 和 1 (1 )A P r
2 年 后 的 本 利 和 22 1 (1 ) (1 )A A r P r
… …
t年 以 后 本 利 和 (1 ) ttA P r
例 11 复利模型
由 此 得 本 利 和 复 利 计 算 模 型 ：
( 1 ) ttA P r
显 然 , 这 是 一 个 指 数 函 数 ， 它 的 底 （ r1 ） 大 于 １ , 由 于 每年 结 算 一 次 ， 因 此 其 定 义 域 是 正 整 数 集 ．
在 例 4 中 ， 对 同 样 的 本 金 和 年 利 率 , 若 按 复 利 模 型 计 算 ，则 第 三 年 末 的 本 利 和 是
33 2 ( 1 0 . 1 ) 2 . 6 6 2A ( 万 元 ) .
例 6 设备贬值模型
一辆价值为A的汽车，以这样的方式来贬值：每年汽车
的价值是前一年的3
2，试求第t年后该汽车的价值．
解 设汽车的价值 A， t年后汽车价值 )(tf .
第1年后贬为 A3
2
第2年后贬为 2 2
( )3 3
A 2
2
3A
……
第t年后贬为 2
3
t
A
即得t年后汽车贬值模型为()f t 2
3
t
A
根据这个模型可知，时间愈长，汽车价值愈低．
例如经过8年，汽车的价值为)8(f82
3A≈（0.04）A.
亦即只有原来价值的百分之4.
解 设每年付款一次，每次付款Q元，共付t年，年利
率为r．复利周期为１年，年金本利和为t
A．
所谓年金本利和，是指每年付一次款，每年复利一次，若干年后的全部付款和全部利息累积之和．
例７ 年金本利和模型
第 1 次 付 的 款 所 得 到 的 本 利 和 为 1(1 ) tQ r ,
第 2 次 付 的 款 所 得 到 的 本 利 和 为 2(1 ) tQ r
… …
第 t 次 付 的 款 所 得 到 的 本 利 和 为 0(1 )Q r Q
年 金 本 利 和 tA 应 为 上 面 各 次 付 款 所 得 本 利 和 总 和 ， 即
tA 1(1 ) tQ r + 2(1 ) + + tQ r Q = Qrr t 1)1(
由 此 ,得 到 年 金 本 利 和 模 型(1 ) 1t
t
rA Q
r
1 函数的概念
1.1 内容小结
2 复合函数
3 分段函数
4 经济中常用的几个函数
1.2.1 数列的极限
1.2 极 限
1.2. 小结
1.2.3 无穷小量与无穷大量1.2.2 函数的极限
按正整数顺序排列的无穷多个数
1y，2y，3y…，，ny…，
称为数列，简记作： ny. 其中 ny称为数列的通项或
一般项．
定义 1.10 数列的极限
1.2.1 数列的极限
例 1 看下面的例子
(1)
n
1 ：１， 21，
3
1…， ，
n
1…， ；
(2)
1n
n ：21，
3
2，4
3…， ，
1n
n…， ；
(3) 2n ： 12， 22 ， 32 …， ，2n …， ；
(4) 1 1( 1)n
n
：１，-
21，
3
1，-4
1…， ， 1 1
( 1)n
n …， ．
等等都是数列.
观察如上4个数列在n无限增大时的变化趋势，可以看到数
列n1和 11(1)n
n 无限接近于0，数列
1n
n无限接近于常数
1，而数列 2n随着n的增大,数列中的项也越来越大，不会靠近一个确定的常数，我们给出数列极限的定义.
定义 1.11 设数列 ny ，若当 n无限增大时， ny 趋于
一个确定的常数 A，则称 A为数列 ny 的极限，记作 limn ny ＝
A，或 ny A（n ）亦称数列 ny 收敛于 A．
有极限的数列称为收敛数列，没有极限的数列称为发散数列．
按上述定义，表示例 1中数列（1），（2），（4）的极限分别为:
limn
n
1＝0；limn 1n
n ＝1；limn（-1） 1n
n
1＝0．
数列（3）的极限不存在，当 n 时， ny 越来越大趋于 ，
这种数列通常也形式地记作 limn
ny ＝lim 2n
n＝ + .
(1) x 时, 函数的极限
1.2.2. 函数的极限
定义 1.12 设函数 )(xf ，如果当x的绝对值无限增大时，函
数 )(xf 无限趋于一个确定的常数 A，则称当 x趋于无穷时，函
数 )(xf 以 A为极限，记作limx
)(xf ＝A，或 )(xf A ( x ).
如果x且x无限增大（记作 x ）时, 函数 )(xf 无限趋近
于一个确定的常数 A，可得 lim ( )x
f x A
，或 ( )f x A
( )x .
如果 x<0且 x无限增大（记作x ）时，函数 )(xf 无
限趋近于一个确定的常数 A，可得
xlim )(xf ＝A，或 ( ) ( )f x A x .
定理 1.1 limx
)(xf ＝Ａ的充要条件是
limx
)(xf ＝ limx
( )f x A .
图 1-7
x
y
xy
1
Ｏ
例 2设函数x
y1 ，考察当x
趋于无穷时的极限．
解 由图 1-7可知 1
limx x
＝0，
limx x
1＝0 . 所以 1limx x
＝0.
例３ 讨论当x 时候，函数 xy arctan 的极限.
解 由于π
lim (arctan )2x
x
( xarctan )＝ π
2， lim
x ( xarctan )
＝-π
2．
所以 limx
xarctan 不存在．
(2) x0x时, 函数的极限
图 1-8
设实数 0 ,x 且 ＞0，数集 0 0{ }.x x x x 叫点
0x 的邻域，记作 0( , )U x ．即 0 0 0( , ) { }.U x x x x x
点 0x 叫邻域的中心，叫邻域的半径．
因 为 0x x 相 当 于 0x x ， 即
0 0x x x ，所以在几何上，邻域 0( , )U x 表示以点 0x 为
中心，长为 2的开区间 0 0( , )x x ．如图 1-8
邻域的概念 :
0x +0x0x
定义 1.13 设函数 )(xf 在点 0x 的 去心邻域 0
0( , )U x 内有定义，若当 x无限趋近于 0x 时，函数 )(xf 无限
趋近于一个确定的常数 A，则称当 0x x 时,函数 )(xf 以 A 为
极限.记作
0
limx x
)(xf =A 或 )(xf A（ 0x x ）.
例４讨论函数21
()1
xyfxx
当x无限趋近于1时的变化趋势.
图 1-9
2 1
1
xy
x
y
xＯ 1
1
2
解 当x从 1的左侧无限接近 1时，对应函数值变化如下:
该函数的图像是直线 1xy 上除去点（1，2）以外的部分，
如图 1-9，从图 1-9可以看到，此函数在x＝1处虽然没有定义，但是当 x从 x＝1 处的左右两边分别越来越接近 1 时，函数
2 1( )
1
xf x
x
的值越来越趋
近于 2，于是，按定义 1.3，
函数2 1
( )1
xf x
x
当 1x 时
以 2为极限 即1
limx
2 1
1
x
x
＝２．
定义 1.14 设函数 )(xf 在点 0x 的左半领域内有定义，当
自变量在此半领域内无限接近于 0x 时，函数 )(xf 无限接近于常
数 A，则称 A为函数 )(xf 在 0x 点的左极限，记作
0
limx x
)(xf = A或 )(xf A（ 0x x ）或 0( )f x A .
函数 )(xf 在点 0x 的右半邻域内有定义，当自变量在此半邻
域内无限接近于 0x 时，函数 )(xf 无限接近于常数 A，则称 A
为函数 )(xf 在 0x 点的右极限，记作 0
limx x
( )f x A 或 ( )f x A
（ 0x x ）或 0( )f x A .
左，右极限统称单侧极限.
例５ 求函数
.0,1
;0,)(
x
xxxf 当x 0时的左极限0( )fx和右
极限0( )fx.
图 1-10
解 这是一个分段函数，如 图 1-10所示，由图可直观看到，
0( )f x ＝0
limx
)(xf ＝0
lim( )x
x ＝0
0( )f x ＝0
limx
)(xf ＝0
limx
1＝1.
y
xＯ
11y
xy
例６讨论函数
.0,1
;0,0
;0,1
)(
xx
x
xx
xf 当 x 0时的极限 0
limx
)(xf .
图 1-11
解 如图 1-11所示
0limx
)(xf ＝-1；
0limx
)(xf ＝0
lim ( 1) 1x
x ；
因 0
limx
)(xf ≠0
limx
)(xf
故 0
limx
)(xf 不存在．
1
1xy
Ｏ x
y
1xy
由极限定义可以推算出下述两个结论:
0
0limxxxx，
limCC, （C为常数）
定义 1.15 极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小，记为 .
1 ．无穷小量的定义
1.2.3 无穷小量与无穷大量
例如 limx x1=0，所以函数
x1当 x时是无穷小．
又如 1lim(1)xx=0，所以函数1x当 1x时是无穷小．
注意： （１）无穷小是一个变量，是在变化过程中绝对值越来越小，并且无限地趋于零的变量. （２）绝不能将其与很小的常量相混淆，数零是唯一可作为无穷小的常数， （３）由于无穷小表达的是量的变化状态,因此说一个函数
)(xf 是无穷小,必须指明自变量x的变化趋向．比如当 1x 时
（ 1x ）为无穷小，而当 2x 时，（ 1x ）则不是无穷小．
例 ７ 自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小.
(1) 11x
y ； （2）12xy ； （3）2xy； （4）1()4xy.
解 （1）因 limx1
1x＝0，故当 x时，
11x为无穷小；
(2) 因 1
2
limx )12( x＝0，故当 x
2
1时， 12x为无穷小；
(3) 因limx
2x＝0，故当 x时， 2x为无穷小；
(4) 因 limx
1()4
x＝0，故当 x时，1()4
x为无穷小.
定理 1.2 lim ( )f x A 的充要条件是 ( )f x A ，其中
是无穷小．
即 lim ( )f x A 0lim ， ( )f x A ．
2. 极限与无穷小的关系
3. 无穷小的运算性质
性质１ 有限个无穷小的代数和是无穷小．
性质２ 有限个无穷小的积是无穷小 .性质３ 有界函数与无穷小的积是无
穷小．性质４ 常数与无穷小的积是无穷小
．
例８ 求 0
1lim sinx
xx
.
解 因 0
1lim 0, sin 1x
xx
， 故由无穷小性质 3有
0
1lim sin 0x
xx
.
定义 1.16 绝对值无限增大的变量 y称作无穷大量，简称
无穷大.记作 ylim ．
2. 无穷大量的定义
例如：当 x 0 时，x
y1 的绝对值 1
x将无限增大，即当
x 0时，x1是无穷大．记作
0
1limx x
.
如果对于自变量x所对应的变量 y值是正的（或负的），则
记作 ylim ，（ ylim ）.
定理 1.4 在同一变化过程中
(1) 若 y是无穷大，则y1是无穷小；
(2) 若 y是无穷小，且 y≠ 0，则y1是无穷大.
定理 1.3 在自变量的同一变化过程中 (1) 有限个无穷大的乘积仍是无穷大； (2) 无穷大与有界量的和仍是无穷大．
3. 无穷小与无穷大的关系
2. 无穷大的性质
注意： (1) 有限个无穷大的代数和不一定是无穷大； (2) 无穷大与有界量的乘积也不一定是无穷大.
1 函数的极限
1.2 小结
3 无穷大量
2 无穷小量
1.3.1 极限的运算法则
1.3 极限的性质与运算法则
1.3 小结1.3.2 函数极限的计算方法
性质 3（保号性）若在 0
0( , )U x 内，恒有 )(xf ≥ 0（或 )(xf
≤ 0）且0
lim ( )x x
f x A
，则 A≥ 0（或 A≤ 0）.
若0
lim ( )x x
f x A
，且 A＞0（或 A＜0 ），则在0
0( , )U x 内，
恒有 0)( xf （或 0)( xf ）.
性质 2 （有界性）有极限的变量是有界变量．
1.3.1 极限的性质与运算法则性质 1 （唯一性）函数若有极限，则其极限必唯一．
性质 4 （夹逼准则）若 x∈0
0( , )U x 时，有 )(xh ≤ )(xf ≤ )(xg
且 0
lim ( )x x
h x
＝0
lim ( )x x
g x
＝A.
则 0
lim ( )x x
f x A
.
定理 1.5 (四则运算法则)
设 lim ( )f x A ，lim ( )g x B 则
法则 1 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )f x g x f x g x A B .
法则 2 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )f x g x f x g x A B .
法则 3 ( ) lim ( )lim 0
( ) lim ( )
f x f x AB
g x g x B （ ）.
推论 1 lim ( ) lim ( )cf x c f x ( c为常数) .
推论 2 lim ( ) [lim ( )]f x f x )( R .
特别地，法则 1、2可以推广到有限个函数的情形，即
(1) 1 2 1 2lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )n nf x f x f x f x f x f x
(2) 1 2 1 2lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )n nf x f x f x f x f x f x .
1.3.1 极限的性质与运算法则
例 1 求 2
1lim(3 2 1)x
x x
.
解 因为当 1x 时，函数各项的极限都存在
所以 2
1lim(3 2 1)x
x x
＝ 2
1 1lim3 lim 2 1x x
x x
＝ 21 1
3 lim 2lim 1x x
x x
＝ 23 1 2 1 1 ＝２.
例 2 求 3
23
27lim
9x
x
x
.
解 3
23
27lim
9x
x
x
=2
3
( 3)( 3 9)lim
( 3)( 3)x
x x x
x x
=2
3
( 3 9)lim
( 3)x
x x
x
=2
9.
1.3.2 函数极限的计算方法
例 3 求 23
1lim
9x
x
x
.
解 因为 2
3
9 0lim 0
1 4x
x
x
由定理 3.6
(无穷大与无穷小关系)得 23
1lim
9x
x
x
=∞ .
例 4 求 2
2
2 2 3lim
3 1x
x x
x
.
解 2
2
2 2 3lim
3 1x
x x
x
=2
2
2 32
lim1
3x
x x
x
=
03
002
=3
2.
例 5 求 3 2
4
4 2 1lim
3 1x
x x
x
.
解 用 4x 除分子、分母，得
3 2
4
4 2 1lim
3 1x
x x
x
=2 4
4
4 2 1
lim1
3x
x x x
x
=
2 4
4
4 2 1lim( )
01
lim(3 )
x
x
x x x
x
.
上述各例的计算方法与结果，可推广到一般情况，若
)(xR 是有理分式，
)(xR ＝( )
( )n
m
P x
Q x＝
11 1 0
11 1 0
n nn n
m mm m
a x a x a x a
b x b x b x b
（１） 若 0( ) 0mQ x ，则 0
lim ( )x x
R x
＝( )
( )n
m
P x
Q x＝ 0( )R x .
（２） 若 0( ) 0mQ x ，而 0( ) 0nP x ，则 0
lim ( )x x
R x
∞＝ .
（３）若 0( ) 0mQ x ，且 0( ) 0nP x ，则 ( )mQ x ， ( )nP x 一定有以
０为极限的 0( )x x 型公因子，将 ( )mQ x ， ( )nP x 因式分解约分后，
计算极限．
例 6 求21
1 2lim
1 1x x x
.
解 先通分化简后再计算极限．即
21
12lim11xxx＝2112lim1xx
x＝1
1lim1xx＝ 2
1．
例 7 求 2
2 2lim
2x
x
x
.
解 将分子、分母同乘分子的共轭因子后，使分子有理化，这时再计算极限，即
2
2 2lim
2x
x
x
=2
( 2 2)( 2 2)lim
( 2)( 2 2)x
x x
x x
=2
2 4lim
( 2)( 2 2)x
x
x x
=2
1 1lim
42 2x x
．
例 8 求 2
sinlimx
x
x.
解 把2
sin x
x看作
2
1
x与 xsin 的乘积，利用无穷小的性质，再计
算极限．
因 x 时，2
10
x ，而| xsin |≤ 1，由无穷小与有界函数的
积仍是无穷小,得
2
sinlim 0x
x
x ．
例9 设
2, 0;
() ,0 1;
1, 1.
x x
f x x x
x x
求0
lim()x
f x，
1lim()x
f x及
2lim()x
f x．
解 因 0
lim ( )x
f x
= 2
0lim 0x
x ，
0lim ( )x
f x
=0
lim 0x
x ，
故 由定理 1．3 (极限存在的充要条件)得 0
lim ( ) 0x
f x
．
同理， 因 1
lim ( )x
f x
=1
lim 1x
x ，
1lim ( )x
f x
=1
lim(3 ) 2x
x ，
故 1
lim ( )x
f x
不存在，
而 2
lim ( )x
f x
=2
lim(3 ) 1x
x
．
1.4 两个重要的极限与无穷小量的比较
1.4 小结1.4.3 无穷小量的比较1.4.2 极限在经济中的应用—复利与贴现1.4.1 两个重要极限
这个极限可由极限存在的夹逼准则推证，下面给出证明： 证 作单位圆如图 1－12所示．取
∠ ( ).2
AOB x rad o x
，于是有：
xADxABxBC tan,,sin ，
由图 1-6可知， OAB OADOABS S S 扇形
即 xxx tan2
1
2
1sin
2
1 得 xxx tansin .
除以 xsin 有xx
x
cos
1
sin1
从而 1sin
cos x
xx .
1.4.1 两个重要极限
１. 0
sinlim 1x
x
x
因为x
xx
sin,cos 都是偶函数，
所以上面的不等式对于开区间( ,0)2
内的一切x也是成立的．
而当 0x 时，0
lim cos 1x
x
,0
lim1 1x
.
由极限存在的夹逼准则，即得
0
sinlim 1x
x
x .
图 1-12
Ｏ A
B
C
D
1x
例 1 求 0
tanlimx
x
x.
解 因x
xx
cos
sintan
故0
tanlimx
x
x=
0
sin 1lim 1 1 1
cosx
x
x x .
注 该极限式也可作公式使用．
例 2 求 0
sin 2lim
3x
x
x.
解 0
sin 2lim
3x
x
x＝
0
2 sin 2lim( )
3 2x
x
x ＝
0
2 sin 2lim
3 2x
x
x＝
3
2．
例 3 求 20
1 coslimx
x
x
.
解 由 2 2(1 cos )(1 ) 1 cos sin ,x cox x x 有
20
1 coslimx
x
x
=
2
20
1 coslim
(1 cos )x
x
x x
= 2
0
sin 1lim( )
1 cosx
x
x x
= 2
0 0
sin 1(lim ) lim
1 cosx x
x
x x =2 1 11
1 1 2 ．
例 4 求 1
lim sinx
xx
.
解 利用无穷大与无穷小的关系，作变量替换，设 xt1，
x ， 0t ，
于是 1
limsinxx
x =
0
sinlimt
t
t=1．
2. 1
lim(1) ex
x x
在上式中 令 x
t1
, 则 x ， 0t ，于是，有
1
0lim(1 ) et
tt
.
例 5 求 2
lim(1 )x
x x .
解
2lim(1 )x
x x =
22
1lim 1
2
x
x x
=
2
2
2
1lim 1
2
x
x x
=
2
2
2
1lim 1
2
x
x x
= 2e ．
例 6 求 1
0lim(1 2 ) x
xx
.
解 作变量替换
设 xt 2，则 2
tx ，当 0x ， 0t ， 于是
1
0lim(12)xx
x ＝
2
0lim(1 )t
tt
＝ 21
0lim1 tt
t
＝
21
0lim(1 )tt
t
= 2e．
例 7 求 31lim( )
1x
x
x
x
.
解 31lim( )
1x
x
x
x
＝
31
1 1lim
1 11
x
x
xxx
x
＝ 1
1(1 )
lim1
(1 )
x
xx
x
x
31
1lim
11
x
x
x
＝ 21
e1 e
e
在.前面的讨论中,我们曾得到如下结果 设本金为P，年利率为 r，每年计息一次，按复利计算的第 t年末的本利和是
(1 )ttA P r
这就是复利计算模型.
若不按年计息，而改为半年计息一次，则半年利率为 2
r，t
年共计息 2t 次，则第 t年末的本利和为：
2(1 )2
tt
rA P
1.4.2 极限在经济中的应用 -- 复利与贴现
若按月计息，则月息为 12
r ，t 年共计息 12t 次，则第 t 年
末的本利和为:
12(1 )12
tt
rA P .
若每年计息 x，每次利率为 x
r次，t年共计息 x t次，则第
t年末的本利和为:
(1 )xtt
rA P
x . (1.4)
“ ”上述计息的 次 是确定的时间间隔，因为一年计息次数为
有限次，所以公式(3.4)可认为是按离散情况计算 t年末本利和 tA
的复利公式,这就是离散复利计算模型．
因为资金周转过程是不断进行的，计算利息分期越细越合理，“ ”亦即结算次数愈多愈合理，也就是让计息的 次 的时间间隔无
限缩短，从而计息次数 x ，这样进行计算利息就是连续复利，于是
lim (1 )xtt x
rA P
x lim 1 e
rtx
rrt
x
rP P
x
，
这就是连续复利计算模型.
定义 1.17 设 )0( 和是同一变化过程中的无穷小，
若 0lim ，则称是比较高阶的无穷小，记作 )( ；
若
lim ，则称是比较低阶的无穷小；
若 c
lim ，（c是不为零的常数），则称与是同阶无穷小；
若 1lim ，则称与 是等价无穷小，记作 ~ ．
1.4.3 无穷小的比较
由定义 1.17 知 ,当 0x 时 , 2x 是比 x2 高阶的无穷小 ,即2 (2 )x x ,反之 x2 是比 2x 低阶无穷小 , 而 x2 和 x是同阶无穷
小, xsin 和 x是等价的无穷小,即 )0(~sin xxx .
定理 1.6（无穷小等价替换定理）
若 ~ ' ， ~ ，且 ( )f x 存在，则 ''
limlim
推论 (无穷小传递性质) 若 ~ ， ~ , 则 ~ .
常用的等价无穷小有：当 0x 时 1~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin~ xexxxxxxxxxxx
2
1 cos ~2
xx 等.
例 8 求2
0
tan 5lim
sin 2x
x
x x.
解 当 0x 时， xx 5~5tan ， xx 2~2sin
于是 2
0
tan 5lim
sin 2x
x
x x＝
2
0
(5 ) 25lim
2 2x
x
x x ．
例 9 求 30
tan sinlimx
x x
x
解 这是 0
0型未定式, 因为
x
xxxx
cos
)cos1(sinsintan
当 0x 时， xx~sin , 2
1 cos ~2
xx , 于是
30
tan sinlimx
x x
x
30
sin (1 cos )lim
cosx
x x
x x
2
30
12limcos 2x
xx
x x
．
应该指出,在用等价无穷小代换时，一般在乘除运算时可施行，而在和差运行时不能运用,如在上例中，若因 xx~tan， xx~sin有
30
tan sinlimx
x x
x
30lim 0x
xx
x
则显然是错误的．
1 极限的四则运算法则
1.4 小结
4 复利与连续复利3 无穷小的比较2 两个重要极限
1.5 小结
1.5 函 数 的 连 续性
1.5.1 函数的连续性定义1.5.2 初等函数的连续性
定义 1.18 设函数 )(xfy 在点 0x 的某一邻域内
有定义，当自变量从初值 0x 变到终值 x时，对应的
函数值也由 0( )f x 变到 )(xf ，则把自变量的终值与初值
的差 0x x 称为自变量的增量（或自变量的改变量），
记为 x ，即 x ＝ 0x x ；而函数的终值与初值的差，
即 )(xf － 0( )f x ，称为函数的增量（或函数的改变量），
记为 y ，即 y ＝ )(xf － 0( )f x ，由于 x ＝ 0x x . 故：
自变量的终值可表示为： 0x x + x .
1.5.1 函数的连续性定义
1. 函数的增量
函数的增量可表示为： y ＝ 0( )f x x － 0( )f x .
函数增量的几何意义如图 1-13 所示,由图可见，
当自变量的增量 x 变化时，相应的函数的增量 y
一般也随之改变，且 x ， y 均可正可负，如当 0x x
时，就有 x ＜0．
图 1-13
y)(xfy
y
x
0x xＯ 0
x x
图 1-14
2. 连续 在几何上，一个函数是连续变化的,那么,它的图像就是一
条连绵不断的曲线,在图 1-13中，函数曲线 )(xfy 在点 0x 处
是连续的．当 x变化经过点 0x 时，其对应函数值是渐变的（没
有突变）．当 x → 0时，（即 0x x ） )(xf → 0( )f x ．在
图 1-14中，函数曲线 )(xfy 在点
0x 是不连续的，当x变化经过 0x 点
时，其对应的函数值却发生了跳 跃式的突变，（剧烈变化），当
x → 0时， )(xf 不趋于 0( )f x ，根
椐上面的观察和分折，我们给出
函数在点 0x 处连续的定义：
y
x
)(xfy
y
x
0xＯ 0
x x
)( 0xf
)(xf
定义 1.19 设函数 )(xfy 在点 0x 的某个邻域内有
定义，如果自变量的增量 x 趋于零时，对应的函数增量
y 也趋于零，即
0 00 0lim lim ( ) ( ) 0x x
y f x x f x
，
则称函数 )(xfy 在点 0x 处连续，称点 0x 为函数的连续
点．
由于 x ＝ 0x x ， y ＝ )(xf － 0( )f x 当 x → 0 时，
0x x ．因此得到与定义 1.19等价的定义：
定义 1.20 设函数 )(xfy 在点 0x 的某个邻域内
有定义，如果当 0x x 时，函数 )(xf 的极限存在，且等
于它在点 0x 的函数值 0( )f x ，即
0
lim ( )x x
f x
= 0( )f x ，
则称函数 )(xfy 在点 0x 处连续．
若0
lim ( )x x
f x
= 0( )f x ,则称函数 )(xfy 在点 0x 处左连
续． 若
0
lim ( )x x
f x
= 0( )f x ,则称函数 )(xfy 在点 0x 处右连
续．
定理 1.7 函数 )(xfy 在点 0x 处连续的充分必
要条件是
0
lim ( )x x
f x
=0
lim ( )x x
f x
= 0( )f x .
定义 1.21 如果函数 )(xfy 在区间（ ba, ）或
［ ba, ］上的每一点都连续，则称函数 )(xf 在（ ba, ）
或［ ba, ］内是连续的．如果函数 )(xfy 在其定义域
内的每点均连续，则称函数 )(xf 在其定义域内是连续
的．
函数 )(xfy 在某点0x处连续的条件是：
（1） 0( )f x有意义，即 0( )f x存在．
（2） 0
lim()x x
f x存在. 即
0
lim()x x
f x
=0
lim()x x
f x．
（3） 0
lim()x x
f x
= 0( )f x．即极限值等于函数值．
以上三条同时满足，则函数 )(xf 在点0x处连续，若
其中任何一条不满足，函数 )(xf 在点0x处就是间断
的，称这样的点为函数的不连续点或间断点．
3. 间断
例如，函数 )(xf =2 1
1
x
x
，由于在x=1处没有定义，即
(1)f 不存在，故这个函数在 x=1处不连续，如图 1-15.
图 1-15
x
y
o 1
2
1
)(xf
又如 函数
.1,1
,1,0
,1,1
)(
xx
x
xx
xf 虽然在x=1 处有定义，
但由于1
lim ( )x
f x
=2．1
lim ( )x
f x
=0， 即1
lim ( )x
f x
不存在，故
这个函数在x=1处不连续，如图 1-16.
)(xf
x
y
o 1
2
图 1-16
再如 函数
.1,0
,1,1)(
x
xxxf 虽然在 x=1处有定义，
且1
lim ( )x
f x
=2也存在，但因为1
lim ( )x
f x
≠ )1(f 故这个函数在
x=1处不连续，如图 1-17.
图 1-17
x
y
o
2
1
)(xf
通 常 把 间 断 点 分 为 两 类 ．设 0x 是 函 数 )( xfy 的 间
断 点 ，若 左 极 限0
l i m ( )x x
f x
与 右 极 限0
l i m ( )x x
f x
都 存 在 ，则
称 0x 为 第 一 类 间 断 点 ； 其 余 间 断 点 统 称 为 第 二 类 间 断
点 .
若0
l i m ( )x x
f x
= ∞ ， 亦 称 0x 点 为 无 穷 间 断 点 ． 在 第 一
类 间 断 点 中 ，
若0
l i m ( )x x
f x
≠0
l i m ( )x x
f x
时 ，称 这 种 间 断 点 为 跳 跃 间
断 点 ．
若 0
l i m ( )x x
f x
=0
l i m ( )x x
f x
时 称 这 种 间 断 点 为 可 去 间
断 点 ．
例 1 讨论函数2
1y
x 在 x=0处的连续性.
解 2
1y
x 在x=0处无定义，且
20
1limx x
，
故x=0 是函数2
1y
x 的第二类间断点，亦称无穷
间断点．
例2 设2, 1,
()1, 1.
x xf x
x x
讨论 )(xf 在 1x
处的连续性．
解 因为1
lim ( )x
f x
= 2
1limx
x
=1，
1lim ( )x
f x
=1
lim( 1)x
x =2
1lim ( )x
f x
不存在． x=1 是 )(xf 的不连续点．故
1x 是 )(xf 的第一类间断点,且为跳跃间断点．如图
1-18
o x
y
2)( xxf
1)( xxf
图 1-18
例3 设
4
, 0,( )
1, 0.
xx
f x xx
讨论 )(xf 在 0x 处的
连续性．
解 1)0( f 4
0lim 0x
x
x 即
0lim ( )x
f x
≠
)0(f
故 x=０是 )(xf 的第一类间断点，且为可去间
断点，如图 1-19
xo
y
1
图 1-19
1.5.2 初等函数的连续性1.初等函数的连续性
定理 1.8 连续函数经四则运算仍是连续函数 ( 作为商的函数除数不为零 ).
定理 1.9 连续函数构成复合函数仍是连续函数 .
定理 1.10 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 .
定理 1.11 一切初等函数在其定义区间内都是连续的 .
如果函数)(xf 在0x点连续，那么0
lim()xx
fx
= 0( )fx＝
0
(lim)xx
f x
即:极限符号与函数符号可以互相交换．
2. 利用函数的连续性求极限
例4 求 2
0lim1x
x．
解 设 )(xf = 21 x 这是一个初等函数，它的定义域是[－1,1],而点 x=0在该区间内，故由初等函数的连续性，有 2
0lim1x
x = )0(f = 21 0 =1．
例 5 求 1
0lim ln(1 ) x
xx
.
解 利用复合函数求极限的方法，有 1
0lim ln(1 ) x
xx
=
1
0ln[lim(1 ) ] ln e 1x
xx
.
定义 1.22 若 1x， 2x ∈［ ba, ］，且对该区间内的
一切x，有
1( )f x ≤ )(xf ≤ 2( )f x ，
则称 1( )f x , 2( )f x 分别为函数 )(xf 在闭区间［ ba, ］上的
最小值与最大值.
性质 1 最值定理
1.5.4 闭区间上连续函数的性质
定理 1.12 （最大值、最小值定理） 闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值． 从几何上看，一段有限长的连续曲线上，必有一点最高，
也有一点最低，如图 1-20 .
若 )(xf 在开区间内连续或在闭区间上有间断点，则 )(xf
不一定有最大值和最小值.
图 1-20
a 1x 2x b x
y )(xfy
例如， )(xf =x在开区间(0,1)内连续，但在(0,1)内
它既没有最大值也没有最小值，又如 )(xf =x
1在[－1,1]
上有一个无穷间断点 x =0，它在[－1,1]上也没有最大值和最小值．
性质 2 零点定理 定理 1.13 （零点定理）
若函数 )(xf 在闭区间［ ba, ］上连续，且 )(af 与 )(bf 异号，则
在（ ba, ）内至少存在一点，使得
)(f ＝０.
零点定理又称为根的存在定理，从几何上看，如图 1-21，若
连续曲线 )(xf 的两个端点位于 x轴的不同侧，那么，这段曲线弧与
轴至少有一个交点，函数 )(xf 的零点就是方程 )(xf ＝０的实根，
此定理常用来判断方程 )(xf ＝０在某区间是否存在实根．
)(bf
C
)(af
y
xa bo2
3
1
)(xfy
图 1-21 图 1-22
)(xfy y
xo a b
定理 1.14 （介值定理）
若函数 )(xf 在闭区间［ ba, ］上连续，且 )(af ≠ )(bf 那么，对
介于 )(af 与 )(bf 与之间的任一常数Ｃ，在开区间（ ba, ）内至少存
在一点使得 )(f ＝Ｃ（证明从略）．
从几何上看，闭区间［ ba, ］上的连续曲线孤与水平直线至少相交于一点，如图 1-22．表明连续函数在变化过程中必定经过一切中间值，从而反映了变化的连续性．
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M和最小值m之间的任何值．
设 m= 1( )f x ,M= 2( )f x而 m≠M在闭区间 1 2[ , ]x x或 2 1[ , ]x x
上应用介质定理，即得此推论．
性质 3 介值定理
例 6 证明方程 2 cos sin 0x x x ，在 3
[π, π]2内至少有一个实
根．
证 设 2( ) cos sinf x x x x
由于 )(xf 为初等函数，且在 3
[π, π]2上有定义，故 )(xf 在
3[π, π]
2上连续，又 2(π) π 0,f
3( π) 1 0,2
f 根据零点定理可
知，至少存在一点 ∈3
[π, π]2，使得 2( ) cos sin 0f
即方程 2 cos sin 0x x x 在3
(π, π)2内至少有一个实根．
1.5 小结
3 初等函数的连续性
1 函数连续性概念
2 函数的间断
4 闭区间上的连续函数的性质
1.6 导数的概念
1.6.1 两个实例
1.6.2 导数概念
1.6.3 可导与连续
1.6.4 求导公式
1.6.5 函数的和、差、积、商的求导法则
1.6 小结
1.6.1 两个实例
1. 变速直线运动的瞬时速度
设在0
t 时刻物体的位置为 )(0
ts ．
0 00
0 0 0
( ) ( )( ) lim lim lim
t t t
s t t s tsv t v
t t
即,物体运动的瞬时速度是位置函数的增量和时间的增量之
比当时间增量趋于零时的极限．
2. 总产量的变化率
设某产品的总产量P是时间 t的函数： )(tfP
如果极限
t
tfttftP
tt
)()(limlim 00
00
存在，则把此极限值称为 0t 时刻的总产量的变化率，也称
生产率．
1.6.2导数概念
定义 1．23导数的定义
设函数 )(xfy 在点 0
x的某一邻域内有定义，当自变量
x 从0
x 变 化 到 0x x 时 ， 相 应 地 函 数 有 增 量
)()(00
xfxxfy ，如果极限0 0
0 0
( ) ( )lim limx x
f x x f xy
x x
存在，那么这个极限值称为函数 )(xfy 在点 0
x的导数（也
叫微商）．并且说，函数 )(xfy 在点 0
x处可导，记作 )(0
xf ,
也可记为
0
0 0
d ( ) d,
d dx xx x x x
f x yy
x x
或.
即
xxfxxf
xy
xfxx
)()(limlim)( 00
000.
如果极限不存在,称函数 )(xfy 在点 0
x处不可导．
如果固定0
x ,则当 0x 时,有0
xx ,故函数在 0
x 处的导
数 )(0
xf 也可表为
0
0
0
)()(lim)(
0 xxxfxf
xfxx
.
函数在任意点的导数称为导函数,也叫导数．
有了导数这个概念，前面两个问题可以重述为：
(1)变速直线运动在时刻0
t 的瞬时速度，就是位置函
数 )(tss 在0
t 处对时间t的导数，即
00
d( )
d t t
sv t
t .
(2)某产品在 0
t 时刻的总产量的变化率就是该产品的
总产量函数 )(tfP 在0
t 处对时间t的导数,即
0
0
d( )
d t t
PP t
t
.
根据导数的定义，求函数 )(xfy 在任意点 x处的导数
)(xf ，可分三步：
（1）求增量： )()( xfxxfy .
（2）算比值：x
xfxxfxy
)()(
.
（3）取极限：xy
xfyx
0lim)( .
解（1） 32233 33)()()( xxxxxxxxxfxxfy .
（2） 22
322
3333
xxxxx
xxxxxxy
.
（3） 222
003)33(limlim)( xxxxx
xy
xfyxx
.
所 以
3 2
2 2
1 1
( ) ( ) 3
(1) ( ) 3 3 1 3.x x
f x x x
f f x x
例 1 设函数 3)( xxf ，求 )1(),( fxf .
２.导数的几何意义
导数的几何意义为 函数 )(xfy 在点 0
x处的导数等
于曲线 )(xfy 在点 ),(000
yxM 处的切线的斜率．（见图 1.23）
x
O xx 00x
0M
M T
N
y
x
y
图 1.23
曲线在该点 ),(00
yx 处的切线方程和法线方程
若 )(0
xf 存在，则曲线 )(xfy 在点 ),(000
yxM 处的切线方
程为：
))((000
xxxfyy .
若 )(0
xf 存在且 )(0
xf ≠ 0，则曲线 )(xfy 在点 ),(000
yxM
处的法线方程为：
)()(
10
0
0xx
xfyy
.
解 由例 1可知 .3)3()()1(1
2
1
3 xx
xxf
即 3k .
由直线的点斜式方程可知曲线在点 A(1，1）处的切线方
程为 )1(31 xy 即 023 yx ，
法线方程为 )1(31
1 xy 即 043 yx .
例2 求曲线 3)( xxfy 在点A(1，1）处的切线方程和
法线方程．
1.6.3 可导与连续
观察下图
O O O
y y y
x0 x x0 x
x
x0 x
可以看到： )(a 在 0
x处不连续， )(0
xf 一定不存在； )(),( cb
在0
x处 )(xf 是连续的，但显然不可导.
由此可得：
结论1 若 )(xfy在点 0x处可导，则 )(xfy在点 0x处
一定连续；
结论2 若 )(xfy在点 0x处连续，则 )(xfy在点 0x处
却不一定可导；
结论3 若 )(xfy在点 0x处不连续，则 )(xfy在点 0x
处一定不可导．
1.6 小结
１．导数的概念
２．可导与连续的关系
1.7 复合函数的求导法则
1.7.1导数的基本公式与求导法则
1.7.2 复合函数的求导法则
1.7.3 高阶导数
1.7 内容小结
1 . 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式
（ 1 ） 0C （ C 为 常 数 ） ； （ 2 ）
1( )x x ；
（ 3 ） xx ee ； （ 4 ） aaa xx ln
；
（ 5 ） 1l n 'x
x ； （ 6 ）
1( l o g ) '
l na xx a
；
（ 7 ） ( s i n ) ' c o sx x ； （ 8 ） ( c o s ) ' s i nx x ；
（ 9 ） xx 2sectan ； （ 1 0 ） xx 2csccot
；
（ 1 1 ） s e c s e c t a nx x x ； （ 1 2 ） c s c c s c c o tx x x ；
（ 1 3 ） 2
1( a r c s i n ) '
1x
x
； （ 1 4 ） 2
1( a r c c o s ) '
1x
x
；
（ 1 5 ） 2
1( a r c t a n ) '
1x
x
； ( 1 6 ） 21
1cotarc
xx
.
1.7.1 导数的基本公式与求导法则
2. 函数的和、差、积、商的求导法则
设函数 ( )u u x 和 xvv 都可导，则
(1) vuvu ；(2) vuvuuv ；(3) uCCu (C为常
数)；(4)2v
vuvuvu
（ 0v ）； (5)
2
1vv
v
（ 0v ）.
3. 复合函数的求导法则
设函数 )(ufy ， )(xu 都可导，则复合函数 y f x 的导数为
xufxy
dd
或xu
uy
xy
dd
dd
dd .
解 （1） 222 2)( xxxxxxy .
（2） xxxy
2 .
（3） xxxxy
yxx
2)2(limlim00
.
即 xx 2)( 2 .
一般地，对于幂函数 xy ，可得出结论
()( 1 xx 为实数）.
例 1 求函数 2xy 的导数.
解 (1)2
sin)2
cos(2sin)sin(xx
xxxxy .
(2)
2
2sin)
2cos(
2sin)
2cos(2
x
xxx
x
xxx
xy
.
(3) xxx
xx
xxy
yxx
cos1cos
2
2sin
)2
cos(limlim00
即 xx cos)(sin .
例 2 设 xy sin ，求 y．
1. 7. 1 函数的和、差、积、商的求导法则
定理 1.15 设函数 )(xuu 与 )(xvv 在点 x处可导，则函数
)()( xvxu 、 )()( xvxu 、 )0)(()()( xv
xvxu 在该点也可导，且有
（1） )()(])()([ xvxuxvxu .
（2） )()()()(])()([ xvxuxvxuxvxu .
特殊地， cxucxcu ()(])([ 为常量）
（3） / 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) [ ( )]
u x u x v x u x v x
v x v x
.
特殊地 )()(
])(
[2 xv
xvcxv
c .
例 3 设 2ln32 xx
xy ，求 y.
解 xx
xxx
xy2
132)2(ln)()
3()(
2
2 .
例 4 设 xxy ln10 5 ，求 y．
解 )1
ln5(10)ln(10)ln10( 5455
xxxxxxxxy = )1ln5(10 4 xx .
例 5 求 xy tan 的导数．
解 x
xxxxxx
x2cos
)(cossincos)(sin)
cossin
()(tan
= xxx
xx 2
22
22
seccos
1cos
sincos .
1.7.2 复合函数的求导法则
定理 1.16 设函数 )]([ xfy 由 )(ufy 及 )(xu 复合而
成，若函数 )(xu 在点 x处可导， )(ufy 在对应点 u处也
可导，则复合函数 )]([ xfy 在点 x处可导，且
d d d
d d d
y y u
x u x
或写成
xuxuyy 或 ).()( xufy
x
即 复合函数的导数等于外层函数对中间变量的导数与中间
变量对自变量的导数之积．
显然，以上法则也可用于多次复合的情形．
例 如 ， 设 )( ufy ， )(),( xvvu 均 可 导 ， 则
d d d d
d d d d
y y u v
x u v x
例 6 设 xy 3sin ，求d
d
y
x．
解 将 xy 3sin 看 成 xuuy 3,sin 复 合 而 成 的 函 数
由 复 合 函 数 的 求 导 法 则
d d d
c o s 3 3 c o s 3d d d
y y uu x
x u x .
例 7 设 3)53( xy 求 d
d
y
x .
解 将 3)53( xy 看 成 3 3 5y u u x 与 复 合 而 成 的 函 数 ， 故
3 2 2d( ) ( 3 5 ) 3 3 9 ( 3 5 ) .
d
yu x u x
x
注意：对于经过三次或三次以上复合而成的初等函数,可以通
过重复使用复合函数的求导法则来求之,只是在使用复合函
数求导法则时,外层函数总是取基本初等函数,剩下的部分作
为内层函数即中间变量.
解
)
122
1(1
1
)1(1
1
])1[ln(
22
2
2
2
xx
xx
xxxx
xxy
2
2 2
2
1 1
1 11
.1
x x
x x x
x
例 8 设 )1ln( 2 xxy ，求 y.
1.7.3 高阶导数
定义1.24 一般地，函数 ( )y f x 在x处的导数[ ( )]f x 存
在，则称其为 ( )f x 在x处的二阶导数，记作
( )f x ， y，2
2
d
d
y
x．
类似地可定义三阶、四阶 … n阶导数，其记法分别为三
阶导数： y，n阶导数： ( )ny ， ( ) ( )ny x ，d
d
n
n
y
x (n≥4)．
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数，求高阶导数只需要进行一系列的求导运算即可．
例 9 已知运动质点的路程函数为 2( ) 2 3 1S t t t （单位：米）
求 2t 秒时的速度和加速度．
解 由导数的物理意义可知
2
2 2 2( ) (6 3) 27
t t tV S t t
；
2 2 2
( ) 12 24t t t
a S t t
．
即 2t 秒时，运动质点的速度为 27米/秒，加速度为 24米/秒 2．
例 10 求 3xy 的 n阶导数.
解 3 ln3xy ， 23 ln3xy ， … ， ( ) 3 ln3nn xy ．
1.7 内容小结
1. 导数的基本公式与运算法则
2. 复合函数的求导法则
3. 高阶导数
1.8 微分及其应用
1.8.1 微分的概念
1.8.2 微分公式
1.8.3 复合函数的微分
1.8.4 微分的应用
1.8 内容小结
解 设此薄片的边长为 x,面积为 A,
则 2xA 当自变量 x在
0x有增量 x 时,
相应的面积增量为 2
0
2
0
2
0)(2)( xxxxxxA
A 由两部分组成,
第一部分是 xx 0
2 是 x 的线性函数,
当 0x 时,第二部分 2)( x 是比 x 高阶的无穷小,
由此可见,如果边长改变很微小时,面积的改变量 A 可近
似地用第一部分代替.
例 1 一块正方形金属薄片受温度的影响,其边长由0
x 变到
,0
xx 问此薄片的面积改变了多少？
2 0 x A
0 x
x
x
0 x
x
0 x
2 x
1.8.1微分的概念
1. 定义 1.25 设函数 ( )y f x 在点x处可导，则称 '( )f x x 为
函数 f(x)在点x处的微分，记为d d ( )y f x或 .
即 d d ( ) ( )y f x f x x .
当函数 ( )f x x 时，函数的微分d ( ) d 1f x x x x x x
即 dx x .
这样函数 ( )y f x 的微分可以写 d ( ) ( )dy f x x f x x
上式两边同除以dx， 有d( )
d
yf x
x ．
由此，导数等于函数的微分与自变量的微分之商，即
d( )
d
yf x
x “ ”这就是导数也叫 微商 的由来．
应当注意：微分与导数虽然有着密切的联系，即可导
可微，但二者又有区别：函数 ( )f x 在点 0x 的导数 0( )f x 是
一个定数，表示函数 ( )f x 在点 0x 处的变化率；而 ( )f x 在
点 0x 的微分 0 0 0d ( ) ( )( )y f x x f x x x 是x的线性函数，
表示函数 ( )f x 在 0x 处由自变量的增量所引起的函数变化
量的主要部分，且当 0x x 时，dy是无穷小．
解 2 2 2 2( ) 2.01 2 0.0401y x x x
在点x=2处，2 2
2 2 2 4x x
y x ，所以
d 4 0.01 0.040y y x ．
比较dy与 y，小数点后前三位一致，可见， x 很小时，
近似程度很高．
例２求函数 2y x 在 2, 0.01x x 时的改变量及微分．
1.8.2 微分的几何意义 函数 ( )y f x 的图像是一条曲线, 它在
0x处的导数 )(
0xf 就是该
曲线在点 ))(,(000
xfxM 处的切线 的斜率 tan . 因此
NTNMxxfy 00
tandd . 结论 函数 )(xfy 在
0x处的微分
在几何上表示曲线 )(xfy 在点 ))(,(000
xfxM 处切线的纵坐标的改变量.（见图 1.24）
O xx 00x
0M
M
T
N
y
dy
x
y
x
图 1.24
1. 微 分 基 本 公 式 （ 1） 0d C （ C 为 常 数 ）； （ 2） xxx dd 1 ； （ 3） xxx deed ； （ 4） xaaa xx dlnd ；
（ 5） xx
x d1
lnd ； （ 6） xax
xa
dln1
logd ；
（ 7） xxx dcossind ； （ 8） xxx dsincosd ； （ 9） xxx dsectand 2 ； （ 10） xxx dcsccotd 2 ； （ 11） xxxx dtansecsecd ； （ 12） xxxx dcotcsccscd ；
（ 13） xx
x d1
1arcsind
2 ； ( 14) x
xx d
11
arccosd2
；
（ 15） xx
x d1
1arctand
2 ； （ 16） x
xx d
11
cotarcd2
；
（ 17） xx
x d1
lnd .
1.8.3 微分公式
2. 函数的和、差、积、商的微分运算法则
设函数 xvvxuu , 在点 x处可微,则 (1) vuvu ddd ； (2) vuuvuv ddd ； (3) uCCu dd ,（C为常数）；
(4) 2
ddd
vvuuv
vu
, )0( v ；
(5) 2
d1d
vv
v
.
解 2 2 2d d(2 e ) (2 e ) d (2 2 e e )dx x x xy x x x x x x x x ．
例３ 求函数 22 exy x x 的微分．
3复合函数的微分法则
由复合函数的求导法则，可以推导出复合函数的微分法则：
设 ( )y f u ， ( )u x ，则复合函数 [ ( )]y f x 的微分为
d d d ( ) ( )dy y x f u x x ．
由于 ( )d dx x u ，
所以 d ( )dy f u u ．
一阶微分形式不变性：不论 u 是自变量还是中间变量，函
数 ( )y f u 的微分形式总保持同一形式d ( )dy f u u ，
解一 cos
d (ln sin ) d d cot d .sin
xy x x x x x
x
解二 1 cos
d d(ln sin ) d(sin ) d cot dsin sin
xy x x x x x
x x ．
解一 2 2 2
d (e ) d e ( 2 )d ( 2 )e dax bx ax bx ax bxy x a bx x a bx x .
解二 2 2 22d d(e ) e d( ) ( 2 )e d .ax bx ax bx ax bxy ax bx a bx x
例４ 求 ln siny x 的微分．
例５ 求2
eax bxy 的微分．
解一
解二 2 2 2 2 2
2 2 2
d(e ) e d e d(2 ) e d e (2 1)d d .
x x x x xx x x x x xy x
x x x
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2
e e (e ) e ( )d d( ) ( ) d d
2e e 1 e (2 1)d d .
x x x x
x x x
x xy x x
x x x
x xx x
x x
例６ 设2e x
yx
，求 dy .
1. 8. 4 微分在近似计算中的应用 如果 )(xfy 在点
0x处的导数 0)(
0 xf ,且 x 很小时,有
(1) 0d ( )y y f x x (2) xxfxfxxfy )()()(
000
(3) xxfxfxxf )()()(000
(4) ))(()()(
000xxxfxfxf
取 00x ,得
(5) xffxf )0()0()( 应用第 5个公式,可以得以下几个工程上常用的近似公式： 假设 x 很小,有
① nx
xn 11 ② xx )1ln( ③ e 1x x
④ )(sin 取弧度数xxx ⑤ xx tan （x取弧度数）
解 数 3 8 . 0 2 可 看 作 函 数 3( )f x x 在 点 x = 8 . 0 2 处 的 函 数 值 .
取 0 8 , 0 . 0 2x x , 则 3( 8 ) 8 2 ,f 2
3
8
1 1( 8 )
3 1 2x
f x
( 8 . 0 2 ) ( 8 0 . 0 2 ) ( 8 ) ( 8 )
1 12 0 . 0 2 2 2 . 0 0 1 7
1 2 6 0 0
f f f f x
所 以
即 3 8 . 0 2 2 . 0 0 1 7 .
解 应用近似公式（5）得 0.03e 1 0.03 0.97 ．
例７ 求 38.02的近似值.
例８ 计算 0.03e的近似值.
1.8 内容小结
１．微分的概念
２．微分公式
３．函数的和、差、积、商的微分运算法则
４. 微分应用
