第一章 导数与微分1.1 函数及其性质

1.2 极限1.3 极限的性质与运算法则

1.4 两个重要极限

1.5 函数的连续性

1.6 导数的概念1.7 导数的运算

1.8 函数的微分及应用

第一章 导数与微分

1.1 函数及其性质

1.1 内容小结

1.1.1 函数的概念1.1.2 复合函数1.1.3 分段函数1.1.4 经济中常用的几个函数

定义 1.１ 设 x和 y是两个变量，数集D是变量 x的变化范围，如果对于属于D的每个数 x，变量 y按照一定的规律f总有确定的数值与它对应，则称 y是 x的函数，记作

y= f（x）x∈ D .

称变量 x 是自变量，变量 y 是函数（或因变量）．数集 D 是函数的定义域，表示对应规律的 f是函数（function）的记号．

1.1.1 函数的概念

一 . 函数的定义

若对于确定的 0x∈D，通过对应规律 f，函数 y有惟

一确定的值 0y与之对应，则称 0y为=()yfx在 0x处的函数

值，记作 0y= 0|xxy=f（0x），

函数值的集合，称为函数的值域，记作 M．

说明：

（1）若对于D中的每个x的取值， y有唯一的值与之对

应，称这样的函数为单值函数，否则叫做多值函数，本书所讨论的函数一般都是指单值函数．

（2 “）一般函数的对应规律用字母 f ”来表示，对不同

的函数的对应规律可以用不同的字母如g、 h 来表示.

（3）函数的表示法：公式法、图形法、列表法．

（4）函数的两要素：定义域（D）和对应规律（ f ），

两个函数相等的充要条件是定义域相同且对应规律相同. （5）确定用公式法表示的函数定义域，应考虑两种情况，

一是，确定使该式子有意义的自变量的全体，二是，对实际问题要根据变量的实际变化范围来确定，定义域一般用区间表示．

一般地，应注意如下几点： (1) 分母不能为零； (2) 偶次根号下非负； (3) 对数的底大于零而不等于 1 、真数大于零； (4) 三角函数和反三角函数要符合其定义； 如果函数的表达式由若干项组合而成，则它的定义域是各项定义域的公共部分 .

例1 设 2() 2 1y fx x x ，求： 0(0), (1), ( )f f fx

解 20| ( 0 ) 2 0 0 1 1xy f

21| (1 ) 2 1 1 1 2xy f

0

20 0 0| ( ) 2 1x xy f x x x

例2 设2(1) 3,fxxx求)(xf

解 令 ,1 tx 则 1tx

所以 2 2( ) ( 1) 3( 1) 5 4f t t t t t

即 2( ) 5 4f x x x

例 3 确 定 下 列 函 数 定 义 域 ：

（ 1 ）x

y

1

1；

（ 2 ） 21y x ；

（ 3 ） 2

12

4y x

x

；

（ 4 ） 2l g ( 1 )y x x ．

解（1）要使函数有意义，必须使 01 x ，即 1x

因此 函数定义域是 )1,( ∪ ),1(

（2）要使 21x有意义，必须使21x≥0 即2 1x，

1x，因此 函数定义域是]1,1[ （3）这是两个函数之和的定义域，先分别求出每个函

数的定义域，然后求其公共部分即可，使函数 2

1

4 x有意

义，必须满足 24 x 0,即 2x

而使函数 2x 有意义，必须满足 02x 即 2x

因此，函数的定义域是 )2,2( ∪ ),2(

（ 4） 2lg(1 )x 的定义域满足不等式 21 0x ,解得

11 x ， x的定义域是 0x .因此，函数的定义域是 )1,0[

定义 1.２ 设给定函数 )(xfy ，如果把 y当作自变量，

x当作函数，则由关系式 )(xfy 所确定的以 y为自变量的新

函数 )(yx 叫做函数 )(xfy 的反函数，而 )(xfy 称为直

接函数．

习惯上总是用x表示自变量，而用 y表示函数，因此，往

往把 )(yx 改写成 )(xy ，记作

)(1 xfy ，

二 反函数

定义 1.３ 设函数 )(xfy 的定义域Ｄ关于原点对称

（即若 Dx ，则必有 Dx ）若对任意 Dx ，有

（1） )()( xfxf ，则称 )(xf 为偶函数；

（2） )()( xfxf ，则称 )(xf 为奇函数．

三 函数的几种特性1. 函数的奇偶性

奇函数的图形关于坐标原点对称；偶函数的图形关于 y

轴对称．

例如，函数 2( )f x x ， xxf cos)( 等都是偶函

数． 3( )f x x ， xxf sin)( 等都是奇函数．

定义 1.４ 设函数 )(xf 在区间I上有定义，对于区间内

任意两点 1x和 2x ，当 1x＜2

x时，恒有

（１） 1( )f x ＜ 2( )f x ，则称函数 )(xf 在 I上是单调增加的．

（２） 1( )f x ＞ 2( )f x ，则称函数 )(xf 在 I上是单调减少的．

2. 函数的单调性

单调增加或单调减少的函数统称为单调函数，若 )(xf 在

区间I上是单调函数，则称该区间是函数的单调区间．

定义 1.５ 设函数 )(xf 的定义域为D ,若存在一个非零

常数T ,对于任意 Dx ,有 )( Txf = )(xf

成立，则称 )(xf 是周期函数，称T是它的一个周期.

3. 函数的周期性

例如，函数 xyxy cos,sin的周期是2π．

xyxy cot,tan的周期是π．

定义 1.６ 设函数 )(xf 在区间I上有定义，若存在正数

M，使得对任一 Ix ，有

| )(xf |≤ M，

则称 )(xf 在区间 I上是有界函数，若这样的M不存在，就称

)(xf 在I内是无界函数.

4. 函数的有界性

例如，函数 xy sin 在 ),( 内是有界的,因为对任意

),( x ，存在M =1，使得| xsin |≤ 1 恒成立.

1.1.2 复合函数

一 基本初等函数二 复合函数三 初等函数

1. 常量函数 Ｃy （Ｃ为常数）；

2. 幂函数 y x （为实数）；

3. 指数函数 xy a （ aaa ,1,0 为常数）；

4. 对数函数 logay x （ aaa ,1,0 为常数）；

一 基本初等函数

基本初等函数通常指以下六类函数：常量函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数．

5 . 三 角 函 数 xy sin ， xy cos ， xy tan ， xy cot ，

xy sec ， xy csc ；

6 . 反 三 角 函 数 xy arcsin ， xy arccos ，

xy arctan ， . a r c c o ty x

这 六 种 函 数 统 称 为 基 本 初 等 函 数 ．

定义 1.７ 设 )(ufy 是u的函数， )(xu 是x的函数，

如果由x所确定的u使得 y有意义，则把 y叫做x的复合函

数．记作

)]([ xfy ．

u称为中间变量， )(uf 称外层函数， )(x 称内层函数．

二 复合函数

例 4 指出下列复合函数的复合过程．

(1) 2siny x ， (2) )arcsin(ln xy ．

解

(1) 2siny x 是由 2y u ，和 xu sin 复合而成的．

(2) )arcsin(lnxy 是由 uy arcsin 和 xu ln 复合而成

的．

定义 1.8 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合

所构成的，并且可以由一个解析式子表示的函数，叫做初等函数．

三 初等函数

例如， 2sin1y x，21xya， 2lnsiny x，exy 等

等都是初等函数．

如

.10),10(9.18.12

;104),4(3.15

;40,5

xx

xx

x

y

1.1.3 分段函数定义 1.9 在自变量的不同变化范围内，函数的对应关系是不相同的，称这种函数叫分段函数．

注意:(1)分段函数是定义域上的一个函数，不要理解为多个函数，(2)它的定义域是各部分的自变量取值集合的并集，(3)求分段函数的函数值0()fx时，要根据 0x所在的范围选用

相应的解析式，其图形要分段作出.

例 5 某商品共有 1000 吨可供销售，每吨定价 80 元，若销售量在 800吨以内，按原定价格出售；若销售量超过 800

吨，则超过部分打九折价格优惠出售，试求收益函数 )(qR ．

解 由于在不同的销售量范围价格不同，因此必须将

需求量（销售量）q分段来考虑：

可表示为

.1000800),800%(908080080

;8000,80)(

qq

qqqR

例 6 设函数

2 , 2 0;

( ) 2, 0;

1 ,0 3.

x x

f x x

x x

求函数的定义域；

（１）求 )1(),0(),1(),2( ffff ；

（２）作出函数的图形．

解 （ １ ） 函 数 的 定 义 域 是 ]3,2[ ．

（ ２ ） 由 于 )0,2[2 ， 2( )f x x ， 故2( 2 ) ( 2 ) 4f ；

同 理 2( 1 ) ( 1 ) 1f ； 2)0( f ； 211)1( f ．

（３）利用描点法，分段作出各部分函数图形，如图1-1所示

2xy xy 1

Ｏ x

y

1

2

图 1-1

1.1.4 几种常见的经济函数

一 线性函数模型二 指数函数模型

三 内容小结

用数学方法解决实际问题，通常要把实际问题化成数学问题，也就是建立数学模型，简称建模 .

线性函数模型的一般形式可表示为

baxxfy )(

其中a和b是实常数．定义域 xxD | .它的图形是一

条直线, a表示直线的斜率,b表示直线在 y轴上的截距,如图 2-2.

特别地,当a=0时, y=b.这是一条水平直线，如图 2-3.

图 1-2 图 1-3

一 线性函数模型

x0

bby

baxy

y

x

y

b

0

例 7 总成本函数模型 在 1.1 例 2 中已介绍过水泥的总成本函数为

3000120 qC ．可用一般形式表示该总成本函数模型:

1 0( )C C q q Ｃ Ｃ

其中: 0Ｃ——固定成本，即产量q=0时的成本.

1Ｃ——单位可变成本，即每增加一个单位产品所增加的

成本，它的图像是纵截距为 0Ｃ，斜率为 1Ｃ的直线，如图 1-4.

图 1-4 图 1-5

R

q0

1 0C CC q

qPR0

q0

0C

C

例 8 收益（销售收入）函数模型

商品的收益R依赖于商品的价格 p和销量 q，其函数模

型为 pqR

当商品的市场价格是一个常数 0p 时,收益只随销售量的

增减而增减, 此时的函数模型为

0R p q

其图像是斜率为 0p ，过原点(0,0)的直线，如图 1-5．

根据 利润=收益－总成本，可得到利润函数模型： ( ) ( ) ( )rP q R q C q

若 0( )R q p q ， 1 0( )C q q Ｃ Ｃ，

则 0 0 1 0 0( ) ( ) ( ) .rP q p q q p q １Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ

若当 0q q 时， 0( ) 0rP q ．则 0q 称为损益分岐点（又称保

本点或盈亏平衡点）．由 0)(0qP

r，解出 0q ，即得损益分岐点

模型：

00

0 1

qP

ＣＣ

例 9 利润函数模型

损益分岐点 0q 的经济意义

可由图 1-6来说明． 由图 1-6 可知 ,当产量

0q q 时，总成本高于收益,因此

亏损；当 0q q 时，收益高于总

成本，因此盈利；当 0q q 时，

总成本等于收益，因此盈亏平衡．

R

C

qpR 0

qCCC 10

q

图 1-6

例 10 单利模型 单利是金融业务中的一种利息，某人在银行存入现金 2

万元，年利率为 10%，问 3年之后本利和多少？

解 设 初 始 本 金 P ， 年 利 率 r ， 利 息 c ， 单 利 I ， 本 利和 A ， 存 款 t 年 ．

因 为 年 利 率P

Cr

本金利息 , 即 PrC ， 故

第 一 年 单 利 ， 1 1 P rI C ,

第 二 年 单 利 2 2 2 P rI C

… …

第 t 年 单 利 P rtI t C t

所以，第t年本利和 t tA P I

即 PrtA P t

可得本利和与计息时间的函数关系，即单利模型： (1 )tA P t r

把 P 2万元, r 10% ， t 3年代入得

3 2(1 30.1) 2.6A （万元）

即3年后本利和是 6.2 万元．

指 数 函 数 模 型 的 一 般 形 式 可 表 示 为 ：

( ) xy f x a ， )1,0( aa ．

定 义 域 ),( D ．

当 1a 时 ,函 数 单 调 增 加 ， 它 常 被 用 作 复 利 计 算 和 人 口 增 长 计算 模 型 ．

当 10 a 时 ， 函 数 单 调 减 少 ， 它 常 被 用 来 建 立 由 终 值 求现 值 和 设 备 贬 值 计 算 的 模 型 ．

二 指数函数模型

所谓复利计息，就是将每期利息于每期之末加入该期本金，并以此为新本金再计算下期利息．

某人在银行存现金P元，年利率r，每年结算一次，利息仍留在存款中，问在t年之后，本利和多少．

解 设 本 金 P ， 年 利 率 r ， 存 款 t年 ， 本 利 和 tA

因 为 每 年 本 金 和 利 息 仍 留 存 款 中 ,所 以

1 年 后 的 本 利 和 1 (1 )A P r

2 年 后 的 本 利 和 22 1 (1 ) (1 )A A r P r

… …

t年 以 后 本 利 和 (1 ) ttA P r

例 11 复利模型

由 此 得 本 利 和 复 利 计 算 模 型 ：

( 1 ) ttA P r

显 然 , 这 是 一 个 指 数 函 数 ， 它 的 底 （ r1 ） 大 于 １ , 由 于 每年 结 算 一 次 ， 因 此 其 定 义 域 是 正 整 数 集 ．

在 例 4 中 ， 对 同 样 的 本 金 和 年 利 率 , 若 按 复 利 模 型 计 算 ，则 第 三 年 末 的 本 利 和 是

33 2 ( 1 0 . 1 ) 2 . 6 6 2A ( 万 元 ) .

例 6 设备贬值模型

一辆价值为A的汽车，以这样的方式来贬值：每年汽车

的价值是前一年的3

2，试求第t年后该汽车的价值．

解 设汽车的价值 A， t年后汽车价值 )(tf .

第1年后贬为 A3

2

第2年后贬为 2 2

( )3 3

A 2

2

3A

……

第t年后贬为 2

3

t

A

即得t年后汽车贬值模型为()f t 2

3

t

A

根据这个模型可知，时间愈长，汽车价值愈低．

例如经过8年，汽车的价值为)8(f82

3A≈（0.04）A.

亦即只有原来价值的百分之4.

解 设每年付款一次，每次付款Q元，共付t年，年利

率为r．复利周期为１年，年金本利和为t

A．

所谓年金本利和，是指每年付一次款，每年复利一次，若干年后的全部付款和全部利息累积之和．

例７ 年金本利和模型

第 1 次 付 的 款 所 得 到 的 本 利 和 为 1(1 ) tQ r ,

第 2 次 付 的 款 所 得 到 的 本 利 和 为 2(1 ) tQ r

… …

第 t 次 付 的 款 所 得 到 的 本 利 和 为 0(1 )Q r Q

年 金 本 利 和 tA 应 为 上 面 各 次 付 款 所 得 本 利 和 总 和 ， 即

tA 1(1 ) tQ r + 2(1 ) + + tQ r Q = Qrr t 1)1(

由 此 ,得 到 年 金 本 利 和 模 型(1 ) 1t

t

rA Q

r

1 函数的概念

1.1 内容小结

2 复合函数

3 分段函数

4 经济中常用的几个函数

1.2.1 数列的极限

1.2 极 限

1.2. 小结

1.2.3 无穷小量与无穷大量1.2.2 函数的极限

按正整数顺序排列的无穷多个数

1y，2y，3y…，，ny…，

称为数列，简记作： ny. 其中 ny称为数列的通项或

一般项．

定义 1.10 数列的极限

1.2.1 数列的极限

例 1 看下面的例子

(1)

n

1 ：１， 21，

3

1…， ，

n

1…， ；

(2)

1n

n ：21，

3

2，4

3…， ，

1n

n…， ；

(3) 2n ： 12， 22 ， 32 …， ，2n …， ；

(4) 1 1( 1)n

n

：１，-

21，

3

1，-4

1…， ， 1 1

( 1)n

n …， ．

等等都是数列.

观察如上4个数列在n无限增大时的变化趋势，可以看到数

列n1和 11(1)n

n 无限接近于0，数列

1n

n无限接近于常数

1，而数列 2n随着n的增大,数列中的项也越来越大，不会靠近一个确定的常数，我们给出数列极限的定义.

定义 1.11 设数列 ny ，若当 n无限增大时， ny 趋于

一个确定的常数 A，则称 A为数列 ny 的极限，记作 limn ny ＝

A，或 ny A（n ）亦称数列 ny 收敛于 A．

有极限的数列称为收敛数列，没有极限的数列称为发散数列．

按上述定义，表示例 1中数列（1），（2），（4）的极限分别为:

limn

n

1＝0；limn 1n

n ＝1；limn（-1） 1n

n

1＝0．

数列（3）的极限不存在，当 n 时， ny 越来越大趋于 ，

这种数列通常也形式地记作 limn

ny ＝lim 2n

n＝ + .

(1) x 时, 函数的极限

1.2.2. 函数的极限

定义 1.12 设函数 )(xf ，如果当x的绝对值无限增大时，函

数 )(xf 无限趋于一个确定的常数 A，则称当 x趋于无穷时，函

数 )(xf 以 A为极限，记作limx

)(xf ＝A，或 )(xf A ( x ).

如果x且x无限增大（记作 x ）时, 函数 )(xf 无限趋近

于一个确定的常数 A，可得 lim ( )x

f x A

，或 ( )f x A

( )x .

如果 x<0且 x无限增大（记作x ）时，函数 )(xf 无

限趋近于一个确定的常数 A，可得

xlim )(xf ＝A，或 ( ) ( )f x A x .

定理 1.1 limx

)(xf ＝Ａ的充要条件是

limx

)(xf ＝ limx

( )f x A .

图 1-7

x

y

xy

1

Ｏ

例 2设函数x

y1 ，考察当x

趋于无穷时的极限．

解 由图 1-7可知 1

limx x

＝0，

limx x

1＝0 . 所以 1limx x

＝0.

例３ 讨论当x 时候，函数 xy arctan 的极限.

解 由于π

lim (arctan )2x

x

( xarctan )＝ π

2， lim

x ( xarctan )

＝-π

2．

所以 limx

xarctan 不存在．

(2) x0x时, 函数的极限

图 1-8

设实数 0 ,x 且 ＞0，数集 0 0{ }.x x x x 叫点

0x 的邻域，记作 0( , )U x ．即 0 0 0( , ) { }.U x x x x x

点 0x 叫邻域的中心，叫邻域的半径．

因 为 0x x 相 当 于 0x x ， 即

0 0x x x ，所以在几何上，邻域 0( , )U x 表示以点 0x 为

中心，长为 2的开区间 0 0( , )x x ．如图 1-8

邻域的概念 :

0x +0x0x

定义 1.13 设函数 )(xf 在点 0x 的 去心邻域 0

0( , )U x 内有定义，若当 x无限趋近于 0x 时，函数 )(xf 无限

趋近于一个确定的常数 A，则称当 0x x 时,函数 )(xf 以 A 为

极限.记作

0

limx x

)(xf =A 或 )(xf A（ 0x x ）.

例４讨论函数21

()1

xyfxx

当x无限趋近于1时的变化趋势.

图 1-9

2 1

1

xy

x

y

xＯ 1

1

2

解 当x从 1的左侧无限接近 1时，对应函数值变化如下:

该函数的图像是直线 1xy 上除去点（1，2）以外的部分，

如图 1-9，从图 1-9可以看到，此函数在x＝1处虽然没有定义，但是当 x从 x＝1 处的左右两边分别越来越接近 1 时，函数

2 1( )

1

xf x

x

的值越来越趋

近于 2，于是，按定义 1.3，

函数2 1

( )1

xf x

x

当 1x 时

以 2为极限 即1

limx

2 1

1

x

x

＝２．

定义 1.14 设函数 )(xf 在点 0x 的左半领域内有定义，当

自变量在此半领域内无限接近于 0x 时，函数 )(xf 无限接近于常

数 A，则称 A为函数 )(xf 在 0x 点的左极限，记作

0

limx x

)(xf = A或 )(xf A（ 0x x ）或 0( )f x A .

函数 )(xf 在点 0x 的右半邻域内有定义，当自变量在此半邻

域内无限接近于 0x 时，函数 )(xf 无限接近于常数 A，则称 A

为函数 )(xf 在 0x 点的右极限，记作 0

limx x

( )f x A 或 ( )f x A

（ 0x x ）或 0( )f x A .

左，右极限统称单侧极限.

例５ 求函数

.0,1

;0,)(

x

xxxf 当x 0时的左极限0( )fx和右

极限0( )fx.

图 1-10

解 这是一个分段函数，如 图 1-10所示，由图可直观看到，

0( )f x ＝0

limx

)(xf ＝0

lim( )x

x ＝0

0( )f x ＝0

limx

)(xf ＝0

limx

1＝1.

y

xＯ

11y

xy

例６讨论函数

.0,1

;0,0

;0,1

)(

xx

x

xx

xf 当 x 0时的极限 0

limx

)(xf .

图 1-11

解 如图 1-11所示

0limx

)(xf ＝-1；

0limx

)(xf ＝0

lim ( 1) 1x

x ；

因 0

limx

)(xf ≠0

limx

)(xf

故 0

limx

)(xf 不存在．

1

1xy

Ｏ x

y

1xy

由极限定义可以推算出下述两个结论:

0

0limxxxx，

limCC, （C为常数）

定义 1.15 极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小，记为 .

1 ．无穷小量的定义

1.2.3 无穷小量与无穷大量

例如 limx x1=0，所以函数

x1当 x时是无穷小．

又如 1lim(1)xx=0，所以函数1x当 1x时是无穷小．

注意： （１）无穷小是一个变量，是在变化过程中绝对值越来越小，并且无限地趋于零的变量. （２）绝不能将其与很小的常量相混淆，数零是唯一可作为无穷小的常数， （３）由于无穷小表达的是量的变化状态,因此说一个函数

)(xf 是无穷小,必须指明自变量x的变化趋向．比如当 1x 时

（ 1x ）为无穷小，而当 2x 时，（ 1x ）则不是无穷小．

例 ７ 自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小.

(1) 11x

y ； （2）12xy ； （3）2xy； （4）1()4xy.

解 （1）因 limx1

1x＝0，故当 x时，

11x为无穷小；

(2) 因 1

2

limx )12( x＝0，故当 x

2

1时， 12x为无穷小；

(3) 因limx

2x＝0，故当 x时， 2x为无穷小；

(4) 因 limx

1()4

x＝0，故当 x时，1()4

x为无穷小.

定理 1.2 lim ( )f x A 的充要条件是 ( )f x A ，其中

是无穷小．

即 lim ( )f x A 0lim ， ( )f x A ．

2. 极限与无穷小的关系

3. 无穷小的运算性质

性质１ 有限个无穷小的代数和是无穷小．

性质２　有限个无穷小的积是无穷小 .性质３　有界函数与无穷小的积是无

穷小．性质４　常数与无穷小的积是无穷小

．

例８ 求 0

1lim sinx

xx

.

解 因 0

1lim 0, sin 1x

xx

， 故由无穷小性质 3有

0

1lim sin 0x

xx

.

定义 1.16 绝对值无限增大的变量 y称作无穷大量，简称

无穷大.记作 ylim ．

2. 无穷大量的定义

例如：当 x 0 时，x

y1 的绝对值 1

x将无限增大，即当

x 0时，x1是无穷大．记作

0

1limx x

.

如果对于自变量x所对应的变量 y值是正的（或负的），则

记作 ylim ，（ ylim ）.

定理 1.4 在同一变化过程中

(1) 若 y是无穷大，则y1是无穷小；

(2) 若 y是无穷小，且 y≠ 0，则y1是无穷大.

定理 1.3 在自变量的同一变化过程中 (1) 有限个无穷大的乘积仍是无穷大； (2) 无穷大与有界量的和仍是无穷大．

3. 无穷小与无穷大的关系

2. 无穷大的性质

注意： (1) 有限个无穷大的代数和不一定是无穷大； (2) 无穷大与有界量的乘积也不一定是无穷大.

1 函数的极限

1.2 小结

3 无穷大量

2 无穷小量

1.3.1 极限的运算法则

1.3 极限的性质与运算法则

1.3 小结1.3.2 函数极限的计算方法

性质 3（保号性）若在 0

0( , )U x 内，恒有 )(xf ≥ 0（或 )(xf

≤ 0）且0

lim ( )x x

f x A

，则 A≥ 0（或 A≤ 0）.

若0

lim ( )x x

f x A

，且 A＞0（或 A＜0 ），则在0

0( , )U x 内，

恒有 0)( xf （或 0)( xf ）.

性质 2 （有界性）有极限的变量是有界变量．

1.3.1 极限的性质与运算法则性质 1 （唯一性）函数若有极限，则其极限必唯一．

性质 4 （夹逼准则）若 x∈0

0( , )U x 时，有 )(xh ≤ )(xf ≤ )(xg

且 0

lim ( )x x

h x

＝0

lim ( )x x

g x

＝A.

则 0

lim ( )x x

f x A

.

定理 1.5 (四则运算法则)

设 lim ( )f x A ，lim ( )g x B 则

法则 1 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )f x g x f x g x A B .

法则 2 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )f x g x f x g x A B .

法则 3 ( ) lim ( )lim 0

( ) lim ( )

f x f x AB

g x g x B （ ）.

推论 1 lim ( ) lim ( )cf x c f x ( c为常数) .

推论 2 lim ( ) [lim ( )]f x f x )( R .

特别地，法则 1、2可以推广到有限个函数的情形，即

(1) 1 2 1 2lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )n nf x f x f x f x f x f x

(2) 1 2 1 2lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )n nf x f x f x f x f x f x .

1.3.1 极限的性质与运算法则

例 1 求 2

1lim(3 2 1)x

x x

.

解 因为当 1x 时，函数各项的极限都存在

所以 2

1lim(3 2 1)x

x x

＝ 2

1 1lim3 lim 2 1x x

x x

＝ 21 1

3 lim 2lim 1x x

x x

＝ 23 1 2 1 1 ＝２.

例 2 求 3

23

27lim

9x

x

x

.

解 3

23

27lim

9x

x

x

=2

3

( 3)( 3 9)lim

( 3)( 3)x

x x x

x x

=2

3

( 3 9)lim

( 3)x

x x

x

=2

9.

1.3.2 函数极限的计算方法

例 3 求 23

1lim

9x

x

x

.

解 因为 2

3

9 0lim 0

1 4x

x

x

由定理 3.6

(无穷大与无穷小关系)得 23

1lim

9x

x

x

=∞ .

例 4 求 2

2

2 2 3lim

3 1x

x x

x

.

解 2

2

2 2 3lim

3 1x

x x

x

=2

2

2 32

lim1

3x

x x

x

=

03

002

=3

2.

例 5 求 3 2

4

4 2 1lim

3 1x

x x

x

.

解 用 4x 除分子、分母，得

3 2

4

4 2 1lim

3 1x

x x

x

=2 4

4

4 2 1

lim1

3x

x x x

x

=

2 4

4

4 2 1lim( )

01

lim(3 )

x

x

x x x

x

.

上述各例的计算方法与结果，可推广到一般情况，若

)(xR 是有理分式，

)(xR ＝( )

( )n

m

P x

Q x＝

11 1 0

11 1 0

n nn n

m mm m

a x a x a x a

b x b x b x b

（１） 若 0( ) 0mQ x ，则 0

lim ( )x x

R x

＝( )

( )n

m

P x

Q x＝ 0( )R x .

（２） 若 0( ) 0mQ x ，而 0( ) 0nP x ，则 0

lim ( )x x

R x

∞＝ .

（３）若 0( ) 0mQ x ，且 0( ) 0nP x ，则 ( )mQ x ， ( )nP x 一定有以

０为极限的 0( )x x 型公因子，将 ( )mQ x ， ( )nP x 因式分解约分后，

计算极限．

例 6 求21

1 2lim

1 1x x x

.

解 先通分化简后再计算极限．即

21

12lim11xxx＝2112lim1xx

x＝1

1lim1xx＝ 2

1．

例 7 求 2

2 2lim

2x

x

x

.

解 将分子、分母同乘分子的共轭因子后，使分子有理化，这时再计算极限，即

2

2 2lim

2x

x

x

=2

( 2 2)( 2 2)lim

( 2)( 2 2)x

x x

x x

=2

2 4lim

( 2)( 2 2)x

x

x x

=2

1 1lim

42 2x x

．

例 8 求 2

sinlimx

x

x.

解 把2

sin x

x看作

2

1

x与 xsin 的乘积，利用无穷小的性质，再计

算极限．

因 x 时，2

10

x ，而| xsin |≤ 1，由无穷小与有界函数的

积仍是无穷小,得

2

sinlim 0x

x

x ．

例9 设

2, 0;

() ,0 1;

1, 1.

x x

f x x x

x x

求0

lim()x

f x，

1lim()x

f x及

2lim()x

f x．

解 因 0

lim ( )x

f x

= 2

0lim 0x

x ，

0lim ( )x

f x

=0

lim 0x

x ，

故 由定理 1．3 (极限存在的充要条件)得 0

lim ( ) 0x

f x

．

同理， 因 1

lim ( )x

f x

=1

lim 1x

x ，

1lim ( )x

f x

=1

lim(3 ) 2x

x ，

故 1

lim ( )x

f x

不存在，

而 2

lim ( )x

f x

=2

lim(3 ) 1x

x

．

1.4 两个重要的极限与无穷小量的比较

1.4 小结1.4.3 无穷小量的比较1.4.2 极限在经济中的应用—复利与贴现1.4.1 两个重要极限

这个极限可由极限存在的夹逼准则推证，下面给出证明： 证 作单位圆如图 1－12所示．取

∠ ( ).2

AOB x rad o x

，于是有：

xADxABxBC tan,,sin ，

由图 1-6可知， OAB OADOABS S S 扇形

即 xxx tan2

1

2

1sin

2

1 得 xxx tansin .

除以 xsin 有xx

x

cos

1

sin1

从而 1sin

cos x

xx .

1.4.1 两个重要极限

１. 0

sinlim 1x

x

x

因为x

xx

sin,cos 都是偶函数，

所以上面的不等式对于开区间( ,0)2

内的一切x也是成立的．

而当 0x 时，0

lim cos 1x

x

,0

lim1 1x

.

由极限存在的夹逼准则，即得

0

sinlim 1x

x

x .

图 1-12

Ｏ A

B

C

D

1x

例 1 求 0

tanlimx

x

x.

解 因x

xx

cos

sintan

故0

tanlimx

x

x=

0

sin 1lim 1 1 1

cosx

x

x x .

注 该极限式也可作公式使用．

例 2 求 0

sin 2lim

3x

x

x.

解 0

sin 2lim

3x

x

x＝

0

2 sin 2lim( )

3 2x

x

x ＝

0

2 sin 2lim

3 2x

x

x＝

3

2．

例 3 求 20

1 coslimx

x

x

.

解 由 2 2(1 cos )(1 ) 1 cos sin ,x cox x x 有

20

1 coslimx

x

x

=

2

20

1 coslim

(1 cos )x

x

x x

= 2

0

sin 1lim( )

1 cosx

x

x x

= 2

0 0

sin 1(lim ) lim

1 cosx x

x

x x =2 1 11

1 1 2 ．

例 4 求 1

lim sinx

xx

.

解 利用无穷大与无穷小的关系，作变量替换，设 xt1，

x ， 0t ，

于是 1

limsinxx

x =

0

sinlimt

t

t=1．

2. 1

lim(1) ex

x x

在上式中 令 x

t1

, 则 x ， 0t ，于是，有

1

0lim(1 ) et

tt

.

例 5 求 2

lim(1 )x

x x .

解

2lim(1 )x

x x =

22

1lim 1

2

x

x x

=

2

2

2

1lim 1

2

x

x x

=

2

2

2

1lim 1

2

x

x x

= 2e ．

例 6 求 1

0lim(1 2 ) x

xx

.

解 作变量替换

设 xt 2，则 2

tx ，当 0x ， 0t ， 于是

1

0lim(12)xx

x ＝

2

0lim(1 )t

tt

＝ 21

0lim1 tt

t

＝

21

0lim(1 )tt

t

= 2e．

例 7 求 31lim( )

1x

x

x

x

.

解 31lim( )

1x

x

x

x

＝

31

1 1lim

1 11

x

x

xxx

x

＝ 1

1(1 )

lim1

(1 )

x

xx

x

x

31

1lim

11

x

x

x

＝ 21

e1 e

e

在.前面的讨论中,我们曾得到如下结果 设本金为P，年利率为 r，每年计息一次，按复利计算的第 t年末的本利和是

(1 )ttA P r

这就是复利计算模型.

若不按年计息，而改为半年计息一次，则半年利率为 2

r，t

年共计息 2t 次，则第 t年末的本利和为：

2(1 )2

tt

rA P

1.4.2 极限在经济中的应用 -- 复利与贴现

若按月计息，则月息为 12

r ，t 年共计息 12t 次，则第 t 年

末的本利和为:

12(1 )12

tt

rA P .

若每年计息 x，每次利率为 x

r次，t年共计息 x t次，则第

t年末的本利和为:

(1 )xtt

rA P

x . (1.4)

“ ”上述计息的 次 是确定的时间间隔，因为一年计息次数为

有限次，所以公式(3.4)可认为是按离散情况计算 t年末本利和 tA

的复利公式,这就是离散复利计算模型．

因为资金周转过程是不断进行的，计算利息分期越细越合理，“ ”亦即结算次数愈多愈合理，也就是让计息的 次 的时间间隔无

限缩短，从而计息次数 x ，这样进行计算利息就是连续复利，于是

lim (1 )xtt x

rA P

x lim 1 e

rtx

rrt

x

rP P

x

，

这就是连续复利计算模型.

定义 1.17 设 )0( 和是同一变化过程中的无穷小，

若 0lim ，则称是比较高阶的无穷小，记作 )( ；

若

lim ，则称是比较低阶的无穷小；

若 c

lim ，（c是不为零的常数），则称与是同阶无穷小；

若 1lim ，则称与 是等价无穷小，记作 ~ ．

1.4.3 无穷小的比较

由定义 1.17 知 ,当 0x 时 , 2x 是比 x2 高阶的无穷小 ,即2 (2 )x x ,反之 x2 是比 2x 低阶无穷小 , 而 x2 和 x是同阶无穷

小, xsin 和 x是等价的无穷小,即 )0(~sin xxx .

定理 1.6（无穷小等价替换定理）

若 ~ ' ， ~ ，且 ( )f x 存在，则 ''

limlim

推论 (无穷小传递性质) 若 ~ ， ~ , 则 ~ .

常用的等价无穷小有：当 0x 时 1~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin~ xexxxxxxxxxxx

2

1 cos ~2

xx 等.

例 8 求2

0

tan 5lim

sin 2x

x

x x.

解 当 0x 时， xx 5~5tan ， xx 2~2sin

于是 2

0

tan 5lim

sin 2x

x

x x＝

2

0

(5 ) 25lim

2 2x

x

x x ．

例 9 求 30

tan sinlimx

x x

x

解 这是 0

0型未定式, 因为

x

xxxx

cos

)cos1(sinsintan

当 0x 时， xx~sin , 2

1 cos ~2

xx , 于是

30

tan sinlimx

x x

x

30

sin (1 cos )lim

cosx

x x

x x

2

30

12limcos 2x

xx

x x

．

应该指出,在用等价无穷小代换时，一般在乘除运算时可施行，而在和差运行时不能运用,如在上例中，若因 xx~tan， xx~sin有

30

tan sinlimx

x x

x

30lim 0x

xx

x

则显然是错误的．

1 极限的四则运算法则

1.4 小结

4 复利与连续复利3 无穷小的比较2 两个重要极限

1.5 小结

1.5 函 数 的 连 续性

1.5.1 函数的连续性定义1.5.2 初等函数的连续性

定义 1.18 设函数 )(xfy 在点 0x 的某一邻域内

有定义，当自变量从初值 0x 变到终值 x时，对应的

函数值也由 0( )f x 变到 )(xf ，则把自变量的终值与初值

的差 0x x 称为自变量的增量（或自变量的改变量），

记为 x ，即 x ＝ 0x x ；而函数的终值与初值的差，

即 )(xf － 0( )f x ，称为函数的增量（或函数的改变量），

记为 y ，即 y ＝ )(xf － 0( )f x ，由于 x ＝ 0x x . 故：

自变量的终值可表示为： 0x x + x .

1.5.1 函数的连续性定义

1. 函数的增量

函数的增量可表示为： y ＝ 0( )f x x － 0( )f x .

函数增量的几何意义如图 1-13 所示,由图可见，

当自变量的增量 x 变化时，相应的函数的增量 y

一般也随之改变，且 x ， y 均可正可负，如当 0x x

时，就有 x ＜0．

图 1-13

y)(xfy

y

x

0x xＯ 0

x x

图 1-14

2. 连续 在几何上，一个函数是连续变化的,那么,它的图像就是一

条连绵不断的曲线,在图 1-13中，函数曲线 )(xfy 在点 0x 处

是连续的．当 x变化经过点 0x 时，其对应函数值是渐变的（没

有突变）．当 x → 0时，（即 0x x ） )(xf → 0( )f x ．在

图 1-14中，函数曲线 )(xfy 在点

0x 是不连续的，当x变化经过 0x 点

时，其对应的函数值却发生了跳 跃式的突变，（剧烈变化），当

x → 0时， )(xf 不趋于 0( )f x ，根

椐上面的观察和分折，我们给出

函数在点 0x 处连续的定义：

y

x

)(xfy

y

x

0xＯ 0

x x

)( 0xf

)(xf

定义 1.19 设函数 )(xfy 在点 0x 的某个邻域内有

定义，如果自变量的增量 x 趋于零时，对应的函数增量

y 也趋于零，即

0 00 0lim lim ( ) ( ) 0x x

y f x x f x

，

则称函数 )(xfy 在点 0x 处连续，称点 0x 为函数的连续

点．

由于 x ＝ 0x x ， y ＝ )(xf － 0( )f x 当 x → 0 时，

0x x ．因此得到与定义 1.19等价的定义：

定义 1.20 设函数 )(xfy 在点 0x 的某个邻域内

有定义，如果当 0x x 时，函数 )(xf 的极限存在，且等

于它在点 0x 的函数值 0( )f x ，即

0

lim ( )x x

f x

= 0( )f x ，

则称函数 )(xfy 在点 0x 处连续．

若0

lim ( )x x

f x

= 0( )f x ,则称函数 )(xfy 在点 0x 处左连

续． 若

0

lim ( )x x

f x

= 0( )f x ,则称函数 )(xfy 在点 0x 处右连

续．

定理 1.7 函数 )(xfy 在点 0x 处连续的充分必

要条件是

0

lim ( )x x

f x

=0

lim ( )x x

f x

= 0( )f x .

定义 1.21 如果函数 )(xfy 在区间（ ba, ）或

［ ba, ］上的每一点都连续，则称函数 )(xf 在（ ba, ）

或［ ba, ］内是连续的．如果函数 )(xfy 在其定义域

内的每点均连续，则称函数 )(xf 在其定义域内是连续

的．

函数 )(xfy 在某点0x处连续的条件是：

（1） 0( )f x有意义，即 0( )f x存在．

（2） 0

lim()x x

f x存在. 即

0

lim()x x

f x

=0

lim()x x

f x．

（3） 0

lim()x x

f x

= 0( )f x．即极限值等于函数值．

以上三条同时满足，则函数 )(xf 在点0x处连续，若

其中任何一条不满足，函数 )(xf 在点0x处就是间断

的，称这样的点为函数的不连续点或间断点．

3. 间断

例如，函数 )(xf =2 1

1

x

x

，由于在x=1处没有定义，即

(1)f 不存在，故这个函数在 x=1处不连续，如图 1-15.

图 1-15

x

y

o 1

2

1

)(xf

又如 函数

.1,1

,1,0

,1,1

)(

xx

x

xx

xf 虽然在x=1 处有定义，

但由于1

lim ( )x

f x

=2．1

lim ( )x

f x

=0， 即1

lim ( )x

f x

不存在，故

这个函数在x=1处不连续，如图 1-16.

)(xf

x

y

o 1

2

图 1-16

再如 函数

.1,0

,1,1)(

x

xxxf 虽然在 x=1处有定义，

且1

lim ( )x

f x

=2也存在，但因为1

lim ( )x

f x

≠ )1(f 故这个函数在

x=1处不连续，如图 1-17.

图 1-17

x

y

o

2

1

)(xf

通 常 把 间 断 点 分 为 两 类 ．设 0x 是 函 数 )( xfy 的 间

断 点 ，若 左 极 限0

l i m ( )x x

f x

与 右 极 限0

l i m ( )x x

f x

都 存 在 ，则

称 0x 为 第 一 类 间 断 点 ； 其 余 间 断 点 统 称 为 第 二 类 间 断

点 .

若0

l i m ( )x x

f x

= ∞ ， 亦 称 0x 点 为 无 穷 间 断 点 ． 在 第 一

类 间 断 点 中 ，

若0

l i m ( )x x

f x

≠0

l i m ( )x x

f x

时 ，称 这 种 间 断 点 为 跳 跃 间

断 点 ．

若 0

l i m ( )x x

f x

=0

l i m ( )x x

f x

时 称 这 种 间 断 点 为 可 去 间

断 点 ．

例 1 讨论函数2

1y

x 在 x=0处的连续性.

解 2

1y

x 在x=0处无定义，且

20

1limx x

，

故x=0 是函数2

1y

x 的第二类间断点，亦称无穷

间断点．

例2 设2, 1,

()1, 1.

x xf x

x x

讨论 )(xf 在 1x

处的连续性．

解 因为1

lim ( )x

f x

= 2

1limx

x

=1，

1lim ( )x

f x

=1

lim( 1)x

x =2

1lim ( )x

f x

不存在． x=1 是 )(xf 的不连续点．故

1x 是 )(xf 的第一类间断点,且为跳跃间断点．如图

1-18

o x

y

2)( xxf

1)( xxf

图 1-18

例3 设

4

, 0,( )

1, 0.

xx

f x xx

讨论 )(xf 在 0x 处的

连续性．

解 1)0( f 4

0lim 0x

x

x 即

0lim ( )x

f x

≠

)0(f

故 x=０是 )(xf 的第一类间断点，且为可去间

断点，如图 1-19

xo

y

1

图 1-19

1.5.2 初等函数的连续性1.初等函数的连续性

定理 1.8 连续函数经四则运算仍是连续函数 ( 作为商的函数除数不为零 ).

定理 1.9 连续函数构成复合函数仍是连续函数 .

定理 1.10 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 .

定理 1.11 一切初等函数在其定义区间内都是连续的 .

如果函数)(xf 在0x点连续，那么0

lim()xx

fx

= 0( )fx＝

0

(lim)xx

f x

即:极限符号与函数符号可以互相交换．

2. 利用函数的连续性求极限

例4 求 2

0lim1x

x．

解 设 )(xf = 21 x 这是一个初等函数，它的定义域是[－1,1],而点 x=0在该区间内，故由初等函数的连续性，有 2

0lim1x

x = )0(f = 21 0 =1．

例 5 求 1

0lim ln(1 ) x

xx

.

解 利用复合函数求极限的方法，有 1

0lim ln(1 ) x

xx

=

1

0ln[lim(1 ) ] ln e 1x

xx

.

定义 1.22 若 1x， 2x ∈［ ba, ］，且对该区间内的

一切x，有

1( )f x ≤ )(xf ≤ 2( )f x ，

则称 1( )f x , 2( )f x 分别为函数 )(xf 在闭区间［ ba, ］上的

最小值与最大值.

性质 1 最值定理

1.5.4 闭区间上连续函数的性质

定理 1.12 （最大值、最小值定理） 闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值． 从几何上看，一段有限长的连续曲线上，必有一点最高，

也有一点最低，如图 1-20 .

若 )(xf 在开区间内连续或在闭区间上有间断点，则 )(xf

不一定有最大值和最小值.

图 1-20

a 1x 2x b x

y )(xfy

例如， )(xf =x在开区间(0,1)内连续，但在(0,1)内

它既没有最大值也没有最小值，又如 )(xf =x

1在[－1,1]

上有一个无穷间断点 x =0，它在[－1,1]上也没有最大值和最小值．

性质 2 零点定理 定理 1.13 （零点定理）

若函数 )(xf 在闭区间［ ba, ］上连续，且 )(af 与 )(bf 异号，则

在（ ba, ）内至少存在一点，使得

)(f ＝０.

零点定理又称为根的存在定理，从几何上看，如图 1-21，若

连续曲线 )(xf 的两个端点位于 x轴的不同侧，那么，这段曲线弧与

轴至少有一个交点，函数 )(xf 的零点就是方程 )(xf ＝０的实根，

此定理常用来判断方程 )(xf ＝０在某区间是否存在实根．

)(bf

C

)(af

y

xa bo2

3

1

)(xfy

图 1-21 图 1-22

)(xfy y

xo a b

定理 1.14 （介值定理）

若函数 )(xf 在闭区间［ ba, ］上连续，且 )(af ≠ )(bf 那么，对

介于 )(af 与 )(bf 与之间的任一常数Ｃ，在开区间（ ba, ）内至少存

在一点使得 )(f ＝Ｃ（证明从略）．

从几何上看，闭区间［ ba, ］上的连续曲线孤与水平直线至少相交于一点，如图 1-22．表明连续函数在变化过程中必定经过一切中间值，从而反映了变化的连续性．

推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M和最小值m之间的任何值．

设 m= 1( )f x ,M= 2( )f x而 m≠M在闭区间 1 2[ , ]x x或 2 1[ , ]x x

上应用介质定理，即得此推论．

性质 3 介值定理

例 6 证明方程 2 cos sin 0x x x ，在 3

[π, π]2内至少有一个实

根．

证 设 2( ) cos sinf x x x x

由于 )(xf 为初等函数，且在 3

[π, π]2上有定义，故 )(xf 在

3[π, π]

2上连续，又 2(π) π 0,f

3( π) 1 0,2

f 根据零点定理可

知，至少存在一点 ∈3

[π, π]2，使得 2( ) cos sin 0f

即方程 2 cos sin 0x x x 在3

(π, π)2内至少有一个实根．

1.5 小结

3 初等函数的连续性

1 函数连续性概念

2 函数的间断

4 闭区间上的连续函数的性质

1.6 导数的概念

1.6.1 两个实例

1.6.2 导数概念

1.6.3 可导与连续

1.6.4 求导公式

1.6.5 函数的和、差、积、商的求导法则

1.6 小结

1.6.1 两个实例

1. 变速直线运动的瞬时速度

设在0

t 时刻物体的位置为 )(0

ts ．

0 00

0 0 0

( ) ( )( ) lim lim lim

t t t

s t t s tsv t v

t t

即,物体运动的瞬时速度是位置函数的增量和时间的增量之

比当时间增量趋于零时的极限．

2. 总产量的变化率

设某产品的总产量P是时间 t的函数： )(tfP

如果极限

t

tfttftP

tt

)()(limlim 00

00

存在，则把此极限值称为 0t 时刻的总产量的变化率，也称

生产率．

1.6.2导数概念

定义 1．23导数的定义

设函数 )(xfy 在点 0

x的某一邻域内有定义，当自变量

x 从0

x 变 化 到 0x x 时 ， 相 应 地 函 数 有 增 量

)()(00

xfxxfy ，如果极限0 0

0 0

( ) ( )lim limx x

f x x f xy

x x

存在，那么这个极限值称为函数 )(xfy 在点 0

x的导数（也

叫微商）．并且说，函数 )(xfy 在点 0

x处可导，记作 )(0

xf ,

也可记为

0

0 0

d ( ) d,

d dx xx x x x

f x yy

x x

或.

即

xxfxxf

xy

xfxx

)()(limlim)( 00

000.

如果极限不存在,称函数 )(xfy 在点 0

x处不可导．

如果固定0

x ,则当 0x 时,有0

xx ,故函数在 0

x 处的导

数 )(0

xf 也可表为

0

0

0

)()(lim)(

0 xxxfxf

xfxx

.

函数在任意点的导数称为导函数,也叫导数．

有了导数这个概念，前面两个问题可以重述为：

(1)变速直线运动在时刻0

t 的瞬时速度，就是位置函

数 )(tss 在0

t 处对时间t的导数，即

00

d( )

d t t

sv t

t .

(2)某产品在 0

t 时刻的总产量的变化率就是该产品的

总产量函数 )(tfP 在0

t 处对时间t的导数,即

0

0

d( )

d t t

PP t

t

.

根据导数的定义，求函数 )(xfy 在任意点 x处的导数

)(xf ，可分三步：

（1）求增量： )()( xfxxfy .

（2）算比值：x

xfxxfxy

)()(

.

（3）取极限：xy

xfyx

0lim)( .

解（1） 32233 33)()()( xxxxxxxxxfxxfy .

（2） 22

322

3333

xxxxx

xxxxxxy

.

（3） 222

003)33(limlim)( xxxxx

xy

xfyxx

.

所 以

3 2

2 2

1 1

( ) ( ) 3

(1) ( ) 3 3 1 3.x x

f x x x

f f x x

例 1 设函数 3)( xxf ，求 )1(),( fxf .

２.导数的几何意义

导数的几何意义为 函数 )(xfy 在点 0

x处的导数等

于曲线 )(xfy 在点 ),(000

yxM 处的切线的斜率．（见图 1.23）

x

O xx 00x

0M

M T

N

y

x

y

图 1.23

曲线在该点 ),(00

yx 处的切线方程和法线方程

若 )(0

xf 存在，则曲线 )(xfy 在点 ),(000

yxM 处的切线方

程为：

))((000

xxxfyy .

若 )(0

xf 存在且 )(0

xf ≠ 0，则曲线 )(xfy 在点 ),(000

yxM

处的法线方程为：

)()(

10

0

0xx

xfyy

.

解 由例 1可知 .3)3()()1(1

2

1

3 xx

xxf

即 3k .

由直线的点斜式方程可知曲线在点 A(1，1）处的切线方

程为 )1(31 xy 即 023 yx ，

法线方程为 )1(31

1 xy 即 043 yx .

例2 求曲线 3)( xxfy 在点A(1，1）处的切线方程和

法线方程．

1.6.3 可导与连续

观察下图

O O O

y y y

x0 x x0 x

x

x0 x

可以看到： )(a 在 0

x处不连续， )(0

xf 一定不存在； )(),( cb

在0

x处 )(xf 是连续的，但显然不可导.

由此可得：

结论1 若 )(xfy在点 0x处可导，则 )(xfy在点 0x处

一定连续；

结论2 若 )(xfy在点 0x处连续，则 )(xfy在点 0x处

却不一定可导；

结论3 若 )(xfy在点 0x处不连续，则 )(xfy在点 0x

处一定不可导．

1.6 小结

１．导数的概念

２．可导与连续的关系

1.7 复合函数的求导法则

1.7.1导数的基本公式与求导法则

1.7.2 复合函数的求导法则

1.7.3 高阶导数

1.7 内容小结

1 . 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式

（ 1 ） 0C （ C 为 常 数 ） ； （ 2 ）

1( )x x ；

（ 3 ） xx ee ； （ 4 ） aaa xx ln

；

（ 5 ） 1l n 'x

x ； （ 6 ）

1( l o g ) '

l na xx a

；

（ 7 ） ( s i n ) ' c o sx x ； （ 8 ） ( c o s ) ' s i nx x ；

（ 9 ） xx 2sectan ； （ 1 0 ） xx 2csccot

；

（ 1 1 ） s e c s e c t a nx x x ； （ 1 2 ） c s c c s c c o tx x x ；

（ 1 3 ） 2

1( a r c s i n ) '

1x

x

； （ 1 4 ） 2

1( a r c c o s ) '

1x

x

；

（ 1 5 ） 2

1( a r c t a n ) '

1x

x

； ( 1 6 ） 21

1cotarc

xx

.

1.7.1 导数的基本公式与求导法则

2. 函数的和、差、积、商的求导法则

设函数 ( )u u x 和 xvv 都可导，则

(1) vuvu ；(2) vuvuuv ；(3) uCCu (C为常

数)；(4)2v

vuvuvu

（ 0v ）； (5)

2

1vv

v

（ 0v ）.

3. 复合函数的求导法则

设函数 )(ufy ， )(xu 都可导，则复合函数 y f x 的导数为

xufxy

dd

或xu

uy

xy

dd

dd

dd .

解 （1） 222 2)( xxxxxxy .

（2） xxxy

2 .

（3） xxxxy

yxx

2)2(limlim00

.

即 xx 2)( 2 .

一般地，对于幂函数 xy ，可得出结论

()( 1 xx 为实数）.

例 1 求函数 2xy 的导数.

解 (1)2

sin)2

cos(2sin)sin(xx

xxxxy .

(2)

2

2sin)

2cos(

2sin)

2cos(2

x

xxx

x

xxx

xy

.

(3) xxx

xx

xxy

yxx

cos1cos

2

2sin

)2

cos(limlim00

即 xx cos)(sin .

例 2 设 xy sin ，求 y．

1. 7. 1 函数的和、差、积、商的求导法则

定理 1.15 设函数 )(xuu 与 )(xvv 在点 x处可导，则函数

)()( xvxu 、 )()( xvxu 、 )0)(()()( xv

xvxu 在该点也可导，且有

（1） )()(])()([ xvxuxvxu .

（2） )()()()(])()([ xvxuxvxuxvxu .

特殊地， cxucxcu ()(])([ 为常量）

（3） / 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ( )]

u x u x v x u x v x

v x v x

.

特殊地 )()(

])(

[2 xv

xvcxv

c .

例 3 设 2ln32 xx

xy ，求 y.

解 xx

xxx

xy2

132)2(ln)()

3()(

2

2 .

例 4 设 xxy ln10 5 ，求 y．

解 )1

ln5(10)ln(10)ln10( 5455

xxxxxxxxy = )1ln5(10 4 xx .

例 5 求 xy tan 的导数．

解 x

xxxxxx

x2cos

)(cossincos)(sin)

cossin

()(tan

= xxx

xx 2

22

22

seccos

1cos

sincos .

1.7.2 复合函数的求导法则

定理 1.16 设函数 )]([ xfy 由 )(ufy 及 )(xu 复合而

成，若函数 )(xu 在点 x处可导， )(ufy 在对应点 u处也

可导，则复合函数 )]([ xfy 在点 x处可导，且

d d d

d d d

y y u

x u x

或写成

xuxuyy 或 ).()( xufy

x

即 复合函数的导数等于外层函数对中间变量的导数与中间

变量对自变量的导数之积．

显然，以上法则也可用于多次复合的情形．

例 如 ， 设 )( ufy ， )(),( xvvu 均 可 导 ， 则

d d d d

d d d d

y y u v

x u v x

例 6 设 xy 3sin ，求d

d

y

x．

解 将 xy 3sin 看 成 xuuy 3,sin 复 合 而 成 的 函 数

由 复 合 函 数 的 求 导 法 则

d d d

c o s 3 3 c o s 3d d d

y y uu x

x u x .

例 7 设 3)53( xy 求 d

d

y

x .

解 将 3)53( xy 看 成 3 3 5y u u x 与 复 合 而 成 的 函 数 ， 故

3 2 2d( ) ( 3 5 ) 3 3 9 ( 3 5 ) .

d

yu x u x

x

注意：对于经过三次或三次以上复合而成的初等函数,可以通

过重复使用复合函数的求导法则来求之,只是在使用复合函

数求导法则时,外层函数总是取基本初等函数,剩下的部分作

为内层函数即中间变量.

解

)

122

1(1

1

)1(1

1

])1[ln(

22

2

2

2

xx

xx

xxxx

xxy

2

2 2

2

1 1

1 11

.1

x x

x x x

x

例 8 设 )1ln( 2 xxy ，求 y.

1.7.3 高阶导数

定义1.24 一般地，函数 ( )y f x 在x处的导数[ ( )]f x 存

在，则称其为 ( )f x 在x处的二阶导数，记作

( )f x ， y，2

2

d

d

y

x．

类似地可定义三阶、四阶 … n阶导数，其记法分别为三

阶导数： y，n阶导数： ( )ny ， ( ) ( )ny x ，d

d

n

n

y

x (n≥4)．

二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数，求高阶导数只需要进行一系列的求导运算即可．

例 9 已知运动质点的路程函数为 2( ) 2 3 1S t t t （单位：米）

求 2t 秒时的速度和加速度．

解 由导数的物理意义可知

2

2 2 2( ) (6 3) 27

t t tV S t t

；

2 2 2

( ) 12 24t t t

a S t t

．

即 2t 秒时，运动质点的速度为 27米/秒，加速度为 24米/秒 2．

例 10 求 3xy 的 n阶导数.

解 3 ln3xy ， 23 ln3xy ， … ， ( ) 3 ln3nn xy ．

1.7 内容小结

1. 导数的基本公式与运算法则

2. 复合函数的求导法则

3. 高阶导数

1.8 微分及其应用

1.8.1 微分的概念

1.8.2 微分公式

1.8.3 复合函数的微分

1.8.4 微分的应用

1.8 内容小结

解 设此薄片的边长为 x,面积为 A,

则 2xA 当自变量 x在

0x有增量 x 时,

相应的面积增量为 2

0

2

0

2

0)(2)( xxxxxxA

A 由两部分组成,

第一部分是 xx 0

2 是 x 的线性函数,

当 0x 时,第二部分 2)( x 是比 x 高阶的无穷小,

由此可见,如果边长改变很微小时,面积的改变量 A 可近

似地用第一部分代替.

例 1 一块正方形金属薄片受温度的影响,其边长由0

x 变到

,0

xx 问此薄片的面积改变了多少？

2 0 x A

0 x

x

x

0 x

x

0 x

2 x

1.8.1微分的概念

1. 定义 1.25 设函数 ( )y f x 在点x处可导，则称 '( )f x x 为

函数 f(x)在点x处的微分，记为d d ( )y f x或 .

即 d d ( ) ( )y f x f x x .

当函数 ( )f x x 时，函数的微分d ( ) d 1f x x x x x x

即 dx x .

这样函数 ( )y f x 的微分可以写 d ( ) ( )dy f x x f x x

上式两边同除以dx， 有d( )

d

yf x

x ．

由此，导数等于函数的微分与自变量的微分之商，即

d( )

d

yf x

x “ ”这就是导数也叫 微商 的由来．

应当注意：微分与导数虽然有着密切的联系，即可导

可微，但二者又有区别：函数 ( )f x 在点 0x 的导数 0( )f x 是

一个定数，表示函数 ( )f x 在点 0x 处的变化率；而 ( )f x 在

点 0x 的微分 0 0 0d ( ) ( )( )y f x x f x x x 是x的线性函数，

表示函数 ( )f x 在 0x 处由自变量的增量所引起的函数变化

量的主要部分，且当 0x x 时，dy是无穷小．

解 2 2 2 2( ) 2.01 2 0.0401y x x x

在点x=2处，2 2

2 2 2 4x x

y x ，所以

d 4 0.01 0.040y y x ．

比较dy与 y，小数点后前三位一致，可见， x 很小时，

近似程度很高．

例２求函数 2y x 在 2, 0.01x x 时的改变量及微分．

1.8.2 微分的几何意义 函数 ( )y f x 的图像是一条曲线, 它在

0x处的导数 )(

0xf 就是该

曲线在点 ))(,(000

xfxM 处的切线 的斜率 tan . 因此

NTNMxxfy 00

tandd . 结论 函数 )(xfy 在

0x处的微分

在几何上表示曲线 )(xfy 在点 ))(,(000

xfxM 处切线的纵坐标的改变量.（见图 1.24）

O xx 00x

0M

M

T

N

y

dy

x

y

x

图 1.24

1. 微 分 基 本 公 式 （ 1） 0d C （ C 为 常 数 ）； （ 2） xxx dd 1 ； （ 3） xxx deed ； （ 4） xaaa xx dlnd ；

（ 5） xx

x d1

lnd ； （ 6） xax

xa

dln1

logd ；

（ 7） xxx dcossind ； （ 8） xxx dsincosd ； （ 9） xxx dsectand 2 ； （ 10） xxx dcsccotd 2 ； （ 11） xxxx dtansecsecd ； （ 12） xxxx dcotcsccscd ；

（ 13） xx

x d1

1arcsind

2 ； ( 14) x

xx d

11

arccosd2

；

（ 15） xx

x d1

1arctand

2 ； （ 16） x

xx d

11

cotarcd2

；

（ 17） xx

x d1

lnd .

1.8.3 微分公式

2. 函数的和、差、积、商的微分运算法则

设函数 xvvxuu , 在点 x处可微,则 (1) vuvu ddd ； (2) vuuvuv ddd ； (3) uCCu dd ,（C为常数）；

(4) 2

ddd

vvuuv

vu

, )0( v ；

(5) 2

d1d

vv

v

.

解 2 2 2d d(2 e ) (2 e ) d (2 2 e e )dx x x xy x x x x x x x x ．

例３ 求函数 22 exy x x 的微分．

3复合函数的微分法则

由复合函数的求导法则，可以推导出复合函数的微分法则：

设 ( )y f u ， ( )u x ，则复合函数 [ ( )]y f x 的微分为

d d d ( ) ( )dy y x f u x x ．

由于 ( )d dx x u ，

所以 d ( )dy f u u ．

一阶微分形式不变性：不论 u 是自变量还是中间变量，函

数 ( )y f u 的微分形式总保持同一形式d ( )dy f u u ，

解一 cos

d (ln sin ) d d cot d .sin

xy x x x x x

x

解二 1 cos

d d(ln sin ) d(sin ) d cot dsin sin

xy x x x x x

x x ．

解一 2 2 2

d (e ) d e ( 2 )d ( 2 )e dax bx ax bx ax bxy x a bx x a bx x .

解二 2 2 22d d(e ) e d( ) ( 2 )e d .ax bx ax bx ax bxy ax bx a bx x

例４ 求 ln siny x 的微分．

例５ 求2

eax bxy 的微分．

解一

解二 2 2 2 2 2

2 2 2

d(e ) e d e d(2 ) e d e (2 1)d d .

x x x x xx x x x x xy x

x x x

2 2 2 2

2

2 2 2

2 2

e e (e ) e ( )d d( ) ( ) d d

2e e 1 e (2 1)d d .

x x x x

x x x

x xy x x

x x x

x xx x

x x

例６ 设2e x

yx

，求 dy .

1. 8. 4 微分在近似计算中的应用 如果 )(xfy 在点

0x处的导数 0)(

0 xf ,且 x 很小时,有

(1) 0d ( )y y f x x (2) xxfxfxxfy )()()(

000

(3) xxfxfxxf )()()(000

(4) ))(()()(

000xxxfxfxf

取 00x ,得

(5) xffxf )0()0()( 应用第 5个公式,可以得以下几个工程上常用的近似公式： 假设 x 很小,有

① nx

xn 11 ② xx )1ln( ③ e 1x x

④ )(sin 取弧度数xxx ⑤ xx tan （x取弧度数）

解 数 3 8 . 0 2 可 看 作 函 数 3( )f x x 在 点 x = 8 . 0 2 处 的 函 数 值 .

取 0 8 , 0 . 0 2x x , 则 3( 8 ) 8 2 ,f 2

3

8

1 1( 8 )

3 1 2x

f x

( 8 . 0 2 ) ( 8 0 . 0 2 ) ( 8 ) ( 8 )

1 12 0 . 0 2 2 2 . 0 0 1 7

1 2 6 0 0

f f f f x

所 以

即 3 8 . 0 2 2 . 0 0 1 7 .

解 应用近似公式（5）得 0.03e 1 0.03 0.97 ．

例７ 求 38.02的近似值.

例８ 计算 0.03e的近似值.

1.8 内容小结

１．微分的概念

２．微分公式

３．函数的和、差、积、商的微分运算法则

４. 微分应用