第 2 章 导数与微分

结束

本章大体上分为两部分。其中第一部分是导数，第二部分是微分，从结构上来说它们是平行的。

前页 结束后页

2.1.1 引出导数概念的实例

例 1 平面曲线的切线斜率 曲线 的图像如图所示 ,

在曲线上任取两点 和 ，作割线 ，割线的斜率为

)(xfy

0 0( )M x , y

),( 00 yyxxN

0 0( ) ( )tanMN

f x x f xyk

x x

MN

2.1 导数的概念

y

xO

( )y f x

M

N

T

x

0x xx 0

y

P

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这里 为割线 MN 的倾角，设 是切线 MT 的倾角，

当 时，点 N 沿曲线趋于点 M 。若上式的

极限存在，记为 k ，则此极限值 k 就是所求切线

MT 的斜率，即

x

xfxxfx

y

k

x

x

x

)()(lim

lim

tanlimtan

00

0

0

0

θ

0x

y

xO

( )y f x

M

N

T

x

0x xx 0

y

P

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当 趋向于 0 时，如果极限

设某产品的总成本 C 是产量 Q 的函数，即 C=C(Q ) ，当产量 Q 从 变到 时，总成本相应地改变量为

当产量从 变到 时，总成本的平均变化率

0Q 0Q Q

0 0( ) ( )C C Q Q C Q

Q0 0Q Q

0 0( ) ( )C Q Q C QC

Q Q

0 0

0 0

( ) ( )lim limQ Q

C Q Q C QC

Q Q

存在，则称此极限是产量为 时总成本的变化率。0Q

0Q

例 2 产品总成本的变化率

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定义 设 y=f(x) 在点 x0 的某邻域内有定义，

属于该邻域，记 若

存在，则称其极限值为 y = f (x) 在点 x0 处的导数，记为

xx 0

),()( 00 xfxxfy

x

yx 0

limx

xfxxfx

)()(lim 00

0

.|d

d,|

d

d,|)(

0000 xxxxxx x

f

x

yy'xf' 或或或

.)()(

limlim)( 00

000 x

xfxxf

x

yxf'

xx

或

2.1.2 导数的概念

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导数定义与下面的形式等价：

.)()(

lim)(0

00

0 xx

xfxfxf

xx

若 y =f (x) 在 x= x0 的导数存在，则称 y=f(x) 在点

x0 处可导，反之称 y = f (x) 在 x = x0 不可导，此

时意味着不存在 . 函数的可导性与函数的连续性的

概念都是描述函数在一点处的性态，导数的大小

反映了函数在一点处变化 ( 增大或减小 ) 的快慢 .

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三、左导数与右导数

左导数 : .)()(

lim)( 00

00 x

xfxxfxf

x

右导数 : .)()(

lim)( 00

00 x

xfxxfxf

x

显然可以用下面的形式来定义左、右导数

,)()(

lim)(0

00

0 xx

xfxfxf

xx

.)()(

lim)(0

00

0 xx

xfxfxf

xx

定理 3.1 y = f (x) 在 x =x0 可导的充分必要条件是

y = f (x) 在 x=x0 的左、右导数存在且相等 .

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三、导数的几何意义

当自变量 从变化到 时，曲线 y=f(x) 上的点由 变到

)).(,( 00 xxfxxM

此时 为割线两端点 M0 ，

M 的横坐标之差，而

则为 M0 ， M 的纵坐标之

差，所以 即为过 M0 ，

M 两点的割线的斜率 .

0x

)).(,( 000 xfxM

x

y

x

y

xx 0

M0

M

0x xx 0

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曲线 y = f (x) 在点M0处的切线即为割线M0M 当 M 沿曲

线 y=f(x) 无限接近 时的极限位置M0P ，因而当

时，割线斜率的极限值就是切线的斜率 . 即：0xD

0 0( ) lim limtan tan

x

yf x k

x

所以，导数 的几何意义是曲线 y = f (x) 在点

M0(x0,f(x0)) 处的切线斜率 .

)( 0xf

M0

M

0x xx 0

P

0M

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设函数 y=f(x) 在点处可导，则曲线y=f(x) 在点处的切线方程为： 而当 时 , 曲线 在 的切线方程为

0 00

1( ) ( ).

( )y f x x x

f x

0x x ( 即法线平行 y 轴 ).

0x x

0 0 0( ) ( )( ).y f x f x x x

当 时 , 曲线 在 的法线方程为

0( ) 0f x ( )f x0M

而当 时 , 曲线 在 的法线方程为

0( ) 0f x ( )f x 0M

0( )f x ( )f x0M

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例 3 求函数 的导数

解 : (1)求增量 :

(2)算比值 :

(3)取极限 :

同理可得 :

特别地 , .

2xy

( ) ( )y f x x f x 2 2 2( ) 2 ( )x x x x x x

xxx

y

2

xxxx

yy

xx2)2(limlim

00

为正整数）nnxx nn ()( 1

1 1( ) ( )x n

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例 4 求曲线 在点 处的切线与法线方程 .

解 : 因为 , 由导数几何意义 , 曲线

在点 的切线与法线的斜率分别为 :

于是所求的切线方程为 :

即

法线方程为 :

3xy )8,2(23 3)( xx 3xy

)8,2(

12

11,12)3(

122

2

21 k

kxykxx

)2(128 xy

01612 yx

)2(12

18 xy

即 09812 yx

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2.1.4 可导性与连续性的关系

定理 2 若函数 y = f (x) 在点 x0 处可导，则 f(x) 在点 x0 处连续 .

证 因为 f (x) 在点 x0 处可导，故有 0 0( ) lim .

x

yf x

x

根据函数极限与无穷小的关系 , 可得 :

0 0( ) lim 0.

x

yf x

x

，其中

两端乘以 得 : 0( )y f x x x x

由此可见 : 00 0lim lim( ( ) ) 0.x x

y f x x x

即函数 y = f (x) 在点 x0 处连续 . 证毕 .

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例 5 证明函数 在 x=0 处连续但不可导 .| |y x

证 因为0

lim | | 0x

x

所以 在x =0连续

| |y x

0 0(0) lim lim 1

x x

y xf

x x

1limlim)0(00

x

x

x

yf

xx

而

即函数 在 x=0 处左右导数不相等 , 从而在| |y x x=0 不可导 .由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要

条件，但不是充分条件

即可导定连续 , 连续不一定可导 .

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设函数 u(x) 与 v(x) 在点 x 处均可

导，则 :

定理一

);()()]()()[1( ''' xvxuxvxu

),()()()()]()()[2( ''' xvxuxvxuxvxu

uCCuCCxv ) (,()(, 则为常数）特别地

2)]([

)()()()(

)(

)()3(

xv

xvxuxvxu

xv

xu

( ) 1,u x

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则2.2 导数的运算

特别地 , 如果

可得公式 2

1 ( ) ( ( ) 0)

( ) [ ( )]

v xv x

v x v x

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wvuwvu )(

注：法则（ 1 ）（ 2 ）均可推广到有限

多个可导函数的情形

wuvwvuvwuuvw )(

例：设 u=u(x),v=v(x),w=w(x) 在点 x 处均

可导，则

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)3lnsin( 3 xexy x解： )3(ln)(sin)()( 3 xex x

xex x cos3 2

例 2 设 5 2 ,xy x y 求

)(52)(5 xx 2xx

解： )25( xxy

2ln252

25 xx

xx

yxexy x ，求设 3lnsin3例 1

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)(tan xy )cos

sin(

x

x解：

x

xxxx2cos

)(cossincos)(sin

x

xx2

22

cos

sincos x

x2

2sec

cos

1

即

2(tan ) secx x

2(cot ) cscx x类似可得

例 3 求 y = tanx 的导数

前页 结束后页

)cos

1(

x

x

x2cos

sin

)(sec xy解：

xx

tancos

1

xx tansec 即 (sec ) sec tanx x x

(csc ) csc cotx x x 类似可得

例 4 求 y = secx 的导数　

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定理二 )(xu 如果函数 在 x 处可导，而函数y=f(u) 在对应的 u 处可导，那么复合函数

)]([ xfy 在 x 处可导，且有dy dy du

dx du dx 或 x u xy y u

对于多次复合的函数，其求导公式类似，此法则也称链导法

注：

2.2.2 复合函数的导数

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xu xuy )1()(sin 2

xu 2cos )1cos(2 2xx

例 7 yxy 求,2lnsin 2

2

2lncos2

2

x

xx

xxx

xy 222

1

2

12lncos

22

2

解：

解： 复合而成可看作 22 1,sin)1sin( xuuyxy

yxy 求),1sin( 2例 6

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定理三,0)( y且

)( yx 如果单调连续函数 在某区间内可导，则它的反函数 y=f(x) 在对应的区间

内可导，且有1

dy dxdydx

1

( )( )

f xy

或

证 因为 的反函数

( ) ( )y f x x y 是

( ) [ ( )]x y f x 所以有

dx

dy

dy

dx1上式两边对 x 求导得 xy f 1 或

dy

dx

dx

dy1或1

( )( )

f xy

所以

0)( y

dy

dx

2.2.3 反函数的求导法则

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）内单调且可导，在区间（而2

,2

sin

yx

,0cos)(sin yy y且

解：y = arcsinx 是 x = siny 的反函数

因此在对应的区间（ -1 ， 1 ）内有

)(sin

1)(arcsin

yx x

ycos

1

y2sin1

1

21

1

x

2

1(arcsin )

1xx

x

即

同理2

1(arccos )

1xx

x

2

1(arctan )

1x

x

2

1( cot )

1arc x

x

求函数 y = arcsinx 的导数例 7

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基本导数公式表为常数）CC (0).(1

为常数） ().(2 1 xx

axxa ln

1).(log3 1

4.(ln )xx

xx ee ).(6

xx cos).(sin7 xx sin).(cos8

2.2.4 基本初等函数的导数

aaa xx ln)(5 .

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dx

dy

dx

d

dx

yd2

2

即 ,)( yy ])([)( xfxf 或

2

2 )(

dx

xfd,y 记作 ),(xf 2

2

dx

yd 或

二阶导数： )(xfy 如果函数 f(x) 的导函数 仍是 x 的可导函数，就称 )(xfy 的导数为 f(x) 的二阶导数，

n 阶导数：

( ) ( )( ) ( )n

n nn

d d d d yf x f x y

dx dx dx dx

二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数

高阶导数的计算：运用导数运算法则与基本公式将函数逐次求导

2.3 高阶导数

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,ln aay x解： nxn aay )(ln)( ,)(ln 2aay x ,

特别地 ,)( xx ee xnx ee )()(,)( xx ee ,

例 9 )(,sin nyxy 求设

)

2sin(

xy )

2cos(

x )

22sin( x

解： )(sin xy xcos )2

sin(

x

)

22sin(

xy )2

3sin( x

……

)2

sin()( nxy n 即 ( )(sin ) sin( )

2nx x n

同理 ( )(cos ) cos( )2

nx x n

)(, nx yay 求设 例 8

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2

2 x

y

xy ey

e x

1. 隐函数的导数

例 10 求方程 所确定的函数的导数解： 方程两端对 x 求导得

0)2( 2 xy eyxxyye

2. 5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数

隐函数即是由 所确定的函数，其求导方法就是把 y 看成 x 的函数，方程两端同时对 x 求导，然后解出 。

( , )F x y

y

2 0y xe x y e

即

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例 9dx

dyyxy 求设 ),2arctan(

解： 两边对 x 求导得

)21()2(1

12

yyx

y

1)2(

12

yx

y得解出 ,y

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)1ln( 2

)1( xxx exyy 2可以写成函数解一

][ )1ln( 2

xxey

])1ln([ 2)1ln( 2

xxe xx

)1(

1)1ln( 2

22)1ln( 2

xx

xxe xx

2

222

1

2)1ln()1(

x

xxx x

yxy x 求设 ,)1( 2例 11

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)1ln(ln 2xxy

两边对 x 求导，由链导法有

xx

xxy

y2

1)1ln(

12

2

2

22

1

2)1ln(

x

xx

2

222

1

2)1ln()1(

x

xxxy x

解二称为对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导

注：

两边取自然对数将函数 xxy )1( 2解二

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)1ln(2

1)43ln(

2

1)1ln(

2

1ln 2 xxxy

解：将函数取自然对数得

)1(2

1

)43(2

3

1

12

xxx

xy

y

两边对 x 求导得

22

3 1( 1)(3 4)( 1)

1 2(3 4) 2( 1)

xy x x x

x x x

所以

yxxxy 求设 ,)1)(43)(1( 2例

12

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且 )(tx )(),( tytx 设 均可导 , 具有单值连续反函数 )(1 xt ，则参数方程确定的函数可看成 )(ty 与 )(1 xt 复合而成的函数，根据求导法则有：

求得 y 对 x 的导数

对参数方程所确定的函数 y=f(x), 可利用参数方程直接

dy dy dt

dx dt dx

dtdxdt

dy 1

)(

1)(

tt

( )

( )

t

t

此即参数方程所确定函数的求导公式

2. 参数方程所确定的函数的导数变量 y 与 x 之间的函数关系有时是由参数方程

)()({ tx

ty

确定的，其中 t 称为参数

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解：曲线上对应 t =1 的点（ x, y) 为（ 0,0 ） ,

曲线 t =1 在处的切线斜率为

1

tdx

dyk

1

2

2

31

tt

t

12

2

于是所求的切线方程为 y = － x

12

3{

tx

tty求曲线 在 t =1 处的切线方程例 13

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解 如图，正方形金属片的面积 A 与边长 x 的函数关系为 A = x2 , 受热后当边长由

x0 伸长到 x0+ 时 , 面积 A

相应的增量为

x

2.6.1 微分的概念例 1 设有一个边长为 x0 的正方形金属片，受热后它的

边长伸长了 ，问其面积增加了多少？x

20

20

20 )(2)( xxxxxxA

2.6 微分

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的线性函数 同阶的无穷小；时与是当 xxxx 0,2 0

从上式可以看出，xA 是分成两部分：第一部分xA 是分成两部分：第一部分

高阶的无穷小。时比是当第二部分 xxx 0,)( 2

这表明 的近似值：数作为很小时，可用其线性函 Ax

02 .A x x

这部分就是面积 A 的增量的主要部分（线性主部）

,2)()( 02

0 0xxx xx A因为

所以上式可写成 0( ) .A A x x

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)()( 00 xfxxfy 可以表示为

定义 设函数 )(xfy 在点 0x 的某邻域内有定义，

处的增量0x在点)(xf如果函数

),( xoxAy

0 0 d | d | .x x x xy y A x，即

于是 , （ 2.3.1) 式可写成0xxdAA

处的微分，0x)(xfxA 可微， 称为 在点

0x 处在点)(xf高阶的无穷小，则称函数时0x)( xo x其中 A 是与 无关的常数， 是当

比 x

记为

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由微分定义，函数 f (x) 在点 x0 处可微与可导等价，且 0( )A f x , 因而 )(xf 在点 x0 处的微分可写成

0 0d ( )x xy f x x

0 0d ( )dx xy f x x

于是函数通常把 x 记为 ，称自变量的微分，

上式两端同除以自变量的微分，得 d( )

dy

f xx

因此导数也称为微商．

可微函数：如果函数在区间 (a , b) 内每一点都可微， 则称该函数在 (a , b) 内可微。

d ( )dy f x x

f (x) 在点 x0 处的微分又可写成d x

f(x) 在 (a,b) 内任一点 x 处的微分记为

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解： 0201.0101.1)( 2222 xxxy

例 2 求函数 y=x2 在 x=1, 01.0x 时的改变量和微分。

于是

1 10.01 0.01

d 2 0.02x xx x

y x x

面积的微分为 d 2 .rs s r r r

.)(2)( 222 rrrrrrs

解：面积的增量

面积的增量与微分．

r当半径增大2rs 例 3 半径为 r的圆的面

积 时，求

2d ( ) 2y x x x x 在点 1x 处，

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2.6.2 微分的几何意义

x当自变量 x 有增量 时，切线 MT 的纵坐标相应地有增量

tan ( ) dP x f x x y Q

( , )M x y

因此，微分d ( )y f x x

几何上表示当 x有增量 x 时，曲线 ( )y f x 在对应点 处的切线的纵坐标的增量． y用d y近似代替dy y PN 就是用 QP 近似代替 QN ，并且

tan ( )f x

设函数 y = f (x) 的图形如下图所示 . 过曲线 y = f (x) 上一点M(x,y) 处作切线 MT, 设 MT 的倾角为 则,

y

( )y f x

M

N

O x

y

d y

x x x

Q

P

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2.6.3 微分的运算法则1. 微分的基本公式：(1) d 0 ( )C C为常数

1(2) d d ( ) a ax ax x a 为常数

(4) de e dx x x

1(6) d ln dx x

x

(8) dcos sin dx x x

(3) d ln d ( 0 1)x xa a a x a ,a

1 1(5) d log d ( 0 1)

lna x x a ,ax a

(7) dsin cos d x x x

前页 结束后页

2

1(16) d arccot d

1x x

x

2

1(14) d arccos d

1x x

x

2

1(13) darcsin d

1x x

x

2

1(15) d arctan d

1x x

x

2(10) dcot csc dx x x2(9) d tan sec dx x x

(12) dcsc csc cot dx x x x(11) dsec sec tan dx x x x

续前表

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2. 微分的四则运算法则

设 u=u(x) ， v=v(x) 均可微 ，则

d( ) d d ;u v u v

d( ) d d ;uv v u u v

d( ) dCu C u （ C 为常数）；

2

d dd

u v u u vv v

0( ).v

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3 ．复合函数的微分法则都是可导函数，则( ) ( )y f u u x ，设函数

的微分为)]([ xfy 复合函数

d ( ) d ( ) ( )dx

y f x x f u x x

利用微分形式不变性，可以计算复合函数和隐函数的微分 .

这就是一阶微分形式不变性 .

可见，若 y=f(u) 可微，不论 u 是自变量还是中间变量，d ( )dy f u u总有

而 d ( )du x x uufy d)(d 于是

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解： )32(322

1)32( 2

2

2

xx

xx

y

dd

232

6

x

x

2

6d d .

2 3

xy x

x

解：对方程两边求导，得 04222 yyyxyx

)(xfy

d y的导数 dd

yx

与微分

例 5 求由方程 122 22 yxyx 所确定的隐函数

即导数为 xyyx

y

微分为 d dx y

y xy x

例4

.,32 2 yx

yxy d

dd与求设

前页 结束后页

由以上讨论可以看出，微分与导数虽是两个不同的概念，但却紧密相关，求出了导数便立即可得微分，求出了微分亦可得导数，因此，通常把函数的导数与微分的运算统称为微分法． 在高等数学中，把研究导数和微分的有关内容称为微分学．

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2.6.4 微分在近似计算中的应用

0 0 0( ) ( ) d ( )y f x x f x y f x x

或写成 0 0 0( ) ( ) ( ) .f x x f x f x x （ 1 ）

上式中令 00 xx

（ 2）

0 0 0( ) ( ) ( ) ( ).f x f x f x x x

，则

特别地 , 当 x0=0 ，x 很小时 , 有

( ) (0) (0)f x f f x （ 3 ）公式 (1) (2) (3) 可用来求函数 f(x) 的近似值。

0( ) 0f x ，且 x 很小时，我们有近似公式在 x0 点的导数( )y f x由微分的定义可知，当函数

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注： 在求 )(xf 的近似值时，要选择适当的 0x ，使

)( 0xf ， )( 0xf 容易求得，且 0xx 较小．

应用（ 3 ）式可以推得一些常用的近似公式 , 当x 很小时 , 有

(1) xx sin （ｘ用弧度作单位）

(3) xex 1

(4) xx )1ln( (5) xn

xn 111

(2) xx tan ( ｘ用弧度作单位）

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例 6 .46sin 的近似值计算

则 18010

xx

解 : 设 ,sin)( xxf 取 46x ， 4

450

x

于是由（ 2 ）式得

).(cossinsin 000 xxxxx

719.01802

2

2

2

1804cos

4sin46sin

即