第三章 导数与微分第三章 导数与微分局部变化速度局部变化速度&&局部改变量的估值局部改变量的估值

本章内容本章内容 §1 §1 导数概念导数概念 §2 §2 计算计算 §3 §3 微分概念微分概念

促使微分学产生的三个问题促使微分学产生的三个问题 求变速直线运动的瞬时速度求变速直线运动的瞬时速度 求曲线上一点处的切线求曲线上一点处的切线 求极大值和极小值求极大值和极小值

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§1 §1 导 数 导 数 两个原型两个原型 导数概念导数概念 左、右导数左、右导数 连续性与可导性之间的联系连续性与可导性之间的联系 高阶导数的概念高阶导数的概念

§1.1 §1.1 抽象抽象导数概念的两个现实原型导数概念的两个现实原型 求变速直线运动的瞬时速度求变速直线运动的瞬时速度 求曲线上一点处的切线求曲线上一点处的切线

原型 原型 I I 求瞬时速度求瞬时速度 如果质点作直线匀速直线运动，则如果质点作直线匀速直线运动，则

路程速度＝时间

对变速直线运动，在一个时间段内，速度可以改变很多次，例如汽车在一个小时的行程中，其速度会发生很多变化悬浮在水中的花粉的运动速度，由于水分子的碰撞而速度急剧地变化

用平均速度近似瞬时速度用平均速度近似瞬时速度 瞬时速度可以看作平均速度的极限瞬时速度可以看作平均速度的极限 原理：汽车在一小时内速度经常变原理：汽车在一小时内速度经常变化，但在一个较小的时间段内，其化，但在一个较小的时间段内，其速度变化会较少速度变化会较少

原型 原型 I I 求瞬时速度求瞬时速度 设一质点 设一质点 M M 从点 从点 O O 开始开始作变速直作变速直线运动线运动，经 ，经 T T 秒到达 秒到达 P P 点点 , , 求该质求该质点在 点在 t_0 t_0 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度

原型 原型 I I 求瞬时速度求瞬时速度 以 以 O O 为原点，沿质点运动的方向建立为原点，沿质点运动的方向建立数轴，用 数轴，用 s s 表示质点运动的路程：表示质点运动的路程：

( ), [0, ]s f t t T

求 时刻的瞬时速度 0 [0, ]t T

0 0( )v v t

0 0

1 0

1

,

t t tt t t

M M

给 一个增量 ， 时间从 变到 = + 质点从 点运动到 路程有增量

1 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )s f t f t f t t f t

Step1 求增量

1 0 0 0

1 0

( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t t f tsvt t t t

Step2 求增量比当 Δt 很小时，速度不及有较大的变化，可把质点在 Δt 时间间隔内的运动近似看成匀速运动，求平均速度：

0 00 0 0 0

( ) ( )lim lim limt t t

f t t f tsv vt t

Step3 取极限当 Δt 越来越小，平均速度越来越接近于瞬时速度：

原型 原型 II II 求曲线的切线的斜率求曲线的切线的斜率 求曲线上一点处的切线求曲线上一点处的切线

切线作为割线的极限位置

求切线斜率三部曲求切线斜率三部曲 求增量求增量 求增量比求增量比 取极限取极限

现撇开变量所代表的物理意义，只看它们纯数现撇开变量所代表的物理意义，只看它们纯数学形式，发现以上的问题学形式，发现以上的问题就是要求去计算一个函数的就是要求去计算一个函数的改变量改变量y 0)(

xx xy ，当之比与自变量的改变量

的变化率问题）。时的极限（也即求函数

还有很多实际或理论问题，如物体在某点的加速度，求局部密度等，都可归结为求这样一个极限。于是有必要把这个特定的极限从具体问题中抽象出来加以研究，这便产生了导数的概念。

§1.2 §1.2 导数概念导数概念

导数定义导数定义

的导数。在函数

并称此极限值为可导，在存在，则称

，若的增量，相应取得函数的一个改变量邻域内任给定

在该的某一邻域内有定义，在设

0

0

00

00

00

0

0

)()(

)()(limlim

)()(

)(

xxfyxxfy

xxfxxf

xy

xfxxfyxx

xxfy

xx

000

)()( 0 xxxxxx dxxdf

dxdyyxf 或或或记为：

1.定义：

0

0

0

)()(limlim0 xx

xfxfxy

xxx

右可导，

.右导数

0xf 0xf

说明：说明：

不可导；在不存在，则函数若 00)(lim.3 xxfyx

y

x

限导数是平均变化率的极

的平均变化率；的函数，反映的是函数是

.2 xxy

处的瞬时变化率；函数在

率导数的基本意思是变化

0 ,.1

x

慢程度。变量的变化而变化的快导数反映了因变量随自.4

xyxf

x

00 lim

导数的力学意义导数的力学意义 变速直线运动物体在时刻 变速直线运动物体在时刻 t_0 t_0 的的瞬时速度 瞬时速度 v(t_0) v(t_0) 是路程函数 是路程函数 s=fs=f(t) (t) 在时刻 在时刻 t_0t_0 的导数：的导数：

00 |t tdsvdt

导数的几何意义导数的几何意义 曲线在某点的切线的斜率曲线在某点的切线的斜率

导数计算三部曲导数计算三部曲 求增量求增量 求增量比求增量比 取极限取极限

xy

x

xy

y

0lim).3

).2).1

求求求

求函数导数的步骤

处的导数。在：求幂函数例 2 1 2 xxy

导函数导函数

内可导；在则称函数

内的每一点都可导，在开区间若函数

),()(

),()(.1

baxfy

baxfy

为原函数的导函数。内可导，称在若 )(),()(.2 xfbaxfy

xxfxxfxfy

x

)()(lim)(0

或记为

是变量；是常量，，但在极限过程中）注： xxbax ),(1

.)()(200 xxxfxf ）

处的导数。在：求函数例 1 12 xx

y

的导（函）数。：求函数例 3 xy

1 nn xnx

)(1 为常数

xx

的导数。为常数：求常数函数例 CCxfy )(4

.0常数的导数为

的导数。为常数：求常数函数例 CCxfy )(4

.sin5 的导数：求函数例 xy

22

22

sincos2sinsin

sinsin2coscos

.sin3 的导数：求函数例 xy

xx

xx

sincos

cossin

，

log ( 0 & 1)ay x a a

log ( 0 & 1)ay x a a

1(log ) 'lna x x a

1(ln ) 'xx

三、函数在可导点的局部性质三、函数在可导点的局部性质).()()(

)(

000

0

xfxfxxfxxf

点左右可导，且在点可导在性质：

的导数。在：求函数例 0)(6 xxxf

函数在 x=0是否连续？!不可导

.)()( 00 连续在可导在性质： xxfxxf （反之不一定成立）

)(lim)( 000 xfxxf xy

x

可导在函数

)1()( 0 oxfxy

)1()( 0 oxxxfy

00 yx 时，当

连续在 0)( xxf

，反之不然。可导，则在该点必连续在点函数 0)( xxf

0)()(0 00 xfxfxx 时，当

)).()(()()());()(()()(

)0)((0)()( :

000

000

00

000

xfxfxfxfxxxfxfxfxfxx

xUxxfxfxxf

时，时，

中，的某一去心邻域在

，则点可导，且在设性质

,号性易得分析：由函数的局部保

0)()(lim 00

0

0

xf

xxxfxf

xx 0)()(

0

0 xxxfxf

例：例：

程。写出切线方程和法线方并

处的切线的斜率，，在点：求例 )2(4 211

xy

平行？

线上哪一点处的切线与直：问曲线例

13

5 23

xy

xy

导数几何意义的应用