多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶早稲田大学先進理工学部 物理学科
栗原研究室 B4 丸山 翔平
フォトニック結晶とは
フォトニック結晶空間に対して周期的な屈折率分布を持つ物質
管(wave-guide)の内部だけ屈折率が大きいフェムト秒レーザー加工により製作が可能
wave-guide 型フォトニック結晶
(構成物質石英ガラス)
A Szameit and S Nolte J Phys B 43 163001 (2010)
量子力学との共通点
wave-guideに平行となるよう電磁波を入射する
入射した電磁波
が従う方程式は結晶内部では
となりシュレディンガー方程式と同型量子力学の現象を電磁波で再現できる
入射電磁波
A Szameit and S Nolte J Phys B 43 163001 (2010)
先行研究らせん型wave-guide
Wave-guideの形状をらせん型へ
ここで生じたベクトルポテンシャルにより系がトポロジカル絶縁体と同じ性質を持つ
M C Rechtsman et al Nature 496 196 (2013)
先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
Dirac cone にギャップが開き伝導エッジ状態が現れる
実験的にも伝導エッジ状態は確認されている
直線型 wave-guide らせん型 wave-guide
M C Rechtsman et al Nature 496 196 (2013)
ハニカム格子を元に新たな格子構造を作る
この時バンド構造はどのように変化するか リボン状格子系 ( 80サイト幅 ) に対して
最近接hoppingのみ考慮したtight-binding 模型を用いてエネルギーバンドを求める
研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
単位格子内に n 個のサイト
hellip
新しい格子ではDirac cone が n-1 個連なった多重Dirac Cone 状態が現れるこのことは解析的にも証明することができた
研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
n = 5n = 3 n = 4
研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
各Dirac cone にギャップが開き 伝導エッジ状態が現れる
n = 3 ( = 15) n = 4 ( = 15) n = 5 ( = 2)
先行研究との比較
Topologicalに保護された情報の伝達量をn-1 倍に増やすことができると期待される
先行研究(ハニカム格子) 本研究の格子構造 (n=4)
多チャンネル化
まとめ
本研究の格子構造をもつフォトニック結晶はエネルギーの異なるn-1 個の Dirac cone を持つバンド構造を示す Dirac cone の存在は解析的にも証明できた
さらに wave-guide をらせん型にするとDirac cone にギャップが開きn-1 個の伝導エッジ状態が生じる
ハニカム格子と比較してエッジ状態の数が 1 rarr n-1 個に増えるためトポロジカルに保護された情報の伝達量を倍増できると期待できる
Appendixフォトニック結晶の作成
フェムト秒レーザー エネルギーを
フェムト秒 ( ) に圧縮した高強度のパルスレーザー
多光子吸収
の共有結合( )を多光子吸収により切断する 密度の増加屈折率の上昇
A Szameit amp S Nolte J Phys B 43 163001 (2010)
Appendix電場の時間発展について
通常のシュレディンガー方程式と比較すると t rarr z となっている
z 軸に平行な切り口の強度分布がシュレディンガー方程式の時間発展に対応
入射レーザー
Appendixtight-binding 模型
光は管に局在するrArr tight-binding 模型で近似
量子力学と同様の現象を光を使って再現できる
反射時光が一部染み出す(エバネッセント場)
入射レーザー
Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
新しい格子構造のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
(新しい格子構造+らせん型wave-guide)のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix時間依存するハミルトニアン
ハミルトニアンが z に依存しているためエネルギー固有状態は存在しない
ただし今回ハミルトニアンが時間に周期的であるため波動関数は Floquet 状態であらわすことができる
ここで は quasi-energy と呼ばれ
で定義される の固有値となる
( =時間順序積)
T Kitagawa et al Phys Rev B 84 235108 (2011)
Appendix実空間における光強度の分布
n=4 の場合についてエッジ状態を実空間に変換し光の強度分布を調べる
hellip
Appendix実空間における光強度の分布
各エッジ状態に対し光強度分布が異なる
光強度分布の違いからも情報伝達のマルチチャンネル化が期待される
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
( )
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
らせん半径の小さい範囲では格子の角に位相を背負った second-neighbor hopping が現れている らせんによるカイラル対称性の破れの具体的な表現
実際に second-neighbor hopping を考慮したハミルトニアンを用いてエネルギーバンドを計算すると伝導エッジ状態が現れることが確認できる
Appendix 全反射の起こる条件
全反射が起こるための臨界入射角 は
石英ガラスを用いた先行研究の例では
であるため と計算できる
格子上の電磁場はどのように分布しているか (特にDirac point の近傍)
Dirac point の存在する波数 を に代入し
固有関数を求めることで次の電磁場分布を得る
これを拡張し次の電磁場分布が の固有関数であると仮定
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
左から順に
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
固有方程式 を解くと
のとき上の方程式は満たされるため
仮定した固有状態が実在することとなる
特に (縮退点) 近傍のエネルギーは
分散が線形rArr Dirac Cone
Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
flat 1-beard 2-beard
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
- フォトニック結晶とは
- 量子力学との共通点
- 先行研究らせん型wave-guide
- 先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
- 研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
- 研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
- 先行研究との比較
- まとめ
- Appendixフォトニック結晶の作成
- Appendix電場の時間発展について
- Appendixtight-binding 模型
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
- Appendix時間依存するハミルトニアン
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
- Appendix TKNN数の数値計算結果
-
フォトニック結晶とは
フォトニック結晶空間に対して周期的な屈折率分布を持つ物質
管(wave-guide)の内部だけ屈折率が大きいフェムト秒レーザー加工により製作が可能
wave-guide 型フォトニック結晶
(構成物質石英ガラス)
A Szameit and S Nolte J Phys B 43 163001 (2010)
量子力学との共通点
wave-guideに平行となるよう電磁波を入射する
入射した電磁波
が従う方程式は結晶内部では
となりシュレディンガー方程式と同型量子力学の現象を電磁波で再現できる
入射電磁波
A Szameit and S Nolte J Phys B 43 163001 (2010)
先行研究らせん型wave-guide
Wave-guideの形状をらせん型へ
ここで生じたベクトルポテンシャルにより系がトポロジカル絶縁体と同じ性質を持つ
M C Rechtsman et al Nature 496 196 (2013)
先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
Dirac cone にギャップが開き伝導エッジ状態が現れる
実験的にも伝導エッジ状態は確認されている
直線型 wave-guide らせん型 wave-guide
M C Rechtsman et al Nature 496 196 (2013)
ハニカム格子を元に新たな格子構造を作る
この時バンド構造はどのように変化するか リボン状格子系 ( 80サイト幅 ) に対して
最近接hoppingのみ考慮したtight-binding 模型を用いてエネルギーバンドを求める
研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
単位格子内に n 個のサイト
hellip
新しい格子ではDirac cone が n-1 個連なった多重Dirac Cone 状態が現れるこのことは解析的にも証明することができた
研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
n = 5n = 3 n = 4
研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
各Dirac cone にギャップが開き 伝導エッジ状態が現れる
n = 3 ( = 15) n = 4 ( = 15) n = 5 ( = 2)
先行研究との比較
Topologicalに保護された情報の伝達量をn-1 倍に増やすことができると期待される
先行研究(ハニカム格子) 本研究の格子構造 (n=4)
多チャンネル化
まとめ
本研究の格子構造をもつフォトニック結晶はエネルギーの異なるn-1 個の Dirac cone を持つバンド構造を示す Dirac cone の存在は解析的にも証明できた
さらに wave-guide をらせん型にするとDirac cone にギャップが開きn-1 個の伝導エッジ状態が生じる
ハニカム格子と比較してエッジ状態の数が 1 rarr n-1 個に増えるためトポロジカルに保護された情報の伝達量を倍増できると期待できる
Appendixフォトニック結晶の作成
フェムト秒レーザー エネルギーを
フェムト秒 ( ) に圧縮した高強度のパルスレーザー
多光子吸収
の共有結合( )を多光子吸収により切断する 密度の増加屈折率の上昇
A Szameit amp S Nolte J Phys B 43 163001 (2010)
Appendix電場の時間発展について
通常のシュレディンガー方程式と比較すると t rarr z となっている
z 軸に平行な切り口の強度分布がシュレディンガー方程式の時間発展に対応
入射レーザー
Appendixtight-binding 模型
光は管に局在するrArr tight-binding 模型で近似
量子力学と同様の現象を光を使って再現できる
反射時光が一部染み出す(エバネッセント場)
入射レーザー
Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
新しい格子構造のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
(新しい格子構造+らせん型wave-guide)のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix時間依存するハミルトニアン
ハミルトニアンが z に依存しているためエネルギー固有状態は存在しない
ただし今回ハミルトニアンが時間に周期的であるため波動関数は Floquet 状態であらわすことができる
ここで は quasi-energy と呼ばれ
で定義される の固有値となる
( =時間順序積)
T Kitagawa et al Phys Rev B 84 235108 (2011)
Appendix実空間における光強度の分布
n=4 の場合についてエッジ状態を実空間に変換し光の強度分布を調べる
hellip
Appendix実空間における光強度の分布
各エッジ状態に対し光強度分布が異なる
光強度分布の違いからも情報伝達のマルチチャンネル化が期待される
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
( )
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
らせん半径の小さい範囲では格子の角に位相を背負った second-neighbor hopping が現れている らせんによるカイラル対称性の破れの具体的な表現
実際に second-neighbor hopping を考慮したハミルトニアンを用いてエネルギーバンドを計算すると伝導エッジ状態が現れることが確認できる
Appendix 全反射の起こる条件
全反射が起こるための臨界入射角 は
石英ガラスを用いた先行研究の例では
であるため と計算できる
格子上の電磁場はどのように分布しているか (特にDirac point の近傍)
Dirac point の存在する波数 を に代入し
固有関数を求めることで次の電磁場分布を得る
これを拡張し次の電磁場分布が の固有関数であると仮定
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
左から順に
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
固有方程式 を解くと
のとき上の方程式は満たされるため
仮定した固有状態が実在することとなる
特に (縮退点) 近傍のエネルギーは
分散が線形rArr Dirac Cone
Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
flat 1-beard 2-beard
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
- フォトニック結晶とは
- 量子力学との共通点
- 先行研究らせん型wave-guide
- 先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
- 研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
- 研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
- 先行研究との比較
- まとめ
- Appendixフォトニック結晶の作成
- Appendix電場の時間発展について
- Appendixtight-binding 模型
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
- Appendix時間依存するハミルトニアン
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
- Appendix TKNN数の数値計算結果
-
量子力学との共通点
wave-guideに平行となるよう電磁波を入射する
入射した電磁波
が従う方程式は結晶内部では
となりシュレディンガー方程式と同型量子力学の現象を電磁波で再現できる
入射電磁波
A Szameit and S Nolte J Phys B 43 163001 (2010)
先行研究らせん型wave-guide
Wave-guideの形状をらせん型へ
ここで生じたベクトルポテンシャルにより系がトポロジカル絶縁体と同じ性質を持つ
M C Rechtsman et al Nature 496 196 (2013)
先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
Dirac cone にギャップが開き伝導エッジ状態が現れる
実験的にも伝導エッジ状態は確認されている
直線型 wave-guide らせん型 wave-guide
M C Rechtsman et al Nature 496 196 (2013)
ハニカム格子を元に新たな格子構造を作る
この時バンド構造はどのように変化するか リボン状格子系 ( 80サイト幅 ) に対して
最近接hoppingのみ考慮したtight-binding 模型を用いてエネルギーバンドを求める
研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
単位格子内に n 個のサイト
hellip
新しい格子ではDirac cone が n-1 個連なった多重Dirac Cone 状態が現れるこのことは解析的にも証明することができた
研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
n = 5n = 3 n = 4
研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
各Dirac cone にギャップが開き 伝導エッジ状態が現れる
n = 3 ( = 15) n = 4 ( = 15) n = 5 ( = 2)
先行研究との比較
Topologicalに保護された情報の伝達量をn-1 倍に増やすことができると期待される
先行研究(ハニカム格子) 本研究の格子構造 (n=4)
多チャンネル化
まとめ
本研究の格子構造をもつフォトニック結晶はエネルギーの異なるn-1 個の Dirac cone を持つバンド構造を示す Dirac cone の存在は解析的にも証明できた
さらに wave-guide をらせん型にするとDirac cone にギャップが開きn-1 個の伝導エッジ状態が生じる
ハニカム格子と比較してエッジ状態の数が 1 rarr n-1 個に増えるためトポロジカルに保護された情報の伝達量を倍増できると期待できる
Appendixフォトニック結晶の作成
フェムト秒レーザー エネルギーを
フェムト秒 ( ) に圧縮した高強度のパルスレーザー
多光子吸収
の共有結合( )を多光子吸収により切断する 密度の増加屈折率の上昇
A Szameit amp S Nolte J Phys B 43 163001 (2010)
Appendix電場の時間発展について
通常のシュレディンガー方程式と比較すると t rarr z となっている
z 軸に平行な切り口の強度分布がシュレディンガー方程式の時間発展に対応
入射レーザー
Appendixtight-binding 模型
光は管に局在するrArr tight-binding 模型で近似
量子力学と同様の現象を光を使って再現できる
反射時光が一部染み出す(エバネッセント場)
入射レーザー
Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
新しい格子構造のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
(新しい格子構造+らせん型wave-guide)のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix時間依存するハミルトニアン
ハミルトニアンが z に依存しているためエネルギー固有状態は存在しない
ただし今回ハミルトニアンが時間に周期的であるため波動関数は Floquet 状態であらわすことができる
ここで は quasi-energy と呼ばれ
で定義される の固有値となる
( =時間順序積)
T Kitagawa et al Phys Rev B 84 235108 (2011)
Appendix実空間における光強度の分布
n=4 の場合についてエッジ状態を実空間に変換し光の強度分布を調べる
hellip
Appendix実空間における光強度の分布
各エッジ状態に対し光強度分布が異なる
光強度分布の違いからも情報伝達のマルチチャンネル化が期待される
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
( )
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
らせん半径の小さい範囲では格子の角に位相を背負った second-neighbor hopping が現れている らせんによるカイラル対称性の破れの具体的な表現
実際に second-neighbor hopping を考慮したハミルトニアンを用いてエネルギーバンドを計算すると伝導エッジ状態が現れることが確認できる
Appendix 全反射の起こる条件
全反射が起こるための臨界入射角 は
石英ガラスを用いた先行研究の例では
であるため と計算できる
格子上の電磁場はどのように分布しているか (特にDirac point の近傍)
Dirac point の存在する波数 を に代入し
固有関数を求めることで次の電磁場分布を得る
これを拡張し次の電磁場分布が の固有関数であると仮定
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
左から順に
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
固有方程式 を解くと
のとき上の方程式は満たされるため
仮定した固有状態が実在することとなる
特に (縮退点) 近傍のエネルギーは
分散が線形rArr Dirac Cone
Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
flat 1-beard 2-beard
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
- フォトニック結晶とは
- 量子力学との共通点
- 先行研究らせん型wave-guide
- 先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
- 研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
- 研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
- 先行研究との比較
- まとめ
- Appendixフォトニック結晶の作成
- Appendix電場の時間発展について
- Appendixtight-binding 模型
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
- Appendix時間依存するハミルトニアン
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
- Appendix TKNN数の数値計算結果
-
先行研究らせん型wave-guide
Wave-guideの形状をらせん型へ
ここで生じたベクトルポテンシャルにより系がトポロジカル絶縁体と同じ性質を持つ
M C Rechtsman et al Nature 496 196 (2013)
先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
Dirac cone にギャップが開き伝導エッジ状態が現れる
実験的にも伝導エッジ状態は確認されている
直線型 wave-guide らせん型 wave-guide
M C Rechtsman et al Nature 496 196 (2013)
ハニカム格子を元に新たな格子構造を作る
この時バンド構造はどのように変化するか リボン状格子系 ( 80サイト幅 ) に対して
最近接hoppingのみ考慮したtight-binding 模型を用いてエネルギーバンドを求める
研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
単位格子内に n 個のサイト
hellip
新しい格子ではDirac cone が n-1 個連なった多重Dirac Cone 状態が現れるこのことは解析的にも証明することができた
研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
n = 5n = 3 n = 4
研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
各Dirac cone にギャップが開き 伝導エッジ状態が現れる
n = 3 ( = 15) n = 4 ( = 15) n = 5 ( = 2)
先行研究との比較
Topologicalに保護された情報の伝達量をn-1 倍に増やすことができると期待される
先行研究(ハニカム格子) 本研究の格子構造 (n=4)
多チャンネル化
まとめ
本研究の格子構造をもつフォトニック結晶はエネルギーの異なるn-1 個の Dirac cone を持つバンド構造を示す Dirac cone の存在は解析的にも証明できた
さらに wave-guide をらせん型にするとDirac cone にギャップが開きn-1 個の伝導エッジ状態が生じる
ハニカム格子と比較してエッジ状態の数が 1 rarr n-1 個に増えるためトポロジカルに保護された情報の伝達量を倍増できると期待できる
Appendixフォトニック結晶の作成
フェムト秒レーザー エネルギーを
フェムト秒 ( ) に圧縮した高強度のパルスレーザー
多光子吸収
の共有結合( )を多光子吸収により切断する 密度の増加屈折率の上昇
A Szameit amp S Nolte J Phys B 43 163001 (2010)
Appendix電場の時間発展について
通常のシュレディンガー方程式と比較すると t rarr z となっている
z 軸に平行な切り口の強度分布がシュレディンガー方程式の時間発展に対応
入射レーザー
Appendixtight-binding 模型
光は管に局在するrArr tight-binding 模型で近似
量子力学と同様の現象を光を使って再現できる
反射時光が一部染み出す(エバネッセント場)
入射レーザー
Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
新しい格子構造のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
(新しい格子構造+らせん型wave-guide)のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix時間依存するハミルトニアン
ハミルトニアンが z に依存しているためエネルギー固有状態は存在しない
ただし今回ハミルトニアンが時間に周期的であるため波動関数は Floquet 状態であらわすことができる
ここで は quasi-energy と呼ばれ
で定義される の固有値となる
( =時間順序積)
T Kitagawa et al Phys Rev B 84 235108 (2011)
Appendix実空間における光強度の分布
n=4 の場合についてエッジ状態を実空間に変換し光の強度分布を調べる
hellip
Appendix実空間における光強度の分布
各エッジ状態に対し光強度分布が異なる
光強度分布の違いからも情報伝達のマルチチャンネル化が期待される
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
( )
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
らせん半径の小さい範囲では格子の角に位相を背負った second-neighbor hopping が現れている らせんによるカイラル対称性の破れの具体的な表現
実際に second-neighbor hopping を考慮したハミルトニアンを用いてエネルギーバンドを計算すると伝導エッジ状態が現れることが確認できる
Appendix 全反射の起こる条件
全反射が起こるための臨界入射角 は
石英ガラスを用いた先行研究の例では
であるため と計算できる
格子上の電磁場はどのように分布しているか (特にDirac point の近傍)
Dirac point の存在する波数 を に代入し
固有関数を求めることで次の電磁場分布を得る
これを拡張し次の電磁場分布が の固有関数であると仮定
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
左から順に
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
固有方程式 を解くと
のとき上の方程式は満たされるため
仮定した固有状態が実在することとなる
特に (縮退点) 近傍のエネルギーは
分散が線形rArr Dirac Cone
Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
flat 1-beard 2-beard
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
- フォトニック結晶とは
- 量子力学との共通点
- 先行研究らせん型wave-guide
- 先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
- 研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
- 研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
- 先行研究との比較
- まとめ
- Appendixフォトニック結晶の作成
- Appendix電場の時間発展について
- Appendixtight-binding 模型
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
- Appendix時間依存するハミルトニアン
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
- Appendix TKNN数の数値計算結果
-
先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
Dirac cone にギャップが開き伝導エッジ状態が現れる
実験的にも伝導エッジ状態は確認されている
直線型 wave-guide らせん型 wave-guide
M C Rechtsman et al Nature 496 196 (2013)
ハニカム格子を元に新たな格子構造を作る
この時バンド構造はどのように変化するか リボン状格子系 ( 80サイト幅 ) に対して
最近接hoppingのみ考慮したtight-binding 模型を用いてエネルギーバンドを求める
研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
単位格子内に n 個のサイト
hellip
新しい格子ではDirac cone が n-1 個連なった多重Dirac Cone 状態が現れるこのことは解析的にも証明することができた
研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
n = 5n = 3 n = 4
研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
各Dirac cone にギャップが開き 伝導エッジ状態が現れる
n = 3 ( = 15) n = 4 ( = 15) n = 5 ( = 2)
先行研究との比較
Topologicalに保護された情報の伝達量をn-1 倍に増やすことができると期待される
先行研究(ハニカム格子) 本研究の格子構造 (n=4)
多チャンネル化
まとめ
本研究の格子構造をもつフォトニック結晶はエネルギーの異なるn-1 個の Dirac cone を持つバンド構造を示す Dirac cone の存在は解析的にも証明できた
さらに wave-guide をらせん型にするとDirac cone にギャップが開きn-1 個の伝導エッジ状態が生じる
ハニカム格子と比較してエッジ状態の数が 1 rarr n-1 個に増えるためトポロジカルに保護された情報の伝達量を倍増できると期待できる
Appendixフォトニック結晶の作成
フェムト秒レーザー エネルギーを
フェムト秒 ( ) に圧縮した高強度のパルスレーザー
多光子吸収
の共有結合( )を多光子吸収により切断する 密度の増加屈折率の上昇
A Szameit amp S Nolte J Phys B 43 163001 (2010)
Appendix電場の時間発展について
通常のシュレディンガー方程式と比較すると t rarr z となっている
z 軸に平行な切り口の強度分布がシュレディンガー方程式の時間発展に対応
入射レーザー
Appendixtight-binding 模型
光は管に局在するrArr tight-binding 模型で近似
量子力学と同様の現象を光を使って再現できる
反射時光が一部染み出す(エバネッセント場)
入射レーザー
Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
新しい格子構造のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
(新しい格子構造+らせん型wave-guide)のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix時間依存するハミルトニアン
ハミルトニアンが z に依存しているためエネルギー固有状態は存在しない
ただし今回ハミルトニアンが時間に周期的であるため波動関数は Floquet 状態であらわすことができる
ここで は quasi-energy と呼ばれ
で定義される の固有値となる
( =時間順序積)
T Kitagawa et al Phys Rev B 84 235108 (2011)
Appendix実空間における光強度の分布
n=4 の場合についてエッジ状態を実空間に変換し光の強度分布を調べる
hellip
Appendix実空間における光強度の分布
各エッジ状態に対し光強度分布が異なる
光強度分布の違いからも情報伝達のマルチチャンネル化が期待される
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
( )
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
らせん半径の小さい範囲では格子の角に位相を背負った second-neighbor hopping が現れている らせんによるカイラル対称性の破れの具体的な表現
実際に second-neighbor hopping を考慮したハミルトニアンを用いてエネルギーバンドを計算すると伝導エッジ状態が現れることが確認できる
Appendix 全反射の起こる条件
全反射が起こるための臨界入射角 は
石英ガラスを用いた先行研究の例では
であるため と計算できる
格子上の電磁場はどのように分布しているか (特にDirac point の近傍)
Dirac point の存在する波数 を に代入し
固有関数を求めることで次の電磁場分布を得る
これを拡張し次の電磁場分布が の固有関数であると仮定
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
左から順に
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
固有方程式 を解くと
のとき上の方程式は満たされるため
仮定した固有状態が実在することとなる
特に (縮退点) 近傍のエネルギーは
分散が線形rArr Dirac Cone
Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
flat 1-beard 2-beard
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
- フォトニック結晶とは
- 量子力学との共通点
- 先行研究らせん型wave-guide
- 先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
- 研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
- 研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
- 先行研究との比較
- まとめ
- Appendixフォトニック結晶の作成
- Appendix電場の時間発展について
- Appendixtight-binding 模型
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
- Appendix時間依存するハミルトニアン
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
- Appendix TKNN数の数値計算結果
-
ハニカム格子を元に新たな格子構造を作る
この時バンド構造はどのように変化するか リボン状格子系 ( 80サイト幅 ) に対して
最近接hoppingのみ考慮したtight-binding 模型を用いてエネルギーバンドを求める
研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
単位格子内に n 個のサイト
hellip
新しい格子ではDirac cone が n-1 個連なった多重Dirac Cone 状態が現れるこのことは解析的にも証明することができた
研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
n = 5n = 3 n = 4
研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
各Dirac cone にギャップが開き 伝導エッジ状態が現れる
n = 3 ( = 15) n = 4 ( = 15) n = 5 ( = 2)
先行研究との比較
Topologicalに保護された情報の伝達量をn-1 倍に増やすことができると期待される
先行研究(ハニカム格子) 本研究の格子構造 (n=4)
多チャンネル化
まとめ
本研究の格子構造をもつフォトニック結晶はエネルギーの異なるn-1 個の Dirac cone を持つバンド構造を示す Dirac cone の存在は解析的にも証明できた
さらに wave-guide をらせん型にするとDirac cone にギャップが開きn-1 個の伝導エッジ状態が生じる
ハニカム格子と比較してエッジ状態の数が 1 rarr n-1 個に増えるためトポロジカルに保護された情報の伝達量を倍増できると期待できる
Appendixフォトニック結晶の作成
フェムト秒レーザー エネルギーを
フェムト秒 ( ) に圧縮した高強度のパルスレーザー
多光子吸収
の共有結合( )を多光子吸収により切断する 密度の増加屈折率の上昇
A Szameit amp S Nolte J Phys B 43 163001 (2010)
Appendix電場の時間発展について
通常のシュレディンガー方程式と比較すると t rarr z となっている
z 軸に平行な切り口の強度分布がシュレディンガー方程式の時間発展に対応
入射レーザー
Appendixtight-binding 模型
光は管に局在するrArr tight-binding 模型で近似
量子力学と同様の現象を光を使って再現できる
反射時光が一部染み出す(エバネッセント場)
入射レーザー
Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
新しい格子構造のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
(新しい格子構造+らせん型wave-guide)のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix時間依存するハミルトニアン
ハミルトニアンが z に依存しているためエネルギー固有状態は存在しない
ただし今回ハミルトニアンが時間に周期的であるため波動関数は Floquet 状態であらわすことができる
ここで は quasi-energy と呼ばれ
で定義される の固有値となる
( =時間順序積)
T Kitagawa et al Phys Rev B 84 235108 (2011)
Appendix実空間における光強度の分布
n=4 の場合についてエッジ状態を実空間に変換し光の強度分布を調べる
hellip
Appendix実空間における光強度の分布
各エッジ状態に対し光強度分布が異なる
光強度分布の違いからも情報伝達のマルチチャンネル化が期待される
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
( )
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
らせん半径の小さい範囲では格子の角に位相を背負った second-neighbor hopping が現れている らせんによるカイラル対称性の破れの具体的な表現
実際に second-neighbor hopping を考慮したハミルトニアンを用いてエネルギーバンドを計算すると伝導エッジ状態が現れることが確認できる
Appendix 全反射の起こる条件
全反射が起こるための臨界入射角 は
石英ガラスを用いた先行研究の例では
であるため と計算できる
格子上の電磁場はどのように分布しているか (特にDirac point の近傍)
Dirac point の存在する波数 を に代入し
固有関数を求めることで次の電磁場分布を得る
これを拡張し次の電磁場分布が の固有関数であると仮定
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
左から順に
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
固有方程式 を解くと
のとき上の方程式は満たされるため
仮定した固有状態が実在することとなる
特に (縮退点) 近傍のエネルギーは
分散が線形rArr Dirac Cone
Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
flat 1-beard 2-beard
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
- フォトニック結晶とは
- 量子力学との共通点
- 先行研究らせん型wave-guide
- 先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
- 研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
- 研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
- 先行研究との比較
- まとめ
- Appendixフォトニック結晶の作成
- Appendix電場の時間発展について
- Appendixtight-binding 模型
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
- Appendix時間依存するハミルトニアン
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
- Appendix TKNN数の数値計算結果
-
新しい格子ではDirac cone が n-1 個連なった多重Dirac Cone 状態が現れるこのことは解析的にも証明することができた
研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
n = 5n = 3 n = 4
研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
各Dirac cone にギャップが開き 伝導エッジ状態が現れる
n = 3 ( = 15) n = 4 ( = 15) n = 5 ( = 2)
先行研究との比較
Topologicalに保護された情報の伝達量をn-1 倍に増やすことができると期待される
先行研究(ハニカム格子) 本研究の格子構造 (n=4)
多チャンネル化
まとめ
本研究の格子構造をもつフォトニック結晶はエネルギーの異なるn-1 個の Dirac cone を持つバンド構造を示す Dirac cone の存在は解析的にも証明できた
さらに wave-guide をらせん型にするとDirac cone にギャップが開きn-1 個の伝導エッジ状態が生じる
ハニカム格子と比較してエッジ状態の数が 1 rarr n-1 個に増えるためトポロジカルに保護された情報の伝達量を倍増できると期待できる
Appendixフォトニック結晶の作成
フェムト秒レーザー エネルギーを
フェムト秒 ( ) に圧縮した高強度のパルスレーザー
多光子吸収
の共有結合( )を多光子吸収により切断する 密度の増加屈折率の上昇
A Szameit amp S Nolte J Phys B 43 163001 (2010)
Appendix電場の時間発展について
通常のシュレディンガー方程式と比較すると t rarr z となっている
z 軸に平行な切り口の強度分布がシュレディンガー方程式の時間発展に対応
入射レーザー
Appendixtight-binding 模型
光は管に局在するrArr tight-binding 模型で近似
量子力学と同様の現象を光を使って再現できる
反射時光が一部染み出す(エバネッセント場)
入射レーザー
Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
新しい格子構造のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
(新しい格子構造+らせん型wave-guide)のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix時間依存するハミルトニアン
ハミルトニアンが z に依存しているためエネルギー固有状態は存在しない
ただし今回ハミルトニアンが時間に周期的であるため波動関数は Floquet 状態であらわすことができる
ここで は quasi-energy と呼ばれ
で定義される の固有値となる
( =時間順序積)
T Kitagawa et al Phys Rev B 84 235108 (2011)
Appendix実空間における光強度の分布
n=4 の場合についてエッジ状態を実空間に変換し光の強度分布を調べる
hellip
Appendix実空間における光強度の分布
各エッジ状態に対し光強度分布が異なる
光強度分布の違いからも情報伝達のマルチチャンネル化が期待される
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
( )
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
らせん半径の小さい範囲では格子の角に位相を背負った second-neighbor hopping が現れている らせんによるカイラル対称性の破れの具体的な表現
実際に second-neighbor hopping を考慮したハミルトニアンを用いてエネルギーバンドを計算すると伝導エッジ状態が現れることが確認できる
Appendix 全反射の起こる条件
全反射が起こるための臨界入射角 は
石英ガラスを用いた先行研究の例では
であるため と計算できる
格子上の電磁場はどのように分布しているか (特にDirac point の近傍)
Dirac point の存在する波数 を に代入し
固有関数を求めることで次の電磁場分布を得る
これを拡張し次の電磁場分布が の固有関数であると仮定
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
左から順に
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
固有方程式 を解くと
のとき上の方程式は満たされるため
仮定した固有状態が実在することとなる
特に (縮退点) 近傍のエネルギーは
分散が線形rArr Dirac Cone
Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
flat 1-beard 2-beard
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
- フォトニック結晶とは
- 量子力学との共通点
- 先行研究らせん型wave-guide
- 先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
- 研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
- 研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
- 先行研究との比較
- まとめ
- Appendixフォトニック結晶の作成
- Appendix電場の時間発展について
- Appendixtight-binding 模型
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
- Appendix時間依存するハミルトニアン
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
- Appendix TKNN数の数値計算結果
-
研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
各Dirac cone にギャップが開き 伝導エッジ状態が現れる
n = 3 ( = 15) n = 4 ( = 15) n = 5 ( = 2)
先行研究との比較
Topologicalに保護された情報の伝達量をn-1 倍に増やすことができると期待される
先行研究(ハニカム格子) 本研究の格子構造 (n=4)
多チャンネル化
まとめ
本研究の格子構造をもつフォトニック結晶はエネルギーの異なるn-1 個の Dirac cone を持つバンド構造を示す Dirac cone の存在は解析的にも証明できた
さらに wave-guide をらせん型にするとDirac cone にギャップが開きn-1 個の伝導エッジ状態が生じる
ハニカム格子と比較してエッジ状態の数が 1 rarr n-1 個に増えるためトポロジカルに保護された情報の伝達量を倍増できると期待できる
Appendixフォトニック結晶の作成
フェムト秒レーザー エネルギーを
フェムト秒 ( ) に圧縮した高強度のパルスレーザー
多光子吸収
の共有結合( )を多光子吸収により切断する 密度の増加屈折率の上昇
A Szameit amp S Nolte J Phys B 43 163001 (2010)
Appendix電場の時間発展について
通常のシュレディンガー方程式と比較すると t rarr z となっている
z 軸に平行な切り口の強度分布がシュレディンガー方程式の時間発展に対応
入射レーザー
Appendixtight-binding 模型
光は管に局在するrArr tight-binding 模型で近似
量子力学と同様の現象を光を使って再現できる
反射時光が一部染み出す(エバネッセント場)
入射レーザー
Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
新しい格子構造のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
(新しい格子構造+らせん型wave-guide)のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix時間依存するハミルトニアン
ハミルトニアンが z に依存しているためエネルギー固有状態は存在しない
ただし今回ハミルトニアンが時間に周期的であるため波動関数は Floquet 状態であらわすことができる
ここで は quasi-energy と呼ばれ
で定義される の固有値となる
( =時間順序積)
T Kitagawa et al Phys Rev B 84 235108 (2011)
Appendix実空間における光強度の分布
n=4 の場合についてエッジ状態を実空間に変換し光の強度分布を調べる
hellip
Appendix実空間における光強度の分布
各エッジ状態に対し光強度分布が異なる
光強度分布の違いからも情報伝達のマルチチャンネル化が期待される
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
( )
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
らせん半径の小さい範囲では格子の角に位相を背負った second-neighbor hopping が現れている らせんによるカイラル対称性の破れの具体的な表現
実際に second-neighbor hopping を考慮したハミルトニアンを用いてエネルギーバンドを計算すると伝導エッジ状態が現れることが確認できる
Appendix 全反射の起こる条件
全反射が起こるための臨界入射角 は
石英ガラスを用いた先行研究の例では
であるため と計算できる
格子上の電磁場はどのように分布しているか (特にDirac point の近傍)
Dirac point の存在する波数 を に代入し
固有関数を求めることで次の電磁場分布を得る
これを拡張し次の電磁場分布が の固有関数であると仮定
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
左から順に
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
固有方程式 を解くと
のとき上の方程式は満たされるため
仮定した固有状態が実在することとなる
特に (縮退点) 近傍のエネルギーは
分散が線形rArr Dirac Cone
Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
flat 1-beard 2-beard
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
- フォトニック結晶とは
- 量子力学との共通点
- 先行研究らせん型wave-guide
- 先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
- 研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
- 研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
- 先行研究との比較
- まとめ
- Appendixフォトニック結晶の作成
- Appendix電場の時間発展について
- Appendixtight-binding 模型
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
- Appendix時間依存するハミルトニアン
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
- Appendix TKNN数の数値計算結果
-
先行研究との比較
Topologicalに保護された情報の伝達量をn-1 倍に増やすことができると期待される
先行研究(ハニカム格子) 本研究の格子構造 (n=4)
多チャンネル化
まとめ
本研究の格子構造をもつフォトニック結晶はエネルギーの異なるn-1 個の Dirac cone を持つバンド構造を示す Dirac cone の存在は解析的にも証明できた
さらに wave-guide をらせん型にするとDirac cone にギャップが開きn-1 個の伝導エッジ状態が生じる
ハニカム格子と比較してエッジ状態の数が 1 rarr n-1 個に増えるためトポロジカルに保護された情報の伝達量を倍増できると期待できる
Appendixフォトニック結晶の作成
フェムト秒レーザー エネルギーを
フェムト秒 ( ) に圧縮した高強度のパルスレーザー
多光子吸収
の共有結合( )を多光子吸収により切断する 密度の増加屈折率の上昇
A Szameit amp S Nolte J Phys B 43 163001 (2010)
Appendix電場の時間発展について
通常のシュレディンガー方程式と比較すると t rarr z となっている
z 軸に平行な切り口の強度分布がシュレディンガー方程式の時間発展に対応
入射レーザー
Appendixtight-binding 模型
光は管に局在するrArr tight-binding 模型で近似
量子力学と同様の現象を光を使って再現できる
反射時光が一部染み出す(エバネッセント場)
入射レーザー
Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
新しい格子構造のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
(新しい格子構造+らせん型wave-guide)のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix時間依存するハミルトニアン
ハミルトニアンが z に依存しているためエネルギー固有状態は存在しない
ただし今回ハミルトニアンが時間に周期的であるため波動関数は Floquet 状態であらわすことができる
ここで は quasi-energy と呼ばれ
で定義される の固有値となる
( =時間順序積)
T Kitagawa et al Phys Rev B 84 235108 (2011)
Appendix実空間における光強度の分布
n=4 の場合についてエッジ状態を実空間に変換し光の強度分布を調べる
hellip
Appendix実空間における光強度の分布
各エッジ状態に対し光強度分布が異なる
光強度分布の違いからも情報伝達のマルチチャンネル化が期待される
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
( )
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
らせん半径の小さい範囲では格子の角に位相を背負った second-neighbor hopping が現れている らせんによるカイラル対称性の破れの具体的な表現
実際に second-neighbor hopping を考慮したハミルトニアンを用いてエネルギーバンドを計算すると伝導エッジ状態が現れることが確認できる
Appendix 全反射の起こる条件
全反射が起こるための臨界入射角 は
石英ガラスを用いた先行研究の例では
であるため と計算できる
格子上の電磁場はどのように分布しているか (特にDirac point の近傍)
Dirac point の存在する波数 を に代入し
固有関数を求めることで次の電磁場分布を得る
これを拡張し次の電磁場分布が の固有関数であると仮定
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
左から順に
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
固有方程式 を解くと
のとき上の方程式は満たされるため
仮定した固有状態が実在することとなる
特に (縮退点) 近傍のエネルギーは
分散が線形rArr Dirac Cone
Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
flat 1-beard 2-beard
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
- フォトニック結晶とは
- 量子力学との共通点
- 先行研究らせん型wave-guide
- 先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
- 研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
- 研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
- 先行研究との比較
- まとめ
- Appendixフォトニック結晶の作成
- Appendix電場の時間発展について
- Appendixtight-binding 模型
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
- Appendix時間依存するハミルトニアン
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
- Appendix TKNN数の数値計算結果
-
まとめ
本研究の格子構造をもつフォトニック結晶はエネルギーの異なるn-1 個の Dirac cone を持つバンド構造を示す Dirac cone の存在は解析的にも証明できた
さらに wave-guide をらせん型にするとDirac cone にギャップが開きn-1 個の伝導エッジ状態が生じる
ハニカム格子と比較してエッジ状態の数が 1 rarr n-1 個に増えるためトポロジカルに保護された情報の伝達量を倍増できると期待できる
Appendixフォトニック結晶の作成
フェムト秒レーザー エネルギーを
フェムト秒 ( ) に圧縮した高強度のパルスレーザー
多光子吸収
の共有結合( )を多光子吸収により切断する 密度の増加屈折率の上昇
A Szameit amp S Nolte J Phys B 43 163001 (2010)
Appendix電場の時間発展について
通常のシュレディンガー方程式と比較すると t rarr z となっている
z 軸に平行な切り口の強度分布がシュレディンガー方程式の時間発展に対応
入射レーザー
Appendixtight-binding 模型
光は管に局在するrArr tight-binding 模型で近似
量子力学と同様の現象を光を使って再現できる
反射時光が一部染み出す(エバネッセント場)
入射レーザー
Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
新しい格子構造のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
(新しい格子構造+らせん型wave-guide)のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix時間依存するハミルトニアン
ハミルトニアンが z に依存しているためエネルギー固有状態は存在しない
ただし今回ハミルトニアンが時間に周期的であるため波動関数は Floquet 状態であらわすことができる
ここで は quasi-energy と呼ばれ
で定義される の固有値となる
( =時間順序積)
T Kitagawa et al Phys Rev B 84 235108 (2011)
Appendix実空間における光強度の分布
n=4 の場合についてエッジ状態を実空間に変換し光の強度分布を調べる
hellip
Appendix実空間における光強度の分布
各エッジ状態に対し光強度分布が異なる
光強度分布の違いからも情報伝達のマルチチャンネル化が期待される
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
( )
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
らせん半径の小さい範囲では格子の角に位相を背負った second-neighbor hopping が現れている らせんによるカイラル対称性の破れの具体的な表現
実際に second-neighbor hopping を考慮したハミルトニアンを用いてエネルギーバンドを計算すると伝導エッジ状態が現れることが確認できる
Appendix 全反射の起こる条件
全反射が起こるための臨界入射角 は
石英ガラスを用いた先行研究の例では
であるため と計算できる
格子上の電磁場はどのように分布しているか (特にDirac point の近傍)
Dirac point の存在する波数 を に代入し
固有関数を求めることで次の電磁場分布を得る
これを拡張し次の電磁場分布が の固有関数であると仮定
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
左から順に
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
固有方程式 を解くと
のとき上の方程式は満たされるため
仮定した固有状態が実在することとなる
特に (縮退点) 近傍のエネルギーは
分散が線形rArr Dirac Cone
Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
flat 1-beard 2-beard
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
- フォトニック結晶とは
- 量子力学との共通点
- 先行研究らせん型wave-guide
- 先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
- 研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
- 研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
- 先行研究との比較
- まとめ
- Appendixフォトニック結晶の作成
- Appendix電場の時間発展について
- Appendixtight-binding 模型
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
- Appendix時間依存するハミルトニアン
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
- Appendix TKNN数の数値計算結果
-
Appendixフォトニック結晶の作成
フェムト秒レーザー エネルギーを
フェムト秒 ( ) に圧縮した高強度のパルスレーザー
多光子吸収
の共有結合( )を多光子吸収により切断する 密度の増加屈折率の上昇
A Szameit amp S Nolte J Phys B 43 163001 (2010)
Appendix電場の時間発展について
通常のシュレディンガー方程式と比較すると t rarr z となっている
z 軸に平行な切り口の強度分布がシュレディンガー方程式の時間発展に対応
入射レーザー
Appendixtight-binding 模型
光は管に局在するrArr tight-binding 模型で近似
量子力学と同様の現象を光を使って再現できる
反射時光が一部染み出す(エバネッセント場)
入射レーザー
Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
新しい格子構造のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
(新しい格子構造+らせん型wave-guide)のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix時間依存するハミルトニアン
ハミルトニアンが z に依存しているためエネルギー固有状態は存在しない
ただし今回ハミルトニアンが時間に周期的であるため波動関数は Floquet 状態であらわすことができる
ここで は quasi-energy と呼ばれ
で定義される の固有値となる
( =時間順序積)
T Kitagawa et al Phys Rev B 84 235108 (2011)
Appendix実空間における光強度の分布
n=4 の場合についてエッジ状態を実空間に変換し光の強度分布を調べる
hellip
Appendix実空間における光強度の分布
各エッジ状態に対し光強度分布が異なる
光強度分布の違いからも情報伝達のマルチチャンネル化が期待される
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
( )
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
らせん半径の小さい範囲では格子の角に位相を背負った second-neighbor hopping が現れている らせんによるカイラル対称性の破れの具体的な表現
実際に second-neighbor hopping を考慮したハミルトニアンを用いてエネルギーバンドを計算すると伝導エッジ状態が現れることが確認できる
Appendix 全反射の起こる条件
全反射が起こるための臨界入射角 は
石英ガラスを用いた先行研究の例では
であるため と計算できる
格子上の電磁場はどのように分布しているか (特にDirac point の近傍)
Dirac point の存在する波数 を に代入し
固有関数を求めることで次の電磁場分布を得る
これを拡張し次の電磁場分布が の固有関数であると仮定
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
左から順に
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
固有方程式 を解くと
のとき上の方程式は満たされるため
仮定した固有状態が実在することとなる
特に (縮退点) 近傍のエネルギーは
分散が線形rArr Dirac Cone
Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
flat 1-beard 2-beard
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
- フォトニック結晶とは
- 量子力学との共通点
- 先行研究らせん型wave-guide
- 先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
- 研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
- 研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
- 先行研究との比較
- まとめ
- Appendixフォトニック結晶の作成
- Appendix電場の時間発展について
- Appendixtight-binding 模型
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
- Appendix時間依存するハミルトニアン
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
- Appendix TKNN数の数値計算結果
-
Appendix電場の時間発展について
通常のシュレディンガー方程式と比較すると t rarr z となっている
z 軸に平行な切り口の強度分布がシュレディンガー方程式の時間発展に対応
入射レーザー
Appendixtight-binding 模型
光は管に局在するrArr tight-binding 模型で近似
量子力学と同様の現象を光を使って再現できる
反射時光が一部染み出す(エバネッセント場)
入射レーザー
Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
新しい格子構造のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
(新しい格子構造+らせん型wave-guide)のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix時間依存するハミルトニアン
ハミルトニアンが z に依存しているためエネルギー固有状態は存在しない
ただし今回ハミルトニアンが時間に周期的であるため波動関数は Floquet 状態であらわすことができる
ここで は quasi-energy と呼ばれ
で定義される の固有値となる
( =時間順序積)
T Kitagawa et al Phys Rev B 84 235108 (2011)
Appendix実空間における光強度の分布
n=4 の場合についてエッジ状態を実空間に変換し光の強度分布を調べる
hellip
Appendix実空間における光強度の分布
各エッジ状態に対し光強度分布が異なる
光強度分布の違いからも情報伝達のマルチチャンネル化が期待される
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
( )
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
らせん半径の小さい範囲では格子の角に位相を背負った second-neighbor hopping が現れている らせんによるカイラル対称性の破れの具体的な表現
実際に second-neighbor hopping を考慮したハミルトニアンを用いてエネルギーバンドを計算すると伝導エッジ状態が現れることが確認できる
Appendix 全反射の起こる条件
全反射が起こるための臨界入射角 は
石英ガラスを用いた先行研究の例では
であるため と計算できる
格子上の電磁場はどのように分布しているか (特にDirac point の近傍)
Dirac point の存在する波数 を に代入し
固有関数を求めることで次の電磁場分布を得る
これを拡張し次の電磁場分布が の固有関数であると仮定
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
左から順に
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
固有方程式 を解くと
のとき上の方程式は満たされるため
仮定した固有状態が実在することとなる
特に (縮退点) 近傍のエネルギーは
分散が線形rArr Dirac Cone
Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
flat 1-beard 2-beard
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
- フォトニック結晶とは
- 量子力学との共通点
- 先行研究らせん型wave-guide
- 先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
- 研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
- 研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
- 先行研究との比較
- まとめ
- Appendixフォトニック結晶の作成
- Appendix電場の時間発展について
- Appendixtight-binding 模型
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
- Appendix時間依存するハミルトニアン
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
- Appendix TKNN数の数値計算結果
-
Appendixtight-binding 模型
光は管に局在するrArr tight-binding 模型で近似
量子力学と同様の現象を光を使って再現できる
反射時光が一部染み出す(エバネッセント場)
入射レーザー
Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
新しい格子構造のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
(新しい格子構造+らせん型wave-guide)のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix時間依存するハミルトニアン
ハミルトニアンが z に依存しているためエネルギー固有状態は存在しない
ただし今回ハミルトニアンが時間に周期的であるため波動関数は Floquet 状態であらわすことができる
ここで は quasi-energy と呼ばれ
で定義される の固有値となる
( =時間順序積)
T Kitagawa et al Phys Rev B 84 235108 (2011)
Appendix実空間における光強度の分布
n=4 の場合についてエッジ状態を実空間に変換し光の強度分布を調べる
hellip
Appendix実空間における光強度の分布
各エッジ状態に対し光強度分布が異なる
光強度分布の違いからも情報伝達のマルチチャンネル化が期待される
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
( )
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
らせん半径の小さい範囲では格子の角に位相を背負った second-neighbor hopping が現れている らせんによるカイラル対称性の破れの具体的な表現
実際に second-neighbor hopping を考慮したハミルトニアンを用いてエネルギーバンドを計算すると伝導エッジ状態が現れることが確認できる
Appendix 全反射の起こる条件
全反射が起こるための臨界入射角 は
石英ガラスを用いた先行研究の例では
であるため と計算できる
格子上の電磁場はどのように分布しているか (特にDirac point の近傍)
Dirac point の存在する波数 を に代入し
固有関数を求めることで次の電磁場分布を得る
これを拡張し次の電磁場分布が の固有関数であると仮定
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
左から順に
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
固有方程式 を解くと
のとき上の方程式は満たされるため
仮定した固有状態が実在することとなる
特に (縮退点) 近傍のエネルギーは
分散が線形rArr Dirac Cone
Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
flat 1-beard 2-beard
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
- フォトニック結晶とは
- 量子力学との共通点
- 先行研究らせん型wave-guide
- 先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
- 研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
- 研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
- 先行研究との比較
- まとめ
- Appendixフォトニック結晶の作成
- Appendix電場の時間発展について
- Appendixtight-binding 模型
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
- Appendix時間依存するハミルトニアン
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
- Appendix TKNN数の数値計算結果
-
Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
新しい格子構造のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
(新しい格子構造+らせん型wave-guide)のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix時間依存するハミルトニアン
ハミルトニアンが z に依存しているためエネルギー固有状態は存在しない
ただし今回ハミルトニアンが時間に周期的であるため波動関数は Floquet 状態であらわすことができる
ここで は quasi-energy と呼ばれ
で定義される の固有値となる
( =時間順序積)
T Kitagawa et al Phys Rev B 84 235108 (2011)
Appendix実空間における光強度の分布
n=4 の場合についてエッジ状態を実空間に変換し光の強度分布を調べる
hellip
Appendix実空間における光強度の分布
各エッジ状態に対し光強度分布が異なる
光強度分布の違いからも情報伝達のマルチチャンネル化が期待される
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
( )
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
らせん半径の小さい範囲では格子の角に位相を背負った second-neighbor hopping が現れている らせんによるカイラル対称性の破れの具体的な表現
実際に second-neighbor hopping を考慮したハミルトニアンを用いてエネルギーバンドを計算すると伝導エッジ状態が現れることが確認できる
Appendix 全反射の起こる条件
全反射が起こるための臨界入射角 は
石英ガラスを用いた先行研究の例では
であるため と計算できる
格子上の電磁場はどのように分布しているか (特にDirac point の近傍)
Dirac point の存在する波数 を に代入し
固有関数を求めることで次の電磁場分布を得る
これを拡張し次の電磁場分布が の固有関数であると仮定
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
左から順に
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
固有方程式 を解くと
のとき上の方程式は満たされるため
仮定した固有状態が実在することとなる
特に (縮退点) 近傍のエネルギーは
分散が線形rArr Dirac Cone
Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
flat 1-beard 2-beard
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
- フォトニック結晶とは
- 量子力学との共通点
- 先行研究らせん型wave-guide
- 先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
- 研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
- 研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
- 先行研究との比較
- まとめ
- Appendixフォトニック結晶の作成
- Appendix電場の時間発展について
- Appendixtight-binding 模型
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
- Appendix時間依存するハミルトニアン
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
- Appendix TKNN数の数値計算結果
-
Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
(新しい格子構造+らせん型wave-guide)のハミルトニアンは
それぞれボソンの生成演算子
Appendix時間依存するハミルトニアン
ハミルトニアンが z に依存しているためエネルギー固有状態は存在しない
ただし今回ハミルトニアンが時間に周期的であるため波動関数は Floquet 状態であらわすことができる
ここで は quasi-energy と呼ばれ
で定義される の固有値となる
( =時間順序積)
T Kitagawa et al Phys Rev B 84 235108 (2011)
Appendix実空間における光強度の分布
n=4 の場合についてエッジ状態を実空間に変換し光の強度分布を調べる
hellip
Appendix実空間における光強度の分布
各エッジ状態に対し光強度分布が異なる
光強度分布の違いからも情報伝達のマルチチャンネル化が期待される
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
( )
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
らせん半径の小さい範囲では格子の角に位相を背負った second-neighbor hopping が現れている らせんによるカイラル対称性の破れの具体的な表現
実際に second-neighbor hopping を考慮したハミルトニアンを用いてエネルギーバンドを計算すると伝導エッジ状態が現れることが確認できる
Appendix 全反射の起こる条件
全反射が起こるための臨界入射角 は
石英ガラスを用いた先行研究の例では
であるため と計算できる
格子上の電磁場はどのように分布しているか (特にDirac point の近傍)
Dirac point の存在する波数 を に代入し
固有関数を求めることで次の電磁場分布を得る
これを拡張し次の電磁場分布が の固有関数であると仮定
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
左から順に
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
固有方程式 を解くと
のとき上の方程式は満たされるため
仮定した固有状態が実在することとなる
特に (縮退点) 近傍のエネルギーは
分散が線形rArr Dirac Cone
Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
flat 1-beard 2-beard
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
- フォトニック結晶とは
- 量子力学との共通点
- 先行研究らせん型wave-guide
- 先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
- 研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
- 研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
- 先行研究との比較
- まとめ
- Appendixフォトニック結晶の作成
- Appendix電場の時間発展について
- Appendixtight-binding 模型
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
- Appendix時間依存するハミルトニアン
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
- Appendix TKNN数の数値計算結果
-
Appendix時間依存するハミルトニアン
ハミルトニアンが z に依存しているためエネルギー固有状態は存在しない
ただし今回ハミルトニアンが時間に周期的であるため波動関数は Floquet 状態であらわすことができる
ここで は quasi-energy と呼ばれ
で定義される の固有値となる
( =時間順序積)
T Kitagawa et al Phys Rev B 84 235108 (2011)
Appendix実空間における光強度の分布
n=4 の場合についてエッジ状態を実空間に変換し光の強度分布を調べる
hellip
Appendix実空間における光強度の分布
各エッジ状態に対し光強度分布が異なる
光強度分布の違いからも情報伝達のマルチチャンネル化が期待される
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
( )
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
らせん半径の小さい範囲では格子の角に位相を背負った second-neighbor hopping が現れている らせんによるカイラル対称性の破れの具体的な表現
実際に second-neighbor hopping を考慮したハミルトニアンを用いてエネルギーバンドを計算すると伝導エッジ状態が現れることが確認できる
Appendix 全反射の起こる条件
全反射が起こるための臨界入射角 は
石英ガラスを用いた先行研究の例では
であるため と計算できる
格子上の電磁場はどのように分布しているか (特にDirac point の近傍)
Dirac point の存在する波数 を に代入し
固有関数を求めることで次の電磁場分布を得る
これを拡張し次の電磁場分布が の固有関数であると仮定
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
左から順に
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
固有方程式 を解くと
のとき上の方程式は満たされるため
仮定した固有状態が実在することとなる
特に (縮退点) 近傍のエネルギーは
分散が線形rArr Dirac Cone
Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
flat 1-beard 2-beard
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
- フォトニック結晶とは
- 量子力学との共通点
- 先行研究らせん型wave-guide
- 先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
- 研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
- 研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
- 先行研究との比較
- まとめ
- Appendixフォトニック結晶の作成
- Appendix電場の時間発展について
- Appendixtight-binding 模型
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
- Appendix時間依存するハミルトニアン
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
- Appendix TKNN数の数値計算結果
-
Appendix実空間における光強度の分布
n=4 の場合についてエッジ状態を実空間に変換し光の強度分布を調べる
hellip
Appendix実空間における光強度の分布
各エッジ状態に対し光強度分布が異なる
光強度分布の違いからも情報伝達のマルチチャンネル化が期待される
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
( )
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
らせん半径の小さい範囲では格子の角に位相を背負った second-neighbor hopping が現れている らせんによるカイラル対称性の破れの具体的な表現
実際に second-neighbor hopping を考慮したハミルトニアンを用いてエネルギーバンドを計算すると伝導エッジ状態が現れることが確認できる
Appendix 全反射の起こる条件
全反射が起こるための臨界入射角 は
石英ガラスを用いた先行研究の例では
であるため と計算できる
格子上の電磁場はどのように分布しているか (特にDirac point の近傍)
Dirac point の存在する波数 を に代入し
固有関数を求めることで次の電磁場分布を得る
これを拡張し次の電磁場分布が の固有関数であると仮定
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
左から順に
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
固有方程式 を解くと
のとき上の方程式は満たされるため
仮定した固有状態が実在することとなる
特に (縮退点) 近傍のエネルギーは
分散が線形rArr Dirac Cone
Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
flat 1-beard 2-beard
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
- フォトニック結晶とは
- 量子力学との共通点
- 先行研究らせん型wave-guide
- 先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
- 研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
- 研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
- 先行研究との比較
- まとめ
- Appendixフォトニック結晶の作成
- Appendix電場の時間発展について
- Appendixtight-binding 模型
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
- Appendix時間依存するハミルトニアン
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
- Appendix TKNN数の数値計算結果
-
Appendix実空間における光強度の分布
各エッジ状態に対し光強度分布が異なる
光強度分布の違いからも情報伝達のマルチチャンネル化が期待される
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
( )
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
らせん半径の小さい範囲では格子の角に位相を背負った second-neighbor hopping が現れている らせんによるカイラル対称性の破れの具体的な表現
実際に second-neighbor hopping を考慮したハミルトニアンを用いてエネルギーバンドを計算すると伝導エッジ状態が現れることが確認できる
Appendix 全反射の起こる条件
全反射が起こるための臨界入射角 は
石英ガラスを用いた先行研究の例では
であるため と計算できる
格子上の電磁場はどのように分布しているか (特にDirac point の近傍)
Dirac point の存在する波数 を に代入し
固有関数を求めることで次の電磁場分布を得る
これを拡張し次の電磁場分布が の固有関数であると仮定
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
左から順に
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
固有方程式 を解くと
のとき上の方程式は満たされるため
仮定した固有状態が実在することとなる
特に (縮退点) 近傍のエネルギーは
分散が線形rArr Dirac Cone
Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
flat 1-beard 2-beard
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
- フォトニック結晶とは
- 量子力学との共通点
- 先行研究らせん型wave-guide
- 先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
- 研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
- 研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
- 先行研究との比較
- まとめ
- Appendixフォトニック結晶の作成
- Appendix電場の時間発展について
- Appendixtight-binding 模型
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
- Appendix時間依存するハミルトニアン
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
- Appendix TKNN数の数値計算結果
-
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
( )
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
らせん半径の小さい範囲では格子の角に位相を背負った second-neighbor hopping が現れている らせんによるカイラル対称性の破れの具体的な表現
実際に second-neighbor hopping を考慮したハミルトニアンを用いてエネルギーバンドを計算すると伝導エッジ状態が現れることが確認できる
Appendix 全反射の起こる条件
全反射が起こるための臨界入射角 は
石英ガラスを用いた先行研究の例では
であるため と計算できる
格子上の電磁場はどのように分布しているか (特にDirac point の近傍)
Dirac point の存在する波数 を に代入し
固有関数を求めることで次の電磁場分布を得る
これを拡張し次の電磁場分布が の固有関数であると仮定
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
左から順に
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
固有方程式 を解くと
のとき上の方程式は満たされるため
仮定した固有状態が実在することとなる
特に (縮退点) 近傍のエネルギーは
分散が線形rArr Dirac Cone
Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
flat 1-beard 2-beard
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
- フォトニック結晶とは
- 量子力学との共通点
- 先行研究らせん型wave-guide
- 先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
- 研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
- 研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
- 先行研究との比較
- まとめ
- Appendixフォトニック結晶の作成
- Appendix電場の時間発展について
- Appendixtight-binding 模型
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
- Appendix時間依存するハミルトニアン
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
- Appendix TKNN数の数値計算結果
-
Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
らせん半径の小さい範囲では格子の角に位相を背負った second-neighbor hopping が現れている らせんによるカイラル対称性の破れの具体的な表現
実際に second-neighbor hopping を考慮したハミルトニアンを用いてエネルギーバンドを計算すると伝導エッジ状態が現れることが確認できる
Appendix 全反射の起こる条件
全反射が起こるための臨界入射角 は
石英ガラスを用いた先行研究の例では
であるため と計算できる
格子上の電磁場はどのように分布しているか (特にDirac point の近傍)
Dirac point の存在する波数 を に代入し
固有関数を求めることで次の電磁場分布を得る
これを拡張し次の電磁場分布が の固有関数であると仮定
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
左から順に
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
固有方程式 を解くと
のとき上の方程式は満たされるため
仮定した固有状態が実在することとなる
特に (縮退点) 近傍のエネルギーは
分散が線形rArr Dirac Cone
Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
flat 1-beard 2-beard
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
- フォトニック結晶とは
- 量子力学との共通点
- 先行研究らせん型wave-guide
- 先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
- 研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
- 研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
- 先行研究との比較
- まとめ
- Appendixフォトニック結晶の作成
- Appendix電場の時間発展について
- Appendixtight-binding 模型
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
- Appendix時間依存するハミルトニアン
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
- Appendix TKNN数の数値計算結果
-
Appendix 全反射の起こる条件
全反射が起こるための臨界入射角 は
石英ガラスを用いた先行研究の例では
であるため と計算できる
格子上の電磁場はどのように分布しているか (特にDirac point の近傍)
Dirac point の存在する波数 を に代入し
固有関数を求めることで次の電磁場分布を得る
これを拡張し次の電磁場分布が の固有関数であると仮定
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
左から順に
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
固有方程式 を解くと
のとき上の方程式は満たされるため
仮定した固有状態が実在することとなる
特に (縮退点) 近傍のエネルギーは
分散が線形rArr Dirac Cone
Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
flat 1-beard 2-beard
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
- フォトニック結晶とは
- 量子力学との共通点
- 先行研究らせん型wave-guide
- 先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
- 研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
- 研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
- 先行研究との比較
- まとめ
- Appendixフォトニック結晶の作成
- Appendix電場の時間発展について
- Appendixtight-binding 模型
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
- Appendix時間依存するハミルトニアン
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
- Appendix TKNN数の数値計算結果
-
格子上の電磁場はどのように分布しているか (特にDirac point の近傍)
Dirac point の存在する波数 を に代入し
固有関数を求めることで次の電磁場分布を得る
これを拡張し次の電磁場分布が の固有関数であると仮定
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
左から順に
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
固有方程式 を解くと
のとき上の方程式は満たされるため
仮定した固有状態が実在することとなる
特に (縮退点) 近傍のエネルギーは
分散が線形rArr Dirac Cone
Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
flat 1-beard 2-beard
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
- フォトニック結晶とは
- 量子力学との共通点
- 先行研究らせん型wave-guide
- 先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
- 研究内容新しい格子構造をもつフォトニック結晶
- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
- 研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
- 先行研究との比較
- まとめ
- Appendixフォトニック結晶の作成
- Appendix電場の時間発展について
- Appendixtight-binding 模型
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
- Appendix時間依存するハミルトニアン
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
- Appendix TKNN数の数値計算結果
-
AppendixDirac point 近傍のエネルギー
固有方程式 を解くと
のとき上の方程式は満たされるため
仮定した固有状態が実在することとなる
特に (縮退点) 近傍のエネルギーは
分散が線形rArr Dirac Cone
Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
flat 1-beard 2-beard
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
- フォトニック結晶とは
- 量子力学との共通点
- 先行研究らせん型wave-guide
- 先行研究ハニカム格子 + らせん型wave-guide
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- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
- 研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
- 先行研究との比較
- まとめ
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- Appendix電場の時間発展について
- Appendixtight-binding 模型
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
- Appendix時間依存するハミルトニアン
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
- Appendix TKNN数の数値計算結果
-
Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
flat 1-beard 2-beard
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
- フォトニック結晶とは
- 量子力学との共通点
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- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
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- まとめ
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- Appendixtight-binding 模型
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- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
- Appendix TKNN数の数値計算結果
-
Appendix TKNN数の数値計算結果
Berry 接続
TKNN 数
n = 4 の場合TKNN数は低エネルギーのバンドから順に2 0 0 -2
- 多重 Dirac cone 状態を持つフォトニック結晶
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- 量子力学との共通点
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- 研究結果数値計算によるバンド構造(直線型 wave-guide)
- 研究結果数値計算によるバンド構造(らせん型 wave-guide)
- 先行研究との比較
- まとめ
- Appendixフォトニック結晶の作成
- Appendix電場の時間発展について
- Appendixtight-binding 模型
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(直線型)
- Appendix新格子構造のハミルトニアン(らせん型)
- Appendix時間依存するハミルトニアン
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix実空間における光強度の分布
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix有効ハミルトニアンの具体的な形
- Appendix 全反射の起こる条件
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- AppendixDirac point 近傍のエネルギー
- Appendixエッジの形状とエネルギーバンド (n=4)
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