![Page 1: 1. Condizioni di raccordo alle discontinuità 2. Riflessione e rifrazione. La legge di Snell. 3. La riflessione totale 5. Effetti della dispersione: la](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070312/5542eb58497959361e8c3c6d/html5/thumbnails/1.jpg)
1. Condizioni di raccordo alle discontinuità
2. Riflessione e rifrazione. La legge di Snell.
3. La riflessione totale
5. Effetti della dispersione: la scomposizione della luce bianca
6. Effetti sulla polarizzazione: le relazioni di Fresnel
Cap. III Interazione delle onde e.m. con la materiaCap. III Interazione delle onde e.m. con la materia
![Page 2: 1. Condizioni di raccordo alle discontinuità 2. Riflessione e rifrazione. La legge di Snell. 3. La riflessione totale 5. Effetti della dispersione: la](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070312/5542eb58497959361e8c3c6d/html5/thumbnails/2.jpg)
Il problema: attraversamento di superfici di separazioneIl problema: attraversamento di superfici di separazione
?1, n1
Z1
2, n2
Z2
1. CONDIZIONI DI RACCORDO ALLE DISCONTINUITA’1. CONDIZIONI DI RACCORDO ALLE DISCONTINUITA’
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Ricordiamo le condizioni di raccordo dei campi alle superfici:
2211
21
ε ε
nn EE
EE tt
21
2211
μ μ
nn BB
BB tt
t
n
11 μ ε , 22 μ ε ,
(1)
hanno come conseguenza: riflessione e rifrazionehanno come conseguenza: riflessione e rifrazione
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Useremo la notazione con i fasori nello spazio 3-D: Useremo la notazione con i fasori nello spazio 3-D:
ˆ EkB c
n
Ricordiamo che il campo magnetico B si può scrivere come:
k
r
z
x
y
ω0
tje rkEE
onda piana monocromatica
per esempio:
2. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE A UN’INTERFACCIA PIANA(dimostrazione)
2. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE A UN’INTERFACCIA PIANA(dimostrazione)
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incidenteonda
c
ne
iii
tjii
i
ˆ1
ω0
EkB
EE rk
riflessaonda
c
ne
'ii
'i
tj'i
'i
''i
'i
ˆ '1
ω0
EkB
EE rk
rifrattaonda
c
ne
rrr
tjrr
rrr
ˆ
2
ω0
EkB
EE rk
riflessione e rifrazione - dimostrazione
riflessione e rifrazione - dimostrazione
(2)
iθ 'θi
rθx2
1
ik 'ik
rk
z
*grazie al teorema di Fourier
A) scriviamo i campi come onde piane monocromatiche*:A) scriviamo i campi come onde piane monocromatiche*:
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''i
'ii tj'
itj
i ee ω0
ω01 ' rkrk EEEEE
x
E1
ik 'ik
rk
z
B) Notiamo che nei due materiali il campo totale sarà:
B) Notiamo che nei due materiali il campo totale sarà:
E2
rrr tjrr e ω
02 rkEEE
(3)
riflessione e rifrazione - dimostrazione
riflessione e rifrazione - dimostrazione
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C) le (3) devono soddisfare le (1) lungo tutta l’interfaccia:C) le (3) devono soddisfare le (1) lungo tutta l’interfaccia:
(1)
2211
21
ε ε
nn EE
EE tt
21
2211
μ μ
nn BB
BB tt
(3) ''
i'ii tj'
itj
i ee ω0
ω01 rkrk EEE
rrr tjrr e ω
02 rkEEE
otteniamo:
rrr''
i'ii tj
trtj
t'
itj
ti eee ω0
ω0
ω0 rkrkrk EEE
rrr''
i'ii tj
nrtj
n'
itj
ni eee ω01
ω01
ω01 rkrkrk EEE
(4)
riflessione e rifrazione - dimostrazione
riflessione e rifrazione - dimostrazione
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rrr''
i'ii tj
trtj
t'
itj
ti eee ω0
ω0
ω0 rkrkrk EEE
rrr''
i'ii tj
nrtj
n'
itj
ni eee ω01
ω01
ω01 rkrkrk EEE
(4)
Si noti che:le uguaglianze valgono contemporaneamente e separatamente per gli argomenti (esponenti) e le ampiezze (vettoriali)
D) cominciamo dalle eguaglianze per gli argomenti…D) cominciamo dalle eguaglianze per gli argomenti…
riflessione e rifrazione - dimostrazione
riflessione e rifrazione - dimostrazione
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segue che:
rkrkrk r'ii
r'ii
r'
ω ω ω
0 (3)
deve quindi essere:
rrr''
i'iii ttt ω ω ω rkrkrk
per qualsiasi t e r (z = 0)per qualsiasi t e r (z = 0)
ir
i'i
n
n
n
c
n
c
λ 2
λ
2 λ λ
2
1
2
1
riflessione e rifrazioneriflessione e rifrazionele eguaglianze per gli argomenti:le eguaglianze per gli argomenti:
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scegliendo kiy= 0:
x, ycon z = 0
x, ycon z = 0
segue che:
y kxky kxkxk ryrx'iy
'ixix
coplanarità delle tre onde
iθ 'θi
rθx2
1
ik 'ik
rk
z
(5)
rx k'ix kixk
ry k'iyk
0
rkrkrk r'ii
r'ii
r'
ω ω ω
0
riflessione e rifrazioneriflessione e rifrazione
![Page 11: 1. Condizioni di raccordo alle discontinuità 2. Riflessione e rifrazione. La legge di Snell. 3. La riflessione totale 5. Effetti della dispersione: la](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070312/5542eb58497959361e8c3c6d/html5/thumbnails/11.jpg)
θλ
2 θ
λ
2 θ
λ
2r
ri sinsinsin '
i'ii
rx k'ix kixk
ry k'iyk
0
legge della riflessione
iθ 'θi
rθx2
1
ik 'ik
rk
z
isinsin 'i θ θ
iir sinsinsinnn
i
r θ θ'
θ2
1
legge di Snell (1627) i
'i θ θ ovvero:
riflessione e rifrazioneriflessione e rifrazione
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un esempio:un esempio:
legge di Snelllegge di Snell
aria
z
00.11 n
acqua
33.12 n
isinsin 'i θ θ
ir sinsinnn
θ θ2
1
40'θi40θi
9.28θr
50θi 50'θi
17.35θr
legge di Snell (1627) 2211 sin sin nn
![Page 13: 1. Condizioni di raccordo alle discontinuità 2. Riflessione e rifrazione. La legge di Snell. 3. La riflessione totale 5. Effetti della dispersione: la](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070312/5542eb58497959361e8c3c6d/html5/thumbnails/13.jpg)
insieme:insieme:
riflessione e rifrazioneriflessione e rifrazione
aria
z
00.11 n
acqua
33.12 n
isinsin 'i θ θ
ir sinsinnn
θ θ2
1
40'θi40θi
9.28θr
50θi 50'θi
17.35θr
legge di Snell (1627)
![Page 14: 1. Condizioni di raccordo alle discontinuità 2. Riflessione e rifrazione. La legge di Snell. 3. La riflessione totale 5. Effetti della dispersione: la](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070312/5542eb58497959361e8c3c6d/html5/thumbnails/14.jpg)
effetti della rifrazioneeffetti della rifrazione
![Page 15: 1. Condizioni di raccordo alle discontinuità 2. Riflessione e rifrazione. La legge di Snell. 3. La riflessione totale 5. Effetti della dispersione: la](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070312/5542eb58497959361e8c3c6d/html5/thumbnails/15.jpg)
effetti della rifrazioneeffetti della rifrazione
anche per frequenze non ottiche
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0 θ θ θ '
rii
2
1
1) incidenza normale1) incidenza normale
2
1 nn
n̂
iir sinsinsin nnn
θ θ θ 122
1
legge di Snellriflessione e rifrazionecasi particolari
riflessione e rifrazionecasi particolari
casi particolari:
![Page 17: 1. Condizioni di raccordo alle discontinuità 2. Riflessione e rifrazione. La legge di Snell. 3. La riflessione totale 5. Effetti della dispersione: la](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070312/5542eb58497959361e8c3c6d/html5/thumbnails/17.jpg)
riflessione e rifrazione
casi particolari
riflessione e rifrazione
casi particolari
2) attraversamento strato piano parallelo 2) attraversamento strato piano parallelo
n̂
iθ
d
uθ
iu θ θ iu θ θ
2
1 nn
2
1 nn
t
iir sinsinsin nnn
θ θ θ 122
1
legge di Snell
n1 n2 n1
![Page 18: 1. Condizioni di raccordo alle discontinuità 2. Riflessione e rifrazione. La legge di Snell. 3. La riflessione totale 5. Effetti della dispersione: la](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070312/5542eb58497959361e8c3c6d/html5/thumbnails/18.jpg)
2) attraversamento strato piano parallelo 2) attraversamento strato piano parallelo
si osservi:si osservi:
iθ
uθ
reversibilitàdel cammino
ottico
reversibilitàdel cammino
ottico
d
2
1 nn
uθ
iθ
d
riflessione e rifrazione
casi particolari
riflessione e rifrazione
casi particolari
![Page 19: 1. Condizioni di raccordo alle discontinuità 2. Riflessione e rifrazione. La legge di Snell. 3. La riflessione totale 5. Effetti della dispersione: la](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070312/5542eb58497959361e8c3c6d/html5/thumbnails/19.jpg)
iθ
n2
z
rθ
n1
12 nn
'θi
Si considerino i diversi casi:iir sinsinsin n
nn
θ θ θ 122
1 legge di Snell
z
iθ 'θi
?θ 1 θsin 2
1 rinn
riflessione totaleriflessione totale
3. LA RIFLESSIONE TOTALE3. LA RIFLESSIONE TOTALE
θ θ1
2Lsinsin
nn
i angololimite
θ
1
2
1 isinn
n
z
iθ
rθ
'θi
z
iθ
rθ
'θi
![Page 20: 1. Condizioni di raccordo alle discontinuità 2. Riflessione e rifrazione. La legge di Snell. 3. La riflessione totale 5. Effetti della dispersione: la](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070312/5542eb58497959361e8c3c6d/html5/thumbnails/20.jpg)
legge di Snell
riflessione totaleriflessione totale
iθ
rθ2
1
z
12
1 nn
'θi
? θ θsin
1
2
1 rin
n
iθ
2
1
z'θi
iθ 'θi
2
1
z
12
1 nn
rθ
oppure, a i fisso cambiare:
riflessione totaleriflessione totale
iir sinsinsin nnn
θ θ θ 122
1
θ θ1
2Lsinsin
nn
i angololimite
θ
1
2
1 isinn
n
![Page 21: 1. Condizioni di raccordo alle discontinuità 2. Riflessione e rifrazione. La legge di Snell. 3. La riflessione totale 5. Effetti della dispersione: la](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070312/5542eb58497959361e8c3c6d/html5/thumbnails/21.jpg)
riflessione totaleriflessione totale
iθ
n2
z
rθ
n1
12 nn
z
iθ
rθ
z
iθ
rθ
z
iθ 'θi
riflessione totaleriflessione totale θ θ1
2Lsinsin
nn
i angololimite
θ
1
2
1 isinn
n
vetro crown/aria
41θL
diamante/arian1 = 2.458
24θL
acqua/arian1 = 1.33
49θL
n1 = 1.514
tornando a n12 fisso:tornando a n12 fisso:
![Page 22: 1. Condizioni di raccordo alle discontinuità 2. Riflessione e rifrazione. La legge di Snell. 3. La riflessione totale 5. Effetti della dispersione: la](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070312/5542eb58497959361e8c3c6d/html5/thumbnails/22.jpg)
riflessione totaleriflessione totale
effetti della riflessione totaleeffetti della riflessione totale 1
2 θsin θsinnn
Li
visione subacquea
acqua/arian1 = 1.33
49θL
![Page 23: 1. Condizioni di raccordo alle discontinuità 2. Riflessione e rifrazione. La legge di Snell. 3. La riflessione totale 5. Effetti della dispersione: la](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070312/5542eb58497959361e8c3c6d/html5/thumbnails/23.jpg)
riflessione totaleriflessione totale
effetti della riflessione totaleeffetti della riflessione totale 1
2 θsin θsinnn
Li
“brillantezza” del diamante
diamante/arian1 = 2.458
24θL
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riflessione totaleriflessione totale
effetti della riflessione totaleeffetti della riflessione totale 1
2 θsin θsinnn
Li
si noti che per una data sostanza n dipende dalla densità, quindi dalla temperatura n = n(T)
• Miraggio ottico (fata Morgana)• “Tremolio” immagini vicino superfici calde
aria fredda
aria calda sorgente virtuale
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riflessione totaleriflessione totale
effetti della riflessione totaleeffetti della riflessione totale 1
2 θsin θsinnn
Li
si noti che per una data sostanza n dipende dalla densità, quindi dalla temperatura n = n(T)
• Miraggio ottico (fata Morgana)• “Tremolio” immagini vicino superfici calde
![Page 26: 1. Condizioni di raccordo alle discontinuità 2. Riflessione e rifrazione. La legge di Snell. 3. La riflessione totale 5. Effetti della dispersione: la](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070312/5542eb58497959361e8c3c6d/html5/thumbnails/26.jpg)
riflessione totaleriflessione totale
vetro crownn = 1.514
arian 1
arian 1 propagazione guidata
effetti della riflessione totaleeffetti della riflessione totale 1
2 θsin θsinnn
Li
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riflessione totaleriflessione totale
arian 1
APPLICAZIONIAPPLICAZIONI
vetro flintn = 1.65
quarzon = 1.45
le fibre ottichele fibre ottiche
1
2 θsin θsinnn
Li
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riflessione totaleriflessione totale
APPLICAZIONIAPPLICAZIONI
riflessione con prismi rettiriflessione con prismi rettiariana 1
vetro crownnv = 1.514
4545
90
1
2 θsin θsinnn
Li
41.34 arcsin θ
v
a
nn
c
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ir sinsinn
nθ θ
2
1legge di Snell
rrnn θ θ 22
si ricordi che:
iθ
2
1
ziθ
2
1
ziθ
2
1
z
1λ2n1θr
2λ2n2θr 3θr
3λ2n
l’angolo di rifrazione dipende dalla lunghezza d’ondal’angolo di rifrazione dipende dalla lunghezza d’onda
5. DISPERSIONE E RIFRAZIONE 5. DISPERSIONE E RIFRAZIONE
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2n
ir sinsinn
nθ θ
2
1
legge di Snell
scomposizione della luce biancascomposizione della luce bianca
ciò provoca la:
dispersione e rifrazionedispersione e rifrazione
Newton, 1666 - 1667 Newton, 1666 - 1667
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Effetti della dispersione: scomposizione della luceEffetti della dispersione: scomposizione della luce
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Riepilogo Riepilogo
ir sinsinnn
θ θ2
1
legge di Snell
condizioni di raccordo alle interfacciecondizioni di raccordo alle interfaccie
ii θ θ ' legge della riflessione
1
2 θsin θsinnn
Li ir sinsin
nn
θ θ 2
1
dispersione nella rifrazione
riflessione totale
scomposizione della luce
reversibilità del cammino otticoreversibilità del cammino ottico
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3.1) Un raggio di luce incide perpendicolarmente sulla faccia ab (vedi figura) di un prisma di vetro con indice di rifrazione n = 1.52. Trovare il massimo valore dell’angolo per il quale si ha riflessione totale alla faccia ac nell’ipotesi: a) che il prisma sia in aria; b) che sia immerso in acqua (n = 1.33).
a
bc
9.48
52.1
1arcosθMAX
9.28
52.1
33.1arcosθMAX
52.1
33.1 osθ θsin
1
2 nn
ci
in acqua:
52.1
1 θsin osθ θsin
1
2 nn
Lci
in aria:
Esercizi numericiEsercizi numerici
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Esercizi numericiEsercizi numerici
3.2) Sulla ipotenusa di un prisma retto, con angolo alla base = 60° e fatto di vetro flint con indice di rifrazione na = 1.789, incide un’onda piana monocromatica con angolo di incidenza i = 30°. Si determini il precorso dell’onda dopo la rifrazione nel caso:a) il prisma sia isolato in aria;b) sia appoggiato su una lastra di vetro piana orizzontale con nb = 1.750;
B
A
C
i
bn
an
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Esercizi numericiEsercizi numerici
B
A
C
i
bn
an
da Snell:
θsin θsin 12 ir nn
16.23 θsin
1arcsin θsinarcsin θ
789.12
1iir n
n
i2
23.7660θ θ 801 06 θ 90 90 θ 22 riir
dalla trigonometria:
RIFLESSIONE TOTALE
34
789.1
1arcsin arcsin θ
1
2
nn
L Li θ θ 2
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Esercizi numericiEsercizi numerici
A
i
bn
ani2
RIFRAZIONE
78
789.1
750.1arcsin arcsin θ
1
2
nn
L Li θ θ 2
i3r2
83.17 θsin
789.1arcsin θsinarcsin θ 2750.12
12 iin
nr
come prima:
θsin θsin 12 ir nn
16.23 θsin
1arcsin θsinarcsin θ
789.12
1iir n
n
23.7660θ θ 801 06 θ 90 90 θ 22 riir
dalla trigonometria:
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Esercizi numericiEsercizi numerici
3.3) Sul fondo di un recipiente contenente acqua è posta una sorgente puntiforme S di luce. All’esterno del liquido c’è aria. Osservando dall’alto la superficie libera dell’acqua, si osserva che esce luce solo attraverso un cerchio di raggio R=57 cm avente centro in O situato sulla verticale passante per S. L’altezza dell’acqua è h = 50 cm. Quanto vale l’indice di rifrazione na del liquido?
h
74.48
h
Rarctg
1arcsin arcsin θ
1
2
xL nn
n
33.1 sinθ
1
Lxn
R
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E) ri-prendiamo le uguaglianze per i campi a un’interfaccia:E) ri-prendiamo le uguaglianze per i campi a un’interfaccia:
6. Effetti sulla polarizzazione: le relazioni di Fresnel6. Effetti sulla polarizzazione: le relazioni di Fresnel
rrr''
i'ii tj
trtj
t'
itj
ti eee ω0
ω0
ω0 rkrkrk EEE
rrr''
i'ii tj
nrtj
n'
itj
ni eee ω01
ω01
ω01 rkrkrk EEE
(4)
Si ricordi che:le uguaglianze valgono contemporaneamente e separatamente per gli argomenti (esponenti) e le ampiezze (vettoriali)
F) questa volta consideriamo le eguaglianze per le ampiezze…F) questa volta consideriamo le eguaglianze per le ampiezze…
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ovvero, considerando anche il campo B, otteniamo:
0 ˆ
0 ˆε ε
000
02001
nEEE
nEEE
r'
ii
r'
ii
0 ˆˆμ
ˆˆμ
0 ˆˆˆˆ
02
20
'10
1
1
020'
101
nEkEkEk
nEkEkEk
rr'
iiii
rr'
iiii
nn
n
nnn
(6)
distinguiamo due casi…..distinguiamo due casi…..
relazioni di Fresnel -dimostrazione
relazioni di Fresnel -dimostrazione
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BE
piano di incidenza n
I) E ortogonale al piano di incidenza: E() (polarizzazione S)I) E ortogonale al piano di incidenza: E() (polarizzazione S)
ki
i
B
ki’
i’
B
ki’
relazioni di Fresnel -dimostrazione
relazioni di Fresnel -dimostrazione
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0 ˆ
0 ˆε ε
000
02001
nEEE
nEEE
r'
ii
r'
ii
0 ˆˆμ
ˆˆμ
0 ˆˆˆˆ
02
20
'10
1
1
020'
101
nEkEkEk
nEkEkEk
rr'
iiii
rr'
iiii
nn
n
nnn
E n
E n
dimostrazione: I) E ortogonale al piano: E()dimostrazione: I) E ortogonale al piano: E()
0 θcosμ
θcosμ
0
02
200
1
1
000
rri'ii
r'ii
nEE
n
EE
E
E (5)
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0 θcosμ
θcosμ
0
02
200
1
1
000
rri'ii
r'ii
nEE
n
EE
E
E (5)
θcosθcos
θcosθcos
22
11
22
11
0
0
μμ
μμ
ri
ri
i
'i
nn
nn
E
E
(6)
con passaggi algebrici:
I) E ortogonale al piano di incidenza: E()I) E ortogonale al piano di incidenza: E()
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dimostrazione: I) E ortogonale al piano di incidenza: E()dimostrazione: I) E ortogonale al piano di incidenza: E()
utilizzando 1 2 1 e la legge di Snell:
θθsin
θθsin
0
0
ri
ri
i
'i
E
E
(7)
relazione di Fresnel per i campi E()
relazione di Fresnel per i campi E()
E’i sfasato di
rispetto a Ei
se n2 > n1
E’i sfasato di
rispetto a Ei
se n2 > n1
θcosθcos
θcosθcos
22
11
22
11
0
0
μμ
μμ
ri
ri
i
'i
nn
nn
E
E
(6)
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B
E
piano di incidenzan
II) E parallelo al piano di incidenza: E() (polarizzazione P)II) E parallelo al piano di incidenza: E() (polarizzazione P)
ki
i
ki’
i’E
B
relazioni di Fresnel - dimostrazionerelazioni di Fresnel - dimostrazione
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procedendo analogamente al caso precedente si ottiene:
relazione di Fresnel per i campi E()
relazione di Fresnel per i campi E()
II) E parallelo al piano di incidenza: E()II) E parallelo al piano di incidenza: E()
θθtg
θθtg
0
0
ri
ri
i
'i
EE
////
(8)
E’i sfasato di rispetto a Ei
se n2 < n1
per (i + r)</2
E’i sfasato di rispetto a Ei
se n2 < n1
per (i + r)</2
relazioni di Fresnel - dimostrazionerelazioni di Fresnel - dimostrazione
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i due casi insieme:
relazioni di Fresnel per il campo
relazioni di Fresnel per il campo
(8)
θθsin
θθsin
0
0
ri
ri
i
'i
E
E
(7)
relazioni di Fresnel - dimostrazionerelazioni di Fresnel - dimostrazione
θθtg
θθtg
0
0
ri
ri
i
'i
EE
////
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relazioni di Fresnelrelazioni di Fresnel
relazioni di Fresnel per le intensità
relazioni di Fresnel per le intensità
θθsin
θθsin R
2
2
ri
ri
θθtg
θθtg R
2
2
ri
ri//
si ottiene:
(10)
espresse in termini delle intensità delle onde:Z
EI
2
2
Coefficienti di riflessione,o anche Riflettività
R R
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0 30 60 900
1
0 30 60 900
1
i (°)
i (°)
R
//R
relazioni di Fresnel per le intensità
grafici con n12 = 1.50
relazioni di Fresnel per le intensità
grafici con n12 = 1.50
relazioni di Fresnelrelazioni di Fresnel
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relazioni di Fresnel per le intensità per E
(grafici con n12 = 1.50)
relazioni di Fresnel per le intensità per E
(grafici con n12 = 1.50)0 30 60 90
0
1
i (°)
Rrelazioni di Fresnelrelazioni di Fresnel
iθ
aria
rθ
'θiiθ 'θi
iθ 'θi
vetro
0.04I0 0.08I0
0.94 I0
0.11I0
I0
0.78 I0 0.66 I0
50 θi15 θi 40 θi
E
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relazioni di Fresnel per
le intensità per E//
(grafici con n12 = 1.50)
relazioni di Fresnel per
le intensità per E//
(grafici con n12 = 1.50)
i (°)
relazioni di Fresnelrelazioni di Fresnel
iθ
aria
rθ
'θiiθ
iθ 'θi
vetro 0.92 I0
I0
0.27 I0
70 θi15 θi 56 θ θ Bi
E//
0 30 60 900
1
//R
I0
angolo di Brewsterangolo di Brewster
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tg(iB + rB)
se (iB + rB) = /2
0
θθtg
θθtg R 2
2
ri
ri//
solo E è riflessosolo E è riflesso le onde riflesse sono polarizzate le onde riflesse sono polarizzate
infatti, nelle (10), se:
l’angolo di Brewester
l’angolo di Brewester
θθsin
θθsin R
2
2
ri
ri
θθtg
θθtg R 2
2
ri
ri//
(10)
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l’angolo di Brewester
l’angolo di Brewester
0
θθtg
θθtg R 2
2
ri
ri//
le onde riflesse sono polarizzate le onde riflesse sono polarizzate solo E è riflessosolo E è riflesso
luce non polarizzata
luce polarizzata
Bθ
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θθsin
θθsin R
2
2
ri
ri
θθtg
θθtg R 2
2
ri
ri//
se (iB + rB) = /2
rB = /2 - iB
tgθ cosθ
sinθ
θ2sin
sinθ
sinθ
sinθ
1
2
n
nBi
Bi
Bi
iB
Bi
Br
Bi
(10)l’angolo di Brewester
l’angolo di Brewester
angolo di Brewsterangolo di Brewster
1
2artg θn
niB
Questo si verifica per:
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l’angolo di Brewester
l’angolo di Brewester
Applicazioni: occhiali antiriflessioni (Polaroid)
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relazioni di Fresnel:considerazioni energetiche
relazioni di Fresnel:considerazioni energetiche
relazioni di Fresnelrelazioni di Fresnel
1
2
rθ
iθ'θi
S1
S’1
S2
θcos
θcos 11
'1
i
rrii SISISI
θcos
θcos T R 1
i
r
deve essere:
ovvero:
che, effettivamente, è soddisfatta dalle (10)
θcos
θcos
'
θcos211
r
SSS'ii
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θθsin
θθsin R
2
2
ri
ri
θθtg
θθtg R
2
2
ri
ri//
A) polarizzazioni lungo altre direzioni si scompongono in e //
relazioni di Fresnelrelazioni di Fresnel
Inoltre:
B) per onde non polarizzate:
relazioni di Fresnel per le intensità
relazioni di Fresnel per le intensità
(10)
si fa una media fra i due casisi fa una media fra i due casi R R
2
1 R //
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relazioni di Fresnelrelazioni di Fresnelcasi particolaricasi particolari
Incidenza normale (i = r = 0):
R 2
21
21
nn
nn
1
2
n
n
0 θ θ θ '
rii
2
1
2
1 nn
n̂ 1T 0, R 21 nn
1 T R
e vale la:
)(
4 R 1 T
221
21
nn
nn
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RiepilogoRiepilogo
θθsin
θθsin R 2
2
ri
ri
θθtg
θθtg R 2
2
ri
ri//
relazioni di Fresnel per le intensità
relazioni di Fresnel per le intensità
Incidenza normale R 2
21
21
nn
nn )(
4 R 1 T
221
21
nn
nn
angolo di Brewsterangolo di Brewster
1
2artg θn
niB
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Prova di esame del corso di Fisica 4 del 26/9/03
3.4 Un sottile fascio di luce di potenza I0 = 10 mW incide normalmente sulla superficie piana di una lastra di vetro con indice di rifrazione n = 1.75, coefficiente di assorbimento = 0.5 cm-1 e di spessore t = 10 mm. Calcolare: (a) la potenza I del fascio all’uscita della lastra; [(b) l’assorbanza complessiva della lastra]
II0
n
t
Dove, dalle relazioni di Fresnel per incidenza normale:
teII R)R)(1(1 0
0.074 75.2
75.0 R
22
21
21
nn
nn
da cui: mW .625 R)-(1 02 t
OUT eII
Esercizi numericiEsercizi numerici
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Esercizi numericiEsercizi numerici
3.5 Quando il sole è allo zenith l’intensità della radiazione solare al livello del mare è 1000 W/m 2. Calcolare l’intensità (a) appena sotto la superficie d’acqua perfettamente piana, (b) a 10 m di profondità assumendo un coefficiente di assorbimento di 0.5 10-4 cm-1.
01 R)(1 II
Dalle relazioni di Fresnel per incidenza normale:
0.02 33.2
33. R
22
21
21
nn
nncon:
da cui: 201 W/m809 R)-(1 II
212m10 W/m329 e αx III -e:
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Esercizi numericiEsercizi numerici
3.6 Un raggio di luce polarizzata nel piano di incidenza e proveniente da una lastra di vetro con indice di rifrazione n1 = 1.57 colpisce, con un angolo di incidenza l’interfaccia con l’aria, viene in parte riflesso mentre la parte trasmessa incide su un’altra lastra con superficie parallela alla prima e indice n2. Il raggio viene quindi rifratto all’interno della seconda lastra senza alcuna componente di riflessione. Calcolare il valore di n2
35°
n1
n2
aria
alla prima interfaccia vetro/aria si avrà:
2.64 sin
1
57.1arcsin ir θθ
ovvero:
.072 2
raria
θtgθtgnnB
alla seconda interfaccia aria/vetro si avrà evidentemente la condizione di angolo di Brewster:
ariaiBri n
n2artg θ θ θ
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Esercizi numericiEsercizi numerici3.7 Un prisma isoscele di vetro, con angoli alla base = 30° e indice di rifrazione n1, è appoggiato sopra una lastra di vetro con indice di rifrazione n2 a facce piane e parallele orizzontali. Si vuole che un raggio di luce propagantesi orizzontalmente e con polarizzazione verticale sia rifratto senza alcuna riflessione all’interno del prisma e subisca riflessione totale all’interfaccia con la lastra.Che valori dovranno avere n1 e n2?
n2
n1
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r
i
γ
.7321 60 tg tg 11 n
n
n
a
per la condizione di Brewster deve essere:
3090 cossin cos
sin
sin
sin 1
rrar n
n
da Snell e Brewster ricaviamo:
6090 30 180180 irquindi:
n1
n2
na
dalla condizione di angolo limite: 1.50 sin sin sin 121
2 iLi nnn
n
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Esercizi numericiEsercizi numerici
3.8 Un fascio di luce non polarizzata, con intensità luminosa I0 = 1 W/cm2, proviene dall’aria ed incide con un angolo i = 70° su una lastra di vetro piana di indice di rifrazione n = 1.732. Calcolare la frazione dell’intensità che viene riflessa dalla prima superficie e il tipo di polarizzazione dell’onda riflessa.
I0n
38.0
θθsin
θθsin R 2
2
ri
ri 0.03
θθt
θθt R 2
2
//
ri
ri
g
g
Trattandosi di luce non polarizzata: RR2
1 //
i
i
I
I'
86.32θ 70in 1.732
1 inθ inθ
2
1 rir ssn
nspoiché:
0.207
θθt
θθt
θθsin
θθsin
2
1
2
2
2
2
ri
ri
ri
ri
i
i
g
g
I
I'quindi:
la luce riflessa è parzialmente polarizzata perpendicolarmente al piano di incidenza