Download - 15.2. 乘法公式
探究 1:计算下列多项式的积 , 你能发现什么规律 ?(1) (x+3)(x-3)= ;
(2) (m+2)(m-2)= ;
(3) (2x+1)(2x-1)= ;[ 想一想 ]: 这几道题目有什么共同特点 ? 从计算结果你能发现什么规律 ?
猜想 :(a+b)(a-b)= ?
=xx22-3-322xx22-9-9
mm22-4-4 =mm22-2-222
4xx22-1-1=(2x2x))22-1-122
a2-b2
a2-ab+ab+b2(a+b)(a-b) ==a2-b2
证明 :
a
bb
a
ba -
ba +
b
(1) 图中阴影部分的面积为 ________.(2) 将阴影部分拼成右图的一个长方形 , 这个长
方形的长是 ____, 宽是 ____, 面积是 _________.(3) 比较 (1)(2) 的结果即可得到 :
(a+b)(a-b)=a2-b2
如图 15.3 – 1, 在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b的小正方形 (a > b). 则
a2-b2
(a+b)(a-b)(a+b) (a-b)
探究 2:
ba -
ba
(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和与这两个数的差的积 , 等于这两个数的平方差 .
公式的结构特征 :(1) 左边是两个二项式相乘,这两项中有一项完全相同,另一项互为相反数 .
(2) 右边是乘式中两项的平方差 ( 相同项的平方减去相反项的平方 ).
(3) 公式中的 a,b 可以代表数 , 字母 , 单项式或者多项式 .
【例 1】运用平方差公式计算:
(1) (3x+2)(3x-2) (2) (b+2a)(2a-b)
(3) (-x+2y)(-x-2y) (4) (a-b+c)(a-b-c)
(a + b) (a - b) = a2 - b2
分析 :
⑴ (3x+2)(3x-2) 3x 3x
a a
2 2
b b( + ) ( - ) = a2 - b2
=(3x)2 -22
用公式关键是识别公式中的两数 a, b.
(a + b) (a - b) = a2 - b2
解 : ⑴ (3x+2)(3x-2)
=(3x)2
3x 3x-
2222
= 9x2 - 4 ⑵ (b+2a)(2a-b);b -b+2a 2a=(2a+b)(2a-b)2a 2a=(2a)2
=4a2 – b2
b b
- b2
位置变化! (3) (-x+2y)(-x-2y)
= (-x)2-(2y)2
= x2-4y2
(4) (a-b+c)(a-b-c)
(a + b) (a - b) = a2 - b2
变式一 变式一 (( -- 3X3X ++ 2)(2)( -- 3X3X -- 2)2)
变式二 变式二 ( ( -- 3X3X -- 2)(3X2)(3X -- 2)2)
变式三 变式三 (( -- 3X3X ++ 2)(3X2)(3X ++ 2)2)
= (-3x)2-22
=(-2)2-(3x)2
=22-(3x)2
当当““ a”a” 或或““ b”b” 是一是一分数 分数 或是或是负数 负数 或是或是数与字母的乘积 数与字母的乘积 时时 ,, 要用括号把这个数整个括起来要用括号把这个数整个括起来 ..
最后的结果又要去掉括号。 最后的结果又要去掉括号。
口答计算
)2
1)(
2
1(
)3)(3(
)5)(5(
)1)(1(
aa
aa
xx
xx 12 x
252 x92 a
4
12 a
(1)(1)(1+2x)(1(1+2x)(1−−2x)=12x)=1−−2x2x2 2
(2) (2a(2) (2a22+b+b22)(2a)(2a22−−bb22)=2a)=2a44−−bb44
(3) (3m+2n)(3m(3) (3m+2n)(3m−−2n)=3m2n)=3m22−−2n2n22
1.1. 指出下列计算中的错误:指出下列计算中的错误:
第二数被平方时,未添括号。第二数被平方时,未添括号。
第一数被平方时,未添括号。第一数被平方时,未添括号。
第一数与第二数被平方时,都未添括号。第一数与第二数被平方时,都未添括号。
纠 错 练 习
2 、判断下列式子是否可用平方差公式。 (1)(-a+b)(a+b) (2) (-a+b)(a-b) (3)(a+b)(a-c) (4)(2+a)(a-2) ( 5 )
( 6 ) (1-x)(-x-1)
( 7 ) (-4k3+3y2)(-4k3-3y2)
)241
)(241
( yxyx
是
否 是
是
是
是
否
3. 请你判断下列计算对不对?为什么?
(1) (x2+2)(x2-2)=x4-2 ( )
(2)(4x-6)(4x+6)=4x2-36 ( )
(3) (2x+3)(x-3)=2x2-9 ( )
(4) (5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1 ( )
(5) (mn-1)(mn+1)=mn2-1 ( )
×
√
×
×
×
1.(200 + 5) (200 - 5)2.(1 + 3b)(1 - 3b)3.(4a + 3)(4a - 3)4.(3x + 2y2)(3x - 2y2)5.[(x + y) + z] [(x + y) –z ]
= 200 2- 52
= 12 - (3b)2
= (4a)2 - 32
= (3x)2- (2y²)2
= (x+y)2 - z2
练习 4
运用平方差公式计算:((aa++bb)()(aa−−bb) ) == aa22−−bb22..
5. 利用平方差计算 :(1) (3a+2b)(3a-2b)
(2) (a5-b2)(a5+b2)
(3) (a+2b+2c)(a+2b-2c)
(4) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
例 2 计算: ⑴ 102 ×98;
⑵ (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);
(3) (a+3)(a-3)(a2+9)
(4) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)
(5) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
⑴ 102 ×98
谁是a?
谁是b?
102
= (100+2)
98
(100-2)
= 1002-22
= 10000-4
= 9996
⑵ (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)y y y y2 2
= y2 - 22
1 5
- (y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= -4y+1
例 2 计算:
(3) (a+3)(a-3)(a2+9)
(4) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)
(5) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) … (22n+1)
运用平方差公式计算:
1) (a+2b+3)(a+2b-3) 2) (a+2b-3)(a-2b+3)3) (a-2b+3)(a-2b-3)4) (a-2b-3)(a+2b-3)5) (3a-5b-2c)(-3a-5b+2c)
6) (x+y+m+n)(x+y-m-n)
[(a+2b)+3][(a+2b)-3][a+(2b-3)] [a-(2b-3)][(a-2b)+3] [(a-2b)-3][(a-3)-2b] [(a-3)+2b]
[(-5b)+(3a-2c)] [(-5b)-(3a-2c)]
[(x+y)+(m+n)][(x+y)-(m+n)]
1. 将下列各式变形为可利用平方差公式计算的形式:
2 、利用平方差公式计算:
1 、 (b + 2a )(2a - b)
2 、 (- 4a - 1)(4a - 1)
3 、 (3 + 2a)( - 3 + 2a)
4 、 ( -0.3x - 1)( -0.3x + 1)5 、 [x + (y + 1)] [x - (y + 1)]6 、 (a + b + c) (a + b - c)7 、 (a + b + c) (a – b + c) 8 、 (x + 3) (x - 3) (x2 + 9) (x4 + 81)
4a2 - b2
1 - 16a2
4a2 - 9
0.09x2-1
前 4 题口答,后四题板演
a2-b2=(a+b)(a-b) 逆向思维训练: 1 、 ( )( ) = n2 - m2
2 、 ( )( )= 4x2 - 9y2 3 、 ( )( ) = 25 - a²
n + m n - m
2x + 3y 2x - 3y
5 + a 5 - a
)10
11()
4
11)(
3
11)(
2
11(
::3
2222
求值例
说明说明 : 平方差公式也可以逆用 , 即 :a2-b2=(a+b)(a-b)
1. 下列多项式相乘,正确的有 ( )
(1)(a+b-c)(a-b+c)=a2-(b-c)2
(2)(a-b+c)(-a+b-c)=b2-(a+c)2
(3)(a-b+c)a-b-c)=a2-(b-c)2
(4)(a+b-c)(a-b+c)=(b-c)2-a2
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
A
2 、巧算: 99×101× 10001
3 、计算:
1002-992+982-972+….+22-12
4 、已知: (m+35)2=13302921,
求 (m+45)(m+25) 的值。
例 4 : 解方程 :
6x+7(2x+3)(2x-3)-281 1
( )( ) 42 2
x x
解: 6x + 7 ( 4x2 - 9 )- 28 ( x2 - 1/4)=4
6x+28x2-63-28x2+7=4
6x=63-7+4
6x=60
∴x=10
1. 你能运用平方差公式编3个因式,使其积等于 x4 - y4 吗?
( )( )( )=x4 - y4 2. 你能运用平方差公式编若干个因式,使其积等于 216 -1吗?
( )( )….( )=216 - 13. 你会计算下列各式吗?
(1)(2+1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)
(2)(3+1)(32 +1)(34 +1)(38 +1)(316 +1)
(3)(x+1)(x2 +1)(x4 +1)(x8 +1)(x16 +1)
知识拓展 :
X - y X + y X2 + y2
2 + 1 22 + 1 28 + 1
216 - 1
0.5 ( 332 - 1 )X32 - 1X - 1
1. 1. 试用语言表述平方差公式试用语言表述平方差公式 ((aa++bb)()(aa−−bb))==aa22−−bb22
。。 两数和与这两数差的积,等于它们的平方差。2. 2. 应用平方差公式时要注意一些什么?应用平方差公式时要注意一些什么?
运用平方差公式时,要紧扣公式的特征, 找出相同的“项”和符号相反的“项”,然后应用公式;
变成公式标准形式后,再用公式。 或提取两−”号中的“−”号,
要利用加法交换律,3. 3. 对于不符合平方差公式标准形式者,对于不符合平方差公式标准形式者,
小 结
一个长方形的长为 (√ 19 + √7 )厘米,宽为(√ 19 - √7 ) 厘米,它的面积是多少?
解 :(√19 - √7 )(√19 + √7 )
=(√19 )2 – (√7 )2
= 19 - 17= 2 ( 平方厘米 )
5. 计算:1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y)2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x)3) –4(2y- )( +2y) + 3(2y-3)(2y+1)4) (x+ )(x2+ )(x- )
解: 1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y) = (y2-4) –(9-y2) = y2-4 –9+y2
= 2y2-13
2
1
2
1
3
1
3
19
1
5. 计算:1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y)2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x)3) –4(2y- )( +2y) + 3(2y-3)(2y+1)4) (x+ )(x2+ )(x- )
解: 2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x) = –3x(x2-1) - x(4-9x2) = –3x3+3x – 4x+9x3
= 6x3-x
2
1
2
1
3
1
3
19
1
5. 计算:1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y)2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x)3) –4(2y- )( +2y) + 3(2y-3)(2y+1)4) (x+ )(x2+ )(x- )
2
1
2
1
3
1
3
19
1
= -16y2+1+12y2-12y-9= -4y2-12y-8
解 :3) –4(2y- )( +2y) + 3(2y-3)(2y+1)2
12
1
= -4(4y2- )+3(4y2+2y-6y-3)4
1
5. 计算:1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y)2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x)3) –4(2y- )( +2y) + 3(2y-3)(2y+1)4) (x+ )(x2+ )(x- )
2
1
2
1
3
1
3
19
1
解: 4) (x+ )(x2+ )(x- )3
1
3
19
1
= [(x+ )(x- )](x2+ )3
1
3
19
1
= (x2- )(x2+ )9
1
9
1
= x4- 81
1