Download - 2- Aritmatika Vektor
-
ALJABAR LINIERAritmatika VektorVivi Tri Widyaningrum,S.Kom., M.T.
-
Penjumlahan & Pengurangan Vektor
-
METODE PENJUMLAHAN & PENGURANGAN VEKTOR1. Cara SegitigaJumlahan 2 vektor a dan b adalah suatu vektor c yang berawal dari titik pangkal vektor a menuju ujung vektor b, setelah ujung vektor a ditempelkan dengan pangkal vektor b
-
2. Cara Jajaran GenjangUntuk memperoleh hasil vektor penjumlahan dari vektor a dan b, maka vektor a dan b harus diposisikan pada 1 titik dan masing-masing vektor diproyeksikan sehingga menghasilkan 1 titik potong antar kedua vektor. Vektor hasil dihubungkan dari titik awal dan titik potong akhir.
-
Hasil dari aljabar tersebut dengan menggunakan 2 metode hasilnya sama, yaitu :
-
BEDA PENJUMLAHAN & PENGURANGAN VEKTOR
-
SIFAT PENJUMLAHAN VEKTOR
-
Perkalian Vektor
-
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR*DEFINISIUntuk sembarang vektor a dengan , maka:- panjang a = | |.|a|- jika a 0 dan > 0 , a searah dengan a- jika a 0 dan < 0 , a berlawanan arah dengan a- jika a = 0 dan = 0 , maka a = 0
Untuk vektor a dalam koordinat kartesianjika a = [a1,a2,a3] maka a = [a1, a2, a3]
-
SIFAT PERKALIAN SKALAR & VEKTOR
-
RUANG VEKTORMerupakan himpunan elemen vektor yang terdefinisikan sekurang-kurangnya dua operasi yang membentuk group
Berlaku sifat distributif dan assosiatif gabungan- distributif operasi 1 terhadap operasi 2- distributif operasi 2 terhadap operasi 1- assosiatif
-
KOMBINASI LINIERUntuk sembarang vektor a1, , am di dalam ruang vektor v , maka ungkapan: 1a1 + 2a2 + + m am. 1, , m skalar sembarangdisebut sebagai Kombinasi Linier
-
KETERGANTUNGAN LINIERJika kombinasi linier dari m buah vektor sama dengan vektor nol dan berlaku hanya untuk i = 0 (i=1,2,,m), maka m buah vektor tersebut dikatakan sebagai vektor-vektor bebas linier
Jika sekurang-kurangnya terdapat satu 1=0, dimana kombinasi linier dari m buah vektor sama dengan vektor nol, maka m buah vektor tersebut dikatakan sebagai vektor-vektor bergantungan linier 1a1 + 2a2 + + m am = 0
-
KETERGANTUNGAN LINIERBerlaku untuk 1 = 2 = = m = 0 (vektor2 bebas linier)Jika terdapat minimal satu 1 0 (vektor2 tidak bebas linier)
-
BASIS & DIMENSI RUANG VEKTORSuatu vektor riil R memiliki dimensi n ditulis sebagai Rn jika dan hanya jika terdapat n buah vektor dalam R yang saling bebas liniern buah vektor bebas linier dalam R disebut sebagai vektor basis. Hal ini berarti setiap vektor lain dalam R selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basis.Vektor basis mempunyai panjang 1 unit
-
PERKALIAN TITIK
(DOT PRODUCT)
-
VISUALISASIVektor-vektor diposisikan sehingga titik pangkalnya berimpitanMemiliki sudut antara dua vektor yaitu (dibaca teta) yang memenuhi 0
-
RUMUSJika u dan v adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi-2 atau berdimensi-3 dan adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik u.v adalah:u.v = |u||v| cos jika u 0 dan v 0u.v = 0 jika u = 0 dan v = 0
-
RUMUS KOMPONEN
-
ORTHOGONALITAS DUA VEKTORDua vektor tidak nol dikatakan orthogonal (saling tegak lurus) jika dan hanya jika hasil kali dalamnya adalah nol.Beberapa formulasi dari perkalian titik ini dapat kita turunkan sebagai berikut:
-
SIFAT DOT PRODUCTUntuk setiap vektor sembarang a, b, c dan skalar 1, 2 berlaku:
-
FORMULASI KHUSUSJika a dan b dinyatakan dalam komponennya,maka:
a.b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ( vektor 3 dimensi )
-
CONTOH SOALJika diketahui vektor a = [1,2,0], b=[3,-2,1]Tentukanlah:panjang vektor a & panjang vektor bsudut antara vektor a dan b
-
PENYELESAIAN
-
CARA LAIN MENYATAKAN DOT PRODUCTa.b dituliskan ulang sebagai(a,b) : Inner Product
|a| dituliskan pula sebagai
-
SUMMARYArah vektor dilihat dari tanda negatif didepan nama vektor, sehingga:v + (-v) = 0Elemen-elemen vektor merupakan panjang vektor untuk basis koordinat tertentuMetode yang digunakan untuk penjumlahan dan pengurangan vektor adalah samaPangkal vektor tidak selalu diawali dari pusat koordinat (0,0,0)
-
SUMMARY (CONTD.)Perkalian vektor dengan skalar merupakan perbesaran atau pengecilan vektor, dengan bilangan skalar merupakan satuan pembandingnya.vektor dalam ruang Rn dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basisRumus untuk dot product
Perkalian titik (dot product) antara 2 vektor akan menghasilkan suatu nilai skalar
u.v = |u||v| cos jika u 0 dan v 0 u.v = 0jika u = 0 dan v = 0
***