Bases MatemáticasAula 17 – Convergência e Limite de Sequências
Rodrigo Hausen
v. 2014-9-4 1/29
Sequências convergentesExemplo: considere a sequência (1/n)∞n=1.
O que o seu gráfico no R2 diz sobre o seu comportamento?
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
2 4 6 8 10 12
(1, 1)
(2, 12)
(3, 13)
f(x) = 1x
Para valores suficientemente grandes de n, os termos de(1/n)∞n=1 se aproximam de zero.O que são “valores suficientemente grandes”? O que é “seaproximar” de um número?
v. 2014-9-4 2/29
Sequências convergentesExemplo: considere a sequência (1/n)∞n=1.
O que o seu gráfico no R2 diz sobre o seu comportamento?
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
2 4 6 8 10 12
(1, 1)
(2, 12)
(3, 13)
f(x) = 1x
Para valores suficientemente grandes de n, os termos de(1/n)∞n=1 se aproximam de zero.
O que são “valores suficientemente grandes”? O que é “seaproximar” de um número?
v. 2014-9-4 2/29
Sequências convergentesExemplo: considere a sequência (1/n)∞n=1.
O que o seu gráfico no R2 diz sobre o seu comportamento?
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
2 4 6 8 10 12
(1, 1)
(2, 12)
(3, 13)
f(x) = 1x
Para valores suficientemente grandes de n, os termos de(1/n)∞n=1 se aproximam de zero.O que são “valores suficientemente grandes”? O que é “seaproximar” de um número?
v. 2014-9-4 2/29
Valores suficientemente grandes
Seja p(n) uma proposição, onde n ∈ N.
(por exemplo: p(n) = “n2 > 10000n”)
Considere esta outra proposição:
p(n) é verdadeira para valores suficientemente grandes de n
O que isto quer dizer?
Existe N ∈ N tal que, para todo n > N, p(n) é verdadeira.
v. 2014-9-4 3/29
Valores suficientemente grandes
Seja p(n) uma proposição, onde n ∈ N.(por exemplo: p(n) = “n2 > 10000n”)
Considere esta outra proposição:
p(n) é verdadeira para valores suficientemente grandes de n
O que isto quer dizer?
Existe N ∈ N tal que, para todo n > N, p(n) é verdadeira.
v. 2014-9-4 3/29
Valores suficientemente grandes
Seja p(n) uma proposição, onde n ∈ N.(por exemplo: p(n) = “n2 > 10000n”)
Considere esta outra proposição:
p(n) é verdadeira para valores suficientemente grandes de n
O que isto quer dizer?
Existe N ∈ N tal que, para todo n > N, p(n) é verdadeira.
v. 2014-9-4 3/29
Valores suficientemente grandes
Seja p(n) uma proposição, onde n ∈ N.(por exemplo: p(n) = “n2 > 10000n”)
Considere esta outra proposição:
p(n) é verdadeira para valores suficientemente grandes de n
O que isto quer dizer?
Existe N ∈ N tal que,
para todo n > N, p(n) é verdadeira.
v. 2014-9-4 3/29
Valores suficientemente grandes
Seja p(n) uma proposição, onde n ∈ N.(por exemplo: p(n) = “n2 > 10000n”)
Considere esta outra proposição:
p(n) é verdadeira para valores suficientemente grandes de n
O que isto quer dizer?
Existe N ∈ N tal que, para todo n > N,
p(n) é verdadeira.
v. 2014-9-4 3/29
Valores suficientemente grandes
Seja p(n) uma proposição, onde n ∈ N.(por exemplo: p(n) = “n2 > 10000n”)
Considere esta outra proposição:
p(n) é verdadeira para valores suficientemente grandes de n
O que isto quer dizer?
Existe N ∈ N tal que, para todo n > N, p(n) é verdadeira.
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Valores suficientemente grandes
Exemplo 1: É verdade que n2 > 10000n para valoressuficientemente grandes de n?
Queremos saber o seguinte: “existe N ∈ N tal que n2 > 10000npara todo n > N?”
Vejamos para quais valores de n a desigualdade é válida:
n2> 10000n
n2− 10000n > 0
n(n − 10000) > 0
Veja que a desigualdade é sempre válida para n > 10000. Portanto,n2 > 10000n para valores suficientemente grandes de n. ∎
Ainda falta definir o que é “se aproximar” de um número.
v. 2014-9-4 4/29
Valores suficientemente grandes
Exemplo 1: É verdade que n2 > 10000n para valoressuficientemente grandes de n?
Queremos saber o seguinte: “existe N ∈ N tal que n2 > 10000npara todo n > N?”
Vejamos para quais valores de n a desigualdade é válida:
n2> 10000n
n2− 10000n > 0
n(n − 10000) > 0
Veja que a desigualdade é sempre válida para n > 10000. Portanto,n2 > 10000n para valores suficientemente grandes de n. ∎
Ainda falta definir o que é “se aproximar” de um número.
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Valores suficientemente grandes
Exemplo 1: É verdade que n2 > 10000n para valoressuficientemente grandes de n?
Queremos saber o seguinte: “existe N ∈ N tal que n2 > 10000npara todo n > N?”
Vejamos para quais valores de n a desigualdade é válida:
n2> 10000n
n2− 10000n > 0
n(n − 10000) > 0
Veja que a desigualdade é sempre válida para n > 10000. Portanto,n2 > 10000n para valores suficientemente grandes de n. ∎
Ainda falta definir o que é “se aproximar” de um número.
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Valores suficientemente grandes
Exemplo 1: É verdade que n2 > 10000n para valoressuficientemente grandes de n?
Queremos saber o seguinte: “existe N ∈ N tal que n2 > 10000npara todo n > N?”
Vejamos para quais valores de n a desigualdade é válida:
n2> 10000n
n2− 10000n > 0
n(n − 10000) > 0
Veja que a desigualdade é sempre válida para n > 10000. Portanto,n2 > 10000n para valores suficientemente grandes de n. ∎
Ainda falta definir o que é “se aproximar” de um número.
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Valores suficientemente grandes
Exemplo 1: É verdade que n2 > 10000n para valoressuficientemente grandes de n?
Queremos saber o seguinte: “existe N ∈ N tal que n2 > 10000npara todo n > N?”
Vejamos para quais valores de n a desigualdade é válida:
n2> 10000n
n2− 10000n > 0
n(n − 10000) > 0
Veja que a desigualdade é sempre válida para n > 10000.
Portanto,n2 > 10000n para valores suficientemente grandes de n. ∎
Ainda falta definir o que é “se aproximar” de um número.
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Valores suficientemente grandes
Exemplo 1: É verdade que n2 > 10000n para valoressuficientemente grandes de n?
Queremos saber o seguinte: “existe N ∈ N tal que n2 > 10000npara todo n > N?”
Vejamos para quais valores de n a desigualdade é válida:
n2> 10000n
n2− 10000n > 0
n(n − 10000) > 0
Veja que a desigualdade é sempre válida para n > 10000. Portanto,n2 > 10000n para valores suficientemente grandes de n. ∎
Ainda falta definir o que é “se aproximar” de um número.
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Valores suficientemente grandes
Exemplo 1: É verdade que n2 > 10000n para valoressuficientemente grandes de n?
Queremos saber o seguinte: “existe N ∈ N tal que n2 > 10000npara todo n > N?”
Vejamos para quais valores de n a desigualdade é válida:
n2> 10000n
n2− 10000n > 0
n(n − 10000) > 0
Veja que a desigualdade é sempre válida para n > 10000. Portanto,n2 > 10000n para valores suficientemente grandes de n. ∎
Ainda falta definir o que é “se aproximar” de um número.v. 2014-9-4 4/29
Aproximações
Exemplo 2: Quanto vale√2?
A sua representação exata em algarismos decimais não tem fim:1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 . . .
Os seguintes valores são aproximações racionais para√2:
q1 = 1,4q2 = 1,41q3 = 1,414⋮
Toda vez que representamos um número irracional com umaquantidade finita de algarismos decimais depois da vírgula,cometemos um erro de aproximação.
v. 2014-9-4 5/29
Aproximações
Exemplo 2: Quanto vale√2?
A sua representação exata em algarismos decimais não tem fim:1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 . . .
Os seguintes valores são aproximações racionais para√2:
q1 = 1,4q2 = 1,41q3 = 1,414⋮
Toda vez que representamos um número irracional com umaquantidade finita de algarismos decimais depois da vírgula,cometemos um erro de aproximação.
v. 2014-9-4 5/29
Aproximações
Exemplo 2: Quanto vale√2?
A sua representação exata em algarismos decimais não tem fim:1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 . . .
Os seguintes valores são aproximações racionais para√2:
q1 = 1,4
q2 = 1,41q3 = 1,414⋮
Toda vez que representamos um número irracional com umaquantidade finita de algarismos decimais depois da vírgula,cometemos um erro de aproximação.
v. 2014-9-4 5/29
Aproximações
Exemplo 2: Quanto vale√2?
A sua representação exata em algarismos decimais não tem fim:1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 . . .
Os seguintes valores são aproximações racionais para√2:
q1 = 1,4q2 = 1,41
q3 = 1,414⋮
Toda vez que representamos um número irracional com umaquantidade finita de algarismos decimais depois da vírgula,cometemos um erro de aproximação.
v. 2014-9-4 5/29
Aproximações
Exemplo 2: Quanto vale√2?
A sua representação exata em algarismos decimais não tem fim:1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 . . .
Os seguintes valores são aproximações racionais para√2:
q1 = 1,4q2 = 1,41q3 = 1,414
⋮
Toda vez que representamos um número irracional com umaquantidade finita de algarismos decimais depois da vírgula,cometemos um erro de aproximação.
v. 2014-9-4 5/29
Aproximações
Exemplo 2: Quanto vale√2?
A sua representação exata em algarismos decimais não tem fim:1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 . . .
Os seguintes valores são aproximações racionais para√2:
q1 = 1,4q2 = 1,41q3 = 1,414⋮
Toda vez que representamos um número irracional com umaquantidade finita de algarismos decimais depois da vírgula,cometemos um erro de aproximação.
v. 2014-9-4 5/29
Erro de aproximação
Problema 1: Dado n, qual é o erro cometido ao tomarmos√2
como uma de suas aproximações qn?
Geralmente, usamos a letra grega ε (epsilon) para representar erros:
ε1 = q1 −√2 = 1,4 − 1,414213562 . . . = − 0,014213562
ε2 = q2 −√2 = 1,41 − 1,414213562 . . . = − 0,004213562
ε3 = q3 −√2 = 1,414 − 1,414213562 . . . = −0,000213562
Note que ∣εn∣ <110n .
Tamanho do erro de aproximação: ∣εn∣ = ∣qn −√2∣
v. 2014-9-4 6/29
Erro de aproximação
Problema 1: Dado n, qual é o erro cometido ao tomarmos√2
como uma de suas aproximações qn?
Geralmente, usamos a letra grega ε (epsilon) para representar erros:
ε1 = q1 −√2 =
1,4 − 1,414213562 . . . = − 0,014213562
ε2 = q2 −√2 = 1,41 − 1,414213562 . . . = − 0,004213562
ε3 = q3 −√2 = 1,414 − 1,414213562 . . . = −0,000213562
Note que ∣εn∣ <110n .
Tamanho do erro de aproximação: ∣εn∣ = ∣qn −√2∣
v. 2014-9-4 6/29
Erro de aproximação
Problema 1: Dado n, qual é o erro cometido ao tomarmos√2
como uma de suas aproximações qn?
Geralmente, usamos a letra grega ε (epsilon) para representar erros:
ε1 = q1 −√2 = 1,4 − 1,414213562 . . . =
− 0,014213562
ε2 = q2 −√2 = 1,41 − 1,414213562 . . . = − 0,004213562
ε3 = q3 −√2 = 1,414 − 1,414213562 . . . = −0,000213562
Note que ∣εn∣ <110n .
Tamanho do erro de aproximação: ∣εn∣ = ∣qn −√2∣
v. 2014-9-4 6/29
Erro de aproximação
Problema 1: Dado n, qual é o erro cometido ao tomarmos√2
como uma de suas aproximações qn?
Geralmente, usamos a letra grega ε (epsilon) para representar erros:
ε1 = q1 −√2 = 1,4 − 1,414213562 . . . = − 0,014213562
ε2 = q2 −√2 = 1,41 − 1,414213562 . . . = − 0,004213562
ε3 = q3 −√2 = 1,414 − 1,414213562 . . . = −0,000213562
Note que ∣εn∣ <110n .
Tamanho do erro de aproximação: ∣εn∣ = ∣qn −√2∣
v. 2014-9-4 6/29
Erro de aproximação
Problema 1: Dado n, qual é o erro cometido ao tomarmos√2
como uma de suas aproximações qn?
Geralmente, usamos a letra grega ε (epsilon) para representar erros:
ε1 = q1 −√2 = 1,4 − 1,414213562 . . . = − 0,014213562
ε2 = q2 −√2 =
1,41 − 1,414213562 . . . = − 0,004213562
ε3 = q3 −√2 = 1,414 − 1,414213562 . . . = −0,000213562
Note que ∣εn∣ <110n .
Tamanho do erro de aproximação: ∣εn∣ = ∣qn −√2∣
v. 2014-9-4 6/29
Erro de aproximação
Problema 1: Dado n, qual é o erro cometido ao tomarmos√2
como uma de suas aproximações qn?
Geralmente, usamos a letra grega ε (epsilon) para representar erros:
ε1 = q1 −√2 = 1,4 − 1,414213562 . . . = − 0,014213562
ε2 = q2 −√2 = 1,41 − 1,414213562 . . . =
− 0,004213562
ε3 = q3 −√2 = 1,414 − 1,414213562 . . . = −0,000213562
Note que ∣εn∣ <110n .
Tamanho do erro de aproximação: ∣εn∣ = ∣qn −√2∣
v. 2014-9-4 6/29
Erro de aproximação
Problema 1: Dado n, qual é o erro cometido ao tomarmos√2
como uma de suas aproximações qn?
Geralmente, usamos a letra grega ε (epsilon) para representar erros:
ε1 = q1 −√2 = 1,4 − 1,414213562 . . . = − 0,014213562
ε2 = q2 −√2 = 1,41 − 1,414213562 . . . = − 0,004213562
ε3 = q3 −√2 = 1,414 − 1,414213562 . . . = −0,000213562
Note que ∣εn∣ <110n .
Tamanho do erro de aproximação: ∣εn∣ = ∣qn −√2∣
v. 2014-9-4 6/29
Erro de aproximação
Problema 1: Dado n, qual é o erro cometido ao tomarmos√2
como uma de suas aproximações qn?
Geralmente, usamos a letra grega ε (epsilon) para representar erros:
ε1 = q1 −√2 = 1,4 − 1,414213562 . . . = − 0,014213562
ε2 = q2 −√2 = 1,41 − 1,414213562 . . . = − 0,004213562
ε3 = q3 −√2 = 1,414 − 1,414213562 . . . = −0,000213562
Note que ∣εn∣ <110n .
Tamanho do erro de aproximação: ∣εn∣ = ∣qn −√2∣
v. 2014-9-4 6/29
Erro de aproximaçãoProblema 2: Dado erro máximo ε = 1/9873, podemos garantir queo erro de aproximação de
√2 por qn é sempre menor do que ε para
valores grandes de n?
Queremos saber se é possível fazer ∣qn −√2∣ < 1/9873 para todo
n > N?
Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que
10−n < 1/9873 para todo n > N, resolvemos o problema.
Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < 1/9873 é equivalente alog10(10−n
) < log10(1/9873)− n < log10(1) − log10(9873)
− n < − log10(9873)n > 3,9944 . . .
Logo, dado ε = 1/9873, tome N = 3. Se n = 4,5,6, . . . então∣qn −
√2∣ < ε.
v. 2014-9-4 7/29
Erro de aproximaçãoProblema 2: Dado erro máximo ε = 1/9873, podemos garantir queo erro de aproximação de
√2 por qn é sempre menor do que ε para
valores grandes de n?
Queremos saber se é possível fazer ∣qn −√2∣ < 1/9873 para todo
n > N?
Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que
10−n < 1/9873 para todo n > N, resolvemos o problema.
Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < 1/9873 é equivalente alog10(10−n
) < log10(1/9873)− n < log10(1) − log10(9873)
− n < − log10(9873)n > 3,9944 . . .
Logo, dado ε = 1/9873, tome N = 3. Se n = 4,5,6, . . . então∣qn −
√2∣ < ε.
v. 2014-9-4 7/29
Erro de aproximaçãoProblema 2: Dado erro máximo ε = 1/9873, podemos garantir queo erro de aproximação de
√2 por qn é sempre menor do que ε para
valores grandes de n?
Queremos saber se é possível fazer ∣qn −√2∣ < 1/9873 para todo
n > N?
Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que
10−n < 1/9873 para todo n > N, resolvemos o problema.
Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < 1/9873 é equivalente alog10(10−n
) < log10(1/9873)− n < log10(1) − log10(9873)
− n < − log10(9873)n > 3,9944 . . .
Logo, dado ε = 1/9873, tome N = 3. Se n = 4,5,6, . . . então∣qn −
√2∣ < ε.
v. 2014-9-4 7/29
Erro de aproximaçãoProblema 2: Dado erro máximo ε = 1/9873, podemos garantir queo erro de aproximação de
√2 por qn é sempre menor do que ε para
valores grandes de n?
Queremos saber se é possível fazer ∣qn −√2∣ < 1/9873 para todo
n > N?
Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que
10−n < 1/9873 para todo n > N, resolvemos o problema.
Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < 1/9873 é equivalente alog10(10−n
) < log10(1/9873)
− n < log10(1) − log10(9873)− n < − log10(9873)
n > 3,9944 . . .Logo, dado ε = 1/9873, tome N = 3. Se n = 4,5,6, . . . então∣qn −
√2∣ < ε.
v. 2014-9-4 7/29
Erro de aproximaçãoProblema 2: Dado erro máximo ε = 1/9873, podemos garantir queo erro de aproximação de
√2 por qn é sempre menor do que ε para
valores grandes de n?
Queremos saber se é possível fazer ∣qn −√2∣ < 1/9873 para todo
n > N?
Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que
10−n < 1/9873 para todo n > N, resolvemos o problema.
Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < 1/9873 é equivalente alog10(10−n
) < log10(1/9873)− n < log10(1) − log10(9873)
− n < − log10(9873)n > 3,9944 . . .
Logo, dado ε = 1/9873, tome N = 3. Se n = 4,5,6, . . . então∣qn −
√2∣ < ε.
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Erro de aproximaçãoProblema 2: Dado erro máximo ε = 1/9873, podemos garantir queo erro de aproximação de
√2 por qn é sempre menor do que ε para
valores grandes de n?
Queremos saber se é possível fazer ∣qn −√2∣ < 1/9873 para todo
n > N?
Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que
10−n < 1/9873 para todo n > N, resolvemos o problema.
Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < 1/9873 é equivalente alog10(10−n
) < log10(1/9873)− n < log10(1) − log10(9873)
− n < − log10(9873)
n > 3,9944 . . .Logo, dado ε = 1/9873, tome N = 3. Se n = 4,5,6, . . . então∣qn −
√2∣ < ε.
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Erro de aproximaçãoProblema 2: Dado erro máximo ε = 1/9873, podemos garantir queo erro de aproximação de
√2 por qn é sempre menor do que ε para
valores grandes de n?
Queremos saber se é possível fazer ∣qn −√2∣ < 1/9873 para todo
n > N?
Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que
10−n < 1/9873 para todo n > N, resolvemos o problema.
Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < 1/9873 é equivalente alog10(10−n
) < log10(1/9873)− n < log10(1) − log10(9873)
− n < − log10(9873)n > 3,9944 . . .
Logo, dado ε = 1/9873, tome N = 3. Se n = 4,5,6, . . . então∣qn −
√2∣ < ε.
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Erro de aproximaçãoProblema 2: Dado erro máximo ε = 1/9873, podemos garantir queo erro de aproximação de
√2 por qn é sempre menor do que ε para
valores grandes de n?
Queremos saber se é possível fazer ∣qn −√2∣ < 1/9873 para todo
n > N?
Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que
10−n < 1/9873 para todo n > N, resolvemos o problema.
Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < 1/9873 é equivalente alog10(10−n
) < log10(1/9873)− n < log10(1) − log10(9873)
− n < − log10(9873)n > 3,9944 . . .
Logo, dado ε = 1/9873, tome N = 3.
Se n = 4,5,6, . . . então∣qn −
√2∣ < ε.
v. 2014-9-4 7/29
Erro de aproximaçãoProblema 2: Dado erro máximo ε = 1/9873, podemos garantir queo erro de aproximação de
√2 por qn é sempre menor do que ε para
valores grandes de n?
Queremos saber se é possível fazer ∣qn −√2∣ < 1/9873 para todo
n > N?
Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que
10−n < 1/9873 para todo n > N, resolvemos o problema.
Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < 1/9873 é equivalente alog10(10−n
) < log10(1/9873)− n < log10(1) − log10(9873)
− n < − log10(9873)n > 3,9944 . . .
Logo, dado ε = 1/9873, tome N = 3. Se n = 4,5,6, . . . então∣qn −
√2∣ < ε.
v. 2014-9-4 7/29
Erro de aproximaçãoProblema 2’: (Generalizando) Dado ε > 0, podemos encontrar Ntal que o tamanho do erro de aproximação de
√2 por qn é menor
do que ε para todo n > N?
Queremos saber se, dado ε > 0, é possível fazer ∣qn −√2∣ < ε para
todo n > N?
Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que
10−n < ε para todo n > N, resolvemos o problema.
Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < ε é equivalente a
log10(10−n) < log10(ε)
− n < log10(ε)
n > − log10(ε)
Se − log10(ε) < 0, tome N = 0; caso contrário, tomeN = ⌊− log10(ε)⌋ + 1. Se n > N então ∣qn −
√2∣ < ε.
v. 2014-9-4 8/29
Erro de aproximaçãoProblema 2’: (Generalizando) Dado ε > 0, podemos encontrar Ntal que o tamanho do erro de aproximação de
√2 por qn é menor
do que ε para todo n > N?
Queremos saber se, dado ε > 0, é possível fazer ∣qn −√2∣ < ε para
todo n > N?
Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que
10−n < ε para todo n > N, resolvemos o problema.
Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < ε é equivalente a
log10(10−n) < log10(ε)
− n < log10(ε)
n > − log10(ε)
Se − log10(ε) < 0, tome N = 0; caso contrário, tomeN = ⌊− log10(ε)⌋ + 1. Se n > N então ∣qn −
√2∣ < ε.
v. 2014-9-4 8/29
Erro de aproximaçãoProblema 2’: (Generalizando) Dado ε > 0, podemos encontrar Ntal que o tamanho do erro de aproximação de
√2 por qn é menor
do que ε para todo n > N?
Queremos saber se, dado ε > 0, é possível fazer ∣qn −√2∣ < ε para
todo n > N?
Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que
10−n < ε para todo n > N, resolvemos o problema.
Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < ε é equivalente a
log10(10−n) < log10(ε)
− n < log10(ε)
n > − log10(ε)
Se − log10(ε) < 0, tome N = 0; caso contrário, tomeN = ⌊− log10(ε)⌋ + 1. Se n > N então ∣qn −
√2∣ < ε.
v. 2014-9-4 8/29
Erro de aproximaçãoProblema 2’: (Generalizando) Dado ε > 0, podemos encontrar Ntal que o tamanho do erro de aproximação de
√2 por qn é menor
do que ε para todo n > N?
Queremos saber se, dado ε > 0, é possível fazer ∣qn −√2∣ < ε para
todo n > N?
Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que
10−n < ε para todo n > N, resolvemos o problema.
Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < ε é equivalente a
log10(10−n) < log10(ε)
− n < log10(ε)
n > − log10(ε)
Se − log10(ε) < 0, tome N = 0; caso contrário, tomeN = ⌊− log10(ε)⌋ + 1. Se n > N então ∣qn −
√2∣ < ε.
v. 2014-9-4 8/29
Erro de aproximaçãoProblema 2’: (Generalizando) Dado ε > 0, podemos encontrar Ntal que o tamanho do erro de aproximação de
√2 por qn é menor
do que ε para todo n > N?
Queremos saber se, dado ε > 0, é possível fazer ∣qn −√2∣ < ε para
todo n > N?
Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que
10−n < ε para todo n > N, resolvemos o problema.
Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < ε é equivalente a
log10(10−n) < log10(ε)
− n < log10(ε)
n > − log10(ε)
Se − log10(ε) < 0, tome N = 0; caso contrário, tomeN = ⌊− log10(ε)⌋ + 1. Se n > N então ∣qn −
√2∣ < ε.
v. 2014-9-4 8/29
Erro de aproximaçãoProblema 2’: (Generalizando) Dado ε > 0, podemos encontrar Ntal que o tamanho do erro de aproximação de
√2 por qn é menor
do que ε para todo n > N?
Queremos saber se, dado ε > 0, é possível fazer ∣qn −√2∣ < ε para
todo n > N?
Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que
10−n < ε para todo n > N, resolvemos o problema.
Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < ε é equivalente a
log10(10−n) < log10(ε)
− n < log10(ε)
n > − log10(ε)
Se − log10(ε) < 0, tome N = 0; caso contrário, tomeN = ⌊− log10(ε)⌋ + 1. Se n > N então ∣qn −
√2∣ < ε.
v. 2014-9-4 8/29
Erro de aproximaçãoProblema 2’: (Generalizando) Dado ε > 0, podemos encontrar Ntal que o tamanho do erro de aproximação de
√2 por qn é menor
do que ε para todo n > N?
Queremos saber se, dado ε > 0, é possível fazer ∣qn −√2∣ < ε para
todo n > N?
Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que
10−n < ε para todo n > N, resolvemos o problema.
Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < ε é equivalente a
log10(10−n) < log10(ε)
− n < log10(ε)
n > − log10(ε)
Se − log10(ε) < 0, tome N = 0; caso contrário, tomeN = ⌊− log10(ε)⌋ + 1.
Se n > N então ∣qn −√2∣ < ε.
v. 2014-9-4 8/29
Erro de aproximaçãoProblema 2’: (Generalizando) Dado ε > 0, podemos encontrar Ntal que o tamanho do erro de aproximação de
√2 por qn é menor
do que ε para todo n > N?
Queremos saber se, dado ε > 0, é possível fazer ∣qn −√2∣ < ε para
todo n > N?
Sabemos que ∣qn −√2∣ < 10−n. Se conseguirmos demonstrar que
10−n < ε para todo n > N, resolvemos o problema.
Como 10−n > 0, a desigualdade 10−n < ε é equivalente a
log10(10−n) < log10(ε)
− n < log10(ε)
n > − log10(ε)
Se − log10(ε) < 0, tome N = 0; caso contrário, tomeN = ⌊− log10(ε)⌋ + 1. Se n > N então ∣qn −
√2∣ < ε.
v. 2014-9-4 8/29
Sequências convergentes
DefiniçãoDados L ∈ R e uma sequência (an)
∞n=1, dizemos que a sequência
(an)∞n=1 converge para L se
para todo ε > 0 dado, é verdade que∣an − L∣ < ε para todo n suficientemente grande.
v. 2014-9-4 9/29
Sequências convergentes
DefiniçãoDados L ∈ R e uma sequência (an)
∞n=1, dizemos que a sequência
(an)∞n=1 converge para L se para todo ε > 0 dado,
é verdade que∣an − L∣ < ε para todo n suficientemente grande.
v. 2014-9-4 9/29
Sequências convergentes
DefiniçãoDados L ∈ R e uma sequência (an)
∞n=1, dizemos que a sequência
(an)∞n=1 converge para L se para todo ε > 0 dado, é verdade que
∣an − L∣ < ε
para todo n suficientemente grande.
v. 2014-9-4 9/29
Sequências convergentes
DefiniçãoDados L ∈ R e uma sequência (an)
∞n=1, dizemos que a sequência
(an)∞n=1 converge para L se para todo ε > 0 dado, é verdade que
∣an − L∣ < ε para todo n suficientemente grande.
v. 2014-9-4 9/29
Sequências convergentes
Exemplo 3: Demonstre que a sequência (1/n)∞n=1 converge para 0.
Dado ε > 0, é possível achar N ∈ N tal que ∣1/n − 0∣ < ε para todon > N?Como 1/n > 0, temos que as seguintes desigualdades sãoequivalentes:
∣1/n − 0∣ < ε
1/n < ε
1 < nε1/ε < n
Tome N = ⌊1/ε⌋ + 1. Para todo n > N > 1/ε temos que ∣1/n − 0∣ < ε.∎
v. 2014-9-4 10/29
Sequências convergentes
Exemplo 3: Demonstre que a sequência (1/n)∞n=1 converge para 0.
Dado ε > 0, é possível achar N ∈ N tal que ∣1/n − 0∣ < ε para todon > N?
Como 1/n > 0, temos que as seguintes desigualdades sãoequivalentes:
∣1/n − 0∣ < ε
1/n < ε
1 < nε1/ε < n
Tome N = ⌊1/ε⌋ + 1. Para todo n > N > 1/ε temos que ∣1/n − 0∣ < ε.∎
v. 2014-9-4 10/29
Sequências convergentes
Exemplo 3: Demonstre que a sequência (1/n)∞n=1 converge para 0.
Dado ε > 0, é possível achar N ∈ N tal que ∣1/n − 0∣ < ε para todon > N?Como 1/n > 0, temos que as seguintes desigualdades sãoequivalentes:
∣1/n − 0∣ < ε
1/n < ε
1 < nε1/ε < n
Tome N = ⌊1/ε⌋ + 1. Para todo n > N > 1/ε temos que ∣1/n − 0∣ < ε.∎
v. 2014-9-4 10/29
Sequências convergentes
Exemplo 3: Demonstre que a sequência (1/n)∞n=1 converge para 0.
Dado ε > 0, é possível achar N ∈ N tal que ∣1/n − 0∣ < ε para todon > N?Como 1/n > 0, temos que as seguintes desigualdades sãoequivalentes:
∣1/n − 0∣ < ε
1/n < ε
1 < nε
1/ε < n
Tome N = ⌊1/ε⌋ + 1. Para todo n > N > 1/ε temos que ∣1/n − 0∣ < ε.∎
v. 2014-9-4 10/29
Sequências convergentes
Exemplo 3: Demonstre que a sequência (1/n)∞n=1 converge para 0.
Dado ε > 0, é possível achar N ∈ N tal que ∣1/n − 0∣ < ε para todon > N?Como 1/n > 0, temos que as seguintes desigualdades sãoequivalentes:
∣1/n − 0∣ < ε
1/n < ε
1 < nε1/ε < n
Tome N = ⌊1/ε⌋ + 1.
Para todo n > N > 1/ε temos que ∣1/n − 0∣ < ε.∎
v. 2014-9-4 10/29
Sequências convergentes
Exemplo 3: Demonstre que a sequência (1/n)∞n=1 converge para 0.
Dado ε > 0, é possível achar N ∈ N tal que ∣1/n − 0∣ < ε para todon > N?Como 1/n > 0, temos que as seguintes desigualdades sãoequivalentes:
∣1/n − 0∣ < ε
1/n < ε
1 < nε1/ε < n
Tome N = ⌊1/ε⌋ + 1. Para todo n > N
> 1/ε temos que ∣1/n − 0∣ < ε.∎
v. 2014-9-4 10/29
Sequências convergentes
Exemplo 3: Demonstre que a sequência (1/n)∞n=1 converge para 0.
Dado ε > 0, é possível achar N ∈ N tal que ∣1/n − 0∣ < ε para todon > N?Como 1/n > 0, temos que as seguintes desigualdades sãoequivalentes:
∣1/n − 0∣ < ε
1/n < ε
1 < nε1/ε < n
Tome N = ⌊1/ε⌋ + 1. Para todo n > N > 1/ε
temos que ∣1/n − 0∣ < ε.∎
v. 2014-9-4 10/29
Sequências convergentes
Exemplo 3: Demonstre que a sequência (1/n)∞n=1 converge para 0.
Dado ε > 0, é possível achar N ∈ N tal que ∣1/n − 0∣ < ε para todon > N?Como 1/n > 0, temos que as seguintes desigualdades sãoequivalentes:
∣1/n − 0∣ < ε
1/n < ε
1 < nε1/ε < n
Tome N = ⌊1/ε⌋ + 1. Para todo n > N > 1/ε temos que ∣1/n − 0∣ < ε.∎
v. 2014-9-4 10/29
Sequências convergentes: notação
As seguintes notações são equivalentes:(an)
∞n=1 converge para L
an → Llim
n→∞an = L
Se limn→∞
an = L, dizemos que L é o limite de an.
Dizemos que uma sequência (an)∞n=1 é convergente se existe L tal
que limn→∞
an = L.
Dizemos que uma sequência é divergente se ela não éconvergente.
v. 2014-9-4 11/29
Sequências convergentes: notação
As seguintes notações são equivalentes:(an)
∞n=1 converge para L
an → L
limn→∞
an = L
Se limn→∞
an = L, dizemos que L é o limite de an.
Dizemos que uma sequência (an)∞n=1 é convergente se existe L tal
que limn→∞
an = L.
Dizemos que uma sequência é divergente se ela não éconvergente.
v. 2014-9-4 11/29
Sequências convergentes: notação
As seguintes notações são equivalentes:(an)
∞n=1 converge para L
an → Llim
n→∞an = L
Se limn→∞
an = L, dizemos que L é o limite de an.
Dizemos que uma sequência (an)∞n=1 é convergente se existe L tal
que limn→∞
an = L.
Dizemos que uma sequência é divergente se ela não éconvergente.
v. 2014-9-4 11/29
Sequências convergentes: notação
As seguintes notações são equivalentes:(an)
∞n=1 converge para L
an → Llim
n→∞an = L
Se limn→∞
an = L, dizemos que L é o limite de an.
Dizemos que uma sequência (an)∞n=1 é convergente se existe L tal
que limn→∞
an = L.
Dizemos que uma sequência é divergente se ela não éconvergente.
v. 2014-9-4 11/29
Sequências convergentes: notação
As seguintes notações são equivalentes:(an)
∞n=1 converge para L
an → Llim
n→∞an = L
Se limn→∞
an = L, dizemos que L é o limite de an.
Dizemos que uma sequência (an)∞n=1 é convergente se existe L tal
que limn→∞
an = L.
Dizemos que uma sequência é divergente se ela não éconvergente.
v. 2014-9-4 11/29
Sequências convergentes: notação
As seguintes notações são equivalentes:(an)
∞n=1 converge para L
an → Llim
n→∞an = L
Se limn→∞
an = L, dizemos que L é o limite de an.
Dizemos que uma sequência (an)∞n=1 é convergente se existe L tal
que limn→∞
an = L.
Dizemos que uma sequência é divergente se ela não éconvergente.
v. 2014-9-4 11/29
Sequências convergentes
Exemplo 4: Demonstre que (n
n + 1)∞
n=1é convergente.
Neste caso, antes de demonstrar, veremos o que podemos esperardo comportamento de n.
n n/n+1
10 0,90909090 . . .100 0,99009900 . . .1000 0,99900099 . . .10000 0,99990000 . . .100000 0,99999000 . . .
Parece que limn→∞
nn + 1
= 1. Agora sim, passaremos à demonstração!
v. 2014-9-4 12/29
Sequências convergentes
Exemplo 4: Demonstre que (n
n + 1)∞
n=1é convergente.
Neste caso, antes de demonstrar, veremos o que podemos esperardo comportamento de n.
n n/n+1
10 0,90909090 . . .
100 0,99009900 . . .1000 0,99900099 . . .10000 0,99990000 . . .100000 0,99999000 . . .
Parece que limn→∞
nn + 1
= 1. Agora sim, passaremos à demonstração!
v. 2014-9-4 12/29
Sequências convergentes
Exemplo 4: Demonstre que (n
n + 1)∞
n=1é convergente.
Neste caso, antes de demonstrar, veremos o que podemos esperardo comportamento de n.
n n/n+1
10 0,90909090 . . .100 0,99009900 . . .
1000 0,99900099 . . .10000 0,99990000 . . .100000 0,99999000 . . .
Parece que limn→∞
nn + 1
= 1. Agora sim, passaremos à demonstração!
v. 2014-9-4 12/29
Sequências convergentes
Exemplo 4: Demonstre que (n
n + 1)∞
n=1é convergente.
Neste caso, antes de demonstrar, veremos o que podemos esperardo comportamento de n.
n n/n+1
10 0,90909090 . . .100 0,99009900 . . .1000 0,99900099 . . .
10000 0,99990000 . . .100000 0,99999000 . . .
Parece que limn→∞
nn + 1
= 1. Agora sim, passaremos à demonstração!
v. 2014-9-4 12/29
Sequências convergentes
Exemplo 4: Demonstre que (n
n + 1)∞
n=1é convergente.
Neste caso, antes de demonstrar, veremos o que podemos esperardo comportamento de n.
n n/n+1
10 0,90909090 . . .100 0,99009900 . . .1000 0,99900099 . . .10000 0,99990000 . . .
100000 0,99999000 . . .
Parece que limn→∞
nn + 1
= 1. Agora sim, passaremos à demonstração!
v. 2014-9-4 12/29
Sequências convergentes
Exemplo 4: Demonstre que (n
n + 1)∞
n=1é convergente.
Neste caso, antes de demonstrar, veremos o que podemos esperardo comportamento de n.
n n/n+1
10 0,90909090 . . .100 0,99009900 . . .1000 0,99900099 . . .10000 0,99990000 . . .100000 0,99999000 . . .
Parece que limn→∞
nn + 1
= 1. Agora sim, passaremos à demonstração!
v. 2014-9-4 12/29
Sequências convergentes
Exemplo 4: Demonstre que (n
n + 1)∞
n=1é convergente.
Neste caso, antes de demonstrar, veremos o que podemos esperardo comportamento de n.
n n/n+1
10 0,90909090 . . .100 0,99009900 . . .1000 0,99900099 . . .10000 0,99990000 . . .100000 0,99999000 . . .
Parece que limn→∞
nn + 1
= 1. Agora sim, passaremos à demonstração!
v. 2014-9-4 12/29
Sequências convergentes
Exemplo 4: Demonstre que (n
n + 1)∞
n=1é convergente.
Neste caso, antes de demonstrar, veremos o que podemos esperardo comportamento de n.
n n/n+1
10 0,90909090 . . .100 0,99009900 . . .1000 0,99900099 . . .10000 0,99990000 . . .100000 0,99999000 . . .
Parece que limn→∞
nn + 1
= 1. Agora sim, passaremos à demonstração!
v. 2014-9-4 12/29
Sequências convergentes
Exemplo 4: Demonstre que (n
n + 1)∞
n=1é convergente.
Neste caso, antes de demonstrar, veremos o que podemos esperardo comportamento de n.
n n/n+1
10 0,90909090 . . .100 0,99009900 . . .1000 0,99900099 . . .10000 0,99990000 . . .100000 0,99999000 . . .
Parece que limn→∞
nn + 1
= 1. Agora sim, passaremos à demonstração!
v. 2014-9-4 12/29
(continuação)
Demonstração de que limn→∞
nn + 1
= 1
Queremos demonstrar que, dado ε > 0, ∣an − 1∣ < ε para todo n > N.
∣an − 1∣ = ∣n
n + 1− 1∣ = ∣
nn + 1
−n + 1n + 1
∣ = ∣−1
n + 1∣ =
1n + 1
Como n > 0, observe que 1n+1 < 1
n ,logo, se1n < ε, também teremos
1n+1 < 1
n < ε.
Do exemplo 3, vimos que se tomarmos N = ⌊1/ε⌋ + 1, então 1n < ε
para todo n > N.
Logo, demonstramos que, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que∣an − 1∣ < ε para todo n tal que n > N, o que significa que asequência é convergente e que lim
n→∞
nn + 1
= 1 ∎
v. 2014-9-4 13/29
(continuação)
Demonstração de que limn→∞
nn + 1
= 1
Queremos demonstrar que, dado ε > 0, ∣an − 1∣ < ε para todo n > N.
∣an − 1∣ =
∣n
n + 1− 1∣ = ∣
nn + 1
−n + 1n + 1
∣ = ∣−1
n + 1∣ =
1n + 1
Como n > 0, observe que 1n+1 < 1
n ,logo, se1n < ε, também teremos
1n+1 < 1
n < ε.
Do exemplo 3, vimos que se tomarmos N = ⌊1/ε⌋ + 1, então 1n < ε
para todo n > N.
Logo, demonstramos que, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que∣an − 1∣ < ε para todo n tal que n > N, o que significa que asequência é convergente e que lim
n→∞
nn + 1
= 1 ∎
v. 2014-9-4 13/29
(continuação)
Demonstração de que limn→∞
nn + 1
= 1
Queremos demonstrar que, dado ε > 0, ∣an − 1∣ < ε para todo n > N.
∣an − 1∣ = ∣n
n + 1− 1∣ =
∣n
n + 1−n + 1n + 1
∣ = ∣−1
n + 1∣ =
1n + 1
Como n > 0, observe que 1n+1 < 1
n ,logo, se1n < ε, também teremos
1n+1 < 1
n < ε.
Do exemplo 3, vimos que se tomarmos N = ⌊1/ε⌋ + 1, então 1n < ε
para todo n > N.
Logo, demonstramos que, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que∣an − 1∣ < ε para todo n tal que n > N, o que significa que asequência é convergente e que lim
n→∞
nn + 1
= 1 ∎
v. 2014-9-4 13/29
(continuação)
Demonstração de que limn→∞
nn + 1
= 1
Queremos demonstrar que, dado ε > 0, ∣an − 1∣ < ε para todo n > N.
∣an − 1∣ = ∣n
n + 1− 1∣ = ∣
nn + 1
−n + 1n + 1
∣ =
∣−1
n + 1∣ =
1n + 1
Como n > 0, observe que 1n+1 < 1
n ,logo, se1n < ε, também teremos
1n+1 < 1
n < ε.
Do exemplo 3, vimos que se tomarmos N = ⌊1/ε⌋ + 1, então 1n < ε
para todo n > N.
Logo, demonstramos que, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que∣an − 1∣ < ε para todo n tal que n > N, o que significa que asequência é convergente e que lim
n→∞
nn + 1
= 1 ∎
v. 2014-9-4 13/29
(continuação)
Demonstração de que limn→∞
nn + 1
= 1
Queremos demonstrar que, dado ε > 0, ∣an − 1∣ < ε para todo n > N.
∣an − 1∣ = ∣n
n + 1− 1∣ = ∣
nn + 1
−n + 1n + 1
∣ = ∣−1
n + 1∣ =
1n + 1
Como n > 0, observe que 1n+1 < 1
n ,logo, se1n < ε, também teremos
1n+1 < 1
n < ε.
Do exemplo 3, vimos que se tomarmos N = ⌊1/ε⌋ + 1, então 1n < ε
para todo n > N.
Logo, demonstramos que, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que∣an − 1∣ < ε para todo n tal que n > N, o que significa que asequência é convergente e que lim
n→∞
nn + 1
= 1 ∎
v. 2014-9-4 13/29
(continuação)
Demonstração de que limn→∞
nn + 1
= 1
Queremos demonstrar que, dado ε > 0, ∣an − 1∣ < ε para todo n > N.
∣an − 1∣ = ∣n
n + 1− 1∣ = ∣
nn + 1
−n + 1n + 1
∣ = ∣−1
n + 1∣ =
1n + 1
Como n > 0, observe que 1n+1 < 1
n ,logo, se1n < ε, também teremos
1n+1 < 1
n < ε.
Do exemplo 3, vimos que se tomarmos N = ⌊1/ε⌋ + 1, então 1n < ε
para todo n > N.
Logo, demonstramos que, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que∣an − 1∣ < ε para todo n tal que n > N, o que significa que asequência é convergente e que lim
n→∞
nn + 1
= 1 ∎
v. 2014-9-4 13/29
(continuação)
Demonstração de que limn→∞
nn + 1
= 1
Queremos demonstrar que, dado ε > 0, ∣an − 1∣ < ε para todo n > N.
∣an − 1∣ = ∣n
n + 1− 1∣ = ∣
nn + 1
−n + 1n + 1
∣ = ∣−1
n + 1∣ =
1n + 1
Como n > 0, observe que 1n+1 < 1
n ,
logo, se 1n < ε, também teremos
1n+1 < 1
n < ε.
Do exemplo 3, vimos que se tomarmos N = ⌊1/ε⌋ + 1, então 1n < ε
para todo n > N.
Logo, demonstramos que, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que∣an − 1∣ < ε para todo n tal que n > N, o que significa que asequência é convergente e que lim
n→∞
nn + 1
= 1 ∎
v. 2014-9-4 13/29
(continuação)
Demonstração de que limn→∞
nn + 1
= 1
Queremos demonstrar que, dado ε > 0, ∣an − 1∣ < ε para todo n > N.
∣an − 1∣ = ∣n
n + 1− 1∣ = ∣
nn + 1
−n + 1n + 1
∣ = ∣−1
n + 1∣ =
1n + 1
Como n > 0, observe que 1n+1 < 1
n ,logo, se1n < ε, também teremos
1n+1 < 1
n < ε.
Do exemplo 3, vimos que se tomarmos N = ⌊1/ε⌋ + 1, então 1n < ε
para todo n > N.
Logo, demonstramos que, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que∣an − 1∣ < ε para todo n tal que n > N, o que significa que asequência é convergente e que lim
n→∞
nn + 1
= 1 ∎
v. 2014-9-4 13/29
(continuação)
Demonstração de que limn→∞
nn + 1
= 1
Queremos demonstrar que, dado ε > 0, ∣an − 1∣ < ε para todo n > N.
∣an − 1∣ = ∣n
n + 1− 1∣ = ∣
nn + 1
−n + 1n + 1
∣ = ∣−1
n + 1∣ =
1n + 1
Como n > 0, observe que 1n+1 < 1
n ,logo, se1n < ε, também teremos
1n+1 < 1
n < ε.
Do exemplo 3, vimos que se tomarmos N = ⌊1/ε⌋ + 1, então 1n < ε
para todo n > N.
Logo, demonstramos que, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que∣an − 1∣ < ε para todo n tal que n > N, o que significa que asequência é convergente e que lim
n→∞
nn + 1
= 1 ∎
v. 2014-9-4 13/29
(continuação)
Demonstração de que limn→∞
nn + 1
= 1
Queremos demonstrar que, dado ε > 0, ∣an − 1∣ < ε para todo n > N.
∣an − 1∣ = ∣n
n + 1− 1∣ = ∣
nn + 1
−n + 1n + 1
∣ = ∣−1
n + 1∣ =
1n + 1
Como n > 0, observe que 1n+1 < 1
n ,logo, se1n < ε, também teremos
1n+1 < 1
n < ε.
Do exemplo 3, vimos que se tomarmos N = ⌊1/ε⌋ + 1, então 1n < ε
para todo n > N.
Logo, demonstramos que, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que∣an − 1∣ < ε para todo n tal que n > N, o que significa que asequência é convergente e que lim
n→∞
nn + 1
= 1 ∎
v. 2014-9-4 13/29
Sequências convergentes
Exemplo 5: Demonstre que limn→∞
2n − 6n + 1
= 2.
v. 2014-9-4 14/29
Sequências convergentesExemplo 6: Demonstre que in = (−1)n é divergente.
Demonstração: por redução ao absurdo. Suponha que in = (−1)n
é convergente; logo existe L ∈ R tal que, para todo ε > 0, ∣in − L∣ < εpara todo n > N.
Não importa quão grande seja N, podemos encontrar termos ik = 1e ik+1 = −1 com k > N. O que acontece se tomarmos ε = 1?
Por hipótese, ∣ik − L∣ < ε e ∣ik+1 − L∣ < ε∣1 − L∣ < 1 e ∣ − 1 − L∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣ − (1 + L)∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣1 + L∣ < 1
− 1 < 1 − L < 1 e −1 < 1 + L < 1− 2 < −L < 0 e −2 < L < 0
Ou seja, 0 < L < 2 e, ao mesmo tempo, −2 < L < 0, umacontradição! ∎
v. 2014-9-4 15/29
Sequências convergentesExemplo 6: Demonstre que in = (−1)n é divergente.
Demonstração: por redução ao absurdo. Suponha que in = (−1)n
é convergente; logo existe L ∈ R tal que, para todo ε > 0, ∣in − L∣ < εpara todo n > N.
Não importa quão grande seja N, podemos encontrar termos ik = 1e ik+1 = −1 com k > N. O que acontece se tomarmos ε = 1?
Por hipótese, ∣ik − L∣ < ε e ∣ik+1 − L∣ < ε∣1 − L∣ < 1 e ∣ − 1 − L∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣ − (1 + L)∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣1 + L∣ < 1
− 1 < 1 − L < 1 e −1 < 1 + L < 1− 2 < −L < 0 e −2 < L < 0
Ou seja, 0 < L < 2 e, ao mesmo tempo, −2 < L < 0, umacontradição! ∎
v. 2014-9-4 15/29
Sequências convergentesExemplo 6: Demonstre que in = (−1)n é divergente.
Demonstração: por redução ao absurdo. Suponha que in = (−1)n
é convergente; logo existe L ∈ R tal que, para todo ε > 0, ∣in − L∣ < εpara todo n > N.
Não importa quão grande seja N, podemos encontrar termos ik = 1e ik+1 = −1 com k > N.
O que acontece se tomarmos ε = 1?
Por hipótese, ∣ik − L∣ < ε e ∣ik+1 − L∣ < ε∣1 − L∣ < 1 e ∣ − 1 − L∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣ − (1 + L)∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣1 + L∣ < 1
− 1 < 1 − L < 1 e −1 < 1 + L < 1− 2 < −L < 0 e −2 < L < 0
Ou seja, 0 < L < 2 e, ao mesmo tempo, −2 < L < 0, umacontradição! ∎
v. 2014-9-4 15/29
Sequências convergentesExemplo 6: Demonstre que in = (−1)n é divergente.
Demonstração: por redução ao absurdo. Suponha que in = (−1)n
é convergente; logo existe L ∈ R tal que, para todo ε > 0, ∣in − L∣ < εpara todo n > N.
Não importa quão grande seja N, podemos encontrar termos ik = 1e ik+1 = −1 com k > N. O que acontece se tomarmos ε = 1?
Por hipótese, ∣ik − L∣ < ε e ∣ik+1 − L∣ < ε∣1 − L∣ < 1 e ∣ − 1 − L∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣ − (1 + L)∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣1 + L∣ < 1
− 1 < 1 − L < 1 e −1 < 1 + L < 1− 2 < −L < 0 e −2 < L < 0
Ou seja, 0 < L < 2 e, ao mesmo tempo, −2 < L < 0, umacontradição! ∎
v. 2014-9-4 15/29
Sequências convergentesExemplo 6: Demonstre que in = (−1)n é divergente.
Demonstração: por redução ao absurdo. Suponha que in = (−1)n
é convergente; logo existe L ∈ R tal que, para todo ε > 0, ∣in − L∣ < εpara todo n > N.
Não importa quão grande seja N, podemos encontrar termos ik = 1e ik+1 = −1 com k > N. O que acontece se tomarmos ε = 1?
Por hipótese, ∣ik − L∣ < ε e ∣ik+1 − L∣ < ε
∣1 − L∣ < 1 e ∣ − 1 − L∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣ − (1 + L)∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣1 + L∣ < 1
− 1 < 1 − L < 1 e −1 < 1 + L < 1− 2 < −L < 0 e −2 < L < 0
Ou seja, 0 < L < 2 e, ao mesmo tempo, −2 < L < 0, umacontradição! ∎
v. 2014-9-4 15/29
Sequências convergentesExemplo 6: Demonstre que in = (−1)n é divergente.
Demonstração: por redução ao absurdo. Suponha que in = (−1)n
é convergente; logo existe L ∈ R tal que, para todo ε > 0, ∣in − L∣ < εpara todo n > N.
Não importa quão grande seja N, podemos encontrar termos ik = 1e ik+1 = −1 com k > N. O que acontece se tomarmos ε = 1?
Por hipótese, ∣ik − L∣ < ε e ∣ik+1 − L∣ < ε∣1 − L∣ < 1 e ∣ − 1 − L∣ < 1
∣1 − L∣ < 1 e ∣ − (1 + L)∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣1 + L∣ < 1
− 1 < 1 − L < 1 e −1 < 1 + L < 1− 2 < −L < 0 e −2 < L < 0
Ou seja, 0 < L < 2 e, ao mesmo tempo, −2 < L < 0, umacontradição! ∎
v. 2014-9-4 15/29
Sequências convergentesExemplo 6: Demonstre que in = (−1)n é divergente.
Demonstração: por redução ao absurdo. Suponha que in = (−1)n
é convergente; logo existe L ∈ R tal que, para todo ε > 0, ∣in − L∣ < εpara todo n > N.
Não importa quão grande seja N, podemos encontrar termos ik = 1e ik+1 = −1 com k > N. O que acontece se tomarmos ε = 1?
Por hipótese, ∣ik − L∣ < ε e ∣ik+1 − L∣ < ε∣1 − L∣ < 1 e ∣ − 1 − L∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣ − (1 + L)∣ < 1
∣1 − L∣ < 1 e ∣1 + L∣ < 1− 1 < 1 − L < 1 e −1 < 1 + L < 1− 2 < −L < 0 e −2 < L < 0
Ou seja, 0 < L < 2 e, ao mesmo tempo, −2 < L < 0, umacontradição! ∎
v. 2014-9-4 15/29
Sequências convergentesExemplo 6: Demonstre que in = (−1)n é divergente.
Demonstração: por redução ao absurdo. Suponha que in = (−1)n
é convergente; logo existe L ∈ R tal que, para todo ε > 0, ∣in − L∣ < εpara todo n > N.
Não importa quão grande seja N, podemos encontrar termos ik = 1e ik+1 = −1 com k > N. O que acontece se tomarmos ε = 1?
Por hipótese, ∣ik − L∣ < ε e ∣ik+1 − L∣ < ε∣1 − L∣ < 1 e ∣ − 1 − L∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣ − (1 + L)∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣1 + L∣ < 1
− 1 < 1 − L < 1 e −1 < 1 + L < 1− 2 < −L < 0 e −2 < L < 0
Ou seja, 0 < L < 2 e, ao mesmo tempo, −2 < L < 0, umacontradição! ∎
v. 2014-9-4 15/29
Sequências convergentesExemplo 6: Demonstre que in = (−1)n é divergente.
Demonstração: por redução ao absurdo. Suponha que in = (−1)n
é convergente; logo existe L ∈ R tal que, para todo ε > 0, ∣in − L∣ < εpara todo n > N.
Não importa quão grande seja N, podemos encontrar termos ik = 1e ik+1 = −1 com k > N. O que acontece se tomarmos ε = 1?
Por hipótese, ∣ik − L∣ < ε e ∣ik+1 − L∣ < ε∣1 − L∣ < 1 e ∣ − 1 − L∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣ − (1 + L)∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣1 + L∣ < 1
− 1 < 1 − L < 1 e −1 < 1 + L < 1
− 2 < −L < 0 e −2 < L < 0
Ou seja, 0 < L < 2 e, ao mesmo tempo, −2 < L < 0, umacontradição! ∎
v. 2014-9-4 15/29
Sequências convergentesExemplo 6: Demonstre que in = (−1)n é divergente.
Demonstração: por redução ao absurdo. Suponha que in = (−1)n
é convergente; logo existe L ∈ R tal que, para todo ε > 0, ∣in − L∣ < εpara todo n > N.
Não importa quão grande seja N, podemos encontrar termos ik = 1e ik+1 = −1 com k > N. O que acontece se tomarmos ε = 1?
Por hipótese, ∣ik − L∣ < ε e ∣ik+1 − L∣ < ε∣1 − L∣ < 1 e ∣ − 1 − L∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣ − (1 + L)∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣1 + L∣ < 1
− 1 < 1 − L < 1 e −1 < 1 + L < 1− 2 < −L < 0 e −2 < L < 0
Ou seja, 0 < L < 2
e, ao mesmo tempo, −2 < L < 0, umacontradição! ∎
v. 2014-9-4 15/29
Sequências convergentesExemplo 6: Demonstre que in = (−1)n é divergente.
Demonstração: por redução ao absurdo. Suponha que in = (−1)n
é convergente; logo existe L ∈ R tal que, para todo ε > 0, ∣in − L∣ < εpara todo n > N.
Não importa quão grande seja N, podemos encontrar termos ik = 1e ik+1 = −1 com k > N. O que acontece se tomarmos ε = 1?
Por hipótese, ∣ik − L∣ < ε e ∣ik+1 − L∣ < ε∣1 − L∣ < 1 e ∣ − 1 − L∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣ − (1 + L)∣ < 1∣1 − L∣ < 1 e ∣1 + L∣ < 1
− 1 < 1 − L < 1 e −1 < 1 + L < 1− 2 < −L < 0 e −2 < L < 0
Ou seja, 0 < L < 2 e, ao mesmo tempo, −2 < L < 0, umacontradição! ∎
v. 2014-9-4 15/29
Sequências convergentes
Exemplo 7: Demonstre que ( 1n)
∞
n=1 converge para 0, mas nãoconverge para 1.
Já demonstramos limn→∞
1n= 0.
Resolução de que não converge para 1 na lousa.
v. 2014-9-4 16/29
Sequências convergentes
Exemplo 7: Demonstre que ( 1n)
∞
n=1 converge para 0, mas nãoconverge para 1.Já demonstramos lim
n→∞
1n= 0.
Resolução de que não converge para 1 na lousa.
v. 2014-9-4 16/29
Propriedades do limitePropriedade de unicidade: Se uma sequência tem limite, entãoele é único.
Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência e sejam L1,L2 ∈ R
tais que:lim
n→∞an = L1 e lim
n→∞an = L2
Ou seja, dado ε > 0, existe
m
:N1 tal que ∣an − L1∣ < ε/2 para todo n > N1
N2 tal que ∣an − L2∣ < ε/2 para todo n > N2
Seja N = max{N1,N2},logo ∣an − L1∣ + ∣an − L2∣ < ε para todo n > N.
Observe que, para n > N temos que ∣L1 − L2∣ = ∣L1 − an + an − L2∣ ≤≤ ∣L1 − an∣ + ∣an − L2∣ < ε,ou seja ∣L1 − L2∣ < ε para todo ε > 0.Mas isto só é possível se L1 = L2. ∎(O exercício 8.7 garante que a última afirmação é verdade.)
v. 2014-9-4 17/29
Propriedades do limitePropriedade de unicidade: Se uma sequência tem limite, entãoele é único.
Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência e sejam L1,L2 ∈ R
tais que:lim
n→∞an = L1 e lim
n→∞an = L2
Ou seja, dado ε > 0, existe
m
:N1 tal que ∣an − L1∣ < ε/2 para todo n > N1
N2 tal que ∣an − L2∣ < ε/2 para todo n > N2
Seja N = max{N1,N2},logo ∣an − L1∣ + ∣an − L2∣ < ε para todo n > N.
Observe que, para n > N temos que ∣L1 − L2∣ = ∣L1 − an + an − L2∣ ≤≤ ∣L1 − an∣ + ∣an − L2∣ < ε,ou seja ∣L1 − L2∣ < ε para todo ε > 0.Mas isto só é possível se L1 = L2. ∎(O exercício 8.7 garante que a última afirmação é verdade.)
v. 2014-9-4 17/29
Propriedades do limitePropriedade de unicidade: Se uma sequência tem limite, entãoele é único.
Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência e sejam L1,L2 ∈ R
tais que:lim
n→∞an = L1 e lim
n→∞an = L2
Ou seja, dado ε > 0, existe
m
:N1 tal que ∣an − L1∣ < ε/2 para todo n > N1
N2 tal que ∣an − L2∣ < ε/2 para todo n > N2
Seja N = max{N1,N2},logo ∣an − L1∣ + ∣an − L2∣ < ε para todo n > N.
Observe que, para n > N temos que ∣L1 − L2∣ = ∣L1 − an + an − L2∣ ≤≤ ∣L1 − an∣ + ∣an − L2∣ < ε,ou seja ∣L1 − L2∣ < ε para todo ε > 0.Mas isto só é possível se L1 = L2. ∎(O exercício 8.7 garante que a última afirmação é verdade.)
v. 2014-9-4 17/29
Propriedades do limitePropriedade de unicidade: Se uma sequência tem limite, entãoele é único.
Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência e sejam L1,L2 ∈ R
tais que:lim
n→∞an = L1 e lim
n→∞an = L2
Ou seja, dado ε > 0, existem:N1 tal que ∣an − L1∣ < ε/2 para todo n > N1
N2 tal que ∣an − L2∣ < ε/2 para todo n > N2
Seja N = max{N1,N2},logo ∣an − L1∣ + ∣an − L2∣ < ε para todo n > N.
Observe que, para n > N temos que ∣L1 − L2∣ = ∣L1 − an + an − L2∣ ≤≤ ∣L1 − an∣ + ∣an − L2∣ < ε,ou seja ∣L1 − L2∣ < ε para todo ε > 0.Mas isto só é possível se L1 = L2. ∎(O exercício 8.7 garante que a última afirmação é verdade.)
v. 2014-9-4 17/29
Propriedades do limitePropriedade de unicidade: Se uma sequência tem limite, entãoele é único.
Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência e sejam L1,L2 ∈ R
tais que:lim
n→∞an = L1 e lim
n→∞an = L2
Ou seja, dado ε > 0, existem:N1 tal que ∣an − L1∣ < ε/2 para todo n > N1
N2 tal que ∣an − L2∣ < ε/2 para todo n > N2
Seja N = max{N1,N2},
logo ∣an − L1∣ + ∣an − L2∣ < ε para todo n > N.
Observe que, para n > N temos que ∣L1 − L2∣ = ∣L1 − an + an − L2∣ ≤≤ ∣L1 − an∣ + ∣an − L2∣ < ε,ou seja ∣L1 − L2∣ < ε para todo ε > 0.Mas isto só é possível se L1 = L2. ∎(O exercício 8.7 garante que a última afirmação é verdade.)
v. 2014-9-4 17/29
Propriedades do limitePropriedade de unicidade: Se uma sequência tem limite, entãoele é único.
Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência e sejam L1,L2 ∈ R
tais que:lim
n→∞an = L1 e lim
n→∞an = L2
Ou seja, dado ε > 0, existem:N1 tal que ∣an − L1∣ < ε/2 para todo n > N1
N2 tal que ∣an − L2∣ < ε/2 para todo n > N2
Seja N = max{N1,N2},logo ∣an − L1∣ + ∣an − L2∣ < ε para todo n > N.
Observe que, para n > N temos que ∣L1 − L2∣ =
∣L1 − an + an − L2∣ ≤≤ ∣L1 − an∣ + ∣an − L2∣ < ε,ou seja ∣L1 − L2∣ < ε para todo ε > 0.Mas isto só é possível se L1 = L2. ∎(O exercício 8.7 garante que a última afirmação é verdade.)
v. 2014-9-4 17/29
Propriedades do limitePropriedade de unicidade: Se uma sequência tem limite, entãoele é único.
Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência e sejam L1,L2 ∈ R
tais que:lim
n→∞an = L1 e lim
n→∞an = L2
Ou seja, dado ε > 0, existem:N1 tal que ∣an − L1∣ < ε/2 para todo n > N1
N2 tal que ∣an − L2∣ < ε/2 para todo n > N2
Seja N = max{N1,N2},logo ∣an − L1∣ + ∣an − L2∣ < ε para todo n > N.
Observe que, para n > N temos que ∣L1 − L2∣ = ∣L1 − an + an − L2∣
≤
≤ ∣L1 − an∣ + ∣an − L2∣ < ε,ou seja ∣L1 − L2∣ < ε para todo ε > 0.Mas isto só é possível se L1 = L2. ∎(O exercício 8.7 garante que a última afirmação é verdade.)
v. 2014-9-4 17/29
Propriedades do limitePropriedade de unicidade: Se uma sequência tem limite, entãoele é único.
Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência e sejam L1,L2 ∈ R
tais que:lim
n→∞an = L1 e lim
n→∞an = L2
Ou seja, dado ε > 0, existem:N1 tal que ∣an − L1∣ < ε/2 para todo n > N1
N2 tal que ∣an − L2∣ < ε/2 para todo n > N2
Seja N = max{N1,N2},logo ∣an − L1∣ + ∣an − L2∣ < ε para todo n > N.
Observe que, para n > N temos que ∣L1 − L2∣ = ∣L1 − an + an − L2∣ ≤≤ ∣L1 − an∣ + ∣an − L2∣
< ε,ou seja ∣L1 − L2∣ < ε para todo ε > 0.Mas isto só é possível se L1 = L2. ∎(O exercício 8.7 garante que a última afirmação é verdade.)
v. 2014-9-4 17/29
Propriedades do limitePropriedade de unicidade: Se uma sequência tem limite, entãoele é único.
Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência e sejam L1,L2 ∈ R
tais que:lim
n→∞an = L1 e lim
n→∞an = L2
Ou seja, dado ε > 0, existem:N1 tal que ∣an − L1∣ < ε/2 para todo n > N1
N2 tal que ∣an − L2∣ < ε/2 para todo n > N2
Seja N = max{N1,N2},logo ∣an − L1∣ + ∣an − L2∣ < ε para todo n > N.
Observe que, para n > N temos que ∣L1 − L2∣ = ∣L1 − an + an − L2∣ ≤≤ ∣L1 − an∣ + ∣an − L2∣ < ε,
ou seja ∣L1 − L2∣ < ε para todo ε > 0.Mas isto só é possível se L1 = L2. ∎(O exercício 8.7 garante que a última afirmação é verdade.)
v. 2014-9-4 17/29
Propriedades do limitePropriedade de unicidade: Se uma sequência tem limite, entãoele é único.
Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência e sejam L1,L2 ∈ R
tais que:lim
n→∞an = L1 e lim
n→∞an = L2
Ou seja, dado ε > 0, existem:N1 tal que ∣an − L1∣ < ε/2 para todo n > N1
N2 tal que ∣an − L2∣ < ε/2 para todo n > N2
Seja N = max{N1,N2},logo ∣an − L1∣ + ∣an − L2∣ < ε para todo n > N.
Observe que, para n > N temos que ∣L1 − L2∣ = ∣L1 − an + an − L2∣ ≤≤ ∣L1 − an∣ + ∣an − L2∣ < ε,ou seja ∣L1 − L2∣ < ε para todo ε > 0.
Mas isto só é possível se L1 = L2. ∎(O exercício 8.7 garante que a última afirmação é verdade.)
v. 2014-9-4 17/29
Propriedades do limitePropriedade de unicidade: Se uma sequência tem limite, entãoele é único.
Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência e sejam L1,L2 ∈ R
tais que:lim
n→∞an = L1 e lim
n→∞an = L2
Ou seja, dado ε > 0, existem:N1 tal que ∣an − L1∣ < ε/2 para todo n > N1
N2 tal que ∣an − L2∣ < ε/2 para todo n > N2
Seja N = max{N1,N2},logo ∣an − L1∣ + ∣an − L2∣ < ε para todo n > N.
Observe que, para n > N temos que ∣L1 − L2∣ = ∣L1 − an + an − L2∣ ≤≤ ∣L1 − an∣ + ∣an − L2∣ < ε,ou seja ∣L1 − L2∣ < ε para todo ε > 0.Mas isto só é possível se L1 = L2. ∎(O exercício 8.7 garante que a última afirmação é verdade.)
v. 2014-9-4 17/29
Propriedades Algébricas do LimitePropriedades algébricas: Sejam (an)
∞n=1 e (bn)
∞n=1 sequências
convergentes tais que limn→∞
an = A e limn→∞ bn = B. Então:
1) limn→∞
(an + bn) = A +B
2) limn→∞
(an − bn) = A −B3) lim
n→∞(an ⋅ bn) = A ⋅B
4) Se c é uma constante real, limn→∞
(c ⋅ an) = c ⋅A5) Se B ≠ 0, então lim
n→∞(an/bn) = A/B
6) então limn→∞
∣an∣ = ∣A∣
7) Se k é ímpar, então limn→∞
k√an =k√A
8) Se k é par e an ≥ 0 para n suficientemente grande,então lim
n→∞k√an =
k√A
Importante: é fundamental determinar a convergência de (an)∞n=1
e (bn)∞n=1 para que as propriedades sejam válidas!
v. 2014-9-4 18/29
Propriedades Algébricas do LimitePropriedades algébricas: Sejam (an)
∞n=1 e (bn)
∞n=1 sequências
convergentes tais que limn→∞
an = A e limn→∞ bn = B. Então:
1) limn→∞
(an + bn) = A +B2) lim
n→∞(an − bn) = A −B
3) limn→∞
(an ⋅ bn) = A ⋅B4) Se c é uma constante real, lim
n→∞(c ⋅ an) = c ⋅A
5) Se B ≠ 0, então limn→∞
(an/bn) = A/B6) então lim
n→∞∣an∣ = ∣A∣
7) Se k é ímpar, então limn→∞
k√an =k√A
8) Se k é par e an ≥ 0 para n suficientemente grande,então lim
n→∞k√an =
k√A
Importante: é fundamental determinar a convergência de (an)∞n=1
e (bn)∞n=1 para que as propriedades sejam válidas!
v. 2014-9-4 18/29
Propriedades Algébricas do LimitePropriedades algébricas: Sejam (an)
∞n=1 e (bn)
∞n=1 sequências
convergentes tais que limn→∞
an = A e limn→∞ bn = B. Então:
1) limn→∞
(an + bn) = A +B2) lim
n→∞(an − bn) = A −B
3) limn→∞
(an ⋅ bn) = A ⋅B
4) Se c é uma constante real, limn→∞
(c ⋅ an) = c ⋅A5) Se B ≠ 0, então lim
n→∞(an/bn) = A/B
6) então limn→∞
∣an∣ = ∣A∣
7) Se k é ímpar, então limn→∞
k√an =k√A
8) Se k é par e an ≥ 0 para n suficientemente grande,então lim
n→∞k√an =
k√A
Importante: é fundamental determinar a convergência de (an)∞n=1
e (bn)∞n=1 para que as propriedades sejam válidas!
v. 2014-9-4 18/29
Propriedades Algébricas do LimitePropriedades algébricas: Sejam (an)
∞n=1 e (bn)
∞n=1 sequências
convergentes tais que limn→∞
an = A e limn→∞ bn = B. Então:
1) limn→∞
(an + bn) = A +B2) lim
n→∞(an − bn) = A −B
3) limn→∞
(an ⋅ bn) = A ⋅B4) Se c é uma constante real, lim
n→∞(c ⋅ an) = c ⋅A
5) Se B ≠ 0, então limn→∞
(an/bn) = A/B6) então lim
n→∞∣an∣ = ∣A∣
7) Se k é ímpar, então limn→∞
k√an =k√A
8) Se k é par e an ≥ 0 para n suficientemente grande,então lim
n→∞k√an =
k√A
Importante: é fundamental determinar a convergência de (an)∞n=1
e (bn)∞n=1 para que as propriedades sejam válidas!
v. 2014-9-4 18/29
Propriedades Algébricas do LimitePropriedades algébricas: Sejam (an)
∞n=1 e (bn)
∞n=1 sequências
convergentes tais que limn→∞
an = A e limn→∞ bn = B. Então:
1) limn→∞
(an + bn) = A +B2) lim
n→∞(an − bn) = A −B
3) limn→∞
(an ⋅ bn) = A ⋅B4) Se c é uma constante real, lim
n→∞(c ⋅ an) = c ⋅A
5) Se B ≠ 0, então limn→∞
(an/bn) = A/B
6) então limn→∞
∣an∣ = ∣A∣
7) Se k é ímpar, então limn→∞
k√an =k√A
8) Se k é par e an ≥ 0 para n suficientemente grande,então lim
n→∞k√an =
k√A
Importante: é fundamental determinar a convergência de (an)∞n=1
e (bn)∞n=1 para que as propriedades sejam válidas!
v. 2014-9-4 18/29
Propriedades Algébricas do LimitePropriedades algébricas: Sejam (an)
∞n=1 e (bn)
∞n=1 sequências
convergentes tais que limn→∞
an = A e limn→∞ bn = B. Então:
1) limn→∞
(an + bn) = A +B2) lim
n→∞(an − bn) = A −B
3) limn→∞
(an ⋅ bn) = A ⋅B4) Se c é uma constante real, lim
n→∞(c ⋅ an) = c ⋅A
5) Se B ≠ 0, então limn→∞
(an/bn) = A/B6) então lim
n→∞∣an∣ = ∣A∣
7) Se k é ímpar, então limn→∞
k√an =k√A
8) Se k é par e an ≥ 0 para n suficientemente grande,então lim
n→∞k√an =
k√A
Importante: é fundamental determinar a convergência de (an)∞n=1
e (bn)∞n=1 para que as propriedades sejam válidas!
v. 2014-9-4 18/29
Propriedades Algébricas do LimitePropriedades algébricas: Sejam (an)
∞n=1 e (bn)
∞n=1 sequências
convergentes tais que limn→∞
an = A e limn→∞ bn = B. Então:
1) limn→∞
(an + bn) = A +B2) lim
n→∞(an − bn) = A −B
3) limn→∞
(an ⋅ bn) = A ⋅B4) Se c é uma constante real, lim
n→∞(c ⋅ an) = c ⋅A
5) Se B ≠ 0, então limn→∞
(an/bn) = A/B6) então lim
n→∞∣an∣ = ∣A∣
7) Se k é ímpar, então limn→∞
k√an =k√A
8) Se k é par e an ≥ 0 para n suficientemente grande,então lim
n→∞k√an =
k√A
Importante: é fundamental determinar a convergência de (an)∞n=1
e (bn)∞n=1 para que as propriedades sejam válidas!
v. 2014-9-4 18/29
Propriedades Algébricas do LimitePropriedades algébricas: Sejam (an)
∞n=1 e (bn)
∞n=1 sequências
convergentes tais que limn→∞
an = A e limn→∞ bn = B. Então:
1) limn→∞
(an + bn) = A +B2) lim
n→∞(an − bn) = A −B
3) limn→∞
(an ⋅ bn) = A ⋅B4) Se c é uma constante real, lim
n→∞(c ⋅ an) = c ⋅A
5) Se B ≠ 0, então limn→∞
(an/bn) = A/B6) então lim
n→∞∣an∣ = ∣A∣
7) Se k é ímpar, então limn→∞
k√an =k√A
8) Se k é par e an ≥ 0 para n suficientemente grande,então lim
n→∞k√an =
k√A
Importante: é fundamental determinar a convergência de (an)∞n=1
e (bn)∞n=1 para que as propriedades sejam válidas!
v. 2014-9-4 18/29
Propriedades Algébricas do LimitePropriedades algébricas: Sejam (an)
∞n=1 e (bn)
∞n=1 sequências
convergentes tais que limn→∞
an = A e limn→∞ bn = B. Então:
1) limn→∞
(an + bn) = A +B2) lim
n→∞(an − bn) = A −B
3) limn→∞
(an ⋅ bn) = A ⋅B4) Se c é uma constante real, lim
n→∞(c ⋅ an) = c ⋅A
5) Se B ≠ 0, então limn→∞
(an/bn) = A/B6) então lim
n→∞∣an∣ = ∣A∣
7) Se k é ímpar, então limn→∞
k√an =k√A
8) Se k é par e an ≥ 0 para n suficientemente grande,então lim
n→∞k√an =
k√A
Importante: é fundamental determinar a convergência de (an)∞n=1
e (bn)∞n=1 para que as propriedades sejam válidas!
v. 2014-9-4 18/29
Propriedades Algébricas do Limite: Aplicação
Exemplos de aplicação (solução na lousa):
8.27 Demonstre que limn→∞
n + 1n
= 1
8.28 Demonstre que limn→∞
1nk = 0 para todo k ∈ N∗
8.29 Determine limn→∞
2n2 + 1n2 + 3
8.30 Determine limn→∞
4n4 + 2n3 + 35n4 + 3
8.33 Determine limn→∞
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
n⎛
⎝
√
3 + 1n−√3⎞
⎠
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
v. 2014-9-4 19/29
Propriedades Algébricas do Limite: Aplicação
Exemplos de aplicação (solução na lousa):
8.27 Demonstre que limn→∞
n + 1n
= 1
8.28 Demonstre que limn→∞
1nk = 0 para todo k ∈ N∗
8.29 Determine limn→∞
2n2 + 1n2 + 3
8.30 Determine limn→∞
4n4 + 2n3 + 35n4 + 3
8.33 Determine limn→∞
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
n⎛
⎝
√
3 + 1n−√3⎞
⎠
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
v. 2014-9-4 19/29
Propriedades Algébricas do Limite: Aplicação
Exemplos de aplicação (solução na lousa):
8.27 Demonstre que limn→∞
n + 1n
= 1
8.28 Demonstre que limn→∞
1nk = 0 para todo k ∈ N∗
8.29 Determine limn→∞
2n2 + 1n2 + 3
8.30 Determine limn→∞
4n4 + 2n3 + 35n4 + 3
8.33 Determine limn→∞
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
n⎛
⎝
√
3 + 1n−√3⎞
⎠
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
v. 2014-9-4 19/29
Propriedades Algébricas do Limite: Aplicação
Exemplos de aplicação (solução na lousa):
8.27 Demonstre que limn→∞
n + 1n
= 1
8.28 Demonstre que limn→∞
1nk = 0 para todo k ∈ N∗
8.29 Determine limn→∞
2n2 + 1n2 + 3
8.30 Determine limn→∞
4n4 + 2n3 + 35n4 + 3
8.33 Determine limn→∞
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
n⎛
⎝
√
3 + 1n−√3⎞
⎠
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
v. 2014-9-4 19/29
Propriedades Algébricas do Limite: Aplicação
Exemplos de aplicação (solução na lousa):
8.27 Demonstre que limn→∞
n + 1n
= 1
8.28 Demonstre que limn→∞
1nk = 0 para todo k ∈ N∗
8.29 Determine limn→∞
2n2 + 1n2 + 3
8.30 Determine limn→∞
4n4 + 2n3 + 35n4 + 3
8.33 Determine limn→∞
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
n⎛
⎝
√
3 + 1n−√3⎞
⎠
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
v. 2014-9-4 19/29
Propriedades do limitePropriedade: Se uma sequência é convergente, então ela érestrita.
Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência convergente.
Por hipótese, existe L tal que ∣an − L∣ < 1 para todo n > N.(observe que escolhemos ε = 1; se funciona para todo ε, funciona para 1)
Uma das propriedades do módulo nos diz que ∣a − b∣ ≥ ∣a∣ − ∣b∣,portanto: ∣an∣ − ∣L∣ ≤ ∣an − L∣ < 1
∣an∣ − ∣L∣ < 1∣an∣ < ∣L∣ + 1
Se apenas considerássemos os termos an a partir de n > N, asequência seria restrita. Note que desconsideramos umaquantidade finita de termos a1, a2, . . . , aN , portanto, podemosencontrar M = max{∣a1∣, ∣a2∣, . . . , ∣aN ∣, ∣L∣ + 1}
Logo, existe M tal que ∣an∣ ≤M para todo n ∈ N∗, o que implicaque a sequência é restrita. ∎
v. 2014-9-4 20/29
Propriedades do limitePropriedade: Se uma sequência é convergente, então ela érestrita.
Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência convergente.
Por hipótese, existe L tal que ∣an − L∣ < 1 para todo n > N.(observe que escolhemos ε = 1; se funciona para todo ε, funciona para 1)
Uma das propriedades do módulo nos diz que ∣a − b∣ ≥ ∣a∣ − ∣b∣,portanto: ∣an∣ − ∣L∣ ≤ ∣an − L∣ < 1
∣an∣ − ∣L∣ < 1∣an∣ < ∣L∣ + 1
Se apenas considerássemos os termos an a partir de n > N, asequência seria restrita. Note que desconsideramos umaquantidade finita de termos a1, a2, . . . , aN , portanto, podemosencontrar M = max{∣a1∣, ∣a2∣, . . . , ∣aN ∣, ∣L∣ + 1}
Logo, existe M tal que ∣an∣ ≤M para todo n ∈ N∗, o que implicaque a sequência é restrita. ∎
v. 2014-9-4 20/29
Propriedades do limitePropriedade: Se uma sequência é convergente, então ela érestrita.
Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência convergente.
Por hipótese, existe L tal que ∣an − L∣ < 1 para todo n > N.(observe que escolhemos ε = 1; se funciona para todo ε, funciona para 1)
Uma das propriedades do módulo nos diz que ∣a − b∣ ≥ ∣a∣ − ∣b∣,portanto: ∣an∣ − ∣L∣ ≤ ∣an − L∣ < 1
∣an∣ − ∣L∣ < 1∣an∣ < ∣L∣ + 1
Se apenas considerássemos os termos an a partir de n > N, asequência seria restrita. Note que desconsideramos umaquantidade finita de termos a1, a2, . . . , aN , portanto, podemosencontrar M = max{∣a1∣, ∣a2∣, . . . , ∣aN ∣, ∣L∣ + 1}
Logo, existe M tal que ∣an∣ ≤M para todo n ∈ N∗, o que implicaque a sequência é restrita. ∎
v. 2014-9-4 20/29
Propriedades do limitePropriedade: Se uma sequência é convergente, então ela érestrita.
Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência convergente.
Por hipótese, existe L tal que ∣an − L∣ < 1 para todo n > N.(observe que escolhemos ε = 1; se funciona para todo ε, funciona para 1)
Uma das propriedades do módulo nos diz que ∣a − b∣ ≥ ∣a∣ − ∣b∣,
portanto: ∣an∣ − ∣L∣ ≤ ∣an − L∣ < 1∣an∣ − ∣L∣ < 1
∣an∣ < ∣L∣ + 1Se apenas considerássemos os termos an a partir de n > N, asequência seria restrita. Note que desconsideramos umaquantidade finita de termos a1, a2, . . . , aN , portanto, podemosencontrar M = max{∣a1∣, ∣a2∣, . . . , ∣aN ∣, ∣L∣ + 1}
Logo, existe M tal que ∣an∣ ≤M para todo n ∈ N∗, o que implicaque a sequência é restrita. ∎
v. 2014-9-4 20/29
Propriedades do limitePropriedade: Se uma sequência é convergente, então ela érestrita.
Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência convergente.
Por hipótese, existe L tal que ∣an − L∣ < 1 para todo n > N.(observe que escolhemos ε = 1; se funciona para todo ε, funciona para 1)
Uma das propriedades do módulo nos diz que ∣a − b∣ ≥ ∣a∣ − ∣b∣,portanto: ∣an∣ − ∣L∣ ≤ ∣an − L∣ < 1
∣an∣ − ∣L∣ < 1∣an∣ < ∣L∣ + 1
Se apenas considerássemos os termos an a partir de n > N, asequência seria restrita. Note que desconsideramos umaquantidade finita de termos a1, a2, . . . , aN , portanto, podemosencontrar M = max{∣a1∣, ∣a2∣, . . . , ∣aN ∣, ∣L∣ + 1}
Logo, existe M tal que ∣an∣ ≤M para todo n ∈ N∗, o que implicaque a sequência é restrita. ∎
v. 2014-9-4 20/29
Propriedades do limitePropriedade: Se uma sequência é convergente, então ela érestrita.
Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência convergente.
Por hipótese, existe L tal que ∣an − L∣ < 1 para todo n > N.(observe que escolhemos ε = 1; se funciona para todo ε, funciona para 1)
Uma das propriedades do módulo nos diz que ∣a − b∣ ≥ ∣a∣ − ∣b∣,portanto: ∣an∣ − ∣L∣ ≤ ∣an − L∣ < 1
∣an∣ − ∣L∣ < 1
∣an∣ < ∣L∣ + 1Se apenas considerássemos os termos an a partir de n > N, asequência seria restrita. Note que desconsideramos umaquantidade finita de termos a1, a2, . . . , aN , portanto, podemosencontrar M = max{∣a1∣, ∣a2∣, . . . , ∣aN ∣, ∣L∣ + 1}
Logo, existe M tal que ∣an∣ ≤M para todo n ∈ N∗, o que implicaque a sequência é restrita. ∎
v. 2014-9-4 20/29
Propriedades do limitePropriedade: Se uma sequência é convergente, então ela érestrita.
Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência convergente.
Por hipótese, existe L tal que ∣an − L∣ < 1 para todo n > N.(observe que escolhemos ε = 1; se funciona para todo ε, funciona para 1)
Uma das propriedades do módulo nos diz que ∣a − b∣ ≥ ∣a∣ − ∣b∣,portanto: ∣an∣ − ∣L∣ ≤ ∣an − L∣ < 1
∣an∣ − ∣L∣ < 1∣an∣ < ∣L∣ + 1
Se apenas considerássemos os termos an a partir de n > N, asequência seria restrita. Note que desconsideramos umaquantidade finita de termos a1, a2, . . . , aN , portanto, podemosencontrar M = max{∣a1∣, ∣a2∣, . . . , ∣aN ∣, ∣L∣ + 1}
Logo, existe M tal que ∣an∣ ≤M para todo n ∈ N∗, o que implicaque a sequência é restrita. ∎
v. 2014-9-4 20/29
Propriedades do limitePropriedade: Se uma sequência é convergente, então ela érestrita.
Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência convergente.
Por hipótese, existe L tal que ∣an − L∣ < 1 para todo n > N.(observe que escolhemos ε = 1; se funciona para todo ε, funciona para 1)
Uma das propriedades do módulo nos diz que ∣a − b∣ ≥ ∣a∣ − ∣b∣,portanto: ∣an∣ − ∣L∣ ≤ ∣an − L∣ < 1
∣an∣ − ∣L∣ < 1∣an∣ < ∣L∣ + 1
Se apenas considerássemos os termos an a partir de n > N, asequência seria restrita.
Note que desconsideramos umaquantidade finita de termos a1, a2, . . . , aN , portanto, podemosencontrar M = max{∣a1∣, ∣a2∣, . . . , ∣aN ∣, ∣L∣ + 1}
Logo, existe M tal que ∣an∣ ≤M para todo n ∈ N∗, o que implicaque a sequência é restrita. ∎
v. 2014-9-4 20/29
Propriedades do limitePropriedade: Se uma sequência é convergente, então ela érestrita.
Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência convergente.
Por hipótese, existe L tal que ∣an − L∣ < 1 para todo n > N.(observe que escolhemos ε = 1; se funciona para todo ε, funciona para 1)
Uma das propriedades do módulo nos diz que ∣a − b∣ ≥ ∣a∣ − ∣b∣,portanto: ∣an∣ − ∣L∣ ≤ ∣an − L∣ < 1
∣an∣ − ∣L∣ < 1∣an∣ < ∣L∣ + 1
Se apenas considerássemos os termos an a partir de n > N, asequência seria restrita. Note que desconsideramos umaquantidade finita de termos a1, a2, . . . , aN ,
portanto, podemosencontrar M = max{∣a1∣, ∣a2∣, . . . , ∣aN ∣, ∣L∣ + 1}
Logo, existe M tal que ∣an∣ ≤M para todo n ∈ N∗, o que implicaque a sequência é restrita. ∎
v. 2014-9-4 20/29
Propriedades do limitePropriedade: Se uma sequência é convergente, então ela érestrita.
Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência convergente.
Por hipótese, existe L tal que ∣an − L∣ < 1 para todo n > N.(observe que escolhemos ε = 1; se funciona para todo ε, funciona para 1)
Uma das propriedades do módulo nos diz que ∣a − b∣ ≥ ∣a∣ − ∣b∣,portanto: ∣an∣ − ∣L∣ ≤ ∣an − L∣ < 1
∣an∣ − ∣L∣ < 1∣an∣ < ∣L∣ + 1
Se apenas considerássemos os termos an a partir de n > N, asequência seria restrita. Note que desconsideramos umaquantidade finita de termos a1, a2, . . . , aN , portanto, podemosencontrar M = max{∣a1∣, ∣a2∣, . . . , ∣aN ∣, ∣L∣ + 1}
Logo, existe M tal que ∣an∣ ≤M para todo n ∈ N∗, o que implicaque a sequência é restrita. ∎
v. 2014-9-4 20/29
Propriedades do limitePropriedade: Se uma sequência é convergente, então ela érestrita.
Demonstração: Seja (an)∞n=1 uma sequência convergente.
Por hipótese, existe L tal que ∣an − L∣ < 1 para todo n > N.(observe que escolhemos ε = 1; se funciona para todo ε, funciona para 1)
Uma das propriedades do módulo nos diz que ∣a − b∣ ≥ ∣a∣ − ∣b∣,portanto: ∣an∣ − ∣L∣ ≤ ∣an − L∣ < 1
∣an∣ − ∣L∣ < 1∣an∣ < ∣L∣ + 1
Se apenas considerássemos os termos an a partir de n > N, asequência seria restrita. Note que desconsideramos umaquantidade finita de termos a1, a2, . . . , aN , portanto, podemosencontrar M = max{∣a1∣, ∣a2∣, . . . , ∣aN ∣, ∣L∣ + 1}
Logo, existe M tal que ∣an∣ ≤M para todo n ∈ N∗, o que implicaque a sequência é restrita. ∎
v. 2014-9-4 20/29
Convergência implica que a sequência é restritaComo a seguinte proposição é verdadeira:
Se uma sequência é convergente, então ela é restrita.
A sua contrapositiva também é:
Se uma sequência não é restrita, então ela não é convergente.
As seguintes sequências não são restritas, portanto são divergentes:
(n)∞n=1 diverge, pois não é restrita(n!)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente, já quen! ≥ n para todo n, e (n)∞n=1 não é restrita superiormente(2n)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente pois 2n > npara todo n
( n2
n+1)∞
n=1diverge, pois n2
n + 1>
n2
n + n>n2e (n/2)∞n=1 não é
restrita superiormente
v. 2014-9-4 21/29
Convergência implica que a sequência é restritaComo a seguinte proposição é verdadeira:
Se uma sequência é convergente, então ela é restrita.
A sua contrapositiva também é:
Se uma sequência não é restrita, então ela não é convergente.
As seguintes sequências não são restritas, portanto são divergentes:
(n)∞n=1 diverge, pois não é restrita
(n!)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente, já quen! ≥ n para todo n, e (n)∞n=1 não é restrita superiormente(2n)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente pois 2n > npara todo n
( n2
n+1)∞
n=1diverge, pois n2
n + 1>
n2
n + n>n2e (n/2)∞n=1 não é
restrita superiormente
v. 2014-9-4 21/29
Convergência implica que a sequência é restritaComo a seguinte proposição é verdadeira:
Se uma sequência é convergente, então ela é restrita.
A sua contrapositiva também é:
Se uma sequência não é restrita, então ela não é convergente.
As seguintes sequências não são restritas, portanto são divergentes:
(n)∞n=1 diverge, pois não é restrita(n!)∞n=1 diverge, pois não é restrita
superiormente, já quen! ≥ n para todo n, e (n)∞n=1 não é restrita superiormente(2n)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente pois 2n > npara todo n
( n2
n+1)∞
n=1diverge, pois n2
n + 1>
n2
n + n>n2e (n/2)∞n=1 não é
restrita superiormente
v. 2014-9-4 21/29
Convergência implica que a sequência é restritaComo a seguinte proposição é verdadeira:
Se uma sequência é convergente, então ela é restrita.
A sua contrapositiva também é:
Se uma sequência não é restrita, então ela não é convergente.
As seguintes sequências não são restritas, portanto são divergentes:
(n)∞n=1 diverge, pois não é restrita(n!)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente, já quen! ≥ n para todo n, e (n)∞n=1 não é restrita superiormente
(2n)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente pois 2n > npara todo n
( n2
n+1)∞
n=1diverge, pois n2
n + 1>
n2
n + n>n2e (n/2)∞n=1 não é
restrita superiormente
v. 2014-9-4 21/29
Convergência implica que a sequência é restritaComo a seguinte proposição é verdadeira:
Se uma sequência é convergente, então ela é restrita.
A sua contrapositiva também é:
Se uma sequência não é restrita, então ela não é convergente.
As seguintes sequências não são restritas, portanto são divergentes:
(n)∞n=1 diverge, pois não é restrita(n!)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente, já quen! ≥ n para todo n, e (n)∞n=1 não é restrita superiormente(2n)∞n=1 diverge, pois não é restrita
superiormente pois 2n > npara todo n
( n2
n+1)∞
n=1diverge, pois n2
n + 1>
n2
n + n>n2e (n/2)∞n=1 não é
restrita superiormente
v. 2014-9-4 21/29
Convergência implica que a sequência é restritaComo a seguinte proposição é verdadeira:
Se uma sequência é convergente, então ela é restrita.
A sua contrapositiva também é:
Se uma sequência não é restrita, então ela não é convergente.
As seguintes sequências não são restritas, portanto são divergentes:
(n)∞n=1 diverge, pois não é restrita(n!)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente, já quen! ≥ n para todo n, e (n)∞n=1 não é restrita superiormente(2n)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente pois 2n > npara todo n
( n2
n+1)∞
n=1diverge, pois n2
n + 1>
n2
n + n>n2e (n/2)∞n=1 não é
restrita superiormente
v. 2014-9-4 21/29
Convergência implica que a sequência é restritaComo a seguinte proposição é verdadeira:
Se uma sequência é convergente, então ela é restrita.
A sua contrapositiva também é:
Se uma sequência não é restrita, então ela não é convergente.
As seguintes sequências não são restritas, portanto são divergentes:
(n)∞n=1 diverge, pois não é restrita(n!)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente, já quen! ≥ n para todo n, e (n)∞n=1 não é restrita superiormente(2n)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente pois 2n > npara todo n
( n2
n+1)∞
n=1diverge,
pois n2
n + 1>
n2
n + n>n2e (n/2)∞n=1 não é
restrita superiormente
v. 2014-9-4 21/29
Convergência implica que a sequência é restritaComo a seguinte proposição é verdadeira:
Se uma sequência é convergente, então ela é restrita.
A sua contrapositiva também é:
Se uma sequência não é restrita, então ela não é convergente.
As seguintes sequências não são restritas, portanto são divergentes:
(n)∞n=1 diverge, pois não é restrita(n!)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente, já quen! ≥ n para todo n, e (n)∞n=1 não é restrita superiormente(2n)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente pois 2n > npara todo n
( n2
n+1)∞
n=1diverge, pois n2
n + 1>
n2
n + n
>n2e (n/2)∞n=1 não é
restrita superiormente
v. 2014-9-4 21/29
Convergência implica que a sequência é restritaComo a seguinte proposição é verdadeira:
Se uma sequência é convergente, então ela é restrita.
A sua contrapositiva também é:
Se uma sequência não é restrita, então ela não é convergente.
As seguintes sequências não são restritas, portanto são divergentes:
(n)∞n=1 diverge, pois não é restrita(n!)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente, já quen! ≥ n para todo n, e (n)∞n=1 não é restrita superiormente(2n)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente pois 2n > npara todo n
( n2
n+1)∞
n=1diverge, pois n2
n + 1>
n2
n + n>n2
e (n/2)∞n=1 não érestrita superiormente
v. 2014-9-4 21/29
Convergência implica que a sequência é restritaComo a seguinte proposição é verdadeira:
Se uma sequência é convergente, então ela é restrita.
A sua contrapositiva também é:
Se uma sequência não é restrita, então ela não é convergente.
As seguintes sequências não são restritas, portanto são divergentes:
(n)∞n=1 diverge, pois não é restrita(n!)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente, já quen! ≥ n para todo n, e (n)∞n=1 não é restrita superiormente(2n)∞n=1 diverge, pois não é restrita superiormente pois 2n > npara todo n
( n2
n+1)∞
n=1diverge, pois n2
n + 1>
n2
n + n>n2e (n/2)∞n=1 não é
restrita superiormentev. 2014-9-4 21/29
Relação entre sequência restrita e convergente
Vimos que é verdade que:
Se uma sequência é convergente, então ela é restrita.
Mas nem toda sequência restrita é convergente. Ex: ((−1)n)∞
n=1
Quais sequências restritas são convergentes?
Depende do conjuntode números com o qual estamos trabalhando.
Propriedade da convergência monótona: Seja K um conjuntode números. Dizemos que K satisfaz a propriedade de convergênciamonótona se, para toda (an)
∞n=1 tal que an ∈ K, temos que:
an é restrita e monótona ⇒ an converge para L ∈ K
v. 2014-9-4 22/29
Relação entre sequência restrita e convergente
Vimos que é verdade que:
Se uma sequência é convergente, então ela é restrita.
Mas nem toda sequência restrita é convergente. Ex: ((−1)n)∞
n=1
Quais sequências restritas são convergentes? Depende do conjuntode números com o qual estamos trabalhando.
Propriedade da convergência monótona: Seja K um conjuntode números. Dizemos que K satisfaz a propriedade de convergênciamonótona se, para toda (an)
∞n=1 tal que an ∈ K, temos que:
an é restrita e monótona ⇒ an converge para L ∈ K
v. 2014-9-4 22/29
Raiz de 2, revisitadaA representação decimal de
√2 é infinita:
1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 . . ..
Seja (qn)∞n=1 a sequência cujo termo qn é:
se n = 1, qn = 1,4se n > 1, qn = (1,d1d2 . . .dn)10, onde di é o i-ésimo algarismoapós a vírcula da representação decimal de
√2
q1 = 1,4q2 = 1,41q3 = 1,414⋮
q12 = 1,414213562373q13 = 1,4142135623730q14 = 1,41421356237309⋮
Adicionamos a qn um algarismo (possivelmente nulo) após oúltimo algarismo à direita da vírgula de qn−1.
v. 2014-9-4 23/29
Raiz de 2, revisitadaA representação decimal de
√2 é infinita:
1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 . . ..
Seja (qn)∞n=1 a sequência cujo termo qn é:
se n = 1, qn = 1,4
se n > 1, qn = (1,d1d2 . . .dn)10, onde di é o i-ésimo algarismoapós a vírcula da representação decimal de
√2
q1 = 1,4q2 = 1,41q3 = 1,414⋮
q12 = 1,414213562373q13 = 1,4142135623730q14 = 1,41421356237309⋮
Adicionamos a qn um algarismo (possivelmente nulo) após oúltimo algarismo à direita da vírgula de qn−1.
v. 2014-9-4 23/29
Raiz de 2, revisitadaA representação decimal de
√2 é infinita:
1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 . . ..
Seja (qn)∞n=1 a sequência cujo termo qn é:
se n = 1, qn = 1,4se n > 1, qn = (1,d1d2 . . .dn)10, onde di é o i-ésimo algarismoapós a vírcula da representação decimal de
√2
q1 = 1,4q2 = 1,41q3 = 1,414⋮
q12 = 1,414213562373q13 = 1,4142135623730q14 = 1,41421356237309⋮
Adicionamos a qn um algarismo (possivelmente nulo) após oúltimo algarismo à direita da vírgula de qn−1.
v. 2014-9-4 23/29
Raiz de 2, revisitadaA representação decimal de
√2 é infinita:
1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 . . ..
Seja (qn)∞n=1 a sequência cujo termo qn é:
se n = 1, qn = 1,4se n > 1, qn = (1,d1d2 . . .dn)10, onde di é o i-ésimo algarismoapós a vírcula da representação decimal de
√2
q1 = 1,4q2 = 1,41q3 = 1,414⋮
q12 = 1,414213562373q13 = 1,4142135623730q14 = 1,41421356237309⋮
Adicionamos a qn um algarismo (possivelmente nulo) após oúltimo algarismo à direita da vírgula de qn−1.
v. 2014-9-4 23/29
Raiz de 2, revisitadaA representação decimal de
√2 é infinita:
1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 . . ..
Seja (qn)∞n=1 a sequência cujo termo qn é:
se n = 1, qn = 1,4se n > 1, qn = (1,d1d2 . . .dn)10, onde di é o i-ésimo algarismoapós a vírcula da representação decimal de
√2
q1 = 1,4q2 = 1,41q3 = 1,414⋮
q12 = 1,414213562373q13 = 1,4142135623730q14 = 1,41421356237309⋮
Adicionamos a qn um algarismo (possivelmente nulo) após oúltimo algarismo à direita da vírgula de qn−1.
v. 2014-9-4 23/29
Raiz de 2, revisitada
A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4,
q2 = 1,41, q3 = 1,414, . . . ,q12 = 1,414213562373, q13 = 1,4142135623730,q14 = 1,41421356237309, . . . tem as seguintes propriedades:
q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)qn ∈ Q para todo n
Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de
√2 a medida
que n cresce.
Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!
Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?
v. 2014-9-4 24/29
Raiz de 2, revisitada
A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4, q2 = 1,41,
q3 = 1,414, . . . ,q12 = 1,414213562373, q13 = 1,4142135623730,q14 = 1,41421356237309, . . . tem as seguintes propriedades:
q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)qn ∈ Q para todo n
Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de
√2 a medida
que n cresce.
Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!
Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?
v. 2014-9-4 24/29
Raiz de 2, revisitada
A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4, q2 = 1,41, q3 = 1,414,
. . . ,q12 = 1,414213562373, q13 = 1,4142135623730,q14 = 1,41421356237309, . . . tem as seguintes propriedades:
q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)qn ∈ Q para todo n
Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de
√2 a medida
que n cresce.
Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!
Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?
v. 2014-9-4 24/29
Raiz de 2, revisitada
A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4, q2 = 1,41, q3 = 1,414, . . . ,
q12 = 1,414213562373,
q13 = 1,4142135623730,q14 = 1,41421356237309, . . . tem as seguintes propriedades:
q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)qn ∈ Q para todo n
Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de
√2 a medida
que n cresce.
Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!
Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?
v. 2014-9-4 24/29
Raiz de 2, revisitada
A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4, q2 = 1,41, q3 = 1,414, . . . ,
q12 = 1,414213562373, q13 = 1,4142135623730,
q14 = 1,41421356237309, . . . tem as seguintes propriedades:
q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)qn ∈ Q para todo n
Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de
√2 a medida
que n cresce.
Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!
Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?
v. 2014-9-4 24/29
Raiz de 2, revisitada
A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4, q2 = 1,41, q3 = 1,414, . . . ,
q12 = 1,414213562373, q13 = 1,4142135623730,q14 = 1,41421356237309, . . .
tem as seguintes propriedades:
q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)qn ∈ Q para todo n
Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de
√2 a medida
que n cresce.
Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!
Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?
v. 2014-9-4 24/29
Raiz de 2, revisitada
A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4, q2 = 1,41, q3 = 1,414, . . . ,
q12 = 1,414213562373, q13 = 1,4142135623730,q14 = 1,41421356237309, . . . tem as seguintes propriedades:
q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)qn ∈ Q para todo n
Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de
√2 a medida
que n cresce.
Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!
Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?
v. 2014-9-4 24/29
Raiz de 2, revisitada
A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4, q2 = 1,41, q3 = 1,414, . . . ,
q12 = 1,414213562373, q13 = 1,4142135623730,q14 = 1,41421356237309, . . . tem as seguintes propriedades:
q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)
∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)qn ∈ Q para todo n
Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de
√2 a medida
que n cresce.
Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!
Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?
v. 2014-9-4 24/29
Raiz de 2, revisitada
A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4, q2 = 1,41, q3 = 1,414, . . . ,
q12 = 1,414213562373, q13 = 1,4142135623730,q14 = 1,41421356237309, . . . tem as seguintes propriedades:
q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)
qn ∈ Q para todo n
Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de
√2 a medida
que n cresce.
Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!
Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?
v. 2014-9-4 24/29
Raiz de 2, revisitada
A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4, q2 = 1,41, q3 = 1,414, . . . ,
q12 = 1,414213562373, q13 = 1,4142135623730,q14 = 1,41421356237309, . . . tem as seguintes propriedades:
q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)qn ∈ Q para todo n
Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de
√2 a medida
que n cresce.
Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!
Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?
v. 2014-9-4 24/29
Raiz de 2, revisitada
A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4, q2 = 1,41, q3 = 1,414, . . . ,
q12 = 1,414213562373, q13 = 1,4142135623730,q14 = 1,41421356237309, . . . tem as seguintes propriedades:
q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)qn ∈ Q para todo n
Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de
√2 a medida
que n cresce.
Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!
Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?
v. 2014-9-4 24/29
Raiz de 2, revisitada
A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4, q2 = 1,41, q3 = 1,414, . . . ,
q12 = 1,414213562373, q13 = 1,4142135623730,q14 = 1,41421356237309, . . . tem as seguintes propriedades:
q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)qn ∈ Q para todo n
Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de
√2 a medida
que n cresce.
Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!
Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?
v. 2014-9-4 24/29
Raiz de 2, revisitada
A sequência (qn)∞n=1, onde q1 = 1,4, q2 = 1,41, q3 = 1,414, . . . ,
q12 = 1,414213562373, q13 = 1,4142135623730,q14 = 1,41421356237309, . . . tem as seguintes propriedades:
q1 ≤ q2 ≤ q3 . . . ≤ q12 ≤ q13 ≤ q14 ≤ . . . (a sequência énão-decrescente, ou seja, é monótona)∣qn∣ < 1,5 para todo n, pois q1 = 1,4 e após este termo sóadicionamos algarismos à direita de 1,4 (a sequência érestrita)qn ∈ Q para todo n
Note que esta sequência é monótona e restrita. Ela também éconvergente, pois ela se aproxima cada vez mais de
√2 a medida
que n cresce.
Mas o seu limite é√2, que não é racional, mas é real!
Conclusão: Os racionais não obedecem a propriedade daconvergência monótona. Mas e os reais?
v. 2014-9-4 24/29
Definição axiomática dos números reaisPropriedade da convergência monótona: Seja K um conjuntode números. Dizemos que K satisfaz a propriedade deconvergência monótona se, para toda sequência monótona(an)
∞n=1 tal que an ∈ K, temos que:
an é restrita ⇒ an converge para L ∈ K
Definição (definição axiomática dos reais)O conjunto R é o conjunto de números que satisfaz todas asprpopriedades abaixo:
(1) satisfaz os axiomas de corpo para a soma e multiplicação;(2) possui uma ordem total “≤”;(3) satisfaz a propriedade da convergência monótona.
A propriedade da convergência monótona é um dos “molhossecretos” que diferenciam os reais dos racionais.
v. 2014-9-4 25/29
Definição axiomática dos números reaisPropriedade da convergência monótona: Seja K um conjuntode números. Dizemos que K satisfaz a propriedade deconvergência monótona se, para toda sequência monótona(an)
∞n=1 tal que an ∈ K, temos que:
an é restrita ⇒ an converge para L ∈ K
Definição (definição axiomática dos reais)O conjunto R é o conjunto de números que satisfaz todas asprpopriedades abaixo:
(1) satisfaz os axiomas de corpo para a soma e multiplicação;(2) possui uma ordem total “≤”;(3) satisfaz a propriedade da convergência monótona.
A propriedade da convergência monótona é um dos “molhossecretos” que diferenciam os reais dos racionais.
v. 2014-9-4 25/29
Definição axiomática dos números reaisPropriedade da convergência monótona: Seja K um conjuntode números. Dizemos que K satisfaz a propriedade deconvergência monótona se, para toda sequência monótona(an)
∞n=1 tal que an ∈ K, temos que:
an é restrita ⇒ an converge para L ∈ K
Definição (definição axiomática dos reais)O conjunto R é o conjunto de números que satisfaz todas asprpopriedades abaixo:
(1) satisfaz os axiomas de corpo para a soma e multiplicação;(2) possui uma ordem total “≤”;(3) satisfaz a propriedade da convergência monótona.
A propriedade da convergência monótona é um dos “molhossecretos” que diferenciam os reais dos racionais.
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Relação entre sequência restrita e convergente
Consequência direta da definição dos reais pela propriedade daconvergência monótona:
Teorema (8.25 – Teorema da Convergência Monótona)Nos conjunto dos números reais, toda sequência monótona erestrita é convergente.
Demonstração: como os reais, por definição satisfazem apropriedade da convergência monótona, então toda sequênciamonótona e restrita é convergente. ∎
Comentário: na definição axiomática dos números reais, a propriedade (3) nemsempre é a propriedade da convergência monótona. Caputi & Miranda definemos reais usando um enunciado diferente do Axioma de Completude (final daseção 3.3.1). As duas definições de números reais são equivalentes.
v. 2014-9-4 26/29
Relação entre sequência restrita e convergente
Consequência direta da definição dos reais pela propriedade daconvergência monótona:
Teorema (8.25 – Teorema da Convergência Monótona)Nos conjunto dos números reais, toda sequência monótona erestrita é convergente.
Demonstração: como os reais, por definição satisfazem apropriedade da convergência monótona, então toda sequênciamonótona e restrita é convergente. ∎
Comentário: na definição axiomática dos números reais, a propriedade (3) nemsempre é a propriedade da convergência monótona. Caputi & Miranda definemos reais usando um enunciado diferente do Axioma de Completude (final daseção 3.3.1). As duas definições de números reais são equivalentes.
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Relação entre sequência restrita e convergente
Consequência direta da definição dos reais pela propriedade daconvergência monótona:
Teorema (8.25 – Teorema da Convergência Monótona)Nos conjunto dos números reais, toda sequência monótona erestrita é convergente.
Demonstração: como os reais, por definição satisfazem apropriedade da convergência monótona, então toda sequênciamonótona e restrita é convergente. ∎
Comentário: na definição axiomática dos números reais, a propriedade (3) nemsempre é a propriedade da convergência monótona. Caputi & Miranda definemos reais usando um enunciado diferente do Axioma de Completude (final daseção 3.3.1). As duas definições de números reais são equivalentes.
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O Número de Euler
Demonstramos na aula passada que a sequência cujo termo geral éen = (1 + 1
n)n é crescente e restrita.
Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona, ela éconvergente.
Definimos o número de Euler, ou simplesmente e, como sendo:
e = limn→∞
(1 + 1n)
n
Como demonstramos na aula passada que 2 ≤ en < 3, entãotambém temos que 2 ≤ e < 3. Sua representação decimal é:
e = 2,7182818284590452353602874713526624977572470936...Função exponencial de base natural:
exp ∶ R→ (0;+∞) tal que exp(x) = ex
Função logaritmo natural:ln ∶ (0;+∞)→ R tal que ln(y) = exp−1(y)
v. 2014-9-4 27/29
O Número de Euler
Demonstramos na aula passada que a sequência cujo termo geral éen = (1 + 1
n)n é crescente e restrita.
Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona, ela éconvergente.
Definimos o número de Euler, ou simplesmente e, como sendo:
e = limn→∞
(1 + 1n)
n
Como demonstramos na aula passada que 2 ≤ en < 3, entãotambém temos que 2 ≤ e < 3. Sua representação decimal é:
e = 2,7182818284590452353602874713526624977572470936...Função exponencial de base natural:
exp ∶ R→ (0;+∞) tal que exp(x) = ex
Função logaritmo natural:ln ∶ (0;+∞)→ R tal que ln(y) = exp−1(y)
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O Número de Euler
Demonstramos na aula passada que a sequência cujo termo geral éen = (1 + 1
n)n é crescente e restrita.
Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona, ela éconvergente.
Definimos o número de Euler, ou simplesmente e, como sendo:
e = limn→∞
(1 + 1n)
n
Como demonstramos na aula passada que 2 ≤ en < 3, entãotambém temos que 2 ≤ e < 3. Sua representação decimal é:
e = 2,7182818284590452353602874713526624977572470936...Função exponencial de base natural:
exp ∶ R→ (0;+∞) tal que exp(x) = ex
Função logaritmo natural:ln ∶ (0;+∞)→ R tal que ln(y) = exp−1(y)
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O Número de Euler
Demonstramos na aula passada que a sequência cujo termo geral éen = (1 + 1
n)n é crescente e restrita.
Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona, ela éconvergente.
Definimos o número de Euler, ou simplesmente e, como sendo:
e = limn→∞
(1 + 1n)
n
Como demonstramos na aula passada que 2 ≤ en < 3, entãotambém temos que 2 ≤ e < 3.
Sua representação decimal é:
e = 2,7182818284590452353602874713526624977572470936...Função exponencial de base natural:
exp ∶ R→ (0;+∞) tal que exp(x) = ex
Função logaritmo natural:ln ∶ (0;+∞)→ R tal que ln(y) = exp−1(y)
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O Número de Euler
Demonstramos na aula passada que a sequência cujo termo geral éen = (1 + 1
n)n é crescente e restrita.
Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona, ela éconvergente.
Definimos o número de Euler, ou simplesmente e, como sendo:
e = limn→∞
(1 + 1n)
n
Como demonstramos na aula passada que 2 ≤ en < 3, entãotambém temos que 2 ≤ e < 3. Sua representação decimal é:
e = 2,7182818284590452353602874713526624977572470936...
Função exponencial de base natural:exp ∶ R→ (0;+∞) tal que exp(x) = ex
Função logaritmo natural:ln ∶ (0;+∞)→ R tal que ln(y) = exp−1(y)
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O Número de Euler
Demonstramos na aula passada que a sequência cujo termo geral éen = (1 + 1
n)n é crescente e restrita.
Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona, ela éconvergente.
Definimos o número de Euler, ou simplesmente e, como sendo:
e = limn→∞
(1 + 1n)
n
Como demonstramos na aula passada que 2 ≤ en < 3, entãotambém temos que 2 ≤ e < 3. Sua representação decimal é:
e = 2,7182818284590452353602874713526624977572470936...Função exponencial de base natural:
exp ∶ R→ (0;+∞) tal que exp(x) = ex
Função logaritmo natural:ln ∶ (0;+∞)→ R tal que ln(y) = exp−1(y)
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O Número de Euler
Demonstramos na aula passada que a sequência cujo termo geral éen = (1 + 1
n)n é crescente e restrita.
Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona, ela éconvergente.
Definimos o número de Euler, ou simplesmente e, como sendo:
e = limn→∞
(1 + 1n)
n
Como demonstramos na aula passada que 2 ≤ en < 3, entãotambém temos que 2 ≤ e < 3. Sua representação decimal é:
e = 2,7182818284590452353602874713526624977572470936...Função exponencial de base natural:
exp ∶ R→ (0;+∞) tal que exp(x) = ex
Função logaritmo natural:ln ∶ (0;+∞)→ R tal que ln(y) = exp−1(y)
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Para casa
Pegar o PDF do Capítulo 8 apenas no sitehttp://compscinet.org/bases-sa
Ler capítulo 8 até seção 8.2.1(incluindo a seção “O número e”, após os exercícios)Fazer os exercícios 8.1 a 8.25Fazer as listas 9 e 10Fazer texto de consulta para a prova
v. 2014-9-4 28/29
Texto de consulta para a prova
Máximo 6 folhas de A4, ou 3 folhas de papel almaço (12páginas)Não pode ser em folha de caderno!Escrito em caneta azul ou preta. Não pode lápis nem xerox.Não pode ter página em branco (jogue a folha fora ou rasurea página)Coloque seu nome em todas as folhasGrampeie as folhasO texto de consulta é individual!Quem não seguir estas instruções não poderá usar o seu textode consulta na prova. Se insistir em usar, considerarei comocola (= F na disciplina)Pode colocar o que quiser: definições, fórmulas, exemplos, etc.
v. 2014-9-4 29/29