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H Phng Trnh
n Thi I HC
2015
Tc gi : Nguyn Th Duy
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Li ni u : Cng nh tiu ca bi vit , th bi vit ny gm 42 h phng trnh v t n thi I HC nm 2015 gm :
1) Phn I. Cc bi ton s dng phng php : nhn t , lin hp , n ph , hm s. 2) Phn II. Cc bi ton s dng phng php nh gi. 3) Phn III. Phn tch hng i hai bi ton Khi A v Khi B nm 2014.
Ton b cc bi ton di y l do su tm trn cc mng x hi v li gii l do tc gi ca bi vit Nguyn Th Duy trnh by. Hi vng v mong mun cc bn c c nhiu phng php gii h cng nh nhng phng n i mt khi gp n bin bi ton h phng trnh tr nn n gin ha v gii quyt n mt cch d dng.
Phn I. Cc bi ton s dng phng php : nhn t , lin hp , n ph , hm s.
Bi ton 1. Gii h phng trnh :
2 2
2 2 2
2 1
,1
1 2
x y
xy x y xy x yx y x x
x y
Li gii. iu kin : 0 ; 0x y xy
Phng trnh u ca h phng trnh c vit li thnh :
2 2
2 2
2 12 1 20 2 0
1 1 2 1 10
0
x y xy x y
xy x y xy xy x yx y x y x y x y
x y x yxy x y
Vi 1x y th xung phng trnh hai chng ta c :
2
2 7 1 7
3 33 4 1 02 7 1 7
3 3
x yx x
x y
Vi 2 2x y x y th xung phng trnh hai chng ta c :
2
2 2 22 22 2
1 111 2 2 1 0
01
x xx x x y x ptvn
yx yx y
Vy h phng trnh cho c nghim : 2 7 1 7 2 7 1 7, ; ; ;3 3 3 3
x y
Bi ton 2. Gii h phng trnh :
3 3 2
2
3 6 3 4 0,
1 1 6 6 5 12
x y x x yx y
x y x y x x y
Li gii. iu kin : ; 1x y
Phng trnh mt tng ng vi :
3
3 2 3 33 6 4 3 1 3 1 3 1x x x y y x x y y y x
Th vo phng trnh hai ta c :
Tuyn tp 42 H phng trnh N THI I HC 2015 Tc gi : Nguyn Th Duy
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2
2
1 2 6 7 7 12
1 2 2 6 7 3 2 8
1 62 4 0
2 2 7 3
x x x x x x
x x x x x x
x xx x
x x
Do 2x nn 2 0
6 0
x
x
suy ra :
1 6 2 2 6 6 14 0
2 22 2 7 3 2 2 7 3 2 2
x x x x x xx
x x x x x
T suy ra , 2, 3x y l nghim duy nht ca h phng trnh
Bi ton 3. Gii h phng trnh : 2 2
2 2
2 1 3 2,
4 4 6 3 2 0
x xy x x y y x yx y
x y xy x y
Li gii. iu kin : 2 22 1 0 ; 3 0x xy x x y y
X l phng trnh hai chng ta c :
2 22 1
4 4 6 3 2 0 2 1 2 2 02 2
y xx y xy x y x y x y
y x
Vi 2 2y x th xung phng trnh hai th :
2 2
2 2
2 2 2
2 22
2 2 2
34 1 4 2 3 3
4 1 4 21 1
4 1 4 2 2 4 1 3
02 4 1 3 1 1
4 4 1 3 1
x x x x x xx x x x
x x x x x x xx xx
x x x x xx x x x
Vi 2 1y x th xung phng trnh hai th : 2 24 1 4 3 2 3 1x x x x .
tng gii tng t trng hp trn ta c 2
3x
Do h phng trnh c nghim 2 1, 1, 0 ; ,3 3
x y
Bi ton 4. Gii h phng trnh :
2
2,
1 4
xy x y xy x y yx y
x y xy x x
Li gii. iu kin : , 0 ; 2 0x y xy x y xy Chng ta c :
2 2 0
22 10 0
2 2
xy x y xy x y y xy x y xy y x y
x yx y y xy x y y xy
x yxy x y xy y x yxy x y xy y
T phng trnh hai : 2
2 4 41 1 2 21 1
y xy x x x xx x
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Hay ni cch khc :
2 1
2 0 02
y xyy xy
x yxy x y xy y
Do t phng trnh mt 0x y suy ra th xung phng trnh hai ta c :
3 2
101 172 3 4 02
x yx y
x x x x y
Vy h phng trnh ban u c nghim k trn
Bi ton 5. Gii h phng trnh :
2 2
2 2
2 1 2 2 6 2,
1 5
x xy y yx y
x y y
Li gii. iu kin : 1 ; 2xy y
Cng cho theo v ca h phng trnh ta c :
2 22 2
2 2 2 2
5 2 1 2 2 6 2 1
5 2 1 2 2 7 2 2 2 2
1 2 1 1 2 1 0
1 11 0 1 1 0
1 2 1 2
x xy y y x y y
x xy y y x y xy y
xy y y xy xy y xy y
xy yxy y xy y
xy y xy y
Vi 1xy y kt hp vi phng trnh hai chng ta c :
2 2
11 1
1 5 , 2,1 ; 1 2, 1 ; 2 1,2 2 21 ; 2
xy y
x y y x y
xy y
Vy h phng trnh ban u c nghim k trn
Bi ton 6. Gii h phng trnh :
2 22 4 3 4 1 3 1 2,
1 2 2 1
y xy y x y y xx y
y y x y x
Li gii. iu kin : 1 ; 2y y x
Bnh phng phng trnh hai ta c : 12 1 2 1 1 24
y y x y y x
Phng trnh mt c vit li thnh : 22 3 1 4 1 3 1 1 2y y x y y y y x T hai iu trn suy ra :
2
21 3
2 3 1 2 1 1 2 1 3 1 524 14
yy y y y y y y
yy
Do h phng trnh cho c nghim 41 5 23, , ; , 272 4 24
x y
Bi ton 7. Gii h phng trnh :
3 1 2 2 1 8
,5 2 9
x y x y x yx y
x x y y
Li gii. iu kin : ; 2 1x y y
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t
2 22
2 22
2 2
2 2 1
2 1 3 2 22 1
, 0 9 4 4
a x y x a bx y a
b y x y b ay b
a b x y a b
khi h phng trnh tr thnh :
2 2 2 2
2 2 2 22 2
2 1 12 1 2 1 8
12 1 2 1 82 1 4
a b aa b a b a b
ba b a b a ba a b
Do suy ra : 1 2
2 1 1 1
x y x
y y
l nghim duy nht ca h phng trnh
Bi ton 8. Gii h phng trnh :
2 2
1 1 2,
8 8 8
y x y x y y xx y
x y y x
Li gii. iu kin : 0x y v 8x
t
2 2a x y
a b xb y
khi phng trnh mt ca h phng trnh tr thnh :
2 2 2 21 1 2 1 1 2 0b a a b a b a b a b Phng trnh hai ca h phng trnh c vit li thnh :
2 2 2 2 2 2 2
22 2 2 2 2
8 8 8 8 16 8 64 8
2 8 8 0 8 0 8
x y y x x y x y y x
x x y y x y x y
Vi
2
1
8
a
x yta c :
2 2
1 1 4,5
3, 58 1 8
x y x y x
yx y y y
Vi
2
1
8
b
x yta c :
2
1 3
18
y x
yx y
Vi 2 0 2 0a b x y y phng trnh v nghim v 0x y y
Kt hp vi iu ta c nghim ca h phng trnh l
9 7, 3,1 ; ,
2 2x y
Bi ton 9. Gii h phng trnh :
2
2 2
2 4,
8 4 1 4 1
x y x y xyx y
xy x y x y x y y x
Li gii. iu kin : , 1x y Phng trnh mt c vit li thnh : 2 24 2 4 2 1x y x y xy x y xy p dng bt ng thc Cauchy ta c :
2
2 2
2
2 2 1 4 44 1 4 1 4 8
2 2 1 4 4
x y x yx y y x x y x y
y x y x
T iu trn v kt hp vi phng trnh hai a c :
2 28 2 4 8 6 2 16 12 2xy x y x y x y x y xy x y x y
T 1 v 2 suy ra : 2
4 12 16 0 4 0 4x y x y x y x y x y
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Du = xy ra khi v ch khi
2 1
2 1 2
4
x y
y x x y
x y
l nghim duy nht ca h phng trnh
Bi ton 10. Gii h phng trnh :
2
2 1 5,
2
x y y x yx y
y xy y
Li gii. iu kin : 0x y
t
2 2 12 1
a x ya b x y
b y, khi phng trnh mt tr thnh : 2 2 4a b a b
T cch t, ta c :
2
2 2 2 2 22 1 2 1 2 2 2 12 12 1
a x y x y aa b a b x y x y y xy y y
y bb y
Mt khc , t phng trnh hai : 22 2 2 4xy y y nn suy ra 2 2 2 2 3a b a b . Do ta c h phng trnh :
2 2
2 2 2 2
4 21
13
a b a b xa b
ya b a b l nghim duy nht ca h phng trnh ban u
Bi ton 11. Gii h phng trnh :
2
2 2
1,
3 2 2 3 1 0
x y y y x y x xy yx y
x y x x x y
Li gii. iu kin : 1x y
t
a x y
b ykhi phng trnh mt tr thnh :
21 1 1 1 1ab a b ab a b ab a b a b a b ab a b
Vi 1ab a b ta c :
2 21
1 1 1 1 1 01
yxy y x y y xy y x x y y y
x y
t 21 0 1t y y t th xung phng trnh hai chng ta c :
22 2 2 2
1 1 21 3 2 2 3 0 1 3 1 2 0
1 1 1
x yx t x x x t t x t x
x y
TH1. Vi 1y th vo phng trnh ta c : 1x hoc 2x
TH2. Vi 1x y th vo phng trnh ta c :
3 2
1 1 1 2 1 1 2 1 0 1 0 1y y y y y y y
3 2
1 1 1 1 1 1 2 1 1 0y y y y y v nghim v 0VT
Vy h phng trnh cho c nghim , 1,1 ; 2,1x y
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Bi ton 12. Gii h phng trnh :
3
3 2 2 2
2 1 2 1,
2 2
y y x y yx y
y y y y y x y y x
Li gii. iu kin : x y . Khi phng trnh hai c dng :
2 12 0
2
y y x yy y x y y y x y
y y x y
X l phng trnh mt chng ta c :
2
2
11 1 2 1 0
1 2
yy y y y x y
y y x y
Vi 1y th xung phng trnh hai suy ra 0x
Vi 2 1 2y y x y ta c :
1. H phng trnh :
2 2
2
1 2 1 2
2 1 02 2 2
y y x y y y x y
y y yy y x y
2. H phng trnh :
2 2
3 2
1 2 1 2
3 4 02 2 4
y y x y y y x y
y y yy y x y
Kt hp vi iu kin, nghim ca h phng trnh ban u tha mn iu trn
Bi ton 13. Gii h phng trnh :
2 2
1 1 9,
2 4 17
x x y x y xx y
x x x xy xy y
Li gii. iu kin : x y v 0x
t
a x y
b xkhi phng trnh mt tr thnh : 2 21 1 9a b b a
Mt khc phng trnh hai c biu din di dng :
2 2
2 2 22 2 21 2 21x xy x y ab a b
Khi h phng trnh cho tng ng
2 2
9
2 21 2
ab a b a b
ab a b ab
t
t a b
u ab, do ta c :
2 22 2
9 1 9 2
32 21 2 2 21 2
ut t t u u
tu t u u t u
Vy nn ,x y x l nghim ca phng trnh :
21 1 4
3 2 02 3 3
X x xX X or
X y y
Da vo iu kin kt lun h phng trnh ban u c nghim , 1, 3 ; 4, 3x y
Bi ton 14. Gii h phng trnh :
3 3 2 2
3 2 33
3 3 3,2 1
3 36 1 27
x y x y xy x yx yx
x y x yx
Li gii. iu kin : ,x y Chng ta c :
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3 3 2 2 2 2
2 2 2 2 3 3
3 3 3 3 3 0
3 1 0 3 9 27
x y x y xy x y x y x y x y
x y x y x y x y x y
Th vo phng trnh hai ta c :
3 33 2 6 3 2 3 2 6 3 2 2
2 2
2
2 23 36 3 2 6 3 2 2 2
2
2 23 36 3 2 6 3 2 2 2 2
3 4 1 2 3 3 1 2
1 3 11 3 1
2 2
1 3 1 0
2 2 0
x x x x x x x x x x x x x
x x xx x
x x x x x x x x x x
x x
x x x x x x x x x x x ptvn
Do h phng trnh c nghim l : 1 1 1 1 1, 1, ; , ; ,3 3 3 3 3 3 3
x y
Bi ton 15. Gii h phng trnh :
4 2 2 3 22 16 2
,2 1 2 11
x x y y xx y
x y x x y
Li gii. iu kin : 0 ; 11 0x x y
Phng trnh mt cho tr thnh :
6 4 2 3 2 3 6 3 2 2 2
2 4 2 2 2 2 2 2
2 16 2 2 8 2 0
2 2 2 4 2 0 2
x x y y x y x y x y x y
x y x x y y x y x y x y
Vi 2 2x y th xung phng trnh hai chng ta c :
2 2
2 2
2
2 1 2 22 0
2 3 1 2 22 5
1 311 3 0
1 2 22 5
x x x x x x
x x x x x
x xxx x
x x x
Mt khc :
2
2 2
3 1 2 22 4 13 3 0 0
1 12 22 5 2 22 5
x x xx x x
x xx x x x
Do 1
12
x y l nghim duy nht ca h phng trnh
Bi ton 16. Gii h phng trnh :
2
2 2
1 2 0,
2 3 2 0
y x y x x xyx y
x y xy x
Li gii. iu kin : 2x y Xt phng trnh mt , ta c :
2 21 2 0 1 2 1 1 1
1 1 2 1 2 1 2
y x y x x xy y x y y x x y
y x x y x x y x x y
Mt khc , t phng trnh hai : 2
3 2 0 0x x y x hay 1 2 0x x y suy ra
2 21 1 2 2 2 2
x yy x x y x y x y
x y xy x y
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Kt hp vi phng trnh hai ta c :
2 2
2 2
2 22
2 3 2 00
; 2
x y xy x yx
x y xy xy
x y x y
Vy , 2, 0x y l nghim duy nht ca h phng trnh ban u Bi ton 17. Gii h phng trnh :
2
2 2 2 2
1 1 1 2,
4 1 6 5 1 1 1 1
y x yx y
x y x x x y
Li gii. iu kin : 2 1 ; 1x y
t
2 22
2
11 0
11 0
x aa x
y bb y
h phng trnh cho tr thnh :
2 2 3 2 3
3 2 2 3 2 2 3 22 2
22 3
2 33 2 2 3 2 3
2 2 2
4 6 5 4 3 3 54 5 6 5 1
32 33 0127 5 3 0 2
a b b ab b ab b
a ab a b a ab ab b a ba b a a ab
a bab b aa b a bbab ba ab a b b ab b
Vi 3
1
a
b
khi ta c : 2 21 3 10
, 10,2 ; 10,221 1
x xx y
yy
Bi ton 18. Gii h phng trnh :
3
2 3 3 2
2 2 1,
8 8 2 3 8 2 3 1
x x y x y y yx y
x y x y y x x
Li gii. iu kin : 0 ; 0x y y
T phng trnh mt chng ta c :
2 2 22 2 2 2 0
2 0 12 02
2
x x y x y y y x xy y x y y
x yx y
x y x yx yx y y
x y y
Mt khc vi iu kin : 0 ; 0x y y th 1
02
x y yx y y
nn v nghim
Vi 0x y th phng trnh hai tr thnh :
2 22 2 2
2
2
8 8 3 8 2 3 1 4 2 3 1 2 1
13 132 2 3 1 1 4
12 2 3 1 4 1 7 14
x x x x x x x x x
xx x
x x x x
Vy h phng trnh ban u c nghim : 3 13 3 13 7 1 7 1, ; ; ;4 4 4 4
x y
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Bi ton 19. Gii h phng trnh :
2
2
1 1,
2 1 1 0
x y x x x yx y
x x y y x
Li gii. iu kin : 1 ; 1 0x x y x
t 21 0 1t x x t khi phng trnh mt tr thnh :
2 2 2 2 2 2
22
2 2
1 1 1 1
1 10 0
1 1 1 1
t t y t t y t t y t t y
t t y t y ty t y t y t y t
t t y t t t y t
T phng trnh hai chng ta c :
2
2 21 1 1 0 0 0;1 0x y y x y y y y t
Do suy ra c : 21 1 1 0y t t t y t hay ni cch khc t phng trnh mt ta c : 1y t y x th xung phng trnh hai th :
2 32
1 0 1 0 5 5 5 1, 1, 0 ; ,
2 22 1 01 0
y x y xx y
y yy y y y
Do vy h phng trnh c nghim k trn
Bi ton 20. Gii h phng trnh :
3 4 3 2 2,
5 2 4 0
y y x x xx y
x y x y y
Li gii. iu kin : ; 2x y x
t 2 20
a x ya b y
b x y
khi phng trnh hai tr thnh :
2 25 4 0 1 5 4
1 1 4 4 4
a b a b a b b b
a b b b a b x y x y
Mt khc , xt phng trnh mt chng ta c :
3
3 23
33
2 4 2 3 2 2
2 3 2 4 2 2
2 1 2 1 2 1
y y x x x
y y x x x
y y x x y x
Do h phng trnh ban u tr thnh :
2 2
22 2 2 2
4 2 2 2 2 1 2 1 2
1 2 2 1 0 2 1 0
2 31 3 3 1 3 3
22 1 02 1 0 2 1 0
x y x y x y x y y y y y
y x x y x y
y xy y y y y y y y
yx yx y x y
Kt hp vi iu kin , h phng trnh c nghim duy nht , 3,2x y
Bi ton 21. Gii h phng trnh : 2 21 2
,4 9 16 9 7 9
x y x x yx y
x y xy x y
Li gii. iu kin : 1x y
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t 2 2 11
a x ya b x
b y
khi chng ta c : 2 21 1 2pt a b a b
Vi iu ta t th 2 2 2a b xy y y x mt khc t phng trnh hai ta c :
2
2 2 2 2
2 2
2 2
4 16 16 9 4 2 9
2 4 3 2 2 2 3
2 4 3 0 2 2 2 3 0
x x xy y y x x a b
x ab a b ab
x ab a b ab
Nh vy h phng trnh cho tr thnh :
2 2 2 22 2 2 2
1 2 1 2
2 2 2 3 2 2 2 3 0
a b a b a b a bor
a b ab a b ab
Gii hai h trn bng phng php n ph cho ta nghim ca h ban u l : , 2,2 ; 2,1x y
Bi ton 22. Gii h phng trnh :
2 3
2
8 9 12 6 1,
2 10 6 12 2
y x xy xx y
x y x y y x
Li gii. iu kin : 22 ; 0 ; 8 9x y y x
X l phng trnh hai ta c :
22 2
2 2 2 22 2
22
2 10 6 12 2 2 10 6 12 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 0
2 2 0 2 2 0 2 0
x y x y y x x y x y x y
x y x y x y x y x y
x y x y x y x y y x
Vi 2y x th nn phng trnh mt ta c :
32 24 13 4 12 1 2 4x x x x x y S d phng trnh cui dng phng php t n ph ta s gii quyt d dng. Do h phng
trnh ban u c nghim duy nht , 2, 4x y
Bi ton 23. Gii h phng trnh : 2 21 1 1
,16 16 12 20
x y y xx y
x y x y xy
Li gii. iu kin : , 1x y
t
2
2
1 0 1
11 0
a x x a
y bb y
khi phng trnh mt tr thnh :
2 21 1 1 1 1 1a b b a ab a b a b a b ab Xt phng trnh hai :
2 2
2 2 16 16 12 20 2 16 1 16 2 16 1x y x y xy xy x y xy xy xy x y
Mt khc : 2 2 2 21 1 16 1 16a b x y xy x y a b nn ta c :
2
2 2 2 22 16 2 4 1 1 2 4xy a b xy ab a b ab
Cui cng ta c h phng trnh :
2 2 2 2 4 1 0, 1 , 1,2
1, 01 1 , 2,1
a b a b ab a b x y
a ba b ab x y
Vy h phng trnh c hai nghim k trn
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Bi ton 24. Gii h phng trnh :
2 2 3 3 2
2 2 2 2 2 2
2 4 2 1 7,
x y x y x y xy x y xx y
x y x y xy yx
Li gii. iu kin : 2 2 ; 0x y xy y x T phng trnh mt ta c :
2 2 2 2 3 3 2
2 2 2 2 3 3
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 4 2 7
2 2 0
2 2 0
2 2 0
2 0
2 0
00
1
x y x y x y xy x y x
x y x y x y xy x y
x y x y x y x y y x
x y x y x y y x
x y x y y x y x
x y y x x y y x
x yx y y x x y y x
x y
TH1. Vi 0x y th xung phng trnh hai ta c :
2 30
2 2 1 0 , 0, 0 ; 1, 11
xx x x x x y
x
TH2. Vi 1y x th xung phng trnh hai ta c :
2 22 1 2 2 1x x x x x ptvn Phng trnh trn d dng chng minh v nghim bng phng php bnh phng hai ln do h phng trnh cho c hai nghim k trn
Bi ton 25. Gii h phng trnh :
2 2
7 7 8 2,
2 1 2 1 2 1
x y x y x y xy x yx y
y x x x y
Li gii. iu kin : 2 1 ; 0x y
Phng trnh mt cho tr thnh :
7 7
8 2 6 6 8 2x y y x x y y x y x
y x y x x yy x y x x y
t 2 2; 1x y x y
a b a by x
do ta c :
2 2
2 2
1 2 1
6 8 2 1 2
a b a b x y x ya b x y
y xab a b a b ab a b
Vi x y v 0 1x th xung phng trnh hai ta c :
22 2 2
2 2 22
2
2 2
2 12 1 2 1 2 1 2 1
2 22 1 2 5 2 5
2 1 2 22 2 2 22 1 2
2 5 2 2 1 0 6 1
x xx x x x x x x
xx x x x x x
x xx xx x
x x x x x x y
Vy nn h phng trnh c nghim duy nht , 6 1, 6 1x y
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Bi ton 26. Gii h phng trnh :
2 2
2 2
1 1 1,
3
x x x y y yx y
x y
Li gii. iu kin : ,x y Trc ht 1x nhn xt khng l nghim ca h phng trnh , do ta c :
2 2 2 21 1 1 1 1 1x x x y y y x y y y x x x
Chia c hai v ca phng trnh cho 1x ta c : 2
2 111 1
x x xy y y
x x
R rng n y s xy ra hai tnh hung :
a) Nu 1 0x chng ta c : 2
2 1 11 1 1
x x xy y y
x x x
n y xt hm s 2 1f t t t t l hm s n iu trn v 1
xf y f
x
suy ra
1 0x y x kt hp vi phng trnh hai th :
2 2
1 11 0 1 5 1 52 21 01 11 5 1 53
2 2
x x yx y x
x yx y
b) Vi trng hp 1 0x ta cng s khng nh c 1x y x
Tm li t phng trnh mt chng ta c : 1
1 0
x
y x x
do h phng trnh ban u c hai
nghim 1 1 1 1, 1 5 ; 1 5 ; 1 5 ; 1 52 2 2 2x y
Bi ton 27. Gii h phng trnh :
2 2 2 2
2
2 2 4 3,
1 2 1 1
xy y x x yx y
y x y y x
Li gii. iu kin : 2 24 3 ; 1 0x y x
Phng trnh hai ca h phng trnh c vit li thnh :
1 11 1 1 1 1 1 11 1 1y x f y f x y x
y x
S d c iu trn l ta i xt hm s 1f t tt
l hm s ng bin trn tp xc nh ca n.
Vi 1y x th vo phng trnh mt chng ta c :
2
2 2
2 22 2
3 2
1 2 2 4 1
2 2 4 1
3 2
2 2 4 1
3 20
6 16 16 0
x x x x x
x x x x x
x
x x x x x
xx
x x x
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Do h phng trnh ban u c nghim duy nht , 0,1x y
Bi ton 28. Gii h phng trnh :
22 2 2
3 3 2
4 12 3 4 2 3 2
,2 2
2 3 22 1
xx x x y y
x x yx x x
yx
Li gii. iu kin : 1 1 3
0 ; ;2 2 2
x x y
Vi iu kin 0x th phng trnh mt tr thnh :
22 2 2
2 3
2 3
33
4 12 3 4 2 3 2
3 4 12 4 2 3 2
3 3 1 11 1 1 3 2 3 2
1 11 1 3 2 3 2
xx x x y y
x
y yxx x
y yx xx x
y yx x
t 1
1 ; 3 2a b yx
phng trnh c vit li thnh :
2
2
3 3 2 2
1 31 0
2 4
11 0 1 3 2
a b b
a a b b a b a ab b a b yx
Vi 1
2 3 2 1yx
th xung phng trnh hai chng ta c :
3 3 2
3 3 2
3 3
3 3 3
1 2 2 12 1 1 2 2
2 1
1 1 2 2 1 1 2 22 1 1 1 1 1 1 1
x x x xx x x x
x x x
x x x x x x x x
Lp lun tng t nh trn hoc xt hm s 3f t t t trn d dng cho ta : 3 2
31 2 1 2 5 1 3 5
1 1 1 12 4
x yx x x x
Kt hp vi iu kin suy ra 5 1 3 5, ,2 4
x y
l nghim duy nht ca h phng trnh
Bi ton 29. Gii h phng trnh :
1 1 2 2 1
,1 4 22 2
1
x y xy xy y x
x yxxy x
Li gii. iu kin : 1 ; 0x y
Phng trnh mt chia c hai v cho 1y x ta c : 1 22 2 31 1
x x
yx x
Ly 2 3pt pt chng ta c :
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1 4 2 1 22 2 2 2
1 1 11 4 2 1 2
41 1 1 14 4
4 4 0 41 1 1
x x xxy yx x x
x x xxy yx x x xx x
x x xx x x
T d dng tm c nghim ca h phng trnh ban u
Bi ton 30. Gii h phng trnh :
2
2
4 1,
2 6 2 4 1
x y x yx y
x y x y y x
Li gii. iu kin : 0 ; 4 0x y
Ta s i x l phng trnh hai nh sau :
2
2 2
2 2
22
2 6 2 4 1
2 4 2 6 2 4 1 2 1
2 1 2 1 1 2 1
2 1 1 0 1 0
x y x y y x
x xy y x y y x y x
x y x y x y y x
x y x y y x
Vi 1 0y x thay vo phng trnh mt ta c :
2
2
2 22
2
2
3 2
1 2 3 3 1 0
3 1 3 13 1 0
1 2 31 1
3 1 1 01 2 31
3 1 0 3 52
x x x x
x x x x x x
x x x xx x
x x x x
x xx x x x
x x x
T suy ra h phng trnh c nghim 3 5 5 5 3 5 5 5, , ; ,2 2 2 2
x y
Phn II. Cc bi ton s dng phng php nh gi.
Bi ton 31. Gii h phng trnh :
2 4 2 4 2 4
23 3 2
3 2 1 2,
1 1 2
x y x y x x yx y
x y x x x y
Li gii. iu kin : ,x y
Vit h phng trnh cho li thnh :
22 6 4 4
23 3 2
4 1 2
1 1 2
x y x x y
x y x x x y
Ly phng trnh hai tr cho phng trnh mt ta c :
2 222 3 2
2 22
2
4 1 1 1 0
4 1 1 1 11
x y x y x y
x yx y x y x y
x y
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Th li , suy ra 1x y l nghim duy nht ca h phng trnh
Bi ton 32. Gii h phng trnh :
22 3
2
4 1 4 8 1,
40 14 1
y x x xx y
x x y x
Li gii. iu kin : 14 1 ;x y
Chng ta c :
2
2 23 4 8 1 2 14 1 4 1 2 40x x y x y x x x
Mt khc theo bt ng thc AM GM ta c :
33
2
2 22 2
22 2
8 14 8 1 2 14 1 8 . .1 2 14 1
21 8 18 1 14 1
3 23
4 1 2 40 8 12
4 1 2 40
xx x y x x y x
xx y x
y x x x x
y x x x
Do du = xy ra khi v ch khi 1 3;8 2
x y y cng l nghim duy nht ca h ban u
Bi ton 33. Gii h phng trnh :
2 2
1 1 2
1 21 2 1 2 ,2
1 2 1 29
xyx y x y
x x y y
Li gii. iu kin : 1
0 ,2
x y
Trc ht , ta i chng minh bt ng thc : 2 2
1 1 22 1
1 21 2 1 2xy
xyx y
Tht vy , theo bt ng thc Bunhiacopxki chng ta c :
2
2 22 2
2
2 2 2 2
1 1 1 1 42
1 21 2 1 21 2 1 2
2 2 11 1 20 0
1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2
xyx yx y
x y xy
xyx y x y xy
Du = t c khi v ch khi x y vy th nhim v cn li khng h kh khn vi phng trnh hai :
2 9 73 9 73 9 73 9 73 9 731 2 1 2 , , ; ,9 36 36 36 36 36
x x x x x x y
Do h phng trnh cho c hai nghim k trn
Bi ton 34. Gii h phng trnh : 2 2
2
2 2 4 2,
6 11 10 4 2 0
x x y yx y
x y x x
Li gii. iu kin : 2 24 2 0 ; 2 4 10 0y y x x
p dng bt ng thc AM GM chng ta c :
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2 22
4 10 4 2 14 4 26 11 10 4 2
2 4
x x x xy x x x
Rt gn ta c : 2 24 6 11 14 4 2 10 2 15 0y x x x x x y Tip tc cho phng trnh mt chng ta c :
22 2 2 24 22 2 4 2 2 4 4 3 0
2
y yx x y y x x y y
Cng v vi v ca hai phng trnh trn ta c :
2 2
2 21
3 6 6 12 0 3 1 3 03
xx x y y x y
y
Kt hp vi iu kin suy ra h phng trnh c nghim duy nht k trn
Bi ton 35. Gii h phng trnh :
2 2
22
3
,21
1 2 1
x xy y y xy
x yxy
x y
Li gii. iu kin : 2 0 ; 0x y
Nhn xt 0y khng l nghim ca h phng trnh nn chng ta c :
2
1 3 1x x x x
pt x yy y y y
Vi x y th vo phng trnh hai ta c :
22 2
11 2 1
xx
x x
Theo bt ng thc AM GM : 1 2
22
xx
v vy ta c :
22 2 25 12 1 9 1 9
1 15 2 8 2 88 51 2
1 9 1 92 1 2 1 1
2 8 2 8
xx xg x x x
x xx
g x g x x x
Du = xy ra khi 1x suy ra 1x y l nghim duy nht ca h phng trnh
Bi ton 36. Gii h phng trnh :
2
2
2 244 1 0
,2 1
5 5 1 6
yx x y
x yy
x y x y
Li gii. iu kin : 21 ; 5 5 0 ; 2 1 ; 1x x y y x y
t 1 0t x , trc ht ta c nh gi sau :
22 2
2 2
2
2
2
2
2
49 492 0 4 4 4 4 4
2 1 2 1
2 1 0
2 1 4 492 1 4 49 5
2 1 0
2 1 4 49
t t t t t y yy y
y
y yy y y
y
y y
Ta vit phng trnh hai li thnh : 2 25 6t y y t , theo bt ng thc Bunhiacopxki ta c :
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2
22 2 2 2 2 21 15 5 5 5 1 .6 36 5 6
55t y y t t y y t y t y y t
Du = t c khi v ch khi : 2 2 2 55 5
5 55
t xt y y t
y yy
l nghim duy nht
ca h phng trnh ban u
Bi ton 37. Gii h phng trnh : 2
2
45 3
,
4 3 8 5 5
x xx yx y
y x xy y
Li gii. iu kin : , 0x y S dng cc nh gi cho phng trnh mt th :
2 2 2 2
2
2 2 2
4 4 2 4 85 2 1 2 2 2
44
4 85 3 2 3 4 2 4 8
4
4 3 3 12 2 2 8 8 0 3 4 0 *
x x x x xx y x y x yx y x y
x x x x x y x x yx y x y
x xy x x y x xy x x xy x y
Phng trnh hai thun tin nh gi th a thnh : 25 5 4 3 8 0 **xy y y x
Ly * * * suy ra :
2
2 23 4 5 5 4 3 8 0 2 2 0 2 2x xy x y xy y y x x y x y
Vi iu kin bt ng thc xy ra th 2x y l nghim duy nht ca h phng trnh
Bi ton 38. Gii h phng trnh :
2
2 2
4 4
2 2
7 11 2
2 ,
3 3
x x yx y x y
x x y
Li gii. iu kin : ,x y
p dng nh gi ca bt ng thc AM GM ta c :
22 2
4 4
4 4 22 2
1 2
2
x yx y
x y x y
Do t phng trnh mt ta c :
2 32 2 2 2 2 2 2 2
2 4 42 2
2 7 7 1 72 2 2 2
2 2 2x y x y x y x y
x yx y
Bnh phng phng trnh hai : 2 2 2 2 2 23 3
3 33 6 9 3 2
x xx x y
x y x x y x
Kt hp vi nh gi : 2
2 2 22 2 3 2 1 0 1x y x x x x
i chiu vi tt c iu kin du = xy ra suy ra 1x y l nghim duy nht ca h ban u
Bi ton 39. Gii h phng trnh :
2
2 3
2 2
1 2 1,1
32
x y x xx y
x x y x x
Li gii. iu kin : , 0x y H phng trnh cho tng ng vi :
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2 22 23 3
22 2 2 2
1 2 1 1 2 11
3 5 1 22
x y x x x y x x
x x y x x x x y x x
p dng bt ng thc AM GM chng ta c :
2 232 2 2 2
2 1 4 2 2 12.4 . 2 1 2 1 2 1
3 22 4 2 2 2 1 2 6 1 2 0
x x xx x x x x y
x x y x x x y
V t phng trnh hai ta c iu sau :
2
2 2 2 2 2 25 1 2 5 3 1 0x x y x x y x x x x y
Do vy 2
2 2 2 2 1 32. 5 3 1 2 6 1 2 0 2 1 0 .2 2
x x y x x y x x y l
nghim duy nht ca h phng trnh Bi ton 40. Gii h phng trnh :
2 2
2
2 4 2 34 1
,
1 3 2 5 2 3 3
x yx y
xy y x x y
x xy x y x x y x y
Li gii. iu kin : 0 ; 3 0x y Phng trnh mt ca h cho tng ng vi :
2 2
2 2 2 2
22 2
2 4 4 2 3
4 4 2 3 4 2 3
4 4 2 3 0
x xy y x y x x y y
xy y x xy x xy xy y
xy y x xy
Phng trnh hai c vit li thnh :
2
2
3 2 3 3 2 3
3 2 3 2 3 3 0
x x y x y x y x y
x y x x y x y x y
Kt hp hai iu trn suy ra , 4,1x y l nghim duy nht ca h phng trnh Phn III. Phn tch tng hai bi ton khi A v B nm 2014
Khi A.2014. Gii h phng trnh :
2
3
12 12 12,
8 1 2 1
x y y xx y
x x y
Li gii. Ni chung trn mng xut hin kh nhiu li gii cho bi ny nhng bi vit ny l ca ring ti nn ti s em nhng g m mnh phi i mt vi cu h ny trong phng thi. V hi vng n c ch cho cc bn khi c bi bit ny. Trc ht , khi nhn cu h ny ti phi mt ti 1,2 pht nh hng cn phi lm g. Cc bn cng vy , hy dnh vi pht nhp n. Vic quan trng u
tin l tm iu kin ca bi ton : 2 12 2 3 2 3 ; 1x x y mt cng vic nh nhng
cho ta 0,25 im u tin. Tip theo ta nn lm g, l quan st tng phng trnh v r rng phng trnh hai khng h c mi lin h g nn ti tm hng phng trnh mt. y l mt
phng trnh i xng l v con s 12 ng thi cng nh hai bin ,x y u c s xut hin 2,x x v
,y y nn nu t z y th phng trnh mt tr thnh : 2 212 12 12x z z x
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n y th ti ngh ngay n tng ca bt ng thc AM GM m khng quan tm iu g khc c bit l iu kin dng bt ng thc :
2 22
2 2 2 22 2
2 22
1212 12 122 12 12 12
12 2 212
2
x zx z x z z x
x z z xz x
z x
Du = s xy ra khi v ch khi : 2 2 212 12x z y x th xung phng trnh hai ta c :
3 28 1 2 10x x x n y li khai thc mt trong nhng k nng gii h phng trnh l nhm nghim. R rng iu ti ngh n lun l cn phi l mt s chnh phng cng l kinh nghim i thi. Ta cn x l
sao cho 210 x l mt s chnh phng. Vy th c th xy ra hai trng hp sau : 2 21 ; 9x x
v th li gi tr ca bin s thy 3x tha mn nn ti s ngh n vic lin hp nh sau :
3 2 3 2
2
2
2
2
8 1 2 10 8 3 2 10 1
2 3 33 3 1 0
10 12 6
3 3 1 010 1
x x x x x x
x xx x x
xx
x x xx
Nn ci phng trnh cn li s v nghim l v : 2 3 1 0x x nhng suy ra n v nghim ch
t ti cn iu kin 3 0x nhng bc u tin ti lm ch c : 2 3 0x nn bi lm ca ti n y c vn . Vn ch iu kin cht ca x ti kim tra li v du hi c t ra cho ti l : Cha c 0x th lm sao m c th p dng bt ng thc AM GM v nu chng minh c 0x th ti gn nh hon thnh bi ton. Tht vy :
2 212 12 12 12 12 12 0 0y y x x y y x x Vy l mi chuyn coi nh xong. Trnh by vo giy thi cn thn. Ti c im trn vn cho bi ton ny
Khi B.2014 . Gii h phng trnh :
2
1 2 1,
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Bi ton n y coi nh kt thc Li kt : Ti liu trn l ti vit tng mt ngi con gi tn Nguyn Th Thu Hin , ngi con gi c ngha quan trng vi cuc i ca ti cng thay cho li chc c y c th hon thnh c m ca ti cng nh ca c y l thi I HC S PHM NM 2015 . Bn cnh hi vng cc bn c mt ti liu va trang b cho mnh nhiu kin thc. Ni chung n khng th trnh khi sai xt nn nu sai u hi vng bn c thng cm v c gng khc phc gip tc gi. Cho thn i !!!
Th Trn Cn Hi Hu Nam nh , 08/09/2014 Tc gi : Nguyn Th Duy
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