42_hpt_on_dh

H Phng Trnh

n Thi I HC

2015

Tc gi : Nguyn Th Duy

Li ni u : Cng nh tiu ca bi vit , th bi vit ny gm 42 h phng trnh v t n thi I HC nm 2015 gm :

1) Phn I. Cc bi ton s dng phng php : nhn t , lin hp , n ph , hm s. 2) Phn II. Cc bi ton s dng phng php nh gi. 3) Phn III. Phn tch hng i hai bi ton Khi A v Khi B nm 2014.

Ton b cc bi ton di y l do su tm trn cc mng x hi v li gii l do tc gi ca bi vit Nguyn Th Duy trnh by. Hi vng v mong mun cc bn c c nhiu phng php gii h cng nh nhng phng n i mt khi gp n bin bi ton h phng trnh tr nn n gin ha v gii quyt n mt cch d dng.

Phn I. Cc bi ton s dng phng php : nhn t , lin hp , n ph , hm s.

Bi ton 1. Gii h phng trnh :

2 2

2 2 2

2 1

,1

1 2

x y

xy x y xy x yx y x x

x y

Li gii. iu kin : 0 ; 0x y xy

Phng trnh u ca h phng trnh c vit li thnh :

2 2

2 2

2 12 1 20 2 0

1 1 2 1 10

0

x y xy x y

xy x y xy xy x yx y x y x y x y

x y x yxy x y

Vi 1x y th xung phng trnh hai chng ta c :

2

2 7 1 7

3 33 4 1 02 7 1 7

3 3

x yx x

x y

Vi 2 2x y x y th xung phng trnh hai chng ta c :

2

2 2 22 22 2

1 111 2 2 1 0

01

x xx x x y x ptvn

yx yx y

Vy h phng trnh cho c nghim : 2 7 1 7 2 7 1 7, ; ; ;3 3 3 3

x y


3 3 2

2

3 6 3 4 0,

1 1 6 6 5 12

x y x x yx y

x y x y x x y

Li gii. iu kin : ; 1x y

Phng trnh mt tng ng vi :

3

3 2 3 33 6 4 3 1 3 1 3 1x x x y y x x y y y x

Th vo phng trnh hai ta c :

Tuyn tp 42 H phng trnh N THI I HC 2015 Tc gi : Nguyn Th Duy

www.MATHVN.com

www.DeThiThuDaiHoc.com

2

2

1 2 6 7 7 12

1 2 2 6 7 3 2 8

1 62 4 0

2 2 7 3

x x x x x x

x x x x x x

x xx x

x x

Do 2x nn 2 0

6 0

x

x

suy ra :

1 6 2 2 6 6 14 0

2 22 2 7 3 2 2 7 3 2 2

x x x x x xx

x x x x x

T suy ra , 2, 3x y l nghim duy nht ca h phng trnh

Bi ton 3. Gii h phng trnh : 2 2

2 2

2 1 3 2,

4 4 6 3 2 0

x xy x x y y x yx y

x y xy x y

Li gii. iu kin : 2 22 1 0 ; 3 0x xy x x y y

X l phng trnh hai chng ta c :

2 22 1

4 4 6 3 2 0 2 1 2 2 02 2

y xx y xy x y x y x y

y x

Vi 2 2y x th xung phng trnh hai th :

2 2

2 2

2 2 2

2 22

2 2 2

34 1 4 2 3 3

4 1 4 21 1

4 1 4 2 2 4 1 3

02 4 1 3 1 1

4 4 1 3 1

x x x x x xx x x x

x x x x x x xx xx

x x x x xx x x x

Vi 2 1y x th xung phng trnh hai th : 2 24 1 4 3 2 3 1x x x x .

tng gii tng t trng hp trn ta c 2

3x

Do h phng trnh c nghim 2 1, 1, 0 ; ,3 3

x y


2

2,

1 4

xy x y xy x y yx y

x y xy x x

Li gii. iu kin : , 0 ; 2 0x y xy x y xy Chng ta c :

2 2 0

22 10 0

2 2

xy x y xy x y y xy x y xy y x y

x yx y y xy x y y xy

x yxy x y xy y x yxy x y xy y

T phng trnh hai : 2

2 4 41 1 2 21 1

y xy x x x xx x

www.MATHVN.com


Hay ni cch khc :

2 1

2 0 02

y xyy xy

x yxy x y xy y

Do t phng trnh mt 0x y suy ra th xung phng trnh hai ta c :

3 2

101 172 3 4 02

x yx y

x x x x y

Vy h phng trnh ban u c nghim k trn


2 2

2 2

2 1 2 2 6 2,

1 5

x xy y yx y

x y y

Li gii. iu kin : 1 ; 2xy y

Cng cho theo v ca h phng trnh ta c :

2 22 2

2 2 2 2

5 2 1 2 2 6 2 1

5 2 1 2 2 7 2 2 2 2

1 2 1 1 2 1 0

1 11 0 1 1 0

1 2 1 2

x xy y y x y y

x xy y y x y xy y

xy y y xy xy y xy y

xy yxy y xy y

xy y xy y

Vi 1xy y kt hp vi phng trnh hai chng ta c :

2 2

11 1

1 5 , 2,1 ; 1 2, 1 ; 2 1,2 2 21 ; 2

xy y

x y y x y

xy y

Vy h phng trnh ban u c nghim k trn


2 22 4 3 4 1 3 1 2,

1 2 2 1

y xy y x y y xx y

y y x y x

Li gii. iu kin : 1 ; 2y y x

Bnh phng phng trnh hai ta c : 12 1 2 1 1 24

y y x y y x

Phng trnh mt c vit li thnh : 22 3 1 4 1 3 1 1 2y y x y y y y x T hai iu trn suy ra :

2

21 3

2 3 1 2 1 1 2 1 3 1 524 14

yy y y y y y y

yy

Do h phng trnh cho c nghim 41 5 23, , ; , 272 4 24

x y


3 1 2 2 1 8

,5 2 9

x y x y x yx y

x x y y

Li gii. iu kin : ; 2 1x y y

www.MATHVN.com


t

2 22

2 22

2 2

2 2 1

2 1 3 2 22 1

, 0 9 4 4

a x y x a bx y a

b y x y b ay b

a b x y a b

khi h phng trnh tr thnh :

2 2 2 2

2 2 2 22 2

2 1 12 1 2 1 8

12 1 2 1 82 1 4

a b aa b a b a b

ba b a b a ba a b

Do suy ra : 1 2

2 1 1 1

x y x

y y

l nghim duy nht ca h phng trnh


2 2

1 1 2,

8 8 8

y x y x y y xx y

x y y x

Li gii. iu kin : 0x y v 8x

t

2 2a x y

a b xb y

khi phng trnh mt ca h phng trnh tr thnh :

2 2 2 21 1 2 1 1 2 0b a a b a b a b a b Phng trnh hai ca h phng trnh c vit li thnh :

2 2 2 2 2 2 2

22 2 2 2 2

8 8 8 8 16 8 64 8

2 8 8 0 8 0 8

x y y x x y x y y x

x x y y x y x y

Vi

2

1

8

a

x yta c :

2 2

1 1 4,5

3, 58 1 8

x y x y x

yx y y y

Vi

2

1

8

b

x yta c :

2

1 3

18

y x

yx y

Vi 2 0 2 0a b x y y phng trnh v nghim v 0x y y

Kt hp vi iu ta c nghim ca h phng trnh l

9 7, 3,1 ; ,

2 2x y


2

2 2

2 4,

8 4 1 4 1

x y x y xyx y

xy x y x y x y y x

Li gii. iu kin : , 1x y Phng trnh mt c vit li thnh : 2 24 2 4 2 1x y x y xy x y xy p dng bt ng thc Cauchy ta c :

2

2 2

2

2 2 1 4 44 1 4 1 4 8

2 2 1 4 4

x y x yx y y x x y x y

y x y x

T iu trn v kt hp vi phng trnh hai a c :

2 28 2 4 8 6 2 16 12 2xy x y x y x y x y xy x y x y

T 1 v 2 suy ra : 2

4 12 16 0 4 0 4x y x y x y x y x y

www.MATHVN.com


Du = xy ra khi v ch khi

2 1

2 1 2

4

x y

y x x y

x y



2

2 1 5,

2

x y y x yx y

y xy y

Li gii. iu kin : 0x y

t

2 2 12 1

a x ya b x y

b y, khi phng trnh mt tr thnh : 2 2 4a b a b

T cch t, ta c :

2

2 2 2 2 22 1 2 1 2 2 2 12 12 1

a x y x y aa b a b x y x y y xy y y

y bb y

Mt khc , t phng trnh hai : 22 2 2 4xy y y nn suy ra 2 2 2 2 3a b a b . Do ta c h phng trnh :

2 2

2 2 2 2

4 21

13

a b a b xa b

ya b a b l nghim duy nht ca h phng trnh ban u


2

2 2

1,

3 2 2 3 1 0

x y y y x y x xy yx y

x y x x x y


t

a x y

b ykhi phng trnh mt tr thnh :

21 1 1 1 1ab a b ab a b ab a b a b a b ab a b

Vi 1ab a b ta c :

2 21

1 1 1 1 1 01

yxy y x y y xy y x x y y y

x y

t 21 0 1t y y t th xung phng trnh hai chng ta c :

22 2 2 2

1 1 21 3 2 2 3 0 1 3 1 2 0

1 1 1

x yx t x x x t t x t x

x y

TH1. Vi 1y th vo phng trnh ta c : 1x hoc 2x

TH2. Vi 1x y th vo phng trnh ta c :

3 2

1 1 1 2 1 1 2 1 0 1 0 1y y y y y y y

3 2

1 1 1 1 1 1 2 1 1 0y y y y y v nghim v 0VT

Vy h phng trnh cho c nghim , 1,1 ; 2,1x y

www.MATHVN.com



3

3 2 2 2

2 1 2 1,

2 2

y y x y yx y

y y y y y x y y x

Li gii. iu kin : x y . Khi phng trnh hai c dng :

2 12 0

2

y y x yy y x y y y x y

y y x y

X l phng trnh mt chng ta c :

2

2

11 1 2 1 0

1 2

yy y y y x y

y y x y

Vi 1y th xung phng trnh hai suy ra 0x

Vi 2 1 2y y x y ta c :

1. H phng trnh :

2 2

2

1 2 1 2

2 1 02 2 2

y y x y y y x y

y y yy y x y

2. H phng trnh :

2 2

3 2

1 2 1 2

3 4 02 2 4

y y x y y y x y

y y yy y x y

Kt hp vi iu kin, nghim ca h phng trnh ban u tha mn iu trn


2 2

1 1 9,

2 4 17

x x y x y xx y

x x x xy xy y

Li gii. iu kin : x y v 0x

t

a x y

b xkhi phng trnh mt tr thnh : 2 21 1 9a b b a

Mt khc phng trnh hai c biu din di dng :

2 2

2 2 22 2 21 2 21x xy x y ab a b

Khi h phng trnh cho tng ng

2 2

9

2 21 2

ab a b a b

ab a b ab

t

t a b

u ab, do ta c :

2 22 2

9 1 9 2

32 21 2 2 21 2

ut t t u u

tu t u u t u

Vy nn ,x y x l nghim ca phng trnh :

21 1 4

3 2 02 3 3

X x xX X or

X y y

Da vo iu kin kt lun h phng trnh ban u c nghim , 1, 3 ; 4, 3x y


3 3 2 2

3 2 33

3 3 3,2 1

3 36 1 27

x y x y xy x yx yx

x y x yx

Li gii. iu kin : ,x y Chng ta c :

www.MATHVN.com


3 3 2 2 2 2

2 2 2 2 3 3

3 3 3 3 3 0

3 1 0 3 9 27

x y x y xy x y x y x y x y

x y x y x y x y x y

Th vo phng trnh hai ta c :

3 33 2 6 3 2 3 2 6 3 2 2

2 2

2

2 23 36 3 2 6 3 2 2 2

2

2 23 36 3 2 6 3 2 2 2 2

3 4 1 2 3 3 1 2

1 3 11 3 1

2 2

1 3 1 0

2 2 0

x x x x x x x x x x x x x

x x xx x

x x x x x x x x x x

x x

x x x x x x x x x x x ptvn

Do h phng trnh c nghim l : 1 1 1 1 1, 1, ; , ; ,3 3 3 3 3 3 3

x y


4 2 2 3 22 16 2

,2 1 2 11

x x y y xx y

x y x x y

Li gii. iu kin : 0 ; 11 0x x y

Phng trnh mt cho tr thnh :

6 4 2 3 2 3 6 3 2 2 2

2 4 2 2 2 2 2 2

2 16 2 2 8 2 0

2 2 2 4 2 0 2

x x y y x y x y x y x y

x y x x y y x y x y x y

Vi 2 2x y th xung phng trnh hai chng ta c :

2 2

2 2

2

2 1 2 22 0

2 3 1 2 22 5

1 311 3 0

1 2 22 5

x x x x x x

x x x x x

x xxx x

x x x

Mt khc :

2

2 2

3 1 2 22 4 13 3 0 0

1 12 22 5 2 22 5

x x xx x x

x xx x x x

Do 1

12

x y l nghim duy nht ca h phng trnh


2

2 2

1 2 0,

2 3 2 0

y x y x x xyx y

x y xy x

Li gii. iu kin : 2x y Xt phng trnh mt , ta c :

2 21 2 0 1 2 1 1 1

1 1 2 1 2 1 2

y x y x x xy y x y y x x y

y x x y x x y x x y

Mt khc , t phng trnh hai : 2

3 2 0 0x x y x hay 1 2 0x x y suy ra

2 21 1 2 2 2 2

x yy x x y x y x y

x y xy x y

www.MATHVN.com


Kt hp vi phng trnh hai ta c :

2 2

2 2

2 22

2 3 2 00

; 2

x y xy x yx

x y xy xy

x y x y

Vy , 2, 0x y l nghim duy nht ca h phng trnh ban u Bi ton 17. Gii h phng trnh :

2

2 2 2 2

1 1 1 2,

4 1 6 5 1 1 1 1

y x yx y

x y x x x y

Li gii. iu kin : 2 1 ; 1x y

t

2 22

2

11 0

11 0

x aa x

y bb y

h phng trnh cho tr thnh :

2 2 3 2 3

3 2 2 3 2 2 3 22 2

22 3

2 33 2 2 3 2 3

2 2 2

4 6 5 4 3 3 54 5 6 5 1

32 33 0127 5 3 0 2

a b b ab b ab b

a ab a b a ab ab b a ba b a a ab

a bab b aa b a bbab ba ab a b b ab b

Vi 3

1

a

b

khi ta c : 2 21 3 10

, 10,2 ; 10,221 1

x xx y

yy


3

2 3 3 2

2 2 1,

8 8 2 3 8 2 3 1

x x y x y y yx y

x y x y y x x

Li gii. iu kin : 0 ; 0x y y

T phng trnh mt chng ta c :

2 2 22 2 2 2 0

2 0 12 02

2

x x y x y y y x xy y x y y

x yx y

x y x yx yx y y

x y y

Mt khc vi iu kin : 0 ; 0x y y th 1

02

x y yx y y

nn v nghim

Vi 0x y th phng trnh hai tr thnh :

2 22 2 2

2

2

8 8 3 8 2 3 1 4 2 3 1 2 1

13 132 2 3 1 1 4

12 2 3 1 4 1 7 14

x x x x x x x x x

xx x

x x x x

Vy h phng trnh ban u c nghim : 3 13 3 13 7 1 7 1, ; ; ;4 4 4 4

x y

www.MATHVN.com



2

2

1 1,

2 1 1 0

x y x x x yx y

x x y y x

Li gii. iu kin : 1 ; 1 0x x y x

t 21 0 1t x x t khi phng trnh mt tr thnh :

2 2 2 2 2 2

22

2 2

1 1 1 1

1 10 0

1 1 1 1

t t y t t y t t y t t y

t t y t y ty t y t y t y t

t t y t t t y t

T phng trnh hai chng ta c :

2

2 21 1 1 0 0 0;1 0x y y x y y y y t

Do suy ra c : 21 1 1 0y t t t y t hay ni cch khc t phng trnh mt ta c : 1y t y x th xung phng trnh hai th :

2 32

1 0 1 0 5 5 5 1, 1, 0 ; ,

2 22 1 01 0

y x y xx y

y yy y y y

Do vy h phng trnh c nghim k trn


3 4 3 2 2,

5 2 4 0

y y x x xx y

x y x y y

Li gii. iu kin : ; 2x y x

t 2 20

a x ya b y

b x y

khi phng trnh hai tr thnh :

2 25 4 0 1 5 4

1 1 4 4 4

a b a b a b b b

a b b b a b x y x y

Mt khc , xt phng trnh mt chng ta c :

3

3 23

33

2 4 2 3 2 2

2 3 2 4 2 2

2 1 2 1 2 1

y y x x x

y y x x x

y y x x y x

Do h phng trnh ban u tr thnh :

2 2

22 2 2 2

4 2 2 2 2 1 2 1 2

1 2 2 1 0 2 1 0

2 31 3 3 1 3 3

22 1 02 1 0 2 1 0

x y x y x y x y y y y y

y x x y x y

y xy y y y y y y y

yx yx y x y

Kt hp vi iu kin , h phng trnh c nghim duy nht , 3,2x y

Bi ton 21. Gii h phng trnh : 2 21 2

,4 9 16 9 7 9

x y x x yx y

x y xy x y


www.MATHVN.com


t 2 2 11

a x ya b x

b y

khi chng ta c : 2 21 1 2pt a b a b

Vi iu ta t th 2 2 2a b xy y y x mt khc t phng trnh hai ta c :

2

2 2 2 2

2 2

2 2

4 16 16 9 4 2 9

2 4 3 2 2 2 3

2 4 3 0 2 2 2 3 0

x x xy y y x x a b

x ab a b ab

x ab a b ab

Nh vy h phng trnh cho tr thnh :

2 2 2 22 2 2 2

1 2 1 2

2 2 2 3 2 2 2 3 0

a b a b a b a bor

a b ab a b ab

Gii hai h trn bng phng php n ph cho ta nghim ca h ban u l : , 2,2 ; 2,1x y


2 3

2

8 9 12 6 1,

2 10 6 12 2

y x xy xx y

x y x y y x

Li gii. iu kin : 22 ; 0 ; 8 9x y y x

X l phng trnh hai ta c :

22 2

2 2 2 22 2

22

2 10 6 12 2 2 10 6 12 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 0

2 2 0 2 2 0 2 0

x y x y y x x y x y x y

x y x y x y x y x y

x y x y x y x y y x

Vi 2y x th nn phng trnh mt ta c :

32 24 13 4 12 1 2 4x x x x x y S d phng trnh cui dng phng php t n ph ta s gii quyt d dng. Do h phng

trnh ban u c nghim duy nht , 2, 4x y

Bi ton 23. Gii h phng trnh : 2 21 1 1

,16 16 12 20

x y y xx y

x y x y xy

Li gii. iu kin : , 1x y

t

2

2

1 0 1

11 0

a x x a

y bb y

khi phng trnh mt tr thnh :

2 21 1 1 1 1 1a b b a ab a b a b a b ab Xt phng trnh hai :

2 2

2 2 16 16 12 20 2 16 1 16 2 16 1x y x y xy xy x y xy xy xy x y

Mt khc : 2 2 2 21 1 16 1 16a b x y xy x y a b nn ta c :

2

2 2 2 22 16 2 4 1 1 2 4xy a b xy ab a b ab

Cui cng ta c h phng trnh :

2 2 2 2 4 1 0, 1 , 1,2

1, 01 1 , 2,1

a b a b ab a b x y

a ba b ab x y

Vy h phng trnh c hai nghim k trn

www.MATHVN.com



2 2 3 3 2

2 2 2 2 2 2

2 4 2 1 7,

x y x y x y xy x y xx y

x y x y xy yx

Li gii. iu kin : 2 2 ; 0x y xy y x T phng trnh mt ta c :

2 2 2 2 3 3 2

2 2 2 2 3 3

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 4 2 7

2 2 0

2 2 0

2 2 0

2 0

2 0

00

1

x y x y x y xy x y x

x y x y x y xy x y

x y x y x y x y y x

x y x y x y y x

x y x y y x y x

x y y x x y y x

x yx y y x x y y x

x y

TH1. Vi 0x y th xung phng trnh hai ta c :

2 30

2 2 1 0 , 0, 0 ; 1, 11

xx x x x x y

x

TH2. Vi 1y x th xung phng trnh hai ta c :

2 22 1 2 2 1x x x x x ptvn Phng trnh trn d dng chng minh v nghim bng phng php bnh phng hai ln do h phng trnh cho c hai nghim k trn


2 2

7 7 8 2,

2 1 2 1 2 1

x y x y x y xy x yx y

y x x x y


Phng trnh mt cho tr thnh :

7 7

8 2 6 6 8 2x y y x x y y x y x

y x y x x yy x y x x y

t 2 2; 1x y x y

a b a by x

do ta c :

2 2

2 2

1 2 1

6 8 2 1 2

a b a b x y x ya b x y

y xab a b a b ab a b

Vi x y v 0 1x th xung phng trnh hai ta c :

22 2 2

2 2 22

2

2 2

2 12 1 2 1 2 1 2 1

2 22 1 2 5 2 5

2 1 2 22 2 2 22 1 2

2 5 2 2 1 0 6 1

x xx x x x x x x

xx x x x x x

x xx xx x

x x x x x x y

Vy nn h phng trnh c nghim duy nht , 6 1, 6 1x y

www.MATHVN.com



2 2

2 2

1 1 1,

3

x x x y y yx y

x y

Li gii. iu kin : ,x y Trc ht 1x nhn xt khng l nghim ca h phng trnh , do ta c :

2 2 2 21 1 1 1 1 1x x x y y y x y y y x x x

Chia c hai v ca phng trnh cho 1x ta c : 2

2 111 1

x x xy y y

x x

R rng n y s xy ra hai tnh hung :

a) Nu 1 0x chng ta c : 2

2 1 11 1 1

x x xy y y

x x x

n y xt hm s 2 1f t t t t l hm s n iu trn v 1

xf y f

x

suy ra

1 0x y x kt hp vi phng trnh hai th :

2 2

1 11 0 1 5 1 52 21 01 11 5 1 53

2 2

x x yx y x

x yx y

b) Vi trng hp 1 0x ta cng s khng nh c 1x y x

Tm li t phng trnh mt chng ta c : 1

1 0

x

y x x

do h phng trnh ban u c hai

nghim 1 1 1 1, 1 5 ; 1 5 ; 1 5 ; 1 52 2 2 2x y


2 2 2 2

2

2 2 4 3,

1 2 1 1

xy y x x yx y

y x y y x

Li gii. iu kin : 2 24 3 ; 1 0x y x

Phng trnh hai ca h phng trnh c vit li thnh :

1 11 1 1 1 1 1 11 1 1y x f y f x y x

y x

S d c iu trn l ta i xt hm s 1f t tt

l hm s ng bin trn tp xc nh ca n.

Vi 1y x th vo phng trnh mt chng ta c :

2

2 2

2 22 2

3 2

1 2 2 4 1

2 2 4 1

3 2

2 2 4 1

3 20

6 16 16 0

x x x x x

x x x x x

x

x x x x x

xx

x x x

www.MATHVN.com


Do h phng trnh ban u c nghim duy nht , 0,1x y


22 2 2

3 3 2

4 12 3 4 2 3 2

,2 2

2 3 22 1

xx x x y y

x x yx x x

yx

Li gii. iu kin : 1 1 3

0 ; ;2 2 2

x x y

Vi iu kin 0x th phng trnh mt tr thnh :

22 2 2

2 3

2 3

33

4 12 3 4 2 3 2

3 4 12 4 2 3 2

3 3 1 11 1 1 3 2 3 2

1 11 1 3 2 3 2

xx x x y y

x

y yxx x

y yx xx x

y yx x

t 1

1 ; 3 2a b yx

phng trnh c vit li thnh :

2

2

3 3 2 2

1 31 0

2 4

11 0 1 3 2

a b b

a a b b a b a ab b a b yx

Vi 1

2 3 2 1yx

th xung phng trnh hai chng ta c :

3 3 2

3 3 2

3 3

3 3 3

1 2 2 12 1 1 2 2

2 1

1 1 2 2 1 1 2 22 1 1 1 1 1 1 1

x x x xx x x x

x x x

x x x x x x x x

Lp lun tng t nh trn hoc xt hm s 3f t t t trn d dng cho ta : 3 2

31 2 1 2 5 1 3 5

1 1 1 12 4

x yx x x x

Kt hp vi iu kin suy ra 5 1 3 5, ,2 4

x y



1 1 2 2 1

,1 4 22 2

1

x y xy xy y x

x yxxy x

Li gii. iu kin : 1 ; 0x y

Phng trnh mt chia c hai v cho 1y x ta c : 1 22 2 31 1

x x

yx x

Ly 2 3pt pt chng ta c :

www.MATHVN.com


1 4 2 1 22 2 2 2

1 1 11 4 2 1 2

41 1 1 14 4

4 4 0 41 1 1

x x xxy yx x x

x x xxy yx x x xx x

x x xx x x

T d dng tm c nghim ca h phng trnh ban u


2

2

4 1,

2 6 2 4 1

x y x yx y

x y x y y x

Li gii. iu kin : 0 ; 4 0x y

Ta s i x l phng trnh hai nh sau :

2

2 2

2 2

22

2 6 2 4 1

2 4 2 6 2 4 1 2 1

2 1 2 1 1 2 1

2 1 1 0 1 0

x y x y y x

x xy y x y y x y x

x y x y x y y x

x y x y y x

Vi 1 0y x thay vo phng trnh mt ta c :

2

2

2 22

2

2

3 2

1 2 3 3 1 0

3 1 3 13 1 0

1 2 31 1

3 1 1 01 2 31

3 1 0 3 52

x x x x

x x x x x x

x x x xx x

x x x x

x xx x x x

x x x

T suy ra h phng trnh c nghim 3 5 5 5 3 5 5 5, , ; ,2 2 2 2

x y

Phn II. Cc bi ton s dng phng php nh gi.


2 4 2 4 2 4

23 3 2

3 2 1 2,

1 1 2

x y x y x x yx y

x y x x x y

Li gii. iu kin : ,x y

Vit h phng trnh cho li thnh :

22 6 4 4

23 3 2

4 1 2

1 1 2

x y x x y

x y x x x y

Ly phng trnh hai tr cho phng trnh mt ta c :

2 222 3 2

2 22

2

4 1 1 1 0

4 1 1 1 11

x y x y x y

x yx y x y x y

x y

www.MATHVN.com


Th li , suy ra 1x y l nghim duy nht ca h phng trnh


22 3

2

4 1 4 8 1,

40 14 1

y x x xx y

x x y x

Li gii. iu kin : 14 1 ;x y

Chng ta c :

2

2 23 4 8 1 2 14 1 4 1 2 40x x y x y x x x

Mt khc theo bt ng thc AM GM ta c :

33

2

2 22 2

22 2

8 14 8 1 2 14 1 8 . .1 2 14 1

21 8 18 1 14 1

3 23

4 1 2 40 8 12

4 1 2 40

xx x y x x y x

xx y x

y x x x x

y x x x

Do du = xy ra khi v ch khi 1 3;8 2

x y y cng l nghim duy nht ca h ban u


2 2

1 1 2

1 21 2 1 2 ,2

1 2 1 29

xyx y x y

x x y y

Li gii. iu kin : 1

0 ,2

x y

Trc ht , ta i chng minh bt ng thc : 2 2

1 1 22 1

1 21 2 1 2xy

xyx y

Tht vy , theo bt ng thc Bunhiacopxki chng ta c :

2

2 22 2

2

2 2 2 2

1 1 1 1 42

1 21 2 1 21 2 1 2

2 2 11 1 20 0

1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2

xyx yx y

x y xy

xyx y x y xy

Du = t c khi v ch khi x y vy th nhim v cn li khng h kh khn vi phng trnh hai :

2 9 73 9 73 9 73 9 73 9 731 2 1 2 , , ; ,9 36 36 36 36 36

x x x x x x y

Do h phng trnh cho c hai nghim k trn

Bi ton 34. Gii h phng trnh : 2 2

2

2 2 4 2,

6 11 10 4 2 0

x x y yx y

x y x x

Li gii. iu kin : 2 24 2 0 ; 2 4 10 0y y x x

p dng bt ng thc AM GM chng ta c :

www.MATHVN.com


2 22

4 10 4 2 14 4 26 11 10 4 2

2 4

x x x xy x x x

Rt gn ta c : 2 24 6 11 14 4 2 10 2 15 0y x x x x x y Tip tc cho phng trnh mt chng ta c :

22 2 2 24 22 2 4 2 2 4 4 3 0

2

y yx x y y x x y y

Cng v vi v ca hai phng trnh trn ta c :

2 2

2 21

3 6 6 12 0 3 1 3 03

xx x y y x y

y

Kt hp vi iu kin suy ra h phng trnh c nghim duy nht k trn


2 2

22

3

,21

1 2 1

x xy y y xy

x yxy

x y


Nhn xt 0y khng l nghim ca h phng trnh nn chng ta c :

2

1 3 1x x x x

pt x yy y y y

Vi x y th vo phng trnh hai ta c :

22 2

11 2 1

xx

x x

Theo bt ng thc AM GM : 1 2

22

xx

v vy ta c :

22 2 25 12 1 9 1 9

1 15 2 8 2 88 51 2

1 9 1 92 1 2 1 1

2 8 2 8

xx xg x x x

x xx

g x g x x x

Du = xy ra khi 1x suy ra 1x y l nghim duy nht ca h phng trnh


2

2

2 244 1 0

,2 1

5 5 1 6

yx x y

x yy

x y x y

Li gii. iu kin : 21 ; 5 5 0 ; 2 1 ; 1x x y y x y

t 1 0t x , trc ht ta c nh gi sau :

22 2

2 2

2

2

2

2

2

49 492 0 4 4 4 4 4

2 1 2 1

2 1 0

2 1 4 492 1 4 49 5

2 1 0

2 1 4 49

t t t t t y yy y

y

y yy y y

y

y y

Ta vit phng trnh hai li thnh : 2 25 6t y y t , theo bt ng thc Bunhiacopxki ta c :

www.MATHVN.com


2

22 2 2 2 2 21 15 5 5 5 1 .6 36 5 6

55t y y t t y y t y t y y t

Du = t c khi v ch khi : 2 2 2 55 5

5 55

t xt y y t

y yy

l nghim duy nht

ca h phng trnh ban u

Bi ton 37. Gii h phng trnh : 2

2

45 3

,

4 3 8 5 5

x xx yx y

y x xy y

Li gii. iu kin : , 0x y S dng cc nh gi cho phng trnh mt th :

2 2 2 2

2

2 2 2

4 4 2 4 85 2 1 2 2 2

44

4 85 3 2 3 4 2 4 8

4

4 3 3 12 2 2 8 8 0 3 4 0 *

x x x x xx y x y x yx y x y

x x x x x y x x yx y x y

x xy x x y x xy x x xy x y

Phng trnh hai thun tin nh gi th a thnh : 25 5 4 3 8 0 **xy y y x

Ly * * * suy ra :

2

2 23 4 5 5 4 3 8 0 2 2 0 2 2x xy x y xy y y x x y x y

Vi iu kin bt ng thc xy ra th 2x y l nghim duy nht ca h phng trnh


2

2 2

4 4

2 2

7 11 2

2 ,

3 3

x x yx y x y

x x y

Li gii. iu kin : ,x y

p dng nh gi ca bt ng thc AM GM ta c :

22 2

4 4

4 4 22 2

1 2

2

x yx y

x y x y

Do t phng trnh mt ta c :

2 32 2 2 2 2 2 2 2

2 4 42 2

2 7 7 1 72 2 2 2

2 2 2x y x y x y x y

x yx y

Bnh phng phng trnh hai : 2 2 2 2 2 23 3

3 33 6 9 3 2

x xx x y

x y x x y x

Kt hp vi nh gi : 2

2 2 22 2 3 2 1 0 1x y x x x x

i chiu vi tt c iu kin du = xy ra suy ra 1x y l nghim duy nht ca h ban u


2

2 3

2 2

1 2 1,1

32

x y x xx y

x x y x x

Li gii. iu kin : , 0x y H phng trnh cho tng ng vi :

www.MATHVN.com


2 22 23 3

22 2 2 2

1 2 1 1 2 11

3 5 1 22

x y x x x y x x

x x y x x x x y x x

p dng bt ng thc AM GM chng ta c :

2 232 2 2 2

2 1 4 2 2 12.4 . 2 1 2 1 2 1

3 22 4 2 2 2 1 2 6 1 2 0

x x xx x x x x y

x x y x x x y

V t phng trnh hai ta c iu sau :

2

2 2 2 2 2 25 1 2 5 3 1 0x x y x x y x x x x y

Do vy 2

2 2 2 2 1 32. 5 3 1 2 6 1 2 0 2 1 0 .2 2

x x y x x y x x y l

nghim duy nht ca h phng trnh Bi ton 40. Gii h phng trnh :

2 2

2

2 4 2 34 1

,

1 3 2 5 2 3 3

x yx y

xy y x x y

x xy x y x x y x y

Li gii. iu kin : 0 ; 3 0x y Phng trnh mt ca h cho tng ng vi :

2 2

2 2 2 2

22 2

2 4 4 2 3

4 4 2 3 4 2 3

4 4 2 3 0

x xy y x y x x y y

xy y x xy x xy xy y

xy y x xy

Phng trnh hai c vit li thnh :

2

2

3 2 3 3 2 3

3 2 3 2 3 3 0

x x y x y x y x y

x y x x y x y x y

Kt hp hai iu trn suy ra , 4,1x y l nghim duy nht ca h phng trnh Phn III. Phn tch tng hai bi ton khi A v B nm 2014

Khi A.2014. Gii h phng trnh :

2

3

12 12 12,

8 1 2 1

x y y xx y

x x y

Li gii. Ni chung trn mng xut hin kh nhiu li gii cho bi ny nhng bi vit ny l ca ring ti nn ti s em nhng g m mnh phi i mt vi cu h ny trong phng thi. V hi vng n c ch cho cc bn khi c bi bit ny. Trc ht , khi nhn cu h ny ti phi mt ti 1,2 pht nh hng cn phi lm g. Cc bn cng vy , hy dnh vi pht nhp n. Vic quan trng u

tin l tm iu kin ca bi ton : 2 12 2 3 2 3 ; 1x x y mt cng vic nh nhng

cho ta 0,25 im u tin. Tip theo ta nn lm g, l quan st tng phng trnh v r rng phng trnh hai khng h c mi lin h g nn ti tm hng phng trnh mt. y l mt

phng trnh i xng l v con s 12 ng thi cng nh hai bin ,x y u c s xut hin 2,x x v

,y y nn nu t z y th phng trnh mt tr thnh : 2 212 12 12x z z x

www.MATHVN.com


n y th ti ngh ngay n tng ca bt ng thc AM GM m khng quan tm iu g khc c bit l iu kin dng bt ng thc :

2 22

2 2 2 22 2

2 22

1212 12 122 12 12 12

12 2 212

2

x zx z x z z x

x z z xz x

z x

Du = s xy ra khi v ch khi : 2 2 212 12x z y x th xung phng trnh hai ta c :

3 28 1 2 10x x x n y li khai thc mt trong nhng k nng gii h phng trnh l nhm nghim. R rng iu ti ngh n lun l cn phi l mt s chnh phng cng l kinh nghim i thi. Ta cn x l

sao cho 210 x l mt s chnh phng. Vy th c th xy ra hai trng hp sau : 2 21 ; 9x x

v th li gi tr ca bin s thy 3x tha mn nn ti s ngh n vic lin hp nh sau :

3 2 3 2

2

2

2

2

8 1 2 10 8 3 2 10 1

2 3 33 3 1 0

10 12 6

3 3 1 010 1

x x x x x x

x xx x x

xx

x x xx

Nn ci phng trnh cn li s v nghim l v : 2 3 1 0x x nhng suy ra n v nghim ch

t ti cn iu kin 3 0x nhng bc u tin ti lm ch c : 2 3 0x nn bi lm ca ti n y c vn . Vn ch iu kin cht ca x ti kim tra li v du hi c t ra cho ti l : Cha c 0x th lm sao m c th p dng bt ng thc AM GM v nu chng minh c 0x th ti gn nh hon thnh bi ton. Tht vy :

2 212 12 12 12 12 12 0 0y y x x y y x x Vy l mi chuyn coi nh xong. Trnh by vo giy thi cn thn. Ti c im trn vn cho bi ton ny

Khi B.2014 . Gii h phng trnh :

2

1 2 1,

2 3 6 1 2 2 4 5 3

y x y x x y yx y

y x y x y x y

Li gii. Trc ht , ta nn tm iu kin ca bi ton l : 0 ; 2 ; 4 5 3x y x y x y .

Tip tc ta s i phn tch bi ton. Quan st tng phng trnh mt v nhn thy s c bit phng trnh hai. N khng qu rc ri nh phng trnh hai nn ti hi vng s tm ra c iu g

. phng trnh mt xut hin hai cn thc ;x y y nn tng ca ti s l a

nhng ci phc tp v n gin qua php n ph ph cn thc. t a x y

b y

v mt im ng

ch y l hng t x ng mt mnh nn ti s a mi lin h gia ,a b v x th tht tnh c ta

c c : 2 2a b x do phng trnh mt c vit li thnh :

2 2 2 21 2 1b a a b a b Oh, mt phng trnh hai n ,a b c s i xng r rng nn ta s tip tc i tm nhn t hay chnh l khm ph mi quan h gia ,a b . lm cng vic ny , ti ngh rng kiu g n cng c dng : b ma n nn vi mi a b do s i tm c ,m n . u tin n gin chn 1a hay 1b th tht tnh c y ti li c iu lun ng. Ak ra phng trnh kia s c vit di dng :

1 1 , 0a b f a b nhng ti cha bit ,f a b nh th no c. V cng da phng trnh

www.MATHVN.com


kho lo nhm li c nh sau : 1 1 2 0a b a b . V , 0a b nn 2 0a b s v nghim v ch cn hai trng hp sau : TH1. Ta nn i t ci n gin trc l vi 1 1b y th xung phng trnh hai. D dng

thy , 3,1x y l nghim ca h phng trnh

TH2. Vi 1 1 1a x y x y th xung phng trnh hai ta c : 22 3 2 1y y y

n y mi chuyn phc tp hn rt nhiu v khng c nghim p. Thc s l mt im nhn ca bi ton ny. Bi ti i thi khng th hon thnh c n , ng bun. Nu c lm li ti s lm nh sau : trc ht vic c my tnh cm tay ti s dng chc nng SHIFT SOLVE th ra nghim kh xu. Tht th v khi ti gp cu chuyn nh th ny. l ra phng thi v v ni tr ti c hi ngi xem x l on ny th no. V ti bt ng khi chng kin cu tr li l khi bm

my tnh ra s quen thuc : 1 5 1 0,61803...2y v hm s 22 3 2 1f y y y y

ng bin trn 0;1 nn n c nghim duy nht. iu ny th chng ai bo sai nhng ti xp n vo

dng may mn. Nhng chng ta cn tm mt cch t nhin cho n. l : h s trc cc hng t c iu c bit 2,3,2,1 mt khc 2 + 1 = 3 nn nu tch 3 2y y y th ta s nhm c nh sau :

2 2

22 2

2 3 2 1 2 1 1 0

12 1 0 1 0

1

y y y y y y y

y yy y y y

y y

Bi ton n y coi nh kt thc Li kt : Ti liu trn l ti vit tng mt ngi con gi tn Nguyn Th Thu Hin , ngi con gi c ngha quan trng vi cuc i ca ti cng thay cho li chc c y c th hon thnh c m ca ti cng nh ca c y l thi I HC S PHM NM 2015 . Bn cnh hi vng cc bn c mt ti liu va trang b cho mnh nhiu kin thc. Ni chung n khng th trnh khi sai xt nn nu sai u hi vng bn c thng cm v c gng khc phc gip tc gi. Cho thn i !!!

Th Trn Cn Hi Hu Nam nh , 08/09/2014 Tc gi : Nguyn Th Duy

www.MATHVN.com


42_hpt_on_dh

Documents