Physics 1 - ฟสิกิส ์1
บทท่ี 10 การหมุนบทที่ผ่านมาจะกล่าวถึงจลศาสตร ์ แรง พลังงาน และโมเมนตัม ซึ่งจะอธบิายเกี่ยวกับกฎ
พื้นฐานของการเคล่ือนที่ และกฎการอนุรกัษ์ ซึ่งจะพจิารณาเฉพาะวตัถทุี่เคล่ือนที่ในแนวเสน้ตรงเท่านัน้ แต่ในนความเป็นจรงิการหมุนก็เป็นการเคล่ือนที่อีกแบบหนึ่ง ซึ่งในบทน้ีและบทต่อไปจะอธบิายเกี่ยวกับการหมุนเน้ือหาประกอบด้วย10.1 นิยามการหมุน 10.2 จลศาสตรก์ารหมุน10.3 กฎการหมุน 10.4 ทฤษฎีแกนตัง้ฉากและทฤษฎีแกนขนาน10.5 รศัมไีจเรชัน่ 10.6 การประยุกต์ใชก้ฎการหมุน10.7 พลังงานจลน์ในการหมุน
10.1 นิยาม การหมุน
ก. ข.
รูปที่ 10.1
เปรยีบเทียบความคล้ายคลึงระหวา่งการเคล่ือนที่เชงิเสน้กับการเคล่ือนที่เชงิมุม โดยพจิารณาดังรูปที่ 10.1 ก. และ ข.
การเคลื่อนท่ีเชงิเสน้ การเคลื่อนท่ีเชงิมุมตำาแหน่ง : จะบอกด้วยระยะทางซึ่งวดัจากแกนอ้างอิงมุมฉากถึงตำาแหน่งที่วตัถอุยู่
มุม : จะบอกด้วยมุมซึ่งวดัจากแกนอ้างอิงมุมฉากถึงตำาแหน่งที่วตัถอุยู่
การกระจดัชงิเสน้ : การเปล่ียนแปลงตำาแหน่ง การกระจดัเชงิมุม : การเปล่ียนแปลงมุมความเรว็ : การกระจดัที่เปล่ียนไป ความเรว็เชงิมุม : การกระจดัเชงิมุมที่เปล่ียนไปความเรง่ : การเปล่ียนแปลงความเรว็ ความเรง่เชงิมุม : การเปล่ียนแปลงความเรว็
เชงิมุม
เปรยีบเทียบความสมัพนัธร์ะหวา่งการเคล่ือนที่เชงิเสน้กับการเคล่ือนที่เชงิมุมในรูปของสมการทางคณิตศาสตร์
การเคลื่อนท่ีเชงิเสน้ การเคลื่อนท่ีเชงิมุม ความสมัพนัธ์ตำาแหน่ง : มุม : การกระจดั : การกระจดัเชงิมุม : ความเรว็ : ความเรว็เชงิมุม :
ความเรง่ : ความเรง่เชงิมุม :
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ
107
Physics 1 - ฟสิกิส ์1
ตัวอยา่งท่ี 10.1 แผ่น CD มเีสน้ผ่าศูนยก์ลาง วางอยูบ่นแป้นหมุนซึ่งอยูน่ิ่ง เมื่อกดให้สวทิซท์ำาใหแ้ผ่น CD หมุนด้วยความเรว็ 200 rpm ภายในเวลา
จงหาก . ความเรง่เชงิมุมเฉล่ียข . ถ้าแผ่น CD มคีวามเรว็ลดลงเหลือ 100 rpm จง
หาความเรง่เชงิเสน้
วธิทีำา เปล่ียนความเรว็เชงิมุมจากหน่วย rpm (รอบต่อนาที) ใหเ้ป็นหน่วย rad/s
====
ก. จากสมการ
= = =
==
ข. จากความสมัพนัธร์ะหวา่งความเรง่เชงิมุมกับความเรง่ในแนวเสน้สมัผัส= ==
ค. จากความสมัพนัธร์ะหวา่งความเรว็เชงิมุมกับความเรง่เขา้สูศู่นยก์ลาง= ==
พจิารณารูปที่ 10.2 จะได้ความเรง่เชงิเสน้ของแผ่น CD คือ=
=
=
รูปที่ 10.2
10.2 จลศาสตรก์ารหมุน
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ
108
Physics 1 - ฟสิกิส ์1
การเคล่ือนที่เชงิเสน้ของวตัถดุ้วยความเรง่ คงที่ สมการเหล่าน้ีได้มาจากการ integrate ชุดสมการจลศาสตรด์ังนี้
เมื่อพจิารณาสญัลักษณ์ที่ใชแ้ทนการเคล่ือนที่เชงิเสน้และเชงิมุมเชน่ กับ ; กับ เป็นต้น มาเปรยีบเทียบกับสมการการเคล่ือนที่เชงิเสน้เมื่อ คงที่ เราจะได้สมการการเคล่ือนที่เชงิมุมของวตัถเุมื่อ คงที่ดังนี้
การใชส้มการการเคล่ือนที่เชงิเสน้ใชไ้ด้เมื่อ คงที่ ในทำานองเดียวกับสมการการหมุนใชไ้ด้เมื่อ คงที่
ตัวอยา่งท่ี 10.2 จากตัวอยา่งที่ 10.1 จงหาก. แผ่น CD หมุนได้กี่รอบจงึจะหยุดหมุนข. ระยะทางเชงิเสน้ที่แผ่น CD เคล่ือนที่ได้ก่อนที่จะหยุดหมุน
วธิทีำา ก. จาก =จากตัวอยา่งที่ 10.1 เมื่อ ; ; ; ;
;
====
ข. ==
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ
109
Physics 1 - ฟสิกิส ์1
=
10.3 การหมุนกฎการเคล่ือนที่ของนิวตันใชไ้ด้ดีกับการเคล่ือนที่ของวตัถ ุ ทำานองเดียวกันเราใชก้ฎการ
เคล่ือนที่ของนิวตันกับการหมุนด้วยกฎขอ้ท่ีหน่ึงของนิวตันสำาหรบัการหมุนวตัถทุกุชนิดจะเคล่ือนที่ด้วยความเรว็เชงิมุมคงที่ นอกจากม ีแรง ทอรด์มากระทำาต่อวตัถนัุน้ล้อรถจกัรยานจะไมส่ามารถเคล่ือนที่ได้นอกจากมแีรงภายนอกมากระทำา บางแรงทำาใหล้้อ
หมุนแต่บางแรงไมม่ผีลต่อการหมุนทอรค์คืออะไรและต่างจากแรงอยา่งไร
รูปที่ 10.3 รูปที่ 10.4
พจิารณารูปที่ 10.3 จะสงัเกตเุหน็วา่แนวแรงที่กระทำาต่อไมเ้มตรผ่านจุดหมุน (pivot) กรณีนี้จะไมเ่กิดการหมุน แต่ถ้าแนวแรงที่กระทำาต่อไมเ้มตรไมผ่่านจุดหมุน กรณีนี้จะเกิดการหมุน นอกจากน้ีแรงที่กระทำาต่อไมเ้มตรสามารถแยกออกเป็นองค์ประกอบยอ่ยเป็นแรงที่ตัง้ฉากกับไม้เมตรและแรงที่ชนานกับไมเ้มตรดังรูปที่ 10.4 แรงที่มผีลต่อการหมุนคือแรงที่ตัง้ฉากกับไมเ้มตรเท่านัน้ นัน่คือ
= ===
เมื่อ คือผลคณูระหวา่งระยะทางที่ลากจากจุดหมุนมาตัง้ฉาก (แขนหมุน) กับแนวแรง หรอืผลคณูระหวา่งแรงที่ตัง้ฉากกับแขนหมุน ดังรูปที่ 10.5
ทอรค์เมื่อเขยีนอยูใ่นรูปของเวกเตอร ์ หรอื cross product =
การหาทิศของทอรค์จะกล่าวในบทต่อไป
รูปที่ 10.5
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ
110
Physics 1 - ฟสิกิส ์1
ตัวอยา่งท่ี 10.3 ออกแรงในแนวด่ิง เพื่อเปิดฝากระป๋องสโีดยออกแรงหา่งจากจุดหมุนเป็นระยะ ดังรูปที่ 10.6 จงหา
ก. ขนาดของทอรค์ข. แรง ที่ต้องใชเ้ปิดฝากระป๋องเมื่ออกแรงทำามุม กับแนวดิ่ง
วธิทีำา ก. เนื่องจากแรงที่ออกตัง้ฉากกับแขนหมุนจะได้วา่=
ขนาดของทอรค์ ===
ข.เมื่อแรง ไมต่ัง้ฉากกับแขนหมุน เมื่อแยกองค์ประกอบของแรงจะมเีพยีงแรงเดียวเท่านัน้ที่มีผลต่อการหมุน แรงนัน่คือ จะได้วา่
==
==
กฎขอ้สองของนิวตันสำาหรบัการหมุนความเรง่เชงิมุมของวตัถจุะเปล่ียนแปลงตามค่าทอรค์ แต่ไมข่ึ้นกับโมเมนต์ความเฉ่ือยของ
วตัถุจาก =
= เมื่อ คือโมเมนต์ความเฉ่ือยกฎขอ้สองสำาหรบัการหมุน
=โมเมนต์ความเฉ่ือยคืออะไร ใชท้ำาอะไรมผีลอยา่งไร และจะคำานวณอยา่งไร
วตัถรุูปทรงใด ๆ แขวนอยูด่ังรูปที่ 10.7 โดยมคีวามเรง่เชงิมุม พจิารณามวลก้อนเล็ก ๆ ถกูกระทำาด้วยแรง ซึ่งตัง้ฉากกับแขนหมุนทำาให ้ มคีวามเรง่เชงิมุม ด้วย อาศัยสมการ
= จะได้วา่=
แต่ คือแรงในแนวเสน้สมัผัส แทนด้วย จะได้ความเรง่ในแนวเสน้สมัผัส ด้วย
รูปที่ 10.7= =====
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ
111
Physics 1 - ฟสิกิส ์1
เปรยีบเทียบสมการที่ได้กับกฎขอ้สองของการหมุนเมื่อ ที่ได้คือผลรวมของทอรค์ทัง้หมดที่เกิดจากมวลยอ่ย ๆ จะได้ค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยของวตัถรูุปทรงใด ๆ คือ
=ตามปกติความเฉ่ือยต่อการเล่ือนตำาแหน่งของวตัถขุึ้นอยูก่ับมวล แต่ความเฉ่ือยต่อการ
หมุน (โมเมนต์ความเฉ่ือย) จะไมข่ึ้นกับมวลแต่ขึ้นอยูก่ับรูปทรงของวตัถุ
ตัวอยา่งท่ี 10.4 ดรมัเบลประกอบด้วยมวลก้อนละ เชื่อมด้วยมวลเบายาว หมุนรอบแกนซึ่งตัง้ฉากกับระนาบของกระดาษดังรูปที่ 10.8 จงหาขนาดของทอรค์ที่ทำาใหด้รมัเบลหมุนด้วยความเรว็ และหยุดภายในเวลา
วธิทีำา ถือวา่มวล ทัง้สองมขีนาดเล็กเมื่อเทียบกับระยะทางระหวา่งมวลทัง้สอง ดังนัน้ค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยจากเง่ือนไขการอินทิเกรตก็คือผลรวมของมวลทัง้หมด
= =รูปที่ 10.8 แทนค่าต่าง ๆ ในสมการ
===
แต่ = =
=
=จากกฎขอ้สองของการหมุน
====
ในกรณีที่วตัถมุรีูปทรง รศัมใีนการหมุนวดัจากจุดหมุนไปยงัมวลสว่นเล็ก ๆ มคี่าไมม่ากนักเมื่อเทียบกับขนาดของวตัถ ุ เราสมารถคำานวณหาโมเมนต์ความเฉ่ือยได้โดยการอินทิเกรต
ตัวอยา่งท่ี 10.5 ก. จงหาโมเมนต์ความเฉ่ือยของวงแหวนบางสมำ่าเสมอรศัม ี มวล รอบแกนที่ผ่านจุดศูนยก์ลางมวลดังรูปที่ 10.9 ข. จงหาโมเมนต์ความเฉ่ือยของแผ่นจานบางสมำ่าเสมอรศัม ี มวล รอบแกนที่ผ่านจุดศูนยก์ลางมวลดังรูปที่ 10.10 วธิทีำา ก. แบง่วงแหวนออกเป็นสว่นเล็ก ๆ มมีวล หา่งจากแกนหมุนรศัม ี โมเมนต์ความเฉ่ือยของมวล คือ
==
==
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ
112
Physics 1 - ฟสิกิส ์1
เมื่อผลรวมทัง้หมดของมวล ที่แบง่เป็นสว่นเล็ก ๆ มคี่าเท่ากับ ดังนัน้จะได้วา่โมเมนต์ความเฉ่ือย
ของวงแหวนบางรอบจุดศูนยก์ลางมวลคือ=
รูปที่ 10.10ข. ในกรณีเป็นแผ่นจานเมื่อแบง่แผ่นจานออกเป็นวงแหวนเล็ก ๆ รศัม ี หนา มมีวล
จะสงัเกตเุหน็วา่ ค่าขอบของวงแหวนมค่ีาไมค่งที่จะเปล่ียนตามระยะ ดังนัน้ค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยของแผ่นจานเกิดจากโมเมนต์ความเฉ่ือยสว่นเล็ก ๆ ของวงแหวน ดังรูปที่ 10.10
เมื่อนำามวล หนา มาคล่ี
รูปที่ 10.10
=เมื่อรวมวงแหวนสว่นเล็ก ๆ ทัง้หมดก็จะกลายเป็นแผ่นบาง
=
=
แต่มวลสว่นเล็ก ขึ้นอยูร่ศัม ี สมมติเป็นแผ่นจานบางสมำ่าเสมอดังนัน้การกระจายของมวลจะขึ้นอยูก่ับพื้นที่
= เนื่องจาก ขึ้นอยูก่ับพื้นที่
=
หรอืคำานวณหา จาก = =แต่ คือความหนาแน่นต่อพื้นที่จะได้ จากบทที่ 8
===
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ
113
Physics 1 - ฟสิกิส ์1
แทนค่า ลงในสมการ
=
=
=
=โมเมนต์ความเฉ่ือยของแผ่นจานกลมรอบจุดศูนยก์ลางคือ
=จากค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยที่ได้ถ้าปล่อยวงแหวนกับแผ่นจานใหก้ลิ้งลงจากพื้นเอียงอันไหน
จะถึงปลายพื้นเอียงก่อนค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยของวตัถขุึ้นอยูก่ับรูปรา่งของวตัถแุสดงดังตารางที่ 10.1
ตารางที่ 10.1
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ
114
Physics 1 - ฟสิกิส ์1
10.4 ทฤษฎีแกนตั้งฉากและทฤษฎีแกนขนานในบางกรณีการคำานวณค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยมคีวามยุง่ยากซบัซอ้นเราสามารถทำาใหง่้ายขึ้น
โดยใชท้ฤษฎีแกนตัง้ฉาก หรอืทฤษฎีแกนขนานเขา้มาชว่ย
10.4.1 ทฤษฎีแกนตั้งฉาก เป็นทฤษฎีที่ใชใ้นการคำานวณหาค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยของวตัถแุขง็เกรง็ที่มลัีกษณะเป็นแผ่นบาง ๆ พจิารณาวตัถหุมุนรอบแกน , และ แสดงดังรูปที่ 10.11
รูปที่ 10.11
จาก =เมื่อ เป็นระยะจาก ถึงแกน และ เน่ืองจากเป็นวตัถแุผ่นบางจะได้
=แต่
===
ตัวอยา่งท่ี 10.6 จงหาค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยของแผ่นจานบางสมำ่าเสมอมวล รศัม ี รอบแกน และ ดังรูปที่ 10.12
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ
115
Physics 1 - ฟสิกิส ์1
รูปที่ 10.12
วธิทีำา อาศัยแกน , และ ตามรูป ใหร้ะนาบของวงกลมอยูใ่นระนาบ และจุดศูนยก์ลางอยูท่ี่จุด จะได้
=แต่ และ จะได้
=
=
และ =
นัน่คือ
10.4.2 ทฤษฎีแกนขนาน ค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยของวตัถโุดยทัว่ ๆ ไปเราจะทราบค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยของวตัถรุอบแกนที่ผ่านจุดศูนยก์ลางของมวลของวตัถ ุ ถ้าต้องการจะหาค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยของวตัถนัุน้รอบแกนหมุนใด ๆ ซึ่งขนานกับแกนหมุนที่ผ่านจุดศูนยก์ลางมวล และหา่งออกมาเท่ากับ ดังรูปที่ 10.13
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ
116
Physics 1 - ฟสิกิส ์1
รูปที่ 10.13
=เมื่อ
คือโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนใด ๆ ที่ขนานกับแกนที่ผ่านจุดศูนยก์ลางมวล คือโมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดศูนยก์ลางมวล คือมวลของวตัถนัุน้
เป็นระยะหา่งระหวา่งแกนทัง้สอง
ตัวอยา่งท่ี 10.7 จงใชท้ฤษฎีแกนขนานหาค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยของลวดเสน้เล็ก มวล ยาว ซึ่งหมุนรอบจุด ที่อยูป่ลายลวดดังรูปที่ 10.4
รูปที่ 10.4
วธิทีำา =
=
=
=
=
10.5 รศัมไีจเรชัน่จากตัวอยา่งที่ผ่านมา เราจะพบวา่วตัถทุี่มรูีปรา่งต่างๆ กันยอ่มมสีมการโมเมนต์ความเฉ่ือย
ต่างกัน ดังนัน้เพื่อความสะดวกในการคำานวณ จงึได้มกีารกำาหนดสมการทัว่ไปสำาหรบัโมเมนต์ของความเฉ่ือยของวตัถทุกุรูปรา่งขึ้นมาเมื่อ
=เมื่อ คือโมเมนต์ความเฉื่อยของวตัถทุกุรูปรา่ง
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ
117
Physics 1 - ฟสิกิส ์1
คือมวลของวตัถนัุน่ คือรศัมไีจเรชัน่
10.6 การประยุกต์ใชก้ฎการหมุนตัวอยา่งท่ี 10.8 แขวนมวล = ที่ปลายเชอืกเบาโดยปลายอีกขา้งหน่ึงคล้องผ่านรอกมวล = มเีสน้ผ่าศูนยก์ลาง แสดงดังรูปที่ จงหาความเรง่ของมวลที่แขวน
รูปที่ 10.14
วธิทีำา เพื่อความสะดวกในการคำานวณใหแ้ยกคิดที่ละสว่นดังนี้พจิารณาแรงที่กระทำาบนมวลที่แขวน เมื่อมวลเคล่ือนที่ในแนวเสน้ตรง อาศัยกฎการ
เคล่ือนที่ขอ้สองของนิวตัน ตามรูปที่ 10.15=== (1)
กำาหนดใหท้ิศลงมเีครื่องหมายเป็นบวก
รูปที่ 10.15 พจิารณาแรงที่กระทำาต่อรอก ซึ่งประกอบด้วยแรง ; และ ดังรูปที่ 10.16 แรงที่ทำาใหเ้กิดทอรค์และทำาใหร้อกหมุนคือแรง เท่านัน้ กำาหนดใหท้ิศหมุนตามเขม็นาฬิกาเป็นบวก
จากกฎขอ้สองของการหมุน==
=แทนค่า ลงในสมการที่ 1 จะได้
= (2) รูปที่ 10.16
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ
118
Physics 1 - ฟสิกิส ์1
เมื่อ คือโมเมนต์ความเฉ่ือยของแผ่นจานกลมกลมรอบจุดศูนยก์ลางมวลจะได้
เมื่อความเรง่ คือความเรง่ที่เกิดเนื่องจากจากแรง เป็นความเรง่ที่ขอบ
ที่ขอบของแผ่นจานกลมดังนัน้ แต่ แทนค่าต่างๆ ลงในสมการที่ (2)
=
=
=
=
แทนค่าต่าง ๆ เพื่อหาค่า
=
=
ตัวอยา่งท่ี 10.9 วตัถทุรงกลมมวล รศัม ี มโีมเมนต์ความเฉื่อย กล้ิงลงมาตามพื้นเอียงสงู จงหาความเรง่และความเรว็เชงิเสน้ที่ปลายพื้นเอียงวธิทีำา
รูปที่ 10.17
เขยีน free body diagram แสดงแรงที่กระทำากับวตัถแุสดงดังรูปที่ 10.17 จะสงัเกตเหน็วา่แรงที่ทำาใหห้มุนคือแรงเสยีดทาน จากกฎการเคล่ือนที่ขอ้ 2 ของนิวตัน เมื่อแยกพจิารณาในแต่ละสว่นพจิาณาการเลื่อนตำาแหน่งแกน
=== (1)
(เมื่อแรง เป็นแรงที่ทำาใหว้ตัถทุรงกลมหมุนหมุน)แกน =
== (2)
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ
119
Physics 1 - ฟสิกิส ์1
พจิารณาการหมุน=== (3)
แทนสมการที่ (3) ลงในสมการที่ (1)=
แต่ คือความเรง่ในแนวเสน้สมัผัส อาศัยความสมัพนัธร์ะหวา่งความเรง่เชงิเสน้ในแนวเสน้สมัผัสกับความเรง่เชงิมุมจะได้
พจิารณาการเล่ือนตำาแหน่งของวตัถทุรงกลมอยา่งเดียวแสดงดังรูปที่ 10.17 ก. และการหมุนอยา่งเดียวแสดงดังรูปที่ 10.17 ข. เพื่อใชป้ระกอบการรพจิารณาการเคล่ือนที่ของวตัถุวา่เป็นการเคล่ือนที่ลักษณะใด ถ้าเคล่ือนที่แบบกลิ้งเป็นการเคล่ือนรวมกันทัง้สองแบบ
ก. วตัถเุล่ือนตำาแหน่งอยา่งเดียว ข. วตัถหุมุนอยา่งเดียว
รูปที่ 10.17 แสดงการเคล่ือนที่ของทรงกลม
=
==
=
จากสมการที่ได้ถ้าวตัถไุมม่กีารหมุน จะได้คำาตอบของความเรง่คือ ซึ่งกล่าวมาแล้วจากขา้งต้น
เนื่องจากความเรง่ ที่ได้เป็นค่าคงที่ ดังนัน้เราสามารถคำานวณหาค่าความเรว็ของวตัถุทรงกลม จากโจทยค่์าต่าง ๆ ที่กำาหนดใหม้ดัีงน้ี
; ; ; (ต้องการหา)
;
จากค่าที่กำาหนดใหส้มการการเล่ือนตำาแหน่งที่ไมต่ิดตัวแปรเวลา คือ
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ
120
Physics 1 - ฟสิกิส ์1
=
=
=
=
นัน่คือถ้าวตัภไุมม่กีารหมุน คำาตอบของความเรว็คือ ตามที่ได้กล่าวมาแล้ว
สรุป ทอรค์จะอธบิายถึงการหมุนของวตัถ ุ สว่นแรงจะอธบิายถึงการเล่ือนตำาแหน่งของวตัถุ
10.7 พลังงานจลน์ในการหมุนจากบทที่ผ่าน ๆ มา หวัขอ้สดุท้ายที่จะกล่าวถึงคือกฎการอนุรกัษ์พลังงาน เน่ืองจากเมื่อใช้
พลังงานคำานวณจะทำาใหง่้ายและสะดวกกวา่การคำานวณเมื่อใชแ้รงและทอรค์ แต่ปัญหาที่เกิดขึ้นคือพลังงานจนล์มผีลต่อการหมุนอยา่งไร พจิารณาดังรูปที่ 10.18 เมื่อแบง่มวลออกเป็นสว่นเล็ก ๆ มคีวามเรว็ และอยูห่า่งจากจุดหมุน จากนิยามของพลังงานจลน์เชงิเสน้ของมวลเล็ก ๆ
=
รูปที่ 10.18
แต่ คือความเรว็ในแนวเสน้สมัผัส จะได้
=คิดทัง้หมด
=เมื่อสมการทางซา้ยมอืคือพลังงานจลน์ในการหมุนของวตัถทุัง้ก้อน สว่นสมการทางขวามอื
คือโมเมนต์ความเฉื่อยพลังงานจลน์ในการหมุน
=
จะสงัเกตเุหน็วา่พลังงานจลน์เชงิเสน้จะมคี่าเท่ากับครึง่หน่ึงของผลคณูระหวา่งความเฉ่ือย (มวล) กับความเรว็กำาลังสอง ในทำานองเดียวกันพลังงานจลน์ในการหมุนจะมค่ีาเท่ากับครึง่หนึ่งของผลคณูระหวา่งโมเมนต์ความเฉ่ือยและความเรว็เชงิมุมยกกำาลังสอง
ตัวอยา่งท่ี 10.10 จากตัวอยา่งที่ 10.9 จงหาความเรง่และความเรว็เชงิเสน้เมื่อใชก้ฎการอนุรกัษ์พลังงาน
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ
121
Physics 1 - ฟสิกิส ์1
วธิทีำา
รูปที่ 10.19พจิารณารูปที่ 10.19 เมื่อวตัถกุล้ิงพลังงานจลน์ที่เกี่ยวขอ้งได้แก่พลังงานจลน์เชงิเสน้
(การเคล่ือนที่ของจุด cm) กับพลังงานจลน์ในการหมุน (วตัถหุมุนรอบจุด cm) จากกฎการอนุรกัษ์พลังงาน
==
=เมื่อวตัถกุล้ิงโดยไมม่กีารไถลความเรว็เชงิเสน้จะสมัพนัธก์ับความเรว็เชงิมุมดังน้ี
=
=
=
เมื่อคำานวณโดยการใชก้ฎการอนุรกัษ์พลังงานจะง่ายกวา่การคำานวณโดยใชแ้รงและทอรค์ทราบหรอืไม ่? ทำาไมความเรง่และความเรว็ไมข่ึ้นอยูก่ับมวล ใหนั้กศึกษาพจิารณาที่ค่า
โมเมนต์ความเฉ่ือย ถ้ากำาหนดให ้ เมื่อ คือแรงเสยีดทานแทนลงในสมการขา้งบนจะได้
=
=
จากสมการที่ได้ค่า และ จะไมป่รากฎ นัน่คือความเรว็จะไมข่ึ้นกับมวลแต่ขึ้นอยูก่ับรูปรา่ง เน่ืองจากในสมการมคี่า ปรากฎอยู่
นักศึกษาตอบได้หรอืไมว่า่ เมื่อปล่อยวงแหวนกับแผ่นจานกลมจากปลายพื้นเอียงพรอ้มกันอันไหนจะถึงปลายพื้นเอียงก่อน
สรุป
นิยามการหมุนมุม : การกระจดัเชงิมุม :
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ
122
Physics 1 - ฟสิกิส ์1
ความเรว็เชงิมุม : ความเรง่เชงิมุม :
ความสมัพนัธร์ะหวา่งเชงิเสน้กับเชงิมุม
สมการการหมุนจะใชไ้ด้เมื่อความเรง่เชงิมุม คงที่ นิยามของทอรค์ :กฎขอ้สองของการหมุน :นิยามของโมเมนต์ความเฉ่ือย :ทฤษฎีแกนตัง้ฉาก :ทฤษฎีแกนขนาน :พลังงานจลน์ในการหมุน :
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ
123
