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Introducción a la Optimización matemática
Antonio H. Escobar ZuluagaAntonio H. Escobar Zuluaga
Universidad Tecnológica de Pereira - ColombiaUniversidad Tecnológica de Pereira - Colombia
20142014
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Optimización:
• La optimización es un proceso espontáneo que se encuentra presente en todas partes y que hace parte integral del día a día de nuestras vidas.
• Es el arte de seleccionar la mejor alternativa entre un conjunto de opciones válidas.
• En las ciencias aplicadas es la búsqueda de los valores de un conjunto de variables limitadas que maximizan o minimizan un objetivo.
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Que es optimizar en las ciencias y la ingeniería?
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• Se están utilizando eficientemente recursos que son escasos o limitados o no renovables?
• Puede obtenerse una operación más económica?
• Se están utilizando eficientemente recursos que son costosos?
Los procesos de optimización intentan responder los siguientes interrogantes:
• Puede obtenerse un diseño más económico?
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Porque Optimizar?
• Porque existen recursos en las organizaciones que no están siendo aprovechados adecuadamente.
• Porque no se alcanzan los resultados deseados con los recursos disponibles.
• Porque se requiere aumentar la competividad a costos eficientes de inversión, operación y mantenimiento.
• Porque se tienen recursos ineficientes o que no se necesitan y que frenan el desarrollo.
• Porque existe una exigencia creciente de sistemas y procedimientos más eficientes.
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El desarrollo de la optimización en las distintas disciplinas está asociado a:
• Nivel de conocimiento científico acumulado en los grupos de investigación que la estudian.
• Nivel de tecnología que los miembros del grupo dominan.
• Capacidad de incorporar nuevas ideas (innovación).
• Nivel y calidad de los desarrollos realizados.
• Variabilidad de los aspectos que se pueden resolver.
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• Adecuada valoración de resultados.
• Flujo de ideas entre los miembros del grupo.
• Cantidad y calidad de los recursos mal aprovechados.
• Calidad de los insumos.
• Estrategias utilizadas.
• Desarrollo de la infraestructura tecnológica que se usa.
El desarrollo de la optimización en las distintas disciplinas está asociado a:
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• Técnicas de modelamiento matemático que permitan representar y simular adecuadamente el sistema que se optimiza.
• Sistemas de cómputo que realicen los cálculos de manera eficiente.
• Técnicas de solución de los modelos resultantes (métodos de optimización).
La optimización requiere de:
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• El desarrollo de nuevas técnicas de modelamiento y de optimización, y el desarrollo de nuevos sistemas de cómputo es el motor que impulsa la investigación en nuevos modelos que incluyan:
Más aspectos del problema.
Más interrelaciones con los sistemas externos que afectan su comportamiento.
La optimización genera nuevas exigencias:
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Abarca un conjunto de métodos científicos que apoyan la toma de decisiones y que permiten determinar la mejor forma de diseñar y operar un sistema bajo condiciones que exigen el uso de recursos escasos o costosos.
Provee un conjunto de algoritmos que pueden ser implementados en sistemas de cómputo y que se constituyen en herramientas efectivas para resolver problemas con soluciones alternativas y tomar decisiones.
Se aplica en todas las disciplinas.
Investigación de Operaciones:
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Definición de optimización:
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Se optimiza:
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Se minimiza:
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Se maximiza:
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Áreas de aplicación:
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Mínimos y máximos globales y locales, puntos de inflexión:
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Multimodalidad:
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Mínimos y máximos globales y locales, puntos de inflexión:
Problema multidimensional
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• Función Objetivo: Medida de la efectividad buscada expresada en función de las variables de decisión. Es lo que se minimiza o se maximiza.
• Variables de decisión: Decisiones Cuantificables sobre las que se ejerce control. Por ejemplo: calibre del conductor.
• Restricciones: Factores que limitan los valores que pueden asumir las variables de decisión. Por ejemplo: corriente máxima del conductor.
• Parámetros: Datos o recursos que asumen valores constantes y que forman los coeficientes de las variables. Por ejemplo: reactancia del conductor por unidad de longitud.
Componentes de un problema de optimización:
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Que es el modelado?
• Los procesos y sistemas en ingeniería son generalmente complicados y deben ser simplificados mediante idealizaciones y aproximaciones para poder resolver el problema planteado.
• El proceso de simplificación del problema, para que pueda ser representado en términos de un sistema de ecuaciones (para el análisis, diseño y optimización) es lo que se conoce como modelado.
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Modelo matemático:
• El modelo matemático representa el desempeño y comportamiento de un sistema dado en términos de ecuaciones matemáticas, ofreciendo resultados cuantitativos.
• Los modelos matemáticos pueden estar basados en el entendimiento físico de un sistema ó pueden construirse a partir de datos (e.g., ajuste de curvas a datos experimentales).
• Las ecuaciones que gobiernan el sistema pueden ser algebraicas, ecuaciones diferenciales ordinarias y/o parciales, ecuaciones integrales ó combinación de varias de ellas.
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Mundo Real
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Mundo Real
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Mundo Real
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Mundo Real
Min t j h CTt(GTjth)
sujeto a:
GDzth - uTN(z) LDuzth = 0
GDzth + GHAzth + DEFzth = DEMzth
ENuth - jL1(u) GTEjuth
- vL2(u) LLvuth = 0
Min t j h CTt(GTjth)
sujeto a:
GDzth - uTN(z) LDuzth = 0
GDzth + GHAzth + DEFzth = DEMzth
ENuth - jL1(u) GTEjuth
- vL2(u) LLvuth = 0
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Mundo Virtual
Min t j h CTt(GTjth)
sujeto a:
GDzth - uTN(z) LDuzth = 0
GDzth + GHAzth + DEFzth = DEMzth
ENuth - jL1(u) GTEjuth
- vL2(u) LLvuth = 0
Min t j h CTt(GTjth)
sujeto a:
GDzth - uTN(z) LDuzth = 0
GDzth + GHAzth + DEFzth = DEMzth
ENuth - jL1(u) GTEjuth
- vL2(u) LLvuth = 0
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PIB 5.2%
Costo de combustibles
Hidrología
Inflación = 10%
Devaluación 12%
Costo de
transporte
Min t j h CTt(GTjth)
sujeto a:
GDzth - uTN(z) LDuzth = 0
GDzth + GHAzth + DEFzth = DEMzth
ENuth - jL1(u) GTEjuth
- vL2(u) LLvuth = 0
Min t j h CTt(GTjth)
sujeto a:
GDzth - uTN(z) LDuzth = 0
GDzth + GHAzth + DEFzth = DEMzth
ENuth - jL1(u) GTEjuth
- vL2(u) LLvuth = 0
Mundo Virtual
Costo de oportunidad
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Representación matemática de un problema de optimización:
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Clasificación de los problemas de Optimización
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Clasificación de los problemas:
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Clasificación de los problemas:
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Clasificación de los problemas:
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Clasificación de los problemas:
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Clasificación de los problemas:
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Proceso de optimización:
Problema de la Vida real
Modelo
Matemático de
la parte que
deseo controlar
Solución
Matemática
Técnicas demodelamiento
Técnicas desolución
Realimentación o ajustes para la implementación
El modelo puede no existir
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SIMULACIONSIMULACION
IDENTIFICACION IDENTIFICACION
Evaluacióndel
Funcionamientodel
Sistema
Información
OPTIMIZACIONOPTIMIZACION
Funciones de Respuesta
Parámetros
Caracterización
Planes de InversiónPolíticas Estratégicas
Planes OperativosDiseños
SIMULACIONSIMULACION
Verificaciónde la
Bondadde las
Decisiones
Definición de Objetivos y adición de
metas
Modelo de operación
Modelo de optimización
Encadenamiento de modelos:
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Características de los algoritmos de optimización:
![Page 38: Antonio H. Escobar Zuluaga Universidad Tecnológica de Pereira - Colombia 2014 Introducción a la Optimización matemática Antonio H. Escobar Zuluaga Universidad](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012922/5665b4341a28abb57c8ff6b1/html5/thumbnails/38.jpg)
Cualidades deseables en todo algoritmo de optimización:
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Dificultades de la optimización:
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Complejidad Descriptiva: cantidad de información que debe suministrarse para tener una descripción adecuada del sistema.
Complejidad Generativa: cantidad de instrucciones que se deben dar para construir el sistema bajo estudio.
Complejidad Computacional: cantidad de tiempo y esfuerzo implicado en la solución del problema. Generalmente asociada con el tamaño del problema (variables y restricciones).
Complejidad Organizacional: variedad de formas de ordenamiento de los componentes del sistema.
Complejidad Operativa: variedad de modos de operación de los componentes del sistema y del propio sistema.
Dificultades de la optimización:
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Supuestos del modelamiento:
Independencia entre variables: La contribución de una variable de decisión a la función objetivo, o al uso de recursos, es independiente de los valores que se asignen a otras variables de decisión.
Certeza o determinismo: Se asume que no hay aleatoriedad en los coeficientes que definen a las variables de decisión del problema. No existe realimentación en la cadena: información → decisión → información → decisión → …
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Enfoques respecto a las metodologías de solución:
Respecto a los objetivos
Respecto a los datos
Respecto a lacomplejidad
Multiobjetivo
Mono-objetivo
Exacta Metaheurística
Con incertidumbre
Sin incertidumbre