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Primitivacao
Maria do Carmo Martins
Novembro de 2006
Primitiva
Seja I um intervalo de R e f : I → R nao degenerado (isto e, commais de um ponto). Diz-se que F e uma primitiva de f em I seF : I → R e tal que
F ′(x) = f (x), ∀x ∈ I .
Nestas condicoes, diz-se que f e primitivavel.
Exemplo
A funcao F (x) = x3
3 e uma primitiva de f (x) = x2 em R, pois paracada x ∈ R,
F ′(x) =3x2
3= x2.
Notemos que esta nao e a unica primitiva de f em R.Efectivamente, sendo c uma constante a funcao F (x) + c = x3
3 + ce tambem ma primitiva de f , pois
[F (x) + c]′ = F ′(x) + 0 = f (x), ∀x ∈ R.
Observacao
Seja I um intervalo de R, f : I → R e c ∈ R. Se F e uma primitivade f em I , entao F + c e tambem uma primitiva de f em I .Conclui-se deste modo que, se f admite uma primitiva em I , entaoadmite uma infinidade de primitivas em I . O problema daPrimitivacao e assim um problema indeterminado.
Observacao
Se F1 e F2 sao suas primitivas de f em I , entao
[F1 − F2]′ = F ′
1 − F ′2 = f − f = 0.
Assim, F1 − F2 e uma funcao constante em I . Portanto, sendo Fuma primitiva de f em I , entao todas as primitivas de f em I saoda forma F + c , com c ∈ R. Diz-se que,
F (x) + c
e a expressao geral das primitivas de f nesse intervalo, sendo cuma constante.
Observacao
Notemos que nem toda a funcao e primitivavel. Por exemplo, afuncao de Heaviside h : R → R definida por
h(x) =
{0, se x < 0
1, se x ≥ 0
nao e primitivavel em R, uma vez que se o fosse, qualquerprimitiva H restringida ao intervalo ]−∞, 0[ seria da forma x + c ,com c ∈ R. Por outro lado, tambem a restricao de H ao intervalo]0,+∞[ seria da forma k, com k ∈ R. Portanto,
Observacao - continuacao
H(x) =
{k, se x < 0
x + c , se x ≥ 0.
Como facilmente se verifica, a funcao H nao tem derivada emx = 0 independentemente do valor dado a H(0). Assim, H nao euma primitiva de h em R, pelo que h nao e primitivavel.
Notacao
sendo f uma funcao primitivavel (num dado intervalo que muitasvezes nao sera necessario especificar) usaremos o sımbolo∫
f ou
∫f (x) dx ,
para designar o conjunto de todas as primitivas de f (no intervaloconsiderado). Assim, pelo que ja foi dito∫
f (x) dx = F (x) + c , com c ∈ R.
Primitivacao Imediata
Como ja foi referido, a operacao de primitivacao e inversa da dederivacao. Isto significa que, as regras de primitivacao sao obtidasinvertendo-se as de derivacao. As primitivas que sao determinadasaplicando simplesmente essas regras sao denominadas porprimitivas imediatas. Vejamos alguns exemplos:
Funcao Constante
∫k dx = kx + c , com k constante, para todo o x ∈ R.
Exemplo:
1∫
2 dx = 2x + c ;
2∫−√
5 dx = −√
5x + c .
Potencia
∫xm dx = xm+1
m+1 + c , com m ∈ R \ {−1}, para todo o x ∈ R+.
Generalizacao: ∫f m(x) f ′(x) dx =
f m+1(x)
m + 1+ c ,
para m ∈ R \ {−1}, em qualquer intervalo de R onde f ediferenciavel e f (x) > 0.
Exemplo
1∫
x5 dx = x6
6 + c ;
2∫
(x2 + 5)3 2x dx = (x2+5)4
4 + c .
Logarıtmo
∫1x dx = log |x |+ c , em qualquer intervalo de R que nao contenha
o ponto x = 0.
Generalizacao: ∫f ′(x)
f (x)dx = log |f (x)|+ c ,
em qualquer intervalo de R onde f e diferenciavel e f (x) 6= 0.
Exemplo
1∫
(5 + x)−1 dx = log |5 + x |+ c ;
2∫
ex+6
1+ex dx = e6 log(1 + ex) + c ;
3∫
1x log x dx = log | log x |+ c .
Exponencial de base e
∫ex dx = ex + c ,
para todo o x ∈ R.
Generalizacao: ∫ef (x)f ′(x) dx = ef (x) + c ,
em qualquer intervalo de R onde f e diferenciavel.
Exemplo
1∫
e4x dx = 14e4x + c ;
2∫
ex3 dx = 3e
x3 + c .
Exponencial
∫ax dx =
ax
log a+ c ,
com a ∈ R+ \ {1}, para todo o x ∈ R.
Generalizacao: ∫af (x)f ′(x) dx =
af (x)
log a+ c ,
com a ∈ R+ \ {1}, em qualquer intervalo de R onde f ediferenciavel.
Exemplo
1∫
5x dx = 5x
log 5 + c ;
2∫−23x dx = − 23x
3 log 2 + c .
Funcao Cosseno
∫cos x dx = sen x + c ,
para todo o x ∈ R.
Generalizacao:∫f ′(x) cos f (x) dx = sen f (x) + c ,
em qualquer intervalo de R onde f e diferenciavel.
Exemplo
1∫
x2 cos x3 dx = 13sen x3 + c ;
2∫
2x cos 2x dx = 1log 2sen 2x + c .
Funcao Seno
∫sen x dx = − cos x + c ,
para todo o x ∈ R.
Generalizacao:∫f ′(x) sen f (x) dx = − cos f (x) + c ,
em qualquer intervalo de R onde f e diferenciavel.
Exemplo
1∫ sen ( arctgx)
1+x2 dx = − cos(arctg x) + c ;
2∫ sen (
√x3+3x)√
x3+3xdx = −2
3 cos(√
x3 + 3x) + c .
Secante ao quadrado
∫sec2 x dx = tg x + c ,
em qualquer intervalo de R que nao contenha pontos π2 + kπ com
k ∈ Z.
Generalizacao:∫f ′(x) sec2 f (x) dx = tg f (x) + c ,
em qualquer intervalo de R onde f e diferenciavel e cos f (x) 6= 0.
Exemplo
1∫
2x+1cos2(x2+x)
dx = tg (x2 + x) + c ;
2∫
e3x sec2(e3x) dx = 13tg (e3x) + c .
Cossecante ao quadrado
∫cosec 2x dx = −cotg x + c ,
em qualquer intervalo de R que nao contenha nenhum dos pontoskπ com k ∈ Z.
Generalizacao:∫f ′(x)cosec 2f (x) dx = −cotg f (x) + c ,
em qualquer intervalo de R onde f e diferenciavel e sen f (x) 6= 0.
Exemplo
1∫
1sen 2(8x)
dx = −18cotg (8x) + c ;
2∫ cosec 2(
√x)√
xdx = −2cotg (
√x) + c .
Secante tangente
∫sec x tg x dx = sec x + c .
Generalizacao:∫f ′(x) sec f (x) tg f (x) dx = sec f (x) + c ,
em qualquer intervalo de R onde f e diferenciavel e cos f (x) 6= 0.
Exemplo
1∫
sec(4x)tg (4x) dx = 14 sec(4x) + c ;
2∫ sen (
√x)√
x cos2(√
x)dx = 2 sec(
√x) + c .
Cossecante cotangente
∫cosec x cotg x dx = −cosec x + c .
Generalizacao:∫f ′(x) cosec f (x) cotg f (x) dx = −cosec f (x) + c ,
em qualquer intervalo de R onde f e diferenciavel e sen f (x) 6= 0.
Exemplo
1∫
x cosec (x2) cotg (x2) dx = −12cosec (x2) + c ;
2∫ cosec (
√x) cotg (
√x)√
xdx = −2cosec (
√x) + c .
Cotangente
∫cos xsen x dx =
∫cotg x dx = log |sen x |+ c .
Generalizacao:∫f ′(x) cotg f (x) dx = log |sen f (x)|+ c ,
em qualquer intervalo de R onde f e diferenciavel e sen f (x) 6= 0.
Exemplo
1∫
dxtg x
5= 5 log |sen x |+ c ;
2∫ x3sen (x4)
cos x4 dx = 14 log |sen (x4)|+ c .
Tangente
∫sen xcos x dx =
∫tg x dx = − log | cos x |+ c .
Generalizacao:∫f ′(x) tg f (x) dx = log | cos f (x)|+ c ,
em qualquer intervalo de R onde f e diferenciavel e cos f (x) 6= 0.
Exemplo
1∫ tg (
√x)
√x
dx = −2 log | cos(√
x)|+ c ;
2∫
xtg (x2 + 1) dx = −12 log | cos(x2 + 1)|+ c .
Secante
∫sec x dx = log | sec x + tg x |+ c
= log∣∣∣tg (π
4+
x
2
)∣∣∣ + c ,
em qualquer intervalo de R que nao contenha nenhum dos pontosπ2 + kπ com k ∈ Z.
Generalizacao:∫f ′(x) sec f (x) dx = log | sec f (x) + tg f (x)|+ c
= log
∣∣∣∣tg (π
4+
f (x)
2
)∣∣∣∣ + c ,
em qualquer intervalo de R onde f e diferenciavel e cos f (x) 6= 0.
Cossecante
∫cosec x dx = log |cosec x − cotg x |+ c
= log∣∣∣tg (x
2
)∣∣∣ + c ,
em qualquer intervalo de R que nao contenha nenhum dos pontoskπ com k ∈ Z.
Generalizacao:∫f ′(x)cosec f (x) dx = log |cosec f (x)− cotg f (x)|+ c
= log
∣∣∣∣tg (f (x)
2
)∣∣∣∣ + c ,
em qualquer intervalo de R onde f e diferenciavel e sen f (x) 6= 0.
Cosseno hiperbolico
∫cosh x dx = senh x + c .
Generalizacao:∫f ′(x) cosh f (x) dx = senh f (x) + c ,
em qualquer intervalo onde f e diferenciavel.
Exemplos
1∫ cosh 1
x3
x4 dx = −13senh 1
x3 + c ;
2∫
2x cosh 2x dx = 1log 2senh 2x + c .
Seno hiperbolico
∫senh x dx = cosh x + c .
Generalizacao:∫f ′(x)senh f (x) dx = cosh f (x) + c ,
em qualquer intervalo onde f e diferenciavel.
Exemplos
1∫
1cosech 3√x
x−23 dx = 3 cosh 3
√x + c ;
2∫ log x senh (log2 x)
x dx = 12 cosh(log2 x) + c
Secante hiperbolica
∫sech 2x dx = tgh x + c .
Generalizacao:∫f ′(x) sech 2f (x) dx = tgh f (x) + c ,
em qualquer intervalo onde f e diferenciavel.
Exemplos
1∫
1√x cosh2 √x
dx = 2tgh√
x + c ;
2∫
x sech 2(x2) dx = 12tgh (x2) + c
Cossecante hiperbolica
∫cosech 2x dx = −cotgh x + c , para todo o x ∈ R \ {0}.
Generalizacao:∫f ′(x) cosech 2f (x) dx = −cotgh f (x) + c ,
em qualquer intervalo onde f e diferenciavel e senh f (x) 6= 0.
Exemplos
1∫
cosech 2(2x) dx = −12cotgh (x2) + c ;
2∫
1√xsenh 2
√x
dx = −2cotgh√
x + c ;
Secante tangente
∫sech x tgh x dx = −sech x + c .
Generalizacao:∫f ′(x) sech f (x) tgh f (x) dx = −sech f (x) + c ,
em qualquer intervalo onde f e diferenciavel.
Exemplos
1∫− senh (x+1)
cosh2 x+1dx = sech (x + 1) + c ;
2∫
5x sech (5x) tgh (5x) dx = − 1log 2sech (5x) + c .
Cosecante cotangente
∫cosech x cotgh x dx = −cosech x + c , para todo o x ∈ R \ {0}.
Generalizacao:∫f ′(x) cosech f (x) cotgh f (x) dx = −cosech f (x) + c ,
em qualquer intervalo onde f e diferenciavel e senh f (x) 6= 0
Exemplos
1∫−cotgh (sen 2x)cosech (sen 2x) dx = −1
2cosech (sen 2x)+ c ;
2∫
cosh 6xsenh 26x
dx = −16cosech 6x + c .
cotangente hiperbolica
∫cosh xsenh x dx =
∫cotgh x dx = log |senh x |+ c , para todo o
x ∈ R \ {0}.
Generalizacao:∫f ′(x) cotgh f (x) dx = log |senh f (x)|+ c ,
em qualquer intervalo onde f e diferenciavel e senh f (x) 6= 0.
Exemplos
1∫
dxtgh x
5= 5 log |senh x |+ c ;
2∫ x3senh (x4)
cosh x4 dx = 14 log |senh (x4)|+ c .
Tangente hiperbolica
∫senh xcosh x dx =
∫tgh x dx = log | cosh x |+ c .
Generalizacao:∫f ′(x) tgh f (x) dx = log | cosh f (x)|+ c ,
em qualquer intervalo onde f e diferenciavel.
Exemplos
1∫ tgh (
√x)√
xdx = 2 log | cosh(
√x)|+ c ;
2∫
xtgh (x2 + 1) dx = 12 log | cosh(x2 + 1)|+ c .
secante hiperbolica
∫sech x dx = arctg (senh x) + c
= 2arctg ex + c .
Generalizacao:∫f ′(x)sech f (x) dx = arctg f (x) + c
= 2arctg ef (x) + c ,
em qualquer intervalo onde f e diferenciavel
Cossecante hiperbolica
∫cosech x dx = log
∣∣∣tghx
2
∣∣∣ + c
= −2arccotgh ex + c
= log(cosech x − cotgh x) + c
Generalizacao:∫f ′(x) cosech x dx = log
∣∣∣∣tghf (x)
2
∣∣∣∣ + c
= −2arccotgh ef (x) + c
= log (cosech f (x)− cotgh f (x)) + c ,
em qualquer intervalo onde f e diferenciavel e senh f (x) 6= 0.
∫1√
1−x2dx = arcsen x + c , para todo o x ∈]− 1, 1[.
Generalizacao:
∫ f ′(x)√1−f 2(x)
dx = arcsen f (x) + c , em qualquer intervalo onde f e
diferenciavel e |f (x)| < 1.
Exemplos
1∫
ex√
1−4ex dx = 12arcsen (2ex) + c .
2∫
3x√16−25x4
dx = 310arcsen (5x2
4 ) + c ;
∫1√
1−x2dx = − arccos x + c , para todo o x ∈]− 1, 1[.
Generalizacao:
∫ f ′(x)√1−f 2(x)
dx = − arccos f (x) + c , em qualquer intervalo onde f e
diferenciavel e |f (x)| < 1.
∫1
1+x2 dx = arctg x + c .
Generalizacao:
∫ f ′(x)1+f 2(x)
dx = arctg f (x) + c , em qualquer intervalo onde f e
diferenciavel.
Exemplo
∫5x
9+x4 dx = 56arctg x2
3 + c .
∫1
1+x2 dx = −arccotg x + c .
Generalizacao:
∫ f ′(x)1+f 2(x)
dx = −arccotg f (x) + c , em qualquer intervalo onde f e
diferenciavel.
∫1√
1+x2dx = arcsenh x + c , para todo o x ∈ R.
Generalizacao:
∫ f ′(x)√1+f 2(x)
dx = arcsenh f (x) + c , em qualquer intervalo onde f e
diferenciavel.
Exemplos
1∫
ex√
1+4ex dx = 12arcsenh (2ex) + c .
2∫
3x√16+25x4
dx = 310arcsenh (5x2
4 ) + c ;
∫1√
x2−1dx = arccosh x + c , para todo o x ≥ 1.
Generalizacao:
∫ f ′(x)√f 2(x)−1
dx = arccosh f (x) + c , em qualquer intervalo onde f e
diferenciavel.
Exemplos
1∫
ex√
4ex−1dx = 1
2arccosh (2ex) + c .
2∫
3x√25x4−16
dx = 310arccosh (5x2
4 ) + c ;
∫1
1− x2dx = arctgh x + c
= arccotgh x + c
Generalizacao:
∫f ′(x)
1− f 2(x)dx = arctgh f (x) + c
= arccotgh f (x) + c ,
em qualquer intervalo onde f e diferenciavel.
Exemplo
∫5x
9− x4dx =
5
6arctgh
x2
3+ c
=5
6arccotgh
x2
3+ c .
Observacao
Seja m ∈ N. Se f1, f2, . . . , fm sao m funcoes primitivaveis numintervalo I , entao qualquer combinacao linear k1f1 + · · ·+ kmfm,(com k1, . . . , km ∈ R), tambem e primitivavel em I , tendo-se∫
(k1f1 + · · ·+ kmfm) dx = k1
∫f1 dx + · · ·+ km
∫fm dx .
Exemplo
∫ (x2
1 + x3+
x√4 + x2
)dx =
∫x2
1 + x3dx +
∫x√
4 + x2dx
=1
3
∫3x2
1 + x3dx +
∫x(4 + x2)−
12 dx
=1
3log |1 + x3|+ 1
2
∫2x(4 + x2)−
12 dx
=1
3log |1 + x3|+ (4 + x2)−
12+1
−12 + 1
+ c
=1
3log |1 + x3|+
√4 + x2 + c