Download - Brzina Uzorkovanja, Aliasing i Kvantizacija
Brzina uzorkovanja, aliasing
i kvantizacija
Seminarski rad
Kristijan Gašparac
Sadržaj
Analogno – digitalna pretvorba
Uzorkovanje
Brzina uzorkovanja
Aliasing
Kvantizacija
Analogno – digitalna pretvorba
Signale koji nas okružuju u „realnom” svijetu ( zvuk, slika, glas ) nazivamo analognim signalima – kontinuirani u vremenu i amplitudi
Računala obrađuju digitalne signale – aproksimirani skupom konačnih vrijednosti; diskretni u vremenu i amplitudi
Računalna obrada i korištenje analognih signala ?
Izravno nemoguće
Analogno – digitalna pretvorba
Uzorkovanje ( sampling)
Kvantizacija
Kodiranje
Uzorkovanje
Reduciranje kontinuiranog signala ekvivalentnim, diskretnim signalom
Uzimanje vrijednosti izvornog, kontinuiranog signala u pravilnim vremenskim razmacima – intervalima
Period uzorkovanja 𝑻𝒔 [s]
Brzina, frekvancija uzorkovanja 𝒇𝒔 𝐻𝑧 ; 𝑓𝑠 = 1
𝑇𝑠 [𝐻𝑧]
Uz definirani period uzorkovanja 𝑇𝑠 i broj uzoraka n, postupkom uzorkovanja ćemo izvršiti izlučivanje n vrijednosti izvornog kontinuiranog signala u točno
definiranim trenucima vremena.
Pritom je uzorkovani, diskretni signal definiran kao:
𝑥 𝑛 = 𝑥(𝑛 ∙ 𝑇𝑠)
Uzorkovanje
𝑥 𝑛 = 𝑥(𝑛 ∙ 𝑇𝑠)
Uzorkovanje
Zašto uzorkovanje ?
Digitalni sustavi rade samo s diskretnim i konačnim
skupom podataka
Ukoliko se ne gubi informacija, obrada uzorkovanim
signalom znači uštedu rekonstrukcija signala ?
Je li moguće rekonstruirati izvorni signal iz njegovih uzoraka ?
Rekonstrukcija signala
Interpolacija
Izvorni, kontinuirani signal definiran je za sve vrijednosti vremena 𝑡 (beskonačni skup međusobno povezanih vrijednosti ), dok je diskretni signal definiran samo za trenutke koji su cjelobrojni višekratnici perioda uzorkovanja 𝑇𝑠; 𝑛𝑇𝑠 .
Da bi rekonstruirali izvorni signal iz diskretnog uzorkovanog signala, potrebno je na određeni način „pogoditi” (aproksimirati) koju bi vrijednost signal mogao poprimiti između definiranih uzoraka.
Interpolacija – postupak „pogađanja” vrijednosti signala u proizvoljnim trenucima vremena ( uobičajeno – između definiranih uzoraka ).
Samim time, interpolacija kreira kontinuirani
vremenski signal proces inverzan uzorkovanju signala.
Idealni slučaj – signal dobiven interpolacijom identičan izvornom kontinuiranom signalu.
Rekonstrukcija signala
Načini interpolacije
Interpolacija konstantom po dijelovima
Vrijednost između susjednih uzoraka je definirana kao konstantna,
što će rekonstruiranom signalu dati stepenasti oblik
Linearna interpolacija
Mnogo precizniji način interpolacije
Vrijednosti u trenucima uzimanja uzoraka međusobno se povezuju
ravnom linijom – oblik rekonstruiranog signala je sličniji izvornom
signalu u mnogo većoj mjeri
Teorem uzorkovanja
Uzorkovanje i interpolacija – promjena između kontinuiranog signala
Problem – nema garancije da je rekonstruirani signal, dobiven interpolacijom, jednak ili blizak izvornom kontinuiranom signalu problem frekvencije uzorkovanja 𝒇𝒔
Pitanje: pod kojim okolnostima je izvorni signal moguće rekonstruirati potpuno i točno ( savršena rekonstrukcija ) ?
Teorem uzorkovanja
Odgovor na to pitanje, i veliku prekretnicu u provođenju postupaka uzorkovanja i interpolacije, postigao je Claude E. Shannon 1948. sa svojim Teoremom uzorkovanja (Sampling Theorem)
Poznat i kao Nyquist-Shannon-ov Teorem uzorkovanja
Teorem uzorkovanja
Teorem definira okolnosti i uvjete pri kojima kontinuirani vremenski signal može biti točno ( jednoznačno ) rekonstruiran iz uzorkovanog, diskretnog signala
Također, Teorem definira i interpolacijski algoritam koji bi se trebao koristiti da bi se postigla točna rekonstrukcija izvornog signala
Preciznije, Teorem uzorkovanja tvrdi da se izvorni kontinuirani signal može točno rekonstruirati iz njegovih uzoraka, ukoliko je najveća frekvencija ( 𝑓ℎ ) prisutna u izvornom signalu, manja od polovine frekvencije uzorkovanja ( 𝑓𝑠 ):
𝑓ℎ < 𝑓𝑠
2 𝑓𝑠 > 2𝑓ℎ
𝑓𝑠 - brzina, frekvencija uzorkovanja ( sample rate )
𝑓𝑠
2 - Nyquistova frekvencija
Teorem uzorkovanja
Iako je Teorem često u literaturi definiran kao 𝑓𝑠 ≥ 2𝑓ℎ , bitno je napomenuti da to nije ispravno, što možemo vidjeti na sljedećem jednostavnom primjeru:
Dakle, točna rekonstrukcija signala nije zajamčena u slučaju 𝑓𝑠 = 2𝑓ℎ
Aliasing
Osim poteškoća prikazanih na prethodnom primjeru, mogu se pojaviti i neke druge karakteristične situacije, ukoliko Teorem uzorkovanja nije zadovoljen
Teorem uzorkovanja je djelotvoran za uzorkovani signal koji je strogo pojasno ograničen
Međutim, u praksi signali često nisu strogo pojasno ograničeni i to rezultira poduzorkovanjem – frekvencija uzorkovanja nije dvostruko veća od najveće frekvencije izvornog signala, tj. Nyquistove frekvencije
Frekvencija viša od Nyquistove frekvencije se može promatrati u uzorkovanom signalu, ali će biti dvosmislena – svaku frekvencijsku komponentu iznad Nyquistove frekvencije bit će nemoguće razlikovati od neke niže frekvencijske komponente ovu dvosmislenost nazivamo alias, preslikavanje – preklapanje spektara
Aliasing
frekvencija frekvencija
frekve
ncija
frekve
ncija
frekve
ncija
frekvencija frekvencija
Moguća rekonstrukcija
izvornog signala
Nemoguće rekonstruirati
izvorni signal zbog
aliasinga
frekve
ncija
Aliasing
Ukoliko prilikom uzorkovanja kontinuiranog signala koristimo frekvenciju uzorkovanja koja ne zadovoljava Teorem uzorkovanja (𝑓𝑠 > 2𝑓ℎ ), prilikom interpolacije uzorkovanog signala dobit ćemo alias izvornog kontinuiranog signala
Skup uzoraka odgovarat će i izvornom i rekonstruiranom signalu, iako će to biti potpuno različiti signali ( najčešće po frekvenciji, ali i fazi )
Kvantizacija
Uzorkovanjem smo izvršili diskretizaciju kontinuiranog signala po vremenu, što znači da i dalje imamo niz razina signala koje mogu poprimiti bilo koju vrijednost iz kontinuiranog ( beskonačnog ) skupa vrijednosti
Budući da je takav način nepovoljan za buduću obradu signala, potrebno je razine signala predstaviti pomoću konačnog skupa cjelobrojnih vrijednosti, tj. nakon što smo signal diskretizirali po vremenu, isto ćemo učiniti i s amplitudom
Dakle, kvantizacija je postupak aproksimacije kontinuiranog, ( beskonačnog ) skupa vrijednosti, nekim manjim, konačnim skupom cjelobrojnih vrijednosti
Kvantizacija
Pretpostavimo da imamo niz vrijednosti iz kontinuiranog skupa A[-10, 10] koje moramo predstaviti cjelobrojnim vrijednostima
Moguće cjelobrojne vrijednosti su -10, -9, ... 0, 1, 2, ..., 10 – točno 21 vrijednost, koja tvori skup B
Taj konačni broj različitih cjelobrojnih vrijednosti definiramo kao razine kvantizacije, 𝑁𝑞 - Bit depth
Svaka vrijednost ( razina ) se razlikuje od susjedne za vrijednost 1 – korak kvantizacije, 𝑞
Vrijednostima iz kontinuiranog skupa A moramo dodijeliti najbližu cjelobrojnu vrijednost iz skupa B
Npr. vrijednosti 0,5 i -0,5 mapiramo u 0, vrijednosti između 0,5 i 1,25 mapiramo u 1 itd.
Možemo zaključiti da će ovakvom aproksimacijom doći do određenih pogrešaka i problema prilikom rekonstrukcije signala, kada neće biti moguće jednoznačno odrediti pravu vrijednost amplitude u određenom trenutku – šum kvantizacije
Bit depth
Broj razina kvantizacije, 𝑁𝑞 = 2𝑛
n – broj bita
4 – bitna kvantizacija,
16 razina
2 – bitna kvantizacija,
4 razine
- Manje kvantizacijskog šuma
- Veća količina podataka
- Više kvantizacijskog šuma
- Manja količina podataka
Bit depth
4 bit ( 16 razina )
8 bit ( 256 razina )
Literatura
Web stranice:
www.rs-met.com ( pdf članak „Digital signals – sampling and quantization )
www.wikipedia.org
Sampling ( signal processing )
Sample rate
Nyquist-Shannon theorem
Aliasing
Quantization
Literatura:
Uvod u teoriju informacije i kodiranje ( Pandžić, Bažant, Kos i dr., Element – Zagreb, 2009. )
PDF Digital Engineering ( Hideo Tsuji, NHK Communications Training Institute, Japan )