Download - Całka niewłaściwa i zadania do 8 wykładu
5/10/2018 Ca ka niew a ciwa i zadania do 8 wyk adu - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/calka-niewlasciwa-i-zadania-do-8-wykladu 1/4
Całka niewłaściwa
Mówiąc o całce oznaczonej zakładaliśmy, że funkcja podcałkowa jest ograniczona, a
przedział całkowania ba, skończony. Całki tego typu nazywamy całkami właściwymi.
Jednakże w wielu zastosowaniach technicznych i ekonomicznych spotykamy się z całkami onieograniczonym przedziale całkowania i całkami w których funkcja podcałkowa jest
nieograniczona w przedziale całkowania. Tego rodzaju całki nazywamy całkami
niewłaściwymi. Rozróżniać będziemy całki niewłaściwe pierwszego i drugiego rodzaju.
Pierwszą grupę stanowią całki mające w granicach całkowania ∞− lub ∞+ . Natomiast do
drugiej grupy należą całki w których w przedziale całkowania znajduje się punkt osobliwy
funkcji podcałkowej tj. punkt, w którego sąsiedztwie funkcja podcałkowa jest
nieograniczona. Jeżeli wartość całki niewłaściwej jest skończona to mówimy że jest ona
zbieżna. W przeciwnym wypadku jest ona rozbieżna.
Całka niewłaściwa pierwszego rodzaju
a) ( ) ( )∫ ∫ ∞
∞→=
a
T
aT
dx x f dx x f lim
b) ( ) ( )∫ ∫ ∞
−∞→=
a a
U U
dx x f dx x f lim
c) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∞→
∞
∞−−∞→
+=T
aT
a
U U
dx x f dx x f dx x f limlim gdzie Ra∈
Interpretacja geometryczna dla typu a)
Przykład VIII.13
[ ] [ ] π π π β
β α
β
α α
β α =+=+=
++
+=
+ ∞→−∞→∞→
∞
∞−−∞→ ∫ ∫ ∫
22limlim
1
1lim
1
1lim
1
10
0
0
2
0
22arctgxarctgxdx
xdx
xdx
x
Cała jest więc zbieżna.
Całka niewłaściwa drugiego rodzaju
90
5/10/2018 Ca ka niew a ciwa i zadania do 8 wyk adu - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/calka-niewlasciwa-i-zadania-do-8-wykladu 2/4
Niech c oznacza punkt osobliwy funkcji podcałkowej.
a) ( ) ( )∫ ∫ −
→ +=⇒=
b
a
b
a
dx x f dx x f bc
ε
ε 0
lim
b) ( ) ( )∫ ∫ +
→ +=⇒=
b
a
b
a
dx x f dx x f acε
ε 0
lim
c) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ +
→
−
→ +++=⇒∈
b
c
b
a
c
a
dx x f dx x f dx x f bacε
ε
ε
ε 00
limlim,
Interpretacja geometryczna dla typu a)
Przykład VIII.14
[ ] [ ] −∞=−=−=−
=− +++ →
−−
→→∫ ∫ 1lnlnlim2lnlim2
lim2 0
2
1
2
1
2
100ε
ε
ε
ε
ε ε
x x
dx
x
dx
Zatem całka ta jest rozbieżna.
Zadania
1) Obliczyć całki sprowadzając je do całek podstawowych przez przekształcenia
algebraiczne:
a)( )
∫ −
dx x
x32
1b) ∫
+−dx
x
xe x xx
3
23
c) dz z
z 2
1∫
−
d) ( )∫ +− dxe x 3
1 e) dx x x
x∫ 22
sincos
2cosf) ∫
+−+− dx
x x x x
2
2 4322
2) Obliczyć całki przez podstawienie:
91
5/10/2018 Ca ka niew a ciwa i zadania do 8 wyk adu - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/calka-niewlasciwa-i-zadania-do-8-wykladu 3/4
a)( )∫
+dx
x
x52
2 b) ∫ + dx x x
21 c) dx
x
−
∫ 2
1sin3
d) ∫ x
dx
3cos22
e) ∫ +−dxe
x 13
f) ∫ +dx
x
x
sin1
cos
g) ∫ +dx
ee x
x
12h) ∫ − x x
dx2
ln1i) ( )∫ +
dx x
arctgx2
2
1
j) ∫ −+ x xee
dx22
k) ∫ −+
dx x
x
3
3
3) obliczyć całki przez części:
a) ∫ dxe xx2
b) ∫ ⋅ dx x x3 c) ( )∫ + dx x x cos1
d) ∫ dx x x 5sin2
e) ( )∫ − dx x x ln2 f) ∫ dxarctgx
g) ∫ dx x x ln h) ∫ dx xe x cos i) ∫ dx x2
ln
4) Obliczyć całki z funkcji wymiernych:
a) ∫ ++ 1062 x x
dx b) ∫ +−
−dx
x x
x
96
122
c)( )∫ −1 x x
dxd) ∫ −−
+dx
x x
x
54
132
e) ∫ +dx
x
x
23
272
6
f) ∫ +13 x
dxg) ∫ ++
++dx
x x
x x
256
20722
2
5) Obliczyć całki oznaczone:
a) ∫
−
− ++
2
3
212 x x
dx
b) ( )∫ +−
2
1
2
32 dx x x c) ( )∫ +
8
0
3
2 dx x x
d) ∫ −
3
2
21 x
dxe) ∫
−
4
4
π
π
dxtgx f) ∫ 2
ln
e
ex x
dx
g) ∫ 1
0
2 dxarctgx x
6) Zbadać zbieżność całek:
a) ∫ −
2
1xdx b)
( )∫ −
3
0
21 x
dx c) ∫ ∞
1xdx d) ∫
∞
∞− +dx
x x
212
e) ∫ 16
04 3 x
dxf) dxe x
∫ ∞−
0
2g) ∫ −
1
01
dx x
xh) ∫
−
∞− ++
2
1
21 x x
dx
i)( )∫
∞
+0
21 x
dx j)
( )∫ ∞
∞−+
dx x
arctgx2
2
1k) ∫ −
2
1
21 x
dxl) ∫
∞
1
2
1
dx x
e x
7) Obliczyć pole obszaru między krzywymi:
a) 0,2,2 === y x x y b) 64,84
2 +=−= x y x x y
92
5/10/2018 Ca ka niew a ciwa i zadania do 8 wyk adu - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/calka-niewlasciwa-i-zadania-do-8-wykladu 4/4
c) x y x y 8,822 ==
d) 3,2,0,12 =−==−= x x y x y
e) 012,5842 =+−+−= y x x x y
f) x y x y == ,2
g) 6,14522 −−=++−= x x y x x y
h) x y x y x y 2,,3 ===
i) 1,ln == x x y i styczną do krzywej x y ln= w punkcie2
0e x =
8) Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu krzywej x
arctgx y = dookoła osi Ox dla
3,1∈ x
9) Popyt na dobra trwałego użytku zmienia się w czasie t zgodnie ze wzorem
( )t
et p
−+=2
1. Obliczyć średnią wartość popytu w czasie od 2=t do 4=t .
10) Do magazynu jest dostarczany towar. Dostawa rozpoczyna się o godzinie 10 i jej
natężenie w chwili t (przyjmujemy, że 0=t o godz. 10) wynosi ( ) t tet f
−+=10
jednostek towaru na godzinę. Obliczyć, ile towaru zostanie dostarczone do magazynu
od początku dostawy do godz. 18 tego samego dnia.
11) Pewien przedsiębiorca produkuje dziennie 10 opon typu TD2, a funkcja kosztu
krańcowego zależy od wielkości produkcji x następująco:
( ) 209,004,010 x x x f +−= ,
gdzie ( )30,0∈ x . Wyznaczyć wartość o jaką zwiększą się koszty całkowite, gdy
produkcja zwiększy się dwukrotnie.
12) Właściciel sklepu zamierza sprzedać 15 sztuk towaru w ciągu pewnego czasu.
Załóżmy, że przychód krańcowy ze sprzedaży tego towaru zależy od wielkości
sprzedaży x według wzoru:
( )( )
,1
22
+=
x x f gdzie .0≥ x
Wyznaczyć funkcję całkowitego przychodu w rozpatrywanym okresie oraz cenę po
jakiej ten towar powinien być sprzedawany.
93