całka niewłaściwa i zadania do 8 wykładu

5/10/2018 Ca ka niew a ciwa i zadania do 8 wyk adu - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/calka-niewlasciwa-i-zadania-do-8-wykladu 1/4

Całka niewłaściwa

Mówiąc o całce oznaczonej zakładaliśmy, że funkcja podcałkowa jest ograniczona, a

przedział całkowania ba, skończony. Całki tego typu nazywamy całkami właściwymi.

Jednakże w wielu zastosowaniach technicznych i ekonomicznych spotykamy się z całkami onieograniczonym przedziale całkowania i całkami w których funkcja podcałkowa jest

nieograniczona w przedziale całkowania. Tego rodzaju całki nazywamy całkami

niewłaściwymi. Rozróżniać będziemy całki niewłaściwe pierwszego i drugiego rodzaju.

Pierwszą grupę stanowią całki mające w granicach całkowania ∞− lub ∞+ . Natomiast do

drugiej grupy należą całki w których w przedziale całkowania znajduje się punkt osobliwy

funkcji podcałkowej tj. punkt, w którego sąsiedztwie funkcja podcałkowa jest

nieograniczona. Jeżeli wartość całki niewłaściwej jest skończona to mówimy że jest ona

zbieżna. W przeciwnym wypadku jest ona rozbieżna.

Całka niewłaściwa pierwszego rodzaju

a) ( ) ( )∫ ∫ ∞

∞→=

a

T

aT

dx x f dx x f lim

b) ( ) ( )∫ ∫ ∞

−∞→=

a a

U U

dx x f dx x f lim

c) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∞→

∞

∞−−∞→

+=T

aT

a

U U

dx x f dx x f dx x f limlim gdzie Ra∈

Interpretacja geometryczna dla typu a)

Przykład VIII.13

[ ] [ ] π π π β

β α

β

α α

β α =+=+=

++

+=

+ ∞→−∞→∞→

∞

∞−−∞→ ∫ ∫ ∫

22limlim

1

1lim

1

1lim

1

10

0

0

2

0

22arctgxarctgxdx

xdx

xdx

x

Cała jest więc zbieżna.

Całka niewłaściwa drugiego rodzaju

90



Niech c oznacza punkt osobliwy funkcji podcałkowej.

a) ( ) ( )∫ ∫ −

→ +=⇒=

b

a

b

a

dx x f dx x f bc

ε

ε 0

lim

b) ( ) ( )∫ ∫ +

→ +=⇒=

b

a

b

a

dx x f dx x f acε

ε 0

lim

c) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ +

→

−

→ +++=⇒∈

b

c

b

a

c

a

dx x f dx x f dx x f bacε

ε

ε

ε 00

limlim,

Interpretacja geometryczna dla typu a)

Przykład VIII.14

[ ] [ ] −∞=−=−=−

=− +++ →

−−

→→∫ ∫ 1lnlnlim2lnlim2

lim2 0

2

1

2

1

2

100ε

ε

ε

ε

ε ε

x x

dx

x

dx

Zatem całka ta jest rozbieżna.

Zadania

1) Obliczyć całki sprowadzając je do całek podstawowych przez przekształcenia

algebraiczne:

a)( )

∫ −

dx x

x32

1b) ∫

+−dx

x

xe x xx

3

23

c) dz z

z 2

1∫

−

d) ( )∫ +− dxe x 3

1 e) dx x x

x∫ 22

sincos

2cosf) ∫

+−+− dx

x x x x

2

2 4322

2) Obliczyć całki przez podstawienie:

91



a)( )∫

+dx

x

x52

2 b) ∫ + dx x x

21 c) dx

x

−

∫ 2

1sin3

d) ∫ x

dx

3cos22

e) ∫ +−dxe

x 13

f) ∫ +dx

x

x

sin1

cos

g) ∫ +dx

ee x

x

12h) ∫ − x x

dx2

ln1i) ( )∫ +

dx x

arctgx2

2

1

j) ∫ −+ x xee

dx22

k) ∫ −+

dx x

x

3

3

3) obliczyć całki przez części:

a) ∫ dxe xx2

b) ∫ ⋅ dx x x3 c) ( )∫ + dx x x cos1

d) ∫ dx x x 5sin2

e) ( )∫ − dx x x ln2 f) ∫ dxarctgx

g) ∫ dx x x ln h) ∫ dx xe x cos i) ∫ dx x2

ln

4) Obliczyć całki z funkcji wymiernych:

a) ∫ ++ 1062 x x

dx b) ∫ +−

−dx

x x

x

96

122

c)( )∫ −1 x x

dxd) ∫ −−

+dx

x x

x

54

132

e) ∫ +dx

x

x

23

272

6

f) ∫ +13 x

dxg) ∫ ++

++dx

x x

x x

256

20722

2

5) Obliczyć całki oznaczone:

a) ∫

−

− ++

2

3

212 x x

dx

b) ( )∫ +−

2

1

2

32 dx x x c) ( )∫ +

8

0

3

2 dx x x

d) ∫ −

3

2

21 x

dxe) ∫

−

4

4

π

π

dxtgx f) ∫ 2

ln

e

ex x

dx

g) ∫ 1

0

2 dxarctgx x

6) Zbadać zbieżność całek:

a) ∫ −

2

1xdx b)

( )∫ −

3

0

21 x

dx c) ∫ ∞

1xdx d) ∫

∞

∞− +dx

x x

212

e) ∫ 16

04 3 x

dxf) dxe x

∫ ∞−

0

2g) ∫ −

1

01

dx x

xh) ∫

−

∞− ++

2

1

21 x x

dx

i)( )∫

∞

+0

21 x

dx j)

( )∫ ∞

∞−+

dx x

arctgx2

2

1k) ∫ −

2

1

21 x

dxl) ∫

∞

1

2

1

dx x

e x

7) Obliczyć pole obszaru między krzywymi:

a) 0,2,2 === y x x y b) 64,84

2 +=−= x y x x y

92



c) x y x y 8,822 ==

d) 3,2,0,12 =−==−= x x y x y

e) 012,5842 =+−+−= y x x x y

f) x y x y == ,2

g) 6,14522 −−=++−= x x y x x y

h) x y x y x y 2,,3 ===

i) 1,ln == x x y i styczną do krzywej x y ln= w punkcie2

0e x =

8) Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu krzywej x

arctgx y = dookoła osi Ox dla

3,1∈ x

9) Popyt na dobra trwałego użytku zmienia się w czasie t zgodnie ze wzorem

( )t

et p

−+=2

1. Obliczyć średnią wartość popytu w czasie od 2=t do 4=t .

10) Do magazynu jest dostarczany towar. Dostawa rozpoczyna się o godzinie 10 i jej

natężenie w chwili t (przyjmujemy, że 0=t o godz. 10) wynosi ( ) t tet f

−+=10

jednostek towaru na godzinę. Obliczyć, ile towaru zostanie dostarczone do magazynu

od początku dostawy do godz. 18 tego samego dnia.

11) Pewien przedsiębiorca produkuje dziennie 10 opon typu TD2, a funkcja kosztu

krańcowego zależy od wielkości produkcji x następująco:

( ) 209,004,010 x x x f +−= ,

gdzie ( )30,0∈ x . Wyznaczyć wartość o jaką zwiększą się koszty całkowite, gdy

produkcja zwiększy się dwukrotnie.

12) Właściciel sklepu zamierza sprzedać 15 sztuk towaru w ciągu pewnego czasu.

Załóżmy, że przychód krańcowy ze sprzedaży tego towaru zależy od wielkości

sprzedaży x według wzoru:

( )( )

,1

22

+=

x x f gdzie .0≥ x

Wyznaczyć funkcję całkowitego przychodu w rozpatrywanym okresie oraz cenę po

jakiej ten towar powinien być sprzedawany.

93

całka niewłaściwa i zadania do 8 wykładu

Documents