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ESCOAMENTO DOS FLUIDOS
3.1 Introdução
Define-se escoamento de um fluido como o processo de movimentação de suasmoléculas, umas em relação às outras e aos limites impostos ao escoamento. Os
escoamentos são descritos por parâmetros físicos e pelo comportamento desses parâmetros
ao longo do espaço e do tempo.
3.1.1. Parâmetros usados na descrição dos escoamentos
Provavelmente um dos parâmetros mais importantes no estudo dos escoamentos
seja a velocidade, ela mede a alteração da posição de um elemento do fluido em função do
tempo. Em um fluido cada partícula ou molécula tem ou pode ter velocidade diferente.
Considerando um sistema cartesiano de coordenadas, a velocidade em um ponto, ou em
uma partícula do fluido, pode ser representada pela equação:
z z y y x x eV eV eV V
... (3.1)
A variação da velocidade nesse campo, associada ao tempo e/ou ao espaço, é
definida pela aceleração. Em um campo de velocidade, a aceleração é calculada pela
derivada total ou substancial da velocidade em relação ao tempo. Assim, a aceleração,
como função do espaço e do tempo, é calculada, no sistema cartesiano, como:
t
x
x
V
dt
V d a .
t
y
y
V .
t
z
z
V .
t
V
(3.2)
t
V V V a
).( (3.3)
A classificação dos escoamentos depende da velocidade, mas prende-se à forma
pela qual ocorre. Essa forma se sujeita ao comportamento das moléculas de fluido, que
adotam um padrão de movimento denominado estrutura interna do escoamento. O estudo
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da estrutura interna dos escoamentos foi iniciado por Osborne Reynolds, em 1883, por um
experimento que consistia na injeção de um corante líquido na posição central de um
escoamento de água interno a um tubo circular de vidro transparente. O comportamento do
filete de corante ao longo do escoamento no tubo define três características distintas.
Quando o corante não se mistura com o fluido, permanecendo na forma de um filete
no centro do tubo (a uma baixa velocidade), recebe o nome de escoamento laminar.
Quando o filete apresenta alguma mistura com o fluido, deixando de ser retilíneo e
sofrendo ondulações (a uma média velocidade), recebe o nome de escoamento de
transição. Quando o filete de corante apresenta uma mistura transversal intensa, com
dissipação rápida no seio do fluido (a uma rápida velocidade), recebe o nome de regime
turbulento.
Figura 3.1 Regime laminar.
Figura 3.2 Regime de transição.
Figura 3.3 Regime turbulento.
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Reynolds determinou que há um valor da relação entre a massa específica (), o
diâmetro (D), a velocidade média (V) e a viscosidade dinâmica () para o qual o
escoamento passa do regime de escoamento laminar ao turbulento, valor este denominado
crítico. O parâmetro estabelecido pela relação das três grandezas citadas é atualmente
conhecido como número de Reynolds (Rey) e é definido por:
VD y Re (3.4)
Um campo de velocidades é dependente do espaço e do tempo, e os escoamentos
representados por um campo de velocidades apresentam também um comportamento
espaço-temporal. De acordo com a dependência temporal, os escoamentos podem serpermanentes ou não-permanentes.
Escoamento permanente é aquele cujas todas as propriedades e grandezas
características do escoamento são constantes no tempo. Conseqüentemente, escoamento
não-permanente é aquele onde ao menos uma grandeza ou propriedade é função do tempo.
Entre os vários tipos de escoamentos não-permanentes nós encontramos os
escoamentos periódicos, não periódicos e os escoamentos verdadeiramente aleatórios:
-Transientes: são os escoamentos que ocorrem na fase inicial, correspondendo à fase deaceleração da velocidade de uma situação permanente até uma nova situação, também
permanente.(Ex.: as descargas em vasos sanitários).
-Periódicos: são os escoamentos nos quais a variação temporal segue um padrão que se
repete continuamente em função do tempo, estabelecendo uma função periódica.(Ex.: gases
de combustão eliminados pelos motores).
-Não periódicos: Um exemplo de escoamento não periódico transitório é aquele produzido
no fechamento uma torneira usualmente este processo transitório e as forças desenvolvidas
como resultado deste processo transitório não precisam ser analisados. Entretanto, se o
escoamento é interrompido subitamente os efeitos transitórios podem ser significativos.
-Aleatórios: são os escoamentos nos quais a variação da velocidade ocorre de forma
aleatória em relação ao tempo, dificultando seu equacionamento, que depende de variáveis
estatísticas para alguma previsão de cálculo.(Ex.: movimentos atmosféricos).
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O tratamento da transitoriedade, da identificação do tipo de transitoriedade e sua
inclusão, no modelo teórico não é uma tarefa simples.
Há diferentes modos de descrever os escoamentos, dependendo do enfoque dado à
forma de descrição escolhida.
-Escoamento unidimensional: é o escoamento que pode ser descrito apenas por uma
coordenada espacial. O escoamento apresenta simetria axial e o perfil de velocidades pode
ser descrito apenas em função do raio, conforme a equação:
2
1 R
r V V m (3.5)
-Escoamento tridimensional: os escoamentos normalmente são fenômenos
tridimensionais, transitórios e complexos,V(x, y, z, t). Entretanto, em muitos casos, é
normal utilizarmos hipóteses simplificadoras pala que seja possível analisar o problema e
sem sacrificar muita a precisão dos resultados da análise. Uma destas hipóteses é a de
considerar o escoamento real como unidimensional ou bidimensional.
O campo de velocidade, na maioria dos casos, apresenta três componentes (por
exemplo: u, v e w) e, em muitas situações, os efeitos do caráter tridimensional do
escoamento são importantes. Nestes casos é necessário analisar o escoamentotridimensionalmente, pois se desprezarmos um dos componentes do vetor velocidade na
análise do escoamento obteremos resultados que apresentam desvios significativos em
relação aqueles encontrados no escoamento real.
Existem muitas situações onde um dos componentes do vetor velocidade é pequeno
demais em relação aos outros dois componentes. Nestas situações, pode ser razoável
desprezar este componente do vetor velocidade e admitir que o escoamento é
bidimensional, ou seja, V = u i + v j; onde V é função de x e y e, possivelmente, do tempo.Às vezes também é possível simplificar ainda mais a análise do escoamento
admitindo que dois componentes do vetor velocidade são muito pequenos e aproximar o
escoamento como unidimensional, ou seja, V = u i . Como nós veremos ao longo desta
apostila, o número de escoamentos verdadeiramente unidimensionais é mínimo (talvez eles
nem existam), mas nós encontramos muitos escoamentos que podem ser modelados como
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unidimensionais (os resultados obtidos com o modelo são próximos daqueles encontrados
por via experimental). É interessante ressaltar que esta hipótese não é adequada para um
numero muito grande de escoamentos.
-Escoamentos uniformes e não-uniformes: escoamento uniforme é aquele para o qual a
velocidade é constante em qualquer seção normal ao escoamento. Escoamentos não-
uniformes são aqueles para os quais a velocidade varia na seção transversal ao escoamento.
a bFigura 3.5 Exemplos de: (a) escoamento uniforme; b) escoamento não uniforme.
-Escoamento estabelecido e não-estabelecido: na entrada de um tubo, o escoamento
inicia-se com um perfil uniforme. A condição de não-deslizamento na parede provoca, a
partir da entrada do tubo, modificação do perfil de velocidades de uma seção para outra, até
adquirir um perfil que não se modifique. A distância na qual isso ocorre é denominada
“comprimento de entrada”. O escoamento que não mais se modifica entre as seções
transversais localizadas ao longo do eixo longitudinal é denominado escoamento
estabelecido. A região na qual há variação do perfil de velocidades ao longo do escoamento
é a região de escoamento não-desenvolvido ou não-estabelecido. Note que o perfil de
velocidade permanecer constante ao longo do eixo z (Fig. 3.6).
Figura 3.6 Exemplo de escoamento estabelecido.
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-Escoamentos compressíveis e incompressíveis: os escoamentos que ocorrem com
variações ou flutuações desprezíveis da massa especifica são considerados incompressíveis.
Quando essa variação não pode ser desprezada, o escoamento é considerado compressível.
A turbulência, como visto por intermédio da experiência de Reynolds, é
caracterizada por uma estrutura interna de escoamento que pode ser muito bem definida
como caótica.
No regime turbulento, a velocidade em um ponto apresenta-se como a velocidade
média acrescida de uma perturbação aleatória, variando continuamente ao longo do tempo.
O sinal obtido permite definir um valor médio Vm, e a diferença entre o valor médio e o
valor da velocidade é a velocidade de perturbação ou flutuação v’. A velocidade real é
denominada velocidade instantânea e é representada pela soma da velocidade média e da
flutuação.
'vV V m (3.5)
A velocidade média, durante um período T é obtida pela equação 3.6:
T
0
dt)t(VT
1Vm (3.6)
3.1.2 Abordagem sobre sistema de fluidos.
Vimos que existem muitos casos onde o fluido está imóvel ou apresentando
deslocamentos tão pequenos que podem ser desprezados. Entretanto, os fluidos
normalmente apresentam a tendência de escoar é muito difícil “segurar” um fluido e
restringir o seu movimento. Por menor que seja a tensão de cisalhamento aplicada num
fluido ela induzirá um movimento no fluido. De modo análogo, um desbalanço apropriado
das tensões normais também provocará o movimento nos fluidos. Assim, a finalidade
principal da hidrodinâmica é o estabelecimento das leis que regem o movimento dos
fluidos. A condição física de um fluido é totalmente determinada se forem conhecidas as
componentes u, v e w da velocidade (relativas aos eixos cartesianos x, y e z,
respectivamente), assim como os valores da densidade ρ e da pressão p, para qualquer
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tempo t e todos os pontos ocupados pelo fluido. Há, portanto, cinco incógnitas (u, v, w, p e
ρ) e quatro variáveis independentes (x, y, z e t) no problema relativo ao escoamento dos
fluidos. As cinco equações necessárias para que haja possibilidade de resolução do sistema
são:
Uma equação de conservação de massa. Uma expressão que se baseie na
continuidade espacial e temporal da matéria.
Três equações gerais do movimento. Relações de causa-efeito que exprimam as leis
que regem o movimento nas direções dos três eixos ortogonais cartesianos.
Freqüentemente, são utilizadas as equações resultantes da projeção de d'Alambert1.
Uma equação complementar. Uma equação que traduza a dependência entre duas
ou mais variáveis dependentes, levando em conta a natureza do fluido. Também é chamada
de equação de estado.Analisaremos neste capítulo vários aspectos do movimento dos fluidos
considerarmos as forças necessárias para produzir o escoamento; a análise da velocidade e
a aceleração no fluido e é claro a descrição e a visualização do movimento. É muito fácil
observar escoamentos fascinantes como aquele associado com a fumaça descarregada por
uma chaminé ou o escoamento da atmosfera indicado pelo movimento das nuvens. O
movimento das ondas num lago ou a mistura de tintas numa balde também são exemplos de
visualização de escoamentos. Muitas informações úteis destes escoamentos podem serobtidas a partir de sua análise cinemática e sem considerar as forças que os provocam.
3.2 O Campo de Velocidade
Os fluidos apresentam movimentos moleculares, ou seja, as moléculas do fluido
sempre estão se movimentando de um ponto para outro ponto. Uma porção típica de fluido
contém tantas moléculas que ficaria totalmente inviável descrever o movimento de todas as
moléculas individuais (exceto em alguns casos). Em vez disto, nós formulamos a hipótese
de meio contínuo e consideramos o fluido como composto por partículas fluidas que
interagem entre si e com o meio. Cada partícula contém muitas moléculas, Assim, nós
1 Jean le Rond d'Alambert (1717-1783). Matemático e enciclopedista francês. Foi quem esclareceu o conceitode limite. Publicou Traité de Dynamique em 1743, onde consta seu princípio de projeção, deduzido a partir daterceira lei de Newton. Trata-se de um método geral de redução dos problemas dinâmicos a problemasestáticos, por meio da superposição de forças adicionais correspondentes às acelerações.
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podemos descrever o escoamento de fluido em função do movimento das partículas fluidas
(velocidade e aceleração) em vez do movimento das moléculas.
Figura 3.7 Localização da partícula com o vetor posição.
As partículas infinitesimais de fluido são compactas (é uma decorrência da hipótese
de meio contínuo). Assim, num dado instante, a descrição de qualquer propriedade do
fluido (massa especifica, pressão, velocidade e aceleração) pode ser formulada em função
da posição da partícula.
A apresentação dos parâmetros do fluido em função das coordenadas espaciais é
denominada representação do campo de escoamento. É claro que a representação do campo
de escoamento pode ser diferente a cada instante e, deste modo, nós precisamos determinar
os vários parâmetros em das coordenadas espaciais e do tempo para descrever totalmente o
escoamento. Assim, para especificar a temperatura, T, do ar contido numa sala nós
precisamos especificar o campo de temperatura, T = T (x, y, z, t), na sala (do chão ao teto e
de parede a parede) ao longo do tempo uma das variáveis mais importantes dos
escoamentos é o campo de velocidades,
V = u (x, y, z, t) i + v (x, y, z, t) j + w (x, y, z, t) k; (3.7)onde u, v e w são os componentes do vetor velocidade nas direções x, y e z. Por definição,
a velocidade da partícula é igual a taxa de variação temporal do vetor posição desta
partícula. A Fig. 3.7 mostra a posição de uma partícula A em relação ao sistema de
coordenadas é dada pelo seu vetor posição rA, e que este valor é uma função do tempo se a
partícula está se movimentando. A derivada temporal do vetor posição fornece a velocidade
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da partícula, ou seja, drA /dt = VA. Nós podemos descrever o campo vetorial de velocidade
especificando a velocidade de todas as partículas fluidas, ou seja, V = V (x, y, z, t).
A velocidade é um vetor, logo ela apresenta módulo, direção e sentido. O módulo de
V é representado por V = 2
1222
wvuV
. Nós mostraremos na seção 3.4 que umamudança na velocidade provoca uma aceleração e que esta aceleração pode ser devida a
uma mudança de velocidade e/ou direção.
Durante o escoamento, uma determinada partícula, que se encontra em um ponto P
no tempo t, é dotada de uma velocidade instantânea v. Devido à tridimensionalidade do
escoamento, essa velocidade varia tanto temporal como espacialmente, tanto em
intensidade como em direção e sentido. O escoamento é dito permanente quando os
parâmetros envolvidos são temporalmente invariantes em todo e qualquer ponto do
escoamento. Um conceito importante é o da velocidade média, quando se pretende
conceituar o movimento permanente em média:
t t
t
m dt V t
V 1
(3.8)
onde ∆t é o intervalo de tempo considerado. Analogamente, podem-se definir valores
médios e instantâneos para as outras grandezas que intervêm no escoamento, como a
pressão e a densidade. Em alguns métodos de simulação numérica de escoamentos não
permanentes, utiliza-se este conceito de escoamento permanente em média, durante
pequenos intervalos de tempo.
3.3 Descrições Euleriana e Lagrangeana dos Escoamentos
Existem dois modos para analisar os problemas da mecânica dos fluidos (ou de
outras áreas da física). O primeiro método, denominado método de Euler2 ou Euleriano,
utiliza o conceito de campo apresentado na seção 3.2. Neste caso, o movimento do fluido é
descrito pela especificação completa dos parâmetros necessários (por exemplo, pressão,
massa específica e velocidade) em função das coordenadas espaciais e do tempo. Neste
método nós obtemos informações das grandezas físicas do fluido no decorrer do tempo, em
2 Leonhard Euler (1707-1783). Matemático suíço. Discutiu Mecânica, Cálculo, Álgebra, Teoria dos Númerose a maioria dos tópicos matemáticos de seu tempo. Foi aluno de Johann Bernoulli, na juventude. Morreu cegona Alemanha.
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um determinado volume de controle, fixo no espaço. No método de Euler, o problema é
enunciado da seguinte forma:
“Conhecida a velocidade (u1 , v1 , w1 ), a pressão p1 e a massa específica ρ1 no instante t1 , emum dado ponto (x y, z), determinar a pressão p, a densidade ρ e a velocidade (u,v,w) nessemesmo ponto, no tempo t.”
O segundo método, denominado método de Lagrange3 ou Lagrangeano, envolve
as partículas fluidas e determina como as propriedades das partículas variam em função do
tempo. Ou seja, as partículas são “rotuladas” (identificadas) e suas propriedades são
determinadas durante o movimento. Consiste no acompanhamento das partículas
individuais em seu movimento ao longo de suas trajetórias. Segundo este critério, resolve-
se o seguinte problema:
"Conhecida a posição (x1, y1, z1), a pressão p1 e a densidade ρ1 de uma partícula líquida, no
instante t1 , determinar sua pressão p, sua densidade ρ e sua posição (x, y, z) no instante t."
A diferença entre os dois métodos de analisar os escoamentos pode ser vista no
exemplo da fumaça descarregada de uma chaminé. No método Euleriano uma pessoa pode
instalar um dispositivo para a medir a temperatura no topo da chaminé (ponto 0) e registrar
a temperatura neste ponto em função do tempo. Note que o termômetro indicará a
temperatura de partículas diversas em instantes diferentes. Assim podemos obter a
temperatura, T, neste ponto (x =xo; y = yo e z = zo) em função do tempo. A utilização de
vários termômetros fixos em diversos pontos nos fornecerá o campo de temperatura doescoamento, T(x, y, z, t). A temperatura da partícula em função do tempo não pode ser
determinada a menos que conheçamos a posição da partícula em função do tempo.
No método Lagrangeano, nós instalaríamos um dispositivo de medir a temperatura
numa partícula fluida (partícula A) e registraríamos a sua temperatura durante o
movimento. Assim, nós a temperatura da partícula, T = TA (t). A utilização de um conjunto
de dispositivos de medir a temperatura em várias partículas forneceria a história das
temperaturas destas partículas. Nós não poderíamos determinar a temperatura em função da
posição a menos que a localização de cada partícula fosse conhecida em função do tempo.
É importante ressaltar que se dispusermos das informações suficientes para a descrição
3 J. L. Lagrange (1736-1813). Matemático naturalizado francês, nascido em Turim (Itália). Um dosfundadores da École Polytechnique, onde trabalhou em Teoria dos Números e na solução sistemática deequações diferenciais. Seu maior trabalho foi Mécanique Analytique.
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Euleriana é possível determinar todas as informações Lagrangeanas do escoamento em
questão e vice-versa.
Figura 3.8 Descrição Euleriana e Lagrageana da temperatura num escoamento.
3.3 Descrição de um Campo de Escoamento
Até agora, os escoamentos formam representados, nas diversas classificações e
definições, por perfil de velocidade, que permite algum entendimento do escoamento, mas
não indica seu comportamento, muitas vezes necessário no estudo em curso. Assim, para
representar um escoamento graficamente foram desenvolvidos os conceitos de trajetória,linha de emissão e linha de corrente.
3.3.1 Trajetória
Define-se trajetória como o lugar geométrico ocupado por determinada partícula em
função do tempo. A trajetória pode ser obtida marcando-se as diversas posições que uma
molécula de fluido ocupa ao longo do tempo. A visualização prática da trajetória é
conseguida por meio de um traçador colocado no escoamento, o qual representará uma
molécula, mas que pode ser facilmente visível. Esse traçador pode ser, por exemplo uma
pequena bóia flutuando em um curso d’água. A trajetória pode ser obtida a partir de uma
fotografia de múltipla exposição, feita a partir de um ponto fixo. As diversas imagens do
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traçador representarão a posição da partícula em cada instante e a linha que une os pontos
indicará a trajetória, como na Fig. 3.9.
Figura 3.9 Visualização de trajetória.
Considerando a nomenclatura apresentada na Figura 3.9, a velocidade obtida pela
derivada do vetor posição R(t) em relação ao tempo, portanto, uma equação matemática da
trajetória é dada pela expressão:
dt V t Rd
)( (3.9)
em que R = (x, y, z) é o vetor posição no instante t e V é a velocidade da partícula naqueleinstante. A equação vetorial 3.9 pode ser representada por três equações escalares, uma para
cada coordenada, permitindo escrever a equação da trajetória conforme apresentado na
equação 3.10.
dt
t z y xV
dz
t z y xV
dy
t z y xV
dx
z y x
,,,,,,,,,
(3.10)
3.3.2 Linha de Emissão
Define-se a linha de emissão de um ponto P = (xo, yo), num instante t1 genérico,
como o lugar geométrico ocupado pelas partículas que passaram pelo ponto P antes do
instante t1, isto é, para t < t1.
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Figura 3.10 Visualização de linha de emissão.
3.3.3 Linha de corrente
Uma linha de corrente é uma linha imaginária num campo de escoamento tal que
para um dado instante de tempo, a velocidade em qualquer ponto é obtida pela tangente a
esta linha em cada ponto.
Figura 3.11 Definição de linha e visualização de um tubo de corrente.
Um filamento de corrente é uma família de linhas de corrente que formam uma
passagem de seção reta infinitesimal. Um tubo de corrente é limitado por um número
infinito de linhas de corrente que formam uma superfície finita através da qual não existe
escoamento.
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3.4. O Campo de Aceleração.
Nós mostramos na seção 3.3 que podemos descrever os escoamentos de dois modos:
(1) seguindo as partículas fluidas (descrição Lagrangeana) e (2) analisando o que acontece
num ponto fixo no espaço, ou seja, observando partículas diferentes que passam por este
ponto (descrição Euleriana). Para aplicar a segunda lei de Newton (F = m a), nos dois tipos
de descrição de escoamento, é necessário especificar a aceleração da partícula de modo
apropriado. Para o método de Lagrange (cuja utilização não é freqüente) nós especificamos
a aceleração do fluido do mesmo modo utilizado na mecânica dos corpos rígidos. Já para a
descrição Euleriana, nós vamos especificar o campo de aceleração (função da posição e do
tempo) e não vamos analisar o movimento de uma partícula isolada. Isto é análogo a
descrever o escoamento com o campo de velocidade, V = V(x, y, z, t), e não com o
conjunto de velocidades das partículas. Nesta seção nós mostraremos como obter o campo
de aceleração a partir do campo de velocidade.
A aceleração de uma partícula é a taxa de variação de sua velocidade. Para
escoamentos em regime transitório, a velocidade numa dada posição (ocupada por
diferentes partículas) pode variar com o tempo e, deste modo, proporcionar uma aceleração.
Mas uma partícula fluida também pode ser acelerada enquanto escoa de um ponto para
outro devido à variação de sua velocidade.Com o tratamento euleriano, as variações infinitesimais de velocidade devem ser
expressas em termos de derivadas parciais, já que cada componente é afetado tanto pelo
espaço quanto pelo tempo. Assim, observando que x, y, z são funções do tempo, podemos
estabelecer o campo de aceleração pelo emprego da regra da cadeia da diferenciação parcial
da seguinte maneira:
t
V
dt
dz
z
V
dt
dy
y
V
dt
dx
x
V t z y xV
dt
d a ,,, (3.11)
como x, y e z são coordenadas de qualquer partícula, é claro que dx/dt, dy/dt e dz/dt devem
ser as mesmas componentes escalares da velocidade de uma partícula qualquer e podem ser
designadas por Vx, Vy, Vz, respectivamente. Assim,
t
V
z
V V
y
V V
x
V V a z y x (3.12)
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As três equações escalares, correspondentes à Eq. 3.12 nas três direções de coordenadas
cartesianas, são
t
V
z
V V
y
V V
x
V V a x x
z
x
y
x
x x (3.13)
t
V
z
V V
y
V V
x
V V a
y y
z
y
y
y
x y (3.14)
t
V
z
V V
y
V V
x
V V a z z
z
z
y
z
x z (3.15)
A aceleração das partículas fluidas em um campo de escoamento por ser imaginada pela
superposição de dois efeitos, que são dados a seguir.
1. Em um dado instante t, admite-se que o campo fique permanente. A partícula,
em tais circunstâncias, está para mudar de posição nesse campo permanente.
Dessa forma, ela está efetuando uma mudança de velocidade porque a
velocidade em várias posições neste campo será, em geral, diferente em cada
instante t. Essa razão de variação de velocidade com o tempo devida à mudança
de posição no campo é chamada de aceleração de transporte, ou aceleração
convectiva, e é dada pelos termos nos primeiros parênteses das equações de
aceleração precedentes. Por exemplo, a água que está escoando
permanentemente, numa mangueira de jardim apresentará uma aceleraçãoquando escoar da mangueira, onde a velocidade é relativamente baixa, para a
seção de descarga do bocal da mangueira (onde a velocidade é relativamente
alta).
2. O termo dos segundos parênteses, nas equações de aceleração, não aparece
devido à mudança de posição da partícula, mais sim pela razão de variação do
campo de velocidade na posição ocupada pela partícula no instante t. Ela é
chamada de aceleração local.
A diferenciação efetuada na Eq. 3.12 é chamada de substancial, ou total. A fim de enfatizar
o fato de que a derivada em relação ao tempo é efetuada quando se segue a partícula, a
notação D/Dt é freqüentemente usada no lugar de d/dt. Dessa forma, a derivada substancial
da velocidade é dada por DV/Dt. A complexidade crescente, além da experimentada na
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mecânica das partículas, é o preço que temos de pagar por usarmos, por necessidade,
coordenadas espaciais para identificarmos partículas em um meio contínuo deformável.
Derivada material ou substancial
Figura 3.12 Velocidade e posição de uma partícula A no instante t.
Considere a partícula fluida que se move ao longo da trajetória mostrada na Fig.
3.12. Normalmente, a velocidade da partícula A, VA é uma função de sua posição e do
tempo, ou seja,
t t zt yt xV t r V V A A A A A A A ,,,, (3.16)
onde xA = xA (t), yA = yA (t), zA = zA (t) definem a posição da partícula fluida. Por
definição, a aceleração da partícula é igual a taxa de variação de sua velocidade. Como a
velocidade pode ser uma função da posição e do tempo, seu valor pode ser alterado em
função de variações temporais bem como devido a mudanças de posição. Assim, se nós
utilizarmos a regra da cadeia da diferenciação para obter a aceleração da partícula A,
obteremos;
dt
dz
z
V
dt
dy
y
V
dt
dx
x
V
t
V
dt
dV t a A A A A A A A A
A
(3.17)
Podemos reescrever a equação, lembrando que uA = dxA /dt, vA = dyA /dt, wA = dzA /dt, nós
podemos reescrever a equação anterior do seguinte modo:
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z
Vw
y
V
x
Vu
t
V
Dt
VDta A
AA
AA
AA
A
(3.18)
As componentes vetoriais desta equação são:
z
uw
y
uv
x
uu
t
ut a x
(3.19)
z
vw
y
vv
x
vu
t
vt a y
(3.20)
z
ww
y
wv
x
wu
t
wt a z
(3.21)
onde ax, ay e az são os componentes do vetor aceleração nas direções x, y e z.
O resultado anterior muitas vezes é escrito como
Dt
DV a (3.22)
onde o operador
z
w y
v x
ut Dt
D
(3.23)
é denominado derivada material ou derivada substantiva. Um outra notação utilizada para o
operador derivada material é
V
t Dt
D(3.24)
O produto escalar do vetor velocidade V, com o operador gradiente,
k ji ˆ / ˆ / ˆ / (é um operador vetorial) fornece uma notação
conveniente para as derivadas espaciais que aparecem na representação cartesiana da
derivada material. Note que a notação V representa o operador
zw yv xuV / / / . O conceito de derivada material é muito útil na
análise de vários parâmetros do escoamento e não apenas na análise da aceleração.
Antes de passarmos para o próximo capítulo vamos fazer alguns comentários sobre
os três tipos de derivadas com respeito ao tempo que foram utilizadas no texto. Para ilustrar
isto utilizaremos um exemplo simples, como o problema de definir a concentração de
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peixes no Rio Negro. Pois os peixes estão em movimento, sua concentração c será uma
função da posição (x, y, z) e do tempo t.
Derivada parcial com respeito ao tempo, t c /
Suponhamos que estamos sobre uma ponte e observamos como varia a
concentração de peixes exatamente debaixo de nós com o tempo. Estamos, pois,
observando como varia a concentração com o tempo, para uma posição fixa no espaço. De
acordo com isto, indica t c / a parcial de c com respeito a t, mantendo constante x, y e
z .
Derivada total com respeito ao tempo, dt dc /
Suponhamos agora que em vez de estar sobre a ponte, vamos numa lancha a motor
que se move no rio em todas as direções, uma vez contra a correnteza, outra vez na mesma
velocidade da corrente, e outras vezes a favor da corrente. Ao medir a variação da
concentração dos peixes com respeito ao tempo, os números que resultam devem refletir
também o movimento da lancha. A derivada total com respeito ao tempo é dada por
dt
dz
z
c
dt
dy
y
c
dt
dx
x
c
t
c
dt
dc
(3.25)
onde dx/dt, dy/dt e dz/dt são os componentes da velocidade da lancha.Derivada substancial com respeito ao tempo, Dt Dc /
Suponhamos que vamos numa canoa na qual não se aplica qualquer tipo de energia
mecânica, apenas flutua. Neste caso a velocidade do observador é exatamente a mesma
velocidade da correnteza v. Ao medir a variação da concentração de peixes com respeito ao
tempo, os números dependem da velocidade local da correnteza. Esta derivada é uma clase
especial de derivada total com respeito ao tempo que se denomina derivada substancial
ou, as vezes (mais logicamente), derivada seguindo o movimento . Está
relacionada com a derivada parcial com respeito ao tempo da seguinte forma:
z
cv
y
cv
x
cv
t
c
Dt
Dc z y x
(3.26)
onde vx, vy e vz, são os componentes da velocidade local do fluido v.
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O leitor deverá entender perfeitamente o significado físico destas três derivadas. Recorde-se
que t c / é a derivada para o ponto fixo no espaço e Dt Dc / é a derivada calculada por
um observador que flutua com a correnteza na mesma velocidade do fluido.