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MECANICA DE FLUIDOS I
FACULTAD DE INGENIERIA ARQUITECTURA Y URBANISMO.
ESCUELA DE INGENIERIA CIVILASIGNATURA :
MECÁNICA DE FLUIDOS I.
DOCENTE : Mg.TC. Ing. Carlos A. Loayza Rivas
INTEGRANTES:CASTILLO RODRIGUEZ, VANIA.CERVERA VARGAS ROY.
CHUQUICAGUA GOICOCHEA, CARLOS.LLONTOP MEJIA, BANY.
SERRATO MACO CESAR.TORRES DELGADO, KEILERPAREDES QUINTANA, REYNALDO
CICLO : IV
TURNO : NOCHE
PIMENTEL OCTUBRE 2012
HIDROCINEMATICA
Mgtc. Ing. Carlos Adolfo Loayza Rivas 1
MECANICA DE FLUIDOS I
CINEMÁTICA DE LOS FLUIDOS
Definición.- Estudia los Fluidos en movimiento, es decir del movimiento de sus
partículas, sin considerar la masa ni las fuerzas que actúan, en base al
conocimiento de las magnitudes cinemáticas: velocidad, aceleración y
rotación.
Campo de flujo.- Es cualquier región ocupada por el fluido en movimiento,
donde sus magnitudes físicas, ya sean escalares, vectoriales o tensoriales
(presión, densidad, temperatura, velocidad, aceleración, etc.) del fluido en
movimiento, puede variar de un punto a otro y en un mismo punto de un
instante a otro (función de la posición y tiempo).
Características del campo de flujo
Campo escalar: Se define exclusivamente por la magnitud que adquiere la
cantidad física a la cual corresponde; ejemplos: presión, densidad y
temperatura.
Campo Vectorial: En un campo vectorial además de la magnitud, se necesita
definir una dirección y un sentido para la cantidad física a la cual corresponde
esto es tres valores escalares definen la cantidad física; ejemplos: la velocidad,
la aceleración y la rotación.
Campo tensorial: Para definir un campo tensorial se requieren nueve o más
componentes escalares; ejemplos: esfuerzo, deformación unitaria, y momento
de inercia.
1.- Campo vectorial de velocidades.-
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MECANICA DE FLUIDOS I
El análisis del movimiento de una partícula del fluido que recorre una línea
usualmente curva que se llama trayectoria se puede hacer de dos maneras
distintas:
a) Por el conocimiento del vector de posición , de la partícula, como una
función vectorial del tiempo (t).
Si es función del tiempo entonces sus componentes son también funciones
del tiempo; es decir:
x=x ( t ) ; y= y (t ); z=z ( t ) .
b) Por el conocimiento de la curva que recorre la partícula y la función camino
recorrido-tiempo.
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MECANICA DE FLUIDOS I
En este caso la posición de la partícula se determina por la longitud del camino
recorrido, siguiendo la curva (a partir de un punto de origen A), como una
función escalar del tiempo; esto es:
Definición de Velocidad.- El Vector velocidad de una partícula fluida se define
como la rapidez (magnitud de la velocidad) temporal del cambio en su
posición.
.
Donde representa el vector diferencial de arco, sobre la curva C, que
recorre la partícula en el tiempo dt.
La velocidad es, entonces, un campo vectorial dentro de un flujo y, al
desplazarse la partícula según la curva C, es un vector tangente en cada punto
a la misma que, en general, depende de la posición de la partícula y del tiempo.
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MECANICA DE FLUIDOS I
Haciendo: dxdt
=V x;
dydt
=V yy
dzdt
=V z
Luego, Expresión vectorial de la velocidad.
Donde:
Módulo de la Velocidad:
2.- Campo vectorial de aceleraciones.- Es un campo vectorial que se deriva
del campo de velocidades.
Definición de aceleración.- El vector aceleración de una partícula en un punto
se define como la variación temporal de la velocidad en ese punto; esto es:
En cuanto a su dirección la aceleración no tiene una orientación coincidente
con la trayectoria de la partícula; siendo la aceleración también una función de
la posición y tiempo.
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MECANICA DE FLUIDOS I
Haciendo:
dV x
dt=ax ;
dV y
dt=a y y
dV z
dt=az
Resulta:
Expresión vectorial de la aceleración
A veces es conveniente expresar la aceleración en función de sus
componentes normal y tangencial.
Módulo de aceleración:
La aceleración deriva del campo de velocidades, donde:
Tomemos un diferencial total de velocidad :
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MECANICA DE FLUIDOS I
¿dt
Ordenando:
…………..(1)
Sabemos que:
Y además:
Luego: ……………(2)
(2)→ (1): …………….(3)
Donde la Expresión (3) representa el Campo Vectorial de Aceleraciones en
función del producto escalar , denominado divergencia de .
= aceleración local (depende del tiempo)
= aceleración convectiva (depende de la posición)
Comentario: Si el flujo es permanente: y
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MECANICA DE FLUIDOS I
Es decir el campo de aceleraciones se reduce solo a la componente
convectiva.
Desarrollemos ahora la componente convectiva, para representarla en
término del producto vectorial , conocido como rotacional de V⃗ (rot V⃗ ) .
Apliquemos la propiedad distributiva de la multiplicación.
Hagamos:
(II)=
(III) =
Trabajando con (I):
Sumando y restando ; a la expresión anterior, resulta:
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MECANICA DE FLUIDOS I
iVzx
VzVyx
VyVzx
VzVyx
VyVxz
VzVxy
VyVxx
Vx )(
………”(α)”.
Del primer término de (α); observamos:
xVxVx
xVxVx2
21
xVx
21 2
Tomando los extremos: 12
∂Vx2
∂ x=Vx ∂Vx
∂ x ……………..(β)
Análogamente: 12
∂Vy 2
∂ x=Vy ∂Vy
∂ x ……………..(β)
xVzVz
xVz
2
21
…………… (β)
(β) → (α)
Factor común: 12
∂∂ x
…………….(ө)
Además conocemos que:
VzVyVxzyx
kji
V
, cuyo desarrollo es:
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MECANICA DE FLUIDOS I
Ahora, el desarrollo de: :
VzVyVx
Vxy
Vyx
Vxz
Vzx
Vyz
Vzy
kji
VV )()()()(
Trabajando ahora sólo con la componente en la dirección de
:(θ)→(ال)
Análogamente:
Aceleración convectiva( ):
;
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MECANICA DE FLUIDOS I
Por lo tanto, la aceleración total de la partícula será:
3.- El campo rotacional.
Es un campo vectorial, que se deriva del campo de velocidades, y que evalúa
la rotación local de una partícula y se define matemáticamente por el producto
vectorial de por .
Rotacional de
VzVyVxzyx
kji
Vrot
Cuyo desarrollo es:
Como deriva del campo de velocidades, también es función tanto del punto
como de tiempo y es una medida de la rotación o vorticidad de la partícula
dentro del flujo, por esta razón se le conoce también como campo vorticoso.
Significado físico del vector rotacional:
Como el cuerpo rígido, además de la traslación una partícula puede
experimentar una rotación, intentemos una representación física del vector
rotacional.
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MECANICA DE FLUIDOS I
Generalidades para la interpretación física:
a) Consideremos la rotación pura de una partícula (prescindimos de la
traslación de la partícula)
b) Al encontrarse la partícula en rotación pura, a través del movimiento de giro
alrededor de un eje instantáneo,que pasa por el centro de gravedad de la
partícula “P0” (cuya dirección lo da el vector unitario ( ), normal al plano
formado por dos líneas ortogonales contenidas en la partícula.
c) Para poder entender la rotación, consideramos que el punto “Po”, ha tenido
una traslación pura al punto “P”, desplazándose un infinitésimo ,
en un instante dt; adquiriendo una velocidad tangencial .
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MECANICA DE FLUIDOS I
Descripción de la rotación pura.-
1.- Definida la posición del punto “P” coincidente con el extremo de una de las
líneas ortogonales, esta la tomamos como posición inicial de la rotación
pura, (prescindiendo de la traslación de la partícula).
2.- En un instante “dt” el punto “P” ha rotado a una posición “P ’” habiéndose
desplazado un d θ⃗ , con un radio de giro .
3.- Al producirse la rotación la velocidad angular ω bale:
ω=dθdt
Variación del ángulo de rotación “θ” con el tiempo “t”. El vector velocidad
angular será:
La velocidad tangencial puede definirse como:
Donde:
Vx=ω y dz−ωz dy
V⃗ y=ωx dz−ωz dx
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MECANICA DE FLUIDOS I
V⃗ z=ωx dy−ω y dx
Calculamos el rotacional de , es decir:
rot V⃗×V⃗ =|
i⃗ j⃗ k⃗∂∂ x
∂∂ y
∂∂ z
(ω y dz−ωz d y) −(ωx dz−ωz dx ) (ωx dy−w y dx )
|
+[− ∂∂ x
(ωx dz−ωz dx )+ ∂∂ y
(ω y dz−ωz dy )] k⃗
Por lo tanto el significado físico del vector rotacional en un movimiento
de rotación alrededor de un eje es igual al doble del vector velocidad
angular:
De la expresión (β)
La aceleración en un punto está formada por las componentes:
12
∇⃗ (V 2 ) = Corresponde al movimiento de traslación pura.
= Correspondiente al movimiento de rotación,
llamada aceleración de “Coriolis”. Y
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MECANICA DE FLUIDOS I
∂∂ t
V⃗= Aceleración local.
Clasificación de los Flujos
Existen diferentes criterios para clasificar un flujo. Este puede ser: permanente
o no permanente; uniforme o no uniforme; laminar o turbulento; supercrítico,
crítico o subcrítico; tridimensional, bidimensional o unidimensional; rotacional o
irrotacional, incompresible o compresible, etc. aunque no los únicos, si son los
flujos más importantes que clasifica la ingeniería.
Es de interés particular de la ingeniería las conducciones por tubería y por
canal.
Flujo permanente:
Llamado también flujo estacionario.
Este tipo de flujo se caracteriza porque las condiciones de velocidad de
escurrimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo, o sea que
permanecen constantes con el tiempo o bien, si las variaciones en ellas son tan
pequeñas con respecto a los valores medios. Así mismo en cualquier punto de
un flujo permanente, no existen cambios en la densidad, presión o temperatura
con el tiempo.
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∂v∂ t
=0
∂ p∂ t
=0
∂Q∂ t
=0
MECANICA DE FLUIDOS I
Flujo no permanente:
Llamado también flujo no estacionario.
En este tipo de flujo en general las propiedades de un fluido y las
características mecánicas del mismo serán diferentes de un punto a otro dentro
de su campo, además si las características en un punto determinado varían de
un instante a otro se dice que es un flujo no permanente,
Flujo uniforme:
Este tipo de flujos son poco comunes y ocurren cuando el vector velocidad en
todos los puntos del escurrimiento es idéntico tanto en magnitud como en
dirección para un instante dado.
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∂v∂ t
≠ 0
∂ p∂ t
≠ 0
∂Q∂ t
≠ 0
∂ v∂L
=0
∂ p∂ L
=0
MECANICA DE FLUIDOS I
Flujo no uniforme:
Es el caso contrario al flujo uniforme, este tipo de flujo se encuentra cerca de
fronteras sólidas por efecto de la viscosidad.
Flujo Unidimensional, Bidimensional y Tridimensional.
Estrictamente hablando el flujo es siempre tridimensional, es decir cuando sus
características hidráulicas o variables hidráulicas, cambian en el espacio, o sea
que los gradientes del flujo existen en las tres direcciones.
El flujo es bidimensional, cuando sus características son idénticas sobre una
familia de planos paralelos, no habiendo componentes en dirección
perpendicular a dicho plano, o bien ellas permanecen constantes; es decir, que
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∂v∂L
≠0
∂ p∂ L
≠ 0
MECANICA DE FLUIDOS I
el flujo tiene gradiente de velocidad o de presión (o tiene ambos) en dos
direcciones exclusivamente.
El flujoes unidimensional, Cuando sus características varían como funciones
del tiempo y de una coordenada curvilínea en el espacio usualmente la
distancia medida a lo largo del eje de la conducción.
El flujo de un fluido real no puede ser completamente unidimensional, debido al
efecto de la viscosidad, ya que la velocidad en una frontera sólida es igual a
cero, pero en otro punto es distinto de cero; sin embargo bajo la consideración
de valores medios de las características en cada sección se puede considerar
unidimensional. Esta hipótesis es la más importante en hidráulica, por las
simplificaciones que trae consigo.
En resumen un flujo es siempre tridimensional. Sin embargo cuando en el flujo
prevalece una dirección es considerada unidimensional, como ocurre con las
tuberías y los canales. En el caso de los canales hay circunstancias en las
cuales no se puede prescindir de una segunda dimensión para describir al flujo,
debiendo hacerse el estudio del flujo plano o bidimensional.
Laminar y Turbulento
Clasificación de los flujos de acuerdo al predominio de las fuerzas viscosas y
de las fuerzas de inercia.
Flujo Laminar.- Flujo característico de velocidades bajas, de trayectorias
ordenado, rectilíneas y paralelas.
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MECANICA DE FLUIDOS I
Flujo turbulento: Flujo característico de velocidades ordinarias (altas), de
trayectoria erráticas o desordenadas. Existen pequeñas componentes de
velocidad en direcciones transversales a la del movimiento general, las cuales
no son constantes, si no que fluctúan con el tiempo; de acuerdo con una ley
aleatoria, aún cuando el flujo en general sea permanente.
Las componentes transversales de la velocidad en cada punto originan un
mezclado intenso de las partículas que consume parte de la energía del
movimiento por efecto de la fricción interna y que también en cierto modo, es
resultado de los efectos viscosos del fluido.
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Existe mezclado intenso de las
partículas.
No existe mezcla macroscópica
o intercambio transversal entre
partículas.
MECANICA DE FLUIDOS I
Existe un parámetro que es función , y cuyo valor permite diferenciar el
flujo, es decir, si es laminar o turbulento, denominado Número de Reynolds (
).
Flujo Rotacional e Irrotacional.-
Un flujo es rotacional, si en su seno el campo rot adquiere valores distintos
de cero para cualquier instante y es Irrotacional, por el contrario, si en su seno
del campo de flujo, el vector rotacional de es igual a cero para cualquier
punto e instante.
Si se exceptúa la presencia de singularidades vorticosas, en el caso general, el
movimiento de un fluido ideal se puede suponer Irrotacional. Los efectos de la
viscosidad de fluido constituyen la causa principal de dichas singularidades
(vorticosas). Sin embargo, el flujo Irrotacional ocurre con bastante frecuencia
en los problemas de la práctica.
Si bien el término rotación implica un giro de partículas, esto no significa que es
rotacional todo movimiento efectuado de acuerdo a una trayectoria curva o bien
que todo movimiento rectilíneo es Irrotacional.
Ciertos escurrimientos se pueden considerar macroscópicamente como
irrotacionales. En otros casos, a pesar de existir trayectorias curvas, la
distribución de velocidades puede ser de forma tal que las líneas medianas o
las diagonales de una partícula, de forma rectangular, no modifican su
orientación durante el movimiento, el flujo es obviamente Irrotacional. Esto se
representa esquemáticamente en las figuras siguientes en las cuales el vector
rot sería normal al plano del papel.
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MECANICA DE FLUIDOS I
El movimiento a bajas velocidades de un fluido viscoso, es generalmente
rotacional.
Flujo Lineal Irrotacional Flujo Lineal Rotacional
Flujo Curvilíneo Irrotacional Flujo Curvilíneo Rotacional
(Esquema Ideal) (Esquema Real)
Descripción del Movimiento
El movimiento de un fluido queda descrito cuando se está en condiciones de
conocer:
El cambio de posición de una partícula
La variación de la velocidad en un punto.
Hay dos formas clásicas de describir el movimiento de un fluido:
Método de Euler: También conocido como local, consiste en elegir un punto y
determinar las variables cinemáticas en ese punto, en cada instante sin
considerar el camino que después siga cada partícula individual (trayectoria).
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MECANICA DE FLUIDOS I
Elegida la posición de una partícula en el espacio, sus características
cinemáticas son funciones del tiempo, a saber:
Las variables dependientes son: Vx, Vy y Vz
Las variables independientes son: x, y, z, t.
Método de Lagrange: Consiste en elegir una partícula y determinar las
variables cinemática de esa partícula, en cada instante, siguiendo su recorrido.
Identificada una partícula por su posición inicial (xo, yo, zo), en el instante t = to
, en otro instante cualquiera “t”, la misma partícula se encuentra en la posición
. Entonces la posición de la partícula se tiene conocida en cualquier
instante si el vector de posición se determina como función del tiempo “t” y la
posición inicial ; o sea:
Las variables dependientes son: x, y, z.
Las variables independientes son: a, b, c, t.
De los dos métodos se prefiere el primero por qué su manejo analítico es más
simple. Es el que normalmente se emplea en los libros de mecánica de fluidos.
Línea de corriente, trayectoria y tubo de corriente
Se supone que en un instante “t0” se conoce el campo de velocidad de un
flujo.
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MECANICA DE FLUIDOS I
Línea de Corriente.- se define línea de corriente toda línea trazada
idealmente en el seno líquido de modo que la tangente en cada uno de sus
puntos proporcione la dirección del vector velocidad correspondiente. No existe
posibilidad de que dos líneas de corriente tengan un punto común, pues ello
significaría que en el punto de intersección existieran dos vectores distintos.
Si el flujo es no permanente para otro instante “t” la configuración de las líneas
de corriente es otra. Si el flujo es permanente la configuración de dos líneas de
corriente es la misma en cualquier momento.
Línea de corriente para un instante “t”
Ecuaciones de la línea de corriente
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MECANICA DE FLUIDOS I
En la línea de corriente de la figura, para un instante “t”, donde el punto “1” está
infinitamente próximo a “2”, de manera que se puede considerar que
.
Como son vectores paralelos (tienden a ser colineales), luego:
Donde = Vector unitario perpendicular al plano “0”, “1” y “2”
Como son paralelos
Sistema de tres ecuaciones diferenciales, obtenida de (1), (2) y (3):
La última expresión constituye la ecuación analítica de la línea de corriente
para un instante “t”. Donde, recordamos que:
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MECANICA DE FLUIDOS I
Trayectoria: Se define trayectoria la curva que marca el camino que sigue
una partícula con el transcurrir del tiempo.
Luego (2)→(1)
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MECANICA DE FLUIDOS I
Comparando (3), (4), (5) y acomodando:
La expresión anterior constituye la ecuación analítica de la trayectoria.
“Si el flujo es no permanente la línea de corriente y trayectoria son líneas
distintas, pero si el flujo es permanente significa lo mismo”.
La razón está en que el flujo permanente el campo de velocidad no cambia con
el tiempo.
- Toda partícula que pase por “a0” sigue la misma trayectoria.
- En cada punto a0, a1, …an el vector velocidad permanece igual
Todas las partículas que pasen por
Todas las partículas que pasen por
Todas las partículas que pasen por
Tubo de flujo: Si se considera dentro del flujo una curva cerrada “c” y las
líneas de corriente que pasan por cada uno de sus puntos, la totalidad de éstas
líneas de corriente definen una superficie que se denomina tubo de flujo ó tubo
de corriente y que no puede ser atravesada por el fluido. El volumen encerrado
se conoce como vena líquida o vena fluida.
Cuando el tubo de corriente es de pequeña sección se le denomina filete
hidráulico.
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MECANICA DE FLUIDOS I
PROBLEMAS APLICATIVOS
1) Calcular la línea de corriente de un flujo permanente producido por un tornado cuyo vector velocidad que está determinado por:
v⃗= − y(x2+ y2)
i⃗+ x(x2+ y2)
j⃗
v⃗=v x i⃗+v y j⃗
Aplicamos la ecuación de línea de corriente:
v x
dx=
v y
dy
− y(x2+ y2)
dx=
x(x2+ y2)
dy
− y(x2+ y2)
dx1
=
x(x2+ y2)
dy1
∫− ydy=∫ xdx
− y2
2+c1=
x2
2+c2
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MECANICA DE FLUIDOS I
c1−c2=x2
2+ y2
2
c= x2+ y2
2
2c=x2+ y2
c=x2+ y2
2) Demostrar al campo de V→
considerado como un gradiente de velocidad φ debe ser rotacional luego si φ=3 x2 y−3 x+3 y2+16 t3+12 zt .Determine que flujo irrotacional se encuentra asociado con la función φ .Solución:
V→=∇
→xφ
V⃗=∂ϕ∂x
i+ ∂ϕ∂ y
j+ ∂ϕ∂z
k Derivando φ obtenemos la ecuación
V→= (6xy−3 ) i
→+( 3x2+6 y ) j
→+(12 t ) k
→
V x= (6 xy−3 ) i→
V y=(3 x2+6 y ) j→
V z=(12t ) k→
∇⃗= ∂∂x
i+ ∂∂ y
+ ∂∂z
V→= (6xy−3 ) i
→+( 3x2+6 y ) j
→+(12 t ) k
→❑❑
∇⃗ x V⃗=[ i j k∂∂x
∂∂y
∂∂ z
(6 xy−3 ) (3 x2+6 y ) (12t )]Mgtc. Ing. Carlos Adolfo Loayza Rivas 28
Ecuación de la circunferencia
Línea de corriente concéntrica
MECANICA DE FLUIDOS I
=[∂ (12 t )∂ y
−∂ (3 x2+6 y )
∂ z] i+[
∂ (12 t )∂ x
−∂ (6 xy−3 )
∂ z] j+[
∂ ( 3x2+6 y )∂ x
−∂ (6 xy−3 )
∂ y]
∇⃗ x V⃗=[ 0−0 ] i+[ 0−0 ] j+[ 6x−6 x ]k
∴V→
x ∇→
=0
3)Dado el campo de V→=10 i+( x2+ y2 ) j−2 xyk
a) Determinar la aceleración y su magnitud en P (3, 1, 0)
a→=∂ v
∂ t+ ∂ v
∂ xV x+
∂ v∂ y
V y+∂ v∂ z
V z
- Para P (3, 1, 0)
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MECANICA DE FLUIDOS I
Como podemos ver se acelera en el plano “j” y ”k”
b) Dado el campo de velocidades V= (6+2 xy+ t2 ) i
→−( xy2+10 t ) j
→+25k
→
en
P (3, 0,2) cuando t=1 seg.
a→=(2t i
→−10 j
→)+(2 y i→− y2 j
→) (7 )+(2x i→+2 xy j
→) (−10 )
a→=2 i
→−10 j
→−60 i
→
a→=−58 i
→−10 j
→
|a|=√(−58 )2+(−10 )2
a=58 .856
4) Dado el campo de velocidades V⃗=10 x2 y i⃗+20 ( yz+ x ) j⃗+13 k⃗ ms cual es ω⃗ en el
punto (1; 4; 3) m.
∇⃗× V⃗=2 ω⃗
ω⃗= ∇⃗×V⃗2
∇⃗× V=| i⃗ j⃗ k⃗∂
∂ x∂
∂ y∂∂z
10x2 y 20 ( yz+x ) 13|
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a→=(6 j
→−2k
→ ) (10 )+(2 j→−6 k
→ ) (10 )
a→=60 j
→−20 k
→+20 j
→−60 k
→
a→=80 j
→−80 k
→
a→=80 ( j
→−k
→)|a|=80√(1 )2+(−1 )2=80 √2
MECANICA DE FLUIDOS I
2w=[∂ (13 )∂ y
−∂ [20 ( yz+x ) ]∂ z ] i
→+[∂(13 )
∂ x−
∂ (10x2 y )∂ z ] j
→+[∂ [20 ( yz+x ) ]
∂ x−
∂ (10x2 y )∂ y ]k→
2w=(0−20 y ) i→+(0 ) j
→+( 20−10 x2) k
→
2w=−20 y i→+(20−10 x2 ) k
→
w=−10 y i→+( 10−5 x2) k
→
Si P (1, 4, 3)
w=−40 i→+5 k
→
5) La componente “x” de la velocidad de un campo de flujo estable e incompresible es 2/x. Hallar la componente de la velocidad “y”.
Por dato de ejercicio sabemos que es un flujo estable eh incompresible:
o Entonces:
dudx
+ dVdy
=0
u=2x
dudx
=( 2x )
¿
¿2( 1x )
¿
¿2(−1x2 )
dVdy
=−dudx
dVdy
=−[−2x2 ]= 2
x2
dV = 2x2 dy
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MECANICA DE FLUIDOS I
∫ dV=∫ 2x2 dy
V= 2x2 y+C
Nota: Omitimos las constante para las condiciones iniciales: x=0, y=0, C=0
V= 2x2 y
definimosuna velocidadbidimensional enel plano xy :
V ( x , y )=Vxi+Vyj
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V ( x , y )=( 2x
i+ 2x2 j)m / s