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MECANICA DE FLUIDOS I

FACULTAD DE INGENIERIA ARQUITECTURA Y URBANISMO.

ESCUELA DE INGENIERIA CIVILASIGNATURA :

MECÁNICA DE FLUIDOS I.

DOCENTE : Mg.TC. Ing. Carlos A. Loayza Rivas

INTEGRANTES:CASTILLO RODRIGUEZ, VANIA.CERVERA VARGAS ROY.

CHUQUICAGUA GOICOCHEA, CARLOS.LLONTOP MEJIA, BANY.

SERRATO MACO CESAR.TORRES DELGADO, KEILERPAREDES QUINTANA, REYNALDO

CICLO : IV

TURNO : NOCHE

PIMENTEL OCTUBRE 2012

HIDROCINEMATICA

Mgtc. Ing. Carlos Adolfo Loayza Rivas 1


CINEMÁTICA DE LOS FLUIDOS

Definición.- Estudia los Fluidos en movimiento, es decir del movimiento de sus

partículas, sin considerar la masa ni las fuerzas que actúan, en base al

conocimiento de las magnitudes cinemáticas: velocidad, aceleración y

rotación.

Campo de flujo.- Es cualquier región ocupada por el fluido en movimiento,

donde sus magnitudes físicas, ya sean escalares, vectoriales o tensoriales

(presión, densidad, temperatura, velocidad, aceleración, etc.) del fluido en

movimiento, puede variar de un punto a otro y en un mismo punto de un

instante a otro (función de la posición y tiempo).

Características del campo de flujo

Campo escalar: Se define exclusivamente por la magnitud que adquiere la

cantidad física a la cual corresponde; ejemplos: presión, densidad y

temperatura.

Campo Vectorial: En un campo vectorial además de la magnitud, se necesita

definir una dirección y un sentido para la cantidad física a la cual corresponde

esto es tres valores escalares definen la cantidad física; ejemplos: la velocidad,

la aceleración y la rotación.

Campo tensorial: Para definir un campo tensorial se requieren nueve o más

componentes escalares; ejemplos: esfuerzo, deformación unitaria, y momento

de inercia.

1.- Campo vectorial de velocidades.-



El análisis del movimiento de una partícula del fluido que recorre una línea

usualmente curva que se llama trayectoria se puede hacer de dos maneras

distintas:

a) Por el conocimiento del vector de posición , de la partícula, como una

función vectorial del tiempo (t).

Si es función del tiempo entonces sus componentes son también funciones

del tiempo; es decir:

x=x ( t ) ; y= y (t ); z=z ( t ) .

b) Por el conocimiento de la curva que recorre la partícula y la función camino

recorrido-tiempo.



En este caso la posición de la partícula se determina por la longitud del camino

recorrido, siguiendo la curva (a partir de un punto de origen A), como una

función escalar del tiempo; esto es:

Definición de Velocidad.- El Vector velocidad de una partícula fluida se define

como la rapidez (magnitud de la velocidad) temporal del cambio en su

posición.

.

Donde representa el vector diferencial de arco, sobre la curva C, que

recorre la partícula en el tiempo dt.

La velocidad es, entonces, un campo vectorial dentro de un flujo y, al

desplazarse la partícula según la curva C, es un vector tangente en cada punto

a la misma que, en general, depende de la posición de la partícula y del tiempo.



Haciendo: dxdt

=V x;

dydt

=V yy

dzdt

=V z

Luego, Expresión vectorial de la velocidad.

Donde:

Módulo de la Velocidad:

2.- Campo vectorial de aceleraciones.- Es un campo vectorial que se deriva

del campo de velocidades.

Definición de aceleración.- El vector aceleración de una partícula en un punto

se define como la variación temporal de la velocidad en ese punto; esto es:

En cuanto a su dirección la aceleración no tiene una orientación coincidente

con la trayectoria de la partícula; siendo la aceleración también una función de

la posición y tiempo.



Haciendo:

dV x

dt=ax ;

dV y

dt=a y y

dV z

dt=az

Resulta:

Expresión vectorial de la aceleración

A veces es conveniente expresar la aceleración en función de sus

componentes normal y tangencial.

Módulo de aceleración:

La aceleración deriva del campo de velocidades, donde:

Tomemos un diferencial total de velocidad :



¿dt

Ordenando:

…………..(1)

Sabemos que:

Y además:

Luego: ……………(2)

(2)→ (1): …………….(3)

Donde la Expresión (3) representa el Campo Vectorial de Aceleraciones en

función del producto escalar , denominado divergencia de .

= aceleración local (depende del tiempo)

= aceleración convectiva (depende de la posición)

Comentario: Si el flujo es permanente: y



Es decir el campo de aceleraciones se reduce solo a la componente

convectiva.

Desarrollemos ahora la componente convectiva, para representarla en

término del producto vectorial , conocido como rotacional de V⃗ (rot V⃗ ) .

Apliquemos la propiedad distributiva de la multiplicación.

Hagamos:

(II)=

(III) =

Trabajando con (I):

Sumando y restando ; a la expresión anterior, resulta:



iVzx

VzVyx

VyVzx

VzVyx

VyVxz

VzVxy

VyVxx

Vx )(

………”(α)”.

Del primer término de (α); observamos:

xVxVx

xVxVx2

21

xVx

21 2

Tomando los extremos: 12

∂Vx2

∂ x=Vx ∂Vx

∂ x ……………..(β)

Análogamente: 12

∂Vy 2

∂ x=Vy ∂Vy

∂ x ……………..(β)

xVzVz

xVz

2

21

…………… (β)

(β) → (α)

Factor común: 12

∂∂ x

…………….(ө)

Además conocemos que:

VzVyVxzyx

kji

V

, cuyo desarrollo es:



Ahora, el desarrollo de: :

VzVyVx

Vxy

Vyx

Vxz

Vzx

Vyz

Vzy

kji

VV )()()()(

Trabajando ahora sólo con la componente en la dirección de

:(θ)→(ال)

Análogamente:

Aceleración convectiva( ):

;



Por lo tanto, la aceleración total de la partícula será:

3.- El campo rotacional.

Es un campo vectorial, que se deriva del campo de velocidades, y que evalúa

la rotación local de una partícula y se define matemáticamente por el producto

vectorial de por .

Rotacional de

VzVyVxzyx

kji

Vrot

Cuyo desarrollo es:

Como deriva del campo de velocidades, también es función tanto del punto

como de tiempo y es una medida de la rotación o vorticidad de la partícula

dentro del flujo, por esta razón se le conoce también como campo vorticoso.

Significado físico del vector rotacional:

Como el cuerpo rígido, además de la traslación una partícula puede

experimentar una rotación, intentemos una representación física del vector

rotacional.



Generalidades para la interpretación física:

a) Consideremos la rotación pura de una partícula (prescindimos de la

traslación de la partícula)

b) Al encontrarse la partícula en rotación pura, a través del movimiento de giro

alrededor de un eje instantáneo,que pasa por el centro de gravedad de la

partícula “P0” (cuya dirección lo da el vector unitario ( ), normal al plano

formado por dos líneas ortogonales contenidas en la partícula.

c) Para poder entender la rotación, consideramos que el punto “Po”, ha tenido

una traslación pura al punto “P”, desplazándose un infinitésimo ,

en un instante dt; adquiriendo una velocidad tangencial .



Descripción de la rotación pura.-

1.- Definida la posición del punto “P” coincidente con el extremo de una de las

líneas ortogonales, esta la tomamos como posición inicial de la rotación

pura, (prescindiendo de la traslación de la partícula).

2.- En un instante “dt” el punto “P” ha rotado a una posición “P ’” habiéndose

desplazado un d θ⃗ , con un radio de giro .

3.- Al producirse la rotación la velocidad angular ω bale:

ω=dθdt

Variación del ángulo de rotación “θ” con el tiempo “t”. El vector velocidad

angular será:

La velocidad tangencial puede definirse como:

Donde:

Vx=ω y dz−ωz dy

V⃗ y=ωx dz−ωz dx



V⃗ z=ωx dy−ω y dx

Calculamos el rotacional de , es decir:

rot V⃗×V⃗ =|

i⃗ j⃗ k⃗∂∂ x

∂∂ y

∂∂ z

(ω y dz−ωz d y) −(ωx dz−ωz dx ) (ωx dy−w y dx )

|

+[− ∂∂ x

(ωx dz−ωz dx )+ ∂∂ y

(ω y dz−ωz dy )] k⃗

Por lo tanto el significado físico del vector rotacional en un movimiento

de rotación alrededor de un eje es igual al doble del vector velocidad

angular:

De la expresión (β)

La aceleración en un punto está formada por las componentes:

12

∇⃗ (V 2 ) = Corresponde al movimiento de traslación pura.

= Correspondiente al movimiento de rotación,

llamada aceleración de “Coriolis”. Y



∂∂ t

V⃗= Aceleración local.

Clasificación de los Flujos

Existen diferentes criterios para clasificar un flujo. Este puede ser: permanente

o no permanente; uniforme o no uniforme; laminar o turbulento; supercrítico,

crítico o subcrítico; tridimensional, bidimensional o unidimensional; rotacional o

irrotacional, incompresible o compresible, etc. aunque no los únicos, si son los

flujos más importantes que clasifica la ingeniería.

Es de interés particular de la ingeniería las conducciones por tubería y por

canal.

Flujo permanente:

Llamado también flujo estacionario.

Este tipo de flujo se caracteriza porque las condiciones de velocidad de

escurrimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo, o sea que

permanecen constantes con el tiempo o bien, si las variaciones en ellas son tan

pequeñas con respecto a los valores medios. Así mismo en cualquier punto de

un flujo permanente, no existen cambios en la densidad, presión o temperatura

con el tiempo.


∂v∂ t

=0

∂ p∂ t

=0

∂Q∂ t

=0


Flujo no permanente:

Llamado también flujo no estacionario.

En este tipo de flujo en general las propiedades de un fluido y las

características mecánicas del mismo serán diferentes de un punto a otro dentro

de su campo, además si las características en un punto determinado varían de

un instante a otro se dice que es un flujo no permanente,

Flujo uniforme:

Este tipo de flujos son poco comunes y ocurren cuando el vector velocidad en

todos los puntos del escurrimiento es idéntico tanto en magnitud como en

dirección para un instante dado.


∂v∂ t

≠ 0

∂ p∂ t

≠ 0

∂Q∂ t

≠ 0

∂ v∂L

=0

∂ p∂ L

=0


Flujo no uniforme:

Es el caso contrario al flujo uniforme, este tipo de flujo se encuentra cerca de

fronteras sólidas por efecto de la viscosidad.

Flujo Unidimensional, Bidimensional y Tridimensional.

Estrictamente hablando el flujo es siempre tridimensional, es decir cuando sus

características hidráulicas o variables hidráulicas, cambian en el espacio, o sea

que los gradientes del flujo existen en las tres direcciones.

El flujo es bidimensional, cuando sus características son idénticas sobre una

familia de planos paralelos, no habiendo componentes en dirección

perpendicular a dicho plano, o bien ellas permanecen constantes; es decir, que


∂v∂L

≠0

∂ p∂ L

≠ 0


el flujo tiene gradiente de velocidad o de presión (o tiene ambos) en dos

direcciones exclusivamente.

El flujoes unidimensional, Cuando sus características varían como funciones

del tiempo y de una coordenada curvilínea en el espacio usualmente la

distancia medida a lo largo del eje de la conducción.

El flujo de un fluido real no puede ser completamente unidimensional, debido al

efecto de la viscosidad, ya que la velocidad en una frontera sólida es igual a

cero, pero en otro punto es distinto de cero; sin embargo bajo la consideración

de valores medios de las características en cada sección se puede considerar

unidimensional. Esta hipótesis es la más importante en hidráulica, por las

simplificaciones que trae consigo.

En resumen un flujo es siempre tridimensional. Sin embargo cuando en el flujo

prevalece una dirección es considerada unidimensional, como ocurre con las

tuberías y los canales. En el caso de los canales hay circunstancias en las

cuales no se puede prescindir de una segunda dimensión para describir al flujo,

debiendo hacerse el estudio del flujo plano o bidimensional.

Laminar y Turbulento

Clasificación de los flujos de acuerdo al predominio de las fuerzas viscosas y

de las fuerzas de inercia.

Flujo Laminar.- Flujo característico de velocidades bajas, de trayectorias

ordenado, rectilíneas y paralelas.



Flujo turbulento: Flujo característico de velocidades ordinarias (altas), de

trayectoria erráticas o desordenadas. Existen pequeñas componentes de

velocidad en direcciones transversales a la del movimiento general, las cuales

no son constantes, si no que fluctúan con el tiempo; de acuerdo con una ley

aleatoria, aún cuando el flujo en general sea permanente.

Las componentes transversales de la velocidad en cada punto originan un

mezclado intenso de las partículas que consume parte de la energía del

movimiento por efecto de la fricción interna y que también en cierto modo, es

resultado de los efectos viscosos del fluido.


Existe mezclado intenso de las

partículas.

No existe mezcla macroscópica

o intercambio transversal entre

partículas.


Existe un parámetro que es función , y cuyo valor permite diferenciar el

flujo, es decir, si es laminar o turbulento, denominado Número de Reynolds (

).

Flujo Rotacional e Irrotacional.-

Un flujo es rotacional, si en su seno el campo rot adquiere valores distintos

de cero para cualquier instante y es Irrotacional, por el contrario, si en su seno

del campo de flujo, el vector rotacional de es igual a cero para cualquier

punto e instante.

Si se exceptúa la presencia de singularidades vorticosas, en el caso general, el

movimiento de un fluido ideal se puede suponer Irrotacional. Los efectos de la

viscosidad de fluido constituyen la causa principal de dichas singularidades

(vorticosas). Sin embargo, el flujo Irrotacional ocurre con bastante frecuencia

en los problemas de la práctica.

Si bien el término rotación implica un giro de partículas, esto no significa que es

rotacional todo movimiento efectuado de acuerdo a una trayectoria curva o bien

que todo movimiento rectilíneo es Irrotacional.

Ciertos escurrimientos se pueden considerar macroscópicamente como

irrotacionales. En otros casos, a pesar de existir trayectorias curvas, la

distribución de velocidades puede ser de forma tal que las líneas medianas o

las diagonales de una partícula, de forma rectangular, no modifican su

orientación durante el movimiento, el flujo es obviamente Irrotacional. Esto se

representa esquemáticamente en las figuras siguientes en las cuales el vector

rot sería normal al plano del papel.



El movimiento a bajas velocidades de un fluido viscoso, es generalmente

rotacional.

Flujo Lineal Irrotacional Flujo Lineal Rotacional

Flujo Curvilíneo Irrotacional Flujo Curvilíneo Rotacional

(Esquema Ideal) (Esquema Real)

Descripción del Movimiento

El movimiento de un fluido queda descrito cuando se está en condiciones de

conocer:

El cambio de posición de una partícula

La variación de la velocidad en un punto.

Hay dos formas clásicas de describir el movimiento de un fluido:

Método de Euler: También conocido como local, consiste en elegir un punto y

determinar las variables cinemáticas en ese punto, en cada instante sin

considerar el camino que después siga cada partícula individual (trayectoria).



Elegida la posición de una partícula en el espacio, sus características

cinemáticas son funciones del tiempo, a saber:

Las variables dependientes son: Vx, Vy y Vz

Las variables independientes son: x, y, z, t.

Método de Lagrange: Consiste en elegir una partícula y determinar las

variables cinemática de esa partícula, en cada instante, siguiendo su recorrido.

Identificada una partícula por su posición inicial (xo, yo, zo), en el instante t = to

, en otro instante cualquiera “t”, la misma partícula se encuentra en la posición

. Entonces la posición de la partícula se tiene conocida en cualquier

instante si el vector de posición se determina como función del tiempo “t” y la

posición inicial ; o sea:

Las variables dependientes son: x, y, z.

Las variables independientes son: a, b, c, t.

De los dos métodos se prefiere el primero por qué su manejo analítico es más

simple. Es el que normalmente se emplea en los libros de mecánica de fluidos.

Línea de corriente, trayectoria y tubo de corriente

Se supone que en un instante “t0” se conoce el campo de velocidad de un

flujo.



Línea de Corriente.- se define línea de corriente toda línea trazada

idealmente en el seno líquido de modo que la tangente en cada uno de sus

puntos proporcione la dirección del vector velocidad correspondiente. No existe

posibilidad de que dos líneas de corriente tengan un punto común, pues ello

significaría que en el punto de intersección existieran dos vectores distintos.

Si el flujo es no permanente para otro instante “t” la configuración de las líneas

de corriente es otra. Si el flujo es permanente la configuración de dos líneas de

corriente es la misma en cualquier momento.

Línea de corriente para un instante “t”

Ecuaciones de la línea de corriente



En la línea de corriente de la figura, para un instante “t”, donde el punto “1” está

infinitamente próximo a “2”, de manera que se puede considerar que

.

Como son vectores paralelos (tienden a ser colineales), luego:

Donde = Vector unitario perpendicular al plano “0”, “1” y “2”

Como son paralelos

Sistema de tres ecuaciones diferenciales, obtenida de (1), (2) y (3):

La última expresión constituye la ecuación analítica de la línea de corriente

para un instante “t”. Donde, recordamos que:



Trayectoria: Se define trayectoria la curva que marca el camino que sigue

una partícula con el transcurrir del tiempo.

Luego (2)→(1)



Comparando (3), (4), (5) y acomodando:

La expresión anterior constituye la ecuación analítica de la trayectoria.

“Si el flujo es no permanente la línea de corriente y trayectoria son líneas

distintas, pero si el flujo es permanente significa lo mismo”.

La razón está en que el flujo permanente el campo de velocidad no cambia con

el tiempo.

- Toda partícula que pase por “a0” sigue la misma trayectoria.

- En cada punto a0, a1, …an el vector velocidad permanece igual

Todas las partículas que pasen por



Tubo de flujo: Si se considera dentro del flujo una curva cerrada “c” y las

líneas de corriente que pasan por cada uno de sus puntos, la totalidad de éstas

líneas de corriente definen una superficie que se denomina tubo de flujo ó tubo

de corriente y que no puede ser atravesada por el fluido. El volumen encerrado

se conoce como vena líquida o vena fluida.

Cuando el tubo de corriente es de pequeña sección se le denomina filete

hidráulico.



PROBLEMAS APLICATIVOS

1) Calcular la línea de corriente de un flujo permanente producido por un tornado cuyo vector velocidad que está determinado por:

v⃗= − y(x2+ y2)

i⃗+ x(x2+ y2)

j⃗

v⃗=v x i⃗+v y j⃗

Aplicamos la ecuación de línea de corriente:

v x

dx=

v y

dy

− y(x2+ y2)

dx=

x(x2+ y2)

dy

− y(x2+ y2)

dx1

=

x(x2+ y2)

dy1

∫− ydy=∫ xdx

− y2

2+c1=

x2

2+c2



c1−c2=x2

2+ y2

2

c= x2+ y2

2

2c=x2+ y2

c=x2+ y2

2) Demostrar al campo de V→

considerado como un gradiente de velocidad φ debe ser rotacional luego si φ=3 x2 y−3 x+3 y2+16 t3+12 zt .Determine que flujo irrotacional se encuentra asociado con la función φ .Solución:

V→=∇

→xφ

V⃗=∂ϕ∂x

i+ ∂ϕ∂ y

j+ ∂ϕ∂z

k Derivando φ obtenemos la ecuación

V→= (6xy−3 ) i

→+( 3x2+6 y ) j

→+(12 t ) k

→

V x= (6 xy−3 ) i→

V y=(3 x2+6 y ) j→

V z=(12t ) k→

∇⃗= ∂∂x

i+ ∂∂ y

+ ∂∂z

V→= (6xy−3 ) i

→+( 3x2+6 y ) j

→+(12 t ) k

→❑❑

∇⃗ x V⃗=[ i j k∂∂x

∂∂y

∂∂ z

(6 xy−3 ) (3 x2+6 y ) (12t )]Mgtc. Ing. Carlos Adolfo Loayza Rivas 28

Ecuación de la circunferencia

Línea de corriente concéntrica


=[∂ (12 t )∂ y

−∂ (3 x2+6 y )

∂ z] i+[

∂ (12 t )∂ x

−∂ (6 xy−3 )

∂ z] j+[

∂ ( 3x2+6 y )∂ x

−∂ (6 xy−3 )

∂ y]

∇⃗ x V⃗=[ 0−0 ] i+[ 0−0 ] j+[ 6x−6 x ]k

∴V→

x ∇→

=0

3)Dado el campo de V→=10 i+( x2+ y2 ) j−2 xyk

a) Determinar la aceleración y su magnitud en P (3, 1, 0)

a→=∂ v

∂ t+ ∂ v

∂ xV x+

∂ v∂ y

V y+∂ v∂ z

V z

- Para P (3, 1, 0)



Como podemos ver se acelera en el plano “j” y ”k”

b) Dado el campo de velocidades V= (6+2 xy+ t2 ) i

→−( xy2+10 t ) j

→+25k

→

en

P (3, 0,2) cuando t=1 seg.

a→=(2t i

→−10 j

→)+(2 y i→− y2 j

→) (7 )+(2x i→+2 xy j

→) (−10 )

a→=2 i

→−10 j

→−60 i

→

a→=−58 i

→−10 j

→

|a|=√(−58 )2+(−10 )2

a=58 .856

4) Dado el campo de velocidades V⃗=10 x2 y i⃗+20 ( yz+ x ) j⃗+13 k⃗ ms cual es ω⃗ en el

punto (1; 4; 3) m.

∇⃗× V⃗=2 ω⃗

ω⃗= ∇⃗×V⃗2

∇⃗× V=| i⃗ j⃗ k⃗∂

∂ x∂

∂ y∂∂z

10x2 y 20 ( yz+x ) 13|


a→=(6 j

→−2k

→ ) (10 )+(2 j→−6 k

→ ) (10 )

a→=60 j

→−20 k

→+20 j

→−60 k

→

a→=80 j

→−80 k

→

a→=80 ( j

→−k

→)|a|=80√(1 )2+(−1 )2=80 √2


2w=[∂ (13 )∂ y

−∂ [20 ( yz+x ) ]∂ z ] i

→+[∂(13 )

∂ x−

∂ (10x2 y )∂ z ] j

→+[∂ [20 ( yz+x ) ]

∂ x−

∂ (10x2 y )∂ y ]k→

2w=(0−20 y ) i→+(0 ) j

→+( 20−10 x2) k

→

2w=−20 y i→+(20−10 x2 ) k

→

w=−10 y i→+( 10−5 x2) k

→

Si P (1, 4, 3)

w=−40 i→+5 k

→

5) La componente “x” de la velocidad de un campo de flujo estable e incompresible es 2/x. Hallar la componente de la velocidad “y”.

Por dato de ejercicio sabemos que es un flujo estable eh incompresible:

o Entonces:

dudx

+ dVdy

=0

u=2x

dudx

=( 2x )

¿

¿2( 1x )

¿

¿2(−1x2 )

dVdy

=−dudx

dVdy

=−[−2x2 ]= 2

x2

dV = 2x2 dy



∫ dV=∫ 2x2 dy

V= 2x2 y+C

Nota: Omitimos las constante para las condiciones iniciales: x=0, y=0, C=0

V= 2x2 y

definimosuna velocidadbidimensional enel plano xy :

V ( x , y )=Vxi+Vyj


V ( x , y )=( 2x

i+ 2x2 j)m / s

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