cinematica de una particula

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERU

CINEMATICA DE UNA PARTICULA 2011

I.

INTRODUCCINMECANICA

MECANICA DE CUERPO RIGIDOS

MECNICA DE CUERPO DEFORMABLE

MECNICA DE FLUIDOS

ESTATICA

DINAMICA

CINEMATICA

CINETICA

II. NOCION DE CINEMATICA

La cinemtica (del griego, kineo, movimiento) es la rama de la mecnica clsica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitndose esencialmente, al estudio de la trayectoria en funcin del tiempo. Tambin se dice que la cinemtica estudia la geometra del movimiento. En la cinemtica se utiliza un sistema de coordenadas para describir las trayectorias, denominado sistema de referencia.

II.

ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA 1.ESPACIO ABSOLUTO.

Es decir, un espacio anterior a todos los objetos materiales e independiente de la existencia de estos.Este espacio es el escenario donde ocurren todos los fenmenos fsicos, y se supone que todas las leyes de la fsica se cumplen rigurosamente en todas las regiones de ese espacio.

El espacio fsico se representa en la Mecnica Clsica mediante un espacio puntual eucldeo.

II.

ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA 2.TIEMPO ABSOLUTO

La Mecnica Clsica admite la existencia de un tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en todas las regiones del Universo y que es independiente de la existencia de los objetos materiales y de la ocurrencia de los fenmenos fsicos.

II.

ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA 2. MOVIL

El mvil ms simple que podemos considerar es el punto material o partcula. La partcula es una idealizacin de los cuerpos que existen en la Naturaleza, en el mismo sentido en que lo es el concepto de punto geomtrico. Entendemos por punto material o partcula a un cuerpo de dimensiones tan pequeas que pueda considerarse como puntiforme; de ese modo su posicin en el espacio quedar determinada al fijar las coordenadas de un punto geomtrico. Naturalmente la posibilidad de despreciar las dimensiones de un cuerpo estar en relacin con las condiciones especficas del problema considerado.

III.

RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO

Estudiar el movimiento de un cuerpo quiere decir determinar su posicin en el espacio en funcin del tiempo, para ello se necesita un sistema de referencia. En el espacio euclidiano un sistema de queda definido por los elementos siguientes. a. un origen O, que es un punto del espacio fsico. b. una base vectorial del espacio vectorial asociado a dicho espacio fsico.

III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO

Decimos que una partcula se encuentra en movimiento con respecto a un referencial si su posicin con respecto a l cambia en el transcurso del tiempo. En caso contrario, si la posicin del cuerpo no cambia con respecto al referencial, el cuerpo est en reposo en dicho referencial. De las definiciones que acabamos de dar para el movimiento y el reposo de un cuerpo, vemos que ambos conceptos son relativos.

III.


En la Figura hemos representado dos observadores, S y S, y una partcula P. Estos observadores utilizan los referenciales xyz y xyz, respectivamente. Si S y S se encuentran en reposo entre s, describirn del mismo modo el movimiento de la partcula P. Pero si S y S se encuentran en movimiento relativo, sus observaciones acerca del movimiento de la partcula P sern diferentes.

III.


Para el observador en ubicado en la tierra la LUNA describir una rbita casi circular en torno a la TIERRA. Para el observador ubicado en el sol la trayectoria de la luna es una lnea ondulante. Naturalmente, si los observadores conocen sus movimientos relativos, podrn reconciliar sus observaciones

IV. MOVIMIENTO RECTILNEODecimos que una partcula tiene un movimiento rectilneo cuando su trayectoria medida con respecto a un observador es una lnea recta1. POSICIN. La

posicin de la partcula en cualquier instante queda definida por la coordenada x medida a partir del origen O. Si x es positiva la partcula se localiza hacia la derecha de O y si x es negativa se localiza a la izquierda de O.

IV. MOVIMIENTO RECTILNEO

2. DESPLAZAMIENTO. El desplazamiento se define como el cambio de posicin. Se representa por el smbolo x. Si la posicin final de la partcula P est la derecha de su posicin inicial P, el desplazamiento x es positivo cuando el desplazamiento es hacia la izquierda S es negativo

x r

x' x r' r

x ' i xi

IV. MOVIMIENTO RECTILNEO3. VELOCIDAD MEDIA Si la partcula se mueve de P a P experimentando un desplazamiento x positivo durante un intervalo de tiempo t, entonces, la velocidad media ser

vm vm

x t r t

x2 x2 t2 t1 r' r x ' i xi t' t t' t


3. VELOCIDAD MEDIA La velocidad media tambin puede interpretarse geomtricamente para ello se traza una lnea recta que une los puntos P y Q como se muestra en la figura. Esta lnea forma un tringulo de altura x y base t. La pendiente de la recta es x/ t. Entonces la velocidad media es la pendiente de la recta que une los puntos inicial y final de la grfica posicin-tiempo


4. VELOCIDAD INSTANTNEA Es la velocidad de la partcula en cualquier instante de tiempo se obtiene llevando al lmite la velocidad media es decir, se hace cada vez ms pequeo el intervalo de tiempo y por tanto valores ms pequeos de x. Por tanto:

v v

x lim( ) t 0 t r lim( ) t 0 t

dx dt dr dt

dx i dt

IV. MOVIMIENTO RECTILNEO4. VELOCIDAD INSTANTNEA

Si una partcula se mueve de P a Q. A medida que Q se aproxima ms y ms a P los intervalos de tiempo se hacen cada vez menores. A medida que Q se aproxima a P el intervalo de tiempo tiende a cero tendiendo de esta manera las pendientes a la tangente. Por tanto, la velocidad instantnea en P es igual a la pendiente de la recta tangente en el punto P. La velocidad instantnea puede ser positiva (punto P), negativa (punto R) o nula (punto Q) segn se trace la pendiente correspondiente

IV. MOVIMIENTO RECTILNEO5. RAPIDEZ MEDIA.

La rapidez media se define como la distancia total de la trayectoria recorrida por una partcula ST, dividida entre el tiempo transcurrido t, es decir,

(vrap )

ST t

IV. MOVIMIENTO RECTILNEO6. ACELERACIN MEDIA . Si la velocidad de la partcula al pasar por P es v y cuando pasa por P es v durante un intervalo de tiempo t, entonces:La aceleracin media se define como v v' v amed t t' t

IV. MOVIMIENTO RECTILNEO6. ACELERACIN INSTANTANEA . La aceleracin instantnea se obtiene llevando al lmite la aceleracin media cuando t tiende a cero es decira a lim(t 0

v ) t

d dx ( ) dt dt

dv dt d 2x dt 2

Ejemplo 01

La posicin de una partcula que se mueve en lnea recta est definida por la relacin x 6t 2 t 3 Determine: (a) la posicin, velocidad y aceleracin en t = 0; (b) la posicin, velocidad y aceleracin en t = 2 s; (c) la posicin, velocidad y aceleracin en t = 4 s ; (d) el desplazamiento entre t = 0 y t = 6 s;

Solucin

La ecuaciones de movimiento son

xv

6t

2

t

3

dx 12t 3t 2 dt12 6t

dv d 2 x a dt dt 2 Las cantidades solicitadas son

En t = 0, En t = 2 s, En t = 4 s, m/s2 En t = 6 s,

x = 0, v = 0, a = 12 m/s2 x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0 x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2

V.

DETERMINACIN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTCULA

1. LA ACELERACIN COMO FUNCIN DEL TIEMPO a = f(t). Se sabe que a = dv/dt, entonces podemos escribir

DETERMINACIN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTCULA2. LA ACELERACIN COMO FUNCIN DE LA POSICIN a = f(x). Se sabe que a = vdv/ds, entonces podemos escribir

V.

DETERMINACIN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTCULA

2. LA ACELERACIN COMO FUNCIN DE LA VELOCIDAD a = f(v). Se sabe que a = dv/dt o tambin a = vdv/ds, entonces podemos escribir

V.

DETERMINACIN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTCULA4. LA ACELERACIN ES CONSTANTE a = constante

A este caso se le denomina movimiento rectilneo uniforme y las ecuaciones obtenidas son

Ejemplo 01El auto mostrado en la figura se mueve en lnea recta de tal manera que su velocidad para un perodo corto de tiempo es definida por pies/s, donde t es el tiempo el cual est en segundos . Determine su posicin y aceleracin cuando t = 3,00 s. Considere que cuando t = 0. S = 0

SolucinPOSICIN Para el sistema de referencia considerado y sabiendo que la velocidad es funcin del tiempo v = f(t). La posicin es

ACELERACIN. Sabiendo que v = f(t), la aceleracin se determina a partir de a = dv/dt

Cuando t = 3 s

Cuando t = 3 s, resulta

Ejemplo 02Un proyectil pequeo es disparado verticalmente hacia abajo dentro de un medio fluido con una velocidad inicial de 60 m/s. Si resistencia del fluido produce una desaceleracin del proyectil que es igual a donde v se mide en m/s. Determine la velocidad v y la posicin S cuatro segundos despus de que se dispar el proyectil.

SolucinVelocidad: Usando el sistema POSICIN: Sabiendo que v = f(t),de referencia mostrado y sabiendo que a = f(v) podemos utilizar la ecuacin a = dv/dt para determinar la velocidad como funcin del tiempo esto es la posicin se determina a partir de la ecuacin v = dS/dt

Ejemplo 03

Una partcula metlica est sujeta a la influencia de un campo magntico tal que se mueve verticalmente a travs de un fluido, desde la placa A hasta la placa B, Si la partcula se suelta desde el reposo en C cuando S = 100 mm, y la aceleracin se mide como donde S est en metros. Determine; (a) la velocidad de la partcula cuando llega a B (S = 200 mm) y (b) el tiempo requerido para moverse de CaB

Solucin

Debido a que a = f(S), puede obtenerse la velocidad como funcin de la posicin usando vdv = a dS. Consideramos adems que v = 0 cuando S = 100 mm

El tiempo que demora en viajar la partcula de C a B se determina en la forma

Cuando S = 0,2 m el tiempo es

La velocidad cuando S = 0,2 m es

Ejemplo 04Desde una ventana situada a 20 m sobre el suelo se lanza una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. Sabiendo que la bola todo el tiempo se encuentra sometida a un campo gravitacional que le proporciona una aceleracin g = 9,81 m/s2 hacia abajo. Determine: (a) la velocidad y la altura en funcin del tiempo, (b) el instante en que la bola choca con el piso y la velocidad correspondiente

Solucindv dtvt

at

9.81 m s 2 9.81 dt0

dvv0

vt

v0

9.81t

vt

10

m s

m 9.81 2 t s

dy dty t

v 10 9.81tt

dyy0 0

10 9.81t dt

y t

y0

10t

1 2

9.81t 2

yt

20 m

10

m t s

m 4.905 2 t 2 s

SolucinCuando la bola alcanza su altura mxima su velocidad es cero, entonces se tienevt m 10 s 9.81 2 t s m 0

t 1.019 s

Remplazando el valor del tiempo obtenido se tiene.yt y 20 m 20 m 10 10 m t s m 4.905 2 t 2 s m 4.905 2 1.019 s 2 s

m 1.019 s s

y

25.1m

Solucin Cuando la bola choca contra el suelo y = 0 Entoces tenemos.yt 20 m m 10 t s 4.905 2 t 2 s m 0

t t

1.243 s meaningless 3.28 svt 10 m s m 9.81 2 t s m m 10 9.81 2 3.28 s s s m v 22.2 s

v 3.28 s

VI. MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS:

Movimiento relativo

Sea A y B dos partculas que se mueven en lnea recta como se ve en la figura. Sus posiciones respecto a O sern xA y xB. La posicin relativa de B con respecto a A ser.xB A xB xA

xB

xA

xB A

La velocidad relativa d A con respecto a B ser. vB A v B v A vB v A vB A La aceleracin relativa se expresa en la formaaB A aB aAaB a A aB A

Ejemplo 05

Desde una altura de 12 m, en el interior de un hueco de un ascensor, se lanza una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad de 18 m/s. En ese mismo instante un ascensor de plataforma abierta est a 5 m de altura ascendiendo a una velocidad constante de 2 m/s. Determine: (a) cuando y donde chocan la bola con el ascensor, (b) La velocidad de la bola relativa al ascensor en el momento del choque

SOLUCION: Remplazando la posicin, velocidad inicial y el valor de la aceleracin de la bola en las ecuaciones generales se tiene.vB yB v0 y0 at 18 v0 t m s m 9.81 2 t s 12 m 18 m t s m 4.905 2 t 2 s

1 at 2 2

La posicin y la velocidad del ascensor ser.

vE yE

m 2 s y0 v E t 5m m 2 t s

Escribiendo la ecuacin para las posiciones relativas de la bola con respect al elevador y asumiendo que cuando chocan la posicin relativa es nula, se tiene.

yB

E

12 18t 4.905t 2

5 2tt t

0

0.39 s 3.65 s

Remplazando el tiempo para el impacto en la ecuacin de la posicin del elevador y en la velocidad relativa de la bola con respecto al ascensor se tieneyEvB E

5 2 3.6518 9.81t 2

yE

12.3 mm s

16 9.81 3.65

vB E

19.81


Movimiento dependiente

La posicin de una partcula puede depender de la posicin de otra u otras partculas. En la figura la posicin de B depende de la posicin de A. Debido a que la longitud del cable ACDEFG que une ambos bloques es constante se tiene

x A 2 xB v A 2vB a A 2 aB

cons tan te 0 0

Debido a que slo una de las coordenadas de posicin xA o xB puede elegirse arbitrariamente el sistema posee un grado de libertad


Movimiento dependiente

Aqu la posicin de una partcula depende de dos posiciones ms. En la figura la posicin de B depende de la posicin de A y de C Debido a que la longitud del cable que une a los bloques es constante se tiene2 xA 2 xB xC ctte

dx A 2 dt dv A 2 dt

dxB 2 dt dvB 2 dt

dxC dt dvC dt

0 or 2v A 0 or 2a A

2v B 2a B

vC aC

0 0

Como solo es posible elegir dos de las coordenadas, decimos que el sistema posee DOS grados de libertad

Ejemplo 06

El collar A y el bloque B estn enlazados como se muestra en la figura mediante una cuerda que pasa a travs de dos poleas C, D y E. Las poleas C y E son fijas mientras que la polea D se mueve hacia abajo con una velocidad constante de 3 pul/s. Sabiendo que el collar inicia su movimiento desde el reposo cuando t = 0 y alcanza la velocidad de 12 pulg/s cuando pasa por L, Determine la variacin de altura, la velocidad y la aceleracin del bloque B cuando el collar pasa por L

Solucin

Se analiza en primer lugar el movimiento de A. El collar A tiene un MRUV, entonces se determina la aceleracin y el tiempov2 A2 vA 0 2

2a A x A 2a A 8 in.

xA 0 aA in. 9 2 s

in. 12 s

v A 0 a At in. in. 12 9 2t t 1.333 s s s

vA

Solucin Como la polea tiene un MRU se calcula el cambio de posicin en el tiempo t.xD xD xD 0 xD 0 vDt in. 3 1.333 s s 4 in.

El movimiento del bloque B depende del movimiento de collar y la polea. El cambio de posicin de B serxA xA 8 in. 2 xD xA0

xB

xA

0

2 xD0 0

0

xB xB

0 0

2 xD xB

xD xB

xB 0

0

2 4 in.

xB

xB 0

16 in.

Solucin Derivando la relacin entre las posiciones se obtiene las ecuaciones para la velocidad y la aceleracinxA vA 12 vB 2 xD 2vD xB vB constant 0 vB 0

in. in. 2 3 s s 18 pu lg/ s

vB0

in. 18 s

aA 9

2aD in. s2

aB aB 0

aB aB

in. 9 2 s 9 pu lg/ s 2

Ejemplo 07La caja C est siendo levantada moviendo el rodillo A hacia abajo con una velocidad constante de vA =4m/s a lo largo de la gua. Determine la velocidad y la aceleracin de la caja en el instante en que s = 1 m . Cuando el rodillo est en B la caja se apoya sobre el piso.

Solucin

La relacin de posiciones se determina teniendo en cuenta que la longitud del cable que une al bloque y el rodillo no varia.

xC

4

2

x

2 A

8m

Cuando s = 1 m, la posicin de la caja C ser

xC

4m s 4m 1m

xC

3m

Se determina ahora la posicin xA, cuando s = 1 m

3m

4

2

x

2 A

8m

xA

3m

Solucin

La velocidad se determina derivando la relacin entre las posiciones con respecto al tiempodxC dt vC 1 2 16 x A 2 xA 16 vC x2 A 1/ 2

(2 x A )

vA

dx A 0 dt 3m(4m / s ) 16 32

2, 4m / s

La aceleracin seraC dvC dt d dt aC xA 16 x2 A

vA

2 vA

xAaA2 xA

2 2 x Av A

16 3(0) 16 9

16 32 (4 2 ) [16

2 xA

[16

2 x A ]3

42 16 9 aC

9]3

2, 048m / s 2

Ejemplo 08El sistema representado parte del reposo y cada componente se mueve a aceleracin constante. Si la aceleracin relativa del bloque C respecto al collar B es 60 mm/s2 hacia arriba y la aceleracin relativa del bloque D respecto al bloque A es 110 mm/s2 hacia abajo. Halle: (a) la aceleracin del bloque C al cabo de 3 s, (b) el cambio de posicin del bloque D al cabo de 5s

Ejemplo 09Un hombre en A est sosteniendo una caja S como se muestra en la figura, caminando hacia la derecha con una velocidad constante de 0,5 m/s. Determine la velocidad y la aceleracin cuando llega al punto E. La cuerda es de 30 m de longitud y pasa por una pequea polea D.

La velocidad y la aceleracin en el movimiento rectilneo estn dadas por las ecuaciones,

Resolucin grfica de problemas en el movimiento rectilneov dx / dt a dv / dt

La primera ecuacin expresa que la velocidad instantnea es igual a la pendiente de la curva en dicho instante. La segunda ecuacin expresa que la aceleracin es igual a la pendiente de la curva v-t en dicho instante

VII. Resolucin grfica de problemas en el movimiento rectilneo

Integrando la ecuacin de la velocidad tenemos

A x2

x1

t2 t1

vdt;

A

v2 v1

t2 t1

adt

El rea bajo la grfica v-t entre t1 y t2 es igual al desplazamiento neto durante este intervalo de tiempo El rea bajo la grfica a-t entre t1 y t2 es igual al cambio neto de velocidades durante este intervalo de tiempo

Otros mtodos grficos El momento de rea se puede utilizar para determinar la posicin de la partcula en cualquier tiempo directamente de la curva v-t:x1 x0 area bajo la curva v tv1

v0t1

t1 t dvv0

usando dv = a dt,v1

x1 x0v1

v0t1v0

t1 t a dt

t1 t a dtv0

Momento de primer orden de area bajo la curva a-t con repecto a la lnea t = t1

x1 t

x0 v0t1

rea bajo la curva a - t t1 t

abscisa del centroide C

Otros mtodos grficos Mtodo para determinar la aceleracin de una partcula de la curva v-x

dv a v dx AB tan a BC subnormal a BC

EJEMPLO 10

Un ciclista se mueve en lnea recta tal que su posicin es descrita mediante la grfica mostrada. Construir la grfica v-t y a-t para el intervalo de tiempo 0 t 30 s

EJEMPLO 11Un carro de ensayos parte del reposo y viaja a lo largo de una lnea recta acelerando a razn constante durante 10 s. Posteriormente desacelera a una razn constante hasta detenerse. Trazar las grficas v-t y s-t y determinar el tiempo t que emplea en detenerse

La grfica velocidad-tiempo puede ser determinada mediante integracin de los segmentos de recta de la grfica a-t. Usando la condicin inicial v = 0 cuando t = 0

Solucin: Grafica v - tv 0 t 0

0 t 10 s a 10;

dv

10 dt , v 10 t

Cuando t = 10 s, v = 100 m/s usando esto como condicin inicial para el siguiente tramo se tiene

10 s t

t; a

2;

v 100

dv

t 10

2 dt , v

2t 120

Cuando t = t , la velocidad nuevamente es cero por tanto se tiene 0= -2t + 120 t = 60 s

La grfica posicin-tiempo puede ser determinada mediante integracin de los segmentos de recta de la grfica v-t. Usando la condicin inicial s = 0 cuando t = 0

Solucin: Grafica s - ts 0 t 0

0 t 10 s; v 10 t ;

ds

10 t dt , s

5t 2

Cuando t = 10 s, S = 500 m usando esto como condicin inicial para el siguiente tramo se tiene s t 10 s t 60 s; v 2t 120 ; ds 2t 120 dt500 10

s

t 2 120 t 600Cuando t = t , la posicin S = 3000 m

Ejemplo 12La grfica v-t, que describe el movimiento de un motociclista que se mueve en lnea recta es el mostrado en la figura. Construir el grfico a-s del movimiento y determinar el tiempo que requiere el motociclista para alcanzar la posicin S = 120 m

SolucinGrafico a-s. Debido a que las ecuaciones de los segmentos de la grfica estn dadas, la grfica a-t puede ser determinada usando la ecuacin dv = a ds0 s 60m; v 0.2s 3 dv a v 0.04s 0.6 ds 60m s 120m; v 15; a dv v ds 0

SolucinCalculo del tiempo. El tiempo se obtiene usando la grfica v-t y la ecuacin v = ds/dt. Para el primer tramo de movimiento, s = 0, t = 0

0 s 60m; v 0.2s 3; dt ds dt o 0 0.2 s 3 t 5 ln(0.2s 3) 5 ln 3t s

ds v

ds 0.2 3

Cuando s = 60 m, t = 8,05 s

SolucinCalculo del tiempo. Para el segundo tramo de movimiento60 s 120m; v 15; dtt 8.05

ds v

ds 15

dt

s 60

ds 15

t

s 4.05 15

Cuando S = 120 m, t= 12 s

Ejemplo 13Una partcula parte del reposo y se mueve describiendo una lnea recta, su aceleracin de 5 m/s2 dirigida hacia la derecha permanece invariable durante 12 s. A continuacin la aceleracin adquiere un valor constante diferente tal que el desplazamiento total es 180 m hacia la derecha y la distancia total recorrida es de 780 m. Determine: (a) la aceleracin durante el segundo intervalo de tiempo, (b) el intervalo total de tiempo.

SolucinEn la figura se muestra el grfico velocidad-tiempo , ya que a = constante.

Como la aceleracin es la pendiente de la curva v-t, tenemos

tg v1 v1

a1

5m / s

2

v1 t1 (1)

5m / s 2 ( t1 ) 5m / s 2 (12s ) 60m / s

La distancia total es la suma de las reas en valor absolutodT A1 A2 780m 1 ( t1 2 1 ( t3 )v3 2 t2 )v1 780m 1 ( t3 )v3 2 (2)

1 (12 s 2

t2 )60m / s

SolucinEl desplazamiento viene expresado porx A1 A2 180m 1 ( t1 2 1 ( t3 )v3 2 t2 )v1 180m 1 ( t3 )v3 2 (3)

1 (12s 2

t2 )60m / s

Sumando las ecuaciones (2) y (3), resulta

(12s t2

t2 )60m / s 960m 4s (4)

La aceleracin en el segundo intervalo tiempo esa2 a2 tg v1 t2 60m / s 4s (5)

15m / s

SolucinSe determina t3a2 v3 tg v3 t3 15m / s 2 (6) 15m / s 2 ( t3 )

Remplazando la ec. (4) y (6) en (3) se tiene1 (12 s 2 4 s )60m / s 480m 1 ( t3 )(15 t3 ) 2 180m 180m

15m / s 2 ( t3 ) 2 2 t3 6, 32 s

El intervalo total de tiempo ser

t

t1

t2 t

t3 12s 4s 6,33s 22,33seg

Ejemplo 14Un cuerpo se mueve en lnea recta con una velocidad cuyo cuadrado disminuye linealmente con el desplazamiento entre los puntos A y B los cuales estn separados 90 m tal como se indica. Determine el desplazamiento x del cuerpo durante los dos ltimos segundos antes de llegar a B.

Poblemas propuestos1. El movimiento de una partcula se define por la relacin x 2t 6t 15 donde x se expresa en metros y t en segundos. Determine el tiempo, la posicin y la aceleracin cuando la velocidad es nula.3 2

2. El movimiento de una partcula se define mediante la relacin x 2t 20t 60 donde x se expresa en pies y t en segundos. Determine: (a) el tiempo en el cual la velocidad es cero, (b) La posicin y la distancia total recorrida cuando t=8s2

Problemas propuestos3. La aceleracin de una partcula se define mediante la relacin a (64 12t 2 ) pul / s 2 . La partcula parte de x = 25 pulg en t = 0 con v = 0. Determine: (a) el tiempo en el cual la velocidad de nuevo es cero; (b) la posicin y la velocidad cuando t = 5 s, (c) La distancia total recorrida por la partcula desde t = 0 a t = 5 s. 4. La aceleracin de una partcula est definida por la relacin a = -3v, con a expresada en m/s2 y v en m/s. Sabiendo que para t = 0 la velocidad es 60 m/s, determine: (a) la distancia que la partcula viajar antes de detenerse, (b) el tiempo necesario para que la partcula se reduzca al1% de su valor inicial

Problemas propuestos5. El bloque A tiene una 6. Los collares A y B deslizan a lo largo de las barrar fija que velocidad de 3,6 m/s hacia forman un ngulo recto y estn la derecha. Determine la conectadas por un cordn de velocidad del cilindro B longitud L. Determine laaceleracin ax del collar B como una funcin de y si el collar A se mueve con una velocidad constante hacia arriba vA

Problemas propuestos7. Una partcula que se mueve 8. Determine la rapidez vP a la cual a lo largo del eje x con el punto P localizado sobre el aceleracin constante , tiene cable debe viajar hacia el motor una velocidad de 1,5 m/s en M para levantar la plataforma A a el sentido negativo de las x razn de vA = 2 m/s. para t = 0, cuando su coordenada x es 1,2 m. tres segundos ms tarde el punto material pasa por el origen en el sentido positivo. Hasta qu coordenada negativa se ha desplazado dicha partcula?.

Problemas propuestos9. Determine la velocidad del 10. Determine la velocidad del bloque A si el bloque B tiene bloque A si el bloque B tiene una una velocidad de 2 m/s velocidad de 2 m/s hacia arriba hacia arriba

Problemas propuestos10. Determine la velocidad con la 11. cual el bloque asciende si elextremo del cable en A es halado hacia abajo con velocidad de 2 m/s hacia abajo

Problemas propuestos

Para levantar el embalaje mostrado mediante el aparejo se usa un tractor. Si el tractor avanza con una velocidad vA. Determine una expresin para la velocidad ascendente vB del embalaje en funcin de x. Desprecie la pequea distancia entre el tractor y su polea de modo que ambos tengan la misma velocidad.

I). Desde la azotea de un edificio se lanza una piedra hacia arriba a un ngulo de 30 con la horizontal y con una rapidez inicial de 20.0 m/s, como se muestra en la figura. Si la altura del edificio es 45.0 m. a) Cunto tiempo tarda la piedra en golpear el piso? b) Cul es la velocidad de la piedra justo antes de golpear el suelo? c) A qu distancia de la base del edificio golpea la piedra el suelo?

II). Un esquiador baja por una pendiente y se despega del suelo movindose en direccin horizontal con una rapidez de 25.0 m/s. La pendiente de aterrizaje bajo l esquiador tiene una inclinacin de 35.0. a). A qu distancia del punto de despegue el esquiador vuelve a hacer contacto con el suelo? b). Determine cuanto tiempo permanece el esquiador en el aire. c). Determine la componente vertical de la velocidad justo antes de aterrizar.

III). Un avin de rescate deja caer un paquete de provisiones a un grupo de exploradores extraviados como se muestra en la figura. Si el avin viaja horizontalmente a 40.0 m/s y a una altura de 100 m sobre el suelo. a)Dnde cae el paquete en relacin al punto en que se solt? b) Cules son las componentes horizontal y vertical de la velocidad del paquete justo antes de que golpee el suelo?

x2 vx

2y 2

t v0 D

2 33 60

32) En un m.r.u.a sin velocidad inicial, el mvil recorre 48 m durante el 5 segundo de su movimiento. Determinar el camino que recorrer durante el 14 segundo. 33) Un cuerpo cae libremente sin velocidad inicial. Determinar la relacin entre los tiempos que tarda en recorrer la primera y la segunda mitad del camino. 34) Un cuerpo parte del origen con una velocidad uniforme de 3 m/s en la direccin positiva del eje X, estando simultneamente, sometido a una aceleracin constante de 3 m/s2 que forma un ngulo de 120 con la direccin de la velocidad. Determinar la distancia del cuerpo al origen despus de 5 segundos de iniciado el movimiento. 35) Un alumno de 1 CICLO decide salir de excursin con su bicicleta, por una regin donde hay muchas subidas y bajadas. En las cuestas arriba lleva una velocidad constante de 5 km/h y en las bajadas de 20 km/h. Calcular: a) Cul es la velocidad media si las subidas y bajadas tienen la misma longitud? b) Cul es la velocidad media si emplea el mismo tiempo en las subidas que en las bajadas? c) Cul es su velocidad media si emplea el doble de tiempo en las subidas que en las bajadas?

VIII. MOVIMIENTO CURVILNEOSe dice que una partcula tiene un movimiento curvilneo cuando su trayectoria descrita esta es una lnea curva.

VIII. MOVIMIENTO CURVILNEOOBJETIVOS1. Describir el movimiento de una partcula que viaja a lo largo de una trayectoria curva

2. Expresar las cantidades cinemticas en coordenadas rectangulares, componentes normal y tangencial, as como radial y transversal

VIII. MOVIMIENTO CURVILNEOSe dice que una partcula tiene un movimiento curvilneo cuando su trayectoria descrita esta es una lnea curva.

VIII. MOVIMIENTO CURVILNEO1. Vector Posicin: Es aquel vector dirigido desde el origen de un sistema coordenado hacia el punto de ubicacin instantnea P la partcula. Se representa por r = r(t).

VIII. MOVIMIENTO CURVILNEO2. Vector Desplazamiento: Supongamos ahora que la partcula se mueve durante un pequeo intervalo de tiempo t hasta el punto P, entonces su posicin ser r (t + ). El desplazamiento es vector dirigido desde P a P y se expresa r r '(t t ) r (t )

VIII. MOVIMIENTO CURVILNEO3. Velocidad Media: Cuando la partcula se mueve de P a P experimenta un desplazamiento r en un intervalo de tiempo t. la velocidad media se define como vm r t r' r t' t

La velocidad media es un vector que tiene la misma direccin que el desplazamiento es decir es secante a la curva.

La velocidad media depende del intervalo de tiempo.

VIII. MOVIMIENTO CURVILNEO4. Velocidad Instantnea: Si el intervalo de tiempo se hace cada ves ms pequeo ( t 0), el desplazamiento tambin tiende a cero. Llevando al lmite la velocidad media se obtiene la velocidad instantnea. Es decir. v r lim t 0 t r' r lim t 0 t' t dr dt

La velocidad instantnea es un vector tangente a la trayectoria.

VIII. MOVIMIENTO CURVILNEO3. Velocidad Instantnea: Multiplicando y dividiendo la expresin anterior por la longitud del arco s = acrPQ, obtenemos v r s lim t 0 s t r s lim lim t 0 s t 0 t

A medida que Q se acerca a P la magnitud de r se aproxima a s, entonces se tiene

dr dsv

limt

0

r s

et

Adems se tienes lim t 0 t ds dt

v

ds et dt

VIII. MOVIMIENTO CURVILNEO5. Aceleracin media: En la figura se observa las velocidades instantneas de la partcula en P y Q. El cambio de velocidades durante t es v. La aceleracin media es el cambio de velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir v v v Q P am t tQ t P

La aceleracin media es un vector paralelo a v y tambin depende de la duracin del intervalo de tiempo

VIII. MOVIMIENTO CURVILNEO3. Aceleracin media: En la figura se observa las velocidades instantneas de la partcula en P y Q. El cambio de velocidades durante t es v. La aceleracin media es el cambio de velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir v v v Q P am t tQ t P

La aceleracin media es un vector paralelo a v y tambin depende de la duracin del intervalo de tiempo

VIII. MOVIMIENTO CURVILNEO6. Aceleracin instantnea: Se obtiene llevando al lmite la aceleracin media es decir haciendo cada ves mas y mas pequeos los intervalos de tiempo

a a

v lim t 0 t d dr dt dt

dv dt 2 d r dt 2

La aceleracin instantnea es un vector que tiene misma direccin que el cambio instantneo de la velocidad es decir apunta hacia la concavidad de la curva

8.1

COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIN

1. POSICIN. La posicin instantnea de una partcula en componentes x, y, z es

r

xi

y j zk

Las coordenadas x, y, z son funciones del tiempo: x = f(t), y = f(t), z = f(t) La magnitud del vector de posicin ser

r

x2

y2

z2

8.1.


2. Desplazamiento. Si una partcula se mueve de P a P en un intervalo de tiempo t. El desplazamiento est dado por:

r r

r' r

xi

yj

zk

( x) 2 ( y ) 2 ( z ) 2

8.1.


3. Velocidad media. Si una partcula se mueve de P a P experimenta un desplazamiento r en un intervalo de tiempo t. La velocidad media ser vm r t x i t y j t z k t

Es un vector secante a la trayectoria

8.1.


4. Velocidad instantnea. Se obtiene llevando al lmite cuando t 0, la velocidad media es decir: v dx dy dz i j k dt dt dt vx i v y j vz k xi y j zk

Es un vector tangente a la curva y tiene una magnitud definida por

v

v

2 x

v

2 y

v

2 z

8.1


5. Aceleracin media. Cuando la partcula cambia de posicin su velocidad tambien cambia. Entonces la aceleracin media ser am v t vx i t vy t j vz k t

Es un vector que se encuentra dirigido a lo largo del cambio de velocidades

COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIN 5. Aceleracin instantanea. Se obtiene llevando al lmite la aceleracin media. dv a ax i a y j az k dt donde x ax vx a y v y yaz vz z

8.1

Es un vector que se encuentra dirigido hacia la concavidad de la curva y su magnitud es

a

a

2 x

a

2 y

a

2 z

EjemploEn cualquier instante la posicin horizontal del globo meteorolgico est definida por x = (9t) m, donde t es el segundo. Si la ecuacin de la trayectoria es y = x/30, donde a = 2: Determinar la distancia del globo a la estacin A, la magnitud y la direccin de la velocidad y de la aceleracin cuando t = 2 s

Solucin

Cuando t = 2 s, la posicin del globo esx y 9t x2 30 9m / s (2 s ) 182 ( ) 30 18m 10, 8m

La magnitud y direccin de la velocidad para t = 2 s son9v2

La distancia en lnea recta serr 182

v

10.81

2

14.1m / s

10,8

2

21m

tan

vy vx

50.2

Las componentes de la velocidad sonvx vy x y d 9t 9m / s dt d 2 x dx x / 30 dt 15 dt

81t 15

10.8m / s

SolucinLas componentes de la aceleracin ser

ax

vx

0

d 81t ay vy 5.4m / s 2 dt 15 La magnitud y direccin de la aceleracin sona 02

5.4

2

5.4m / s 2

a

5.4 tan 01

90

EjemploEl movimiento de la caja B est definida por el vector de posicin r [0,5sen(2t )i 0,5cos(2t ) 0, 2tk ]m j

donde t esta en segundos y el argumento para el seno y el coseno est en radianes. Determine la localizacin de la caja cuando t = 0,75 s y la magnitud de su velocidad y aceleracin en este instante

Solucin

r

La posicin de la partcula cuando t = 0,75 s est 0.75 s

{0.5s e n(1.5rad )i 0.5cos(1.5rad ) j 0.2(0.75)k } m

r0,75s

{0.499i 0.0354 j 0.150k } m2

La distancia medida desde el origen ser

r

(0.499)

(0.0354)ur

2

La direccin es

r 0.499 0.0352 0.150 i j k r 0.522 0.522 0.522 0.955i 0.0678 j 0.287 k cos 1 (0.955) 17.2

( 0.150)

2

0.522m

86.1 107

Solucin

La velocidad de la partcula cuando t = 0,75 s es dr v {1cos(2t )i 1sin(2t ) j 0.2k }m / s dt

v

2 2 2 vx v y v z

1.02m / s

La aceleracin de la partcula cuando t = 0,75s dv a { 2sin(2t )i 2cos(2t ) j}m / s 2 dt a = 2 m/s2

Ejemplo

Los movimientos x e y de las guas A y B, cuyas ranuras forman un ngulo recto, controlan el movimiento del pasador de enlace P, que resbala por ambas ranuras. Durante un corto intervalo de tiempo esos movimientos estn regidos porx 20 1 2 1 3 t y y 15 t 4 6

donde x e y estn en milmetros y t en segundos. Calcular los mdulos de las velocidad y de la aceleracin a del pasador para t = 2 s. esquematizar la forma de la trayectoria e indicar su curvatura en ese instante.

Ejemplo

El rodillo A de la figura est restringido a deslizar sobre la trayectoria curva mientras se desplaza en la ranura vertical del miembro BC. El miembro BC se desplaza horizontalmente. (a) Obtenga las ecuaciones para la velocidad y la aceleracin de A, x exprsela en trminos de b, x, x, (b) Calcule la velocidad y la aceleracin cuando ; x 10icm / s; b 10cm; x 4icm 8icm / s 2 x

8.2.

MOVIMIENTO CURVILINEO PLANO

Es aquel movimiento que se realiza en un solo plano. r t x t i y t j r r x2 r t2 x1 i r t1 y2 y1 j

v v a a a

t tt t t

vx t i v y t j x t i y t j ax t i a y t j vx t i v y t j t i t j x y

8.3.

MOVIMIENTO PARABLICO

Es caso mas simple del movimiento plano, en el cual ax = 0 y ay = - g = - 9,81 m/s2 =-32,2 pies/s2. En la figura se muestra este movimiento y su trayectoria

8.3.1. MOVIMIENTO PARABLICO: HiptesisPara analizar este movimiento se usa las siguientes hiptesis

(a) El alcance del proyectil es suficientemente pequeo como para poder despreciar la curvatura de la superficie terrestre (la aceleracin gravitatoria g es normal a dicha superficie); (b) La altura que alcanza el proyectil es suficientemente pequea como para poder despreciar la variacin del campo gravitatorio (aceleracin de la gravedad) terrestre con la altura; (c) La velocidad del proyectil es suficientemente pequea como para poder despreciar la resistencia que presenta el aire al movimiento del proyectil y (d) No tendremos en cuenta el efecto de rotacin de la Tierra que, como veremos ms adelante, tiende a desviar el proyectil hacia la derecha de su trayectoria cuando el movimiento tiene lugar en el hemisferio Norte.

DIAGRAMA DEL MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL

8.3.2 MOVIMIENTO PARABLICO: ecuacionesMovimiento horizontal. Debido a que ax = 0v x v2 x02 v0

v0 ax t ; 1 2 v0t ax t ; 2 2ax ( x x0 );

vx x vx

(v0 ) x (v0 ) x

x0 (v0 ) x t

8.3.2. MOVIMIENTO PARABLICO: ecuacionesMovimiento vertical: Debido a que ay = - g = -9,81 m/s2vy y2 vy

v0 y

a yt;

vy y2 vy

(v0 ) y

gt

y02 v0 y

1 2 v0 y t a yt ; 2 2a y ( y y0 );

1 2 y0 (v0 ) y t gt 2 (v0 ) 2 2 g ( y y0 ) y

8.3.2. MOVIMIENTO PARABLICO: Altura mxima y alcance alcanzado por el proyectilCuando se estudia el movimiento de proyectiles, dos caractersticas son de especial inters. 1. El alcance R, es la mxima distancia horizontal alcanzada por el proyectil

R

v i2 sin2 g

i

2. La altura mxima alcanzada por el proyectil

h

h

v i2 sin2 2g

i

8.3.2. MOVIMIENTO PARABLICO: alcance alcanzado por el proyectilEl mximo alcance es logrado cuando el ngulo de lanzamiento es 45

EjemploUn saco desliza por una rampa saliendo de su extremo con una velcoidad de 12 m/s. Si la altura de la rampa es 6 m desde el piso. Determine el tiempo necesario para que saco impacte contra el piso y la distancia horizontal R que avanza

EjemploLa mquina de picar est diseada para extraer madera en trozos y lanzarlos con una velocidad vo = 7,5 m / s. Si el tubo se orienta a 30 respecto a la horizontal como se muestra en la figura, determinar qu tan alto se apilarn los trozos de madera, si la distancia del apilamiento a la salida es 6 m

EjemploLa pista de carreras de este evento fue diseado para que los pilotos puedan saltar de la pendiente de 30 , desde una altura de 1m. Durante la carrera, se observ que el conductor permaneci en el aire 1,5 s. Determine la velocidad de salida de la pendiente, la distancia horizontal alcanzada y la altura mxima que se eleva el piloto y su moto. Desprecie el tamao de ambos.

EjemploUn jugador de basquetbol lanza una pelota de baloncesto segn el ngulo de = 50 con la horizontal. Determine la rapidez v0 a la cual se suelta la pelota para hacer el enceste en el centro del aro. Con qu rapidez pasa la pelota a travs del aro?.

EjemploUn bombero desea saber la altura mxima de la pared a la cual puede proyectar el agua mediante el uso de la manguera. A qu ngulo, , respecto de la horizontal debe inclinar la boquilla para lograr el objetivo?

EjemploLa moto de nieve mostrada en la figura sale de la rampa con una rapidez de 15 m/s bajo un ngulo de 40respecto a la horizontal y aterriza en el punto B. Determine la distancia horizontal R que viaja y el tiempo que permanece en el aire

EjemploEl esquiador sale de la rampa formando un ngulo de A = 25 y aterriza en el punto B de la pendiente. Determine la velocidad inicial del esquiador y el tiempo que permanece en el aire

Ejemplo

El hombre lanza una pelota con una velocidad inicial v0 = 15 m/s . Determine el ngulo bajo el cual podra lanzar la pelota del tal manera que choque contra la valla en un punto de mxima altura posible. El gimnasio tiene una altura de 6 m.

8.4

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL8.4.1.OBJETIVOS

Determinar las componentes normal y tangencial de la velocidad y la aceleracin de una partcula que se encuentra movindose en un trayectoria curva.

8.4

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL8.4.1.APLICACIONESCuando un auto se mueve en una curva experimenta una aceleracin, debido al cambio en la magnitud o en la direccin de la velocidad. Podra Ud. preocuparse por la aceleracin del auto?.

Si el motociclista inicia su movimiento desde el reposo e incrementa su velocidad a razn constante. Cmo podra determinar su velocidad y aceleracin en la parte ms alta de su trayectoria.

8.4

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL8.4.3. POSICINEl eje t es tangente a la trayectoria y positivo en la direccin del movimiento y el eje n es perpendicular al eje t y esta dirigido hacia el centro de curvatura

Cuando la trayectoria de una partcula es conocida, a veces es conveniente utilizar las coordenadas normal (n) y tangencial (t) las cuales actan en las direcciones normal y tangencial a la trayectoria. En un movimiento plano se utilizan las vectores unitarios ut y un El origen se encuentra ubicado sobre la trayectoria de la partcula.

8.4

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL8.4.3. POSICIN

En un movimiento plano las direcciones n y t se encuentran definidas por los vectores unitarios ut y un El radio de curvatura , es la distancia perpendicular desde curva hasta el centro de curvatura en aquel punto. La posicin es la distancia S medida sobre la curva a partir de un punto O considerado fijo

8.4

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL8.4.4. VELCOIDAD

Debido a que la partcula se esta moviendo, la posicin S est cambiando con el tiempo.

La velocidad v es un vector que siempre es tangente a la trayectoria y su magnitud se determina derivando respecto del tiempo la posicin S = f(t). Por lo tanto se tiene

v v

vut s dS / dt

8.4

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 8.4.4. ACELERACINLa aceleracin tangencial es la responsable del cambio en el modulo de la velocidad La aceleracin normal es la responsable del cambio en la direccin de la velocidad

Consideremos el movimiento de una partcula en una trayectoria curva plana

En el tiempo t se encuentra en P con una velocidad v en direccin tangente y una aceleracin a dirigida hacia la concavidad de la curva. La aceleracin puede descomponerse en una componente tangencial at (aceleracin tangencial) paralela a la tangente y otra paralela a la normal an (aceleracin normal)

8.4

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 8.4.4. ACELERACIN

Tracemos en A un vector unitario et . La aceleracin ser det dv d (vet ) dv a et v dt dt dt dt Si la trayectoria es una recta, el vector et sera constante en magnitud y direccin, por tanto det dt 0

Pero cuando la trayectoria es curva la direccin de et cambia por lo tanto det 0 dt

8.4

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 8.4.4. ACELERACINd ( sen ) i cos dt det d en dt dt d j dt

Introduzcamos el vector unitario det normal en a la curva y dirigido dt hacia el lado cncavo de la curva. Sea el ngulo que forma la tangente en A con el eje x. Entonces se tiene et cos i sen j

en en

cos(

)i sen( 2 sen i cos j

2

)j

La derivada del vector unitario tangente ser

8.4

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 8.4.4. ACELERACIN

Por otro lado se tiene que d d dS d v dt dS dt dS Donde dS es el pequeo arco a lo largo del movimiento en un dt. Las normales a la curva en A y A se intersecan en C. Entonces dS d d 1 dS La razn de cambio del vector unitario tangencial es

det dt

1

en

8.4

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 8.4.4. det v dt v2 en an en

ACELERACIN

Remplazando esta ecuacin en la aceleracin se tiene

La magitud de la aceleracin total ser

a

dv et dt dv a et dt a at et

a

a

2 t

a

2 n

Es decir las aceleraciones tangencial y normal se escriben dv v2 at et : at en dt

CASOS ESPECIALES1. La partcula se mueve a lo largo de una lnea recta

=> an = v2/ a = at = v La componente tangencial representa la razn de cambio de la magnitud de la velocidad2. La partcula se mueve en la curva a velocidad constante

at = v = 0

=>

a = a n = v 2/

La componente normal representa la razn de cambiode la direccin de la velocidad

CASOS ESPECIALES3) La componente tangencial de la aceleracn esat = (at)c.s v v2 s0 v02 v0

constante,

1 v0t (ac )c t 2 2 (ac )c t 2(ac )c ( s s0 )

So and vo son la posicin y la velocidad de la partcula en t = 0

4. La partcula se mueve a lo largo de la rayectoria dada por y = f(x). Entonces el radio de curvatura es[1 (dy / dx) 2 ]3/ 2 d 2 y / dx 2

Ejemplo 01

Un esquiador viaja con una rapidez de 6 m/s la se est incrementando a razn de 2 m/s2, a lo largo de la trayectoria parablica indicada en la figura. Determine su velocidad y aceleracin en el instante que llega a A. Desprecie en los clculos el tamao del esquiador.

Solucin

Estableciendo los ejes n y t mostrados se tiene. La velocidad de 6 m/s es tangente a la trayectoria y su direccin ser 1 2 dy y x , 1 20 dx x 10

Por lo tanto en A la velocidad forma 45 con el eje x

Solucin

La aceleracin se determina aplicando la ecuacin

aA aA aA

a

dv et dt

v

2

dv et dt 2et 2et

v

2

en

en

Para ello se determina el radio de curvatura [1 (dy / dx) 2 ]3/ 2

62 en 28, 3 1, 27en

d y / dx

2

2

[1 ( x /10) 2 ]3/ 2 1/10 28.28m

Solucin

La magnitud y la direccin de la aceleracin sern

a

2

2

1.2371

2

2.37 m / s 2

2 tan 57.5 1.327

Ejemplo 02

Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista horizontal circular que tiene un radio de 90 m. Si el carro incrementa su rapidez a razn constante de 2,1 m/s2 partiendo desde el reposo, determine el tiempo necesario para alcanzar una aceleracin de 2,4 m/s2. Cul es su velocidad en ese instante.

Solucin

Se sabe que la aceleracin tangencial es constante e igual aat v v 2,1m / s 2 Entonces v0 0 at t 2,1t

La aceleracin total ser

a a a2 2, 4 2

at et

v

2

en2

2,1et 2,12 2,12 t

0.049t en [0.049t 2 ]2 [0.049t 2 ]2en este

La aceleracin normal serv2

4,87

an

(2,1t ) 90

2

0.049t 2 m / s 2

La velocidad instante ser

v 2.1t 10.2m / s

Ejemplo 03Una caja parte del reposo en A e incrementa su rapidez a razn de at = (0.2t) m/s2 y viaja a lo largo de la pista horizontal mostrada. Determine la magnitud y direccin de la aceleracin cuando pasa por B

Ejemplo 03La posicin de la caja en cualquier instante es S medida a partir del punto fijo en A.

La velocidad en cualquier instante se determina a partir de la aceleracin tangencial, esto es

atv 0

v dv

0.2tt 0

(1)

0.2tdt (2)

v

0.1t 2

Ejemplo 03Para determinar la velocidad en B, primero es necesario determinar S = f(t), despus obtener el tiempo necesario para que la caja llegue a B. es decirvS 0

Entonces tenemos

6,142 0, 0333t 3 t 5, 69s

ds dt

0.1t 2t 0

ds

0.1t 2 dt (3)

S

0, 0333t 3

De la geometra se tiene sB = 3 + 2(2)/4 = 6.142 m.

Ejemplo 03Remplazando el tiempo en las ecuaciones (1) y (2) resulta( aB ) t vB vB 0.2(5.69) 1.138m / s 2 3.238m / s 0.1(5.69)2Su modulo y direccin serna2 1,1382 atg 1[

[5, 242]2

5, 36m / s 25.242 ] 77, 75 1,138

En el punto B el radio de curvatura es = 2 m, entonces la aceleracin ser(aB )n2 vB B

5.242m / s 2

La aceleracin total ser aB aB at , B et 1,138et2 vB

en

5, 242en

Ejemplo 04Una partcula se mueve en una trayectoria curva de tal manera que en cierto instante tiene una velocidad v y una aceracin a. Demuestre que el radio de curvatura puede obtenerse a partir de la ecuacin

1

vxa 3 v

Ejemplo 04Sabemos que la aceleracin en cualquier instante es

a

at

an

vxa

vxa 0 vxan vxa vxan vxan van sen90

van

Multiplicando ambos miembros por la velocidad v tenemos a at an vxa vx at an vxa vxat vxan Debido a que la aceleracin tangencial son colineales su producto vectorial es nulo. Entonces tenemos

Remplazado la normal tenemos

aceleracin

vxa 1

v(

v

2

)

vxa v3

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Partiendo desde el reposo, un bote a motor viaja alrededor de una trayectoria circular de radio r = 50 m con una velocidad . Determine la magnitud de la velocidad y de la aceleracin del bote en t = 3 s.

Ejemplo

Un avin viaja a lo largo de una trayectoria y 0, 4 x 2 . parablica vertical En el punto A el avin tiene una velocidad de 200 m/s la cual se incrementa a razn de 0,8 m/s2. Determine la magnitud de la aceleracin del avin cuando pase por A.

Ejemplo

El jugador de bisbol lanza una pelota con una velocidad inicial de v0 = 30 m/s a un ngulo = 30 como se muestra en la figura. Hallar el radio de curvatura de la trayectoria: (a) inmediatamente despus del lanzamiento y (b) en el vrtice. Calcular en cada caso, la variacin de celeridad por unidad de tiempo.

Hasta ahora se ha estudiado el movimiento absoluto de una partcula usando un marco de referencia fijo. Sin embargo, existen ejemplos en el que la trayectoria del movimiento de una partcula es complicada, de modo que es ms factible analizar el movimiento en partes usando dos o ms marcos de referencia.

ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACIN

Por ejemplo, el movimiento de una partcula localizada en la hlice de un avin , mientras ste est en vuelo , es ms fcil describirlo si observamos primero el movimiento del avin a partir de un sistema de referencia fijo y despus se superpone vectorialmente el movimiento circular de la partcula medida a partir de un marco de referencia mvil unido al aeroplano.

En esta seccin nos ocuparemos del estudio del movimiento solo a marcos de referencia en traslacin. El anlisis del movimiento relativo de partculas usando marcos de referencia en rotacin se tratar en el curso de Dinmica.

ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACIN

MOVIMIENTO RELATICO: POSICIN

Consideremos dos partculas A y B movindose en las trayectorias mostradas Las posiciones absolutas de A y B con respecto al observador fijo en el marco de referencia OXYZ sern

La posicin relativa de A con respecto al observador B , es

rA

rB

rA / B

rA OA rB OB

El observador B slo experimenta traslacin y se encuentra unidos al sistema de referencia mvil Oxyz

Movimiento relativo: Velocidad

Derivando la ecuacin de la posicin relativa se tiene

vA

vB

vA / B

Movimiento relativo: Aceleracin

Derivando la ecuacin de la velocidad relativa se tiene

aA

aB

aA / B

Ejemplo 01

Un tren T, viajando a una velocidad constante de 90 km/ h, cruza una carretera, como se muestra en la figura. Si el automvil A est viajando por la carretera con una velocidad de 67,5 km/h. Determine la magnitud y direccin de la velocidad relativa del tren con respecto al auto.

SOLUCIN

La velocidad relativa es medida desde el observador ubicado en el auto al cual se le asocial el sistema de referencia OXY, Como las velocidades de T y A son conocidas, entonces la velocidad relativa se obtiene de

90i

v A vT / A (67.5cos 45 i 67.5sin 45 j ) vT / A vT / A {42.3i 47.7 )km / h j

vT

solucin

La magnitud de la velocidad relativa ser

vT / A

(42.3

2

47.7 )

2 2

63.8km / h

La direccin de la velocidad relativa es

tan

vT / A vT / A

y x

47.7 42.3

48.40

solucin

Dos aviones estn volando horizontalmente a la misma elevacin, como se indica en la figura. El avin A est volando en una trayectoria recta, y en el instante mostrado desarrolla una velocidad de 700 km/h y una aceleracin de 50 km/h2. El avin B est volando en una trayectoria curva circular de 400km de radio con una rapidez de 600 km/h y est decreciendo su rapidez a razn de 100 km/h2. Determine la velocidad y la aceleracin relativa de B medida por el piloto A

Solucin

Al avin A esta movindose rectilneamente y se asocia un marco de referencia mvil Oxy. La velocidad relativa de B respecto de A es

El avin B tiene aceleracin normal y tangencial pues se mueve en una curva. La aceleracin normal seraB2 vB n

vB vB / A

v A vB / A

900km / h 2

600 700 vB / A 100km / h 100km / h

Aplicando la ecuacin para determinar la aceleracin relativa se tiene

aA aB / A 900i 100 50 aB / A j j 150 km / h 2 aB / A 900i j

aB

Solucin

En un determinado instante los carros A y B estn viajando con velocidades de 18m/s y 12m/s, respectivamente. Adems en dicho instante la velocidad de A est disminuyendo a razn de 2m/s2 y B experimenta un incremento de su velocidad a razn de 3 m/s2. Determine la velocidad y la aceleracin de B con respecto de A

Solucin

El sistema de referencia fijo est en tierra y el marco mvil en el auto A. Por tanto se tienevB 12 j v A vB / A vB / A 18cos 60 i 18sin 60 j vB / A vB / A 9i 3.588 m / s j

La aceleracin normal seraB2 vB n

1.440m / s 2

La aceleracin relativa seraB a A aB / A aB / A 4.732 m / s 2 j 2 cos 60 i 2sin 60 j 2.440i

1.440i 3 j

92 3.5882

9.69m / s

aB / A

La direccin de la velocidad relativa servB / A vB / Ay x

Su direccin seraB / A 5.32m / s 2 62.7

tan

3.588 9

21.7

Ejemplo

Los pasajeros que viajan en el avin A que vuela horizontalmente a velocidad constante de 800 km/h observan un segundo avin B que pasa por debajo del primero volando horizontalmente. Aunque el morro de B est sealando en la direccin en la direccin 45noreste, el avin B se presenta a los pasajeros de A como separndose de ste bajo el ngulo de 60 representado. Halle la velocidad verdadera de B

Solucin

El marco mvil est asociado al avin A donde se efectan las observaciones relativas

Aplicando estas ecuaciones en la velocidad relativa se tiene

vB

vA

vB / A

vA vB vB / A

La velocidad de A es conocida en vB sen45 vB / A sen60 mdulo y direccin, el ngulo de 60 de la velocidad relativa de B respecto de A es conocido y la Resolviendo estas ecuaciones se obtiene velocidad verdadera de B tiene una direccin de 45. Entonces vB / A 586km / h; vB 717km / h tenemos. (800i )km / h [vB cos 45 i vB sen45 ] j [ vB / A cos 60 i vB / A sen60 ] j

componente i : vB cos 45 800 vB / A cos 60 componente : j

cinematica de una particula

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