cinematica de una particula [modo de compatibilidad]

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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN FRANCISCO XAVIER

DE CHUQUISACA

FACULTAD DE INGENIERA CIVIL

ASIGNATURA: MECANICA RACIONAL

CINEMATICA DE UNA PARTICULACINEMATICA DE UNA PARTICULAPOR: ING. M.SC. FRANCISCO VICTOR ROJAS QUENALLATA

SUCRE - BOLIVIA

I. INFORMACION GENERAL OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA: OBJETIVOS EDUCATIVOS: Extender la concepcin cientfica del mundo a la interpretacin de los

fenmenos relacionados con el movimiento de los cuerpos einteraccin entre ellos.

Interpretar el estado actual de las tendencias futuras en el desarrollode los mtodos para la modelacin fsica y matemtica de losproblemas asociados al movimiento de los slidos.p

Desarrollar las formas de pensamiento lgico y las capacidadescognoscitivas que permitan la formacin y la aplicacin de unenfoque ingenieril de la actividad profesional.

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I. INFORMACION GENERAL

OBJETIVOS INSTRUCTIVOS: Aplicar los conocimientos adquiridos en el diseo y calculo Aplicar los conocimientos adquiridos en el diseo y calculo

de estructuras y mquinas bajo cargas dinmicas Predecir los efectos del movimiento y su relacin con las

fuerzas como ayuda en el diseo de mecanismos ymquinas.

Comparar las caractersticas de diseo bajo cargasdinmicas y estticas en el diseo de estructuras.

2. CONTENIDO ANALTICO

TEMA N 1 CINEMATICA DE UNA PARTICULA Cinemtica rectilnea movimiento continuo Cinemtica rectilnea, movimiento continuo Cinemtica grfica: movimiento errtico Movimiento curvilneo plano Coordenadas rectangulares Coordenadas normal tangencil Coordenadas polares Movimiento relativo en el plano

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TEMA N 1 CINEMATICA DE UNA PARTICULA Movimiento relativo en el plano Movimiento relativo en el plano Ejes de referencia en traslacin Ejes de referencia en rotacin Movimiento curvilneo tridimensional Coordenadas rectangulares Coordenadas cilndricas Coordenadas esfricas Transformacin de coordenadas


TEMA N 2 CINEMTICA PLANA DE LOS CUERPOSRGIDOS Movimiento de un cuerpo rgido Traslacin de un cuerpo rgido Rotacin en torno a un eje fijo Anlisis del movimiento en el plano absoluto en general Anlisis del movimiento relativo: velocidad Centro instantneo de velocidad cero Anlisis del movimiento relativo: aceleracin Movimiento relativo utilizando ejes de rotacin

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TEMA N 3 CINETICA DE UNA PARTCULA Leyes de Newton y ecuaciones de movimiento Leyes de Newton y ecuaciones de movimiento Leyes de Newton y coordenadas rectangulares Leyes de Newton y coordenadas tangencial normal Leyes de Newton y coordenadas polares Trabajo de una fuerza Principio del trabajo y energa Principio del trabajo y energa en un sistema de partculas


TEMA N 3 CINETICA DE UNA PARTCULA Potencia y eficiencia Potencia y eficiencia Fuerza conservativas y energa potencial Conservacin de la energa Principio de impulso y momento Conservacin del momento lineal Impacto Relacin del momento y una fuerza angular Principios del impulso y momento angular

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TEMA N 4 CINETICA DE LOS CUERPOS RGIDOS Ecuaciones de movimiento cintico en el plano Ecuaciones de movimiento cintico en el plano Ecuaciones de movimiento: traslacin Ecuaciones de movimiento: movimiento en el plano general Trabajo de una fuerza y de un par Principio del trabajo y la energa Momento lineal y angular Principio del impulso y momento Conservacin del momento


TEMA N 5 ECUACIONES DE LAGRANGE YVIBRACIONES Deduccin de las ecuaciones de Lagrange Movimiento armnico simple Vibraciones libres no amortiguadas Vibraciones forzadas no amortiguadas Amortiguamiento de vibraciones Vibraciones forzadas amortiguadas

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3. BIBLIOGRAFIA

HIBBELER R.C. DINAMICA, EDITORIALPRENTICE HALL MEXICO 1995PRENTICE HALL, MEXICO, 1995

SANDOR B.I. DINAMICA, EDITORIAL PRENTICEHALL, MEXICO, 1989.

MERIAN J.I. DINAMICA, EDITORIAL REVERTE,S A BARCELONA ESPAA 1972S.A., BARCELONA ESPAA, 1972.

4. EVALUACION Y PONDERACION

FRECUENTE: Por medio de constantes preguntas orales realizadas aPor medio de constantes preguntas orales realizadas a

estudiantes en las conferencias y clases prcticas.PARCIAL:

Se realizan dos parciales escritos que permiten evaluar elalcance de los objetivos parciales.

FINAL:FINAL: Es la evaluacin que determina el alcance de los objetivos de la

asignatura. La evaluacin es de forma escrita.

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4. EVALUACION Y PONDERACION

PRIMER PARCIAL

Prcticas, investigaciones, tareas extra clase

5

Examen escrito (lo avanzado en cada 25

parcial)25

Total 30

SEGUNDO PARCIAL


5

Examen escrito (lo avanzado en cada parcial)

25

Total 30

Prcticas investigaciones tareas extra

EXAMEN FINAL


0

Examen escrito (lo avanzado en cada parcial)

40

Total 40

INTRODUCCIN

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NOCION DE CINEMATICA La cinemtica (del griego, kineo, movimiento) es la rama de la

mecnica clsica que estudia las leyes del movimiento de loscuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitndose

fesencialmente, al estudio de la trayectoria en funcin del tiempo.

Tambin se dice que la cinemtica estudia la geometra delmovimiento.

En la cinemtica se utiliza un sistema de coordenadas para describirlas trayectorias, denominado sistema de referencia.

ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICAESPACIO ABSOLUTO.

Es decir, un espacio anterior a todos los objetos materialese independiente de la existencia de estose independiente de la existencia de estos.

Este espacio es el escenario donde ocurren todos losfenmenos fsicos, y se supone que todas las leyes de lafsica se cumplen rigurosamente en todas las regiones deese espacioese espacio.

El espacio fsico se representa en la Mecnica Clsicamediante un espacio puntual eucldeo.

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ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICATIEMPO ABSOLUTO

L M i Cl i d it l i t i dLa Mecnica Clsica admite la existencia de untiempo absoluto que transcurre del mismo modo entodas las regiones del Universo y que esindependiente de la existencia de los objetosmateriales y de la ocurrencia de los fenmenosyfsicos.

ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICAMOVIL

El mvil ms simple que podemos considerar es el puntoi l lmaterial o partcula.

La partcula es una idealizacin de los cuerpos que existenen la Naturaleza.

Entendemos por punto material o partcula a un cuerpo dedimensiones tan pequeas que pueda considerarse comop q q ppuntiforme; de ese modo su posicin en el espacio quedardeterminada al fijar las coordenadas de un puntogeomtrico.

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RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO Estudiar el movimiento de un

cuerpo quiere decir determinar suposicin en el espacio en funcindel tiempo, para ello se necesita unsistema de referencia.

En el espacio euclidiano:a. un origen O, que es un puntodel espacio fsico.b. una base vectorial del espaciovectorial asociado a dicho

espacio fsico.

RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO Decimos que una partcula se encuentra en movimiento con respecto

a un referencial si su posicin con respecto a l cambia en eltranscurso del tiempo.

f De las definiciones que acabamos de dar para el movimiento y elreposo de un cuerpo, vemos que ambos conceptos son relativos.

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En la Figura hemos representadodos observadores, S y S, y unapartcula P. Estos observadores utilizan los

RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO

Estos observadores utilizan losreferenciales xyz y xyz,respectivamente. Si S y S se encuentran en reposo

entre s, describirn del mismomodo el movimiento de la partculaP. Pero si S y S se encuentran enmovimiento relativo, susobservaciones acerca delmovimiento de la partcula P serndiferentes.

RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO Para el observador en ubicado en la tierra la LUNA describir una

rbita casi circular en torno a la TIERRA. Para el observador ubicado en el sol la trayectoria de la luna esy

una lnea ondulante. Naturalmente, si los observadores conocen sus movimientos

relativos, podrn reconciliar sus observaciones

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MOVIMIENTO RECTILNEOSe dice que una partcula tiene un movimiento rectilneo cuando sutrayectoria medida con respecto a un observador es una lnea recta

1. POSICIN.

La posicin de la partcula en cualquier instante queda definida por La posicin de la partcula en cualquier instante queda definida porla coordenada x medida a partir del origen O.

Si x es positiva la partcula se localiza hacia la derecha de O y si xes negativa se localiza a la izquierda de O.

MOVIMIENTO RECTILNEODESPLAZAMIENTO.

El desplazamiento se define como el cambio de posicin. Se representa por el smbolo x.p p Si la posicin final de la partcula P est la derecha de su

posicin inicial P, el desplazamiento x es positivo cuando eldesplazamiento es hacia la izquierda S es negativo

'x x x = ' 'r r r x i xi = = r r r

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MOVIMIENTO RECTILNEOVELOCIDAD MEDIA

Si la partcula se mueve de P a P experimentando undesplazamiento x positivo durante un intervalo de tiempo t,

t l l id d di entonces, la velocidad media ser

2 2

2 1

mx xxv

t t t= =

' '' 'm

r r r x i xivt t t t t

= = = r r rr

VELOCIDAD MEDIA La velocidad media tambin puede

interpretarse geomtricamente

MOVIMIENTO RECTILNEO

para ello se traza una lnea rectaque une los puntos P y Q como semuestra en la figura. Esta lneaforma un tringulo de altura x ybase t.

La pendiente de la recta es x/t.Entonces la velocidad media es lapendiente de la recta que une lospuntos inicial y final de la grficaposicin-tiempo

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MOVIMIENTO RECTILNEOVELOCIDAD INSTANTNEA

Es la velocidad de la partcula en cualquier instante de tiempo seobtiene llevando al lmite la velocidad media es decir, se hace cadaobtiene llevando al lmite la velocidad media es decir, se hace cadavez ms pequeo el intervalo de tiempo y por tanto valores mspequeos de x. Por tanto:

0lim( )t

x dxvt dt

= =0

lim( )t

r dr dxv it dt dt

= = =r rr

MOVIMIENTO RECTILNEOVELOCIDAD INSTANTNEA

Si una partcula se mueve de P a Q. A medida que Q se aproxima msy ms a P los intervalos de tiempo se hacen cada vez menores. Amedida que Q se aproxima a P el intervalo de tiempo tiende a ceroq Q p ptendiendo de esta manera las pendientes a la tangente. Por tanto, lavelocidad instantnea en P es igual a la pendiente de la recta tangenteen el punto P.

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IV. MOVIMIENTO RECTILNEO

5. RAPIDEZ MEDIA. La rapidez media se define como la distancia total de laLa rapidez media se define como la distancia total de latrayectoria recorrida por una partcula ST, dividida entre eltiempo transcurrido t, es decir,

( ) TSv( ) Trapv t=

MOVIMIENTO RECTILNEOACELERACIN MEDIA .

Si la velocidad de la partcula al pasar por P es v y cuando pasapor P es v durante un intervalo de tiempo t, entonces:

''med

v v vat t t = =

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MOVIMIENTO RECTILNEOACELERACIN INSTANTANEA .

La aceleracin instantnea se obtiene llevando al lmite laaceleracin media cuando t tiende a cero es decir

0

2

2

lim( )

( )

t

v dvat dt

d dx d xadt dt dt

= =

= =

EJEMPLO 01La posicin de una partcula que se mueve en lnea recta estdefinida por la relacin

Determine: (a) la posicin, velocidad y aceleracin en t = 0; (b)la posicin, velocidad y aceleracin en t = 2 s; (c) la posicin,

2 36x t t= la posicin, velocidad y aceleracin en t 2 s; (c) la posicin,velocidad y aceleracin en t = 4 s ; (d) el desplazamiento entret = 0 y t = 6 s;

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La ecuaciones de movimiento sonSOLUCIN

326 ttx =

2312 ttdtdxv ==

tdt

xddtdva 6122

2===

Las cantidades solicitadas sonSOLUCIN

En t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2

En t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0

En t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2

En t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2

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DETERMINACIN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTCULA

LA ACELERACIN COMO FUNCIN DEL TIEMPO a = f(t).Se sabe que a = dv/dt, entonces podemos escribir


LA ACELERACIN COMO FUNCIN DE LA POSICIN a = f(x).Se sabe que a = vdv/ds, entonces podemos escribir

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LA ACELERACIN COMO FUNCIN DE LA VELOCIDAD a = f(v).

Se sabe que a = dv/dt o tambin a = vdv/ds, entonces esposible escribir


LA ACELERACIN ES CONSTANTE a = constanteA este caso se le denomina movimiento rectilneo uniforme y las ecuaciones obtenidas son

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EJEMPLO 01El auto mostrado en la figura se mueve en lnea recta de tal maneraque su velocidad para un perodo corto de tiempo es definida por

ttv 23 2 +=pies/s, donde t es el tiempo el cual est en segundos . Determine suposicin y aceleracin cuando t = 3,00 s. Considere que cuando t = 0.S = 0

ttv 23 +=

POSICIN Para el sistema dereferencia considerado y sabiendoque la velocidad es funcin deltiempo v = f(t). La posicin es

ACELERACIN. Sabiendo quev = f(t), la aceleracin sedetermina a partir de a = dv/dt

SOLUCIN

Cuando t = 3 s

Cuando t = 3 s, resulta

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EJEMPLO 02Un proyectil pequeo es disparado verticalmente hacia abajo dentro de un mediofluido con una velocidad inicial de 60 m/s. Si resistencia del fluido produce unadesaceleracin del proyectil que es igual a:donde v se mide en m/s. Determine la velocidad v y la posicin S cuatro segundosdespus de que se dispar el proyectil.

Velocidad: Usando el sistema dereferencia mostrado y sabiendoque a = f(v) podemos utilizar laecuacin a = dv/dt para determinarl l id d f i d l

POSICIN: Sabiendo que v =f(t), la posicin se determina apartir de la ecuacin v = dS/dt

SOLUCIN

la velocidad como funcin deltiempo esto es

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Una partcula metlica est sujeta a lainfluencia de un campo magntico tal quese mueve verticalmente a travs de unfluido desde la placa A hasta la placa B Si

EJEMPLO 03

fluido, desde la placa A hasta la placa B, Sila partcula se suelta desde el reposo en Ccuando S = 100 mm, y la aceleracin semide como

Donde S est en metros. Determine; (a) la; ( )velocidad de la partcula cuando llega a B(S = 200 mm) y (b) el tiempo requerido paramoverse de C a B

Debido a que a = f(S), puede obtenersela velocidad como funcin de la posicinusando vdv = a dS. Consideramosadems que v = 0 cuando S = 100 mm

El tiempo que demora en viajarla partcula de C a B sedetermina en la forma

SOLUCIN

adems que v = 0 cuando S = 100 mm

La velocidad cuando S = 0,2 m es Cuando S = 0,2 m el tiempo es

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Desde una ventana situada a 20 msobre el suelo se lanza una bolaverticalmente hacia arriba con una

EJEMPLO 04

verticalmente hacia arriba con unavelocidad de 10 m/s. Sabiendo quela bola todo el tiempo se encuentrasometida a un campo gravitacionalque le proporciona una aceleracing = 9,81 m/s2 hacia abajo.Determine: (a) la velocidad y laaltura en funcin del tiempo, (b) elinstante en que la bola choca conel piso y la velocidadcorrespondiente

( ) ( )dda

dtdv

ttv819819

sm81.9 2==

Solucin

( ) tvtvdtdvv

81.981.9 000

==

( ) ttv

= 2sm81.9

sm10

10 9.81dy v tdt

= = ( ) ( ) ( )0

210 2

0

10 9.81 10 9.81y t t

y

dy t dt y t y t t= =

( ) 22sm905.4

sm10m20 ttty

+=

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SOLUCION

Cuando la bola alcanza su altura mxima su velocidad es cero, entonces se tiene

( ) 22m905.4m10m20

+= ttty

Remplazando el valor del tiempo obtenido se tiene.

( ) 0sm81.9

sm10 2 =

= ttv s019.1=t

m1.25=y( ) ( )22

2

s019.1sm905.4s019.1

sm10m20

ss

+=

y

Solucin Cuando la bola choca contra el suelo y = 0

Entoces tenemos.

( ) 0m9054m1020 2 ttt( ) 0s

905.4s

10m20 22 =

+= ttty

( )s28.3

smeaningles s243.1==

tt

( ) m819m10 = ttv( )( ) ( )s28.3

sm81.9

sm10s28.3

s81.9

s10

2

2

=

=

v

ttv

sm2.22=v

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MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS: MOVIMIENTO RELATIVO

Sea A y B dos partculas que se mueven en lnea recta como se ve en la figura. Susposiciones respecto a O sern xA y xB. La posicin relativa de B con respecto a Aser.

x x x= ABAB xxx += La velocidad relativa de A con respecto a B ser.

B A B Ax x x= ABAB xxx +=

B A B Av v v= ABAB vvv += La aceleracin relativa se expresa en la forma

B A B Aa a a= ABAB aaa +=

Desde una altura de 12 m, en elinterior de un hueco de un ascensor,se lanza una bola verticalmentehacia arriba con una velocidad de

EJEMPLO 05

hacia arriba con una velocidad de18 m/s. En ese mismo instante unascensor de plataforma abierta esta 5 m de altura ascendiendo a unavelocidad constante de 2 m/s.Determine: (a) cuando y dondechocan la bola con el ascensor (b)chocan la bola con el ascensor, (b)La velocidad de la bola relativa alascensor en el momento del choque

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SOLUCION: Remplazando la posicin, velocidad inicial

y el valor de la aceleracin de la bola enlas ecuaciones generales se tienelas ecuaciones generales se tiene.

22

221

00

20

sm905.4

sm18m12

sm81.9

sm18

ttattvyy

tatvv

B

B

+=++=

=+=

La posicin y la velocidad del ascensor ser.

ttvyy

v

EE

E

+=+=

=

sm2m5

sm2

0

Escribiendo la ecuacin para las posicionesrelativas de la bola con respect al elevador yasumiendo que cuando chocan la posicinrelativa es nula, se tiene.( ) ( )2( ) ( ) 025905.41812 2 =++= ttty EB

0 .3 9 s 3 .6 5 s

tt= =

Remplazando el tiempo para el impacto en la ecuacin de laposicin del elevador y en la velocidad relativa de la bola conrespecto al ascensor se tienerespecto al ascensor se tiene

( )65.325 +=Ey m3.12=Ey( )

( )65.381.916281.918

== tv EB

sm81.19=EBv

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La posicin de una partcula puede depender de la posicinde otra u otras partculas.

En la figura la posicin de B depende de la posicin de A.

MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS: MOVIMIENTO DEPENDIENTE

Debido a que la longitud del cable ACDEFG que une ambosbloques es constante se tiene

2 tan2 02 0

A B

A B

A B

x x cons tev va a

+ =+ =+ =

Aqu la posicin de una partcula depende de dos posiciones ms. En la figura la posicin de B depende de la posicin de A y de C

MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULASMOVIMIENTO DEPENDIENTE

Debido a que la longitud del cable que une a los bloques es constantese tiene 2 2A B Cx x x ctte+ + =

022or022

022or022

=++=++

=++=++

CBACBA

CBACBA

aaadtdv

dtdv

dtdv

vvvdtdx

dtdx

dtdx

Como solo es posible elegir dos de lascoordenadas, decimos que el sistemaposee DOS grados de libertad

dtdtdt

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El collar A y el bloque B estn enlazadoscomo se muestra en la figura medianteuna cuerda que pasa a travs de dospoleas C, D y E. Las poleas C y E sonfij i t l l D

EJEMPLO 06

fijas mientras que la polea D se muevehacia abajo con una velocidad constantede 3 pulg/s. Sabiendo que el collar iniciasu movimiento desde el reposo cuando t= 0 y alcanza la velocidad de 12 pulg/scuando pasa por L, Determine lavariacin de altura la velocidad y lavariacin de altura, la velocidad y laaceleracin del bloque B cuando el collarpasa por L.

Se analiza en primer lugar elmovimiento de A.

El collar A tiene un MRUV, entonces sedetermina la aceleracin y el tiempo

SOLUCIN

y p

( ) ( )[ ]( ) 2

20

20

2

sin.9in.82

sin.12

2

==

+=

AA

AAAAA

aa

xxavv

( ) += tavv AAA ( )s 333.1

sin.9

sin.12 2

0

==+=

tt

tavv AAA

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SOLUCIN

Como la polea tiene un MRU se calcula el cambio de posicin en el tiempo t.

( )0 += DDD tvxx( ) ( ) in. 4s333.1

sin.30 =

= DD xx

El movimiento del bloque B depende delmovimiento de collar y la polea. Elcambio de posicin de B ser

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] 0in.42in.802

22

0

000

000

=++=++

++=++

BB

BBDDAA

BDABDA

xx

xxxxxx

xxxxxx

( ) in.160 = BB xx

SOLUCIN

2 constantA D Bx x x+ + =

Derivando la relacin entre las posiciones se obtiene las ecuacionespara la velocidad y la aceleracin

2 0in. in.12 2 3 0s s

18 lg/

A D B

B

B

v v v

v

v pu s

+ + = + + =

=

in.18sB

v =

2 0+ + i

2

2 0in.9 0s

A D B

B

a a a

a

+ + = + =

2

2

in.9s

9 lg/

B

B

a

a pu s

= =

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La caja C est siendolevantada moviendo elrodillo A hacia abajo con

EJEMPLO 07

juna velocidad constantede vA =4m/s a lo largo dela gua. Determine lavelocidad y la aceleracinde la caja en el instante

1 C den que s = 1 m . Cuandoel rodillo est en B la cajase apoya sobre el piso.

SOLUCIN La relacin de posiciones se determina teniendo en cuenta que la

longitud del cable que une al bloque y el rodillo no varia.

2 24 8C Ax x m+ + = Cuando s = 1 m, la posicin de la caja C ser

Se determina ahora la posicin xA, cuando s = 1 m

C A

4 4 1 3C Cx m s m m x m= = =p ,

2 23 4 8 3A Am x m x m+ + = =

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SOLUCIN La velocidad se determina derivando la relacin entre las posiciones

con respecto al tiempo ( ) 1 / 221 16 (2 ) 02

3 (4 / )

C AA A

A

dx dxx xdt dt

x m m s

+ + =

La aceleracin ser

2 2

3 (4 / )16 16 3

2, 4 /

AC A

A

C

x m m sv vx

v m s

= = + +=

2 2 2

2 2 2 2 316 16 16 [16 ]C A A A A A A

C Adv x v x a x vda vdt dt x x x x

= = = + + + + + 2 2 2

3

2

16 16 16 [16 ]

4 3(0) 3 (4 )16 9 16 9 [16 9]

2, 048 /

A A A A

C

C

dt dt x x x x

a

a m s

+ + + + = + + + +

=

El sistema representado partedel reposo y cadacomponente se mueve aaceleracin constante. Si la

EJEMPLO 08

aceleracin relativa delbloque C respecto al collar Bes 60 mm/s2 hacia arriba y laaceleracin relativa delbloque D respecto al bloque Aes 110 mm/s2 hacia abajo.es 0 /s ac a abajoHalle: (a) la aceleracin delbloque C al cabo de 3 s, (b) elcambio de posicin del bloqueD al cabo de 5 s

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Un hombre en A estsosteniendo una caja Scomo se muestra en lafigura caminando hacia

EJEMPLO 09

figura, caminando haciala derecha con unavelocidad constante de0,5 m/s. Determine lavelocidad y laaceleracin cuando llegaace e ac cua do egaal punto E. La cuerda esde 30 m de longitud ypasa por una pequeapolea D.

RESOLUCIN GRFICA DE PROBLEMAS EN EL MOVIMIENTO RECTILNEO

La velocidad y la aceleracin en el movimiento rectilneo estn dadaspor las ecuaciones, /

/v dx dt

d dt=

La primera ecuacin expresa que la velocidad instantnea es igual ala pendiente de la curva en dicho instante.

La segunda ecuacin expresa que la aceleracin es igual a lapendiente de la curva v-t en dicho instante

/a dv dt=

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33

RESOLUCIN GRFICA DE PROBLEMAS EN EL MOVIMIENTO RECTILNEO

Integrando la ecuacin de la velocidad tenemos2 2

2 1 2 1; t t

t tA x x vdt A v v adt= = = =

1 1t t

El rea bajo la grfica v-t entre t1 y t2 es igual al desplazamientoneto durante este intervalo de tiempo

El rea bajo la grfica a-t entre t1 y t2 es igual al cambio neto develocidades durante este intervalo de tiempo

OTROS MTODOS GRFICOS El momento de rea se puede utilizar para

determinar la posicin de la partcula encualquier tiempo directamente de la curva v-t:

1 0 area bajo la curva x x v t =

M t d i d

( )10

1 0

0 1 1

v

v

v t t t dv= + usando

dv = a dt( ) += 1

0

11001

v

vdtatttvxx

( ) =10

1

v

vdtatt

Momento de primer ordende rea bajo la curva a-t conrespecto a la lnea t = t1

( )( )1 0 0 1 1rea bajo la curva abscisa del centroide

x x v t a- t t tt C= + + =

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OTROS MTODOS GRFICOS Mtodo para determinar la aceleracin de una partcula de

la curva v-x

tan

dva vdxAB

==

a BCa BC subnormal= =

EJEMPLO 10 Un ciclista se mueve en lnea recta tal que su posicin es descrita

mediante la grfica mostrada. Construir la grfica v-t y a-t para elintervalo de tiempo 0 t 30 s

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EJEMPLO 11Un carro de ensayos parte del reposo y viaja a lo largo de una lnearecta acelerando a razn constante durante 10 s. Posteriormentedesacelera a una razn constante hasta detenerse. Trazar lasgrficas v-t y s-t y determinar el tiempo t que emplea en detenerseg y y p q p

SOLUCIN: GRAFICA V - TLa grfica velocidad-tiempo puede ser determinada mediante integracin delos segmentos de recta de la grfica a-t. Usando la condicin inicial v = 0cuando t = 0

tvdtdvasttv

10,10;1010000

=== Cuando t = 10 s, v = 100 m/s usando esto como condicin inicial para elsiguiente tramo se tiene:

00

1202,2;2;1010100

+=== tvdtdvatts tv

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SOLUCIN: GRAFICA S - TLa grfica posicin-tiempo puede ser determinada mediante integracin delos segmentos de recta de la grfica v-t. Usando la condicin inicial s = 0cuando t = 0

2510;10;100 tsdttdstvstts ===

Cuando t = 10 s, S = 500 m usando esto como condicin inicial para elsiguiente tramo se tiene

005,10;10;100 tsdttdstvst ===

( )600120

1202;1202;60102

10500

+=+=+=

tts

dttdstvststs

600120 += tts

EJEMPLO 12La grfica v-t, que describe el movimiento de un motociclista que semueve en lnea recta es el mostrado en la figura. Construir el grfico a-s del movimiento y determinar el tiempo que requiere el motociclistapara alcanzar la posicin S = 120 m

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SOLUCINGRAFICO a-s.Debido a que las ecuaciones de los segmentos de la grfica estndadas, la grfica a-t puede ser determinada usando la ecuacin dv =

da ds

6.004.0

32.0;600

+==+=s

dsdvva

svms

0

;15;12060

=== an = v2/r = 0 => a = at = vr an v /r 0 a at vLa componente tangencial representa la

razn de cambio de la magnitud de la velocidad2. La partcula se mueve en la curva a velocidad

constanteat = v = 0 => a = an = v2/r

La componente normal representa la razn de cambio de la direccin de la velocidad

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70

3. La componente tangencial de la aceleracin es constante, at= (at)c. 2

0 01 ( )2

( )

c cs s v t a t= + +

CASOS ESPECIALES

So and vo son la posicin y la velocidad de la partcula en

t = 0

4 La partc la se m e e a lo largo de la tra ectoria dada por

02 2

0 0

( )

2 ( ) ( )c c

c c

v v a tv v a s s= += +

4. La partcula se mueve a lo largo de la trayectoria dada por y = f(x). Entonces el radio de curvatura es

2 3/ 2

2 2

[1 ( / ) ]/

dy dxd y dx

+=

EJEMPLO 01 Un esquiador viaja con

una rapidez de 6 m/sla que se estincrementando a raznd 2 / 2 l lde 2 m/s2, a lo largode la trayectoriaparablica indicada enla figura. Determine suvelocidad yaceleracin en elinstante que llega a Ainstante que llega a A.Desprecie en losclculos el tamao delesquiador.

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Estableciendo los ejes n yt mostrados se tiene.

La velocidad de 6 m/s es

SOLUCIN

La velocidad de 6 m/s estangente a la trayectoria ysu direccin ser

1,201

10

2 ===xdx

dyxy

Por lo tanto en A lavelocidad forma 45 conel eje x

La aceleracin se determinaaplicando la ecuacin

SOLUCIN

2

dv va e e= +r

2

2

6 2

A t nd v va e ed t = +

+

r

r

Para ello se determina el radio decurvatura

t na e ed t = +

2 3/ 2

2 2

[1 ( / ) ]/

dy dxd y dx

+=

22 8 , 3

2 1, 2 7

A t n

A t n

a e e

a e e

= += +r

2 3/ 2

/

[1 ( /10) ]1/10

28.28

d y dx

x

m

+==

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72

La magnitud y la direccin de laaceleracin sern

SOLUCIN

( ) ( )2 2 21

2 1.237 2.37 /

2

a m s

= + =

o1 2tan 57.51.327

= = o

EJEMPLO 02 Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista horizontal circular

que tiene un radio de 90 m. Si el carro incrementa su rapidez a raznconstante de 2,1 m/s2 partiendo desde el reposo, determine el tiemponecesario para alcanzar una aceleracin de 2,4 m/s2. Cul es sup , velocidad en ese instante.

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73

Se sabe que la aceleracintangencial es constante e iguala

La aceleracin total serSOLUCIN

22 , 1 /ta m s=2

t t nva a e e= +

r

La aceleracin normal ser

0

0 2 , 1t

E n t o n c e sv v a tv t

= += +

2

2 2 2 2

2 2 2 2

2,1 0.049

2,1 [0.049 ]2, 4 2,1 [0.049 ]

4,87

t na e t ea t

tt

= += += +

=

r

La velocidad en este instanteser

2 22 2(2,1 ) 0.049 /

90nv ta t m s= = =

,

2.1 10.2 /v t m s= =

Una caja parte del reposo en A eincrementa su rapidez a raznde at = (0.2t) m/s2 y viaja a lolargo de la pista horizontal

EJEMPLO 03

largo de la pista horizontalmostrada. Determine lamagnitud y direccin de laaceleracin cuando pasa por B

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La posicin de la caja encualquier instante es Smedida a partir del puntofijo en A

EJEMPLO 03

fijo en A.La velocidad en cualquierinstante se determina apartir de la aceleracintangencial, esto es

0 2 (1)a v t= =&

0 02

0.2 (1)

0.2

0.1 (2)

tv t

a v t

dv tdt

v t

= ==

=

Para determinar la velocidad enB, primero es necesariodeterminar S = f(t), despusobtener el tiempo necesario

Entonces tenemos

EJEMPLO 03

36,142 0,0333t=obtener el tiempo necesariopara que la caja llegue a B. esdecir

2

2

0 0

0.1

0.1S t

dsv tdt

ds t dt

= ==

5,69t s=

De la geometra se tienesB = 3 + 2(2)/4 = 6.142 m.

0 030,0333 (3)S t=

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Remplazando el tiempo en lasecuaciones (1) y (2) resulta

Su modulo y direccinsern

EJEMPLO 03

2( ) 0.2(5.69) 1.138 /B t Ba v m s= = =& 2 2 21,138 [5, 242]a = +

En el punto B el radio de curvatura es = 2 m, entonces la aceleracin ser

20.1(5.69) 3.238 /Bv m s= =

22( ) 5.242 /BB n

B

va m s= =

25,36 /a m s=1 5.242[ ] 77,75

1,138tg = =

La aceleracin total serB

2

,

1,138 5,242

BB t B t n

B t n

va a e e

a e e= +

= +

r

r

EJEMPLO 04Una partcula se mueve en una trayectoria curva de tal maneraque en cierto instante tiene una velocidad v y una aceleracin a.Demuestre que el radio de curvatura puede obtenerse a partir dela ecuacin

3

1 vxav =r r

v

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Sabemos que la aceleracin encualquier instante es

M l i li d b i b

EJEMPLO 04

t na a a= +r r r0

90

n

n

vxa vxavxa vxa

vxa vxa va sen va

= +=

= = =

r r r rr r r r

r r r rMultiplicando ambos miembrospor la velocidad v tenemos

Remplazado la aceleracinnormal tenemos( )

t n

t n

a a avxa vx a a

= += +

+

r r rr r r r rr r r r r r

90n nnvxa vxa va sen va

2

( )vvxa v=r rDebido a que la aceleracintangencial son colineales suproducto vectorial es nulo.Entonces se tiene:

t nvxa vxa vxa= +

3

( )

1

vxa v

vxav

=

=r r

EJEMPLO

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77

EJEMPLO

EJEMPLO

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78

EJEMPLO Partiendo desde el reposo, un bote a motor viaja alrededor de una

trayectoria circular de radio r = 50 m con una velocidad . Determine la magnitud de la velocidad y de la aceleracin del bote en t = 3 s.

Un avin viaja a lo largo de unatrayectoria parablica vertical

EJEMPLO

20 4

En el punto A el avin tiene unavelocidad de 200 m/s la cual seincrementa a razn de 0,8 m/s2.Determine la magnitud de la

20, 4y x=

Determine la magnitud de laaceleracin del avin cuandopase por A.

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EJEMPLO El jugador de bisbol lanza una pelota con una velocidad inicial de v0

= 30 m/s a un ngulo = 30 como se muestra en la figura. Hallar elradio de curvatura de la trayectoria: (a) inmediatamente despus dellanzamiento y (b) en el vrtice. Calcular en cada caso, la variacin dey ( ) ,celeridad por unidad de tiempo.

ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACIN

Hasta ahora se ha estudiado el movimiento absoluto de una partculausando un marco de referencia fijo.

Sin embargo, existen ejemplos en el que la trayectoria del movimientode una partcula es complicada, de modo que es ms factible analizarel movimiento en partes usando dos o ms marcos de referencia.

Por ejemplo, el movimiento de una partcula localizada en la hlice deun avin , mientras ste est en vuelo , es ms fcil describirlo siobservamos primero el movimiento del avin a partir de un sistema deobservamos primero el movimiento del avin a partir de un sistema dereferencia fijo y despus se superpone vectorialmente el movimientocircular de la partcula medida a partir de un marco de referenciamvil unido al aeroplano.

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ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACIN

En esta seccin nos ocuparemos del estudio del movimiento soloa marcos de referencia en traslacin. El anlisis del movimientorelativo de partculas usando marcos de referencia en rotacinpse tratar en el curso de Dinmica.

Consideremos dos partculas A y B movindose en las trayectorias mostradas

Las posiciones absolutas de A y B

La posicin relativa de A con respecto al observador B , es

MOVIMIENTO RELATICO: POSICIN

/A B A Br r r= +r r rcon respecto al observador fijo en el marco de referencia OXYZ sern

Ar OA=uuurr

Br OB=uuurr

/A B A B

El observador B slo experimentatraslacin y se encuentra unidosal sistema de referencia mvilOxyz

Br OB

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MOVIMIENTO RELATIVO: VELOCIDAD Derivando la ecuacin de la posicin relativa se tiene

/A B A Bv v v= +r r r

MOVIMIENTO RELATIVO: ACELERACIN

Derivando la ecuacin de la velocidad relativa se tiene

/A B A Ba a a= +r r r

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EJEMPLO 01 Un tren T, viajando a una velocidad constante de 90 km/ h, cruza

una carretera, como se muestra en la figura. Si el automvil Aest viajando por la carretera con una velocidad de 67,5 km/h.Determine la magnitud y direccin de la velocidad relativa delDetermine la magnitud y direccin de la velocidad relativa deltren con respecto al auto.

La velocidad relativa es medidadesde el observador ubicado en elauto al cual se le asocial el

SOLUCIN

sistema de referencia OXY, Como las velocidades de T y A son

conocidas, entonces la velocidadrelativa se obtiene de

/T A T Av v v= +r r r //

/

90 (67.5cos 45 67.5sin 45 ){42.3 47.7 ) /

T A T A

T A

T A

v v vi i j v

v i j km h

+= + +

= o o r% % %

r % %

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SOLUCIN

La magnitud de la velocidad relativa ser

2 2 2(42 3 47 7 ) 63 8 /v km h= + = La direccin de la velocidad relativa es/

(42.3 47.7 ) 63.8 /T Av km h= + =

( )( )

/ 47.7tan42 3

T A yv = =( )/ 42.348.40T A xv

= o

SOLUCIN Dos aviones estn volando horizontalmente a la misma elevacin,

como se indica en la figura. El avin A est volando en una trayectoriarecta, y en el instante mostrado desarrolla una velocidad de 700 km/hy una aceleracin de 50 km/h2. El avin B est volando en unatrayectoria curva circular de 400km de radio con una rapidez de 600km/h y est decreciendo su rapidez a razn de 100 km/h2. Determinela velocidad y la aceleracin relativa de B medida por el piloto A

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84

Al avin A esta movindoserectilneamente y se asocia unmarco de referencia mvil Oxy.

La velocidad relativa de B respecto

El avin B tiene aceleracinnormal y tangencial pues semueve en una curva.


SOLUCIN

La velocidad relativa de B respectode A es


Aplicando la ecuacin paradeterminar la aceleracinrelativa se tiene

/

/

/

600 700

100 / 100 /

B A B A

B A

B A

v v vv

v km h km h

= += += =

( ) 2 2900 /BB n va km h= =

relativa se tiene

{ }/

/

2/

900 100 50

900 150 /

B A B A

B A

B A

a a ai j j a

a i j km h

= + = += % % %

% %

En un determinado instante loscarros A y B estn viajando convelocidades de 18m/s y 12m/s,respectivamente. Adems en

SOLUCIN

pdicho instante la velocidad de Aest disminuyendo a razn de2m/s2 y B experimenta unincremento de su velocidad arazn de 3 m/s2. Determine lavelocidad y la aceleracin de Bcon respecto de A

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El sistema de referencia fijoest en tierra y el marco mvilen el auto A. Por tanto se tiene


SOLUCIN

( )/

12 18cos 60 18sin 60B A B Av v v

j i j v

= += +o o% % %

( ) 2 21.440 /BB n va m s= =

La direccin de la velocidadrelativa ser

La aceleracin relativa ser

Su direccin ser

( ){ }

/

/

2 2/

12 18cos 60 18sin 60

9 3.588 /

9 3.588 9.69 /

B A

B A

B A

j i j v

v i j m s

v m s

= += +

= + =

% %

( ) ( ){ }

/

/

2/

1.440 3 2cos 60 2sin 60

2.440 4.732 /

B A B A

B A

B A

a a a

i j i j a

a i j m s

= + = + +

= =o o% % % %

% %

Su direccin ser

( )( )

/

/

3.588tan9

21.7

B A y

B A x

v

v

= =

= o

2/ 5.32 /

62.7B Aa m s== o

Los pasajeros que viajan en elavin A que vuela horizontalmentea velocidad constante de 800 km/hobservan un segundo avin B que

EJEMPLO

observan un segundo avin B quepasa por debajo del primerovolando horizontalmente. Aunqueel morro de B est sealando en ladireccin en la direccin45noreste, el avin B se presentaa los pasajeros de A comoa los pasajeros de A comoseparndose de ste bajo elngulo de 60 representado. Hallela velocidad verdadera de B

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El marco mvil est asociado alavin A donde se efectan lasobservaciones relativas

Aplicando estas ecuaciones en la velocidad relativa se tiene

SOLUCIN

/B A B Av v v= +r r r :

cos45 800 cos60componente i

v v= La velocidad de A es conocida

en mdulo y direccin, el ngulode 60 de la velocidad relativade B respecto de A es conocidoy la velocidad verdadera de Btiene una direccin de 45 Resolviendo estas ecuaciones

/B A B Av v v+ /

/

cos45 800 cos60 :

45 60

B B A

B B A

v v

componente jv sen v sen

=

=

tiene una direccin de 45 .Entonces tenemos. se obtiene

/ / /

(800 ) / [ cos 45 45 ]

[ cos 60 60 ]

A

B B B

B A B A B A

v i km h

v v i v sen j

v v i v sen j

== + = +

rrr

/ 586 / ; 717 /B A Bv km h v km h= =

cinematica de una particula [modo de compatibilidad]

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