sesion-1 cinematica-de-la-particula

Dinámica 2015-0

Sesión 1

Tema:

Cinemática de la Partícula en

Movimiento Absoluto 1

CLASIFICACION DE LA

DINAMICA

1.5 1.6

Un automóvil se mueve en línea recta sobre una carretera, donde

X = 0,4t3 + 8t + 10 (m), a partir de su estado inicia en t = 0, determine:

a.- El tiempo que le toma al vehículo alcanzar la velocidad de 88i (m/s)

b.- Cual es el recorrido durante este tiempo.

c.- Cual es la aceleración cuando el vehículo alcanza la rapidez de 88 m/s.

En el movimiento rectilíneo de un vehículo se sabe que a = -2x + 1, siendo sus

condiciones de frontera V0 = 4 m/s, x0 = 5 m, t0 = 0 s; determine:

a.- La rapidez cuando x = 0,5 m.

b.- El tiempo cuando x = 0,5 m

c.- La posición X cuando t = 1 s

• En este capitulo explicaremos como se

puede localizar un punto en el espacio a

partir de un sistema de referencia.

• Determinaremos la Posicion, velocidad y

aceleracion de una particula en el espacio,

em forma absoluta.

• Una posicion esta determinada por un

conjunto de coordenadas, sean

rectangulares, cilindricas o esfericas.

CINEMATICA DE LA

PARTICULA EN EL ESPACIO

• 1. Indicando una posicion en una via

Una Posicion en el espacio

Puntos críticos

MOVIMIENTO CURVILINEO DE UNA PARTICULA

Cuando una partícula no se desplaza en línea recta, se dice que la

partícula describe un movimiento curvilíneo. Tanto en el plano como en

el espacio, existen tres procedimientos de descripción del movimiento

de una partícula:

Procedimiento vectorial

Procedimiento natural

Procedimiento de coordenadas

( )r r t

Procedimiento vectorial

Vector posición:

(en el plano)

( )R R t (en el espacio)

Velocidad Media:

2 1

2 1

m

r r rv

t t t

(para t pequeños)

0t

r drv Lim r

t dt

Rapidez instantánea (v) dS

v Sdt

m

va

t

Magnitud de la aceleración tangencial instantánea (at )

2

2

dv d ra v r

dt dt

2

2

dv d Sa v S

dt dt (Donde S es el arco recorrido)

2

ˆ ˆt n t n

va a a ve e

Queremos demostrar que:

MOVIMIENTO DE LA PARTICULA EN COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL

Se utiliza en el plano y en el espacio, pero es de mas utilidad practica en problemas

de movimiento plano.

t̂v veVelocidad de la partícula:

Donde es el radio de curvatura

ˆˆ .tt

de dsa ve v

dt ds

2 ˆˆ tt

dea ve v

ds

dS d

Del grafico tenemos que:

d

d

dS

ˆ ˆ 1t te e También de:

ˆ ˆˆ ˆ 0t tt t

de dee e

dS dS

Lo que indica que:

ˆ ˆ/ ˆˆ / n

t tt

de dee

dS dSe

t̂e

ˆ ˆt te de

ˆ ˆt te de

t̂e

t̂de

ˆ ˆt tde e d d

ˆ ˆ ˆ ˆ.t t n nde de e d e También:

1ddS d

dS

Como:

Por L.A.:

ˆˆ

ˆˆt

nt

n

dee

dS

de de

dS dS

ˆˆ 1ˆ ˆˆt

nt

n n

de de e

dS d

dee

dS S

Entonces:

2 ˆˆ tt

dea ve v

ds En:

2

ˆ ˆt n

va ve e

ˆne

/ /ˆ ˆntde e

ˆˆˆ ˆ2 0 0t

ttt

de

dSe

dee

dS

ˆ ˆrv re r e Vector Velocidad:

Vector Aceleración:

2 ˆ ˆ( ) ( 2 )ra r r e r r e

Donde:

2( )ra r r

( 2 )a r r

MOVIMIENTO DE LA PARTICULA EN COMPONENTES

RADIAL Y TRANSVERSAL

Es útil para aplicaciones en problemas de movimiento plano:

Vector posición: r̂r re

Donde:

rv r v r

a

ra

a

De la figura tenemos algunas propiedades importantes:

t

v aa

v

n

v aa

v

3v

v a

2 2

t na a a

3/2

2

2

2

1 ( )dy

dx

d y

dx

MOVIMIENTO ABSOLUTO DE LA PARTICULA EN EL ESPACIO

EN COORDENADAS CILINDRICAS (r, , Z)

La posición de la partícula P se define utilizando las

coordenadas cilíndricas (a)

Descomponiéndose en términos de sus vectores unitarios: ˆˆ ˆ, ,re e k

Siendo R el vector posición: ˆr̂R re zk

ˆˆ ˆr

dRv re r e zk

dt

22

2ˆˆ ˆ( ) ( 2 )r

dv d Ra r r e r r e zk

dt dt

rv r v r zv z

2

ra r r 2a r r Za z

2 2 2

r zv v v v

2 2 2

r za a a a

Primero determinaremos las

variaciones de respecto del

tiempo:

4rad

8 /rad s

0

Con h = 4 m = cte. lo

reemplazamos en Z y

determinamos las variaciones

de z respecto del tiempo:

2 2 2z Cos Para = /4

4 2 ( )z Sen Para = /4 32 /z m s

28 2 ( ) 4 2 ( )z Cos Sen

2z m

0z Para = /4

r

264r z

De la figura obtenemos:

8 .R m cte

Para z = 2m: 7,7459r m

1/2

264r z

1/2

2

2

1 ( )64 .( 2 . )

2 64

z zr z z z

z

8,2623 /r m s

: 2 32 /Para z m z m s

2 2

2

2

{ ( )}64 [( ( ) (z) ] [ ( )]

64

64

z zz z z z z

zr

z

2 2 2

3/22 2

( ) (z) ( )

64 64

z z z zr

z z

0z Con:

Obtenemos:

2141,011 /r m s

La velocidad en coordenadas cilíndricas es:

ˆˆ ˆrv re r e zk

8,2623 /rv r m s

(7,7459)(8) 61,9672 /v r m s

32 /zv z m s

Ordenando la información:

2

7,7459

8,2623 /

141,011 /

r m

r m s

r m s

4

8 /

0

rad

rad s

2

32 /

0

z m

z m s

z

Luego determinamos cada componente de esta velocidad:

De igual manera calcularemos las componentes de la aceleración en coordenadas

cilíndricas:

2

7,7459

8,2623 /

141,011 /

r m

r m s

r m s

4

8 /

0

rad

rad s

2

32 /

0

z m

z m s

z

2 ˆˆ ˆ( ) (2 )ra r r e r r e zk 2 2( ) ( 141,011 7,7459(8)ra r r

2636,7486 /ra m s

2 2( 8,2623)(8) (7,7459)(0)a r r

2132,1968 /a m s

0za z

0za

MOVIMIENTO ABSOLUTO DE LA PARTICULA EN EL ESPACIO

EN COORDENADAS ESFERICAS (R, , )

Las expresiones de la posición y velocidad son fáciles; pero de la aceleración es mas

complicada a causa de la geometría adicional necesaria. Obsérvese que el sentido

del vector eR es el que tendría el movimiento del punto B, si R aumentara, pero

manteniendo constantes y . Asimismo, el sentido de eθ, es el que tendría B si θ

aumentara, pero manteniéndose constantes R y . Finalmente, el sentido de e es el

que tendría el movimiento de B si aumentara pero manteniéndose constantes R y

θ.

ˆRR Re

ˆRR Re

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆR R R

dRv v e v e v e Re R Cos e R e

dt

Donde:

Rv R v R Cos v R

EXPRESIONES MATEMATICAS DE LA POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION

DE LA PARTICULA EN COORDENADAS ESFERICAS

2

2ˆ ˆ ˆ

R R

dv d Ra a e a e a e

dt dt

22 2

Rv v v v

Donde: 2 2 2

Ra R R R Cos

2( )2

Cos d Ra R Sen

R dt

221 ( )d R

a R Sen CosR dt

2 2a R Cos R Cos R Sen

22a R R R Sen Cos

22 2

Ra a a a

Rv R

v R Cos

v R

Transformacion de Coordenadas

]][[][ ),,(),,( zyxzr vTv

100

0cos

0cos

Sen

sen

T

Nos sirven para determinar velocidades y aceleraciones en un sistema,en base a

otros conocidos.

Considerando que las ecuaciones de transformacion son lineales, utilizando el

algebra matricial, definiremos los 6 casos de transformacion:

Caso I.- De coordenadas rectangulares a coordenadas cilindricas:

]][[][ ),,(),,( zyxzr aTa


]][[][ ),,(

1

),,( zrzyx vTv

Caso II.- De coordenadas cilindricas a coordenadas rectangulares:

]][[][ ),,(

1

),,( zrzyx aTa

100

0

01

CosSen

SenCos

T


]][[][ ),,(),,( zrR vTv

CosSen

SenCos

T

0

010

0

Caso III.- De coordenadas cilindricas a coordenadas esfericas:

]][[][ ),,(),,( zrR aTa


]][[][ ),,(

1

),,( Rzr vTv

CosSen

SenCos

T

0

010

01

Caso IV.- De coordenadas esfericas a coordenadas cilindricas:

]][[][ ),,(

1

),,( Rzr aTa


Caso V.- De coordenadas rectangulares a coordenadas esfericas:

CosSenSenCosSen

CosSen

SenSenCos

TT 0

coscos

]][][[][ ),,(),,( zyxR vTTv

]][][[][ ),,(),,( zyxR aTTa


Caso VI.- De coordenadas esfericas a coordenadas rectangulares:

CosSen

SenSenCosCosSen

SenCosSenCosCos

TT

0

11

]][][[][ ),,(

11

),,( Rzyx aTTa

]][][[][ ),,(

11

),,( Rzyx vTTv

PROBLEMA DE APLICACIÓN

2

Un niño se desliza por un tobogán acuático AB. La descripción del movimiento en

coordenadas cilíndricas es R = 4m, = at2 y z = h(1 - t2); cuando el niño se encuentra

en B, calcule:

a.- La magnitud de la velocidad vR.(m/s)

b.- La magnitud de la aceleración aR.(m/s2)

c.- La magnitud de la aceleración a.(m/s2)

d.- La magnitud de la aceleración a.(m/s2)

Luego z derivando y reemplazando:

1.- Observamos que la trayectoria de la

partícula se hace a través de un cilindro:

23 3z t

4

0

0

r m cte

r

r

2.- De la expresión:

2

0

3(2) 6 /

6 /

z

z t m s

z m s

Para z = 0 determinamos el tiempo t

20 3 3 1t t s

3.- De la expresión: 2at En B: = rad

2at

2(1)a a 2t

2 2 /t rad s

22 2 /rad s 2

2 /

2 /

rad

rad s

rad s

0rv r

6 /zv z m s

26 /Za z m s

4

0

0

r m

r

r

2

0

6 /

6 /

z

z m s

z m s

2

2 /

2 /

rad

rad s

rad s

4(2)(3,1416) 25,1328 /v r m s

2 2 24(2 ) 157,9144 /ra r r m s

22 4(2 ) 25,1328 /a r r m s

Determinando las expresiones de la velocidad y

aceleración en coordenadas cilíndricas:

Ahora en velocidades realizaremos la transformación de

coordenadas cilíndricas a esféricas donde en B: = 0

0

0 1 0

0

R r

z

v Cos Sen v

v v

v Sen Cos v

0 0 0 0

0 1 0 25,1328

0 0 0 6

Rv Cos Sen

v

v Sen Cos

1 0 0 0

0 1 0 25,1328

0 0 1 6

Rv

v

v

0Rv 6 /v m s 25,1328 /v m s

Ahora en aceleraciones realizaremos la transformación de

coordenadas cilíndricas a esféricas donde en B: = 0

0

0 1 0

0

R r

z

a Cos Sen a

a a

a Sen Cos a

0 0 0 157,9144

0 1 0 25,1328

0 0 0 6

Ra Cos Sen

a

a Sen Cos

1 0 0 157,9144

0 1 0 25,1328

0 0 1 6

Ra

a

a

2157,9144 /Ra m s 26 /a m s

225,1328 /a m s

Las barquillas del Tiovivo del Parque de Atracciones se mueven con una

frecuencia angular N = 11,2 RPM constante para β = (π/6)t, para t = 1 s

Calcule en coordenadas esféricas:

1.- La velocidad radial.(m/s)

2.- La velocidad transversal en θ.(m/s)

3.- La velocidad transversal en .(m/s)

4.- La aceleración radial.(m/s2)

5.- La aceleración transversal en θ.(m/s2)

6.- La aceleración transversal en .(m/s2)

El problema se puede resolver por dos métodos:

1.- Coordenadas cilíndricas

2.- Coordenadas esféricas

1 Forma de Solución: Coordenadas esféricas:

4,6m

R

2 2 2(4,6) (9,2) 2(4,6)(9,2) (90 )oR Cos

De la figura utilizando la Ley de Cosenos:

1,1728 /N rad s

0

2 105,8 84,64R Sen Para t = 1 s 6

rad

R = 12,17 m (1)

2 84,646 6

RR Cos t

1,5768 /R m s

Derivando (1) respecto de t:

2 84,646 6

RR Cos t

Nuevamente derivando (2):

(2):

2 22( . ) ( ) (84,64)6 6

R R R Sen t

Para t = 1 s:

20,6809 /R m s

Ahora determinaremos

el ángulo y

4,6m

R

9,2Sen(/6)t

9,2Cos(/6)t Z

r

9,26

4,6 9,26

Cos tZ

tgr

Sen t

40,8932

Para t = 1 s:

Derivando la tg:

2

2

(4,6 (9,2 ))(9,2( ) ) ( 9,2 )(9,2( ) )6 6 6 6 6 6

(4,6 (9,2 ))6

Sen t Sen t Cos t Cos t

Sec

Sen t

0,37588 /ra s

1,5768 /Rv R m s

12,17(1,1728) ( 40,8932 )v R Cos Cos

12,17(0,37588)v R

10,7893 /v m s

4,5744 /v m s

Reemplazando datos para el calculo de las aceleraciones tenemos:

2 2 2

Ra R R R Cos

2 2a R Cos R Cos R Sen

22a R R R Sen Cos

2 2 2( 0,6809) (12,17)(0,37588) (12,17)(1,1728) ( 40,8932)Ra Cos

211,9657 /Ra m s

2(1,5768)(1,1728) ( 40,8932 ) 12,17(0) ( 40,8932 ) 2(12,17)(1,1728)(0,37588) ( 40,8932 )a Cos Cos Sen

215,8917 /a m s

22a R R R Sen Cos COMPLICADO CALCULAR:

2 Forma de Solución: Coordenadas Cilíndricas:

4,6m

R

9,2Sen(/6)t

Z

9,2Cos(/6)t

ˆr̂R re zk

4,6 9,26

r Sen t

( )9,26 6

r Cos t

2( ) 9,26 6

r Sen t

Para t = 1 s

9,2r m

4,17171 /r m s

21,2611 /r m s

9,26

z Cos t

( )9,26 6

z Sen t

2( ) 9,26 6

z Cos t

Para t = 1 s 7,9674z m

2,4085 /z m s22,1843 /z m s

También: 2

rad

1,1728 /N rad s cte 0

2 21,2611 (9,2)(1,1728) 13,9153 /ra m s

2(9,2)(0) 2(4,1717)(1,1728) 9,7851 /a m s

2,4085 /Zv m s4,1717 /rv m s 10,7897 /v m s

22,1843 /Za m s

Z

rR

v

v

v

CosSen

SenCos

v

v

v

0

010

0

Análisis de velocidades:

4085,2

7897,10

1717,4

7559,006546,0

010

6546,007559,0

v

v

vR

0,7559(4,17171) ( 0,6546)(2,4085) 1,5767 /Rv m s

10,7897 /v m s

0,6546(4,17171) (0,7559)(2,4085) 4,5513 /v m s

Z

rR

a

a

a

CosSen

SenCos

a

a

a

0

010

0

Análisis de aceleraciones:

1843,2

7851,9

9153,13

7559,006546,0

010

6546,007559,0

a

a

aR

20,7559( 13,9153) ( 0,6546)(2,1843) 11,9484 /Ra m s 29,7851 /a m s

20,6546( 13,9153) (0,7559)(2,1843) 7,4578 /a m s

12 m

10 m

Z

Y

X

Un vehículo se desplaza con rapidez constante de 1,5m/s.

La distancia entre crestas consecutivas es de 12m.

1.- Determinar la rapidez VR.

2.- Determinar la magnitud de la aceleración aR.

3.- Determinar la magnitud de la aceleración ax.

4:- Determinar la magnitud de la aceleración ay.

5.- Determinar la magnitud de la aceleración az

X

Z

Y

V = 1,5 m/s (rapidez constante)

r = 10m (distancia del origen al vehículo)

p = 12m (paso)

PROYECCIÓN LATERAL

3

5 tg

Por las condiciones del problema

0336,1;14734,0;2814,0 vR

s

mvR2814,0

LUEGO DE UNA TRANSFORMACIÓN

^ºººººº2ººº

êê 2 kzrrrrrzra

^

00.21709,0 êê krzra

AHORA CALCULAMOS LA ACELERACIÓN

Nº Cantidad

Escalar

Valor

Numérico

Unidades

1.- VR 0,2814 m/s

2.- aR 0,21709 m/s2

3.- ax 0 m/ s2

4.- ay 0,21709 m/ s2

5.- az 0 m/ s2

RESPUESTAS

PROBLEMA DE APLICACIÓN

2

En el instante mostrado el rociador de agua está

girando con =2 rad/s = 3 rad/s2 . Si la tobera se

halla en el plano vertical y el agua fluye por ella a razón

constante de 3 m/s y la tobera gira con respecto al eje

Z con = 5 rad/s y =8 rad/s2

Calcular:

1.- La magnitud de la velocidad del agua en la salida. (m/s)

2.- La magnitud de la aceleración del agua en la salida ,en el eje X. (m/s2)

3.- La magnitud de la aceleración del agua en la salida ,en el eje Y. (m/s2)

4.- La magnitud de la aceleración del agua en la salida ,en el eje Z. (m/s2)

De la figura :

Recopilando datos a utilizar

20

3

2.0

smR

smR

mR

23

2

4

s

rad

s

rad

rad

28

5

2

s

Rad

s

Rad

rad

CALCULO DE LA VELOCIDAD

smxRV 4.0)2(2.0

smRrV 3

smxCosxV

xRxV

7071.0)º45()5(2.0

cos

evevevVrr

En coordenadas esféricas, la velocidad

está dada por:

• Calculando el modulo :

smvvvV

r1080.3222

smV /1080.3

smV 1080.34.07071.03 222

CALCULO DE

ACELERACIONES

eaeaeaarr

CosRRRar

22

SenRCosRCosRa 22

º4552.022.00 222 xCosxxar

En coordenadas esféricas la aceleración está

dada por:

2/3.3 smar

2/5161.19 sma

2/1.15 sma

CosSenRRRa 22

º45º4552.032.0232 2 CosxSenxxxxa

º45252.02

º4582.0º45532

xSenxxx

xCosxxCosxxa

Aplicamos transformación de

coordenadas esféricas a

coordenadas cartesianas según la

ecuación:

en donde:

]][][[][ ),,(

11

),,( rzyx aTTa

cos0

coscos

coscoscos11

sen

sensensen

sensen

TT

…(1)

1.15

5161.19

3.3

7071.007071.0

7071.007071.0

010

z

y

x

a

a

a

resolviendo:

3438.8

0106.13

5161.19

z

y

x

a

a

a

reemplazando datos en (1):

Finalmente

N Variable Cantidad Unidades

01. VA = 3.1080 m/s

02. aAx = 19.5161 m/s²

03. aAy = 13.0106 m/s²

04. aAz = 8.3438 m/s²

THE END!

Higher Education:

Let’s make it all that it can be and needs to be! Vamos a hacer todo lo que puede ser y debe ser!

Profesor: M.Sc Tito Vilchez

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