semana 2b-2016-1 tito cinematica de la particula

7/25/2019 Semana 2b-2016-1 Tito Cinematica de La Particula

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Dinmica 2016-1

Semana 2

Tema:

Cinemtica de la Partcula en

Movimiento Absoluto en 3D

Expositor: M.Sc Ing. Tito Vilchez

Vilchez


2/34


3/34

R Xi Yj Zk

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

X Y Z

dX dY dZ v i j k

dt dt dt

v Xi Yj Zk

v v i v j v k

R

2 2 2

X Y Zv v v v

La ampliacin de dos dimensiones (x,y) a tres dimensiones (x,y,z) no ofrece dificultad

especial. Simplemente basta aadir la coordenada z y sus dos derivadas temporales a

las expresiones bidimensionales, de forma que el vector de posicin R, la velocidad v

y la aceleracin a se expresan de la siguiente manera: En el plano solo se considerandos componentes X e Y

Vector Posicin:

Vector Velocidad:


4/34

R

2 2 2

2 2 2

d X d Y d Z

a i j k dt dt dt

X Y Z

X Y Z

a Xi Yj Zk

a v i v j v k

a a i a j a k

2 2 2

X Y Za a a a

Vector Aceleracin:


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MOVIMIENTO ABSOLUTO DE LA PARTICULA EN EL ESPACIO

EN COORDENADAS CILINDRICAS (r, , Z)

La posicin de la partcula P se define utilizando las

coordenadas cilndricas (a)

Descomponindose en trminos de sus vectores unitarios:

, ,re e k

Siendo R el vector posicin: rR re zk

r

dR

v re r e zk dt

2

22

( ) ( 2 )rdv d Ra r r e r r e zk

dt dt

rv r

v r

z

v z

2

ra r r

2a r r

Za z

2 2 2

r zv v v v

2 2 2r za a a a

Siempre se mide a partir del eje

Positivo X

re

k

R e


7/34

Vr = 4,5962 m/s

v = 6,128 m/svZ = 3,8567 m/s

ar = - 24,512 m/s2

a = 36,7698 m/s2

aZ = 0 m/s2

Respuestas con 4 decimales

truncado

Ejemplo 1

La barra OB gira alrededor del eje Z con una velocidad angular constante

mientras que la corredera A sube por la barra con una rapidez constante

Para el instante cuando = /2 rad, determine:

4 /rad s

6 /S m s

Obligatorio: Resolver por Coordenadas Cilndricas

1.- La magnitud de la velocidad radial.(m/s)

2.- La magnitud de la velocidad

transversal.(m/s)

3.- La magnitud de la velocidad en el eje

Z.(m/s)

4.- La magnitud de la aceleracinradial.(m/s2)

5.- La magnitud de la aceleracin

transversal a.(m/s2)

6.- La magnitud de la aceleracin en el eje

Z.(m/s2)


8/34

Vr = 4,5962 m/s

v = 6,128 m/s

vZ = 3,8567 m/s

ar = - 24,512 m/s2

a = 36,7698 m/s2

aZ = 0 m/s2

RS

r

z

40

50

2S m

Solucin:

S

r

z

Percibimos que el ngulo =40=cte.

Sabemos que S=2m, 6 /S m s 0S

Se cumple:

. 40r S Cos

. 40 0r S Cos S

0 0

6. 40r Cos

Derivando respecto del tiempo:

Para S= 2m y =40:2. 40r Cos

4,5962 /r m s

1,532r m


9/34

. 40r S Cos

Derivando respecto del tiempo la ecuacin:

. 40 (0)r S Cos S 0r

De igual manera se procede con:

.Sen 40z S

.Sen 40z S 6.Sen 40 3,8567 /z m s

.Sen 40z S 0z

2.Sen 40 1, 2855z m

Tambin:2

rad

4 /rad s cte 0Luego:

4,5962 /rv r m s

1, 532 4 6,128 /v r m s 3,8567 /zv z m s

2 20 1,532(4)ra r r

2 1,532(0) 2(4,5962)(4)a r r

0Z

a z

224,512 /ra m s

236, 7696 /a m s

2 2 2

r zv v v v

8, 5762 /v m s

2 2 2

r za a a a

244,1909 /a m s


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http://ssmundodesconocido.es/la-tierra-hueca-nuevas-y-sorprendentes-

pruebas.html

http://francis.naukas.com/2015/08/26/el-video-youtube-de-la-ultima-

boutade-de-hawking/


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MOVIMIENTO ABSOLUTO DE LA PARTICULA EN EL ESPACIO

EN COORDENADAS ESFERICAS (R, , )

Las expresiones de la posicin y velocidad son fciles; pero de la aceleracin es mas

complicada a causa de la geometra adicional necesaria. Obsrvese que el sentido

del vector eR es el que tendra el movimiento del punto B, si R aumentara, pero

manteniendo constantes y . Asimismo, el sentido de e, es el que tendra B si aumentara, pero mantenindose constantes R y . Finalmente, el sentido de e es el

que tendra el movimiento de B si aumentara pero mantenindose constantes R y

.

R


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RR Re


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RR Re

R R R

dRv v e v e v e Re R Cos e R e

dt

Donde:

Rv R v R Cos v R

EXPRESIONES MATEMATICAS DE LA POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION

DE LA PARTICULA EN COORDENADAS ESFERICAS

2

2

R R

dv d Ra a e a e a e

dt dt

22 2

Rv v v v


14/34

Donde: 2 2 2

Ra R R R Cos

2

( ) 2Cos d Ra R SenR dt

221 ( )d Ra R Sen Cos

R dt

2 2a R Cos R Cos R Sen

22a R R R Sen Cos

22 2

R

a a a a

Rv R

v R Cos

v R


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VR = 6 m/s

v = 6,128 m/sv = 0

aR = - 18,7783 m/s2

a = 36,7701 m/s2a = 15,7569 m/s2

Obligatorio: Resolver por Coordenadas Esfricas



Para el instante cuando = /2 rad, determine:

Ejemplo 1



transversal.(m/s)


Z.(m/s)

4.- La magnitud de la aceleracinradial.(m/s2)



6.- La magnitud de la aceleracin en eleje

Z.(m/s2)


truncado


16/34

VR = 6 m/s

v = 6,128 m/sv = 0

aR = - 18,7783 m/s2

a = 36,7701 m/s2a = 15,7569 m/s2

6 /Rv R m s

Utilizando el mtodo de coordenadas esfricas tenemos:

V = 8.5764 m/s

S

2rad

4 /rad s cte 0

2 6 s 0R m R m R

40 0 0

2(4) 40v R Cos Cos

0v R

6,1283 /v m s

6 /Rv m s

22 2

Rv v v v


17/34

a = 44,1922 m/s2

2 2 2

Ra R R R Cos

22a R R R Sen Cos

2 2 20 2(0) 2(4 ) 40Ra Cos 218, 7783 /Ra m s


2(6)(4) 40 2(0) 40 2(2)(4)(0) 40a Cos Cos Sen 236, 7701 /a m s

22(6)(0) 2(0) 2(4) 40 40a Sen Cos

215, 7569 /a m s

22 2

Ra a a a


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Transformacion de CoordenadasNos sirven para determinar velocidades y aceleraciones en un Sistema en base a

otros conocidos.

Considerando que las ecuaciones de transformacion son lineales, utilizando elalgebra matricial, definiremos los 6 casos de transformacion:

Caso I.- De coordenadas rectangulares a coordenadas cilindricas:

re

e

Haciendo una vista de Planta:

Xv Yv

Zv

rv

vZv


19/34

r

O

X

Y

Xv

Yv

re

e

0r x y z v v Cos v Sen v

xv Cos

xv Sen

yv Cos

yv Sen

0x y zv v Sen v Cos v

0 1z x y zv ov v v

rv

vZv

Zv


20/34

Donde:

cos 0

cos 0

0 0 1

r x

y

z z

v sen v

v Sen v

v v


21/34

]][[][ ),,(),,( zyxzr vTv

100

0cos

0cos

Sen

sen

T

]][[][),,(),,( zyxzr

aTa

Siendo:

En forma similar:

En forma simplificada:

cos 0

cos 0

0 0 1

r x

y

z z

a sen a

a Sen a

a a


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Transformacion de Coordenadas

]][[][ ),,(1

),,( zrzyx vTv

Caso II.- De coordenadas cilindricas a coordenadas rectangulares:

]][[][ ),,(1

),,( zrzyx aTa

100

0

01

CosSen

SenCos

T


23/34


]][[][ ),,(),,( zrR vTv

CosSen

SenCos

T

0

010

0

Caso III.- De coordenadas cilindricas a coordenadas esfericas:

]][[][ ),,(),,( zrR aTa


24/34


]][[][ ),,(1

),,( Rzr vTv

CosSen

SenCos

T

0

010

01

Caso IV.- De coordenadas esfericas a coordenadas cilindricas:

]][[][ ),,(1

),,( Rzr aTa


25/34


Caso V.- De coordenadas rectangulares a coordenadas esfericas:

CosSenSenCosSen

CosSen

SenSenCos

TT 0

coscos

]][][[][ ),,(),,( zyxR vTTv

]][][[][ ),,(),,( zyxR aTTa


26/34


Caso VI.- De coordenadas esfericas a coordenadas rectangulares:

CosSen

SenSenCosCosSen

SenCosSenCosCos

TT

0

11

]][][[][ ),,(11

),,( Rzyx aTTa

]][][[][),,(

11

),,( Rzyx

vTTv


27/34

Vr = 4,5962 m/s

v = 6,128 m/svZ = 3,8567 m/s

ar = - 24,512 m/s2

a = 36,7698 m/s2

aZ = 0 m/s2


truncado

Ejemplo 1



Para el instante cuando = /2 rad, utilizando transformacin de Coordenadas,

determine en coordenadas cilndricas:

4 /rad s

6 /S m s



transversal.(m/s)


Z.(m/s)4.- La magnitud de la aceleracin

radial.(m/s2)



6.- La magnitud de la aceleracin en el eje

Z.(m/s2)

Obligatorio: Resolver por Coordenadas Esfricas



28/34

VR = 6 m/s

v = 6,128 m/sv = 0

aR = - 18,7783 m/s2

a = 36,7701 m/s2a = 15,7569 m/s2

6 /Rv R m s


V = 8.5764 m/s

S

2rad

4 /rad s cte 0

2 6 s 0R m R m R

40 0 0

2(4) 40v R Cos Cos

0v R

6,1283 /v m s

6 /Rv m s

22 2

Rv v v v


29/34

a = 44,1922 m/s2

2 2 2

Ra R R R Cos

22a R R R Sen Cos

2 2 20 2(0) 2(4 ) 40Ra Cos 218, 7783 /Ra m s


2(6)(4) 40 2(0) 40 2(2)(4)(0) 40a Cos Cos Sen 236, 7701 /a m s

22(6)(0) 2(0) 2(4) 40 40a Sen Cos

215, 7569 /a m s

22 2

Ra a a a

Utili d l IV d d d f i d d ili d i V l id d


30/34

0, 766 0 0, 6427

0 1 0

0, 6427 0 0, 766

r R

Z

v v

v v

v v

CosSen

SenCos

T

0

010

01

Utilizando el caso IV, de coordenadas esfericas a coordenadas cilindricas: Velocidades

1

40 0 40

0 1 0

40 0 40

Cos Sen

T

Sen Cos

0 1 0

0

0, 766 0 0, 6 6

6

42

, 6427 0 0, 7

,128

6

3

06

7r

Z

v

v

v

0v

6,1283 /v m s

6 /Rv m s

(6) (6,1283)0, 766 0 0, 2 0)7(64rv

(6) (6,12830, ) (0)6427 0 0, 766Zv

4,596 /rv m s

(6) (6,1283)0 1 0 6 (60), 7v 6,1283 /v m s

3,8562 /Zv m s


31/34

0, 766 0 0, 6427

0 1 0

0, 6427 0 0, 766

r R

Z

a a

a a

a a

Utilizando el caso IV, de coordenadas esfericas a coordenadas cilindricas:

Aceleraciones

0, 6427 0 0, 766

0 1 018,7783

36,0, 766 0 0, 642

7701

15 75

7

, 69

r

Z

aa

a

( 18, 7783) (36, 7701)0, 766 0 0, 6427(15,7569)r

a

( 18, 7783) (36, 77010, 6427 0 0, 766) (15, 7569)Z

a

2

24, 5111 /ra m s

( 18, 7783) (36, 7701) (15, 7560 0 91 )a 236, 7701 /a m s

20 /Za m s

218, 7783 /Ra m s

236, 7701 /a m s

215, 7569 /a m s

BLOQUE A


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BLOQUE A

La Gra Liebherr telescpica mvil de 10

m de largo en el instante mostrado, gira

alrededor del eje vertical CD a razn

constante de 3 rad/s y el extremo B se

aleja de A (observe los detalles de lafigura derecha) a razn constante de 0,2

m/s. Si disminuye a razn constante de

2 rad/s. Para el instante mostrado cuando

= 30, determine:

a.- La magnitud de la aceleracin aR de la

arandela.(m/s2

)b.- La magnitud de la aceleracin a de la

arandela.(m/s2)

c.- La magnitud de la aceleracin

transversal a .(m/s2)

d.- La magnitud de la aceleracin aX

.(m/s2)e.- La magnitud de la aceleracin aY de la

arandela.(m/s2)

f.- La magnitud de la aceleracin aZ de la

arandela.(m/s2)

g.- La magnitud de la aceleracin de

B.(m/s2)

BLOQUE B
http://www.google.com.pe/imgres?imgurl=http://img.directindustry.es/images_di/photo-g/grua-movil-telescopica-117870.jpg&imgrefurl=http://www.directindustry.es/prod/liebherr-cranes/gruas-moviles-telescopicas-28023-117870.html&h=409&w=615&sz=41&tbnid=_ldXz2CFmmlSdM:&tbnh=76&tbnw=114&prev=/search%3Fq%3DFOTOS%2BDE%2Bgruas%2B%2BLiebherr%26tbm%3Disch%26tbo%3Du&zoom=1&q=FOTOS+DE+gruas++Liebherr&docid=AqsOVGB7KXJE9M&hl=es&sa=X&ei=y3p8Tqj8MdTngQfwhYxQ&sqi=2&ved=0CCkQ9QEwAQ&dur=1809


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BLOQUE B

Para un tiempo corto, medido a partir del origen, la posicin del extremo A (que no

se muestra) de la base de la caja, esta se mueve en los polines transportadores, a

largo de su trayectoria que est definida por las ecuaciones r = 20t (m), = 0.2t

(rad) yz = 10

cos

(m), donde tse mide en segundos. Para t = 5 s, determine:a.- La magnitud de la velocidad de A en el eje X.(m/s)

b.- La magnitud de la velocidad de A, en el eje Y.(m/s)

c.- La magnitud de la aceleracin de A, en el eje X.(m/s2)

d.- La magnitud de la aceleracin de A, en el eje Y.(m/s2)

e.- La magnitud de la velocidad de A en el eje R.(m/s)

f.- La magnitud de la velocidad de A, en el eje .(m/s)g.- La magnitud de la aceleracin de A, en el eje R.(m/s2)

h.- La magnitud de la aceleracin de A, en el eje .(m/s2)


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THE END!

Higher Education

Lets make it all that it can be and needs to be

Vamos a hacer todo lo que puede ser y debe ser!

Profesor: M.Sc Tito Vilchez

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