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Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmus
Tobias Haas
7. Januar 2010
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Ubersicht I
1 Einleitung
2 Theorie
3 Wolff-Algorithmus
4 Beispielimplementierung
5 Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme
6 Grenzen von Clusteralgorithmen
7 Fazit
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Einleitung Motivation und Eigenschaften
Motivation und Eigenschaften
Weiterentwicklung von lokalen Monte-Carlo-Methoden (zuerst furGitter).
Schnellere Konvergenz bei manchen Systemen und Bedingungen (z.B.Ising in der Nahe eines kritischen Punktes).
Viele Clusteralgorithmen sind gut parallelisierbar.
Erweiterung auf andere Modelle (z.B. harte Kugel bzw. harteScheiben, kontinuierliche Modelle).
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Einleitung Motivation und Eigenschaften
Motivation und Eigenschaften
Weiterentwicklung von lokalen Monte-Carlo-Methoden (zuerst furGitter).
Schnellere Konvergenz bei manchen Systemen und Bedingungen (z.B.Ising in der Nahe eines kritischen Punktes).
Viele Clusteralgorithmen sind gut parallelisierbar.
Erweiterung auf andere Modelle (z.B. harte Kugel bzw. harteScheiben, kontinuierliche Modelle).
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Einleitung Motivation und Eigenschaften
Motivation und Eigenschaften
Weiterentwicklung von lokalen Monte-Carlo-Methoden (zuerst furGitter).
Schnellere Konvergenz bei manchen Systemen und Bedingungen (z.B.Ising in der Nahe eines kritischen Punktes).
Viele Clusteralgorithmen sind gut parallelisierbar.
Erweiterung auf andere Modelle (z.B. harte Kugel bzw. harteScheiben, kontinuierliche Modelle).
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Einleitung Motivation und Eigenschaften
Motivation und Eigenschaften
Weiterentwicklung von lokalen Monte-Carlo-Methoden (zuerst furGitter).
Schnellere Konvergenz bei manchen Systemen und Bedingungen (z.B.Ising in der Nahe eines kritischen Punktes).
Viele Clusteralgorithmen sind gut parallelisierbar.
Erweiterung auf andere Modelle (z.B. harte Kugel bzw. harteScheiben, kontinuierliche Modelle).
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Einleitung Verschiedene Cluster Algorithmen
Verschiedene Cluster Algorithmen
Swendsen-Wang-Algorithmus [PRL 58, 86, 1987].
Wolff-Algorithmus [PRL 62, 361, 1989].
Invaded Cluster [PRL 75, 2792, 1995].
Probability-Change-Clusteralgorithmus [PRL 86, 572, 2001].
Clusteralgorithmen fur andere Modelle und Fragestellungen
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Einleitung Verschiedene Cluster Algorithmen
Verschiedene Cluster Algorithmen
Swendsen-Wang-Algorithmus [PRL 58, 86, 1987].
Wolff-Algorithmus [PRL 62, 361, 1989].
Invaded Cluster [PRL 75, 2792, 1995].
Probability-Change-Clusteralgorithmus [PRL 86, 572, 2001].
Clusteralgorithmen fur andere Modelle und Fragestellungen
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Einleitung Verschiedene Cluster Algorithmen
Verschiedene Cluster Algorithmen
Swendsen-Wang-Algorithmus [PRL 58, 86, 1987].
Wolff-Algorithmus [PRL 62, 361, 1989].
Invaded Cluster [PRL 75, 2792, 1995].
Probability-Change-Clusteralgorithmus [PRL 86, 572, 2001].
Clusteralgorithmen fur andere Modelle und Fragestellungen
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Einleitung Verschiedene Cluster Algorithmen
Verschiedene Cluster Algorithmen
Swendsen-Wang-Algorithmus [PRL 58, 86, 1987].
Wolff-Algorithmus [PRL 62, 361, 1989].
Invaded Cluster [PRL 75, 2792, 1995].
Probability-Change-Clusteralgorithmus [PRL 86, 572, 2001].
Clusteralgorithmen fur andere Modelle und Fragestellungen
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Einleitung Verschiedene Cluster Algorithmen
Verschiedene Cluster Algorithmen
Swendsen-Wang-Algorithmus [PRL 58, 86, 1987].
Wolff-Algorithmus [PRL 62, 361, 1989].
Invaded Cluster [PRL 75, 2792, 1995].
Probability-Change-Clusteralgorithmus [PRL 86, 572, 2001].
Clusteralgorithmen fur andere Modelle und Fragestellungen
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Theorie Monte-Carlo-Methode
Monte-Carlo-Methode I
Satz (Gesetz der großen Zahlen)
Fur den statistischen Mittelwert einer Große B im Phasenraum Ω
〈B〉 =∑x∈Ω
Π(x)B(x) bzw. 〈B〉 =
∫x∈Ω
Π(x) B(x) dx
mit dem normierten statistischen Gewicht Π(x) (also z.B. derBoltzmannfaktor) gilt fur N hinreichend groß:
〈B〉 ≈ limN→∞
1
N
N∑k=1
B(xk)
mit einer geeigneten Folge (xk)k∈N, insbesondere sollte sie ergodisch sein.
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Theorie Detailed balance (detailliertes Gleichgewicht)
Monte-Carlo-Methode: Detailed balance (detailliertesGleichgewicht)
Konzept des detaillierten Gleichgewichts:
Definition
π(a)P(a → b) = π(b)P(b → a)
Mit:
π(x) der Wahrscheinlichkeit der Konfiguration x im Gleichgewicht.
P(x → y) der Ubergangswahrscheinlichkeit von der Konfiguration xzur Konfiguration y.
Fur ein Gleichgewicht im kanonischen Ensemble verwenden wir denBoltzmannfaktor als statistisches Gewicht, π(x) = e−βE(x).
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Theorie a-priori-Wahrscheinlichkeit
Monte-Carlo-Methode: a-priori-WahrscheinlichkeitKonzept der a-priori-probability:
Definition
P(a → b) = A(a → b)P(a → b)
Mit:
A(a → b) der Wahrscheinlichkeit den Ubergang zu betrachten.P(a → b) der Wahrscheinlichkeit den Ubergang zu akzeptieren.
Umformulierung des Konzeptes des detaillierten Gleichgewichts:
Definition
P(a → b)
P(b → a)=
A(b → a)
A(a → b)
π(b)
π(a)
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Theorie a-priori-Wahrscheinlichkeit
Monte-Carlo-Methode: a-priori-WahrscheinlichkeitKonzept der a-priori-probability:
Definition
P(a → b) = A(a → b)P(a → b)
Mit:
A(a → b) der Wahrscheinlichkeit den Ubergang zu betrachten.P(a → b) der Wahrscheinlichkeit den Ubergang zu akzeptieren.
Umformulierung des Konzeptes des detaillierten Gleichgewichts:
Definition
P(a → b)
P(b → a)=
A(b → a)
A(a → b)
π(b)
π(a)
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 7 / 30
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Theorie Monte-Carlo-Methode
Monte-Carlo-Methode (II)
Fur uns genugen folgende Bedingungen:
1 Algorithmus muss Ergodizitat gewahrleisten.
2 Algorithmus soll detailliertes Gleichgewicht gewahrleisten und mita-priory-probability arbeiten.
Zusatzlich fordern wir:
1 Die QuotientenA(b → a)
A(a → b)und
π(b)
π(a)mussen berechenbar sein.
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Theorie Monte-Carlo-Methode
Monte-Carlo-Methode (II)
Fur uns genugen folgende Bedingungen:
1 Algorithmus muss Ergodizitat gewahrleisten.
2 Algorithmus soll detailliertes Gleichgewicht gewahrleisten und mita-priory-probability arbeiten.
Zusatzlich fordern wir:
1 Die QuotientenA(b → a)
A(a → b)und
π(b)
π(a)mussen berechenbar sein.
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Theorie Monte-Carlo-Methode
Monte-Carlo-Methode (II)
Fur uns genugen folgende Bedingungen:
1 Algorithmus muss Ergodizitat gewahrleisten.
2 Algorithmus soll detailliertes Gleichgewicht gewahrleisten und mita-priory-probability arbeiten.
Zusatzlich fordern wir:
1 Die QuotientenA(b → a)
A(a → b)und
π(b)
π(a)mussen berechenbar sein.
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Theorie Monte-Carlo-Methode
Monte-Carlo-Methode (II)
Fur uns genugen folgende Bedingungen:
1 Algorithmus muss Ergodizitat gewahrleisten.
2 Algorithmus soll detailliertes Gleichgewicht gewahrleisten und mita-priory-probability arbeiten.
Zusatzlich fordern wir:
1 Die QuotientenA(b → a)
A(a → b)und
π(b)
π(a)mussen berechenbar sein.
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Theorie Monte-Carlo-Methode
Monte-Carlo-Methode (II)
Fur uns genugen folgende Bedingungen:
1 Algorithmus muss Ergodizitat gewahrleisten.
2 Algorithmus soll detailliertes Gleichgewicht gewahrleisten und mita-priory-probability arbeiten.
Zusatzlich fordern wir:
1 Die QuotientenA(b → a)
A(a → b)und
π(b)
π(a)mussen berechenbar sein.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 8 / 30
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Theorie Metropolis-Algorithmus
Metropolis-Algorithmus
Metropolis schlug einen Algorithmus zur Berechnung einer Folge xk vor,die die zuvor gestellten Bedingungen (richtige Haufigkeit der verschiedenenxk) erfullt:
Definition
P(a → b) = min1,π(b)
π(a)
oder umformuliert
P(a → b) = min1,A(b → a)
A(a → b)
π(b)
π(a)
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Wolff-Algorithmus Ising-Modell
Ising-Modell (2D) ohne außeres Magnetfeld
Erinnerung (einfachste Variante):
Es werden von N2 Spins auf einem 2dimensionalen Gitter L mit Platzen (i , j)die Komponenten in einerausgezeichneten Richtung (o.B.d.Az-Richtung) betrachtet.
Die Wechselwirkungsenergie ist durch
H = −J∑(i ,j)
si sj
gegeben mit si ∈ −1, 1 ∼= +,− undder Summe uber alle nachsten Nachbarn(i , j).
+
+
- +
+++-
+
-
-
+ + +
++
++
+ + + +
+
++
+
- + - -
+
-+++++
-
-+++
-
-
+
+
++-
Abbildung:Beispielkonfiguration mitN = 7
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Wolff-Algorithmus Ising-Modell
Ising-Modell (2D) ohne außeres Magnetfeld
Erinnerung (einfachste Variante):
Es werden von N2 Spins auf einem 2dimensionalen Gitter L mit Platzen (i , j)die Komponenten in einerausgezeichneten Richtung (o.B.d.Az-Richtung) betrachtet.
Die Wechselwirkungsenergie ist durch
H = −J∑(i ,j)
si sj
gegeben mit si ∈ −1, 1 ∼= +,− undder Summe uber alle nachsten Nachbarn(i , j).
+
+
- +
+++-
+
-
-
+ + +
++
++
+ + + +
+
++
+
- + - -
+
-+++++
-
-+++
-
-
+
+
++-
Abbildung:Beispielkonfiguration mitN = 7
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 10 / 30
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Wolff-Algorithmus Ising-Modell
Ising-Modell (2D) ohne außeres Magnetfeld
Erinnerung (einfachste Variante):
Es werden von N2 Spins auf einem 2dimensionalen Gitter L mit Platzen (i , j)die Komponenten in einerausgezeichneten Richtung (o.B.d.Az-Richtung) betrachtet.
Die Wechselwirkungsenergie ist durch
H = −J∑(i ,j)
si sj
gegeben mit si ∈ −1, 1 ∼= +,− undder Summe uber alle nachsten Nachbarn(i , j).
+
+
- +
+++-
+
-
-
+ + +
++
++
+ + + +
+
++
+
- + - -
+
-+++++
-
-+++
-
-
+
+
++-
Abbildung:Beispielkonfiguration mitN = 7
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 10 / 30
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Wolff-Algorithmus Ising-Modell
Der Wolff-Algorithmus.
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Wolff-Algorithmus Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell
Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell I
Startkonfiguration gegeben.
Suche Platz (α0, β0) zufallig aus(Beispiel (α0, β0) = (4, 3)).
Bilde ausgehend von (α0, β0)
”Verbindung“ zwischen zwei
benachbarten Platzen (wenn si = sj)mit Wahrscheinlichkeit p.
Flippe Cluster (wird fur bestimmtes pimmer akzeptiert, P = 1).
Wiederhole dies fur neu gewahltenStartplatz (α1, β1).
-
+
- +
----
+
-
-
- + +
++
+-
+ + - -
+
++
+
- + - -
-
--+---
-
----
-
-
+
+
++-
Abbildung:Beispielkonfiguration mitN = 7.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 12 / 30
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Wolff-Algorithmus Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell
Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell I
Startkonfiguration gegeben.
Suche Platz (α0, β0) zufallig aus(Beispiel (α0, β0) = (4, 3)).
Bilde ausgehend von (α0, β0)
”Verbindung“ zwischen zwei
benachbarten Platzen (wenn si = sj)mit Wahrscheinlichkeit p.
Flippe Cluster (wird fur bestimmtes pimmer akzeptiert, P = 1).
Wiederhole dies fur neu gewahltenStartplatz (α1, β1).
-
+
- +
----
+
-
-
- + +
++
+-
+ + - -
+
++
+
- + - -
-
--+---
-
----
-
-
+
+
++-
Abbildung: Auswahl von(α0, β0) = (4, 3).
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Wolff-Algorithmus Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell
Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell I
Startkonfiguration gegeben.
Suche Platz (α0, β0) zufallig aus(Beispiel (α0, β0) = (4, 3)).
Bilde ausgehend von (α0, β0)
”Verbindung“ zwischen zwei
benachbarten Platzen (wenn si = sj)mit Wahrscheinlichkeit p.
Flippe Cluster (wird fur bestimmtes pimmer akzeptiert, P = 1).
Wiederhole dies fur neu gewahltenStartplatz (α1, β1).
-
+
- +
----
+
-
-
- + +
++
+-
+ + - -
+
++
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- + - -
-
--+---
-
----
-
-
+
+
++-
Abbildung: Clusterbildungum (4, 3) mitBindungswahrscheinlichkeitp.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 12 / 30
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Wolff-Algorithmus Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell
Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell I
Startkonfiguration gegeben.
Suche Platz (α0, β0) zufallig aus(Beispiel (α0, β0) = (4, 3)).
Bilde ausgehend von (α0, β0)
”Verbindung“ zwischen zwei
benachbarten Platzen (wenn si = sj)mit Wahrscheinlichkeit p.
Flippe Cluster (wird fur bestimmtes pimmer akzeptiert, P = 1).
Wiederhole dies fur neu gewahltenStartplatz (α1, β1).
+
+
- +
+++-
+
-
-
+ + +
++
++
+ + + +
+
++
+
- + - -
+
-+++++
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-+++
-
-
+
+
++-
Abbildung:”Geflippter“
Cluster.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 12 / 30
![Page 30: Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmusicp/mediawiki/images/0/02/Hs0910... · Ubersicht¨ I 1 Einleitung 2 Theorie 3 Wolff-Algorithmus 4 Beispielimplementierung 5 Erweiterung](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022420/5a7a88ed7f8b9a8d558ca047/html5/thumbnails/30.jpg)
Wolff-Algorithmus Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell
Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell I
Startkonfiguration gegeben.
Suche Platz (α0, β0) zufallig aus(Beispiel (α0, β0) = (4, 3)).
Bilde ausgehend von (α0, β0)
”Verbindung“ zwischen zwei
benachbarten Platzen (wenn si = sj)mit Wahrscheinlichkeit p.
Flippe Cluster (wird fur bestimmtes pimmer akzeptiert, P = 1).
Wiederhole dies fur neu gewahltenStartplatz (α1, β1).
+
+
- +
+++-
+
-
-
+ + +
++
++
+ + + +
+
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+
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-+++
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+
+
++-
Abbildung: Neu gewahlterStartplatz.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 12 / 30
![Page 31: Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmusicp/mediawiki/images/0/02/Hs0910... · Ubersicht¨ I 1 Einleitung 2 Theorie 3 Wolff-Algorithmus 4 Beispielimplementierung 5 Erweiterung](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022420/5a7a88ed7f8b9a8d558ca047/html5/thumbnails/31.jpg)
Wolff-Algorithmus Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell
Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell IIWarum funktioniert der Algorithmus so (alle Zuge werden immerakzeptiert)?
Konfiguration a hat
A(a → b) = Ainnen · (1− p)ngleich
Ea = Einnen + Eaußen − ngleich · J + ndiff · J
πa = e−βEa
Konfiguration b hat
A(b → a) = Ainnen · (1− p)ndiff
Eb = Einnen + Eaußen + ngleich · J − ndiff · J
πb = e−βEb
-
+
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+
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- + +
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+-
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Abbildung:Konfiguration a.
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-+++
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Abbildung:Konfiguration b.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 13 / 30
![Page 32: Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmusicp/mediawiki/images/0/02/Hs0910... · Ubersicht¨ I 1 Einleitung 2 Theorie 3 Wolff-Algorithmus 4 Beispielimplementierung 5 Erweiterung](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022420/5a7a88ed7f8b9a8d558ca047/html5/thumbnails/32.jpg)
Wolff-Algorithmus Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell
Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell IIWarum funktioniert der Algorithmus so (alle Zuge werden immerakzeptiert)?
Konfiguration a hat
A(a → b) = Ainnen · (1− p)ngleich
Ea = Einnen + Eaußen − ngleich · J + ndiff · J
πa = e−βEa
Konfiguration b hat
A(b → a) = Ainnen · (1− p)ndiff
Eb = Einnen + Eaußen + ngleich · J − ndiff · J
πb = e−βEb
-
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Abbildung:Konfiguration a.
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Abbildung:Konfiguration b.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 13 / 30
![Page 33: Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmusicp/mediawiki/images/0/02/Hs0910... · Ubersicht¨ I 1 Einleitung 2 Theorie 3 Wolff-Algorithmus 4 Beispielimplementierung 5 Erweiterung](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022420/5a7a88ed7f8b9a8d558ca047/html5/thumbnails/33.jpg)
Wolff-Algorithmus Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell
Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell IIWarum funktioniert der Algorithmus so (alle Zuge werden immerakzeptiert)?
Konfiguration a hat
A(a → b) = Ainnen · (1− p)ngleich
Ea = Einnen + Eaußen − ngleich · J + ndiff · J
πa = e−βEa
Konfiguration b hat
A(b → a) = Ainnen · (1− p)ndiff
Eb = Einnen + Eaußen + ngleich · J − ndiff · J
πb = e−βEb
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Abbildung:Konfiguration a.
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Abbildung:Konfiguration b.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 13 / 30
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Wolff-Algorithmus Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell
Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell IIIFolglich gilt nach Metropolis:
P(a → b) = min
(1,
Ainnen · (1− p)ndiff
Ainnen · (1− p)ngleich·e−β(Einnen+Eaußen+ngleich·J−ndiff ·J)
e−β(Einnen+Eaußen−ngleich·J+ndiff ·J)
)
= min
(1,
(1− p)ndiff
(1− p)ngleich·e−2βngleichJ
e−2βndiff J
)
= min
(1,
„(1− p)
e−2βJ
«ndiff
·„
e−2βJ
(1− p)
«ngleich)
= 1
wenn p = 1− e−2βJ gewahlt wird. Jeder Zug immer akzeptiert!
-
+
- +
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Abbildung: Konfiguration a.
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Abbildung: Konfiguration b.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 14 / 30
![Page 35: Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmusicp/mediawiki/images/0/02/Hs0910... · Ubersicht¨ I 1 Einleitung 2 Theorie 3 Wolff-Algorithmus 4 Beispielimplementierung 5 Erweiterung](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022420/5a7a88ed7f8b9a8d558ca047/html5/thumbnails/35.jpg)
Wolff-Algorithmus Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell
Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell IIIFolglich gilt nach Metropolis:
P(a → b) = min
(1,
Ainnen · (1− p)ndiff
Ainnen · (1− p)ngleich·e−β(Einnen+Eaußen+ngleich·J−ndiff ·J)
e−β(Einnen+Eaußen−ngleich·J+ndiff ·J)
)
= min
(1,
(1− p)ndiff
(1− p)ngleich·e−2βngleichJ
e−2βndiff J
)
= min
(1,
„(1− p)
e−2βJ
«ndiff
·„
e−2βJ
(1− p)
«ngleich)
= 1
wenn p = 1− e−2βJ gewahlt wird. Jeder Zug immer akzeptiert!
-
+
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- + +
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Abbildung: Konfiguration a.
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++-
Abbildung: Konfiguration b.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 14 / 30
![Page 36: Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmusicp/mediawiki/images/0/02/Hs0910... · Ubersicht¨ I 1 Einleitung 2 Theorie 3 Wolff-Algorithmus 4 Beispielimplementierung 5 Erweiterung](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022420/5a7a88ed7f8b9a8d558ca047/html5/thumbnails/36.jpg)
Wolff-Algorithmus Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell
Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell IIIFolglich gilt nach Metropolis:
P(a → b) = min
(1,
Ainnen · (1− p)ndiff
Ainnen · (1− p)ngleich·e−β(Einnen+Eaußen+ngleich·J−ndiff ·J)
e−β(Einnen+Eaußen−ngleich·J+ndiff ·J)
)
= min
(1,
(1− p)ndiff
(1− p)ngleich·e−2βngleichJ
e−2βndiff J
)
= min
(1,
„(1− p)
e−2βJ
«ndiff
·„
e−2βJ
(1− p)
«ngleich)
= 1
wenn p = 1− e−2βJ gewahlt wird. Jeder Zug immer akzeptiert!
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+
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Abbildung: Konfiguration a.
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+ + + +
+
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- + - -
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++-
Abbildung: Konfiguration b.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 14 / 30
![Page 37: Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmusicp/mediawiki/images/0/02/Hs0910... · Ubersicht¨ I 1 Einleitung 2 Theorie 3 Wolff-Algorithmus 4 Beispielimplementierung 5 Erweiterung](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022420/5a7a88ed7f8b9a8d558ca047/html5/thumbnails/37.jpg)
Wolff-Algorithmus Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell
Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell IIIFolglich gilt nach Metropolis:
P(a → b) = min
(1,
Ainnen · (1− p)ndiff
Ainnen · (1− p)ngleich·e−β(Einnen+Eaußen+ngleich·J−ndiff ·J)
e−β(Einnen+Eaußen−ngleich·J+ndiff ·J)
)
= min
(1,
(1− p)ndiff
(1− p)ngleich·e−2βngleichJ
e−2βndiff J
)
= min
(1,
„(1− p)
e−2βJ
«ndiff
·„
e−2βJ
(1− p)
«ngleich)
= 1
wenn p = 1− e−2βJ gewahlt wird. Jeder Zug immer akzeptiert!
-
+
- +
----
+
-
-
- + +
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+-
+ + - -
+
++
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- + - -
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Abbildung: Konfiguration a.
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+ + + +
+
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+
- + - -
+
-+++++
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-+++
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-
+
+
++-
Abbildung: Konfiguration b.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 14 / 30
![Page 38: Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmusicp/mediawiki/images/0/02/Hs0910... · Ubersicht¨ I 1 Einleitung 2 Theorie 3 Wolff-Algorithmus 4 Beispielimplementierung 5 Erweiterung](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022420/5a7a88ed7f8b9a8d558ca047/html5/thumbnails/38.jpg)
Wolff-Algorithmus Der Wolff-Algorithmus fur das Ising-Modell
Simulation.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 15 / 30
![Page 39: Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmusicp/mediawiki/images/0/02/Hs0910... · Ubersicht¨ I 1 Einleitung 2 Theorie 3 Wolff-Algorithmus 4 Beispielimplementierung 5 Erweiterung](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022420/5a7a88ed7f8b9a8d558ca047/html5/thumbnails/39.jpg)
Beispielimplementierung Wolff-Algorithmus am Beispiel des Ising-Modells
Wolff-Algorithmus am Beispiel des Ising-Modells I
Magnetisierung eines 2 dimensionalen Ising-Modells in der Nahe desPhasenubergangs:
JkB T
= 0
JkB T
= 0, 47
JkB T
= 0, 1
JkB T
= 0, 6
JkB T
= 0, 3
JkB T
= 1
JkB T
= 0, 4
JkB T
= 5
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 16 / 30
![Page 40: Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmusicp/mediawiki/images/0/02/Hs0910... · Ubersicht¨ I 1 Einleitung 2 Theorie 3 Wolff-Algorithmus 4 Beispielimplementierung 5 Erweiterung](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022420/5a7a88ed7f8b9a8d558ca047/html5/thumbnails/40.jpg)
Beispielimplementierung Wolff-Algorithmus am Beispiel des Ising-Modells
JkBT = 0
JkBT = 0, 47
JkBT = 0, 1
JkBT = 0, 6
JkBT = 0, 3
JkBT = 1
JkBT = 0, 4
JkBT = 5
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 17 / 30
![Page 41: Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmusicp/mediawiki/images/0/02/Hs0910... · Ubersicht¨ I 1 Einleitung 2 Theorie 3 Wolff-Algorithmus 4 Beispielimplementierung 5 Erweiterung](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022420/5a7a88ed7f8b9a8d558ca047/html5/thumbnails/41.jpg)
Beispielimplementierung Wolff-Algorithmus am Beispiel des Ising-Modells
Wolff-Algorithmus am Beispiel des Ising-Modells II
Konvergenz der Magnetisierung eines 2 dimensionalen Ising-Modells in derNahe des Phasenubergangs:
Vergleich derKonvergenzgeschwindigkeit eineslokalen Metropolis-Algorithmusmit der des Wolff-Algorithmus.
Phasenubergang des 2dimensionalen Ising-Modells.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 18 / 30
![Page 42: Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmusicp/mediawiki/images/0/02/Hs0910... · Ubersicht¨ I 1 Einleitung 2 Theorie 3 Wolff-Algorithmus 4 Beispielimplementierung 5 Erweiterung](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022420/5a7a88ed7f8b9a8d558ca047/html5/thumbnails/42.jpg)
Beispielimplementierung Wolff-Algorithmus am Beispiel des Ising-Modells
Vergleich der Konvergenzgeschwindigkeit eines lokalenMetropolis-Algorithmus mit der des Wolff-Algorithmus.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 19 / 30
![Page 43: Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmusicp/mediawiki/images/0/02/Hs0910... · Ubersicht¨ I 1 Einleitung 2 Theorie 3 Wolff-Algorithmus 4 Beispielimplementierung 5 Erweiterung](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022420/5a7a88ed7f8b9a8d558ca047/html5/thumbnails/43.jpg)
Beispielimplementierung Wolff-Algorithmus am Beispiel des Ising-Modells
Phasenubergang des 2 dimensionalen Ising-Modells.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 20 / 30
![Page 44: Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmusicp/mediawiki/images/0/02/Hs0910... · Ubersicht¨ I 1 Einleitung 2 Theorie 3 Wolff-Algorithmus 4 Beispielimplementierung 5 Erweiterung](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022420/5a7a88ed7f8b9a8d558ca047/html5/thumbnails/44.jpg)
Beispielimplementierung Wolff-Algorithmus am Beispiel des Ising-Modells
Anderes Problem, anderer Algorithmus ...
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 21 / 30
![Page 45: Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmusicp/mediawiki/images/0/02/Hs0910... · Ubersicht¨ I 1 Einleitung 2 Theorie 3 Wolff-Algorithmus 4 Beispielimplementierung 5 Erweiterung](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022420/5a7a88ed7f8b9a8d558ca047/html5/thumbnails/45.jpg)
Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Problem
Problem
Betrachte folgendesProblem:
Cluster gut findbar:A(a → b) ist groß.
Cluster nicht gut auffindbar:A(b → a) ist klein.
π(a) ≈ π(b), P sehr klein,Zug wird kaum akzeptiert,zufalliges Auswahlen undVerschieben sehr ineffektiv.
Losung: T = T−1 vermeidetdas Problem.
Abbildung: Konfiguration a
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 22 / 30
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Problem
Problem
Betrachte folgendes Problem:
Cluster gut identifizierbar.
Cluster gut findbar:A(a → b) ist groß.
Cluster nicht gut auffindbar:A(b → a) ist klein.
π(a) ≈ π(b), P sehr klein,Zug wird kaum akzeptiert,zufalliges Auswahlen undVerschieben sehr ineffektiv.
Losung: T = T−1 vermeidetdas Problem.
Abbildung: Konfiguration a
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 22 / 30
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Problem
Problem
Betrachte folgendes Problem:
Cluster verschoben(Transformation T ).
Cluster gut findbar:A(a → b) ist groß.
Cluster nicht gut auffindbar:A(b → a) ist klein.
π(a) ≈ π(b), P sehr klein,Zug wird kaum akzeptiert,zufalliges Auswahlen undVerschieben sehr ineffektiv.
Losung: T = T−1 vermeidetdas Problem.
Abbildung: Konfiguration b
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 22 / 30
![Page 48: Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmusicp/mediawiki/images/0/02/Hs0910... · Ubersicht¨ I 1 Einleitung 2 Theorie 3 Wolff-Algorithmus 4 Beispielimplementierung 5 Erweiterung](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022420/5a7a88ed7f8b9a8d558ca047/html5/thumbnails/48.jpg)
Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Problem
Problem
Betrachte folgendes Problem:
Verschobener Cluster nichtmehr gut identifizierbar.
Cluster gut findbar:A(a → b) ist groß.
Cluster nicht gut auffindbar:A(b → a) ist klein.
π(a) ≈ π(b), P sehr klein,Zug wird kaum akzeptiert,zufalliges Auswahlen undVerschieben sehr ineffektiv.
Losung: T = T−1 vermeidetdas Problem.
Abbildung: Konfiguration b
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 22 / 30
![Page 49: Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmusicp/mediawiki/images/0/02/Hs0910... · Ubersicht¨ I 1 Einleitung 2 Theorie 3 Wolff-Algorithmus 4 Beispielimplementierung 5 Erweiterung](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022420/5a7a88ed7f8b9a8d558ca047/html5/thumbnails/49.jpg)
Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Problem
Problem
Betrachte folgendesProblem:
Cluster gut findbar:A(a → b) ist groß.
Cluster nicht gut auffindbar:A(b → a) ist klein.
π(a) ≈ π(b), P sehr klein,Zug wird kaum akzeptiert,zufalliges Auswahlen undVerschieben sehr ineffektiv.
Losung: T = T−1 vermeidetdas Problem.
Abbildung: Konfiguration a
Abbildung: Konfiguration b
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 22 / 30
![Page 50: Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmusicp/mediawiki/images/0/02/Hs0910... · Ubersicht¨ I 1 Einleitung 2 Theorie 3 Wolff-Algorithmus 4 Beispielimplementierung 5 Erweiterung](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022420/5a7a88ed7f8b9a8d558ca047/html5/thumbnails/50.jpg)
Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Problem
Problem
Betrachte folgendesProblem:
Cluster gut findbar:A(a → b) ist groß.
Cluster nicht gut auffindbar:A(b → a) ist klein.
π(a) ≈ π(b), P sehr klein,Zug wird kaum akzeptiert,zufalliges Auswahlen undVerschieben sehr ineffektiv.
Losung: T = T−1 vermeidetdas Problem.
Abbildung: Konfiguration a
Abbildung: Konfiguration b
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 22 / 30
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Problem
Problem
Betrachte folgendesProblem:
Cluster gut findbar:A(a → b) ist groß.
Cluster nicht gut auffindbar:A(b → a) ist klein.
π(a) ≈ π(b), P sehr klein,Zug wird kaum akzeptiert,zufalliges Auswahlen undVerschieben sehr ineffektiv.
Losung: T = T−1 vermeidetdas Problem.
Abbildung: Konfiguration a
Abbildung: Konfiguration b
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 22 / 30
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Problem
Problem
Betrachte folgendesProblem:
Cluster gut findbar:A(a → b) ist groß.
Cluster nicht gut auffindbar:A(b → a) ist klein.
π(a) ≈ π(b), P sehr klein,Zug wird kaum akzeptiert,zufalliges Auswahlen undVerschieben sehr ineffektiv.
Losung: T = T−1 vermeidetdas Problem.
Abbildung: Konfiguration a
Abbildung: Konfiguration b
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 22 / 30
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Erweiterung auf harte Scheiben: Taschenalgorithmus
Der Taschenalgorithmus (pocket algorithm)
Wahle Spiegelpunkt aus(Punktspiegelung istselbstinvers).
Wahle erste Scheibe aus(und stecke sie in Tasche).
Ziehe aus der Tasche eineScheibe (erste) und spieglesie.
Alle von der gespiegeltenScheibe Getroffenen kommenin die Tasche.
Ziehe wieder aus Tasche undverfahre wie zuvor
(bisTasche leer ist).
12
3
4
5
67
8
9
Abbildung: Konfiguration a
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 23 / 30
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Erweiterung auf harte Scheiben: Taschenalgorithmus
Der Taschenalgorithmus (pocket algorithm)
Wahle Spiegelpunkt aus(Punktspiegelung istselbstinvers).
Wahle erste Scheibe aus(und stecke sie in Tasche).
Ziehe aus der Tasche eineScheibe (erste) und spieglesie.
Alle von der gespiegeltenScheibe Getroffenen kommenin die Tasche.
Ziehe wieder aus Tasche undverfahre wie zuvor
(bisTasche leer ist).
12
3
4
5
67
8
9
Abbildung: Scheibe auswahlen.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 23 / 30
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Erweiterung auf harte Scheiben: Taschenalgorithmus
Der Taschenalgorithmus (pocket algorithm)
Wahle Spiegelpunkt aus(Punktspiegelung istselbstinvers).
Wahle erste Scheibe aus(und stecke sie in Tasche).
Ziehe aus der Tasche eineScheibe (erste) und spieglesie.
Alle von der gespiegeltenScheibe Getroffenen kommenin die Tasche.
Ziehe wieder aus Tasche undverfahre wie zuvor
(bisTasche leer ist).
12
3
4
5
67
8
9
Abbildung: Scheibe auswahlen.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 23 / 30
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Erweiterung auf harte Scheiben: Taschenalgorithmus
Der Taschenalgorithmus (pocket algorithm)
Wahle Spiegelpunkt aus(Punktspiegelung istselbstinvers).
Wahle erste Scheibe aus(und stecke sie in Tasche).
Ziehe aus der Tasche eineScheibe (erste) und spieglesie.
Alle von der gespiegeltenScheibe Getroffenen kommenin die Tasche.
Ziehe wieder aus Tasche undverfahre wie zuvor
(bisTasche leer ist).
1
35
6
4
2
7
8
9
Abbildung: Beruhrte Scheiben inTasche.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 23 / 30
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Erweiterung auf harte Scheiben: Taschenalgorithmus
Der Taschenalgorithmus (pocket algorithm)
Wahle Spiegelpunkt aus(Punktspiegelung istselbstinvers).
Wahle erste Scheibe aus(und stecke sie in Tasche).
Ziehe aus der Tasche eineScheibe (erste) und spieglesie.
Alle von der gespiegeltenScheibe Getroffenen kommenin die Tasche.
Ziehe wieder aus Tasche undverfahre wie zuvor.
(bisTasche leer ist).
1
35
6
4
2
7
8
9
Abbildung: Aus Tasche ziehen.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 23 / 30
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Erweiterung auf harte Scheiben: Taschenalgorithmus
Der Taschenalgorithmus (pocket algorithm)
Wahle Spiegelpunkt aus(Punktspiegelung istselbstinvers).
Wahle erste Scheibe aus(und stecke sie in Tasche).
Ziehe aus der Tasche eineScheibe (erste) und spieglesie.
Alle von der gespiegeltenScheibe Getroffenen kommenin die Tasche.
Ziehe wieder aus Tasche undverfahre wie zuvor (bisTasche leer ist).
1
5
6
4
2
3
7
8
9
Abbildung: Tasche leer.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 23 / 30
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Taschenalgorithmus: Wo sind die Cluster?
Taschenalgorithmus: Wo sind die Cluster?
Betrachte Anfangs- undEndzustand.
Uberlagerung zeigtSubensembles, die unter Tunabhangig von einanderbleiben (Cluster), z.B.2, 3, 4, 7.
1
56 4
2
3
7
8
9
12
3
4
5
67
8
9
Abbildung: Uberlagerung von a undb.
12
3
4
5
67
8
9
Abbildung: Konfiguration a
1
56 4
2
3
7
8
9
Abbildung: Konfiguration b
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 24 / 30
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Taschenalgorithmus: Wo sind die Cluster?
Taschenalgorithmus: Wo sind die Cluster?
Betrachte Anfangs- undEndzustand.
Uberlagerung zeigtSubensembles, die unter Tunabhangig von einanderbleiben (Cluster), z.B.2, 3, 4, 7.
1
56 4
2
3
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8
9
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8
9
Abbildung: Uberlagerung von a undb.
12
3
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Abbildung: Konfiguration a
1
56 4
2
3
7
8
9
Abbildung: Konfiguration b
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Taschenalgorithmus: Wo sind die Cluster?
Taschenalgorithmus: Wo sind die Cluster?
Betrachte Anfangs- undEndzustand.
Uberlagerung zeigtSubensembles, die unter Tunabhangig von einanderbleiben (Cluster), z.B.2, 3, 4, 7.
1
56 4
2
3
7
8
9
12
3
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9
Abbildung: Uberlagerung von a undb.
12
3
4
5
67
8
9
Abbildung: Konfiguration a
1
56 4
2
3
7
8
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Abbildung: Konfiguration b
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 24 / 30
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Taschenalgorithmus: Anwendung
Taschenalgorithmus: Anwendung - Phasentrennung in2-komponentigen Mischungen
Betrachte folgende Situation (harte Quadrate ohne Wechselwirkungen):
a) Die (großen) Quadrate sind weit voneinander entfernt, schwach effektiverepulsive
”Wechselwirkung“ bei
Annaherung
b) Die (großen) Quadrate sind weit voneinander entfernt, effektive attraktive
”Wechselwirkung“ bei Annaherung
(entropischer Effekt)
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 25 / 30
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Taschenalgorithmus: Anwendung
Taschenalgorithmus: Anwendung - Phasentrennung in2-komponentigen Mischungen
Betrachte folgende Situation (harte Quadrate ohne Wechselwirkungen):
a) Die (großen) Quadrate sind weit voneinander entfernt, schwach effektiverepulsive
”Wechselwirkung“ bei
Annaherung
b) Die (großen) Quadrate sind weit voneinander entfernt, effektive attraktive
”Wechselwirkung“ bei Annaherung
(entropischer Effekt)
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 25 / 30
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Taschenalgorithmus: Anwendung
Taschenalgorithmus: Anwendung - Phasentrennung in2-komponentigen Mischungen
Betrachte folgende Situation (harte Quadrate ohne Wechselwirkungen):
a) Die (großen) Quadrate sind weit voneinander entfernt, schwach effektiverepulsive
”Wechselwirkung“ bei
Annaherung
b) Die (großen) Quadrate sind weit voneinander entfernt, effektive attraktive
”Wechselwirkung“ bei Annaherung
(entropischer Effekt)
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 25 / 30
![Page 65: Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmusicp/mediawiki/images/0/02/Hs0910... · Ubersicht¨ I 1 Einleitung 2 Theorie 3 Wolff-Algorithmus 4 Beispielimplementierung 5 Erweiterung](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022420/5a7a88ed7f8b9a8d558ca047/html5/thumbnails/65.jpg)
Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Taschenalgorithmus: Anwendung
Taschenalgorithmus: Anwendung - Phasentrennung in2-komponentigen Mischungen
Pocket-Algorithmus:
Spiegelungspunkt auswahlen.
Startquadrat auswahlen.
Spiegeln.
Besonderheit: Allevoll vom QuadratUberdeckten konnen direktneu plaziert werden.
Uberdeckte Quadrate gehenin Tasche.
Ziehe aus Tasche undspiegele bis Tasche leer(”Pocket-Algorithmus“).
Neue Endkonfiguration.
Abbildung: Konfiguration a,Spiegelungspunkt ausgewahlt.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 26 / 30
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Taschenalgorithmus: Anwendung
Taschenalgorithmus: Anwendung - Phasentrennung in2-komponentigen Mischungen
Pocket-Algorithmus:
Spiegelungspunkt auswahlen.
Startquadrat auswahlen.
Spiegeln.
Besonderheit: Allevoll vom QuadratUberdeckten konnen direktneu plaziert werden.
Uberdeckte Quadrate gehenin Tasche.
Ziehe aus Tasche undspiegele bis Tasche leer(”Pocket-Algorithmus“).
Neue Endkonfiguration.
Abbildung: Konfiguration a,Spiegelungspunkt ausgewahlt.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 26 / 30
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Taschenalgorithmus: Anwendung
Taschenalgorithmus: Anwendung - Phasentrennung in2-komponentigen Mischungen
Pocket-Algorithmus:
Spiegelungspunkt auswahlen.
Startquadrat auswahlen.
Spiegeln.
Besonderheit: Allevoll vom QuadratUberdeckten konnen direktneu plaziert werden.
Uberdeckte Quadrate gehenin Tasche.
Ziehe aus Tasche undspiegele bis Tasche leer(”Pocket-Algorithmus“).
Neue Endkonfiguration.
Abbildung: Startquadrat ausgehahlt.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 26 / 30
![Page 68: Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmusicp/mediawiki/images/0/02/Hs0910... · Ubersicht¨ I 1 Einleitung 2 Theorie 3 Wolff-Algorithmus 4 Beispielimplementierung 5 Erweiterung](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022420/5a7a88ed7f8b9a8d558ca047/html5/thumbnails/68.jpg)
Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Taschenalgorithmus: Anwendung
Taschenalgorithmus: Anwendung - Phasentrennung in2-komponentigen Mischungen
Pocket-Algorithmus:
Spiegelungspunkt auswahlen.
Startquadrat auswahlen.
Spiegeln.
Besonderheit: Allevoll vom QuadratUberdeckten konnen direktneu plaziert werden.
Uberdeckte Quadrate gehenin Tasche.
Ziehe aus Tasche undspiegele bis Tasche leer(”Pocket-Algorithmus“).
Neue Endkonfiguration.
Abbildung: Gespiegelt.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 26 / 30
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Taschenalgorithmus: Anwendung
Taschenalgorithmus: Anwendung - Phasentrennung in2-komponentigen Mischungen
Pocket-Algorithmus:
Spiegelungspunkt auswahlen.
Startquadrat auswahlen.
Spiegeln. Besonderheit: Allevoll vom QuadratUberdeckten konnen direktneu plaziert werden.
Uberdeckte Quadrate gehenin Tasche.
Ziehe aus Tasche undspiegele bis Tasche leer(”Pocket-Algorithmus“).
Neue Endkonfiguration.
Abbildung: Trafo der Uberdeckten.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 26 / 30
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Taschenalgorithmus: Anwendung
Taschenalgorithmus: Anwendung - Phasentrennung in2-komponentigen Mischungen
Pocket-Algorithmus:
Spiegelungspunkt auswahlen.
Startquadrat auswahlen.
Spiegeln. Besonderheit: Allevoll vom QuadratUberdeckten konnen direktneu plaziert werden.
Uberdeckte Quadrate gehenin Tasche.
Ziehe aus Tasche undspiegele bis Tasche leer(”Pocket-Algorithmus“).
Neue Endkonfiguration.
Abbildung: Rest in Tasche.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 26 / 30
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Taschenalgorithmus: Anwendung
Taschenalgorithmus: Anwendung - Phasentrennung in2-komponentigen Mischungen
Pocket-Algorithmus:
Spiegelungspunkt auswahlen.
Startquadrat auswahlen.
Spiegeln. Besonderheit: Allevoll vom QuadratUberdeckten konnen direktneu plaziert werden.
Uberdeckte Quadrate gehenin Tasche.
Ziehe aus Tasche undspiegele bis Tasche leer(”Pocket-Algorithmus“).
Neue Endkonfiguration.
Abbildung: Aus Tasche ziehen undspiegeln.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 26 / 30
![Page 72: Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmusicp/mediawiki/images/0/02/Hs0910... · Ubersicht¨ I 1 Einleitung 2 Theorie 3 Wolff-Algorithmus 4 Beispielimplementierung 5 Erweiterung](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022420/5a7a88ed7f8b9a8d558ca047/html5/thumbnails/72.jpg)
Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Taschenalgorithmus: Anwendung
Taschenalgorithmus: Anwendung - Phasentrennung in2-komponentigen Mischungen
Pocket-Algorithmus:
Spiegelungspunkt auswahlen.
Startquadrat auswahlen.
Spiegeln. Besonderheit: Allevoll vom QuadratUberdeckten konnen direktneu plaziert werden.
Uberdeckte Quadrate gehenin Tasche.
Ziehe aus Tasche undspiegele bis Tasche leer(”Pocket-Algorithmus“).
Neue Endkonfiguration.
Abbildung: Potentiell uberdeckte inTasche.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 26 / 30
![Page 73: Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmusicp/mediawiki/images/0/02/Hs0910... · Ubersicht¨ I 1 Einleitung 2 Theorie 3 Wolff-Algorithmus 4 Beispielimplementierung 5 Erweiterung](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022420/5a7a88ed7f8b9a8d558ca047/html5/thumbnails/73.jpg)
Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Taschenalgorithmus: Anwendung
Taschenalgorithmus: Anwendung - Phasentrennung in2-komponentigen Mischungen
Pocket-Algorithmus:
Spiegelungspunkt auswahlen.
Startquadrat auswahlen.
Spiegeln. Besonderheit: Allevoll vom QuadratUberdeckten konnen direktneu plaziert werden.
Uberdeckte Quadrate gehenin Tasche.
Ziehe aus Tasche undspiegele bis Tasche leer(”Pocket-Algorithmus“).
Neue Endkonfiguration.
Abbildung: Tasche leer.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 26 / 30
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Erweiterung auf andere Modelle
Erweiterung auf andere Modelle
Erweiterungen des vorgestellten Wolff-Algorithmus
Erweiterung von Ising-Modell auf andere Spinmodelle (Wolff:O(n)-Modell).
Versuche externe Felder und andere Wechselwirkungen zu integrieren.
Erweiterung um Paarwechselwirkungen und kontinuierliche Modelle.
Erweiterungen des Pocket-Algorithmus
Erweiterung um Paarwechselwirkungen (generalized GeometricCluster Algorithm)
Vielteilchen-Terme konnen (sofern deren energetische Storung kleinist) als Storung mitgenommen werden.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 27 / 30
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Erweiterung auf andere Modelle
Erweiterung auf andere Modelle
Erweiterungen des vorgestellten Wolff-Algorithmus
Erweiterung von Ising-Modell auf andere Spinmodelle (Wolff:O(n)-Modell).
Versuche externe Felder und andere Wechselwirkungen zu integrieren.
Erweiterung um Paarwechselwirkungen und kontinuierliche Modelle.
Erweiterungen des Pocket-Algorithmus
Erweiterung um Paarwechselwirkungen (generalized GeometricCluster Algorithm)
Vielteilchen-Terme konnen (sofern deren energetische Storung kleinist) als Storung mitgenommen werden.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 27 / 30
![Page 76: Cluster-Algorithmen: Der Wolff-Algorithmusicp/mediawiki/images/0/02/Hs0910... · Ubersicht¨ I 1 Einleitung 2 Theorie 3 Wolff-Algorithmus 4 Beispielimplementierung 5 Erweiterung](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022022420/5a7a88ed7f8b9a8d558ca047/html5/thumbnails/76.jpg)
Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Erweiterung auf andere Modelle
Erweiterung auf andere Modelle
Erweiterungen des vorgestellten Wolff-Algorithmus
Erweiterung von Ising-Modell auf andere Spinmodelle (Wolff:O(n)-Modell).
Versuche externe Felder und andere Wechselwirkungen zu integrieren.
Erweiterung um Paarwechselwirkungen und kontinuierliche Modelle.
Erweiterungen des Pocket-Algorithmus
Erweiterung um Paarwechselwirkungen (generalized GeometricCluster Algorithm)
Vielteilchen-Terme konnen (sofern deren energetische Storung kleinist) als Storung mitgenommen werden.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 27 / 30
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Erweiterung auf andere Modelle
Erweiterung auf andere Modelle
Erweiterungen des vorgestellten Wolff-Algorithmus
Erweiterung von Ising-Modell auf andere Spinmodelle (Wolff:O(n)-Modell).
Versuche externe Felder und andere Wechselwirkungen zu integrieren.
Erweiterung um Paarwechselwirkungen und kontinuierliche Modelle.
Erweiterungen des Pocket-Algorithmus
Erweiterung um Paarwechselwirkungen (generalized GeometricCluster Algorithm)
Vielteilchen-Terme konnen (sofern deren energetische Storung kleinist) als Storung mitgenommen werden.
Tobias Haas Cluster-Algorithmen 7. Januar 2010 27 / 30
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Erweiterung auf andere Modelle
Erweiterung auf andere Modelle
Erweiterungen des vorgestellten Wolff-Algorithmus
Erweiterung von Ising-Modell auf andere Spinmodelle (Wolff:O(n)-Modell).
Versuche externe Felder und andere Wechselwirkungen zu integrieren.
Erweiterung um Paarwechselwirkungen und kontinuierliche Modelle.
Erweiterungen des Pocket-Algorithmus
Erweiterung um Paarwechselwirkungen (generalized GeometricCluster Algorithm)
Vielteilchen-Terme konnen (sofern deren energetische Storung kleinist) als Storung mitgenommen werden.
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Erweiterung auf andere Modelle
Erweiterung auf andere Modelle
Erweiterungen des vorgestellten Wolff-Algorithmus
Erweiterung von Ising-Modell auf andere Spinmodelle (Wolff:O(n)-Modell).
Versuche externe Felder und andere Wechselwirkungen zu integrieren.
Erweiterung um Paarwechselwirkungen und kontinuierliche Modelle.
Erweiterungen des Pocket-Algorithmus
Erweiterung um Paarwechselwirkungen (generalized GeometricCluster Algorithm)
Vielteilchen-Terme konnen (sofern deren energetische Storung kleinist) als Storung mitgenommen werden.
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Erweiterung auf andere Modelle
Erweiterung auf andere Modelle
Erweiterungen des vorgestellten Wolff-Algorithmus
Erweiterung von Ising-Modell auf andere Spinmodelle (Wolff:O(n)-Modell).
Versuche externe Felder und andere Wechselwirkungen zu integrieren.
Erweiterung um Paarwechselwirkungen und kontinuierliche Modelle.
Erweiterungen des Pocket-Algorithmus
Erweiterung um Paarwechselwirkungen (generalized GeometricCluster Algorithm)
Vielteilchen-Terme konnen (sofern deren energetische Storung kleinist) als Storung mitgenommen werden.
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Erweiterung auf harte Scheiben und andere Systeme Erweiterung auf andere Modelle
Erweiterung auf andere Modelle
Beispiele fur andere Modelle (Referenzen):
”GCA for fluid simulation“ (mit Yukawa-artigem bzw. Gauß-artigem
Potential) [PRE 71, 066701-1, 2005] bzw. [PRL 92, 035504-3, 2004].
”Cluster-MC simulations of the nematic-isotropic transition“ [PRE
63, 062702-1, 2001].
”Free energy and phase equilibria for the restricted primitive model of
ionic fluids from MC simulations“ [JCP 101, 1452, 2005].
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Erweiterung auf andere Modelle
Beispiele fur andere Modelle (Referenzen):
”GCA for fluid simulation“ (mit Yukawa-artigem bzw. Gauß-artigem
Potential) [PRE 71, 066701-1, 2005] bzw. [PRL 92, 035504-3, 2004].
”Cluster-MC simulations of the nematic-isotropic transition“ [PRE
63, 062702-1, 2001].
”Free energy and phase equilibria for the restricted primitive model of
ionic fluids from MC simulations“ [JCP 101, 1452, 2005].
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Erweiterung auf andere Modelle
Beispiele fur andere Modelle (Referenzen):
”GCA for fluid simulation“ (mit Yukawa-artigem bzw. Gauß-artigem
Potential) [PRE 71, 066701-1, 2005] bzw. [PRL 92, 035504-3, 2004].
”Cluster-MC simulations of the nematic-isotropic transition“ [PRE
63, 062702-1, 2001].
”Free energy and phase equilibria for the restricted primitive model of
ionic fluids from MC simulations“ [JCP 101, 1452, 2005].
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Grenzen von Clusteralgorithmen
Grenzen von Clusteralgorithmen
Clusteralgorithmen sind haufig schneller als lokale Algorithmen imBereich von kritischen Punkten (d.h. nahe der Perkolationsgrenzebzw. den Phasenubergangen).
Entfernt von kritischen Punkten kann die Konvergenz (insGleichgewicht) sehr schlecht werden.
Problem: Algorithmus kann ganze Box in Cluster verwandeln.
Konkretes Beispiel eines Versagens: Onsagerproblem furFlussigkristalle (die ganze Testbox wird zu einem Cluster).
Konkreter Algorithmus kann fur bestimmte (Anfangs-) Bedingungenversagen (Beispiel: Harte Kugeln mit Paarwechselwirkung bei sehrgroßer Dichte).
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Grenzen von Clusteralgorithmen
Grenzen von Clusteralgorithmen
Clusteralgorithmen sind haufig schneller als lokale Algorithmen imBereich von kritischen Punkten (d.h. nahe der Perkolationsgrenzebzw. den Phasenubergangen).
Entfernt von kritischen Punkten kann die Konvergenz (insGleichgewicht) sehr schlecht werden.
Problem: Algorithmus kann ganze Box in Cluster verwandeln.
Konkretes Beispiel eines Versagens: Onsagerproblem furFlussigkristalle (die ganze Testbox wird zu einem Cluster).
Konkreter Algorithmus kann fur bestimmte (Anfangs-) Bedingungenversagen (Beispiel: Harte Kugeln mit Paarwechselwirkung bei sehrgroßer Dichte).
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Grenzen von Clusteralgorithmen
Grenzen von Clusteralgorithmen
Clusteralgorithmen sind haufig schneller als lokale Algorithmen imBereich von kritischen Punkten (d.h. nahe der Perkolationsgrenzebzw. den Phasenubergangen).
Entfernt von kritischen Punkten kann die Konvergenz (insGleichgewicht) sehr schlecht werden.
Problem: Algorithmus kann ganze Box in Cluster verwandeln.
Konkretes Beispiel eines Versagens: Onsagerproblem furFlussigkristalle (die ganze Testbox wird zu einem Cluster).
Konkreter Algorithmus kann fur bestimmte (Anfangs-) Bedingungenversagen (Beispiel: Harte Kugeln mit Paarwechselwirkung bei sehrgroßer Dichte).
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Grenzen von Clusteralgorithmen
Grenzen von Clusteralgorithmen
Clusteralgorithmen sind haufig schneller als lokale Algorithmen imBereich von kritischen Punkten (d.h. nahe der Perkolationsgrenzebzw. den Phasenubergangen).
Entfernt von kritischen Punkten kann die Konvergenz (insGleichgewicht) sehr schlecht werden.
Problem: Algorithmus kann ganze Box in Cluster verwandeln.
Konkretes Beispiel eines Versagens: Onsagerproblem furFlussigkristalle (die ganze Testbox wird zu einem Cluster).
Konkreter Algorithmus kann fur bestimmte (Anfangs-) Bedingungenversagen (Beispiel: Harte Kugeln mit Paarwechselwirkung bei sehrgroßer Dichte).
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Grenzen von Clusteralgorithmen
Grenzen von Clusteralgorithmen
Clusteralgorithmen sind haufig schneller als lokale Algorithmen imBereich von kritischen Punkten (d.h. nahe der Perkolationsgrenzebzw. den Phasenubergangen).
Entfernt von kritischen Punkten kann die Konvergenz (insGleichgewicht) sehr schlecht werden.
Problem: Algorithmus kann ganze Box in Cluster verwandeln.
Konkretes Beispiel eines Versagens: Onsagerproblem furFlussigkristalle (die ganze Testbox wird zu einem Cluster).
Konkreter Algorithmus kann fur bestimmte (Anfangs-) Bedingungenversagen (Beispiel: Harte Kugeln mit Paarwechselwirkung bei sehrgroßer Dichte).
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Fazit
Fazit
Clusteralgorithmen sind haufig schneller im Bereich vonPhasenubergangen.
Clusteralgorithmen sind haufig gut parallelisierbar (skalieren gut mitAnzahl der Cores).
Problem wird verlagert: Man sucht Algorithmus, der einen odermehrere fur die Fragestellung moglichst gut geeignete(n) Clustermoglichst schnell aufbaut.
Clusteralgorithmen sind stark spezialisiert auf Modell undFragestellung. Teils nur schlecht verallgemeinerbar oder ubertragbar(Ubertrag von Ising auf kontinuierliches System z.B. teils langsamerals lokaler Algorithmus).
Clusteralgorithmen konnen aufgrund ihrer Spezialisierung auf einebestimmte Art von Systembedingung (z.B. auf die Nahe vonPhasenubergangen) ihre gute Konvergenz gegenuber lokalenMC-Methoden verlieren.
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Fazit
Fazit
Clusteralgorithmen sind haufig schneller im Bereich vonPhasenubergangen.
Clusteralgorithmen sind haufig gut parallelisierbar (skalieren gut mitAnzahl der Cores).
Problem wird verlagert: Man sucht Algorithmus, der einen odermehrere fur die Fragestellung moglichst gut geeignete(n) Clustermoglichst schnell aufbaut.
Clusteralgorithmen sind stark spezialisiert auf Modell undFragestellung. Teils nur schlecht verallgemeinerbar oder ubertragbar(Ubertrag von Ising auf kontinuierliches System z.B. teils langsamerals lokaler Algorithmus).
Clusteralgorithmen konnen aufgrund ihrer Spezialisierung auf einebestimmte Art von Systembedingung (z.B. auf die Nahe vonPhasenubergangen) ihre gute Konvergenz gegenuber lokalenMC-Methoden verlieren.
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Fazit
Fazit
Clusteralgorithmen sind haufig schneller im Bereich vonPhasenubergangen.
Clusteralgorithmen sind haufig gut parallelisierbar (skalieren gut mitAnzahl der Cores).
Problem wird verlagert: Man sucht Algorithmus, der einen odermehrere fur die Fragestellung moglichst gut geeignete(n) Clustermoglichst schnell aufbaut.
Clusteralgorithmen sind stark spezialisiert auf Modell undFragestellung. Teils nur schlecht verallgemeinerbar oder ubertragbar(Ubertrag von Ising auf kontinuierliches System z.B. teils langsamerals lokaler Algorithmus).
Clusteralgorithmen konnen aufgrund ihrer Spezialisierung auf einebestimmte Art von Systembedingung (z.B. auf die Nahe vonPhasenubergangen) ihre gute Konvergenz gegenuber lokalenMC-Methoden verlieren.
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Fazit
Fazit
Clusteralgorithmen sind haufig schneller im Bereich vonPhasenubergangen.
Clusteralgorithmen sind haufig gut parallelisierbar (skalieren gut mitAnzahl der Cores).
Problem wird verlagert: Man sucht Algorithmus, der einen odermehrere fur die Fragestellung moglichst gut geeignete(n) Clustermoglichst schnell aufbaut.
Clusteralgorithmen sind stark spezialisiert auf Modell undFragestellung. Teils nur schlecht verallgemeinerbar oder ubertragbar(Ubertrag von Ising auf kontinuierliches System z.B. teils langsamerals lokaler Algorithmus).
Clusteralgorithmen konnen aufgrund ihrer Spezialisierung auf einebestimmte Art von Systembedingung (z.B. auf die Nahe vonPhasenubergangen) ihre gute Konvergenz gegenuber lokalenMC-Methoden verlieren.
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Fazit
Fazit
Clusteralgorithmen sind haufig schneller im Bereich vonPhasenubergangen.
Clusteralgorithmen sind haufig gut parallelisierbar (skalieren gut mitAnzahl der Cores).
Problem wird verlagert: Man sucht Algorithmus, der einen odermehrere fur die Fragestellung moglichst gut geeignete(n) Clustermoglichst schnell aufbaut.
Clusteralgorithmen sind stark spezialisiert auf Modell undFragestellung. Teils nur schlecht verallgemeinerbar oder ubertragbar(Ubertrag von Ising auf kontinuierliches System z.B. teils langsamerals lokaler Algorithmus).
Clusteralgorithmen konnen aufgrund ihrer Spezialisierung auf einebestimmte Art von Systembedingung (z.B. auf die Nahe vonPhasenubergangen) ihre gute Konvergenz gegenuber lokalenMC-Methoden verlieren.
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