Download - Contoh Soal Matematika Terapan
TUGAS I MATEMATIKA
C5
OLEH:
POLITEKNIK NEGERI SRIWIJAYA
JURUSAN TEKNIK SIPIL
TAHUN AJARAN 2014/2015
NAMA : RELEIN JANUARSIE
KELAS : 1-PJJ A
NIM : 061440110683
JURUSAN : TEKNIK SIPIL
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan nikmat serta hidayah-Nya terutama
nikmat kesempatan dan kesehatan sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas
matematika. Shalawat beserta salam kita sampaikan kepada Nabi besar kita, Nabi Muhammad
SAW yang telah membawa kita dari zaman kegelapan menuju ke zaman yang terang benderang
seperti saat ini.
Tugas ini merupakan soal-soal mengenai persamaan linear, fungsi kuadrat / parabol serta
bangun ruang yang dirangkum untuk dijadikan pedoman hidup di masa yang akan datang.
Selanjutnya penulis mengucapkan terima kasih yang kepada Bapak Hidayat Fuady, S.T. M.T
selaku dosen pembimbing pada Mata Kuliah Matematika Terapan dan kepada segenap pihak
yang telah memberikan bimbingan serta arahan selama penyelesaian soal-soal ini.
Akhirnya penulis menyadari bahwa banyak terdapat kekurangan-kekurangan dalam
penulisan makalah ini, maka dari itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang konstruktif dari
para pembaca demi kesempurnaan makalah ini.
Palembang, 26 Oktober 2014
Penulis
Soal : 1 7 m
7 m
22 m
15 m
30 m 3,6 m
3 m 3 m
0,5
Hitung jumlah genteng yang diperlukan jika ukurannya (20x30) cm.
β
Pembahasan:
7 m
7 m
22 m
15 m
30 m
A B
D
C
F E
β’ tan Ξ± = π·πΉ
π·πΈ
Ξ± = 3,6
3
Ξ± = tan-1 (3,6
3)
Ξ± = 50,19β°
β’ β πΉπΈπ· = β πΉπ΄πΊ Tan β πΉπΈπ· = tan β πΉπ΄πΊ
tan (3,6
3) = tan (
3,6 + π·πΊ
3,5)
1,2 = 3,6 + π·πΊ
3,5
4,2 = 3,6 + DG DG = 0,6 m
β’ GF = DF + DG = 3,6 + 0,6 GF = 4,2 m
β’ AF = βπ΄πΊ2 + πΊπΉ2
= β3,52 + 4,22
= β29.89 AF = 5,467 m
β’ Luas A = 1
2 x (15 + (15 β 3,5)) x 5,467
= 72,438 m2
β’ Luas B = 1
2 x ((15 β 3,5) + (15 β 3,5 β 3,5)) x 5,467
= 53,303 m2
β’ Luas C = 1
2 x ((30 β 3,5 β 3,5) + (30 β 7 β 7)) x 5,467
= 106, 6065 m2
β’ Luas D = 1
2 x (30 + (30 β 3,5 β 3,5)) x 5,467
= 144,8755 m2
β’ Luas E = 1
2 x ((22 β 3,5) + (22 β 3,5 β 3,5)) x 5,467
= 91,572 m2
β’ Luas F = 1
2 x (22 + (22 β 3,5)) x 5,467
= 110,707 m2
Luas Total = Luas A + Luas B + Luas C + Luas D + Luas E + Luas F = 72,438 + 53,303 + 106, 6065 + 144,8755 + 91,572 + 110,707
= 579,502 m2
E
F
C D
A B G
0,5 m 0,5 m
3m
3,6m
3m Ξ± Ξ± Ξ±
Ξ±
Kita menggunakan genteng tanah liat sehingga genteng yang semula berukuran (20 x 30)cm, akibat adanya penumpukan dalam penyusunan genteng maka ukuran yang tidak terkena tumpukan adalah (10 x 20)cm = 200 cm2 = 0,02 m2.
β΄ Jumlah genteng yang dibutuhkan = πΏπ’ππ πππ‘ππ
πΏπ’ππ πΊπππ‘πππ
= 579,502
0,02
=28975,1 β 28976 buah
Soal : 2
Jika : A(25 ; 85) , B(135 ; 45) , C(115 ; -45) , D(45 ; -74) , E(-110 ; -40) dan F(-70 ; 35). Tentukan besarnya sudut dalam A, B, C, D, E, F. serta luas daerah ABCDEFA.
β
Pembahasan:
25, 85
135, 45
115, -45
45, -74
-110, -40
-70, 35
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
-150 -100 -50 0 50 100 150
A
B
C
D
E
F
tan β 1 = 95
50
β 1 = tanβ1 (95
50)
β 1 = 62,24β°
tan β 2 = 110
40
β 2 = tanβ1 (110
40)
β 2 = 70,02β°
β’ β π΄ = β 1 + β 2
= 62,24β° + 70,02β°
= 132,26β°
tan β 3 = 40
110
β 3 = tanβ1 (40
110)
β 3 = 19,98β°
tan β 4 = 90
20
β 4 = tanβ1 (90
20)
β 4 = 77,47β°
β’ β π΅ = β 3 + β 4
= 19,98β° + 77,47β°
= 97,45β°
tan β 5 = 20
90
β 5 = tanβ1 (20
90)
β 5 = 12,53β°
tan β 6 = 29
70
β 6 = tanβ1 (29
70)
β 6 = 22,50β°
1
2
3 4
5
6
7 8 9
β’ β πΆ = β 5 + β 6 + β 90β°
= 12,53β° + 22,50β° + β 90β°
= 125,03β°
tan β 7 = 70
29
β 7 = tanβ1 (70
29)
β 7 = 67,50β°
tan β 8 = 155
34
β 8 = tanβ1 (155
34)
β 8 = 77,63β°
β’ β π· = β 7 + β 8
= 67,50β° + 77,63β°
= 145,13β°
tan β 9 = 34
155
β 9 = tanβ1 (34
155)
β 9 = 12,37β°
tan β 10 = 75
40
β 10 = tanβ1 (75
40)
β 10 = 61,93β°
β’ β πΈ = β 9 + β 10
= 12,37β° + 61,93β°
= 74,30β°
tan β 11 = 40
75
β 11 = tanβ1 (40
75)
β 11 = 28,37β°
tan β 12 = 50
95
β 12 = tanβ1 (50
95)
β 12 = 27,76β°
β’ β πΉ = β 11 + β 12
= 28,37β° + 27,76β°
= 145,83β°
β’ Luas 1 = 1
2 a.t
= 1
2 . 110 . 40
= 2200 m2
β’ Luas 2 = 1
2 a.t
= 1
2 . 90 . 20
= 900 m2
β’ Luas 3 = 1
2 a.t
= 1
2 . 70 . 29
= 84,5 m2
β’ Luas 4 = 1
2 a.t
= 1
2 . 34 . 155
= 2635 m2
β’ Luas 5 = 1
2 a.t
= 1
2 . 75 . 40
= 1500 m2
β’ Luas 6 = 1
2 a.t
= 1
2 . 50 . 95
= 2375 m2
β’ Luas 7 = p . l
= 70 . 90
= 6300 m2
β’ Luas 8 = p . l
= 20 . 85
= 1700 m2
β’ Luas 9 = p . l
= 50 . 75
= 3750 m2
β΄ Luas Total = 2200 + 900 + 84,5 + 2635 + 1500
+ 2375 + 6300 + 1700 + 3750
= 21444,5 m2
Soal : 3
Saluran drainase berbentuk trapesium dan terbuat dari beton seperti gambar, dengan tebal beton 11 cm.
70m
15 m
90 cm
53ΒΊ 60 m 40 m
70 cm
Penampang saluran
Panjang saluran
Hitung volume beton yang diperlukan.
β
Pembahasan:
Penampang Saluran
TI = 90 cm
T2 = 79 cm X1 = 70 cm
X2
D2
53β°
11 cm B
C B
C
11 cm
53β°
90β°
37β°
β’ T1 = 90 cm
β’ T2 = T1 β 11 cm
= 90 β 11
T2 = 79 cm
β’ cos 37β° = 11
π΅
0,8 = 11
π΅
B = 13,75 cm
β’ C = βπ΅2 β 112
= β13,752 β 112
= β68,0625
= 8,25 cm
β’ X2 = X1 β 2C
= 70 β 2(8,25)
= 70 β 16,5
X2 = 53,5 cm
β’ sin 53β° = π2
π·2
0,8 = 79
π·2
D2 = 98,75 cm
β’ sin 53β° = π1
π·1
0,8 = 90
π·1
D1 = 112,5 cm
β’ Luas 1 = π·1+π·2
2 x 11
= 112,5 + 98,75
2 x 11
= 1161,875 cm2
D2
β’ Luas 2 = π1+π2
2 x 11
= 70+53,5
2 x 11
= 679,25 cm2
β’ Luas Total = 2 x Luas 1 + Luas 2
= 2 (1161,875) + 679,25
= 3003 cm2
Luas Total = 0,3003 m2
β’ Panjang Total = 60 + 70 + 15 + 40
= 185 m
β’Volume Beton = Panjang Total x Luas Total
= 185 m x 0,3003 m2
= 55,5555 m3
β΄ Volume beton yang diperlukan = 55,5555 m3
Soal : 4
Jika : A(62 ; -25) , B(116 ; 75) dan C(28 ; 125) serta D(125 ; -66), tentukan besarnya sudut antara garis AB dengan garis CD.
β
Pembahasan:
62, -25
116, 75
28, 125
125, -66
-100
-50
0
50
100
150
0 20 40 60 80 100 120 140
A
B
C
D
β’ Persamaan garis AB
A(62 ; -25)
B(116 ; 75)
π₯βπ₯1
π₯2βπ₯1 =
π¦βπ¦1
π¦2βπ¦1
π₯β62
116β62 =
π¦ + 25
75 +25
π₯β62
54 =
π¦ + 25
100
54y + 1350 = 100x β 6200
54y = 100x β 7550
y = 100
54x -
7550
54
β’ Persamaan garis CD
C(28 ; 125)
D(125 ; -66)
π₯βπ₯1
π₯2βπ₯1 =
π¦βπ¦1
π¦2βπ¦1
π₯β28
125β28 =
π¦β125
β66β125
π₯β28
97 =
π¦β125
β191
97y β 12125 = -191x + 5348
97y = -191x + 17473
y = β191
97x +
17473
97
β’ tan πΌ = π1βπ2
1+π1.π2
= β191
97β
100
54
1β(191
97)(
100
54)
πΌ = -73,003β°
Ξ±
Soal : 5
Tentukan persamaan parabola serta gambar grafiknya, bila melalui :
A(2 ; 6), B(4 ; -3) dan C(8 ; 0).
β
Pembahasan:
A (2 ; 6) B (4 ; -3) C (8 ; 0) β’ Bentuk umum parabola Y = πΆπ2 + π·π + πΈ A (2 ; 6) β 6 = 4a + 2b + c β― (1)
B (4 ; -3) β -3 = 16a + 4b + c β― (2) C (8 ; 0) β 0 = 64a + 8b + c β― (3)
β’ Pers.1 dan 2 4a + 2b + c = 6 x2 8a + 4b + 2c = 12 16a + 4b + c = -3 x1 16a + 4b + c = -3 -8a + c = 15 β― (4) β’ Pers. 2 dan 3 16a + 4b + c = -3 x2 32a + 8b + 2c = -6 64a + 8b + c = 0 x1 64a + 8b + c = 0 -32a + c = -6 β― (5) β’ Pers. 4 dan 5 -32a + c = -6 -8a + c = 15 -24a = -21 a = 0,875 β’ -8a + c = 15 -8 (0,875) + c = 15 -7 + c = 15 c = 22 β’ 6 = 4a + 2b + c 6 = 4(0,875) + 2b + 22 6 = 3,5 + 2b + 22 6 = 25,5 + 2b 2b = - 19,5 b = -9,75
-50
0
50
100
150
200
250
-15 -10 -5 0 5 10 15
β΄ Persamaan parabola:
y = πΆπ2 + π·π + πΈ
y = 0,875π2 - 9,75π + 22
Soal : 6
Parabola melalui titik (-6 ; 0) dan (8 ; 0) serta titik puncak (1 ; -8) dan menyinggung suatu garis lurus di titik (8 ; 0). Tentukan :
a. Persamaan parabolanya b. Persamaan garis lurusnya c. Gambar grafiknya.
β
Pembahasan:
β’ A(-6,0)
y = πΆπ2 + π·π + πΈ
0 = πΆ(-6)2 + π·(-6) + πΈ
0 = -36πΆ - 6π· + c β― (1)
β’ B(8,0)
y = πΆπ2 + π·π + πΈ
0 = πΆ(8)2 + π·(8) + πΈ
0 = 64πΆ + 8π· + c β― (2)
0 = 64πΆ + 8π· + c
0 = -36πΆ - 6π· + c
0 = 100a + 14b β― (3)
P (βπ
2π ;
π·
β4π)
P (1 ; -8)
β’ βπ
2π = 1
b = -2a
0 = 100a + 14b
0 = 100a + 14(-2a)
0 = 100a β 28a
0 = 72a
a = 0
β΄ Karena salah satu komponennya adalah nol (a = 0), dapat disimpulkan bahwa
persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan.
Soal : 9
Jaringan pipa air bersih mempunyai persamaan simultan sebagai berikut :
3Qa + 4Qb - 6Qc = -10
Qa + 3Qb + 4Qc = 15
2Qa - 6Qb + 3Qc = - 8
Hitung besarnya Qa, Qb, Qc dengan cara determinan.
β
Pembahasan:
3Qa + 4Qb - 6Qc + 10 = 0
Qa + 3Qb + 4Qc β 15 = 0
2Qa - 6Qb + 3Qc + 8 = 0
β’ β0 = 3 4 β61 3 42 β6 3
= 3(9 β (β24)) - 4(3 β 8) + (-6)(-6-6)
= 99 + 20 + 72
β0 = 191
β’ βa = 4 β6 103 4 β15
β6 3 8
= 4(32 + 45) + 6(24 - 90) + 10(9 + 24)
= 4(77) + 6(-66) + 10(33)
= 308 β 396 + 330
= 242
β’ βb = 3 β6 101 4 β152 3 8
= 3(32 + 45) + 6(8+30) + 10(3-8)
= 3(77) + 6(38) + 10(-5)
= 231 + 228 β 50
= 409
β’ βc = 3 4 101 3 β152 β6 8
= 3(24 - 90) β 4(8 + 30) + 10(-6 -6)
= 3(-66) β 4(38) + 10(-12)
= -198 β 152 β 120
= - 470
β’ ππ
βπ =
β1
β0
ππ
242 =
β1
191
191Qa = -242
Qa = -1,267
β’ βππ
βπ =
β1
β0
βππ
409 =
β1
191
-191Qb = -409
Qb = 2,141
β’ ππ
βπ =
β1
β0
ππ
β470 =
β1
191
191Qa = 470
Qa = 2,461
Soal : 10
Jika : A(-65 ; -30) , B(80 ; 100) , C(175 ; -40) , D(220 ; 55) , E(425 ; 65) , F(515 ; -60).
a. Gambarkan panjang A sampai dengan F dengan proporsional
b. Hitung panjang total dari A sampai F
c. Hitung besar sudut ABC; BCD; CDE; DEF.
d. Hitung besarnya selisih antara luas penampang galian dan timbunan, bila elevasi
rencana adalah pada posisi 50 meter diatas titik nol.
β
Pembahasan:
a.
-65, -30
80, 100
175, -40
220, 55 425, 65
515, -60
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
-100 0 100 200 300 400 500 600
A
B
C
D
E
F
b.
AB = β1302 + 1452
= β16900 + 21015
= β37925
= 194,74 m
BC = β952 + 1402
= β9025 + 19600
= β28625
= 169,19 m
CD = β452 + 152
= β2025 + 225
= β2250
= 47,43 m
DE = β2052 + 102
= β42025 + 100
= β42125
= 205,244 m
EF = β1252 + 902
= β15625 + 8100
= β23725
= 154,03m
β’Panjang Total = 194,74 + 169,19 + 47,43 + 205,244
+ 154,03
= 770,634 m
1 2
3 4
5
6 7
8
L.T 1 L.T 2 L.T 3
L.G 1 L.G 2
L.G 3
c.
tan β 1 = 145
130
β 1 = tanβ1 (145
130)
β 1 = 78,31β°
tan β 2 = 95
140
β 2 = tanβ1 (95
140)
β 2 = 34,16β°
β’ β π΄π΅πΆ = β 1 + β 2
= 78,31β° + 34,16β°
= 112,47β°
tan β 3 = 95
140
β 3 = tanβ1 (95
140)
β 3 = 34,16β°
tan β 4 = 45
95
β 4 = tanβ1 (45
95)
β 4 = 25,35β°
β’ β π΅πΆπ· = β 3 + β 4
= 34,16β° + 25,35β°
= 59,51β°
tan β 5 = 45
95
β 5 = tanβ1 (45
95)
β 5 = 25,35β°
tan β 6 = 10
205
β 6 = tanβ1 (10
205)
β 6 = 2,79β°
β’ β πΆπ·πΈ = β 5 + β 6 + β 90β°
= 25,35β° + 2,79β° + 90β°
= 118,14β°
tan β 7 = 205
10
β 7 = tanβ1 (205
10)
β 7 = 87,21β°
tan β 8 = 90
125
β 8 = tanβ1 (90
125)
β 8 = 35,75β°
β’ β π·πΈπΉ = β 7 + β 8
= 87,21β° + 35,75β°
= 122,96β°
d.
ya = 80 m
yb = 30 m
xa = π¦π
π¦π+π¦π . x
=80
80+30 . 145
= 105,45 m
Xb1 = x β xa
= 145 - 105,45 = 39,55 m
β’ Luas Timbunan 1:
= 1
2 .a. t =
1
2 . 105,45 . 80 = 4218 m2
β’ Luas Timbunan 2:
= 1
2 .a. t
= 1
2 . 105 . 90
= 4725 m2
yb = 30 m
yc = 90 m
xb2 = π¦π
π¦π+π¦π . x
=30
30+90 . 140
= 35 m
xc = x β xb2
= 140 - 35 = 105 m
β’ Luas Timbunan 3:
= 1
2 .a. t
= 1
2 . 79,2 . 110
= 4356 m2
β’ Luas total timbunan = 4218 + 4725 + 4356
= 13299 m2
β’ Luas Galian 1:
= 1
2 . (xb1 + xb2) . yb
= 1
2 . (39,55 + 35) . 30
= 1118,25 m2
β’ Luas Galian 2:
= (5+15
2).205
= 2050 m2
ye = 15 m
yf = 110 m
xe = π¦π
π¦π+π¦π . x
=15
15+110 . 90
= 10,8 m
xf = x β xe
= 90 β 10,8 = 79,2 m
β’ Luas Galian 3:
= 1
2 . xe . ye
= 1
2 . 10,8 . 15
= 81 m2
β’ Luas Total Galian = 1118,25 + 2050 + 81
= 3249,25 m2
β΄ Selisih Timbunan dan Galian:
= L.Total Timbunan β L.Total Galian
= 13299 β 3249,25
= 10049,75 m2
Soal : 11
Atap kubah sebuah masjid berdiameter dalam sebesar 12 m dan terbuat dari bahan beton. Jika tebal beton 10 cm, hitung volume beton yang diperlukan, dan berapa luas permukaan kubah bagian luarnya ?
β
Pembahasan:
β’ Volume beton yang diperlukan (1
2 ππππ)
= Volume 1
2 bola besar β Volume
1
2 bola kecil
= 1
2 (
4
3 ππ 3 β
4
3 ππ 3)
= 1
2 (
4
3 π(6,1)3 β
4
3 π(6)3)
= 1
2 (950,294 β 904,32)
= 1
2 (45,974)
= 22,987 m3
β’ Luar kubah bagian luar
= 1
2 (4ππ 2)
= 1
2 (4π6,12)
= 233, 679 m2
10 cm 10 cm
12 m
Soal : 13
Selesaikan persamaan simultan ini :
7x β 2y β 2z = -8 x β y + z = 11 3x β 2y + z = 5
β
Pembahasan:
7x β 2y β 2z + 8 = 0 x β y + z - 11= 0 3x β 2y + z - 5 = 0
β’ β0 = 7 β2 β21 β1 13 β2 1
= 7(β1 + 2) + 2(1 β 3) β 2(-2 + 3)
= 7(1) + 2(-2) β 2(1)
= 7 β 4 - 2
β0 = 1
β’ β1 = β2 β2 8β1 1 β11β2 1 β5
= -2(-5 + 11) + 2(5 β 22) + 8(-1 + 2)
= -2(6) + 2(-17) + 8(1)
= -12 β 34 + 8
β1 = -38
β’ β2 = 7 β2 81 1 β113 1 β5
= 7(-5 + 11) + 2(-5 + 33) + 8(1-3)
= 7(6) + 2(28) + 8(-2)
= 42 + 56 -16
= 82
β’ β3 = 7 β2 81 β1 β113 β2 β5
= 7(5-22) +2(-5 + 33) + 8(-2+3)
= 7(-17) + 2(28) + 8(1)
= -119 + 56 + 8
β3 = -55
β’ π₯
β1 =
β1
β0
π₯
β38 =
β1
1
x = 38
β’ βπ¦
β2 =
β1
β0
βπ¦
82 =
β1
1
y = 82
β’ π§
β3 =
β1
β0
π§
β55 =
β1
1
z = 55
Soal : 14
Selesaikan persamaan simultan ini :
x β 3y + 2z + 8 = 0
3x + 5y β 6 z + 2 = 0
5x + 3y + z β 6 = 0
β
Pembahasan:
β’ β0 = 1 β3 23 5 β65 3 1
= 1(5 + 18) + 3(3 + 30) + 2(9 β 25)
= 1(23) + 3(33) + 2(-16)
= 23 + 99 - 32
β0 = 90
β’ β1 = β3 2 85 β6 23 1 β6
= -3(36 β 2) β 2(-30 β 6) + 8(5 + 18)
= -3(34) β 2(-36) + 8(23)
= -102 + 72 + 184
β1 = 154
β’ β2 = 1 2 83 β6 25 1 β6
= 1(36 β 2) β 2(-18 β 10) + 8(3 + 30)
= 1(34) β 2(-28) + 8(33)
= 34 + 56 + 264
= 354
β’ β3 = 1 β3 83 5 25 3 β6
= 1(-30 β 6) + 3(-18 β 10) + 8(9 β 25)
= 1(-36) + 3(-28) + 8(-16)
= -36 β 84 - 128
β3 = -248
β’ π₯
β1 =
β1
β0
π₯
154 =
β1
90
x = -1,711
β’ βπ¦
β2 =
β1
β0
βπ¦
354 =
β1
90
y = 3,93
β’ π§
β3 =
β1
β0
π§
β248 =
β1
90
z = 2,756
Soal : 15
Selesaikan persamaan simultan ini :
2x β 4y + z = 3 x β 5y + 2z = β5 3x β 5y + 3z = β8
β
Pembahasan:
2x β 4y + z β 3 = 0
x β 5y + 2z + 5 = 0
3x β 5y + 3z + 8 = 0
β’ β0 = 2 β4 11 β5 23 β5 3
= 2(-15 + 10) + 4(3 β 6) + 1(-5 + 15)
= 2(-5) + 4(-3) + 1(10)
= -10 β 12 +10
β0 = -12
β’ β1 = β4 1 β3β5 2 5β5 3 8
= -4(16 β 15) β 1(-40 + 25) β 3(-15 + 10)
= -4(1) β 1(-15) β 3(-5)
= -4 + 15 + 15
β1 = 26
β’ β2 = 2 1 β31 2 53 3 8
= 2(16 β 15) β 1(8-15) β 3(3 β 6)
= 2(1) β 1(-7) β 3(-3)
= 2 + 7 + 9
= 18
β’ β3 = 2 β4 β31 β5 53 β5 8
= 2(-40 + 25) + 4(8 β 15) β 3(-5 + 15)
= 2(-15) + 4(-7) β 3(10)
= -30 β 28 - 30
β3 = -88
β’ π₯
β1 =
β1
β0
π₯
46 =
β1
β12
x = 2,17
β’ βπ¦
β2 =
β1
β0
βπ¦
18 =
β1
β12
y = -1,5
β’ π§
β3 =
β1
β0
π§
β88 =
β1
β12
z = -7,33