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-PER
ETTI-
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Décomposer une image sur une base d'ondelettesImages et Filtres: APP3
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Introduction• Technique inventée par Alfred Haar
en 1909.
• Compression sans pertes (quantification/seuillage perte irréversible)
• Consiste à décomposer une image en plusieurs images de résolution inférieure.
• Espaces d'approximations de plus en plus grossiers : .
• Espaces "capturant" les détails perdus entre chaque niveau d'approximation : .
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Axes d’étude
I. Ondelettes de Haar
II. Transformée de Haar 1D
III. Transformée de Haar 2D
IV. Compression d’image
V. Détection de contours
VI. Débruitage d’une image
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N-U
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𝜑0,0
𝜑1,0
𝜑0 , 𝑖
𝜑1 ,𝑖
𝜓 0,0
𝜓 1,0
𝜓 0 ,𝑖
𝜓 1 ,𝑖
𝜑𝑛 ,𝑖 (𝑥 )=¿ 𝜓𝑛 ,𝑖 (𝑥 )=¿
I. Ondelettes de Haar
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II
III
IV
V
VI
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ETTI-
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II. Transformée de Haar 1D (méthode 1)
Signal numérique unidimensionnel de taille n=8= :
ETAPE 1: On forme les paires : On calcule les moyennes : On calcule les détails : On forme le vecteur
ETAPE 2: On forme les paires : On calcule les moyennes : On calcule les détails : On forme le vecteur
ETAPE 3: On forme les paires : On calcule les moyennes : On calcule les détails : On forme le vecteur
TH d’ordre 1
TH d’ordre 2
TH d’ordre 3
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III
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V
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ETTI-
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II. Transformée de Haar 1D (méthode 2)
ETAPE 1: avec
ETAPE 2: avec
ETAPE 3: avec
Donc on a directement:
Avec
TH d’ordre 2
TH d’ordre 1
TH d’ordre 3
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III
IV
V
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Image numérique:
• Méthode 1: on réitère la transformée de Haar sur chacune des lignes et colonnes de et on obtient
• Méthode 2: on trouve directement .
Avec cette méthode on a directement la transformée de Haar inverse:
Signal unidimensionnel
III. Transformée de Haar 2D
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II
III
IV
V
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Moyenne Moyenne de détails
Détails de moyenne Détails
Organisation suite à la TH d’ordre 1
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Moyenne(moyenne)
Moyenne de détails
(moyenne)
Moyenne(moyenne de
détails)
Moyenne de détails
(moyenne de détails)
Détails de moyenne
(moyenne)
Détails(moyenne)
Détails de moyenne
(moyenne de détails)
Détails(moyenne de
détails)
Moyenne(détails de moyenne)
Moyenne de détails
(détails de moyenne)
Moyenne(détails)
Moyenne de détails
(détails)
Détails de moyenne(détails de moyenne)
Détails(détails de moyenne)
Détails de moyenne(détails)
Détails(détails)
Organisation suite à la TH d’ordre 2
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IV. Compression d’image
Exemple de transformée de Haar à l’ordre 2 d’une image.
Les coefficients d’approximation (moyenne) sont filtrés avec un filtrage passe-bas.
Les coefficients de détail sont filtrés avec un filtrage passe-haut.
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IV. Compression d’image
1. Transformée de Haar
2. Suppression des hautes fréquences (pertes irréversibles)
3. Transformée de Haar inverse
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IV. Compression d’image
Image d’origine Image compressée
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V. Détection de contours
Les informations sur le contour sont contenues dans la moyenne du détail et dans le détail de la moyenne.
On ajoute alors ces deux matrices pour former la matrice contours.
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V. Détection des contours
On retrouve l’image contenant les informations des contours
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VI. Débruitage d’une image
• On bruite notre image en simulant un bruit blanc gaussien de moyenne nulle.
• On crée une fonction de seuillage dont le paramètre détermine le minimum de la matrice.
• C’est-à-dire que toutes les valeurs seront nulles.
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VI. Débruitage d’une image
Image bruitée Image débruitée
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Conclusion
• En comparaison avec la DCT, la compression par ondelettes de Haar offre une plus grande finesse au niveau de l’analyse du signal et permet de mieux s’adapter aux propriétés locales de l’image.