7/21/2011
1
DISTRIBUSI TEORITIS
DISTRIBUSI TEORITIS
• Variabel Acak
• Distribusi Teoritis
• Binomial
• Normal
7/21/2011
2
Variabel acak adalah sebuah besaran yang merupakan hasil dari
percobaan acak yang secara untung-untungan, dapat mempuyai
nilai yang berbeda-beda.
Variabel Random adalah variabel yang nilai-nilainya ditentukan
oleh kesempatan atau variabel yang dapat bernilai numerik yang
didefinisikan dalam suatu ruang sampel.
Definisi : Misalkan E suatu experimen acak dan S ruang
sampelnya. Suatu fungsi X (ditulis dengan huruf besar) yang
memberikan pada setiap elemen s dari S suatu bilangan riil,
disebut suatu variabel acak.
Conntoh 1 :
Misalkan sebuah koin dengan dua sisi yaitu sisi gambar (G) dan
sisi angka (A) dilemparkan sebanyak tiga kali berturut-turut.
Hasil-hasil yang mungkin terjadi adalah :
GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA
Misalkan X adalah jumlah sisi gambar yang muncul.
Nilai X yang mungkin terjadi adalah : 0, 1, 2, 3
X = 0, berarti tidak ada sisi G yang muncul.
X = 1, berarti sisi G muncul satu kali.
X = 2, berarti sisi G muncul dua kali.
X = 3, berarti sisi G muncul tiga kali.
X disebut variabel acak (random)
7/21/2011
3
Distribusi Probabilitas Teoritis
Dari contoh 1 diatas, bisa dibuat tabel distribusi probabilitas
Teoritis dan diagram batang untuk variabel acak X sebagai berikut :
X P(X)
0 1/8 = 0,125
1 3/8 = 0,375
2 3/8 = 0,375
3 1/8 = 0,125
Jumlah 1,000
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
X=0 X=1 X=2 X=3
P(X)
Conntoh 2 :
Misalkan sebuah koin dengan dua sisi yaitu sisi gambar (G) dan
sisi angka (A) dilemparkan sebanyak 4 kali berturut-turut. Hasil-
hasil yang mungkin terjadi adalah :
Misalkan X adalah jumlah sisi gambar (G) yang muncul.
Nilai X yang mungkin terjadi adalah : 0, 1, 2, 3, 4
X=0 X=1 X=2 X=3 X=4
AAAA GAAA GGAA GGGA GGGG
AGAA AGGA GGAG
AAGA AAGG GAGG
AAAG GAGA AGGG
GAAG
AGAG
1 4 6 4 1
7/21/2011
4
Dari contoh 2 diatas, bisa dibuat tabel distribusi probabilitas
Teoritis dan diagram batang untuk variabel acak X sebagai berikut :
X P(X)
0 1/16 = 0,0625
1 4/16 = 0,2500
2 6/16 = 0,3750
3 4/16 = 0,2500
4 1/16 = 0,0625
Jumlah 1,00 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
X=0 X=2 X=4
P(X)
Distribusi BinomialDistribusi Binomial atau distribusi Bernoulli (ditemukan oleh James
Bernoulli) adalah suatu distribusi teoritis yang menggunakan
variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang
berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat, kepala-
ekor dll.
Ciri-ciri distribusi Binomial adalah sbb :
1. Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya-tidak, sukses-
gagal.
2. Probabilitas suatu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap
percobaan.
3. Percobaannya bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan
tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya.
4. Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan
binomial harus tertentu.
7/21/2011
5
Rumus Distribusi Binomial
a). Rumus binomial suatu peristiwa
Probabilitas suatu peristiwa dapat dihitung dengan mengalikan
kombinasi susunan dengan probabilitas salah satu susunan.
Berdasarkan hal tersebut, secara umum rumus dari probabilitas
binomial suatu peristiwa dituliskan :
xnxn
x qpCxXP −== ..)(
)!(!
!
xnx
nC n
x−
= dan q = 1 – p
Dimana :
b). Probabilitas binomial kumulatif
Probabilitas binomial kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa
binomial lebih dari satu sukses.
Probabilitas binomial kumulatif dapat dihitung dengan
menggunakan rumus :
xnxn
x
n
x
qpCPBK −
=
∑= ..0
∑=
==n
x
xXP0
)(
)(....)2()1()0( nXPXPXPXP =++=+=+==
7/21/2011
6
Contoh :
Sebuah dadu dilemparkan keatas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari
peristiwa berikut :
a). Mata dadu 5 muncul 1 kali
b). Mata dadu genap muncul 2 kali
c). Mata dadu 2 atau 6 muncul sebanyak 4 kali.
Penyelesaian :
a). Karena dadu memiliki 6 sisi, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, sehingga setiap sisi memiliki
probabilitas 1/6. Jadi, probabilitas untuk mata 1 adalah 1/6, sehigga :
p=1/6; q=5/6; n=4; x=1 (muncul 1 kali )
P(X=1) = C14.p1.q3
= 4(1/6)1(5/6)3
= 0,386
b). Mata dadu genap ada 3, yaitu 2,4, dan 6, sehingga :
p = 3/6 = 1/2; q = 1/2; n = 4; x = 2
P(X=2) = C24.p2.q2
= 6(1/2)2(1/2)2
= 0,375
c). Muncul mata dadu 2 atau 6 sebanyak 4 kali, sehngga :
p = 2/6; q = 2/3; n = 4; x = 4
P(X=4) = C44.p4.q0
= 1(2/6)4(2/3)0
= 0,0123
Contoh 2 :
Sebanyak 5 mahasiswa akan mengikuti ujian sarjana dan diperkirakan probabilitas
kelulusannya adalah 0,7. Hitunglah probabilitas :
a). Paling banyak 2 orang lulus.
b). Yang akan lulus antara 2 sampai 3 orang.
c). Paling sedikit 4 diantaranya lulus.
7/21/2011
7
Penyelesaian :
a). n = 5 ; p = 0,7; q = 0,3; x = 0, 1 dan 2
P(X ≤ 2)= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
= 1(0,7)0(0,3)5 + 5(0,7)1(0,3)4 + 10(0,7)2(0,3)3
= 0,16
b). n = 5 ; p = 0,7; q = 0,3; x = 2 dan 3
P(X=2 & 3)= P(X=2) + P(X=3)
= 10(0,7)2(0,3)3 + 10(0,7)3(0,3)2
= 0,44
c). n = 5 ; p = 0,7; q = 0,3; x = 4 dan 5
P(X ≥ 4)= P(X=4) + P(X=5)
= 5(0,7)4(0,3)1 + 1(0,7)5(0,3)0
= 0,53
Distribusi NormalDistribusi Normal adalah salah satu distribusi teoritis dari variabel
random kontinu. Distribusi Normal sering disebut distribusi Gauss.
Distribusi Normal memiliki bentuk fungsi sebagai berikut :
σ
µ
πσ
2)(
2
1
2
1)(
−−
=x
exf
Keterangan :
X = nilai data µ = rata-rata x
π = 3,14 e = 2,71828
σ = Simpangan baku
7/21/2011
8
Karakteristik Distribusi Normal
Distribusi probabilitas normal dan kurva normal yang
menyertainya memiliki beberapa karakteristik sebagai berikut :
1. Kurva normal berbentuk lonceng
2. Simetris
3. Asimtotis
KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMAL
µ
1. Kurva berbentuk genta (µ= Md= Mo)
2. Kurva berbentuk simetris3. Kurva normal berbentuk asimptotis4. Kurva mencapai puncak pada saat X= µ
5. Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri.
DISTRIBUSI NORMAL
7/21/2011
9
JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
m
Mes oku r tic Pla ty ku r tic Lep toku r tic
Distribusi kurva normal dengan µ sama dan σ berbeda
JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL
Distribusi kurva normal dengan µ berbeda dan σ sama
Mangga “C”
Mangga “B”
Mangga “A”
150
300
450
7/21/2011
10
JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL
Distribusi kurva normal dengan µ dan σ berbeda
85 850
Grafik kurva normal :
P(x≤µ) = 0,5
P(x≥µ) = 0,5
Luas kurva normal :
0,50,5
µµµµ
7/21/2011
11
Luas kurva normal antara x=a & x=b
= probabilitas x terletak antara a dan b
a µµµµ b x
Distribusi Probabilitas Normal Baku (Standar)
Distribusi normal baku memiliki rata-rata hitung 0 dan nilai standar
deviasi 1.
Nilai Z adalah jarak dari rata-rata hitung yang dihitung dalam satuan
standar deviasi.
7/21/2011
12
Dalam bentuk rumus :
σ
µ−=X
Z
Dengan :
X adalah nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran
tertentu.
µ Adalah rata-rata hitung dari distribusi.
σ Adalah standar deviasi dari distribusi.
TRANSFORMASI DARI NILAI X KE Z
Transformasi dari X ke Z
x z
Di mana nilai Z:
Z = X - µµµµ
σσσσ
7/21/2011
13
7/21/2011
14
Contoh :
1. Diketahui data berdistribusi normal dengan
mean µ = 55 dan deviasi standar = 15
a) P(55≤x≤75) =
=
= P(0≤Z≤1,33)
= 0,4082 (Tabel III)
Atau
Tabel III � A = 0,4082
b) P(60≤x≤80) =
= P(0,33≤Z≤1,67)
= P(0≤Z≤1,67) – P(0≤Z≤0,33)
= 0,4525 – 0,1293 = 0,3232
Z1 = = 0,33 � B = 0,1293
Z2 = = 1,67 � A = 0,4525
C = A – B = 0,3232
7/21/2011
15
c) P(40≤x≤60)= A + B
=
= P(-1,00≤Z≤0,33)
= P(-1,00≤Z≤0) + P(0≤Z≤0,33)
= 0,3412 + 0,1293
= 0,4705
Atau : Z1 = = -1,00
� A = 0,3412
Z2 = = 0,33
� B = 0,1293
d) P(x ≤ 40) = 0,5 – A
= 0,5 – 0,3412
= 0,1588
7/21/2011
16
e. P(x ≥ 85)
f. P(x ≤ 85) = 0,5 + A
= 0,5 + 0,4772
= 0,9772
2) Diketahui rata-rata hasil ujian adalah 74 dengan simpangan
baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian bersidtribusi normal dan
12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas
nilai A yang terendah ?
Jawab:
7/21/2011
17
Jika 5% peserta terendah mendapat nilai E,
berapa batas atas nilai E ?
P( ≤ x ≤ 0) = 0,45
P( ≤ Z ≤ 0) = = -1,645 � (x<µ)
= .σ + µ
= (-1,645).7 + 74
= 62,485
7/21/2011
18
Distribusi Binomial :
Exp : Pendekatan normal untuk binomial dengan n = 15, p
= 0,4
PENDEKATAN NORMAL UNTUK BINOMIAL
Menurut Teorema Limit Pusat :
Jika x suatu variable random binomial dengan
mean & variansi .
Jika n cukup besar (n>30) dan p tidak terlalu
dekat dengan 0 atau 1, maka :
7/21/2011
19
Contoh :
1) Suatu pabrik/ perusahaan pembuat CD menghasilkan 10%
CD yang cacat/ rusak. Jika 100 CD dipilih secara random,
berapa probabilitas terdapat :
a) 8 CD yang rusak
b) Paling sedikit 12 CD yang rusak
c) Paling banyak 5 CD yang rusak
Jawab :
x = banyak CD yang rusak
x ∼ Bin(100; 0,1) n = 100, p = 0,1
µ = n.p = 100.(0,1) = 10
= n.p.(1-p)=100.(0,1).(0,9)=9 � σ = = 3
a) P(x=8) = Luas kurva normal antara x1 = 7,5
dan x2 = 8,5
Z1 = = -0,83 � A = 0,2967
Z2 = = -0,50 � B = 0,1915
P(x=8) = A – B
= 0,2967 – 0,1915 = 0,1052
7/21/2011
20
b) P(x≥12) = Luas kurva normal dari
x = 11,5 ke kanan
� A = 0,1915
P(x≥12) = 0,5 – 0,1915 = 0,3085
c) P(x ≤ 5)=Luas kurva normal
dari x = 5,5 ke kiri
= -1,50
� A = 0,4332
P(x≤5) = 0,5 – 0,4332 = 0,0668
7/21/2011
21
2) Dalam ujian pilihan ganda, tersedia 200
pertanyaan dengan 4 alternatif jawaban dan
hanya 1 jawaban yang benar. Jika seseorang
memilih jawaban secara random, berapa peluang dia lulus ujian (syarat lulus : benar paling sedikit 60)
Jawab :
x = banyak jawaban yang benar
P = 0,25 = ¼ � 1 – p = 0,75
x ∼ Bin(200; 0,25)
µ = n.p = 50
= n.p(1-p) = 200(0,25).(0,75) = 37,5
� σ = 6,13
P(x≥60) = Luas kurva normal dari x = 59,5 ke kanan
Z1 = = 1,55
� A = 0,4394
P(x≥60) = 0,5 – 0,4394
= 0,0606
= 6,06 %