![Page 1: Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární ... · Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární) a jejich modely (dif. rovnice, přenos,](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060813/609187cae88b3074d56f04bd/html5/thumbnails/1.jpg)
Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární) a jejich modely (dif.
rovnice, přenos, stavový popis). Tvorba a převody modelů. Linearizace a disktretizace.
Simulace. Analogie mezi systémy různé fyzikální podstaty. Identifikace a verifikace.
Laplaceova a z- transformace: základní vlastnosti, výpočet obrazu a vzoru.
Dynamické systémy
Množiny popisující dynamický systém :
a) časových okamžiků T,
b) stavů systému X,
c) okamžitých hodnot vstupních veličin U,
d) přípustných vstupních funkcí (signálů) U = {u(t) : T -> U},
e) okamžitých hodnot výstupních veličin Y ,
f) přípustných výstupních funkcí (signálů) Y = {y(t) : T -> Y }.
Vlastnosti dyn. sys :
a) ryzost (striktně ryzí) : je-li výstupní zobrazení nezávislé explicitně na řízení, pak
y(t) = g( x(t) , t )
kde : g(t) je výstupní fce
x(t) je hodnota vnitřních stavů
b) Systém S je spojitý, je-li množina T množinou reálných čísel. Systém S je diskrétní, je-li
množina T množinou celých čísel. ( Spojitý systém odpovídá intuitivní představě
dynamického systému. Diskrétní systém je tedy systém s diskrétním časem, může
vzniknout tak, že všechny veličiny spojitého systému měříme v diskrétních časových
okamžicích.)
c) Systém S je stacionární :
1. množina času T je aditivní grupa (množina, na které je definováno sčítání prvků),
2. množina přípustných vstupních funkcí U je uzavřena vůči operátoru posunutí v čase zv :
u -> u¯, který je určen vztahem u t =u tv =zv u t , pro všechna v, t ∈T
3. platí : φ t , τ , x , u =φ tv , τv , x , zvu
(Stacionárnímu systému se vlastnosti nemění v čase. Stacionarita systému je důležitá
vlastnost systému, nebot’ všechny vlastnosti stacionárního systému jsou časově invariantní =
![Page 2: Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární ... · Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární) a jejich modely (dif. rovnice, přenos,](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060813/609187cae88b3074d56f04bd/html5/thumbnails/2.jpg)
t-invariantní nebo časově invariantní.)
d) Systém S se je lineární :
1. množiny X, U, U, Y, Y jsou vektorové prostory
2. zobrazení φ(t, τ , ., .) : X × U -> X, je lineární pro všechna t, τ
3. zobrazení g(., ., t) : X × U -> Y je lineární pro všechna t.
U lineárního systému je přechodová funkce stavu φ lineární vzhledem k počátečímu
stavu a řízení s výstupní funkce g je také lineární vzhledem k okamžité hodnotě stavu
a řízení.
Popis :
1. Stavové rovnice ve spojitém čase
Stavová rovnice nelineárního spojitého systému
x t = f x , u ,t y t =g x , u , t
Stavová rovnice lineárního spojitého systému
x t =At ∗x t Bt ∗u t y t =C t ∗x t Dt ∗u t
A(t) je matice systému rozměru (n x n),
B(t) je matice řízení rozměru (n x r),
C(t) a D(t) jsou výstupní matice rozmìru (m x n) a (m x r).
Lineární systém - (A(t);B(t);C(t);D(t))n.
Lineární stacionární systém - (A;B;C;D)n.
Ryze dynamický systém (striktně ryzí systém) - D = 0.
![Page 3: Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární ... · Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární) a jejich modely (dif. rovnice, přenos,](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060813/609187cae88b3074d56f04bd/html5/thumbnails/3.jpg)
2. Stavové rovnice v diskrétním čase
Stavová rovnice nelineárního spojitého systému
x t k 1= f d xk , uk , t k y t k =g xk , uk , t k
tk= k*Ts , k= ....,0,1,2,3......
Stavová rovnice lineárního spojitého systému
x k 1∗T s=M∗x k∗T sN ∗u k∗T sy k∗T s=C∗x k∗T sD∗u k∗T s
3. Přenos
G jω=Y jωU jω
, přenos systému bez zpětné vazby (s=jω)
F jω=Y jωW jω
=G jω
1G jω, přenos se zápornou zpětnou
vazbou (s=jω)
souvislost mezi přenosem a dif. rovnicemi :
zi – nuly přenosu, pi – póly přenosu
souvislost mezi přenosem a stavového popisu ve spojitém čase :
n
m
n
m
abK
pspspszszszsKsG =
−−−−−−
= ,)())(()())(()(
21
21
⋯⋯
)()(
)()()(
0
0
sAsB
asabsb
sUsYsG n
n
mm =
++++
==⋯⋯
![Page 4: Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární ... · Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární) a jejich modely (dif. rovnice, přenos,](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060813/609187cae88b3074d56f04bd/html5/thumbnails/4.jpg)
souvislost mezi přenosem a stavového popisu v diskrétním čase :
4. Diferenciální rovnice
lineární difc. rovnici jako vnější model ve tvaru
)()()()( 0)(
0)( tubtubtyatya m
mn
n ++=++ ⋯⋯ , u kauzálních systémů vždy
platí podmínka fyzikální realizovatelnosti n≥m.
řešením diferenciální rovnice je časový průběh odezvy na vstupní signál
metody řešení : Laplaceova transformace
vlastní číslo λ je kořenem charakteristické rovnice a je obecně komplexní λ = σ+jω.
Může nastat několik situací :
− jednonásobné charakteristické číslo
− dvojici komplexně sdružených čísel - kmitavý mód popsaný časově
posunutou funkcí sin, resp. cos.
− pro r-násobná charakteristická čísla λi ≠0 dostáváme
kořeny charakteristické rovnice jsou shodné vlastními čísly matice A :
Systém je stabilní pokud platí, že Re(λi)=σi<0, protože pak odpovídající
exponenciála klesá s rostoucím časem k nule.
)sin()( )(ii
ttjti teeety iiii θϖσϖσλ +=== ±
⎩⎨⎧
=≠
=0,10,
)(i
it
i
iety
λλλ
tr
ri
ti
i
i
ertty
ety
λ
λ
)!1()(
)(
1
1 −=
=
−
−+
⋮
DNMzICzH +−= −1)()(
G s =Y s U s
=C sI A1 BD
![Page 5: Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární ... · Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární) a jejich modely (dif. rovnice, přenos,](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060813/609187cae88b3074d56f04bd/html5/thumbnails/5.jpg)
Systém je na mezi stability, pokud Re(λi)=σi=0
Systém je nestabilní, pokud Re(λi)=σi>0
Systém je astatický, pokud λi=0
5. Diferenční rovnice
lineární difč. rovnici jako vnější model ve tvaru
a0 y k a1 y k 1...an y k n =b0u k b1 y k 1...bm y k m
stacionární sys. má ai, bi konstantní
řád disk. systému : max(n,m)
řešením diferenční rovnice je časový průběh odezvy na vstupní signál
metody řešení : z-transformací
Linearizace stavových rovnic
Stavová rovnice nelineárního spojitého systému :
x t = f x , u ,t y t =g x , u , t
Nominální trajektorie (u0(t), x0(t), y0(t))
Rovnovážný bod u0(t) = 0, x0(t) = xe (= f(xe; 0) = 0, y0.
Odchylky od nominální trajektorie (rovnovážného bodu = ekvilibrium) :
x t =x0δ xu t =u 0δuy t = y0δ y
Funkce f a g rozvineme v øadu v okolí bodu x0;u0 :
f x ,u ,t = f x0 , u0 , t ∂ f∂ x
∣0δx ∂ f∂u
∣0δuoδx , δu
g x , u , t = g x0 , u0 , t ∂ g∂ x
∣0δx∂ g∂u
∣0δuoδx , δu
o(δu;δx) je nekoneènì malá velièina vyššího než prvního řádu. ∂ f∂x
∣0,∂ f∂u
∣0 , ∂ g∂ x
∣0 a ∂ g∂ u
∣0¿ derivace
vektorových funkcí podle vektoru, tedy matice, pøièem¾ derivace se poèítají v bodì x0; u0
![Page 6: Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární ... · Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární) a jejich modely (dif. rovnice, přenos,](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060813/609187cae88b3074d56f04bd/html5/thumbnails/6.jpg)
∂ f∂x
=
∂ f 1
∂ x1
∂ f 2
∂ x1
...∂ f n
∂ x1
∂ f 1
∂ x2
∂ f 2
∂ x2
...∂ f n
∂ x2
...
...
...
...
∂ f 1
∂ xn
∂ f 2
∂ xn
...∂ f n
∂ xn x=x0 ,u=u0
Stavové rovnice linearizovaného spojitého systému
δ x =∂ f∂x
∣0δx∂ f∂u
∣0δu
δ y =∂ g∂x
∣0δx ∂ g∂ u
∣0δu
Matice A; B; C; D
A t =∂ f∂ x
∣x=x0,u=u0 B t =∂ f∂u
∣x=x0,u=u 0
C t =∂ g∂ x
∣x=x0, u=u0 D t =∂ g∂u
∣x=x0,u=u0
Př.
Diskretizace
Diskretizace spočívá v převedení množiny T, která v případě spojitých systémů obsahuje
reálné čísla, na množinu T', která bude obsahovat jen celá čísla. Požadavkem při diskretizaci je
stejná odezva na vstupní signál (diskrátní a spojitý systém musí mít stejnou nebo alespoň velmi
![Page 7: Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární ... · Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární) a jejich modely (dif. rovnice, přenos,](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060813/609187cae88b3074d56f04bd/html5/thumbnails/7.jpg)
podobnou odezvu).
● Diskretizace ve stavovém popisu : M=e A∗T s
N=∫0
T s
e Aτdτ∗B (hledání matic M,N)
● Metody přibližné diskretizace : diskretizace z přenosu
Eulerova : s≈ z1T s
Zpětná diference : s≈ z 1z∗T s
Tustinova : s≈ 2T s
∗ z 1z 1
výpočet : do přenosu (vyjádřeného pomocí s ) dosadíme za s jeden z přidližných vzorců
a přenos (teď s z ) upravíme do požadovaného tvaru
vlastnosti
■ přesnost aproximace : nepřímo úměrná hodnotě Ts
■ musí být splněna vzorkovací věta
Simulace
Simulace modelů systémů provádíme v Simulinku Matlabu. Kde překreslíme stavové
rovnice na simulační schéma nebo použijeme přímo vypočtený přenos. Náročnost simulace je
individuální.
![Page 8: Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární ... · Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární) a jejich modely (dif. rovnice, přenos,](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060813/609187cae88b3074d56f04bd/html5/thumbnails/8.jpg)
Analogie mezi systémy různé fyzikální podstaty
Jak je vidět na obrázkách induktory, capacitory a odpory
nejsou jen v elektrotechnice, ale i v mechanice atd. Proto je
možné provádět simulace mechanických systému na
systémech elektronických.
Popis obrázků :
C :
● prvky : elektrický, mechanický , hydraulický
Analogie u indukčních prvků- LA l i k it í h ků C
![Page 9: Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární ... · Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární) a jejich modely (dif. rovnice, přenos,](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060813/609187cae88b3074d56f04bd/html5/thumbnails/9.jpg)
kapacitor
● veličiny : C[F] kapacita, k [N/m] tuhost pružiny, Cf [m3/Pa] hydraulická kapacita, S průřes
nádrže, g tíhové zrychlení, ρ [kg/m3]hustota
L :
● prvky : elektrický, mechanický, hydraulický induktor
● veličiny : L [H] indukčnost, m [kg] hmotnost, I [kg*m2] moment setrvačnosti, Lf [kg/m4]
moment hydraulické setrvačnosti
R :
● prvky : elektrický, mechanický, hydraulický induktor
Identifikace a verifikace
Cílem identifikace je nalézt co nejpřesnější matematické popis daného systému a zapsat
jej do nějakého předepsaného tvaru (přenos, stav. rovnice ....).
Postup při identifikaci :
1. plánování experimentu – experimentovat s reálným systéme je náročná a drahé, proto se
používá analýza odezvy systému na vstupní signál. (nejlepší odezva na jednotkový skok a
dirak, ale n reálu nemožné)
2. volba struktury modelu – strukturu modelu zvolíme na základě znalostí o systému,
poruchách, které na něj působí nebo podle pracovních bodů...
3. volby vhodného kritéria kvality – zvolením přesnosti, s jakou budeme chtít sestavit model
4. odhad parametrů – k odhadu parametrů systému potřebujeme znát : vstupní/výstupní data,
třídu přesnosti, kritérium. Poté můžeme použít klasické metody určení parametrů :
1. analýza přechodové a frekvenční char.(určení časových konstant, řádu systému ...)
2. Metoda korelační a spektrální analýzy (analýza odezvy na Dirakův impuls)
3. metoda nejmenších čtverců a její modifikace
4. metoda maximální věrohodnosti
5. test shody schování modelu a systému = verifikace – spočívá v porovnání odezev modelu a
skutečného systému
![Page 10: Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární ... · Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární) a jejich modely (dif. rovnice, přenos,](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060813/609187cae88b3074d56f04bd/html5/thumbnails/10.jpg)
Laplaceova a z- transformace
Laplaceova transformace
definice : F s=L { f t }=∫0
∞
f t ∗es∗t dt , kde s ∈C a fce f(t) je definována na (0, ∞) splňuje
tyto podmínky :
1. je exponenciálního řádu
2. je po částech spojitá v <0, ∞) nebo je absolutně integrovatelná :
∫0
T
f t dt=∫0
T
∣ f t ∣dt
Věty :
1. počáteční hodnota : limt0
f t =lims∞
s∗F s
2. konečná hodnota : limt∞
f t =lims0
s∗F s
3. derivace fce : L { f nt }=sn∗F s sn1∗ f 0 sn2∗ f 0 ... f n10
4. integrace fce : L {∫0
t
...∫0
t
f τ dτ...dτ }=F s sn
5. zpoždění : L { f tT d }=F s ∗es∗T d
6. linearity . L {k 1∗ f 1t ±k 2∗ f 2 t }=k 1∗F 1 s±k 2∗F 2 s
Tabulové fce :
F(s) f(t) F(s) f(t)1 δ(t) n !
sa n1t n∗ea∗t
1s
1(t) ωn
s2ωn2
sin ωn∗t
1s2
t ss2ωn
2cos ωn∗t
n !sn1
tn ω n
sa 2ω n2
ea∗t∗sin ωn∗t
1sa
ea∗t sa sa 2ω n
2ea∗t∗cos ω n∗t
1 sa 2
t∗ea∗t
![Page 11: Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární ... · Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární) a jejich modely (dif. rovnice, přenos,](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060813/609187cae88b3074d56f04bd/html5/thumbnails/11.jpg)
Z - transformace
definice : F z =Z { f k }=∑n=0
∞
f n ∗zn , kde z ∈C a f(k) je posloupnost exponenciálního řádu
definována na (0, ∞) ; f(n)=0 pro n<0
Věty :
1. počáteční hodnota : f 0 =limz∞
F z
2. konečná hodnota : limk ∞
f k =limz1
z 1∗F z
3. kauzalita : limz∞
F z =0
4. součet řady : ∑n=0
∞
f n=limz1
F z
5. translace vpravo : Z { f k n }=zk∗F z
6. linearity . Z {k 1∗ f 1k ±k2∗ f 2k }=k 1∗F 1 z ±k 2∗F 2 z
Tabulové fce :
F(z) f(k) F(z) f(k)1 δ(k) z∗ z1
z 13k2
zz1
1(k) 2∗z z 13
k 2k
zza
ak z z 1k k
n1z
z12k z∗a n1
z a n kn1∗ak
a∗z z a 2
k ∗a k
![Page 12: Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární ... · Dynamické systémy (spojité-diskrétní, lineární-nelineární) a jejich modely (dif. rovnice, přenos,](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060813/609187cae88b3074d56f04bd/html5/thumbnails/12.jpg)
Převodní tabulka mezi Laplaceovou transformací a z-trabsformací :