Obecný lineární modelAnalýza kovarianceNelineární modely

Obecný lineární model

• General linear model

• ANOVA – jednocestná: Yij = 0 + i + ij

• Regresní model: Yj = 0 + 1X1j+2X2j+j

• ANOVA model lze vyjádřit (a spočítat) obdobným způsobem jako lineární regresi

• Obecný lineární model je společné vyjádření, s vysvětlovanou kvantitativní proměnnou a vysvětlujícími buď kvantitativními nebo faktory (kategoriální)

Příklady obecných lineárních modelů

• Počet druhů ve společenstvu ~ typ horniny, typ obhospodařování,

nadmořská výška

• Hladina cholesterolu ~ pohlaví, věk, množství zkonzumovaného bůčku

• Míra heterozygozity ~ ploidie,velikost populace

Obecný lineární model: jeden faktor a jeden kvantitativní prediktor

• Příklad: jak závisí podíl fixovaného uhlíku, investovaného do reprodukce na množství dostupného fosforu (P) u tří druhů?

• Model: %biomasy ~ P + druhtest proměnných P a druh

• Model: %biomasy ~ P + druh + P:druhtest interakce: závisí míra změny na druhu?

Analýza kovariance (ANCOVA)

• Nejběžnější případ obecného lineárního modelu• Obvykle předpoklad rovnoběžnosti přímek

(nezávislosti faktorů a kvantitativních vysvětlujících proměnných)

• Těžištěm bývá vliv faktorů, kvantitativní proměnné často popisují variabilitu „pozadí“, kterou chci odstranit

• Faktor a kvanitativní proměnná by měly být nezávislé (jak jen to jde)

Příklady

• Vliv léku na krysy: mám podezření, že výsledek závisí i na váze krysy

• Nelze zajistit, aby byly všechny stejně těžké

• Použiji váhu na začátku pokusu jako kovariátu (covariate)

• Průměr a variabilita hmotností by měly být ve skupinách podobné

• Vliv mykorrhizní symbiózy na růst rostliny: výsledná hmotnost (biomasa) závisí i na počáteční

• Počáteční výšku (nebo počet lístků) použiji jako kovariátu

• Opět se snažím, aby malé i velké semenáčky byly ve všech skupinách

Vysvětlující proměnná: faktor nebo kvantitativní?

• V mnoha případech mám na výběr.Studuji vliv živin na biomasu rostlin, tři různé dávky hnojiva (0, 7 a 14 g N / m2)

• Regrese: biomasa = 0+1*N+chybapředpoklad lineární závislosti biomasy na N, model spotřebuje jen 1 stupeň volnosti

• ANOVA: biomasa = společný průměr + efekt dávky + chyba2 stupně volnosti, nemusí být lineární vztah

• Pokud vztah lineární, je regresní test silnější

Nelineární regrese

• Termín nelineární regrese nejednoznačný, alespoň čtyři běžné významy

• Transformací dosáhnu linearity: S = c.Az

• Používám polynom vysvětlující proměnné (i více): polynomická regrese (polynomial r.)

• Odhaduji parametry nelineárního vztahu, který nelze „linearizovat“: růstové křivky apod., non-linear least squares

• Používám neparametrické regresní modely

Polynomická regrese 1

• Libovolně složitou funkce lze nahradit (v omezeném rozsahu hodnot prediktoru) polynomem

• Obvykle nemá smysl užívat polynomy složitější než kubické (třetí mocnina): kvadratická regrese, kubická regrese

• Y = 0 + 1X + 2X2 + 3X3 +

• Při praktickém použití je rozumné proměnnou X „vycentrovat“ (odečíst průměr)

• Ortogonální polynomy

Polynomická regrese 2

• Užíváme, pokud je vztah nelineární, ale nemáme konkrétní představu, jakou rovnicí tuto závislost popsat

• Postupný výběr složitosti modelu (stepwise regression)

• Lze použít i pro dva prediktory, buď představující prostorové souřadnice nebo například dva faktory prostředí

Non-linear least squares

• Nelineární metoda nejmenších čtverců

• Máme a priori danou rovnici a obvykle musíme dodat i počáteční odhady parametrů

• Příklad: saturační křivka rychlosti fotosyntézy,s rostoucí koncentrací CO2 v prostředí rychlost fotosyntézy roste do určité limity

• Vztah: nelze linearizovat

• Iterativní postup hledání řešení občas nekonverguje nebo najde sub-optimální řešení

Neparametrické regresní modely

• Vyhlazovací modely (smoothers) loess smoother

• Zobecněné aditivní modely (generalized additive models, GAM)

• Musíme volit složitost fitovaného modelu (stupně volnosti, ne vždy celá čísla)

• Nemáme k dispozici rovnici, do které bychom mohli dosadit – model je třeba zobrazit