lineární funkce
DESCRIPTION
Lineární funkce. Matematika – 9. ročník. Funkce Definice. Funkce je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřadí právě jedno číslo y z množiny H . Funkci obvykle zapisujeme ve tvaru y = f(x), x D nebo f: x y, x D - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Lineární funkce](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061508/56813322550346895d99f9f4/html5/thumbnails/1.jpg)
Lineární funkce
Matematika – 9. ročník
![Page 2: Lineární funkce](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061508/56813322550346895d99f9f4/html5/thumbnails/2.jpg)
FunkceDefinice
Funkce je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřadí právě jedno číslo y z množiny H.
Funkci obvykle zapisujeme ve tvaru y = f(x), x D
nebof: x y, x D
(čteme: Prvku x množiny D je funkcí f přiřazeno reálné číslo y)
![Page 3: Lineární funkce](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061508/56813322550346895d99f9f4/html5/thumbnails/3.jpg)
FunkceDefiniční obor a obor hodnot funkce
Definiční obor (značíme D(f)), je množina všech přípustných hodnot argumentu x, tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x nabývat.
Obor hodnot (značíme H(f)) je poté množina všech přípustných y, tedy množina všech prvků, kam může ukazovat funkce f.
![Page 4: Lineární funkce](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061508/56813322550346895d99f9f4/html5/thumbnails/4.jpg)
FunkceZadání
Funkce může být zadána:
Rovnicí y = 2x – 3, x D
Tabulkou
Grafem
t (h) 1 2 3 4 5 6
s (km) 5, 5 11,0 16,5 22,0 27,5 33,0
![Page 5: Lineární funkce](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061508/56813322550346895d99f9f4/html5/thumbnails/5.jpg)
FunkceGraf
Grafem funkce y = f(x), x D nazýváme množinu všech bodů roviny, které mají souřadnice [x; y].
![Page 6: Lineární funkce](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061508/56813322550346895d99f9f4/html5/thumbnails/6.jpg)
Lineární funkceDefinice
Každá funkce y = ax + b, kde a a b jsou libovolná reálná čísla a definičním oborem je množina všech reálných čísel, se nazývá lineární funkce.
Grafem lineární funkce je přímka.
Oborem hodnot je množina všech reálných čísel.
![Page 7: Lineární funkce](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061508/56813322550346895d99f9f4/html5/thumbnails/7.jpg)
Lineární funkceGraf
Sestrojte graf funkce: y = 2x – 1
Grafem lineární funkce je přímka.
Každá přímka je jednoznačně určena právě dvěma body.
Pro sestrojení grafu nám tudíž stačí dva údaje.
x
y
2-1
-3 3
6
5
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
![Page 8: Lineární funkce](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061508/56813322550346895d99f9f4/html5/thumbnails/8.jpg)
Lineární funkcePřímá úměrnost
Lineární funkce y = ax + b, kde a ≠ 0 a b = 0, (tj. y = ax) jejímž definičním oborem je množina všech reálných čísel, se nazývá přímá úměrnost.
Grafem přímé úměrnosti je přímka, procházející počátkem soustavy souřadnic.
Oborem hodnot je množina všech reálných čísel.
![Page 9: Lineární funkce](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061508/56813322550346895d99f9f4/html5/thumbnails/9.jpg)
Přímá úměrnostGraf
Sestrojte graf funkce: y = 2x
Grafem přímé úměrnosti je přímka, procházející počátkem soustavy souřadnic.
Každá přímka je jednoznačně určena právě dvěma body.
Pro sestrojení grafu nám tudíž stačí dva údaje.
x
y
2-1
-2 4
6
5
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
![Page 10: Lineární funkce](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061508/56813322550346895d99f9f4/html5/thumbnails/10.jpg)
Lineární funkceKonstantní funkce
Lineární funkce y = ax + b, kde a = 0 a b je libovolné reálné číslo, (tj. y = b), jejímž definičním oborem je množina všech reálných čísel, se nazývá konstantní funkce.
Grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou x.
Oborem hodnot je číslo b.
![Page 11: Lineární funkce](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061508/56813322550346895d99f9f4/html5/thumbnails/11.jpg)
Konstantní funkceGraf
Sestrojte graf funkce: y = 2
Grafem konstantní funkce je přímka, rovnoběžná s osou x.
Každá přímka je jednoznačně určena právě dvěma body.
Pro sestrojení grafu nám tudíž stačí dva údaje.
x
y
2-1
2 2
6
5
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
![Page 12: Lineární funkce](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061508/56813322550346895d99f9f4/html5/thumbnails/12.jpg)
FunkceFunkce rostoucí a klesající
Rostoucí funkce
je funkce, pro kterou platí: Zvětšují-li se hodnoty proměnné x, zvětšuje se hodnota funkce.
Klesající funkce
je funkce, pro kterou platí: Zvětšují-li se hodnoty proměnné x, zmenšuje se hodnota funkce.
![Page 13: Lineární funkce](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061508/56813322550346895d99f9f4/html5/thumbnails/13.jpg)
Lineární funkceFunkce rostoucí a klesající
Do jedné soustavy souřadnic sestrojte grafy funkcí a) y = x + 2 b) y = - x + 2
x
y
x
y
4
-2 2
-2 2
0
4 0
6
5
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6y = x + 2y = - x + 2
![Page 14: Lineární funkce](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061508/56813322550346895d99f9f4/html5/thumbnails/14.jpg)
Lineární funkceFunkce rostoucí a klesající
Lineární funkce y = ax + b je rostoucí, když a > 0.
Lineární funkce y = ax + b je klesající, když a < 0.
Lineární funkce y = ax + b je konstantní, když a = 0.
![Page 15: Lineární funkce](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061508/56813322550346895d99f9f4/html5/thumbnails/15.jpg)
Lineární funkcePříklad č. 1
1. Určete, zda jde o zápis lineární funkce (D = R):a)
a) ANO
c) b) 1
b) NE c) ANO
d) e) f)
g) i) h)
e) ANOd) ANO
i) ANOh) NEg) NE
f) NE
![Page 16: Lineární funkce](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061508/56813322550346895d99f9f4/html5/thumbnails/16.jpg)
Lineární funkcePříklad č. 2
2. Určete, zda je daná lineární funkce rostoucí nebo klesající.a)
a) Rostoucí
c) b) 1
b) Klesající c) Konstantní
d) e) f)
g) i) h)
e) Rostoucíd) Klesající
i) Konstantníh) Rostoucíg) Rostoucí
f) Klesající
![Page 17: Lineární funkce](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061508/56813322550346895d99f9f4/html5/thumbnails/17.jpg)
Lineární funkcePříklad č. 3
3. Zjisti, zda body A[1; 1]; B[-1; 1]; C[-2; 7]
a D[2; -7] leží na grafu funkce y = -2x + 3.
A[1; 1]
1 = -2 · 1 + 3
1 = -2 + 3
1 = 1
Bod A leží na grafu lineární funkce y = -2x + 3
A[-1; 1] A[-2; 7] A[2; -7]
1 ≠ -2 · (-1) + 3
1 ≠ 2 + 3
1 ≠ 5
7 = -2 · (-2) + 3
7 = 4 + 3
7 = 7
-7 ≠ -2 · 2 + 3
-7 ≠ -4 + 3
-7 ≠ -1
Bod B neleží na grafu lineární funkce
y = -2x + 3
Bod C leží na grafu lineární funkce y = -2x + 3
Bod D neleží na grafu lineární funkce y = -2x + 3
![Page 18: Lineární funkce](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061508/56813322550346895d99f9f4/html5/thumbnails/18.jpg)
Lineární funkcePrůsečíky grafu s osami
Do jedné soustavy souřadnic sestrojte grafy funkcí a) y = 3x + 2 c) y = 3x - 2 b) y = 3x
x
y
x
y
5
-1
1
-2 1
-4
-6 3
6
5
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6y = 3x + 2
y = 3 x
x
y
2
-5 4
-2
y = 3 x – 2
Průsečík s osou y má souřadnice [0; b]
![Page 19: Lineární funkce](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061508/56813322550346895d99f9f4/html5/thumbnails/19.jpg)
Lineární funkcePříklad č. 4, 5
4. Urči průsečíky grafu lineární funkce y = – x – 3 s osami.Průsečík s osou y má souřadnice [0; b] Y[0; – 3] ⇒
Průsečík s osou x má souřadnice [x; 0]⇒ 0 = – x – 3
x = – 3
X[– 3 ; 0]
5. Urči rovnice lineární funkce jejíž graf protíná osy v bodech X[2; 0] a Y[0; – 1].y = ax + b
y = ax – 1 0 = 2a – 1
(průsečík s osou y má souřadnice [0; b] (do rovnice dosadíme souřadnice bodu X
a = 0,5⇒ y = 0,5x – 1
![Page 20: Lineární funkce](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061508/56813322550346895d99f9f4/html5/thumbnails/20.jpg)
Lineární funkcePříklad č. 6
6. Urči rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body A[– 2; 3] a B[2; – 1] .
⇒
Do obecné rovnice lineární funkce dosadíme souřadnice bodu A
y = ax + b
3 = – 2a + b / · (– 1)
Vyřešíme soustavu lineárních rovnic
Řešením je rovnice
Do obecné rovnice lineární funkce dosadíme souřadnice bodu B
– 1 = 2a + b
– 4 = 4a a = – 4
– 1 = 2 · (– 4) + b
b = 7
y = – 4x + 7
![Page 21: Lineární funkce](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061508/56813322550346895d99f9f4/html5/thumbnails/21.jpg)
Lineární funkcePříklad č. 7 – 10
7. Zjisti, zda body A[1; 2]; B[-1; -2]; C[-2; 7] a D[-1; -4] leží na grafu funkce y = 3x - 1.
A – ANO, B – NE, C – NE, D - ANO
8. Urči průsečíky grafu lineární funkce y = –2x + 1 s osami. Y[0, 1], X[0,5; 0]
9. Urči rovnice lineární funkce jejíž graf
protíná osy v bodech X[4; 0] a Y[0; 3].
𝑦=−34𝑥+3
10. Urči rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body A[– 1; – 3] a B[2; 1] .
𝑦=43𝑥−
53