수학과
김태수 교수님
미분적분학_ 벡터미분적분학
[3강]
스토크스의 정리를 학습한다.
발산정리를 학습한다.
벡터미분적분학을 총정리한다.
학습목표
벡터미분적분학 - 3
스토크스의정리
스토크스의 정리 : “그린의 정리”의 고차원 버전.
그린의 정리 : 평면영역 위에서의 중적분 ~ 그것의 평면 경계곡선 주위를
선적분
스토크스의 정리 : 곡면 위에서의 면적분 ~ (공간곡선)의 경계곡선
주위를 선적분.
[단위법선벡터 을 갖는 방향이 있는 곡면]
의 방향은 그림에서 경계곡선 의 양의 방향을 유도.
이는 만일 의 방향으로 머리를 향하고 주위를 양의 방향으로
걷는다고 한다면, 곡면은 항상 왼쪽에 놓이게 된다는 것을 의미.
D
n
SS
n
S C
C
벡터미분적분학 - 3
스토크스의정리
스토크스의 정리
: 양의 방향을 가진 구분적으로 매끈한 단순 폐곡선 로 둘러싸인 유향의
구분적으로 매끈한 곡면.
: 성분들이 를 포함한 내에서의 개영역 위에서 연속인 편도함수를 갖는 벡터장
S
S
Cdd SFrF curl
C
F S 3R
[스토크스의 정리] : 의 접선 성분의 의 경계곡선 주위를 선적분
= 의 법선성분의 면적분.
유향곡면 의 양의 방향 경계곡선은 로 자주 쓰여지므로,
따라서 스토크스의 정리의 다른 표현 :
S
SS
CCdSddrd nFSFTFrF curl curl ,
FF curl
S S
SS
dd rFSF curl
벡터미분적분학 - 3
스토크스의정리
스토크스의 정리, 그린의 정리와 미적분학의 기본정리 사이에는 유사성!!
가 의 도함수의 일종이라는 것을 상기
⇨ [식 ]의 좌변 : 도함수를 포함하는 적분이 있고,
⇨ [식 ]의 우변 : 의 경계상에서 의 값을 포함.
곡면 가 납작하고 위 방향을 가진 -평면 위에 있으며,
단위법선이 인 특별한 경우에는 면적분은 중적분이 되고,
이것은 그린의 정리의 정확히 벡터 형태.
그린의 정리 : 스토크스의 정리의 특별한 경우.
FF curl
S F
k
S xy
SS
CdAdd kFSFrF curl curl
벡터미분적분학 - 3
스토크스의정리
경계곡선 위에서 값을 알고 있을 때, 면적분을 간단히 구할 수 있었다
⇨ 다른 유향곡면이 같은 경계곡선 를 갖는다면, 곡면 적분에 대해 정확히
같은 값을 갖는다는 것을 의미.
일반적으로 과 가 같은 유향 경계 곡선 를 가진 유향 곡면이고,
스토크스의 정리의 가정을 모두 만족한다면,
어떤 한 곡면 위에서 적분하는 것은 어렵지만, 다른 곡면 위에서 적분하는 것이
쉬울 때, 유용!!
F
21
curl curlS
CS
ddd SFrFSF
C
C
1S 2S C
벡터미분적분학 - 3
스토크스의정리
: 유향 폐곡선, : 유체흐름의 속도장C v
dSdCC
Tvrv Tv T v
v T Tv
에서, 가 단위접선벡터 방향의 의 성분
의 방향이 의 방향에 가까울수록 의 값이 커진다는 것을 의미
rv dC CC v: 둘레를 움직이는 유체의 접촉값, “ 둘레의 의 순환”
벡터미분적분학 - 3
스토크스의정리
: 유체에 있는 점, : 중심이 , 반지름이 인 작은 원판
가 연속이므로, 위의 모든 점 에 대하여,
스토크스의 정리에 의해 경계원 둘레의 순환으로서 근사값 가능
) , ,( 0000 zyxP 0PaS a
F curl aS P
))( (curl))( (curl 0PP FF
aC
2
0000 )()( curl)()( curl
curl curl
aPPdSPP
dSdd
a
aa
a
S
SSC
nvnv
nvSvrv
이 근사값은 일 때 더 근사하여 다음의 식을 얻을 수 있다.0a
rvnv da
PPaCa
2000
1lim)()( curl
벡터미분적분학 - 3
스토크스의정리
가 평면영역 의 양의 방향 경계곡선일 때,
그린의 정리의 벡터버전 :
상의 벡터장까지 확장하려면, 가 입체영역 의 경계곡면,
다음과 같은 추측 가능!
적당한 가설 하에, “발산 정리”.
한 영역 위에서 한 함수의 도함수의 적분이(이 경우엔 발산 ) 영역의
경계 위에서 원래 함수 의 적분과 관계가 있다는 점에서 “그린의 정리”와
“스토크스의 정리”가 유사.
DC
dAyxdSD
C ) ,( div FnF
S E3
R
dVzyxdSES
) , ,( div FnF
F
F
벡터미분적분학 - 3
발산정리
발산 정리
: 단순입체영역, : 양의(바깥쪽) 방향인 의 경계곡면.
: 성분함수들이 를 포함하는 개영역 위에서 연속인 편도함수를 갖는 벡터장
S
F
EE
E
dVdES
FSF div
발산정리 : 주어진 조건하에서, 의 경계곡면을 통과하는 의 유량
= 위에서 의 삼중적분E
F
F div
E
벡터미분적분학 - 3
총정리
미적분학의 기본정리
선적분에 대한 기본정리 :
그린의 정리 :
스토크스의 정리 :
발산 정리 :
)()()( aFbFxFb
a
CD
QdyPdxdAy
P
x
Q
rFSF ddC
S
curl
SFF ddVSE
div
))(())(( afbfdfC
rrr
학습정리
스토크스의 정리 :
발산의 정리:
총정리:
SS
CdAdd kFSFrF curl curl
dVdES
FSF div
)()()( aFbFxFb
a미적분학의 기본정리
선적분에 대한 기본정리 ))(())(( afbfdfC
rrr
CD
QdyPdxdAy
P
x
Q
그린의 정리
rFSF ddC
S
curl스토크스의 정리
SFF ddVSE
div발산 정리