미분적분학 벡터미분적분학 -...

수학과

김태수 교수님

미분적분학_ 벡터미분적분학

[3강]

스토크스의 정리를 학습한다.

발산정리를 학습한다.

벡터미분적분학을 총정리한다.

학습목표

벡터미분적분학 - 3

스토크스의정리

스토크스의 정리 : “그린의 정리”의 고차원 버전.

그린의 정리 : 평면영역 위에서의 중적분 ~ 그것의 평면 경계곡선 주위를

선적분

스토크스의 정리 : 곡면 위에서의 면적분 ~ (공간곡선)의 경계곡선

주위를 선적분.

[단위법선벡터 을 갖는 방향이 있는 곡면]

의 방향은 그림에서 경계곡선 의 양의 방향을 유도.

이는 만일 의 방향으로 머리를 향하고 주위를 양의 방향으로

걷는다고 한다면, 곡면은 항상 왼쪽에 놓이게 된다는 것을 의미.

D

n

SS

n

S C

C



스토크스의 정리

: 양의 방향을 가진 구분적으로 매끈한 단순 폐곡선 로 둘러싸인 유향의

구분적으로 매끈한 곡면.

: 성분들이 를 포함한 내에서의 개영역 위에서 연속인 편도함수를 갖는 벡터장

S

S

Cdd SFrF curl

C

F S 3R

[스토크스의 정리] : 의 접선 성분의 의 경계곡선 주위를 선적분

= 의 법선성분의 면적분.

유향곡면 의 양의 방향 경계곡선은 로 자주 쓰여지므로,

따라서 스토크스의 정리의 다른 표현 :

S

SS

CCdSddrd nFSFTFrF curl curl ,

FF curl

S S

SS

dd rFSF curl



스토크스의 정리, 그린의 정리와 미적분학의 기본정리 사이에는 유사성!!

가 의 도함수의 일종이라는 것을 상기

⇨ [식 ]의 좌변 : 도함수를 포함하는 적분이 있고,

⇨ [식 ]의 우변 : 의 경계상에서 의 값을 포함.

곡면 가 납작하고 위 방향을 가진 -평면 위에 있으며,

단위법선이 인 특별한 경우에는 면적분은 중적분이 되고,

이것은 그린의 정리의 정확히 벡터 형태.

그린의 정리 : 스토크스의 정리의 특별한 경우.

FF curl

S F

k

S xy

SS

CdAdd kFSFrF curl curl



경계곡선 위에서 값을 알고 있을 때, 면적분을 간단히 구할 수 있었다

⇨ 다른 유향곡면이 같은 경계곡선 를 갖는다면, 곡면 적분에 대해 정확히

같은 값을 갖는다는 것을 의미.

일반적으로 과 가 같은 유향 경계 곡선 를 가진 유향 곡면이고,

스토크스의 정리의 가정을 모두 만족한다면,

어떤 한 곡면 위에서 적분하는 것은 어렵지만, 다른 곡면 위에서 적분하는 것이

쉬울 때, 유용!!

F

21

curl curlS

CS

ddd SFrFSF

C

C

1S 2S C



: 유향 폐곡선, : 유체흐름의 속도장C v

dSdCC

Tvrv Tv T v

v T Tv

에서, 가 단위접선벡터 방향의 의 성분

의 방향이 의 방향에 가까울수록 의 값이 커진다는 것을 의미

rv dC CC v: 둘레를 움직이는 유체의 접촉값, “ 둘레의 의 순환”



: 유체에 있는 점, : 중심이 , 반지름이 인 작은 원판

가 연속이므로, 위의 모든 점 에 대하여,

스토크스의 정리에 의해 경계원 둘레의 순환으로서 근사값 가능

) , ,( 0000 zyxP 0PaS a

F curl aS P

))( (curl))( (curl 0PP FF

aC

2

0000 )()( curl)()( curl

curl curl

aPPdSPP

dSdd

a

aa

a

S

SSC

nvnv

nvSvrv

이 근사값은 일 때 더 근사하여 다음의 식을 얻을 수 있다.0a

rvnv da

PPaCa

2000

1lim)()( curl



가 평면영역 의 양의 방향 경계곡선일 때,

그린의 정리의 벡터버전 :

상의 벡터장까지 확장하려면, 가 입체영역 의 경계곡면,

다음과 같은 추측 가능!

적당한 가설 하에, “발산 정리”.

한 영역 위에서 한 함수의 도함수의 적분이(이 경우엔 발산 ) 영역의

경계 위에서 원래 함수 의 적분과 관계가 있다는 점에서 “그린의 정리”와

“스토크스의 정리”가 유사.

DC

dAyxdSD

C ) ,( div FnF

S E3

R

dVzyxdSES

) , ,( div FnF

F

F


발산정리

발산 정리

: 단순입체영역, : 양의(바깥쪽) 방향인 의 경계곡면.

: 성분함수들이 를 포함하는 개영역 위에서 연속인 편도함수를 갖는 벡터장

S

F

EE

E

dVdES

FSF div

발산정리 : 주어진 조건하에서, 의 경계곡면을 통과하는 의 유량

= 위에서 의 삼중적분E

F

F div

E


총정리

미적분학의 기본정리

선적분에 대한 기본정리 :

그린의 정리 :

스토크스의 정리 :

발산 정리 :

)()()( aFbFxFb

a

CD

QdyPdxdAy

P

x

Q

rFSF ddC

S

curl

SFF ddVSE

div

))(())(( afbfdfC

rrr

학습정리

스토크스의 정리 :

발산의 정리:

총정리:

SS

CdAdd kFSFrF curl curl

dVdES

FSF div

)()()( aFbFxFb

a미적분학의 기본정리

선적분에 대한 기본정리 ))(())(( afbfdfC

rrr

CD

QdyPdxdAy

P

x

Q

그린의 정리

rFSF ddC

S

curl스토크스의 정리

SFF ddVSE

div발산 정리

미분적분학 벡터미분적분학 -...

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