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Equazioni di Maxwell
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Infisica, in particolare in elettrodinamica classica, le equazioni di Maxwell sono un
sistema di quattro equazioni differenziali alle derivate parziali lineari in quattro
variabili che descrivono completamente l'interazione elettromagnetica classica. Essecostituiscono l'anello di congiunzione tra la distribuzione di carica del campo e la
sua dinamica.
La conoscenza dei campi infatti sufficiente alla determinazionedinamica del
sistema in assenza di forze di altra tipologia attraverso la legge di Lorentz:
dove il vettore v la velocit con cui si muove la carica
q nel sistema di riferimento considerato.Ciascuna delle due coppie delle equazioni a sua volta sufficiente alla
determinazione del proprio campo a partire dalla distribuzione di cariche e correnti,
secondo il teorema di Helmholtz. Non sono tuttavia nel loro insieme necessarie in
senso stretto, poich le otto equazioni scalari possono infatti essere ridotte a sette
introducendo l'equazione di continuit:
Il teorema di Gauss per il campo elettrico e quello per il
campo magnetico sono infatti ricavabili applicando l'operatoredivergenza alle restanti due equazioni. Insieme al teorema di dualit, questo legame
porta alla unificazione costituita dal tensore elettromagnetico.
[modifica] Cenni storici
Le equazioni appaiono per la prima volta al completo ed in forma differenziale nel
testo "A Treatise on Electricity and Magnetism", pubblicato da James Clerk Maxwell
nel 1873, mentre la notazione moderna pi comune fu sviluppata da OliverHeaviside. La formulazione delle equazioni di Maxwell ha definito in modo
completo il legame tra campo elettrico E e campo magnetico H: nelle condizioni
stazionarie che storicamente furono e spesso anche didatticamente sono affrontate
per prime appaiono come campi diversi; gi Faraday osserv un'influenza
magnetica sul campo elettrico; con l'ultima aggiunta di Maxwell dell'influenza
elettrica nel campo magnetico attraverso l'introduzione della corrente di
spostamento si arriva ad un'influenza reciproca e in questa nuova sintesi i due entivengono finalmente considerati a tutti gli effetti manifestazioni diverse di un unico
campo. Esse costituiscono perci il primo nucleo della unificazione delle interazioni
http://it.wikipedia.org/wiki/Corrente_di_spostamentohttp://it.wikipedia.org/wiki/Corrente_di_spostamentohttp://it.wikipedia.org/wiki/Corrente_di_spostamentohttp://it.wikipedia.org/wiki/Corrente_di_spostamentohttp://it.wikipedia.org/wiki/Corrente_di_spostamentohttp://it.wikipedia.org/wiki/Corrente_di_spostamentohttp://it.wikipedia.org/wiki/Campo#.28fisica.29http://it.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heavisidehttp://it.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwellhttp://it.wikipedia.org/wiki/Tensore_elettromagneticohttp://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_continuit%C3%A0http://it.wikipedia.org/wiki/Forzehttp://it.wikipedia.org/wiki/Forza_di_Lorentzhttp://it.wikipedia.org/wiki/Forza_di_Lorentzhttp://it.wikipedia.org/wiki/Equazioni_differenziali_alle_derivate_parzialihttp://it.wikipedia.org/wiki/Equazioni_differenziali_alle_derivate_parzialihttp://it.wikipedia.org/wiki/Fisicahttp://it.wikipedia.org/wiki/Elettrodinamica_classicahttp://it.wikipedia.org/wiki/Interazione_fondamentalehttp://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_della_grande_unificazionehttp://it.wikipedia.org/wiki/Corrente_di_spostamentohttp://it.wikipedia.org/wiki/Campo#.28fisica.29http://it.wikipedia.org/wiki/Campo_magneticohttp://it.wikipedia.org/wiki/Campo_elettricohttp://it.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heavisidehttp://it.wikipedia.org/wiki/1873http://it.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwellhttp://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Equazioni_di_Maxwell&action=edit§ion=1http://it.wikipedia.org/wiki/Tensore_elettromagneticohttp://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_continuit%C3%A0http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Helmholtzhttp://it.wikipedia.org/wiki/Forza_di_Lorentzhttp://it.wikipedia.org/wiki/Forzehttp://it.wikipedia.org/wiki/Dinamicahttp://it.wikipedia.org/wiki/Interazione_elettromagneticahttp://it.wikipedia.org/wiki/Equazioni_differenziali_alle_derivate_parzialihttp://it.wikipedia.org/wiki/Elettrodinamica_classicahttp://it.wikipedia.org/wiki/Fisica -
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fondamentali in fisica, unificando definitivamente elettricit e magnetismo.
La loro importanza non si esaurisce per sul piano storico nel loro carattere
sintetico: esse hanno anche un carattere predittivo che apr alla previsione delle onde
elettromagnetiche, prima sconosciute, del cui studio sar pioniere Righi e che
porteranno alla scoperta di Marconi. In terzo luogo si pu affermare che possiedano
anche un carattere definitivamente svalutativo di alcuni vecchi strumenti matematici
tipici dell'approccio iniziale non invarianti: primo tra tutti la linea di campo, la cui
configurazione nell'universo in esame non comune a tutti i sistemi di riferimento
inerziale, che vedono distribuirsi lo stesso effetto sulle stesse cause elettriche o
magnetiche ma in rapporto differente a seconda della loro velocit relativa. E
concludendo alla prima e finora pi radicale rivoluzione della metrica della storia
della scienza, che aprir ad Einstein l'unificazione dello spazio-tempo e la nuova
teoria della gravitazione che si ritiene debba venire soddisfatta da tutte le
interazioni del mondo fisico.
La sintesi ulteriore delle equazioni ha inizialmente costituito motivo di ricerca: in
primis l'introduzione del tensore elettromagnetico, mentre quella del potenziale
vettore e l'applicazione relativistica ad esso della notazione quadrivettoriale
sicuramente divenuta la pi utilizzata con la nascita della elettrodinamica
quantistica e infine con la teoria quantistica dei campi, che danno maggior
significato fisico al concetto di quadripotenziale che a quello di campo tensoriale,
tanto che modernamente ci si ferma ad essi per determinare la dinamica del sistema
[modifica] Le equazioni
Nel sistema di unit di misura internazionale la forma delle equazioni di Maxwell
la seguente:
Se i campi si propagano nel vuoto la prima e la quarta equazione assumono la
forma:
Dove il campo elettrico, l'induzione elettrica, il campo magnetico e il
campo magnetico nei materiali, la densit di carica e J il vettore densit di
corrente. Le costanti 0 e 0 sono dette rispettivamente costante dielettrica del vuoto
e permeabilit magnetica del vuoto, e sono legate dalla relazione 1/c2 = 00, dove
c la velocit della luce.
La formulazione delle equazioni di Maxwell data in precedenza la pi generale, esi sono usati l'induzione elettrica e il campo magnetico definiti
indipendentemente dal mezzo in cui si trovano.
http://it.wikipedia.org/wiki/Velocit%C3%A0_della_lucehttp://it.wikipedia.org/wiki/Permeabilit%C3%A0_magneticahttp://it.wikipedia.org/wiki/Costante_dielettrica_del_vuotohttp://it.wikipedia.org/wiki/Densit%C3%A0_di_correntehttp://it.wikipedia.org/wiki/Vettore_(matematica)http://it.wikipedia.org/wiki/Densit%C3%A0_di_caricahttp://it.wikipedia.org/wiki/Campo_magneticohttp://it.wikipedia.org/wiki/Induzione_elettricahttp://it.wikipedia.org/wiki/Campo_elettricohttp://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internazionalehttp://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Equazioni_di_Maxwell&action=edit§ion=2http://it.wikipedia.org/wiki/Campo_tensorialehttp://it.wikipedia.org/wiki/Quadripotenzialehttp://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_quantistica_dei_campihttp://it.wikipedia.org/wiki/Elettrodinamica_quantisticahttp://it.wikipedia.org/wiki/Potenziale_vettorehttp://it.wikipedia.org/wiki/Tensore_elettromagneticohttp://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Interazioni&action=edit&redlink=1http://it.wikipedia.org/wiki/Relativit%C3%A0_generalehttp://it.wikipedia.org/wiki/Spazio-tempohttp://it.wikipedia.org/wiki/Einsteinhttp://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_di_Lorentzhttp://it.wikipedia.org/wiki/Linea_di_campohttp://it.wikipedia.org/wiki/Guglielmo_Marconihttp://it.wikipedia.org/wiki/Augusto_Righihttp://it.wikipedia.org/wiki/Onde_elettromagnetichehttp://it.wikipedia.org/wiki/Magnetismohttp://it.wikipedia.org/wiki/Elettricit%C3%A0http://it.wikipedia.org/wiki/Interazione_fondamentale -
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Tali campi sono infatti dati da:
e tengono conto dei contributi delle cariche
di polarizzazione e delle correnti di magnetizzazione nella materia, poich i vettori
polarizzazione elettrica e magnetica rappresentano il valor medio del
momento di dipolo elettrico e magnetico per unit di volume. Per una corretta
descrizione dei campi elettromagnetici all'interno dei mezzi materiali, dunque,
necessario tenere conto del fatto che questi interagiscono con i campi polarizzandosi
e magnetizzandosi.
Nel caso pi semplice di mezzi lineari, stazionari, omogenei, non dispersivi e
isotropi, in cui i vettori polarizzazione e magnetizzazione sono direttamente
proporzionali rispettivamente ai campi elettrico e magnetico, le relazioni fra i campi
divengono:
dove le costanti r e r sono la costantedielettrica e la permeabilit magnetica relative caratteristiche del mezzo.
[modifica] Derivazione
Le equazioni di Maxwell rappresentano la forma locale delle leggi fisiche che
governano i fenomeni di propagazione del campo elettromagnetico. Nel seguito si
descrive tale relazione.
[modifica] Forma locale e globale
Matematicamente le equazioni in forma locale sono differenziali lineari in quattro
variabili, mentre in forma globale sono integrali: per metterle in relazione
necessario perci applicare il teorema di Stokes nelle sue forme bidimensionale e
tridimensionale. Nel caso particolare di campi variabili in maniera sinusoidale nel
tempo, le equazioni di Maxwell possono essere scritte nel dominio della frequenza,
ovvero nel dominio dei fasori, semplicemente applicando la trasformata di Fourier aciascun membro ed ottenendo una semplificazione nella trattazione e nel loro
specifico utilizzo.
Gli strumenti matematici principali che permettono di ricavare il legame tra la
forma locale e la forma globale sono due:
Il teorema della divergenza nel caso tridimensionale, che influisce sulla forma
della Legge di Gauss per entrambi i campi. Il teorema afferma che il flusso di
un campo attraverso una superficie chiusa pari all'integrale su un volume di
cui la frontiera (unico nello spazio tridimensionale) della divergenza del
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campo stesso:
Il teorema del rotore nel caso bidimensionale, che
influisce sulla forma della Legge di Faraday-
Neumann-Lenz e della Legge di Ampre-Maxwell. Il teorema che la
circuitazione di un campo pari all'integrale su una superficie che essa
racchiude (molteplici nello spazio tridimensionale) del rotore del campo stesso:
.
[modifica] Derivazione formale
Le equazioni di Maxwell descrivono sinteticamente tutte le propriet del campo
elettromagnetico, e per ricavarne la forma integrale dalla corrispondente forma
locale necessario applicare il teorema di Green o il teorema della divergenza. Nel
caso particolare di campi variabili in maniera sinusoidale nel tempo, le equazioni di
Maxwell possono essere scritte nel dominio della frequenza, ovvero nel dominio dei
fasori, semplicemente applicando la trasformata di Fourier a ciascun membro ed
ottenendo una semplificazione nella trattazione e nel loro specifico utilizzo.
Il Teorema del flusso, detta anche Legge di Gauss, afferma che il flusso del
campo elettrico attraverso una superficie chiusa pari alla somma delle cariche
contenute nella superficie divise per la permittivit elettrica:
Dal teorema della divergenza si ha:
ed
uguagliando gli integrandi nell'ultima relazione si ottiene la forma locale del
teorema del flusso per il campo elettrico.
La legge di Faraday-Neumann-Lenz afferma che la variazione nel tempo delflusso del campo magnetico concatenato ad un circuito genera una forza
elettromotrice nel circuito stesso, la quale si oppone alla variazione del flusso:
applicando il teorema di Stokes al
primo membro:
e quindi:
Uguagliando gli
integrandi segue la
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Stokeshttp://it.wikipedia.org/wiki/Forza_elettromotricehttp://it.wikipedia.org/wiki/Legge_di_Faraday-Neumann-Lenzhttp://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_della_divergenzahttp://it.wikipedia.org/wiki/Permittivit%C3%A0_elettricahttp://it.wikipedia.org/wiki/Legge_di_Gausshttp://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_flussohttp://it.wikipedia.org/wiki/Trasformata_di_Fourierhttp://it.wikipedia.org/wiki/Fasorehttp://it.wikipedia.org/wiki/Dominio_della_frequenzahttp://it.wikipedia.org/wiki/Sinusoidehttp://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_della_divergenzahttp://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Greenhttp://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Equazioni_di_Maxwell&action=edit§ion=5http://it.wikipedia.org/wiki/Circuitazionehttp://it.wikipedia.org/wiki/Legge_di_Amp%C3%A8re-Maxwellhttp://it.wikipedia.org/wiki/Legge_di_Faraday-Neumann-Lenz -
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relazione locale.
L'estensione della legge di Ampre al caso non stazionario mostra come un
campo elettrico variabile nel tempo sia sorgente di un campo magnetico.
Ponendo di essere nel vuoto, la forma locale della legge di Ampre costituisce
la quarta equazione di Maxwell nel caso stazionario:
Tale relazione vale solamente nel caso stazionario poichimplica che la divergenza della densit di corrente sia nulla, contraddicendo in
questo modo l'equazione di continuit per la corrente elettrica. Per estendere la
legge di Ampre al caso non stazionario necessario inserire la prima legge di
Maxwell nell'equazione di continuit:
Il termine
detto corrente di spostamento,
e deve essere aggiunto alla
densit di corrente nel caso non stazionario. Inserendo la densit di corrente
generalizzata cos ottenuta nella legge di Ampre:
si ottiene la relazione locale. Tale equazione
perfettamente simmetrica rispetto alla precedente
equazione, e le due relazioni rappresentano complessivamente il nucleo delleequazioni di Maxwell in quanto da esse ricavabile l'equazione delle onde,
mostrando quindi che il campo elettromagnetico si propaga sotto forma di
onde elettromagnetiche.
Il teorema del flusso per il campo magnetico afferma infine che il flusso del
campo magnetico attraverso una superficie chiusa nullo. Ci si pu spiegare
dal fatto che le linee di forza del campo magnetico sono chiuse, e pertanto il
contributo al flusso di ogni linea entrante alla superficie annullato dalcontributo della stessa linea uscente. Matematicamente la relazione si ricava
applicando l'operatore divergenza ad entrambi i membri della legge di Biot-
Savart.
[modifica] Soluzioni
Ponendo che i campi si propaghino nel vuoto, la terza equazione di Maxwell
stabilisce che la divergenza di B nulla, e poich la divergenza di un rotore sempre nulla il campo magnetico pu essere espresso come il rotore di un campo
vettorialeA, il potenziale vettore:
http://it.wikipedia.org/wiki/Potenziale_vettorehttp://it.wikipedia.org/wiki/Campo_vettorialehttp://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Equazioni_di_Maxwell&action=edit§ion=6http://it.wikipedia.org/wiki/Legge_di_Biot-Savarthttp://it.wikipedia.org/wiki/Divergenzahttp://it.wikipedia.org/wiki/Linea_di_forzahttp://it.wikipedia.org/wiki/Onde_elettromagnetichehttp://it.wikipedia.org/wiki/Campo_elettromagneticohttp://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_delle_ondehttp://it.wikipedia.org/wiki/Corrente_di_spostamentohttp://it.wikipedia.org/wiki/Corrente_elettricahttp://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_continuit%C3%A0 -
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Tale relazione valida ponendo di trovarsi in un dominio
semplicemente connesso.
Possiamo allora riscrivere la terza equazione di Maxwell come:
che pu anche essere espressa come:
Poich il termine tra parentesi irrotazionale, esso puessere scritto come il gradiente di una funzione scalare,
il potenziale scalare :
da cui segue:
La soluzione delle equazioni di Maxwell nel vuoto quindi
la seguente:
Nel caso i campi si propaghino in un mezzo, le quattro
equazioni non omogenee possono essere risolte solo
conoscendo le relazioni costitutive tra i campi nel vuoto e
nella materia, che non sono sempre lineari e dipendono fortemente dalle
caratteristiche del materiale.
Tutte le informazioni sul campo elettromagnetico possono quindi essere date
attraverso l'espressione dei potenziali generalizzati, che sono definiti con quattro
equazioni scalari, di cui tre per il potenziale vettore ed una per il potenziale scalare.Il fatto che le equazioni di Maxwell siano invece sei equazioni scalari dovuto al
fatto che esse contengono delle propriet ulteriori: il campo elettromagnetico
infatti esprimibile attraverso i potenziali solo se soddisfa le equazioni di Maxwell.
[modifica] Espressione dei potenziali generalizzati
Per ricavare le quattro equazioni scalari che definiscono i potenziali generalizzati si
procede come segue:
La prima equazione di Maxwell pu essere riscritta come:
ovvero:
La quarta equazione di
Maxwell, invece, si trasforma
come segue
ossia, usando l'identit vettoriale
http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Equazioni_di_Maxwell&action=edit§ion=7http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_semplicemente_connesso -
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(C) = ( C) - 2C:
Tali equazioni sono dette
equazioni elettrodinamiche non
disaccoppiate, e possono essere trasformate in equazioni disaccoppiate grazie al
margine di arbitrariet contenuto nella definizione dei potenziali. Infatti, sfruttando
il fatto che il rotore di un campo gradiente nullo ed eseguendo la seguentetrasformazione:
dove un qualsiasi campo scalare sufficientemente
regolare, le espressioni per i campi elettrico e magnetico
rimangono invariate. Questa operazione detta
trasformazione di gauge.
Sfruttando l'invarianza di gauge possibile scegliere A in modo che soddisfi
determinate condizioni. In elettrodinamica frequente la scelta della condizione diLorenz, la quale ottenuta scegliendo opportunamente in modo tale che:
Tale condizione determina la forma covariante delle
equazioni di Maxwell per i potenziali che descrivono il
campo. Se i potenziali soddisfano la condizione di Lorenz si dice che essi
appartengono al gauge di Lorenz, che nel caso stazionario, cio quando non
dipende dal tempo, si riduce al gauge di Coulomb, anche detto "gauge trasversale".
Se la condizione di Lorenz soddisfatta le equazioni elettrodinamiche non
disaccoppiate diventano due equazioni disaccoppiate, corrispondenti a quattro
equazioni differenziali in quattro funzioni scalari incognite:
Tali espressioni descrivono
onde sferiche che avanzano
nello spaziotempo con velocit c.
Le componenti sono:
Si dimostra inoltre che, dato un particolare
problema elettromagnetico perfettamente
definito nelle sue condizioni iniziali e condizioni
al contorno, la soluzione delle equazioni di
Maxwell unica.
Pi precisamente, la soluzione delle equazioni
d'onda sono i potenziali ritardati, che nel gaugedi Lorenz assumono la forma:
http://it.wikipedia.org/wiki/Gauge_di_Lorenzhttp://it.wikipedia.org/wiki/Potenziali_ritardatihttp://it.wikipedia.org/wiki/Condizioni_al_contornohttp://it.wikipedia.org/wiki/Condizioni_inizialihttp://it.wikipedia.org/wiki/Onda_sfericahttp://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Gauge_di_Coulomb&action=edit&redlink=1http://it.wikipedia.org/wiki/Gauge_di_Lorenzhttp://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_di_gauge -
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dove la
distanza
del punto di osservazione del campo dall'elemento di volume d3x0 su cui si effettua
l'integrazione, e
il tempo ritardato.
[modifica] Forma tensoriale relativistica
I potenziali A e V possono essere usati per formare le componenti di un
quadrivettore. Per rendere conto delle trasformazioni relativistiche, consideriamo i
risultati ottenuti prima. Se formiamo un quadrivettore J con i termini noti delle
due equazioni scalari di Maxwell, otteniamo:
dove 0 la densit di carica a
riposo, misurata cio in un sistema solidale con la distribuzione di cariche, e U
rappresenta la quadrivelocit Adesso il quadripotenziale definito come
Per definizione di divergenza nello spazio di Minkowski
allora, per quanto visto prima
Questo fornisce la relazione
Ma questa non altro che la condizione di
Lorenz per l'invarianza di un quadrivettore.
Quindi l'operazione di gauge introdotta in precedenza stabiliva l'invarianza del
quadrivettore formato dalle componenti di A e V. Ne deriva che il campo
elettromagnetico una teoria di gauge.
Se consideriamo l'operatore di d'Alembert (d'alembertiano)
risulta che le equazioni di Maxwell possono essere scritte
molto brevemente nella forma
Le derivate delle componenti del quadripotenziale formano un
tensore del secondo ordine generato da un vettore polare E e da uno assiale B. Se si
pone si ha la rappresentazione
Lo studio delle soluzioni delle
equazioni di Maxwell scritte in
http://it.wikipedia.org/wiki/Operatore_di_d%27Alemberthttp://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_di_gaugehttp://it.wikipedia.org/wiki/Simmetria_di_gaugehttp://it.wikipedia.org/wiki/Quadrivettorehttp://it.wikipedia.org/wiki/Gauge_di_Lorenzhttp://it.wikipedia.org/wiki/Quadripotenzialehttp://it.wikipedia.org/wiki/Quadrivelocit%C3%A0http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Equazioni_di_Maxwell&action=edit§ion=8 -
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forma covariante l'oggetto
dell'elettrodinamica classica.
[modifica] Simmetria e teorema di dualit
Al secondo membro della terza equazione pu essere introdotto con utilit
puramente matematica almeno secondo la scienza normale odierna, un termine di
sorgente di densit di corrente magnetica Jm in modo da simmetrizzarla con la
quarta equazione, e nella seconda equazione un termine di densit di carica
magnetica m
in modo da simmetrizzarla con la prima. Sebbene non siano state
sinora osservate sperimentalmente cariche e/o correnti magnetiche l'utilit di tale
modifica consiste infatti nella possibilit di poter modellare, attraverso le grandezze
fittizie, grandezze reali (ad esempio comprendendo come mai una spira percorsa da
corrente possa essere una rappresentazione fisica di un dipolo magnetico).
Questo permette di enunciare il cosiddetto teorema di dualit elettromagnetico, per
il quale a partire dall'espressione di una grandezza elettrica o magnetica, possibile
ottenere l'espressione dell'altra corrispondente: le sostituzioni da operare sono le
seguenti
[modifica] Note
1. ^ Jackson, , Pag. 2
2. ^ Mencuccini, Silvestrini, , Pag. 456
3. ^ Mencuccini, Silvestrini, , Pag. 175
4. ^ Mencuccini, Silvestrini, , Pag. 351
5. ^ Richard Phillips Feynman, Leighton, R. e Sands, M.: The Feynman Lectureson Physics: The Definitive and Extended Edition, Addison Wesley, Reading
(MA) 2nd ed. 2005, ISBN 0-8053-9045-6. trad. it. dell'edizione 2005, a cura di di
G. Altarelli, C. Chiuderi, E. Clementel, S. Focardi, S. Franchetti, L. Monari, G.
Toraldo Francia, Zanichelli, Bologna, 2007, Volume 2 - Elettromagnetismo e
materia, Cap.XXV ISBN 978-88-08-14298-6.
6. ^ Mencuccini, Silvestrini, , Pag. 458
7. ^ Mencuccini, Silvestrini, , Pag. 288. ^ Mencuccini, Silvestrini, , Pag. 353
9. ^ Mencuccini, Silvestrini, , Pag. 396
http://it.wikipedia.org/wiki/Speciale:RicercaISBN/9788808142986http://it.wikipedia.org/wiki/Speciale:RicercaISBN/0805390456http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Equazioni_di_Maxwell&action=edit§ion=10http://it.wikipedia.org/wiki/Dipolo_magneticohttp://it.wikipedia.org/wiki/Monopolo_magneticohttp://it.wikipedia.org/wiki/Termine_di_sorgentehttp://it.wikipedia.org/wiki/Scienza_normalehttp://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Equazioni_di_Maxwell&action=edit§ion=9http://it.wikipedia.org/wiki/Elettrodinamica_classica -
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10. ^ Mencuccini, Silvestrini, , Pag. 397
11. ^ Raymond Bonnett, Shane Cloude, An Introduction to Electromagnetic Wave
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12. ^JC Slater and NH Frank, Electromagnetism, Reprint of 1947 edition, Courier Dover
Publications, 1969. ISBN 0486622630
13. ^ Mencuccini, Silvestrini, , Pag. 398
14. ^ Mencuccini, Silvestrini, , Pag. 50215. ^ Mencuccini, Silvestrini, , Pag. 503
16. ^ Jackson, , Pag. 239
17. ^ Jackson, , Pag. 14
18. ^ Mencuccini, Silvestrini, , Pag. 457
19. ^ Mencuccini, Silvestrini, , Pag. 504
20. ^ Mencuccini, Silvestrini, , Pag. 514
21. ^ Jackson, , Pag. 241
22. ^ Jackson, , Pag. 242
23. ^ Jackson, , Pag. 240
24. ^ Mencuccini, Silvestrini, , Pag. 505
25. ^ Mencuccini, Silvestrini, , Pag. 506
[modifica] Bibliografia
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ISBN 978-88-207-1633-2
(EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999. ISBN
047130932X
(EN) Maxwell, James Clerk, "A Treatise on Electricity and Magnetism", Clarendon
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(EN) Tipler, Paul (1998). Physics for Scientists and Engineers: Vol. 2: Electricity and
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(EN) Serway, Raymond; Jewett, John (2003). Physics for Scientists and Engineers(6 ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-40842-7
(EN) Saslow, Wayne M.(2002). Electricity, Magnetism, and Light . Thomson
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coefficients of potential.
G. Gerosa; P. Lampariello, Lezioni di Campi Elettromagnetici, Seconda edizione,
Roma, Ingegneria 2000, 2006. ISBN 978886658362
[modifica] Collegamenti esterni
Le equazioni di Maxwell
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7/30/2019 Equazioni Di Maxwell
11/11
(EN) A tensor treatment of Maxwell's equations
(EN) Lecture series: Relativity and electromagnetism
[modifica] Voci correlate
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