equazioni di maxwell

7/30/2019 Equazioni Di Maxwell

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Equazioni di Maxwell

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Infisica, in particolare in elettrodinamica classica, le equazioni di Maxwell sono un

sistema di quattro equazioni differenziali alle derivate parziali lineari in quattro

variabili che descrivono completamente l'interazione elettromagnetica classica. Essecostituiscono l'anello di congiunzione tra la distribuzione di carica del campo e la

sua dinamica.

La conoscenza dei campi infatti sufficiente alla determinazionedinamica del

sistema in assenza di forze di altra tipologia attraverso la legge di Lorentz:

dove il vettore v la velocit con cui si muove la carica

q nel sistema di riferimento considerato.Ciascuna delle due coppie delle equazioni a sua volta sufficiente alla

determinazione del proprio campo a partire dalla distribuzione di cariche e correnti,

secondo il teorema di Helmholtz. Non sono tuttavia nel loro insieme necessarie in

senso stretto, poich le otto equazioni scalari possono infatti essere ridotte a sette

introducendo l'equazione di continuit:

Il teorema di Gauss per il campo elettrico e quello per il

campo magnetico sono infatti ricavabili applicando l'operatoredivergenza alle restanti due equazioni. Insieme al teorema di dualit, questo legame

porta alla unificazione costituita dal tensore elettromagnetico.

[modifica] Cenni storici

Le equazioni appaiono per la prima volta al completo ed in forma differenziale nel

testo "A Treatise on Electricity and Magnetism", pubblicato da James Clerk Maxwell

nel 1873, mentre la notazione moderna pi comune fu sviluppata da OliverHeaviside. La formulazione delle equazioni di Maxwell ha definito in modo

completo il legame tra campo elettrico E e campo magnetico H: nelle condizioni

stazionarie che storicamente furono e spesso anche didatticamente sono affrontate

per prime appaiono come campi diversi; gi Faraday osserv un'influenza

magnetica sul campo elettrico; con l'ultima aggiunta di Maxwell dell'influenza

elettrica nel campo magnetico attraverso l'introduzione della corrente di

spostamento si arriva ad un'influenza reciproca e in questa nuova sintesi i due entivengono finalmente considerati a tutti gli effetti manifestazioni diverse di un unico

campo. Esse costituiscono perci il primo nucleo della unificazione delle interazioni
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fondamentali in fisica, unificando definitivamente elettricit e magnetismo.

La loro importanza non si esaurisce per sul piano storico nel loro carattere

sintetico: esse hanno anche un carattere predittivo che apr alla previsione delle onde

elettromagnetiche, prima sconosciute, del cui studio sar pioniere Righi e che

porteranno alla scoperta di Marconi. In terzo luogo si pu affermare che possiedano

anche un carattere definitivamente svalutativo di alcuni vecchi strumenti matematici

tipici dell'approccio iniziale non invarianti: primo tra tutti la linea di campo, la cui

configurazione nell'universo in esame non comune a tutti i sistemi di riferimento

inerziale, che vedono distribuirsi lo stesso effetto sulle stesse cause elettriche o

magnetiche ma in rapporto differente a seconda della loro velocit relativa. E

concludendo alla prima e finora pi radicale rivoluzione della metrica della storia

della scienza, che aprir ad Einstein l'unificazione dello spazio-tempo e la nuova

teoria della gravitazione che si ritiene debba venire soddisfatta da tutte le

interazioni del mondo fisico.

La sintesi ulteriore delle equazioni ha inizialmente costituito motivo di ricerca: in

primis l'introduzione del tensore elettromagnetico, mentre quella del potenziale

vettore e l'applicazione relativistica ad esso della notazione quadrivettoriale

sicuramente divenuta la pi utilizzata con la nascita della elettrodinamica

quantistica e infine con la teoria quantistica dei campi, che danno maggior

significato fisico al concetto di quadripotenziale che a quello di campo tensoriale,

tanto che modernamente ci si ferma ad essi per determinare la dinamica del sistema

[modifica] Le equazioni

Nel sistema di unit di misura internazionale la forma delle equazioni di Maxwell

la seguente:

Se i campi si propagano nel vuoto la prima e la quarta equazione assumono la

forma:

Dove il campo elettrico, l'induzione elettrica, il campo magnetico e il

campo magnetico nei materiali, la densit di carica e J il vettore densit di

corrente. Le costanti 0 e 0 sono dette rispettivamente costante dielettrica del vuoto

e permeabilit magnetica del vuoto, e sono legate dalla relazione 1/c2 = 00, dove

c la velocit della luce.

La formulazione delle equazioni di Maxwell data in precedenza la pi generale, esi sono usati l'induzione elettrica e il campo magnetico definiti

indipendentemente dal mezzo in cui si trovano.
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Tali campi sono infatti dati da:

e tengono conto dei contributi delle cariche

di polarizzazione e delle correnti di magnetizzazione nella materia, poich i vettori

polarizzazione elettrica e magnetica rappresentano il valor medio del

momento di dipolo elettrico e magnetico per unit di volume. Per una corretta

descrizione dei campi elettromagnetici all'interno dei mezzi materiali, dunque,

necessario tenere conto del fatto che questi interagiscono con i campi polarizzandosi

e magnetizzandosi.

Nel caso pi semplice di mezzi lineari, stazionari, omogenei, non dispersivi e

isotropi, in cui i vettori polarizzazione e magnetizzazione sono direttamente

proporzionali rispettivamente ai campi elettrico e magnetico, le relazioni fra i campi

divengono:

dove le costanti r e r sono la costantedielettrica e la permeabilit magnetica relative caratteristiche del mezzo.

[modifica] Derivazione

Le equazioni di Maxwell rappresentano la forma locale delle leggi fisiche che

governano i fenomeni di propagazione del campo elettromagnetico. Nel seguito si

descrive tale relazione.

[modifica] Forma locale e globale

Matematicamente le equazioni in forma locale sono differenziali lineari in quattro

variabili, mentre in forma globale sono integrali: per metterle in relazione

necessario perci applicare il teorema di Stokes nelle sue forme bidimensionale e

tridimensionale. Nel caso particolare di campi variabili in maniera sinusoidale nel

tempo, le equazioni di Maxwell possono essere scritte nel dominio della frequenza,

ovvero nel dominio dei fasori, semplicemente applicando la trasformata di Fourier aciascun membro ed ottenendo una semplificazione nella trattazione e nel loro

specifico utilizzo.

Gli strumenti matematici principali che permettono di ricavare il legame tra la

forma locale e la forma globale sono due:

Il teorema della divergenza nel caso tridimensionale, che influisce sulla forma

della Legge di Gauss per entrambi i campi. Il teorema afferma che il flusso di

un campo attraverso una superficie chiusa pari all'integrale su un volume di

cui la frontiera (unico nello spazio tridimensionale) della divergenza del
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campo stesso:

Il teorema del rotore nel caso bidimensionale, che

influisce sulla forma della Legge di Faraday-

Neumann-Lenz e della Legge di Ampre-Maxwell. Il teorema che la

circuitazione di un campo pari all'integrale su una superficie che essa

racchiude (molteplici nello spazio tridimensionale) del rotore del campo stesso:

.

[modifica] Derivazione formale

Le equazioni di Maxwell descrivono sinteticamente tutte le propriet del campo

elettromagnetico, e per ricavarne la forma integrale dalla corrispondente forma

locale necessario applicare il teorema di Green o il teorema della divergenza. Nel

caso particolare di campi variabili in maniera sinusoidale nel tempo, le equazioni di

Maxwell possono essere scritte nel dominio della frequenza, ovvero nel dominio dei

fasori, semplicemente applicando la trasformata di Fourier a ciascun membro ed

ottenendo una semplificazione nella trattazione e nel loro specifico utilizzo.

Il Teorema del flusso, detta anche Legge di Gauss, afferma che il flusso del

campo elettrico attraverso una superficie chiusa pari alla somma delle cariche

contenute nella superficie divise per la permittivit elettrica:

Dal teorema della divergenza si ha:

ed

uguagliando gli integrandi nell'ultima relazione si ottiene la forma locale del

teorema del flusso per il campo elettrico.

La legge di Faraday-Neumann-Lenz afferma che la variazione nel tempo delflusso del campo magnetico concatenato ad un circuito genera una forza

elettromotrice nel circuito stesso, la quale si oppone alla variazione del flusso:

applicando il teorema di Stokes al

primo membro:

e quindi:

Uguagliando gli

integrandi segue la
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relazione locale.

L'estensione della legge di Ampre al caso non stazionario mostra come un

campo elettrico variabile nel tempo sia sorgente di un campo magnetico.

Ponendo di essere nel vuoto, la forma locale della legge di Ampre costituisce

la quarta equazione di Maxwell nel caso stazionario:

Tale relazione vale solamente nel caso stazionario poichimplica che la divergenza della densit di corrente sia nulla, contraddicendo in

questo modo l'equazione di continuit per la corrente elettrica. Per estendere la

legge di Ampre al caso non stazionario necessario inserire la prima legge di

Maxwell nell'equazione di continuit:

Il termine

detto corrente di spostamento,

e deve essere aggiunto alla

densit di corrente nel caso non stazionario. Inserendo la densit di corrente

generalizzata cos ottenuta nella legge di Ampre:

si ottiene la relazione locale. Tale equazione

perfettamente simmetrica rispetto alla precedente

equazione, e le due relazioni rappresentano complessivamente il nucleo delleequazioni di Maxwell in quanto da esse ricavabile l'equazione delle onde,

mostrando quindi che il campo elettromagnetico si propaga sotto forma di

onde elettromagnetiche.

Il teorema del flusso per il campo magnetico afferma infine che il flusso del

campo magnetico attraverso una superficie chiusa nullo. Ci si pu spiegare

dal fatto che le linee di forza del campo magnetico sono chiuse, e pertanto il

contributo al flusso di ogni linea entrante alla superficie annullato dalcontributo della stessa linea uscente. Matematicamente la relazione si ricava

applicando l'operatore divergenza ad entrambi i membri della legge di Biot-

Savart.

[modifica] Soluzioni

Ponendo che i campi si propaghino nel vuoto, la terza equazione di Maxwell

stabilisce che la divergenza di B nulla, e poich la divergenza di un rotore sempre nulla il campo magnetico pu essere espresso come il rotore di un campo

vettorialeA, il potenziale vettore:
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Tale relazione valida ponendo di trovarsi in un dominio

semplicemente connesso.

Possiamo allora riscrivere la terza equazione di Maxwell come:

che pu anche essere espressa come:

Poich il termine tra parentesi irrotazionale, esso puessere scritto come il gradiente di una funzione scalare,

il potenziale scalare :

da cui segue:

La soluzione delle equazioni di Maxwell nel vuoto quindi

la seguente:

Nel caso i campi si propaghino in un mezzo, le quattro

equazioni non omogenee possono essere risolte solo

conoscendo le relazioni costitutive tra i campi nel vuoto e

nella materia, che non sono sempre lineari e dipendono fortemente dalle

caratteristiche del materiale.

Tutte le informazioni sul campo elettromagnetico possono quindi essere date

attraverso l'espressione dei potenziali generalizzati, che sono definiti con quattro

equazioni scalari, di cui tre per il potenziale vettore ed una per il potenziale scalare.Il fatto che le equazioni di Maxwell siano invece sei equazioni scalari dovuto al

fatto che esse contengono delle propriet ulteriori: il campo elettromagnetico

infatti esprimibile attraverso i potenziali solo se soddisfa le equazioni di Maxwell.

[modifica] Espressione dei potenziali generalizzati

Per ricavare le quattro equazioni scalari che definiscono i potenziali generalizzati si

procede come segue:

La prima equazione di Maxwell pu essere riscritta come:

ovvero:

La quarta equazione di

Maxwell, invece, si trasforma

come segue

ossia, usando l'identit vettoriale
http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Equazioni_di_Maxwell&action=edit&section=7http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_semplicemente_connesso


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(C) = ( C) - 2C:

Tali equazioni sono dette

equazioni elettrodinamiche non

disaccoppiate, e possono essere trasformate in equazioni disaccoppiate grazie al

margine di arbitrariet contenuto nella definizione dei potenziali. Infatti, sfruttando

il fatto che il rotore di un campo gradiente nullo ed eseguendo la seguentetrasformazione:

dove un qualsiasi campo scalare sufficientemente

regolare, le espressioni per i campi elettrico e magnetico

rimangono invariate. Questa operazione detta

trasformazione di gauge.

Sfruttando l'invarianza di gauge possibile scegliere A in modo che soddisfi

determinate condizioni. In elettrodinamica frequente la scelta della condizione diLorenz, la quale ottenuta scegliendo opportunamente in modo tale che:

Tale condizione determina la forma covariante delle

equazioni di Maxwell per i potenziali che descrivono il

campo. Se i potenziali soddisfano la condizione di Lorenz si dice che essi

appartengono al gauge di Lorenz, che nel caso stazionario, cio quando non

dipende dal tempo, si riduce al gauge di Coulomb, anche detto "gauge trasversale".

Se la condizione di Lorenz soddisfatta le equazioni elettrodinamiche non

disaccoppiate diventano due equazioni disaccoppiate, corrispondenti a quattro

equazioni differenziali in quattro funzioni scalari incognite:

Tali espressioni descrivono

onde sferiche che avanzano

nello spaziotempo con velocit c.

Le componenti sono:

Si dimostra inoltre che, dato un particolare

problema elettromagnetico perfettamente

definito nelle sue condizioni iniziali e condizioni

al contorno, la soluzione delle equazioni di

Maxwell unica.

Pi precisamente, la soluzione delle equazioni

d'onda sono i potenziali ritardati, che nel gaugedi Lorenz assumono la forma:
http://it.wikipedia.org/wiki/Gauge_di_Lorenzhttp://it.wikipedia.org/wiki/Potenziali_ritardatihttp://it.wikipedia.org/wiki/Condizioni_al_contornohttp://it.wikipedia.org/wiki/Condizioni_inizialihttp://it.wikipedia.org/wiki/Onda_sfericahttp://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Gauge_di_Coulomb&action=edit&redlink=1http://it.wikipedia.org/wiki/Gauge_di_Lorenzhttp://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_di_gauge


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dove la

distanza

del punto di osservazione del campo dall'elemento di volume d3x0 su cui si effettua

l'integrazione, e

il tempo ritardato.

[modifica] Forma tensoriale relativistica

I potenziali A e V possono essere usati per formare le componenti di un

quadrivettore. Per rendere conto delle trasformazioni relativistiche, consideriamo i

risultati ottenuti prima. Se formiamo un quadrivettore J con i termini noti delle

due equazioni scalari di Maxwell, otteniamo:

dove 0 la densit di carica a

riposo, misurata cio in un sistema solidale con la distribuzione di cariche, e U

rappresenta la quadrivelocit Adesso il quadripotenziale definito come

Per definizione di divergenza nello spazio di Minkowski

allora, per quanto visto prima

Questo fornisce la relazione

Ma questa non altro che la condizione di

Lorenz per l'invarianza di un quadrivettore.

Quindi l'operazione di gauge introdotta in precedenza stabiliva l'invarianza del

quadrivettore formato dalle componenti di A e V. Ne deriva che il campo

elettromagnetico una teoria di gauge.

Se consideriamo l'operatore di d'Alembert (d'alembertiano)

risulta che le equazioni di Maxwell possono essere scritte

molto brevemente nella forma

Le derivate delle componenti del quadripotenziale formano un

tensore del secondo ordine generato da un vettore polare E e da uno assiale B. Se si

pone si ha la rappresentazione

Lo studio delle soluzioni delle

equazioni di Maxwell scritte in
http://it.wikipedia.org/wiki/Operatore_di_d%27Alemberthttp://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_di_gaugehttp://it.wikipedia.org/wiki/Simmetria_di_gaugehttp://it.wikipedia.org/wiki/Quadrivettorehttp://it.wikipedia.org/wiki/Gauge_di_Lorenzhttp://it.wikipedia.org/wiki/Quadripotenzialehttp://it.wikipedia.org/wiki/Quadrivelocit%C3%A0http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Equazioni_di_Maxwell&action=edit&section=8


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forma covariante l'oggetto

dell'elettrodinamica classica.

[modifica] Simmetria e teorema di dualit

Al secondo membro della terza equazione pu essere introdotto con utilit

puramente matematica almeno secondo la scienza normale odierna, un termine di

sorgente di densit di corrente magnetica Jm in modo da simmetrizzarla con la

quarta equazione, e nella seconda equazione un termine di densit di carica

magnetica m

in modo da simmetrizzarla con la prima. Sebbene non siano state

sinora osservate sperimentalmente cariche e/o correnti magnetiche l'utilit di tale

modifica consiste infatti nella possibilit di poter modellare, attraverso le grandezze

fittizie, grandezze reali (ad esempio comprendendo come mai una spira percorsa da

corrente possa essere una rappresentazione fisica di un dipolo magnetico).

Questo permette di enunciare il cosiddetto teorema di dualit elettromagnetico, per

il quale a partire dall'espressione di una grandezza elettrica o magnetica, possibile

ottenere l'espressione dell'altra corrispondente: le sostituzioni da operare sono le

seguenti

[modifica] Note

1. ^ Jackson, , Pag. 2

2. ^ Mencuccini, Silvestrini, , Pag. 456



5. ^ Richard Phillips Feynman, Leighton, R. e Sands, M.: The Feynman Lectureson Physics: The Definitive and Extended Edition, Addison Wesley, Reading

(MA) 2nd ed. 2005, ISBN 0-8053-9045-6. trad. it. dell'edizione 2005, a cura di di

G. Altarelli, C. Chiuderi, E. Clementel, S. Focardi, S. Franchetti, L. Monari, G.

Toraldo Francia, Zanichelli, Bologna, 2007, Volume 2 - Elettromagnetismo e

materia, Cap.XXV ISBN 978-88-08-14298-6.


7. ^ Mencuccini, Silvestrini, , Pag. 288. ^ Mencuccini, Silvestrini, , Pag. 353

http://it.wikipedia.org/wiki/Speciale:RicercaISBN/9788808142986http://it.wikipedia.org/wiki/Speciale:RicercaISBN/0805390456http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Equazioni_di_Maxwell&action=edit&section=10http://it.wikipedia.org/wiki/Dipolo_magneticohttp://it.wikipedia.org/wiki/Monopolo_magneticohttp://it.wikipedia.org/wiki/Termine_di_sorgentehttp://it.wikipedia.org/wiki/Scienza_normalehttp://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Equazioni_di_Maxwell&action=edit&section=9http://it.wikipedia.org/wiki/Elettrodinamica_classica


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11. ^ Raymond Bonnett, Shane Cloude, An Introduction to Electromagnetic Wave

Propagation and Antennas, Taylor & Francis, 1995. ISBN 1857282418

12. ^JC Slater and NH Frank, Electromagnetism, Reprint of 1947 edition, Courier Dover

Publications, 1969. ISBN 0486622630


14. ^ Mencuccini, Silvestrini, , Pag. 50215. ^ Mencuccini, Silvestrini, , Pag. 503











[modifica] Bibliografia

Corrado Mencuccini; Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010.

ISBN 978-88-207-1633-2

(EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999. ISBN

047130932X

(EN) Maxwell, James Clerk, "A Treatise on Electricity and Magnetism", Clarendon

Press, Oxford, 1873

(EN) Tipler, Paul (1998). Physics for Scientists and Engineers: Vol. 2: Electricity and

Magnetism, Light (4th ed.). W. H. Freeman. ISBN 1-57259-492-6

(EN) Serway, Raymond; Jewett, John (2003). Physics for Scientists and Engineers(6 ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-40842-7

(EN) Saslow, Wayne M.(2002). Electricity, Magnetism, and Light . Thomson

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Roma, Ingegneria 2000, 2006. ISBN 978886658362

[modifica] Collegamenti esterni

Le equazioni di Maxwell
http://www.electroyou.it/vis_resource.php?section=Lezio&id=107http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Equazioni_di_Maxwell&action=edit&section=12http://it.wikipedia.org/wiki/Speciale:RicercaISBN/0126194556http://it.wikipedia.org/wiki/Lingua_inglesehttp://it.wikipedia.org/wiki/Speciale:RicercaISBN/0534408427http://it.wikipedia.org/wiki/Lingua_inglesehttp://it.wikipedia.org/wiki/Speciale:RicercaISBN/1572594926http://it.wikipedia.org/wiki/Lingua_inglesehttp://it.wikipedia.org/wiki/1873http://it.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwellhttp://it.wikipedia.org/wiki/Lingua_inglesehttp://it.wikipedia.org/wiki/Speciale:RicercaISBN/047130932Xhttp://it.wikipedia.org/wiki/Lingua_inglesehttp://it.wikipedia.org/wiki/Speciale:RicercaISBN/9788820716332http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Equazioni_di_Maxwell&action=edit&section=11http://it.wikipedia.org/wiki/Speciale:RicercaISBN/0486622630http://books.google.com/books?id=GYsphnFwUuUC&pg=PA83&dq=displacement+%22ampere%27s+law%22&lr=&as_brr=0#PPA84,M1http://it.wikipedia.org/wiki/Speciale:RicercaISBN/1857282418http://books.google.com/books?id=gME9zlyG304C&pg=PA16&dq=wave+%22displacement+current%22&lr=&as_brr=0#PPA16,M1


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(EN) A tensor treatment of Maxwell's equations

(EN) Lecture series: Relativity and electromagnetism

[modifica] Voci correlate

Calcolo vettoriale

Divergenza

Elettromagnetismo

Equazioni di Jefimenko

Fasci Gaussiani

Forza di Lorentz

Magnetismo nella materia

Onde piane

Operatore Nabla

QuadrivettoreRotore

Termine di sorgente

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