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Generation of self-similar Gaussian time series by
means of the DWT and DWPT variance mapsI. R. Lund and J. R. de A. Amazonas
Abstract— Due to the several kinds of services that use theInternet and data networks infra-structures, the present networksare characterized by the diversity of types of traffic that havestatistical properties as complex temporal correlation and non-gaussian distribution. The networks complex temporal correla-tion may be characterized by the Short Range Dependence -(SRD) and the Long Range Dependence - (LRD). Models as thefGN (Fractional Gaussian Noise) may capture the LRD but notthe SRD.
This work presents two methods for traffic generation thatsynthesize approximate realizations of the self-similar fGN withSRD random process. The first one employs the IDWT (InverseDiscrete Wavelet Transform) and the second the IDWPT (InverseDiscrete Wavelet Packet Transform). It has been developed thevariance map concept that allows to associate the LRD andSRD behaviors directly to the wavelet transform coefficients.The developed methods are extremely flexible and allow thegeneration of Gaussian time series with complex statisticalbehaviors.
Keywords— Self-similarity, long range dependence (LRD),short range dependence (SRD), traffic, wavelets, variance, waveletpacket.
I. INTRODUCAO
COM os avancos tecnologicos na area de
telecomunicacoes, redes e aplicacoes, a Internet e
as redes de dados corporativas passaram a ser a infra-
estrutura para diversos tipos de servicos com diferentes
caracterısticas de trafego. Sao exemplos de tais servicos
as aplicacoes mais tradicionais como navegar na web e as
aplicacoes multimıdia como voz sobre IP, transmissao de
vıdeo e mensagens instantaneas. Assim, as atuais redes sao
caracterizadas pela diversidade de tipos de trafego os quais
possuem diversas propriedades estatısticas como correlacao
temporal complexa e distribuicao nao Gaussiana.
Sendo assim, modelar trafego e entende-lo e importante
para o projeto e simulacao de redes, para prover qualidade de
servico (QoS) para diversas aplicacoes e para o gerenciamento
e controle das redes. Varios modelos foram propostos no
passado para modelar o trafego de redes como o processo
aleatorio de Poisson [1] [2]. Entretanto, e necessario modelar
de forma realista o trafego de redes heterogeneo que possui
duas propriedades estatısticas pertinentes: correlacao temporal
complexa e distribuicao marginal nao Gaussiana que resultam
da complexidade das redes IP e da atual diversidade de
aplicacoes. A correlacao temporal complexa do trafego de
redes pode ser caracterizada pela dependencia de curta duracao
I. R. Lund, Laboratorio de Comunicacoes e Sinais do Departamento de Enge-nharia de Telecomunicacoes e Controle da Escola Politecnica da Universidadede Sao Paulo (LCS-PTC-EPUSP), [email protected]. R. A. Amazonas, LCS-PTC-EPUSP, [email protected]
(Short Range Dependence - SRD) e dependencia de longa
duracao (Long Range Dependence - LRD). Aplicacoes como
voz sobre IP (VoIP) e VBR (Variable Bit Rate) video traces
geram trafego com a propriedade SRD, enquanto aplicacoes
como requisicao de uma pagina web geram trafego LRD. De
fato, trafego de redes como VBR podem exibir uma mistura
complexa de SRD e LRD [3]. Trabalhos feitos com medidas
tanto em redes locais [4] quanto em redes de grande area [5]
mostraram que o trafego das redes possui propriedades fractais
tais como memoria longa (LRD) e auto-similaridade. Foi
constatado que as aplicacoes de tempo real sao caracterizadas
pela SRD. Ja aplicacoes que nao sao de tempo real como
video-on-demand, comunicacao de dados e algumas tarefas
de gerenciamento de redes devem ser modeladas por modelos
de trafego que capturem a dependencia temporal em largas
escalas de tempo (LRD) [3].
A. Contribuicoes do Trabalho
Este artigo apresenta dois metodos para gerar trafego que
sintetiza realizacoes aproximadas do processo aleatorio auto-
similar fGN utilizando wavelet. Ambos metodos geram series
que apresentam dependencia de longa duracao (LRD). O
primeiro metodo, chamado de DWT com mapa de variancias,
gera as realizacoes fGN simulando um sinal gaussiano 1/fα
a partir da IDWT (Inverse Discrete Wavelet Transform -
Transformada Wavelet Discreta Inversa) de uma matriz de
coeficientes, gerada assumindo-se que: a) a progressao da
variancia dos coeficientes wavelet e exponencial; b) os coefi-
cientes wavelet intra-escala sao i.i.d (i.i.d significa indepen-
dente e identicamente distribuıdos.) e c) nao ha correlacao
entre escalas. O segundo metodo, chamado de DWPT com
mapa de variancias, gera as realizacoes fGN simulando um
sinal gaussiano 1/fα a partir da IDWPT (Inverse Discrete
Wavelet Packet Transform) utilizando o conceito de mapa de
variancias wavelet packet. A fim de introduzir SRD em tais
series para que tenham a caracterıstica de series mistas (LRD e
SRD) sem a necessidade de a geracao passar por dois estagios
como em [6], foi calculado uma mapa de variancias SRD com
a introducao do ganho SRD nas variancias dos coeficientes do
nıvel menos refinado do mapa de variancias calculado para a
geracao das series LRD, referentes ao intervalo de frequencia
onde se pretende introduzir o comportamento SRD.
A validacao dos metodos DWT com mapa de variancias e
DWPT foi feita em duas etapas: 1) Efetuou-se uma analise
comparativa entre as series geradas pelos metodos DWT de
Backar, DWT com mapa de variancias e DWPT a fim de
verificar que as series geradas pelos metodos DWT com mapa
de variancias e DWPT sao 1/f e LRD assim como as geradas
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pelo metodo DWT de Backar implementado em [7]. Essa
analise foi feita pelos graficos do periodograma e da funcao de
autocorrelacao e pela estimativa do parametro de Hurst pelos
metodos de Whittle e do periodograma; 2) Compararam-se as
series geradas pelos metodos DWT com mapa de variancias e
DWPT antes e depois da insercao do ganho SRD pela analise
dos periodogramas.
B. Organizacao do Artigo
Apos esta Introducao, a Secao II apresenta os principais
trabalhos correlacionados. A Secao III faz uma revisao teorica
dos seguintes conceitos: Ruıdo Gaussiano Fracionario (fGN)
que foi o primeiro modelo auto-similar a ser proposto na
literatura e que, ate hoje, e um dos processos 1/fα mais rele-
vantes, DWT (Discrete Wavelet Transform) e DWPT (Discrete
Wavelet Packet Transform). A Secao IV apresenta o mapa
de variancias wavelet packet onde a expressao da variancia
wavelet packet e deduzida a partir da expressao da variancia
wavelet e e calculado o mapa de variancias wavelet packet
para o fGN. Na Secao V sao descritos os metodos DWT com
mapa de variancias e DWPT para Geracao de Series Temporais
Gaussianas com LRD e com a introducao de SRD. A Secao
VI apresenta os resultados atraves da validacao dos metodos
DWT com mapa de variancias e DWPT desenvolvidos neste
trabalho. A Secao VII apresenta as conclusoes e sugestoes de
trabalhos futuros.
II. TRABALHOS CORRELACIONADOS
Em [8] foi introduzido o metodo DHM (Davies and Harte
Method) de geracao de realizacoes de processos estacionarios
Gaussianos de media nula. O metodo e baseado na Fast
Fourier Transform (FFT). Outro metodo baseado na FFT,
denominado Gaussian Spectral Synthesis Method (GSSM) foi
publicado em [9]. Em [10], foi proposto um metodo de geracao
de realizacoes aproximadas do fGN baseado na FFT. Paxson
demonstrou que o seu metodo gera series estatisticamente
indistinguıveis de realizacoes fGN e que essas series podem
ser utilizadas na geracao de trafego de redes auto-similares.
O trabalho descrito em [11] tem o objetivo de sintetizar
trafego em “tempo-real” semelhante ao encontrado em redes
reais. E mencionado um possıvel uso para o trafego sinte-
tizado com caracterısticas reais e sua vantagem: utilizacao
em ambientes de teste para comparacao de performance de
equipamentos de rede obtendo resultados mais realistas. Nesse
estudo, afirma-se que a auto-similaridade, a ocorrencia de
bursts e a “dependencia de longa duracao” caracterizam o
trafego encontrado nas redes de dados.
Em [6], foi modelado e implementado um gerador de trafego
que exibe caracterısticas auto-similares para uso em redes
IP. Esse artigo mostra a sıntese de realizacoes aproximadas
do processo aleatorio auto-similar fGN via transformada wa-
velet discreta (DWT). Sao geradas series que apresentam
dependencia de longa duracao (LRD). Para sintetizar series
que tambem apresentem dependencia de curta duracao (SRD),
a geracao foi feita em dois estagios. O primeiro gera as
realizacoes fGN similar ao gerador implementado em Backar
[11] simulando um sinal gaussiano 1/fα a partir da IDWT
(Inverse Discrete Wavelet Transform - Transformada Wave-
let Discreta Inversa) de uma matriz de coeficientes, gerada
assumindo-se que: a) a progressao da variancia dos coefi-
cientes wavelet e exponencial conforme deduzido em [12];
b) os coeficientes wavelet intra-escala sao i.i.d e c) nao ha
correlacao entre escalas. O segundo estagio introduz SRD
atraves de uma filtragem IIR (Infinite Impulse Response) da
saıda do primeiro estagio.
Este trabalho estende aquele desenvolvido em [6] por meio
do uso do mapa de variancias que aumenta a flexibilidade para
a introducao de dependencias SRD mais complexas e elimina
a etapa de filtragem, isto e, as dependencias LRD e SRD sao
introduzidas simultaneamente.
III. REVISAO TEORICA
A densidade espectral de potencia (DEP) de um processo
de memoria longa tem um polo na origem. O grau de LRD e
impulsividade do trafego e expresso em termos do parametro
de Hurst [13] [14], 0 < H < 1 (α = 2H - 1). Quando
1/2 < H < 1, o trafego e auto-similar e LRD. Quanto maior
H, maior o grau de LRD. A auto-similaridade esta associada a
apresentacao de estruturas similares em diferentes escalas de
observacao. No caso de trafego, a alternancia de perıodos de
surtos e de suavidade (impulsividade e burstiness) e a LRD sao
mantidas em varias escalas de tempo onde a auto-similaridade
ocorre em um sentido estatıstico. Os processos LRD sao
conhecidos como processos com espectro 1/fα, 0 < α < 1.
Modelos como processos fGN (Fractional Gaussian Noise)
podem capturar a LRD mas nao a SRD.
A transformada wavelet e indicada para a sıntese de sinais
1/fα [15] [16] porque:
• os coeficientes wavelet de um processo 1/fα sao aproxi-
madamente nao correlacionados no plano tempo-escala.
Portanto, a modelagem e o processamento desses si-
nais naquele domınio podem ser realizados de maneira
eficiente. Mais precisamente, pode-se afirmar que nao
ha correlacao entre coeficientes wavelet de uma mesma
escala e que a correlacao entre escalas diferentes e fraca
(neste caso, a correlacao e maior entre escalas adjacentes
[3]).
• e o metodo mais eficiente do ponto de vista computacio-
nal. A complexidade (em termos de operacoes de adicao
e multiplicacao) associada a geracao de uma realizacao
de M amostras e O(M) (A notacao O(aN ) significa que
o numero de operacoes necessarias Nop, a menos de uma
constante multiplicativa C, e menor ou igual a aN para
qualquer N (Nop ≤ CaN ).). Metodos baseados na FFT
(Fast Fourier Transform) [10], [9] possuem complexidade
O(MlogM). A tecnica de geracao no domınio do tempo
de Hosking [17], baseada nas recursoes de Levinson-
Durbin, requer O(M2) operacoes.
• oferece a possibilidade de sıntese de trafego nao-
gaussiano.
• a nocao de escala temporal e intrınseca a definicao da
transformada.
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A. Ruıdo Gaussiano Fracionario
O Ruıdo Gaussiano Fracionario, em ingles Fractional Gaus-
sian Noise, e um processo estocastico estacionario, auto-
similar e de memoria longa, proposto por [18] e bastante
explorado na literatura de series temporais [16]. Por ser um
processo estocastico estacionario de tempo discreto, o fGN
e exatamente auto-similar de segunda ordem com parametro
de Hurst H (1/2 < H < 1) se possuir sequencia de
autocovariancia dada por:
γX(τ) =σX
2
2[(τ + 1)2H − 2τ2H + (τ − 1)2H ], (1)
para todo τ ∈ Z.
O processo fGN Xk e normalmente definido como o pro-
cesso de incrementos associado ao processo fBM (Fractional
Brownian Motion) Y (t), t ∈ R, sendo o fBM um processo
gaussiano e H-sssi (H self-similar with stationary increments
- auto-similar com incrementos estacionarios). Desta maneira,
o fGN corresponde a primeira diferenca de um processo auto-
similar Yk denominado movimento Browniano fracionario de
tempo discreto (DFBM) [19] [16], em que o DFBM e obtido
atraves da amostragem do processo de tempo contınuo fBM.
Essa relacao e dada por (2):
Xk = Yk − BYk = Yk − Yk−1 = ∇Yk , (2)
em que B denota o operador atraso unitario e ∇ = (1 − B)e o operador diferenca.
A DEP (Densidade Espectral de Potencia) do DFBM e dada
por [16, pag. 280]:
SY (f) = σ2XCH
∞∑
j=−∞
1
|f + j|2H+1, (3)
em que σ2X e a potencia do fGN, CH = Γ(2H+1) sin (πH)
2π2H+1 e
0 < H < 1. De acordo com (3), a DEP do DFBM possui um
polo na origem, pois
SY (f) ∝ |f |−1−2H , f → 0 . (4)
O DFBM e um processo integrado de ordem 1 nao-
estacionario. Como Xk = ∇Yk, pode-se mostrar [16, pag.
280] que
SX(f) = 4 sin2 (πf)SY (f) . (5)
Como para pequenos valores de f tem-se sin(πf) ≈ f , a
DEP do fGN apresenta o seguinte comportamento proximo a
origem:
SX(f) ∝ f1−2H , f → 0 , (6)
entao o fGN satisfaz a relacao (7) de um processo estacionario
de memoria longa quando 0 < 2H − 1 < 1, ou seja, 1/2 <H < 1.
limf→0
SX(f)
CS |f |−α= 1, (7)
em que 0 < α < 1 e CS > 0.
Assim, (3) e (5) mostram que a DEP do fGN e caracterizada
por somente dois parametros: σ2X e H (responsavel pela forma
do espectro). Alem disso, e importante salientar que o fGN e
completamente especificado pelas suas estatısticas ate segunda
ordem, como a media e DEP, pois e gaussiano.
Pelo fato do fGN apresentar sequencia de autocovariancia
conforme (1), trata-se de um processo exatamente auto-similar
de segunda ordem quando 1/2 < H < 1. Para H = 1/2 , o
fGN reduz-se a um ruıdo branco gaussiano. Quando 0 < H <1/2, o processo e SRD.
B. Discrete Wavelet Transform
A transformada wavelet discreta (DWT) e uma ferramenta
basica para o estudo de series temporais e tem uma funcao
analoga a da transformada de Fourier discreta na analise
espectral [16]. A transformada wavelet discreta (DWT) da
serie temporal {Xt} e uma transformada ortonormal assim
como a transformada de Fourier discreta - Ortogonal Discrete
Fourier Transform (ODFT). Seja {Wn : n = 0, ..., N − 1}o conjunto de coeficientes DWT, entao, pode-se dizer que
W = WX, equacao conhecida como equacao de analise ou
de decomposicao, em que W e o vetor coluna de tamanho
N = 2J do qual o n-esimo elemento e o n-esimo coeficiente
DWT Wn, e W e uma matriz de transformacao ortogonal de
valor real N × N que define a DWT e satisfaz WTW = IN .
A ortonormalidade implica em X = WTW e ||W||2 = ||X||2.
O sinal no tempo contido em X pode ser completamente
recuperado por esta equacao que e conhecida como equacao
de sıntese ou de reconstrucao. W 2n representa a contribuicao
a energia atribuıda ao coeficiente DWT de ındice n [16].
O n-esimo coeficiente wavelet Wn e associado a uma certa
escala e a um certo intervalo de tempo.
A DWT pode tambem ser entendida como uma
decomposicao particular da serie temporal {Xt} dentre
todas as possıveis que sao obtidas pela DWPT.
C. Discrete Wavelet Packet Transform
A DWPT pode ser considerada como uma colecao de
transformadas ortonormais, sendo que cada uma delas pode
ser rapidamente calculada utilizando uma modificacao muito
simples do algoritmo da piramide [20] para a DWT. Cada
DWPT e associada com um nıvel j, e o j-esimo nıvel da
DWPT decompoe o intervalo de frequencia [0,1/2] em 2j
intervalos iguais e individuais. Devido a decomposicao do
nıvel J-1 dividir [0,1/2] em N/2=2J−1 intervalos iguais,
ha uma DWPT que simula, mas nao e a mesma, que a
decomposicao de [0,1/2] dada pela transformada discreta de
Fourier (DFT). Quando j = 1,...,J-1, a DWPT resulta no que
se pode chamar de decomposicao tempo-frequencia porque
cada coeficiente DWPT pode ser localizado numa banda de
frequencia especıfica e num intervalo de tempo especıfico (E
similar a motivacao da chamada transformada de Fourier de
tempo curto, a qual essencialmente e calculada pela aplicacao
da DFT a sub-series extraıdas de X.). Tambem pode-se criar
uma grande colecao de transformadas ortonormais atraves do
agrupamento cuidadoso de bases vetoriais selecionadas de
diferentes DWPTs. De fato, a DWT e todas DWTs parciais
podem ser formadas utilizando bases vetoriais de diferentes
LUND AND AMAZONAS : GENERATION OF SELF-SIMILAR GAUSSIAN 581
DWPTs. Entao, esse esquema leva a uma colecao de trans-
formadas flexıvel que serve como ponte entre decomposicoes
tempo/escala e tempo/frequencia [16].
W = WX representa os coeficientes wavelet obtidos pela
transformada de X utilizando a matriz DWT ortonormal N ×N W (Assume-se que N = 2J para qualquer inteiro J .). Na
pratica, a matriz W e gerada implicitamente pelo algoritmo
da piramide.
No domınio da frequencia, W1,1 esta relacionado ao inter-
valo de frequencia [ 14 , 1
2 ]; W2,1 ao intervalo [ 18 , 1
4 ]; e W2,0
ao intervalo [0, 18 ].
A decomposicao de X que se assemelha a analise de
multiresolucao da DWT usual:
‖X‖2= ‖W2,0‖
2+ ‖W2,1‖
2+ ‖W2,2‖
2+ ‖W2,3‖
2pode
produzir uma analise de variancia (ANOVA) similar a baseada
da DWT.
A Figura 1 e um exemplo de wavelet packet table ou wavelet
packet tree. Ja que o ponto inicial da analise e a serie temporal
X, define-se que W0,0 ≡ X. Assim, X esta associado com
uma doublet (j,n), no caso (0,0).
W0,0 = Xj=0
W1,0j=1 W1,1
W2,0j=2 W2,1 W2,2 W2,3
W3,0j=3 W3,1 W3,2 W3,3 W3,4 W3,5 W3,6 W3,7
0 1
16
1
8
1
4
3
16
5
16
3
8
7
16
1
2
G( )k
N
2
H( )k
N
2
G( )k
N1
2
H( )k
N1
2
H( )k
N1
2
G( )k
N1
2
G( )k
N2
2
G( )k
N2
2
H( )k
N2
2
H( )k
N2
2
G( )k
N2
2
G( )k
N2
2
H( )k
N2
2
H( )k
N2
2
f
Figura 1: Diagrama de fluxo ilustrando a analise de X em W3,0, . . ., W3,7.
Nj ≡ N/2j . Fonte: [16] pagina 212.
A colecao de doublets (j,n) formando os ındices dos nos da
tabela serao denotados por N ≡ {(j, n) : j = 0, . . . , J0; n =0, . . . , 2j − 1}, sendo possıvel escolher qualquer J0 que
satisfaca J0 ≤ J (como tambem e verdadeiro para DWTs
parciais, se J0 < J pode-se relaxar a estipulacao N = 2J
e permitir que N seja qualquer inteiro multiplo de 2J0). As
doublets (j,n) que formam os ındices dos coeficientes Wavelet
Packet (WP) correspondentes a uma transformada ortonormal
serao denotadas por C; por exemplo, C = {(3,n):n=0,. . .,7}para a transformada DWPT de nıvel j = 3 levando a W3,0,
. . ., W3,7. Claramente, C ⊂ N .
E interessante notar que alem das DWPTs, e possıvel extrair
outras transformadas ortonormais da tabela WP. Por exemplo,
todas DWTs parciais podem ser retiradas dessa tabela. Isso e
ilustrado pela Figura 2 na qual a DWT parcial de nıvel J0
= 3 consiste de quatro nos da tabela WP e sao eles: C ={(3, 0), (3, 1), (2, 1), (1, 1)}.
W0,0 = Xj=0
W1,0j=1 W1,1
W2,0j=2 W2,1
W3,0j=3 W3,1
0 1
16
1
8
G( )k
N
2
H( )k
N
2
G( )k
N1
2
H( )k
N1
2
G( )k
N2
2
H( )k
N2
2
1
4
f
Figura 2: Diagrama de fluxo ilustrando a analise de X em W3,0, W3,1,W2,1, W1,1 o qual e identico a DWT parcial de nıvel J0 = 3. Fonte: [16]pagina 212.
IV. MAPA DE VARIANCIAS WAVELET PACKET
A. Variancia Wavelet Packet
A variancia Wavelet (tambem chamada de espectro Wa-
velet) e uma quantidade teorica definida para explorar mais
profundamente a analise de variancia baseada em wavelet. A
variancia wavelet e interessante pelos seguintes pontos de vista
[16]:
• A variancia wavelet decompoe (analisa) a variancia de um
determinado processo estocastico numa base de escala.
• A variancia wavelet esta relacionada com os conceitos de
densidade espectral de potencia (DEP).
• A variancia wavelet e um bom substituto para a variancia
de um processo para alguns processos com variancia
infinita.
O segundo ponto de vista e o de interesse para este artigo e
que sera desenvolvido para a wavelet packet.
Assim como os coeficientes wavelet da DWT numa
determinada escala τj sao nominalmente associados com
frequencias no intervalo [1/2j+1,1/2j], os coeficientes da
DWPT num determinado nıvel j sao nominalmente associados
com frequencias no intervalo [n/2j+1,(n + 1)/2j+1].
υ2Y (τj) e a variancia dos coeficientes wavelet da DWT na
escala τj :
υ2Y (τj) ≈ 2
∫ 1/2j
1/2j+1
SY (f)df (8)
O fator 2 que multiplica a integral acima e devido a DEP
SY (.) ser uma funcao par de f no intervalo [-1/2,1/2].
Similarmente, υ2Y (j, n) e a variancia do n-esimo coeficiente
DWPT no nıvel j (doublet (j,n)):
υ2Y (j, n) ≈ 2j
∫ n+1/2j+1
n/2j+1
SY (f)df (9)
B. Mapa de variancias Wavelet Packet para o fGN
Como o objetivo deste trabalho e gerar series temporais
baseadas no modelo fGN, e necessario calcular o mapa de
variancias para os coeficientes DWPT que sera utilizado na
sıntese de series fGN via DWT e DWPT.
582 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 8, NO. 5, SEPTEMBER 2010
Admitindo-se que a DEP de um fGN possa ser aproximada
por:
SY (f) = f−α, (10)
substituindo (10) em (9), obtem-se a expressao para variancia
dos coeficientes DWPT para um processo fGN:
υ2Y ≈ 2j
∫ n+1/2j+1
n/2j+1
f−αdf
υ2Y (j, n) ≈
2j
1 − α
(
1
2j+1
)1−α[
(n + 1)1−α − n1−α
]
(11)
Como a DWT pode ser extraıda da tabela WP, o mapa
de variancias da DWT tambem pode ser extraıdo do mapa
de variancias da DWPT. Os coeficientes wavelet das escalas
j da DWT sao os coeficientes n=1 dos nıveis j da DWPT.
Entao, substituindo n=1 em (11), obtem-se a expressao para
a variancia do coeficiente wavelet de cada escala j:
υ2Y (τj) = υ2
Y (j, 1)
υ2Y (τj) ≈
1
1 − α
1
2−αj
(
1 −1
21−α
)
(12)
sendo 11−α
(
1 − 121−α
)
= C, em que C e uma constante e
υ2Y (τj) ≈ C × 2αj .
Por (12), observa-se que a variancia dos coeficientes wavelet
de um processo fGN e exponencialmente relacionada a escala
j como foi utilizado em [7] que se baseou nos trabalhos de
Kaplan e Kuo [12] e de Flandrin [21] [22] que obtiveram o
mesmo resultado.
A Tabela I e um exemplo de um mapa de variancias DWPT
para sıntese de um fGN com 3 nıveis (J=3) e parametro α=0,9
normalizado pelo coeficiente wavelet da DWT no ultimo nıvel
a fim de que esse coeficiente tenha variancia 1 na escala menos
refinada J=3.
De acordo com [7], uma serie temporal com comportamento
SRD e LRD, simultaneamente, pode ser obtida por meio
da filtragem adequada de uma serie temporal que apresente
apenas comportamento LRD. Dessa forma, a DEP da serie
temporal com comportamento SRD e LRD pode ser escrita
na forma
SY (f) = GSRD(f) × SYLRD(f) (13)
em que GSRD(f) representa o comportamento SRD e sera
chamado de ganho SRD, e SYLRD(f) e a DEP de uma serie
temporal com comportamento LRD puro.
Dessa forma, a variancia wavelet e dada por
υ2Y (τj) ≈ 2
∫ 1/2j
1/2j+1
SY (f)df
≈ 2
∫ 1/2j
1/2j+1
GSRD(f) × SYLRD(f)df
(14)
Se, a tıtulo de exemplo, for considerado que o ganho SRD
independe da frequencia, entao
υ2Y (τj) ≈ 2
∫ 1/2j
1/2j+1
SY (f)df
≈ 2
∫ 1/2j
1/2j+1
GSRD × SYLRD(f)df
≈ GSRD × 2
∫ 1/2j
1/2j+1
SYLRD(f)df
(15)
A equacao (15) mostra que o mapa de variancias de uma
serie temporal com SRD e LRD pode ser obtido do mapa
de variancias de uma serie com comportamento LRD puro,
multiplicando a variancia dos coeficientes wavelet na escala
menos refinada pelo ganho SRD. Neste trabalho, a equacao
(15) e a base para a geracao de series temporais Gaussianas
com LRD e SRD. No caso mais geral, utiliza-se a equacao
(14) que deve ser integrada numericamente.
V. GERACAO DE SERIES TEMPORAIS GAUSSIANAS COM
LRD E SRD
Neste trabalho foram geradas series temporais Gaussianas
que apresentam simultaneamente LRD e SRD em diferentes
faixas de frequencia atraves do desenvolvimento de dois
metodos que se baseiam no mapa de variancias, o metodo
DWT com mapa de variancias e o metodo DWPT. Diferente-
mente do apresentado em [6], em foi desenvolvido um gerador
que necessitava de dois estagios para gerar tais series, neste
trabalho a introducao dos comportamentos SRD e LRD e feita
simultaneamente.
A. Geracao de Series Temporais Gaussianas com LRD pelo
metodo DWT com mapa de variancias
Para que seja possıvel a introducao de SRD em series
temporais geradas via DWT, o codigo desenvolvido em [7]
foi alterado para utilizar a variancia do coeficiente wavelet de
um mapa de variancias previamente calculado. Nesse mapa,
sao calculadas as variancias dos coeficientes do nıvel menos
refinado (j = J + 1) de uma wavelet packet table (ver Secao
III-C) e normalizadas pela variancia do coeficiente wavelet
da DWT (coeficiente WJ+1,2). As variancias dos coeficientes
dos demais nıveis (j) sao calculadas a partir das variancias
dos coeficientes do nıvel (j + 1). Apos o calculo do mapa
de variancias completo, e introduzida a SRD nas variancias
dos coeficientes do nıvel menos refinado do mapa referentes
ao intervalo de frequencia requerido gerando um mapa de
variancias com SRD.
Esse codigo gera ao mesmo tempo series temporais gaussi-
anas com LRD e densidade espectral de potencia (DEP) 1/f e
tais series com a introducao de SRD no intervalo de frequencia
solicitado.
B. Geracao de Series Temporais Gaussianas com LRD pelo
metodo DWPT
Para a geracao de series pelo metodo DWPT e necessario
calcular o mapa de variancias conforme ja foi descrito na
Secao V-A para obter:
LUND AND AMAZONAS : GENERATION OF SELF-SIMILAR GAUSSIAN 583
TABELA I: Mapa de variancias DWPT para sıntese de um fGN com 3 nıveis (J=3) e parametro α=0,9, normalizado pelo coeficiente W3,1
Nıvel Coeficientes DWPT
0 W0,0
2,14
1 W1,0 W1,1
4,00 0,29
2 W2,0 W2,1 W2,2 W2,3
7,47 0,54 0,33 0,24
3 W3,0 W3,1 W3,2 W3,3 W3,4 W3,5 W3,6 W3,7
13,93 1,00 0,62 0,45 0,36 0,30 0,26 0,23
• o coeficiente de inicializacao n e seu par n + 1 ou n −1 do nıvel menos refinado atraves da multiplicacao do
desvio padrao (raiz da variancia retirada do mapa) por
um vetor de numeros aleatorios de dimensao igual ao
numero de pontos que os coeficientes do nıvel menos
refinado deverao ter para iniciar a reconstrucao;
• o coeficiente do nıvel j que nao foi reconstruıdo a partir
dos coeficientes do nıvel j + 1 mas que sera necessario
para a reconstrucao do coeficiente do nıvel j − 1.
O mapa de variancias com a introducao de SRD tambem
sera calculado conforme descrito na Secao V-A a fim de gerar
a mesma serie temporal com a introducao do SRD no intervalo
de frequencias solicitado. A unica diferenca e a escolha
do conjunto de coeficientes DWPT que serao utilizados na
construcao da serie temporal desejada.
VI. RESULTADOS
Para validar que os metodos DWT com mapa de variancias
e DWPT geram series temporais gaussianas com LRD, series
geradas por este metodos serao comparadas com series geradas
pelo metodo DWT de Backar implementado no trabalho [7].
E importante ressaltar que este trabalho nao e um trabalho
de modelagem de trafego e, portanto, nao ha a preocupacao
de comparar as caracterısticas obtidas com as observadas
em traces de trafego real. O objetivo deste trabalho e o
de reproduzir as caracterısticas ja reportadas na literatura,
descritas nas Secoes I e II, e detalhadas em [7].
Para todas as simulacoes foram geradas series temporais
com os mesmos parametros: 4096 pontos, funcao wavelet de
Haar e α = 0,9 (H = 0,95).
Como o trabalho de Mello [7] ja demonstrou que o metodo
de geracao de series temporais via transformada wavelet
realmente gera series gaussianas com LRD, a validacao deste
trabalho ficou limitada a analise do periodograma, da funcao
de autocorrelacao e estimativa do parametro de Hurst pelos
metodos de Whittle e do periodograma [23] [7].
O estimador da funcao de autocorrelacao e dado por:
ρX(τ) =1
Ms2X
M∑
k=m+1
(Xk − µ)(Xk−m − µ) , (16)
em que M e o numero de amostras, s2X e a variancia amostral
e µ e o estimador da media µ de X . Note-se que −1 ≤ ρ ≤ 1.
O estimador PX(f) da DEP e obtido pelo metodo nao-
parametrico (Os metodos parametricos de analise espectral
sao baseados em modelos AR, MA e ARMA. Portanto nao
devem ser aplicados para estimacao da DEP de um ruıdo
1/f .) do periodograma [24], com janelamento de dados (data
tapering, para reducao de vazamento de potencia) e suavizacao
(smoothing, para reducao da variabilidade de PX(f)). O
periodograma e calculado via (A definicao foi dada sem incluir
o janelamento e a suavizacao, para melhor compreensao da
natureza essencial do estimador.):
PX(f) =1
M|X(f)|2 . (17)
O metodo de estimacao do parametro H de Whittle [25]
e baseado numa estimacao de maxima verossimilhanca no
domınio da frequencia do modelo FD(d). Esse metodo usa
o periodograma. O metodo de estimacao de H pelo pe-
riodograma baseia-se no fato de que PX(f) ∝ f2H−1 para
frequencias proximas de zero.
Tambem foi feita uma comparacao entre as series geradas
pelos metodos DWT com mapa de variancias e DWPT antes
e depois da insercao do ganho SRD utilizando a analise dos
periodogramas.
A. Comparacao entre as series geradas sem SRD pelos
metodos DWT de Backar, DWT com mapa de variancias e
DWPT
As Figuras 3 e 4 mostram graficos do periodograma sua-
vizado e das funcoes de autocorrelacao para series simuladas
pelo metodo DWT de Backar.
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Frequencia
-30
-25
-20
-15
-10
Espectr
o
fGn.DWT.Haar.H=0,95 Periodograma Suavizado
Figura 3: Periodograma suavizado de uma serie temporal obtida atraves dometodo DWT de Backar.
584 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 8, NO. 5, SEPTEMBER 2010
0 20 40 60 80 100
Atraso
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
AC
F
fGn.DWT.Haar.H=0,95
Figura 4: Funcao de autocorrelacao de uma serie temporal obtida atraves do
metodo DWT de Backar.
As Figuras 5, e 6 mostram graficos do periodograma sua-
vizado e das funcoes de autocorrelacao para series simuladas
pelo metodo DWT com mapa de variancias.
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Frequencia
-30
-25
-20
-15
-10
Espectr
o
fGn.DWT com mapa de variancias.Haar.H=0,95 Periodograma Suavizado
Figura 5: Periodograma suavizado de uma serie temporal obtida atraves do
metodo DWT com mapa de variancias.
As Figuras 7 e 8 mostram graficos do periodograma sua-
vizado e das funcoes de autocorrelacao para series simuladas
pelo metodo DWPT.
Os periodogramas mostram que as DEPs das series simu-
ladas com H=0,95 de todos os metodos tem polos na origem,
ou seja, que as series sao 1/f . Pelas funcoes de autocorrelacao
tambem pode-se observar que as series sao 1/f .
Verifica-se que as series geradas pelo metodo DWT com
mapa de variancias sao similares as geradas pelo metodo DWT
de Backar. Tambem verificou-se que as series geradas pelo
metodo DWPT sao similares as geradas pelos metodos DWT
de Backar e DWT com mapa de variancias.
Alem da analise do periodograma e da funcao de
autocorrelacao, tambem foram feitas analises estatısticas dos
tres metodos utilizando a estimativa de H pelos metodos de
Whittle e do periodograma. Foram geradas dez series com os
mesmos parametros - 4096 pontos, funcao de Haar e α = 0,9
(H = 0,95) para cada metodo e foi calculada a estimativa de
0 20 40 60 80 100
Atraso
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
AC
F
fGn.DWT com mapa de variancias.Haar.H=0,95
Figura 6: Funcao de autocorrelacao de uma serie temporal obtida atraves do
metodo DWT com mapa de variancias.
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Frequencia
-30
-25
-20
-15
Espectr
o
fGn.DWPT.Haar.H=0,95 Periodograma Suavizado
Figura 7: Periodograma suavizado de uma serie temporal obtida atraves dometodo DWPT.
H pelos metodos de Whittle e do periodograma. A Tabela II
mostra as medias dessas estimativas para essas 10 geracoes
(Observou-se que para os tres metodos o desvio padrao e
inferior a 1% e as distribuicoes nao apresentaram outliers.).
De acordo com Paxson [10], o metodo de Whittle e um bom
metodo de estimacao do parametro de Hurst H para series que
apresentam LRD. Comparando-se os valores do parametro de
Hurst estimados pelo metodo de Whittle nos tres metodos de
geracao de series, conclui-se que o metodo DWPT e o que
se aproxima mais do parametro de Hurst real que foi inserido
como parametro para geracao das series (α = 0,9 (H = 0,95)).
Pode-se verificar que a estimativa no metodo DWT com mapa
de variancias e muito proxima da estimativa no metodo de
Backar pois sao a mesma transformada.
TABELA II: Estimativas do parametro de Hurst pelos metodos de Whittle
e do periodograma das series geradas pelos metodos DWT de Backar, DWTcom mapa de variancias e DWPT
Metodo H Whittle H periodograma
DWT de Backar 0.92990 0.93370
DWT com mapa de variancias 0.93626 0.90977
DWPT 0.95325 0.97097
LUND AND AMAZONAS : GENERATION OF SELF-SIMILAR GAUSSIAN 585
0 20 40 60 80 100
Atraso
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
AC
F
fGn.DWPT.Haar.H=0,95
Figura 8: Funcao de autocorrelacao de uma serie temporal obtida atraves do
metodo DWPT.
B. Comparacao entre as series geradas sem e com SRD pelos
metodos DWT com mapa de variancias e DWPT
Foram geradas series gaussianas com LRD com os
parametros α = 0, 9 (H = 0, 95), N = 4096, pelo metodo
da DWT com mapa de variancias e pelo metodo DWPT com
coeficiente de inicializacao W12,2048. Simultaneamente foram
introduzidas nessas series, SRD com ganho constante igual a
10 e SRD com ganho variavel igual a 10-1-10 em tres faixas
de frequencia diferentes conforme as funcoes ganho SRD da
Figura 9. No total foram 18 series geradas, 6 series com
LRD e 6 series mistas com LRD e introducao de ganho SRD
constante e 6 series mistas com LRD e introducao de ganho
SRD variavel (9 realizacoes pelo metodo DWT com mapa de
variancias e 9 realizacoes pelo metodo DWPT).
Figura 9: Ganho SRD constante = 10 e variavel = 10-1-10
As Figuras 10 e 11 apresentam o periodograma suavizado de
uma serie temporal obtida atraves do metodo DWT com mapa
de variancias com a introducao de um ganho SRD na faixa
de frequencia 0,15-0,25, constante=10 (Fig. 10) e variavel=10-
1-10 (Fig. 11). Para ambos os casos constata-se que a serie
gerada apresenta um polo na origem, evidenciando o compor-
tamento LRD e que o periodograma desvia-se do decaimento
exponencial, indicando a presenca de comportamento SRD.
Entretanto, o comportamento do ganho SRD variavel nao
foi capturado pelo metodo. As duas figuras sao praticamente
identicas. Isso se deve ao fato de o metodo de geracao via
DWT nao especificar a forma da DEP em frequencias medias
e altas. O comportamento SRD e introduzido na escala menos
refinada de frequencias e a medida que se progride em escala,
o efeito e diluıdo em uma maior faixa de frequencia. A
insensibilidade do metodo DWT com mapa de variancias as
variacoes do ganho SRD fica mais pronunciado a medida que
este e introduzido em faixas de frequencias mais elevadas. Por
razoes de espaco, os periodogramas correspondentes nao sao
apresentados mas podem ser encontrados em [26].
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Frequencia
-30
-25
-20
-15
-10
Esp
ectr
o
fGn.DWT com mapa de variancias.Haar.H=0,95.0,15<f<0,25
Periodograma SuavizadoGanho Constante = 10
Figura 10: Periodograma suavizado de uma serie temporal obtida atraves dometodo DWT com mapa de variancias com a introducao de um ganho SRDconstante=10 na faixa de frequencia 0,15-0,25
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Frequencia
-30
-25
-20
-15
-10
Esp
ectr
o
fGn.DWT com mapa de variancias.Haar.H=0,95.0,15<f<0,25
Periodograma Suavizado
Ganho Variavel = 10-1-10
Figura 11: Periodograma suavizado de uma serie temporal obtida atraves dometodo DWT com mapa de variancias com a introducao de um ganho SRDvariavel=10-1-10 na faixa de frequencia 0,15-0,25.
As Figuras 12 e 13 apresentam o periodograma suavizado
de uma serie temporal obtida atraves do metodo DWPT,
coeficiente de inicializacao=W12,2048, com a introducao de
um ganho SRD na faixa de frequencia 0,15-0,25, constante=10
(Fig. 12) e variavel=10-1-10 (Fig. 13). Ambas as figuras
apresentam um polo na origem, evidenciando a presenca de
comportamento LRD. Alem disso, o efeito da introducao de
SRD nas series geradas pelo metodo DWPT e observado de
forma clara na faixa de frequencia (0,15-0,25): as duas figuras
sao distintas e indicam a captura do comportamento do ganho
SRD pelo metodo.
As Figuras 14 e 15 apresentam o periodograma suavizado
de uma serie temporal obtida atraves do metodo DWPT,
coeficiente de inicializacao=W12,2048, com a introducao de
586 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 8, NO. 5, SEPTEMBER 2010
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Frequencia
-30
-25
-20
-15
-10
Esp
ectr
o
fGn.DWPT.Haar.H=0,95.inicializacao em W12,2048.0,15<f<0,25
Periodograma SuavizadoGanho Constante = 10
Figura 12: Periodograma suavizado de uma serie temporal obtida atraves do
metodo DWPT, coeficiente de inicializacao=W12,2048 , com a introducao deum ganho SRD constante=10 na faixa de frequencia 0,15-0,25
Ganho Variavel = 10-1-10
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Frequencia
-30
-25
-20
-15
-10
Esp
ectr
o
fGn.DWPT.Haar.H=0,95.inicializacao em W12,2048.0,15<f<0,25
Periodograma Suavizado
Figura 13: Periodograma suavizado de uma serie temporal obtida atraves do
metodo DWPT, coeficiente de inicializacao=W12,2048 , com a introducao deum ganho SRD variavel=10-1-10 na faixa de frequencia 0,15-0,25.
um ganho SRD nas faixas de frequencia 0,25-0,35 e 0,35-
0,45, respectivamente, e variavel=10-1-1. Ambas as figuras
apresentam um polo na origem, evidenciando a presenca de
comportamento LRD. Alem disso, o efeito da introducao de
SRD nas series geradas pelo metodo DWPT e observado de
forma clara em ambas faixas de frequencia: as duas figuras
indicam a captura do comportamento do ganho SRD pelo
metodo.
O efeito da introducao de SRD nas series geradas pelo
metodo DWPT e observado de forma clara nas tres faixas de
frequencias, da mais baixa (0,15-0,25) a mais alta (0,35-0,45).
Isso se deve ao metodo de geracao via DWPT ser flexıvel em
relacao as frequencias e assim especificar a forma da DEP em
frequencias medias e altas. Portanto, este metodo e bom para
efeitos em medias e altas frequencias e apresenta uma maior
flexibilidade em relacao ao metodo da DWT com mapa de
variancias. Observa-se que a diferenca entre o ganho constante
e o ganho variavel e percebida neste metodo.
VII. CONCLUSOES E TRABALHOS FUTUROS
Este trabalho desenvolveu o conceito de mapa de variancias
wavelet packet a partir do conceito de variancia wavelet
e apresentou dois metodos criados para Geracao de Series
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Frequencia
-30
-25
-20
-15
-10
Esp
ectr
o
fGn.DWPT.Haar.H=0,95.inicializacao em W12,2048.0,25<f<0,35
Periodograma Suavizado
Ganho Variavel = 10-1-10
Figura 14: Periodograma suavizado de uma serie temporal obtida atraves do
metodo DWPT, coeficiente de inicializacao=W12,2048 , com a introducao deum ganho SRD variavel=10-1-10 na faixa de frequencia 0,25-0,35.
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Frequencia
-30
-25
-20
-15
-10
Esp
ectr
o
fGn.DWPT.Haar.H=0,95.inicializacao em W12,2048.0,35<f<0,45
Periodograma Suavizado
Ganho Variavel = 10-1-10
Figura 15: Periodograma suavizado de uma serie temporal obtida atraves do
metodo DWPT, coeficiente de inicializacao=W12,2048 , com a introducao deum ganho SRD variavel=10-1-10 na faixa de frequencia 0,35-0,45.
Temporais Auto-Similares Gaussianas LRD com introducao
do comportamento SRD em diferentes faixas de frequencia.
O primeiro metodo foi o DWT e o segundo o DWPT, ambos
com mapa de variancias.
A fim de validar tais metodos, foram geradas series por estes
metodos e comparadas com series geradas pelo metodo DWT
de Backar utilizado em [6]. Tal validacao foi feita atraves
da analise do periodograma, da funcao de auto-correlacao e
estimativa do parametro de Hurst pelos metodos de Whittle
e do periodograma. A partir dos graficos do periodograma
suavizado e das funcoes de autocorrelacao para series simu-
ladas pelos tres metodos verificou-se que as DEPs das series
simuladas com H=0,95 tem polos na origem, ou seja, que as
series sao 1/f . Concluiu-se que as series geradas pelos tres
metodos sao similares.
Em relacao as contribuicoes deste trabalho, constata-se que
o metodo DWT com mapa de variancias e mais flexıvel que o
DWT de Backar pois o mapa de variancias pode ser alterado
para gerar series com diferentes espectros alem de possibilitar
a introducao de SRD em diferentes faixas de frequencia. Alem
disso, os comportamentos LRD e SRD sao introduzidos simul-
taneamente, eliminando uma etapa do processo dos metodos
descritos em [6]. No entanto, e importante destacar que pelo
fato da DWT nao especificar a forma da DEP, este metodo
LUND AND AMAZONAS : GENERATION OF SELF-SIMILAR GAUSSIAN 587
nao captura variacoes do ganho SRD.
O metodo DWPT se apresentou ainda mais flexıvel que o
DWT com mapa de variancias em relacao a introducao de SRD
em diferentes faixas de frequencia como pode-se observar
ao introduzir um ganho SRD constante e variavel nas series
temporais com LRD em tres faixas de frequencia diferentes.
Os resultados deste trabalho podem ser utilizados em am-
bientes de simulacao de redes que necessitem a geracao
de trafego com caracterısticas realistas e que possam ser
facilmente modificadas para ensaiar diferentes condicoes da
rede. Adicionalmente, os resultados sao importantes para a
implantacao de testbeds utilizados na validacao de projetos de
rede, verificacao de desempenho ou diagnostico de problemas.
Este trabalho sera ampliado com a utilizacao de curvas de
ganho SRD mais realistas. Tambem devera ser ampliado para a
geracao de series MWM (Multifractal Wavelet Model), impor-
tante em ambiente de redes locais, e series com distribuicoes
nao gaussianas, por exemplo distribuicoes α-estaveis.
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Springer, 2003.[26] I. R. Lund, “Contribuicoes a geracao de trafego fractal por meio da
transformada wavelet,” Master’s thesis, Escola Politecnica, USP, 2008.
Isabelle Reis Lund recebeu o tıtulo de engenheiraeletricista pela Pontifıcia Universidade Catolica doRio de Janeiro e de mestre em Engenharia Eletricapela Escola Politecnica da Universidade de SaoPaulo (EPUSP), Brasil, em 2008. Seus interesses saona area de redes cabeadas e sem-fio, qualidade deservico (QoS), geracao e estimacao de trafego.
Jose Roberto de A. Amazonas recebeu o tıtulode engenheiro eletricista pela Escola Politecnica daUniversidade de Sao Paulo (EPUSP), Brasil, em1979, alem dos tıtulos de mestre, doutor e livre-docente pela EPUSP, em 1983, 1988 e 1996, res-pectivamente.
E professor associado do Departamento de Enge-nharia de Telecomunicacoes e Controle da EPUSP,onde e responsavel por pesquisa e ensino decomunicacoes opticas e redes de comunicacao dealta velocidade. Esteve em diversos cargos em uni-
versidades no Brasil e na Europa, e tambem liderou pesquisas em parceriacom varias companhias brasileiras, europeias e norte-americanas.
Seus interesses sao na area de comunicacoes opticas, redes cabeadas e sem-fio, qualidade de servico (QoS) e ensino a distancia (EaD).
588 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 8, NO. 5, SEPTEMBER 2010