generation of self-similar gaussian time series by means of the dwt and dwpt variance maps

Generation of self-similar Gaussian time series by

means of the DWT and DWPT variance mapsI. R. Lund and J. R. de A. Amazonas

Abstract— Due to the several kinds of services that use theInternet and data networks infra-structures, the present networksare characterized by the diversity of types of traffic that havestatistical properties as complex temporal correlation and non-gaussian distribution. The networks complex temporal correla-tion may be characterized by the Short Range Dependence -(SRD) and the Long Range Dependence - (LRD). Models as thefGN (Fractional Gaussian Noise) may capture the LRD but notthe SRD.

This work presents two methods for traffic generation thatsynthesize approximate realizations of the self-similar fGN withSRD random process. The first one employs the IDWT (InverseDiscrete Wavelet Transform) and the second the IDWPT (InverseDiscrete Wavelet Packet Transform). It has been developed thevariance map concept that allows to associate the LRD andSRD behaviors directly to the wavelet transform coefficients.The developed methods are extremely flexible and allow thegeneration of Gaussian time series with complex statisticalbehaviors.

Keywords— Self-similarity, long range dependence (LRD),short range dependence (SRD), traffic, wavelets, variance, waveletpacket.

I. INTRODUCAO

COM os avancos tecnologicos na area de

telecomunicacoes, redes e aplicacoes, a Internet e

as redes de dados corporativas passaram a ser a infra-

estrutura para diversos tipos de servicos com diferentes

caracterısticas de trafego. Sao exemplos de tais servicos

as aplicacoes mais tradicionais como navegar na web e as

aplicacoes multimıdia como voz sobre IP, transmissao de

vıdeo e mensagens instantaneas. Assim, as atuais redes sao

caracterizadas pela diversidade de tipos de trafego os quais

possuem diversas propriedades estatısticas como correlacao

temporal complexa e distribuicao nao Gaussiana.

Sendo assim, modelar trafego e entende-lo e importante

para o projeto e simulacao de redes, para prover qualidade de

servico (QoS) para diversas aplicacoes e para o gerenciamento

e controle das redes. Varios modelos foram propostos no

passado para modelar o trafego de redes como o processo

aleatorio de Poisson [1] [2]. Entretanto, e necessario modelar

de forma realista o trafego de redes heterogeneo que possui

duas propriedades estatısticas pertinentes: correlacao temporal

complexa e distribuicao marginal nao Gaussiana que resultam

da complexidade das redes IP e da atual diversidade de

aplicacoes. A correlacao temporal complexa do trafego de

redes pode ser caracterizada pela dependencia de curta duracao

I. R. Lund, Laboratorio de Comunicacoes e Sinais do Departamento de Enge-nharia de Telecomunicacoes e Controle da Escola Politecnica da Universidadede Sao Paulo (LCS-PTC-EPUSP), [email protected]. R. A. Amazonas, LCS-PTC-EPUSP, [email protected]

(Short Range Dependence - SRD) e dependencia de longa

duracao (Long Range Dependence - LRD). Aplicacoes como

voz sobre IP (VoIP) e VBR (Variable Bit Rate) video traces

geram trafego com a propriedade SRD, enquanto aplicacoes

como requisicao de uma pagina web geram trafego LRD. De

fato, trafego de redes como VBR podem exibir uma mistura

complexa de SRD e LRD [3]. Trabalhos feitos com medidas

tanto em redes locais [4] quanto em redes de grande area [5]

mostraram que o trafego das redes possui propriedades fractais

tais como memoria longa (LRD) e auto-similaridade. Foi

constatado que as aplicacoes de tempo real sao caracterizadas

pela SRD. Ja aplicacoes que nao sao de tempo real como

video-on-demand, comunicacao de dados e algumas tarefas

de gerenciamento de redes devem ser modeladas por modelos

de trafego que capturem a dependencia temporal em largas

escalas de tempo (LRD) [3].

A. Contribuicoes do Trabalho

Este artigo apresenta dois metodos para gerar trafego que

sintetiza realizacoes aproximadas do processo aleatorio auto-

similar fGN utilizando wavelet. Ambos metodos geram series

que apresentam dependencia de longa duracao (LRD). O

primeiro metodo, chamado de DWT com mapa de variancias,

gera as realizacoes fGN simulando um sinal gaussiano 1/fα

a partir da IDWT (Inverse Discrete Wavelet Transform -

Transformada Wavelet Discreta Inversa) de uma matriz de

coeficientes, gerada assumindo-se que: a) a progressao da

variancia dos coeficientes wavelet e exponencial; b) os coefi-

cientes wavelet intra-escala sao i.i.d (i.i.d significa indepen-

dente e identicamente distribuıdos.) e c) nao ha correlacao

entre escalas. O segundo metodo, chamado de DWPT com

mapa de variancias, gera as realizacoes fGN simulando um

sinal gaussiano 1/fα a partir da IDWPT (Inverse Discrete

Wavelet Packet Transform) utilizando o conceito de mapa de

variancias wavelet packet. A fim de introduzir SRD em tais

series para que tenham a caracterıstica de series mistas (LRD e

SRD) sem a necessidade de a geracao passar por dois estagios

como em [6], foi calculado uma mapa de variancias SRD com

a introducao do ganho SRD nas variancias dos coeficientes do

nıvel menos refinado do mapa de variancias calculado para a

geracao das series LRD, referentes ao intervalo de frequencia

onde se pretende introduzir o comportamento SRD.

A validacao dos metodos DWT com mapa de variancias e

DWPT foi feita em duas etapas: 1) Efetuou-se uma analise

comparativa entre as series geradas pelos metodos DWT de

Backar, DWT com mapa de variancias e DWPT a fim de

verificar que as series geradas pelos metodos DWT com mapa

de variancias e DWPT sao 1/f e LRD assim como as geradas

IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 8, NO. 5, SEPTEMBER 2010 579

pelo metodo DWT de Backar implementado em [7]. Essa

analise foi feita pelos graficos do periodograma e da funcao de

autocorrelacao e pela estimativa do parametro de Hurst pelos

metodos de Whittle e do periodograma; 2) Compararam-se as

series geradas pelos metodos DWT com mapa de variancias e

DWPT antes e depois da insercao do ganho SRD pela analise

dos periodogramas.

B. Organizacao do Artigo

Apos esta Introducao, a Secao II apresenta os principais

trabalhos correlacionados. A Secao III faz uma revisao teorica

dos seguintes conceitos: Ruıdo Gaussiano Fracionario (fGN)

que foi o primeiro modelo auto-similar a ser proposto na

literatura e que, ate hoje, e um dos processos 1/fα mais rele-

vantes, DWT (Discrete Wavelet Transform) e DWPT (Discrete

Wavelet Packet Transform). A Secao IV apresenta o mapa

de variancias wavelet packet onde a expressao da variancia

wavelet packet e deduzida a partir da expressao da variancia

wavelet e e calculado o mapa de variancias wavelet packet

para o fGN. Na Secao V sao descritos os metodos DWT com

mapa de variancias e DWPT para Geracao de Series Temporais

Gaussianas com LRD e com a introducao de SRD. A Secao

VI apresenta os resultados atraves da validacao dos metodos

DWT com mapa de variancias e DWPT desenvolvidos neste

trabalho. A Secao VII apresenta as conclusoes e sugestoes de

trabalhos futuros.

II. TRABALHOS CORRELACIONADOS

Em [8] foi introduzido o metodo DHM (Davies and Harte

Method) de geracao de realizacoes de processos estacionarios

Gaussianos de media nula. O metodo e baseado na Fast

Fourier Transform (FFT). Outro metodo baseado na FFT,

denominado Gaussian Spectral Synthesis Method (GSSM) foi

publicado em [9]. Em [10], foi proposto um metodo de geracao

de realizacoes aproximadas do fGN baseado na FFT. Paxson

demonstrou que o seu metodo gera series estatisticamente

indistinguıveis de realizacoes fGN e que essas series podem

ser utilizadas na geracao de trafego de redes auto-similares.

O trabalho descrito em [11] tem o objetivo de sintetizar

trafego em “tempo-real” semelhante ao encontrado em redes

reais. E mencionado um possıvel uso para o trafego sinte-

tizado com caracterısticas reais e sua vantagem: utilizacao

em ambientes de teste para comparacao de performance de

equipamentos de rede obtendo resultados mais realistas. Nesse

estudo, afirma-se que a auto-similaridade, a ocorrencia de

bursts e a “dependencia de longa duracao” caracterizam o

trafego encontrado nas redes de dados.

Em [6], foi modelado e implementado um gerador de trafego

que exibe caracterısticas auto-similares para uso em redes

IP. Esse artigo mostra a sıntese de realizacoes aproximadas

do processo aleatorio auto-similar fGN via transformada wa-

velet discreta (DWT). Sao geradas series que apresentam

dependencia de longa duracao (LRD). Para sintetizar series

que tambem apresentem dependencia de curta duracao (SRD),

a geracao foi feita em dois estagios. O primeiro gera as

realizacoes fGN similar ao gerador implementado em Backar

[11] simulando um sinal gaussiano 1/fα a partir da IDWT

(Inverse Discrete Wavelet Transform - Transformada Wave-

let Discreta Inversa) de uma matriz de coeficientes, gerada

assumindo-se que: a) a progressao da variancia dos coefi-

cientes wavelet e exponencial conforme deduzido em [12];

b) os coeficientes wavelet intra-escala sao i.i.d e c) nao ha

correlacao entre escalas. O segundo estagio introduz SRD

atraves de uma filtragem IIR (Infinite Impulse Response) da

saıda do primeiro estagio.

Este trabalho estende aquele desenvolvido em [6] por meio

do uso do mapa de variancias que aumenta a flexibilidade para

a introducao de dependencias SRD mais complexas e elimina

a etapa de filtragem, isto e, as dependencias LRD e SRD sao

introduzidas simultaneamente.

III. REVISAO TEORICA

A densidade espectral de potencia (DEP) de um processo

de memoria longa tem um polo na origem. O grau de LRD e

impulsividade do trafego e expresso em termos do parametro

de Hurst [13] [14], 0 < H < 1 (α = 2H - 1). Quando

1/2 < H < 1, o trafego e auto-similar e LRD. Quanto maior

H, maior o grau de LRD. A auto-similaridade esta associada a

apresentacao de estruturas similares em diferentes escalas de

observacao. No caso de trafego, a alternancia de perıodos de

surtos e de suavidade (impulsividade e burstiness) e a LRD sao

mantidas em varias escalas de tempo onde a auto-similaridade

ocorre em um sentido estatıstico. Os processos LRD sao

conhecidos como processos com espectro 1/fα, 0 < α < 1.

Modelos como processos fGN (Fractional Gaussian Noise)

podem capturar a LRD mas nao a SRD.

A transformada wavelet e indicada para a sıntese de sinais

1/fα [15] [16] porque:

• os coeficientes wavelet de um processo 1/fα sao aproxi-

madamente nao correlacionados no plano tempo-escala.

Portanto, a modelagem e o processamento desses si-

nais naquele domınio podem ser realizados de maneira

eficiente. Mais precisamente, pode-se afirmar que nao

ha correlacao entre coeficientes wavelet de uma mesma

escala e que a correlacao entre escalas diferentes e fraca

(neste caso, a correlacao e maior entre escalas adjacentes

[3]).

• e o metodo mais eficiente do ponto de vista computacio-

nal. A complexidade (em termos de operacoes de adicao

e multiplicacao) associada a geracao de uma realizacao

de M amostras e O(M) (A notacao O(aN ) significa que

o numero de operacoes necessarias Nop, a menos de uma

constante multiplicativa C, e menor ou igual a aN para

qualquer N (Nop ≤ CaN ).). Metodos baseados na FFT

(Fast Fourier Transform) [10], [9] possuem complexidade

O(MlogM). A tecnica de geracao no domınio do tempo

de Hosking [17], baseada nas recursoes de Levinson-

Durbin, requer O(M2) operacoes.

• oferece a possibilidade de sıntese de trafego nao-

gaussiano.

• a nocao de escala temporal e intrınseca a definicao da

transformada.

580 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 8, NO. 5, SEPTEMBER 2010

A. Ruıdo Gaussiano Fracionario

O Ruıdo Gaussiano Fracionario, em ingles Fractional Gaus-

sian Noise, e um processo estocastico estacionario, auto-

similar e de memoria longa, proposto por [18] e bastante

explorado na literatura de series temporais [16]. Por ser um

processo estocastico estacionario de tempo discreto, o fGN

e exatamente auto-similar de segunda ordem com parametro

de Hurst H (1/2 < H < 1) se possuir sequencia de

autocovariancia dada por:

γX(τ) =σX

2

2[(τ + 1)2H − 2τ2H + (τ − 1)2H ], (1)

para todo τ ∈ Z.

O processo fGN Xk e normalmente definido como o pro-

cesso de incrementos associado ao processo fBM (Fractional

Brownian Motion) Y (t), t ∈ R, sendo o fBM um processo

gaussiano e H-sssi (H self-similar with stationary increments

- auto-similar com incrementos estacionarios). Desta maneira,

o fGN corresponde a primeira diferenca de um processo auto-

similar Yk denominado movimento Browniano fracionario de

tempo discreto (DFBM) [19] [16], em que o DFBM e obtido

atraves da amostragem do processo de tempo contınuo fBM.

Essa relacao e dada por (2):

Xk = Yk − BYk = Yk − Yk−1 = ∇Yk , (2)

em que B denota o operador atraso unitario e ∇ = (1 − B)e o operador diferenca.

A DEP (Densidade Espectral de Potencia) do DFBM e dada

por [16, pag. 280]:

SY (f) = σ2XCH

∞∑

j=−∞

1

|f + j|2H+1, (3)

em que σ2X e a potencia do fGN, CH = Γ(2H+1) sin (πH)

2π2H+1 e

0 < H < 1. De acordo com (3), a DEP do DFBM possui um

polo na origem, pois

SY (f) ∝ |f |−1−2H , f → 0 . (4)

O DFBM e um processo integrado de ordem 1 nao-

estacionario. Como Xk = ∇Yk, pode-se mostrar [16, pag.

280] que

SX(f) = 4 sin2 (πf)SY (f) . (5)

Como para pequenos valores de f tem-se sin(πf) ≈ f , a

DEP do fGN apresenta o seguinte comportamento proximo a

origem:

SX(f) ∝ f1−2H , f → 0 , (6)

entao o fGN satisfaz a relacao (7) de um processo estacionario

de memoria longa quando 0 < 2H − 1 < 1, ou seja, 1/2 <H < 1.

limf→0

SX(f)

CS |f |−α= 1, (7)

em que 0 < α < 1 e CS > 0.

Assim, (3) e (5) mostram que a DEP do fGN e caracterizada

por somente dois parametros: σ2X e H (responsavel pela forma

do espectro). Alem disso, e importante salientar que o fGN e

completamente especificado pelas suas estatısticas ate segunda

ordem, como a media e DEP, pois e gaussiano.

Pelo fato do fGN apresentar sequencia de autocovariancia

conforme (1), trata-se de um processo exatamente auto-similar

de segunda ordem quando 1/2 < H < 1. Para H = 1/2 , o

fGN reduz-se a um ruıdo branco gaussiano. Quando 0 < H <1/2, o processo e SRD.

B. Discrete Wavelet Transform

A transformada wavelet discreta (DWT) e uma ferramenta

basica para o estudo de series temporais e tem uma funcao

analoga a da transformada de Fourier discreta na analise

espectral [16]. A transformada wavelet discreta (DWT) da

serie temporal {Xt} e uma transformada ortonormal assim

como a transformada de Fourier discreta - Ortogonal Discrete

Fourier Transform (ODFT). Seja {Wn : n = 0, ..., N − 1}o conjunto de coeficientes DWT, entao, pode-se dizer que

W = WX, equacao conhecida como equacao de analise ou

de decomposicao, em que W e o vetor coluna de tamanho

N = 2J do qual o n-esimo elemento e o n-esimo coeficiente

DWT Wn, e W e uma matriz de transformacao ortogonal de

valor real N × N que define a DWT e satisfaz WTW = IN .

A ortonormalidade implica em X = WTW e ||W||2 = ||X||2.

O sinal no tempo contido em X pode ser completamente

recuperado por esta equacao que e conhecida como equacao

de sıntese ou de reconstrucao. W 2n representa a contribuicao

a energia atribuıda ao coeficiente DWT de ındice n [16].

O n-esimo coeficiente wavelet Wn e associado a uma certa

escala e a um certo intervalo de tempo.

A DWT pode tambem ser entendida como uma

decomposicao particular da serie temporal {Xt} dentre

todas as possıveis que sao obtidas pela DWPT.

C. Discrete Wavelet Packet Transform

A DWPT pode ser considerada como uma colecao de

transformadas ortonormais, sendo que cada uma delas pode

ser rapidamente calculada utilizando uma modificacao muito

simples do algoritmo da piramide [20] para a DWT. Cada

DWPT e associada com um nıvel j, e o j-esimo nıvel da

DWPT decompoe o intervalo de frequencia [0,1/2] em 2j

intervalos iguais e individuais. Devido a decomposicao do

nıvel J-1 dividir [0,1/2] em N/2=2J−1 intervalos iguais,

ha uma DWPT que simula, mas nao e a mesma, que a

decomposicao de [0,1/2] dada pela transformada discreta de

Fourier (DFT). Quando j = 1,...,J-1, a DWPT resulta no que

se pode chamar de decomposicao tempo-frequencia porque

cada coeficiente DWPT pode ser localizado numa banda de

frequencia especıfica e num intervalo de tempo especıfico (E

similar a motivacao da chamada transformada de Fourier de

tempo curto, a qual essencialmente e calculada pela aplicacao

da DFT a sub-series extraıdas de X.). Tambem pode-se criar

uma grande colecao de transformadas ortonormais atraves do

agrupamento cuidadoso de bases vetoriais selecionadas de

diferentes DWPTs. De fato, a DWT e todas DWTs parciais

podem ser formadas utilizando bases vetoriais de diferentes

LUND AND AMAZONAS : GENERATION OF SELF-SIMILAR GAUSSIAN 581

DWPTs. Entao, esse esquema leva a uma colecao de trans-

formadas flexıvel que serve como ponte entre decomposicoes

tempo/escala e tempo/frequencia [16].

W = WX representa os coeficientes wavelet obtidos pela

transformada de X utilizando a matriz DWT ortonormal N ×N W (Assume-se que N = 2J para qualquer inteiro J .). Na

pratica, a matriz W e gerada implicitamente pelo algoritmo

da piramide.

No domınio da frequencia, W1,1 esta relacionado ao inter-

valo de frequencia [ 14 , 1

2 ]; W2,1 ao intervalo [ 18 , 1

4 ]; e W2,0

ao intervalo [0, 18 ].

A decomposicao de X que se assemelha a analise de

multiresolucao da DWT usual:

‖X‖2= ‖W2,0‖

2+ ‖W2,1‖

2+ ‖W2,2‖

2+ ‖W2,3‖

2pode

produzir uma analise de variancia (ANOVA) similar a baseada

da DWT.

A Figura 1 e um exemplo de wavelet packet table ou wavelet

packet tree. Ja que o ponto inicial da analise e a serie temporal

X, define-se que W0,0 ≡ X. Assim, X esta associado com

uma doublet (j,n), no caso (0,0).

W0,0 = Xj=0

W1,0j=1 W1,1

W2,0j=2 W2,1 W2,2 W2,3

W3,0j=3 W3,1 W3,2 W3,3 W3,4 W3,5 W3,6 W3,7

0 1

16

1

8

1

4

3

16

5

16

3

8

7

16

1

2

G( )k

N

2

H( )k

N

2

G( )k

N1

2

H( )k

N1

2

H( )k

N1

2

G( )k

N1

2

G( )k

N2

2

G( )k

N2

2

H( )k

N2

2

H( )k

N2

2

G( )k

N2

2

G( )k

N2

2

H( )k

N2

2

H( )k

N2

2

f

Figura 1: Diagrama de fluxo ilustrando a analise de X em W3,0, . . ., W3,7.

Nj ≡ N/2j . Fonte: [16] pagina 212.

A colecao de doublets (j,n) formando os ındices dos nos da

tabela serao denotados por N ≡ {(j, n) : j = 0, . . . , J0; n =0, . . . , 2j − 1}, sendo possıvel escolher qualquer J0 que

satisfaca J0 ≤ J (como tambem e verdadeiro para DWTs

parciais, se J0 < J pode-se relaxar a estipulacao N = 2J

e permitir que N seja qualquer inteiro multiplo de 2J0). As

doublets (j,n) que formam os ındices dos coeficientes Wavelet

Packet (WP) correspondentes a uma transformada ortonormal

serao denotadas por C; por exemplo, C = {(3,n):n=0,. . .,7}para a transformada DWPT de nıvel j = 3 levando a W3,0,

. . ., W3,7. Claramente, C ⊂ N .

E interessante notar que alem das DWPTs, e possıvel extrair

outras transformadas ortonormais da tabela WP. Por exemplo,

todas DWTs parciais podem ser retiradas dessa tabela. Isso e

ilustrado pela Figura 2 na qual a DWT parcial de nıvel J0

= 3 consiste de quatro nos da tabela WP e sao eles: C ={(3, 0), (3, 1), (2, 1), (1, 1)}.

W0,0 = Xj=0

W1,0j=1 W1,1

W2,0j=2 W2,1

W3,0j=3 W3,1

0 1

16

1

8

G( )k

N

2

H( )k

N

2

G( )k

N1

2

H( )k

N1

2

G( )k

N2

2

H( )k

N2

2

1

4

f

Figura 2: Diagrama de fluxo ilustrando a analise de X em W3,0, W3,1,W2,1, W1,1 o qual e identico a DWT parcial de nıvel J0 = 3. Fonte: [16]pagina 212.

IV. MAPA DE VARIANCIAS WAVELET PACKET

A. Variancia Wavelet Packet

A variancia Wavelet (tambem chamada de espectro Wa-

velet) e uma quantidade teorica definida para explorar mais

profundamente a analise de variancia baseada em wavelet. A

variancia wavelet e interessante pelos seguintes pontos de vista

[16]:

• A variancia wavelet decompoe (analisa) a variancia de um

determinado processo estocastico numa base de escala.

• A variancia wavelet esta relacionada com os conceitos de

densidade espectral de potencia (DEP).

• A variancia wavelet e um bom substituto para a variancia

de um processo para alguns processos com variancia

infinita.

O segundo ponto de vista e o de interesse para este artigo e

que sera desenvolvido para a wavelet packet.

Assim como os coeficientes wavelet da DWT numa

determinada escala τj sao nominalmente associados com

frequencias no intervalo [1/2j+1,1/2j], os coeficientes da

DWPT num determinado nıvel j sao nominalmente associados

com frequencias no intervalo [n/2j+1,(n + 1)/2j+1].

υ2Y (τj) e a variancia dos coeficientes wavelet da DWT na

escala τj :

υ2Y (τj) ≈ 2

∫ 1/2j

1/2j+1

SY (f)df (8)

O fator 2 que multiplica a integral acima e devido a DEP

SY (.) ser uma funcao par de f no intervalo [-1/2,1/2].

Similarmente, υ2Y (j, n) e a variancia do n-esimo coeficiente

DWPT no nıvel j (doublet (j,n)):

υ2Y (j, n) ≈ 2j

∫ n+1/2j+1

n/2j+1

SY (f)df (9)

B. Mapa de variancias Wavelet Packet para o fGN

Como o objetivo deste trabalho e gerar series temporais

baseadas no modelo fGN, e necessario calcular o mapa de

variancias para os coeficientes DWPT que sera utilizado na

sıntese de series fGN via DWT e DWPT.


Admitindo-se que a DEP de um fGN possa ser aproximada

por:

SY (f) = f−α, (10)

substituindo (10) em (9), obtem-se a expressao para variancia

dos coeficientes DWPT para um processo fGN:

υ2Y ≈ 2j

∫ n+1/2j+1

n/2j+1

f−αdf

υ2Y (j, n) ≈

2j

1 − α

(

1

2j+1

)1−α[

(n + 1)1−α − n1−α

]

(11)

Como a DWT pode ser extraıda da tabela WP, o mapa

de variancias da DWT tambem pode ser extraıdo do mapa

de variancias da DWPT. Os coeficientes wavelet das escalas

j da DWT sao os coeficientes n=1 dos nıveis j da DWPT.

Entao, substituindo n=1 em (11), obtem-se a expressao para

a variancia do coeficiente wavelet de cada escala j:

υ2Y (τj) = υ2

Y (j, 1)

υ2Y (τj) ≈

1

1 − α

1

2−αj

(

1 −1

21−α

)

(12)

sendo 11−α

(

1 − 121−α

)

= C, em que C e uma constante e

υ2Y (τj) ≈ C × 2αj .

Por (12), observa-se que a variancia dos coeficientes wavelet

de um processo fGN e exponencialmente relacionada a escala

j como foi utilizado em [7] que se baseou nos trabalhos de

Kaplan e Kuo [12] e de Flandrin [21] [22] que obtiveram o

mesmo resultado.

A Tabela I e um exemplo de um mapa de variancias DWPT

para sıntese de um fGN com 3 nıveis (J=3) e parametro α=0,9

normalizado pelo coeficiente wavelet da DWT no ultimo nıvel

a fim de que esse coeficiente tenha variancia 1 na escala menos

refinada J=3.

De acordo com [7], uma serie temporal com comportamento

SRD e LRD, simultaneamente, pode ser obtida por meio

da filtragem adequada de uma serie temporal que apresente

apenas comportamento LRD. Dessa forma, a DEP da serie

temporal com comportamento SRD e LRD pode ser escrita

na forma

SY (f) = GSRD(f) × SYLRD(f) (13)

em que GSRD(f) representa o comportamento SRD e sera

chamado de ganho SRD, e SYLRD(f) e a DEP de uma serie

temporal com comportamento LRD puro.

Dessa forma, a variancia wavelet e dada por

υ2Y (τj) ≈ 2

∫ 1/2j

1/2j+1

SY (f)df

≈ 2

∫ 1/2j

1/2j+1

GSRD(f) × SYLRD(f)df

(14)

Se, a tıtulo de exemplo, for considerado que o ganho SRD

independe da frequencia, entao

υ2Y (τj) ≈ 2

∫ 1/2j

1/2j+1

SY (f)df

≈ 2

∫ 1/2j

1/2j+1

GSRD × SYLRD(f)df

≈ GSRD × 2

∫ 1/2j

1/2j+1

SYLRD(f)df

(15)

A equacao (15) mostra que o mapa de variancias de uma

serie temporal com SRD e LRD pode ser obtido do mapa

de variancias de uma serie com comportamento LRD puro,

multiplicando a variancia dos coeficientes wavelet na escala

menos refinada pelo ganho SRD. Neste trabalho, a equacao

(15) e a base para a geracao de series temporais Gaussianas

com LRD e SRD. No caso mais geral, utiliza-se a equacao

(14) que deve ser integrada numericamente.

V. GERACAO DE SERIES TEMPORAIS GAUSSIANAS COM

LRD E SRD

Neste trabalho foram geradas series temporais Gaussianas

que apresentam simultaneamente LRD e SRD em diferentes

faixas de frequencia atraves do desenvolvimento de dois

metodos que se baseiam no mapa de variancias, o metodo

DWT com mapa de variancias e o metodo DWPT. Diferente-

mente do apresentado em [6], em foi desenvolvido um gerador

que necessitava de dois estagios para gerar tais series, neste

trabalho a introducao dos comportamentos SRD e LRD e feita

simultaneamente.

A. Geracao de Series Temporais Gaussianas com LRD pelo

metodo DWT com mapa de variancias

Para que seja possıvel a introducao de SRD em series

temporais geradas via DWT, o codigo desenvolvido em [7]

foi alterado para utilizar a variancia do coeficiente wavelet de

um mapa de variancias previamente calculado. Nesse mapa,

sao calculadas as variancias dos coeficientes do nıvel menos

refinado (j = J + 1) de uma wavelet packet table (ver Secao

III-C) e normalizadas pela variancia do coeficiente wavelet

da DWT (coeficiente WJ+1,2). As variancias dos coeficientes

dos demais nıveis (j) sao calculadas a partir das variancias

dos coeficientes do nıvel (j + 1). Apos o calculo do mapa

de variancias completo, e introduzida a SRD nas variancias

dos coeficientes do nıvel menos refinado do mapa referentes

ao intervalo de frequencia requerido gerando um mapa de

variancias com SRD.

Esse codigo gera ao mesmo tempo series temporais gaussi-

anas com LRD e densidade espectral de potencia (DEP) 1/f e

tais series com a introducao de SRD no intervalo de frequencia

solicitado.

B. Geracao de Series Temporais Gaussianas com LRD pelo

metodo DWPT

Para a geracao de series pelo metodo DWPT e necessario

calcular o mapa de variancias conforme ja foi descrito na

Secao V-A para obter:


TABELA I: Mapa de variancias DWPT para sıntese de um fGN com 3 nıveis (J=3) e parametro α=0,9, normalizado pelo coeficiente W3,1

Nıvel Coeficientes DWPT

0 W0,0

2,14

1 W1,0 W1,1

4,00 0,29

2 W2,0 W2,1 W2,2 W2,3

7,47 0,54 0,33 0,24

3 W3,0 W3,1 W3,2 W3,3 W3,4 W3,5 W3,6 W3,7

13,93 1,00 0,62 0,45 0,36 0,30 0,26 0,23

• o coeficiente de inicializacao n e seu par n + 1 ou n −1 do nıvel menos refinado atraves da multiplicacao do

desvio padrao (raiz da variancia retirada do mapa) por

um vetor de numeros aleatorios de dimensao igual ao

numero de pontos que os coeficientes do nıvel menos

refinado deverao ter para iniciar a reconstrucao;

• o coeficiente do nıvel j que nao foi reconstruıdo a partir

dos coeficientes do nıvel j + 1 mas que sera necessario

para a reconstrucao do coeficiente do nıvel j − 1.

O mapa de variancias com a introducao de SRD tambem

sera calculado conforme descrito na Secao V-A a fim de gerar

a mesma serie temporal com a introducao do SRD no intervalo

de frequencias solicitado. A unica diferenca e a escolha

do conjunto de coeficientes DWPT que serao utilizados na

construcao da serie temporal desejada.

VI. RESULTADOS

Para validar que os metodos DWT com mapa de variancias

e DWPT geram series temporais gaussianas com LRD, series

geradas por este metodos serao comparadas com series geradas

pelo metodo DWT de Backar implementado no trabalho [7].

E importante ressaltar que este trabalho nao e um trabalho

de modelagem de trafego e, portanto, nao ha a preocupacao

de comparar as caracterısticas obtidas com as observadas

em traces de trafego real. O objetivo deste trabalho e o

de reproduzir as caracterısticas ja reportadas na literatura,

descritas nas Secoes I e II, e detalhadas em [7].

Para todas as simulacoes foram geradas series temporais

com os mesmos parametros: 4096 pontos, funcao wavelet de

Haar e α = 0,9 (H = 0,95).

Como o trabalho de Mello [7] ja demonstrou que o metodo

de geracao de series temporais via transformada wavelet

realmente gera series gaussianas com LRD, a validacao deste

trabalho ficou limitada a analise do periodograma, da funcao

de autocorrelacao e estimativa do parametro de Hurst pelos

metodos de Whittle e do periodograma [23] [7].

O estimador da funcao de autocorrelacao e dado por:

ρX(τ) =1

Ms2X

M∑

k=m+1

(Xk − µ)(Xk−m − µ) , (16)

em que M e o numero de amostras, s2X e a variancia amostral

e µ e o estimador da media µ de X . Note-se que −1 ≤ ρ ≤ 1.

O estimador PX(f) da DEP e obtido pelo metodo nao-

parametrico (Os metodos parametricos de analise espectral

sao baseados em modelos AR, MA e ARMA. Portanto nao

devem ser aplicados para estimacao da DEP de um ruıdo

1/f .) do periodograma [24], com janelamento de dados (data

tapering, para reducao de vazamento de potencia) e suavizacao

(smoothing, para reducao da variabilidade de PX(f)). O

periodograma e calculado via (A definicao foi dada sem incluir

o janelamento e a suavizacao, para melhor compreensao da

natureza essencial do estimador.):

PX(f) =1

M|X(f)|2 . (17)

O metodo de estimacao do parametro H de Whittle [25]

e baseado numa estimacao de maxima verossimilhanca no

domınio da frequencia do modelo FD(d). Esse metodo usa

o periodograma. O metodo de estimacao de H pelo pe-

riodograma baseia-se no fato de que PX(f) ∝ f2H−1 para

frequencias proximas de zero.

Tambem foi feita uma comparacao entre as series geradas

pelos metodos DWT com mapa de variancias e DWPT antes

e depois da insercao do ganho SRD utilizando a analise dos

periodogramas.

A. Comparacao entre as series geradas sem SRD pelos

metodos DWT de Backar, DWT com mapa de variancias e

DWPT

As Figuras 3 e 4 mostram graficos do periodograma sua-

vizado e das funcoes de autocorrelacao para series simuladas

pelo metodo DWT de Backar.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Frequencia

-30

-25

-20

-15

-10

Espectr

o

fGn.DWT.Haar.H=0,95 Periodograma Suavizado

Figura 3: Periodograma suavizado de uma serie temporal obtida atraves dometodo DWT de Backar.


0 20 40 60 80 100

Atraso

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

AC

F

fGn.DWT.Haar.H=0,95

Figura 4: Funcao de autocorrelacao de uma serie temporal obtida atraves do

metodo DWT de Backar.

As Figuras 5, e 6 mostram graficos do periodograma sua-


pelo metodo DWT com mapa de variancias.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Frequencia

-30

-25

-20

-15

-10

Espectr

o

fGn.DWT com mapa de variancias.Haar.H=0,95 Periodograma Suavizado

Figura 5: Periodograma suavizado de uma serie temporal obtida atraves do

metodo DWT com mapa de variancias.

As Figuras 7 e 8 mostram graficos do periodograma sua-


pelo metodo DWPT.

Os periodogramas mostram que as DEPs das series simu-

ladas com H=0,95 de todos os metodos tem polos na origem,

ou seja, que as series sao 1/f . Pelas funcoes de autocorrelacao

tambem pode-se observar que as series sao 1/f .

Verifica-se que as series geradas pelo metodo DWT com

mapa de variancias sao similares as geradas pelo metodo DWT

de Backar. Tambem verificou-se que as series geradas pelo

metodo DWPT sao similares as geradas pelos metodos DWT

de Backar e DWT com mapa de variancias.

Alem da analise do periodograma e da funcao de

autocorrelacao, tambem foram feitas analises estatısticas dos

tres metodos utilizando a estimativa de H pelos metodos de

Whittle e do periodograma. Foram geradas dez series com os

mesmos parametros - 4096 pontos, funcao de Haar e α = 0,9

(H = 0,95) para cada metodo e foi calculada a estimativa de

0 20 40 60 80 100

Atraso

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

AC

F

fGn.DWT com mapa de variancias.Haar.H=0,95


metodo DWT com mapa de variancias.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Frequencia

-30

-25

-20

-15

Espectr

o

fGn.DWPT.Haar.H=0,95 Periodograma Suavizado

Figura 7: Periodograma suavizado de uma serie temporal obtida atraves dometodo DWPT.

H pelos metodos de Whittle e do periodograma. A Tabela II

mostra as medias dessas estimativas para essas 10 geracoes

(Observou-se que para os tres metodos o desvio padrao e

inferior a 1% e as distribuicoes nao apresentaram outliers.).

De acordo com Paxson [10], o metodo de Whittle e um bom

metodo de estimacao do parametro de Hurst H para series que

apresentam LRD. Comparando-se os valores do parametro de

Hurst estimados pelo metodo de Whittle nos tres metodos de

geracao de series, conclui-se que o metodo DWPT e o que

se aproxima mais do parametro de Hurst real que foi inserido

como parametro para geracao das series (α = 0,9 (H = 0,95)).

Pode-se verificar que a estimativa no metodo DWT com mapa

de variancias e muito proxima da estimativa no metodo de

Backar pois sao a mesma transformada.

TABELA II: Estimativas do parametro de Hurst pelos metodos de Whittle

e do periodograma das series geradas pelos metodos DWT de Backar, DWTcom mapa de variancias e DWPT

Metodo H Whittle H periodograma

DWT de Backar 0.92990 0.93370

DWT com mapa de variancias 0.93626 0.90977

DWPT 0.95325 0.97097


0 20 40 60 80 100

Atraso

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

AC

F

fGn.DWPT.Haar.H=0,95


metodo DWPT.

B. Comparacao entre as series geradas sem e com SRD pelos

metodos DWT com mapa de variancias e DWPT

Foram geradas series gaussianas com LRD com os

parametros α = 0, 9 (H = 0, 95), N = 4096, pelo metodo

da DWT com mapa de variancias e pelo metodo DWPT com

coeficiente de inicializacao W12,2048. Simultaneamente foram

introduzidas nessas series, SRD com ganho constante igual a

10 e SRD com ganho variavel igual a 10-1-10 em tres faixas

de frequencia diferentes conforme as funcoes ganho SRD da

Figura 9. No total foram 18 series geradas, 6 series com

LRD e 6 series mistas com LRD e introducao de ganho SRD

constante e 6 series mistas com LRD e introducao de ganho

SRD variavel (9 realizacoes pelo metodo DWT com mapa de

variancias e 9 realizacoes pelo metodo DWPT).

Figura 9: Ganho SRD constante = 10 e variavel = 10-1-10

As Figuras 10 e 11 apresentam o periodograma suavizado de

uma serie temporal obtida atraves do metodo DWT com mapa

de variancias com a introducao de um ganho SRD na faixa

de frequencia 0,15-0,25, constante=10 (Fig. 10) e variavel=10-

1-10 (Fig. 11). Para ambos os casos constata-se que a serie

gerada apresenta um polo na origem, evidenciando o compor-

tamento LRD e que o periodograma desvia-se do decaimento

exponencial, indicando a presenca de comportamento SRD.

Entretanto, o comportamento do ganho SRD variavel nao

foi capturado pelo metodo. As duas figuras sao praticamente

identicas. Isso se deve ao fato de o metodo de geracao via

DWT nao especificar a forma da DEP em frequencias medias

e altas. O comportamento SRD e introduzido na escala menos

refinada de frequencias e a medida que se progride em escala,

o efeito e diluıdo em uma maior faixa de frequencia. A

insensibilidade do metodo DWT com mapa de variancias as

variacoes do ganho SRD fica mais pronunciado a medida que

este e introduzido em faixas de frequencias mais elevadas. Por

razoes de espaco, os periodogramas correspondentes nao sao

apresentados mas podem ser encontrados em [26].

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Frequencia

-30

-25

-20

-15

-10

Esp

ectr

o

fGn.DWT com mapa de variancias.Haar.H=0,95.0,15<f<0,25

Periodograma SuavizadoGanho Constante = 10

Figura 10: Periodograma suavizado de uma serie temporal obtida atraves dometodo DWT com mapa de variancias com a introducao de um ganho SRDconstante=10 na faixa de frequencia 0,15-0,25

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Frequencia

-30

-25

-20

-15

-10

Esp

ectr

o

fGn.DWT com mapa de variancias.Haar.H=0,95.0,15<f<0,25

Periodograma Suavizado

Ganho Variavel = 10-1-10

Figura 11: Periodograma suavizado de uma serie temporal obtida atraves dometodo DWT com mapa de variancias com a introducao de um ganho SRDvariavel=10-1-10 na faixa de frequencia 0,15-0,25.

As Figuras 12 e 13 apresentam o periodograma suavizado

de uma serie temporal obtida atraves do metodo DWPT,

coeficiente de inicializacao=W12,2048, com a introducao de

um ganho SRD na faixa de frequencia 0,15-0,25, constante=10

(Fig. 12) e variavel=10-1-10 (Fig. 13). Ambas as figuras

apresentam um polo na origem, evidenciando a presenca de

comportamento LRD. Alem disso, o efeito da introducao de

SRD nas series geradas pelo metodo DWPT e observado de

forma clara na faixa de frequencia (0,15-0,25): as duas figuras

sao distintas e indicam a captura do comportamento do ganho

SRD pelo metodo.

As Figuras 14 e 15 apresentam o periodograma suavizado

de uma serie temporal obtida atraves do metodo DWPT,

coeficiente de inicializacao=W12,2048, com a introducao de


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Frequencia

-30

-25

-20

-15

-10

Esp

ectr

o

fGn.DWPT.Haar.H=0,95.inicializacao em W12,2048.0,15<f<0,25

Periodograma SuavizadoGanho Constante = 10


metodo DWPT, coeficiente de inicializacao=W12,2048 , com a introducao deum ganho SRD constante=10 na faixa de frequencia 0,15-0,25


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Frequencia

-30

-25

-20

-15

-10

Esp

ectr

o




metodo DWPT, coeficiente de inicializacao=W12,2048 , com a introducao deum ganho SRD variavel=10-1-10 na faixa de frequencia 0,15-0,25.

um ganho SRD nas faixas de frequencia 0,25-0,35 e 0,35-

0,45, respectivamente, e variavel=10-1-1. Ambas as figuras

apresentam um polo na origem, evidenciando a presenca de

comportamento LRD. Alem disso, o efeito da introducao de

SRD nas series geradas pelo metodo DWPT e observado de

forma clara em ambas faixas de frequencia: as duas figuras

indicam a captura do comportamento do ganho SRD pelo

metodo.

O efeito da introducao de SRD nas series geradas pelo

metodo DWPT e observado de forma clara nas tres faixas de

frequencias, da mais baixa (0,15-0,25) a mais alta (0,35-0,45).

Isso se deve ao metodo de geracao via DWPT ser flexıvel em

relacao as frequencias e assim especificar a forma da DEP em

frequencias medias e altas. Portanto, este metodo e bom para

efeitos em medias e altas frequencias e apresenta uma maior

flexibilidade em relacao ao metodo da DWT com mapa de

variancias. Observa-se que a diferenca entre o ganho constante

e o ganho variavel e percebida neste metodo.

VII. CONCLUSOES E TRABALHOS FUTUROS

Este trabalho desenvolveu o conceito de mapa de variancias

wavelet packet a partir do conceito de variancia wavelet

e apresentou dois metodos criados para Geracao de Series

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Frequencia

-30

-25

-20

-15

-10

Esp

ectr

o






0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Frequencia

-30

-25

-20

-15

-10

Esp

ectr

o






Temporais Auto-Similares Gaussianas LRD com introducao

do comportamento SRD em diferentes faixas de frequencia.

O primeiro metodo foi o DWT e o segundo o DWPT, ambos

com mapa de variancias.

A fim de validar tais metodos, foram geradas series por estes

metodos e comparadas com series geradas pelo metodo DWT

de Backar utilizado em [6]. Tal validacao foi feita atraves

da analise do periodograma, da funcao de auto-correlacao e

estimativa do parametro de Hurst pelos metodos de Whittle

e do periodograma. A partir dos graficos do periodograma

suavizado e das funcoes de autocorrelacao para series simu-

ladas pelos tres metodos verificou-se que as DEPs das series

simuladas com H=0,95 tem polos na origem, ou seja, que as

series sao 1/f . Concluiu-se que as series geradas pelos tres

metodos sao similares.

Em relacao as contribuicoes deste trabalho, constata-se que

o metodo DWT com mapa de variancias e mais flexıvel que o

DWT de Backar pois o mapa de variancias pode ser alterado

para gerar series com diferentes espectros alem de possibilitar

a introducao de SRD em diferentes faixas de frequencia. Alem

disso, os comportamentos LRD e SRD sao introduzidos simul-

taneamente, eliminando uma etapa do processo dos metodos

descritos em [6]. No entanto, e importante destacar que pelo

fato da DWT nao especificar a forma da DEP, este metodo


nao captura variacoes do ganho SRD.

O metodo DWPT se apresentou ainda mais flexıvel que o

DWT com mapa de variancias em relacao a introducao de SRD

em diferentes faixas de frequencia como pode-se observar

ao introduzir um ganho SRD constante e variavel nas series

temporais com LRD em tres faixas de frequencia diferentes.

Os resultados deste trabalho podem ser utilizados em am-

bientes de simulacao de redes que necessitem a geracao

de trafego com caracterısticas realistas e que possam ser

facilmente modificadas para ensaiar diferentes condicoes da

rede. Adicionalmente, os resultados sao importantes para a

implantacao de testbeds utilizados na validacao de projetos de

rede, verificacao de desempenho ou diagnostico de problemas.

Este trabalho sera ampliado com a utilizacao de curvas de

ganho SRD mais realistas. Tambem devera ser ampliado para a

geracao de series MWM (Multifractal Wavelet Model), impor-

tante em ambiente de redes locais, e series com distribuicoes

nao gaussianas, por exemplo distribuicoes α-estaveis.

REFERENCIAS

[1] H. Sato, “Teletraffic technologies in atm networks,” Artech House, 1994.

[2] M. Schwartz, Broadband Integrated Networks, 1st ed. Prentice Hall,1996.

[3] S. Ma and C. Ji, “Modeling heterogeneous network traffic in waveletdomain,” IEEE/ACM Transactions on Networking, vol 9, No. 5, 2001.

[4] W. E. Leland, W. Willinger, et al., “On the self-similar nature of ethernettraffic (extended version),” IEEE/ACM Trans. Networking, 1994.

[5] V. Paxson and S. Floyd, “The failure of poisson modeling,” IEEE/ACM

Transactions on Networking, vol. 3, no. 3, pp. 226-244, 1995.

[6] M. L. e. J. R. d. A. A. Fernando L. de Mello, Alexandre B. de Lima,“Geracao de series auto-similares gaussianas via wavelets para uso emsimulacoes de trafego,” IEEE Latin America Transactions, 2006.

[7] F. L. de Mello, “Estudo e implementacao de um gerador de trafegocom dependencia de longa duracao,” Dissertacao de Mestrado, EscolaPolitecnica, USP, 2006.

[8] R. B. Davies and D. S. Harte, “Tests for hurst effect,” Biometrika, vol.

74, pp. 95-101, 1987.

[9] D. B. Percival, “Simulating gaussian random processes with specifiedspectra,” Computer Science and Statistics, vol 24, pp. 534-538, 1992.

[10] V. Paxson, “Fast, aproximate synthesis of fractional gaussian noisefor generating self-similar network traffic,” Computer Communicationreview, v. 27, p. 5-18, 1997.

[11] J.-A. Backar, “A framework for implementing fractal traffic models inreal-time,” Master’s thesis, SERC, 2000.

[12] L. M. Kaplan and C.-C. J. Kuo, “Fractal estimation from noisy datavia discrete fractional gaussian noise (dfgn) and the haar basis,” IEEE

Transactions on Signal Processing, vol. 12, pp. 3554–3562, 1993.

[13] H. Hurst, “Long-term storage capacity of reservoirs,” Trans. Am. Soc.Civil Engineers 116 770-799, 1951.

[14] A. B. de Lima and J. R. de A. Amazonas, “State-space modeling of long-range dependent teletraffic,” 20th International Teletraffic Congress,,2007.

[15] I. Daubechies, Ten Lectures on Wavelets. Capital City Press, 1992.

[16] D. B. Percival and A. T. Walden, Wavelet Methods for Time Series

Analysis. Cambridge University Press, 2000.

[17] J. R. M. Hosking, “Modeling persistence in hydrological time seriesusing fractional differencing,” Water Resources Research, vol. 20, pp.1898-1908, 1984.

[18] B. B. Mandelbrot and J. V. Ness, “Fractional brownian motions, frac-tional noises and applications,” SIAM Rev., vol. 10, pp. 422–437, Feb.1968.

[19] J. Beran, Statistics for Long-Memory Processes. Chapman & Hall,1994.

[20] S. G. Mallat, “A theory for multiresolution signal decomposition: Thewavelet representation.” IEEE Transactions on Pattern Analysis and

Machine Intelligence, v. 11, p. 674-693, 1989.[21] P. Flandrin, “On the spectrum of fractional brownian motions,” IEEE

Transactions on Information Theory, vol. 35, pp. 197–199, 1989.[22] ——, “Wavelet analysis and synthesis of fractional brownian motion,”

IEEE Transactions on Information Theory, vol. 38, no. 2, pp. 910–917,1992.

[23] R. S. Tsay, Analysis of Financial Time Series. Wiley Interscience, 2005.[24] D. B. Percival and A. T. Walden, Spectral Analysis for Physical

Applications. New York, NY: Cambridge, 1993.[25] E. Zivot and J. Wang, Modeling Financial Time Series with S-PLUS.

Springer, 2003.[26] I. R. Lund, “Contribuicoes a geracao de trafego fractal por meio da

transformada wavelet,” Master’s thesis, Escola Politecnica, USP, 2008.

Isabelle Reis Lund recebeu o tıtulo de engenheiraeletricista pela Pontifıcia Universidade Catolica doRio de Janeiro e de mestre em Engenharia Eletricapela Escola Politecnica da Universidade de SaoPaulo (EPUSP), Brasil, em 2008. Seus interesses saona area de redes cabeadas e sem-fio, qualidade deservico (QoS), geracao e estimacao de trafego.

Jose Roberto de A. Amazonas recebeu o tıtulode engenheiro eletricista pela Escola Politecnica daUniversidade de Sao Paulo (EPUSP), Brasil, em1979, alem dos tıtulos de mestre, doutor e livre-docente pela EPUSP, em 1983, 1988 e 1996, res-pectivamente.

E professor associado do Departamento de Enge-nharia de Telecomunicacoes e Controle da EPUSP,onde e responsavel por pesquisa e ensino decomunicacoes opticas e redes de comunicacao dealta velocidade. Esteve em diversos cargos em uni-

versidades no Brasil e na Europa, e tambem liderou pesquisas em parceriacom varias companhias brasileiras, europeias e norte-americanas.

Seus interesses sao na area de comunicacoes opticas, redes cabeadas e sem-fio, qualidade de servico (QoS) e ensino a distancia (EaD).


generation of self-similar gaussian time series by means of the dwt and dwpt variance maps

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