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Transformações de MöbiusDifeomorfismo de Poincaré em D
DefiniçãoUma transformação de Möbius S : C1 ! C1 é um transformação de Möbiusde D ou difeomorfismo de Poincaré se
S(D) = D,
ondeD := {z 2 C : kzk 1}.
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iaib , CÇIECSlz)=ǧd ad - bc> °
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01s: 5,5'
bijet . manda "
partidos" ?
Bem D e mandaMüb (D)$- em #
0¥ O comi. de todos ditos dePoincaré formam grupo
Transformações de MöbiusDifeomorfismo de Poincaré em D
ProposiçãoA transformação T : C1 ! C1, T (z) := z�i
iz�1 transforma da forma bijetiva ocírculo S1 sobre o círculo generalizado R1. Mais ainda tem-se T = T�1.
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a.O.it#i--r.-
Transformações de MöbiusDifeomorfismo de Poincaré em D
ProposiçãoA transformação T : C1 ! C1, T (z) := z�i
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Duni ~ = - I,Zn = i , 2- z =
- I c- $1
zns ( 2- ; - Iii ,- i ) =É
.UÉ =
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§¥ = = Tlz)zi-1
2- = - I THI == A
1- Ii ) = O,TI - i ) = o
Transformações de MöbiusDifeomorfismo de Poincaré em D
ProposiçãoA transformação T : C1 ! C1, T (z) := z�i
iz�1 transforma da forma bijetiva ocírculo S1 sobre o círculo generalizado R1. Mais ainda tem-se T = T�1.
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Basta ver F-T"
A- • Ai-H://i.it/::)=BT (
' - i
i -
1) = : AT =:B
f. THI :Ç =E ⇒ TT = id
⇒ T = T"
Transformações de MöbiusDifeomorfismo de Poincaré em D
TeoremaUma transformação S : C1 ! C1 é uma transformação de Möbius de D se, esomente se, ela pode ser apresentada na forma
S(z) = µz + b
bz + 1, onde kµk = 1, kbk < 1.
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(charuteiraação dos ditos de Poincaré)
= prztubb- 2- t 1
Demonstração.
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/⑦ Super Slt )=p §ç , HA"--1
,IIBIKI
sélhíbim ✓,S : en - eu
HSIO) A = Ilprbll -1pA - IIBH < 1 a SIO) C- D
Slz ) c-É
V-zc.SI?Sjalltll=11=kzIT--H-IIi--zz""" " =p ;÷.lt#;HI7IHIF:++Y-H--lIZlIHltbEll-=ylb--z+H=1=sSk--É
Demonstração.
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☒ Seja S:c_→ Eu difoo de Paine.
= :÷S =/Í! ÍT) TIZ / = (Zi -hi , - i)
To 5. T"
: Rio→ Rn
(T.si"
# =
,terSA
(✗ td vlw}
aisic.de/Rfad-bcE@ G
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Demonstração.
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IIÊH #
E-HF.ie?-d-Hi4=sl::ll::Hi:t=f&tdHilb-c)-lctb)-i(a-d)
fã- (ctb) + ica -d) latd) - ilb -
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E-A- asw-ji.Y-i.EE??-iµ
"f "-
- 1- ✓
Bastava que H1N1
Demonstração.
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✗ = (atd) + ilb -c) , A = - (ctb) - i (a-d)
Basta ver HIHI ⇒ Hpí<HT⇐> Pf < xã
⇐PF-lctb.it/a-dTclatdi+lb-cf--=x---scYt2cbtbT-a/.--2ad-d/< # Zadt#+F-2k¥
⇒ cb - ad a ad - bc
⇐ Hb - ad ) < o⇐ o< ✓
ExemploEncontre uma transformação de Möbius de D tais que S(1) = 1 e S(�1) = �1 eque preserve [�1, 1] ⇢ D.
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[- I , I ) = { × : - Içxçl }
- tt ✗ c- f-till Slz ) = frgtztby , llp" --1SIXIEI- Iii)llbll < 1
5111=1
¥-1;• 1=511 ) { 51-11=-1
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Transformações de MöbiusDifeomorfismo de Poincaré em D
ProposiçãoSeja r uma reta hiperbólica. Então qualquer outra reta hiperbólica é a imagem der por alguma transformação de Möbius de D.
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Dado r e l velas hip .
,existe
dito P. t . q . $(r) = l.
f-
édifwdepoiuc .
✓l por) f- 1,1lb#11<1
+ÉÍ" P⇒ éohfwãepoiuc .
Í /RIFA Rlr ) é um diâmetroVEID ⇒ IIUII < 1
/PIUI Pll ) e- algum outroHWIKI - diâmetrot
1- (RH ) =P/ e)Tlz) = ÉZ Plunkett EM" ) / epn.aiolp-tt.RU" :L
Transformações de MöbiusDifeomorfismo de Poincaré em D
ProposiçãoSeja ` reta hiperbólica com pontos ideais z1, z2 e seja S transformação de Möbiusde D, então S(`) é reta hiperbólica com pontos ideais S(z1), S(z2).
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SR.SK )
SH, )SIISI) = $'
l é arco do circulo goadorh,
e Slhe ) é árãtpm .
$ cmfnnulpvenro . ângulo),"
ta, e portanto Slhe) intensa'
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f; ,!em ângulos retos . SIEKID
i.. .
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! e portanto Slelévetahip .