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Integración Definida
Para hallar el área de una figura plana cualquiera, generalmente se utiliza una fórmula
determinada. Así, si se tiene un rectángulo el área será A = l a.
Para hallar el área de una figura plana curvilínea cualquiera, el procedimiento es más
complicado. Para ello se usará el concepto de integral de Riemann. [Usted debe ampliar con un libro de
texto cualquiera este concepto].
1. Sea f:[a, b] continua y no negativa, cuya gráfica junto con las rectas x = a, x = b y el eje
=x determinan un recinto plano del que se desea calcular el área. (Ver figura 2)
Figura 2. Gráfica de una función con límites x = a, x = b
2. Designando por m y M los valores mínimo y máximo de la función f en [a, b], se verifica que
el área del recinto está comprendida entre las áreas de los rectángulos de base (b – a) y alturas: m(b – a)
y M(b – a). (Ver figura 3)
Figura 3: Rectángulos inscrito y circunscrito a la función
3. Las áreas de estos rectángulos no son una buena aproximación del área A.
4. Se dividirá entonces el intervalo [a, b] en subintervalos, cada uno de los cuales determinará la
base del rectángulo.
5. Se tendrá entonces (figura 4):
Aproximación por exceso Aproximación por defecto
Figura 4. Aproximaciones a la función por exceso y por defecto
Las áreas de los rectángulos se obtendrán así:
a) Se determina una partición x1= a, x2, ........., xn, xn+1= b
b) Se define el intervalo xi = xi+1 – xi, i = 1,..., n
c) El área de cada rectángulo será f(xi)xi. Así, f(x1)x1, f(x2)x2, etc.. El área de los rectángulos
inscritos será que se llama suma inferior, y el área de los rectángulos circunscritos será
que se llama suma superior.
d) Si se aumenta indefinidamente el número de rectángulos inscritos y circunscritos se tiene lo
siguiente: y
.
e) Como f es continua en [a, b] el límite existe. Además, son iguales. Por lo que se tiene que:
=
..
Con todas estas ideas se define la integral definida como sigue: Sea f:[a, b] acotada, f es
integrable en [a, b] si =
y a este valor se le llama integral definida de f en [a, b] y se denota
.
Regla de Barrow
Se hará ahora la deducción geométrica de la Regla de Barrow, la cual expresa lo siguiente:
1. Observe la figura 5:
Figura 5. Gráfico de una función con rectángulos inscrito y circunscrito
2. Comparando las áreas: A(bcdg) A(bcge) A(bcfe)
3. Recordando quien es x se tiene: bgx A cex
4. Dividiendo entre x queda: bg ce
5. Haciendo tender x a cero se encuentra:
6. Integrando se llega a:
7. Como A = F(x) + C se tiene lo siguiente:
a) A = 0 cuando x = a, por tanto 0 = F(a) + C y entonces C = - F(a), por lo que queda A = F(x) –
F(a).
b) Para A = abgh se tiene que x = b y entonces A = F(b) – F(a).
8. De los resultados anteriores se concluye que que es la regla de
Barrow.
Teorema
Dada una función f:[a, b], continua y F(x) una primitiva de f(x) entonces se cumple que
. [Se le pide al alumno buscar la demostración en cualquier libro de texto y
estudiarla].
Propiedades de la Integral Definida
Algunas propiedades de la integral definida son las siguientes:
1.
2. , resultado que es obvio.
3. donde a c b
Si uno de los límites o ambos son infinitos se tienen las integrales impropias, las cuales son de tres
tipos:
1.
2.
3.
Ejercicios
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.