Integración Definida

Para hallar el área de una figura plana cualquiera, generalmente se utiliza una fórmula

determinada. Así, si se tiene un rectángulo el área será A = l a.

Para hallar el área de una figura plana curvilínea cualquiera, el procedimiento es más

complicado. Para ello se usará el concepto de integral de Riemann. [Usted debe ampliar con un libro de

texto cualquiera este concepto].

1. Sea f:[a, b] continua y no negativa, cuya gráfica junto con las rectas x = a, x = b y el eje

=x determinan un recinto plano del que se desea calcular el área. (Ver figura 2)

Figura 2. Gráfica de una función con límites x = a, x = b

2. Designando por m y M los valores mínimo y máximo de la función f en [a, b], se verifica que

el área del recinto está comprendida entre las áreas de los rectángulos de base (b – a) y alturas: m(b – a)

y M(b – a). (Ver figura 3)

Figura 3: Rectángulos inscrito y circunscrito a la función

3. Las áreas de estos rectángulos no son una buena aproximación del área A.

4. Se dividirá entonces el intervalo [a, b] en subintervalos, cada uno de los cuales determinará la

base del rectángulo.

5. Se tendrá entonces (figura 4):

Aproximación por exceso Aproximación por defecto

Figura 4. Aproximaciones a la función por exceso y por defecto

Las áreas de los rectángulos se obtendrán así:

a) Se determina una partición x1= a, x2, ........., xn, xn+1= b

b) Se define el intervalo xi = xi+1 – xi, i = 1,..., n

c) El área de cada rectángulo será f(xi)xi. Así, f(x1)x1, f(x2)x2, etc.. El área de los rectángulos

inscritos será que se llama suma inferior, y el área de los rectángulos circunscritos será

que se llama suma superior.

d) Si se aumenta indefinidamente el número de rectángulos inscritos y circunscritos se tiene lo

siguiente: y

.

e) Como f es continua en [a, b] el límite existe. Además, son iguales. Por lo que se tiene que:

=

..

Con todas estas ideas se define la integral definida como sigue: Sea f:[a, b] acotada, f es

integrable en [a, b] si =

y a este valor se le llama integral definida de f en [a, b] y se denota

.

Regla de Barrow

Se hará ahora la deducción geométrica de la Regla de Barrow, la cual expresa lo siguiente:

1. Observe la figura 5:

Figura 5. Gráfico de una función con rectángulos inscrito y circunscrito

2. Comparando las áreas: A(bcdg) A(bcge) A(bcfe)

3. Recordando quien es x se tiene: bgx A cex

4. Dividiendo entre x queda: bg ce

5. Haciendo tender x a cero se encuentra:

6. Integrando se llega a:

7. Como A = F(x) + C se tiene lo siguiente:

a) A = 0 cuando x = a, por tanto 0 = F(a) + C y entonces C = - F(a), por lo que queda A = F(x) –

F(a).

b) Para A = abgh se tiene que x = b y entonces A = F(b) – F(a).

8. De los resultados anteriores se concluye que que es la regla de

Barrow.

Teorema

Dada una función f:[a, b], continua y F(x) una primitiva de f(x) entonces se cumple que

. [Se le pide al alumno buscar la demostración en cualquier libro de texto y

estudiarla].

Propiedades de la Integral Definida

Algunas propiedades de la integral definida son las siguientes:

1.

2. , resultado que es obvio.

3. donde a c b

Si uno de los límites o ambos son infinitos se tienen las integrales impropias, las cuales son de tres

tipos:

1.

2.

3.

Ejercicios

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.